STATIQUE DES FLUIDES Planches provisoires by vli19189

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									                  STATIQUE DES FLUIDES
                     Planches provisoires
      Michel Dudeck                dudeck@lmm.jussieu.fr

1.    Rappel de la notion de pression
2.    Equation fondamentale de la statique
          2.1 Volume parallélépipédique
          2.2 Volume quelconque
          2.3 Propriétés des surfaces de séparation
3. Pression
          3.1 Pression atmosphérique
          3.2 Unités de pression
4. Milieu incompressible
          4.1 Pression
5. Milieu compressible
          5.1 Océans - grandes profondeurs -exploration
          5.4 Atmosphère terrestre - modèles isotherme, isentropique, type
             1. Rappel de la notion de pression

         r
         n 2 − >1                             r       r
                      r                      df = − p n ds
    1               d f1− > 2
2
        ds
                                • Force sur un élément de surface élémentaire ds
                                • Force normale à la surface ds
                                • Pression = force par unité de surface (N/m2 = Pa)
                                • Pression salaire p toujours positive, p > 0
                                • Sens : la force exercée par le milieu 1 sur le milieu 2
                                est dirigée de 1 vers 2
                                • Pas d’effet tangentiel (absence de frottement visqueux)
                                • Module de la force indépendant de l’orientation de ds

          r             r
         df1− > 2 = − p n2 − >1 ds
    2. Equation fondamentale de la statique

    2.1 Volume parallélépipédique

                           • Equilibre d’un domaine fluide de section S comprise entre z et z
                           + dz (z axe vertical dirigé de bas en haut), action de la pesanteur
                           • Pression fonction uniquement de z, p(x,y,z,t) = p(z)
    z
                 g         • Masse volumique fonction de z
                                              r                 r                  r
                                    p ( z ) S z − p( z + dz ) S z − ρ ( z ) S dz g z = 0
          p ( z + dz ) S
                                                                   dp + ρ g dz = 0
z+ dz

z


          p( z ) S            ρ ( z) g S       Remarques :
                                               ⇒ dp(z) + ρ(z) g(z) dz = 0
                                               ⇒ ρ(z) = ρ(z) +dρ, g(z) = g(z) +dg
                                               ⇒ s’applique à des points d’un même fluide
                   2. Equation fondamentale de la statique
                          2.1 Volume quelconque

r                              − ∫∫
                                          r            r
                                        p n ds + ∫∫∫ ρ g dv = 0
z           r
        − p n ds                    Σ               V

                                                              r
                             − ∫∫∫ grad p dv + ∫∫∫          ρ g dv = 0
    g
                                V                       V

                                                     r
                                        − grad p + ρ g = 0

          r
        ρ g dv             ∂p                       ∂p
                                                       =0            ∂p
                          − −ρ g=0                                      =0
                           ∂z                       ∂x               ∂y


             Pression p = p(z) et dp + r g dz = 0            dp + ρ g dz = 0
         Variation de g

Force d’attraction entre deux masses                                                              Mm        Mm
                                                                               FA − B = G            =G
M et m dont les centres de gravité                                                                r2    ( RT + h) 2
sont séparés d’une distance r
                                                                                              MT
Constante G universelle de la gravitation                                        g =G          2
                                                                                              RT
Dimension de G : M-1 L3 T-2
G = 6,6695 10-11 m3/kg/s2 = 6,6695 10-8 cm3/g/s2                                                       −11             5,975.10 24
                                                                                 = 6,6695.10                                       2
                                                                                                                                     = 9,81m / s 2
                                                                                                                      (6378.1000)

  9,82                                                      10                                                          10
   9,8
  9,78                                                       8
  9,76                                                                                                                   1
                                              g (m /s 2 )


  9,74                                                       6                                                                0   50000   100000   150000   200000   250000




                                                                                                           g (m2/s)
  9,72
   9,7                                                                                                                  0,1
                                                             4
  9,68
  9,66
                                                             2                                                         0,01
  9,64
  9,62
                                                             0
         0      10   20   30   40   50   60                                                                           0,001
                                                                 0   10000   20000        30000    40000                                       h (km)
                                                                                     h (km)


             Variation de l’intensité g dela pesanteur en fonction de la distance à la surface de la Terre
        2.3 Propriétés des surfaces de séparation
r
z
               r         r          ε r              ε r
         p − S z − p + S z + ρ − g S (− z ) + ρ + g S (− z ) = 0             p− = p+
                                    2                2
    +

                   r         r               r                r      r
    -        p − S z − p + S z + ρ − g S ε (−z )+ ρ + g S ε (−z )−σgSz =0   p − = p + +σg
                                         2                2



                       a) Épaisseur tendant vers 0 : la pression est continue
                          au passage de l’interface
                       b) Cas d’une interface pesante (film, couche
                          d’hydrocarbures, masse surfacique)
                       c) Application : tube en U contenant plusieurs
                          fluides non miscibles (TD)
                       pA=patm, p B+=p B- pC =patm
         2.3 Propriétés des surfaces de séparation

                            dp + ρ g dz = 0

r                             a) Surface libre à pression constante : dp = 0,
z
                                 d’où dz = 0 : la surface libre est horizontale
                              b) Deux points M et N de même côtes sont à la
                                 même pression - dans un même fluide -
                              c) La surface de séparation entre deux liquides
    M         N                  non miscibles est horizontale
                              d) Puits et nappe phréatique, puits artésiens


                                      pB = pB '
            A
                                              zB                zB '
             A’
B
    B’                                p A − ∫ ρ1 g dz = p A' − ∫ ρ 2 g dz
                                              zA                z A'
                                     zB

                                      ∫ (ρ
                                     zA
                                          1   − ρ 2 ) dz = 0,     z A = zB
              2.3 Propriétés des surfaces de séparation
             r                          a) Surface libre de l’océan à grande échelle pression –
− grad p + ρ g = 0                          vecteur g radial -
                                        b) Coordonnées sphériques                ∂p
                                                                            0=− −ρg
                                        c) La surface de l’océan                 ∂r
                                        est sphérique, p(r )                     1 ∂p
                                                                                               0=−
                                                                                                   r ∂θ
                                                                                                      1 ∂p
                                                                                               0=−
                                                                                                   r sin θ ∂ϕ


a) Dépression à la surface de la mer
1000-988mbars
25 décembre 2007 : dépression au voisinage de l’Islande : 960 mbar
anticyclone des Açores est de 1040mbars.
La différence de 80 mbars correspond à une variation de niveau de 80 cm.
                           r2                                           r2                                           r2
                       −                                            −                                          Δp − a 2
p (r ) = patm − Δp e               patm + ρ g h( A) = patm − Δp e               + ρ g h( r )
                               2
                                                                                               h(r ) − h( A) =
                           a                                                2
                                                                        a
                                                                                                                  e
                                                                                                               ρg
                                                  r2
                                            Δp − a 2       Δp 12.10 −3.105
                                   z (r ) =    e              =            = 12cm
                                            ρg             ρg   103.10
3. Pression
                   3.1 Pression atmosphérique


• Mise en évidence de la pression atmosphérique – expérience de Torricelli
                       3.1 Pression atmosphérique


    • Mise en évidence de la pression atmosphérique – expérience de Torricelli



                       Pression voisine de 0
       E               Pression de vapeur saturante
                       de Hg à la température ambiante
      D
                                                 pA = patm = pB continuité de la pression
                                                 pB =p C mêmes côtes z
h              Pression atmosphérique
                                                 dp + ρ g dz = 0
                       A                         pB − pC + ρg[ z ( B) − z (C )] = 0
                                                 pB = pC + ρgh
       C               B
                                                   pD =pE continuité de la pression
             Mercure                               pE = 0 vide


                                                         p atm = ρ Hg gh
                       3.2 Unités de pression



• 1 atm : pression exercée par une colonne de 760 mm de mercure
1atm = 760 mm Hg = h ρ g
= 760mm x 13,596g/cm3 (altitude 0, latitude: 45°) x 9,80665m/s2
= 1,033.105 Pa
= 10m H20

• 1kgf/cm2     1kgf = Mg = 1kg . 9,81m/s2 = 9,81 Pa

• 1 Torr = 1 mm Hg

• 1 atm = 1 bar = 1000 mbar

• 1 livre = 0,453 kg, 1 pouce (inch) = 2,54 cm
4. Milieu incompressible
                         4. Milieu incompressible
r                              4.1 Pression
z
                          • Surface libre à pression constante : exemple patm
                          • Origine des z à la surface libre, g = cste
    z=0                   • Masse volumique constante (kg/m3)

                         dp + ρ g dz = 0          p ( z ) = patm − ρ 0 g z

                 • Masse volumique de l’eau 103 kg/m3, g = 10 m/s2, patm = 105 Pa
                 • Augmentation de pression d’une atmosphère tous les 10 m
                 • La pression double dans les dix premiers mètres
                 • Pression à 50 m de profondeur : 6 atm
                 • Fosses marines :
                 • Coefficient de compressibilité de l’eau :


      • Sous-marins : > 200 m
      • Plongeurs sous-marin : pression, accidents de plongée
r
z

    patm
           z=0



                 z = -10m, p = 1atm + 10ρg = 2 atm


                 z = -20m, p = 1atm + 20ρg = 3 atm


                 z = -30m, p = 1atm + 30ρg = 4 atm


                 z = -40m, p = 1atm + 40ρg = 5 atm
  5. Milieux
compressibles
               5. Milieu compressible
    5.1 Océans – grands profondeurs - explorations
Plateau continental
Première zone rencontrée atteint une profondeur de 200m à partir des basses mers. Zone
pouvant s'enfoncer en pente douce (cote atlantique, partie des cotes du Pacifique, mer de Chine,
de Java, d'Arafoura).
Dans le golfe de Gascogne, cette zone débute à l'embouchure de l'Adour pour s'éloigner et
passer à environ 200km de Brest.
En Méditerranée, cette zone longe la cote de près. Le plateau continental ne représente que 8%
de la surface océanique.
Profondeur : 200m, p = 21 atm (21.105 Pa)

Zone bathyale
Après le plateau continental, apparaît la zone bathyale entre 200 et 1000m que l'on trouve
généralement jusqu'à une distance de 300km du littoral.
1000m de profondeur : p = 101 atm (modèle incompressible)

Fosses abyssales
Plus grandes profondeurs se trouvent dans le Pacifique :
       fosse de Mindianao (10 790m) et fosse des Carolines (10 860m)
La pression y serait d'environ 1000 atm en admettant que l'eau est un milieu incompressible ce
qui n'est évidemment plus le cas à ces profondeurs.
                                            dp + ρ ( z ) g dz = 0

    Surface libre à pression constante : patm                origine de z à la surface libre
     Milieu compressible isotherme                            loi linéaire de compressibilité

          ρ = ρ 0 (1 + χ θ ( p − p0 )) χ θ = cste

                                                dp
                                                            = − ρ 0 g dz
                                         1 + χ θ ( p − p0 )


                  1 − χ θρ 0 g z                       1
p( z ) = p0 +        (e          − 1) ≈ p 0 − ρ 0 g z + χ θ ρ 0 g 2 z 2 > p ( z , incompressible)
                                                              2

                  χθ                                   2
               z
ρ = ρ 0 (1 −      + ...)
               zc
         La pression à une profondeur z est accrue par la compressibilité
                                                                                               1
       χ θ (eau ) = 5.10     −10
                                   m / N , χ θ ( Hg ) = 4.10
                                     2                           −11    2
                                                                       m /N          zC =
                                                                                            ρ0 g χθ
                         1,060E+03

Masse volumique (kg/m3   1,050E+03

                         1,040E+03

                         1,030E+03                                                                                 Différence de pression (atm)

                         1,020E+03                                                                                   30
                         1,010E+03                                                                                   25

                         1,000E+03                                                                                   20
                                     0   2000                              4000 6000 8000 10000 12000                15

                                                                            Profondeur (m)                           10
                                                                                                                      5
                                                                                                                      0
                                                                                                                          0     2000    4000      6000    8000    10000   12000

                                                                                                                                                         Profondeur (m)
                                          Variation de la profondeur (m




                                                                          300

                                                                          250

                                                                          200

                                                                          150

                                                                          100

                                                                          50

                                                                           0
                                                                                0   2000     4000   6000   8000   10000 12000

                                                                                               Profondeur (m)
Exploration


• Augmentation faible de la pression et de la masse volumique en raison de la compressibilité

• Sous-marin NAUTILE
- Institut français de l’exploitation de la mer (Ifremer)
- Plonge jusqu’à une profondeur de 6000m.
- Descendu sur les épaves du « Titanic » et du pétrolier « Prestige » au large des cotes espagnoles
- Recherche la boîte noire de l’Airbus 447 disparu en mer le 1er juin au cours d’un vol Rio de
Janeiro-Paris.
- Se déplace sur un peu plus de 7 km
- Reste 5 heures en plongée.
 STATIQUE DES FLUIDES – 22 février 2010

1.    Rappel de la notion de pression
2.    Equation fondamentale de la statique
          2.1 Volume parallélépipédique
          2.2 Volume quelconque
          2.3 Propriétés des surfaces de séparation
3. Pression
          3.1 Pression atmosphérique
          3.2 Unités de pression
4. Milieu incompressible
          4.1 Pression
5. Milieu compressible
          5.1 Océans - grandes profondeurs -exploration
          5.4 Atmosphère terrestre - modèles isotherme, isentropique, type
r                       5.2 Atmosphère terrestre
z
                             dp + ρ ( z ) g dz = 0


    • Aucun mouvement de l’air (immobile)

    • Modèles simplifiés (ne tenant pas compte des variations nuit/jour, des
    variations saisonnières, du lieu, ..)

    • faible variation d’altitude : g = cste

    • Modèle de type gaz parfait : p = ρ r T , composition invariable

    • Trois variables p(z), r(z), T(z) => besoin d’une hypothèse supplémentaire
r                                           Modèle isotherme
z
                                    dp + ρ( z ) g dz = 0

           • Hypothèse d’atmosphère isotherme: T = T0
           (température au sol)
           • Modèle de gaz parfait : p = ρ r T0
                                                                        z                   gz
               −
                 gz
                                    −
                                      gz                           −                    −
    p = p0 e     rT0
                       , ρ = ρ 0e     rT0
                                            , T = T0    p = p0 e       zT
                                                                            , ρ = ρ0e       zT
                                                                                                 , T = T0

        • Décroissances exponentielles de la pression et de la masse volumique
        • Existence d’une hauteur caractéristique zT
        • Température uniforme : hypothèse peu réaliste par rapport à notre
        connaissance de l’atmosphère
                                        rT0 R T0
                               zT =        =     = 8,77km
                                         g   M g
r                   Modèle isentropique
z
                  dp + ρ( z ) g dz = 0
                                 p          p0
               • Hypothèse :        γ
                                        =    γ
                                ρ           ρ0
               • Modèle de gaz parfait : p = ρ r T


    dp ρ g               dp    dρ                dp dρ dT
      +     dz = 0,         −γ    = 0,              =   +
     p ρ rT               p     ρ                 p   ρ   T

                                        dp   γ dT
                                           =
                                         p γ −1 T
      γ dT    g
           +    dz = 0
    γ −1 T   rT
                                      Modèle isentropique

r           γ dT    g                                       γ      g
z                +    dz = 0                                   dT + dz = 0
          γ −1 T   rT                                     γ −1     r

                    g γ −1                                                  γ rT0
        T = T0 (1 −        z ) = T0 (1 −
                                          z                       za =            = 30,7km
                    r γT0                za
                                            )                             γ −1 g

• Décroissance linéaire de la température à partir de z = 0, valeur nulle en za !!!
                                                                    p
          γ dT
                                                                                      z
     dp            g         g                     dz                     dp     g             dz
        =
      p γ −1 T
               =−    dz = −
                                                     z
                                                                   ∫       p
                                                                             =−
                                                                                rT0   ∫           z
                  rT        rT0
                                                (1 − )             p0                 0   (1 −      )
                                                    za                                           za
                            z
                      d (1 −  )                            gz a
                                                                                 g γ rT0      γ
                  z
   p ( z ) gz a            za     gz a        z          z rT0            gz a
ln        =       ∫        z
                                =      ln(1 − ) = ln(1 − )                     =          =
    p0      rT0   0   (1 − )
                                  rT0        za         za
                                                                          rT0 rT0 γ − 1 g   γ −1
                          za
                                          γ                                               1
                        p( z )        z
                               = (1 − ) γ −1                            ρ( z )        z
                                                                               = (1 − ) γ −1
                         p0          za                                  ρ0          za
          1

         0,8                                                                PRESSION ADIMENSIONNEE
         0,6
p/p(0)
                                                                            - Modèle isotherme : bleu
         0,4
                                                                            - Modèle isentropique : rouge
         0,2

          0
               0     10000   20000   30000   40000   50000      60000
                                 Altitude (m)


   z(m)               p/p0      p/p0                             1
                   Isotherme Isentropique                      0,9
                                                               0,8
                                                               0,7
   2000              0,796      0,790                          0,6

                                                        p/p0
   5000              0,565      0,537                          0,5
                                                               0,4
   10000             0,320      0,252                          0,3
   20000             0,097      0,021                          0,2
                                                               0,1
                                                                 0
   Isentropique                                                      0   2000   4000     6000   8000   10000

                                                                                 Altitude (m)
   Mont Blanc 4822m                  0,55 atm
   Hymalaya 8500m                    0,32 atm
                                                                                                MASSE VOLUMIQUE
                                                                                                ADIMENSIONNEE
                  1,2
                                                                                           1
Masse volumique


                   1                                                                     0,9




                                                                       Masse volumique
                                                                                         0,8
                  0,8                                                                    0,7
                                                                                         0,6
                  0,6
                                                                                         0,5
                                                                                         0,4
                  0,4
                                                                                         0,3
                  0,2                                                                    0,2
                                                                                         0,1
                   0                                                                       0
                        0   10000 20000   30000 40000   50000 60000                              0        2000       4000      6000     8000   10000

                                      Altitude (m)                                                                    Altitude (m)
                                                        - Modèle isotherme : bleu
                                                        - Modèle isentropique : rouge



                                                                                                1,2
                                          TEMPERATURE
                                                                                                 1
                                          ADIMENSIONNEE
                                                                                                0,8
                                                                                         T/T0
                                                                                                0,6

                                                                                                0,4
                                   4000 m : 261K = - 12°C
                                                                                                0,2
                                   10000m : 201K = - 72°C
                                                                                                 0
                                                                                                      0      10000          20000     30000    40000

                                                                                                                       Altitude (m)
                           Atmosphère type


              z = 14000m
r
z
    t = -56,5°C


                        z = 10000m,
                        t11000 = -56,5°C
                        p11000 =



        Décroissance linéaire
        de la température



                                           z = 0, t0 = 15°C
                                           p0 = 760 mm Hg
       Température, pression et masse volumique de l’atmosphère type


  z < 11000m
                                                             γ                                         1
                   T0 − T1 z              p( z )       z                     ρ( z )       z
T ( z) = T0 (1 −             )                   = (1 − ) γ −1                      = (1 − ) γ −1
                     T0 z1                 p0          z                      ρ0          z

               T0         273,15 + 15          288,15
        z=           z1 =             .11000 =        .11000 = 44331m
             T0 − T1       15 + 56,5            71,5




 11000m < z < 14000m
                                                                 z                         gz
                                                             −                         −
T1 = −56,5 + 273,15 = 216,65K                 p( z ) = p1e       zT
                                                                      , ρ' z ) = ρ1e       zT
                                                                                                , T = T1
   Atmosphère terrestre




Le mont Anna Dalblam dans l’Himalaya (8500m)
             Atmosphère terrestre




Lac Titicaca Pérou/Bolivie (altitude : 3810m, surface : 8562 km2)
                                       Atmosphère terrestre




Icare

Frères Montgolfier
1782 : petit ballon carré , air chaud
5 juin 1783 : sphère 886m3, Annonay, h = 2000m
(déplacement : 2,5km)
19 sept. 1783 : à Versailles (avec animaux)
21 nov. 1783 : Pilâte de Rozier, d’Arlandes, h = 1000m,
20mn, déplacement : 8km

Charles
Gaz plus léger que l’air : hydrogène
=> Zeppelin
           STATIQUE DES FLUIDES
          22 février 2010 -1er mars 2010
6. Poussée d’Archimède
          6.1 Corps complétement immergé
                6.1.1 Résultante des efforts
                6.1.2 Moment et centre de poussée
                6.1.3 Stabilité simple
          6.2 Corps flottants
                6.2.1 Résultante des efforts
                6.2.2 Moment et centre de poussée
                6.2.3 Stabilité simple
6. POUSSEE D’ARCHIMEDE
6.1 Résultante des efforts

                             z


                                    Résultante des efforts exercés
                                    par l’eau sur la surface du cube


                                 r             r               r
                                 R = p( z ) S z − p( z + a) S z
                                                                         r
g
                                 = [ p ( z + a) + aρ eau g − p( z + a)]S z
                                              r            r
                                 = ρ eau aSg z = M eau g z
               a

                                        Force verticale et égale au poids
                                        de l’eau déplacée
                       eau
Résultante des efforts exercés par       r                       r
l’eau sur la surface d’une sphère        R=     ∫∫
                                              surface
                                                         − p( z )n ds
complètement immergée
                                                                                   r                                           r
              z                          =−    ∫∫
                                              surface
                                                        [ p atm + ρ eau g (h − z )]n ds = −                  ∫∫
                                                                                                         surface
                                                                                                                   − ρ eau g z n ds


                                                              Termes constants : contribution nulle
                                                            rr                                                  rr
                                     h                      R.z = −      ∫∫
                                                                       surface
                                                                                     [ p atm + ρ eau g (h − z )]n.z ds
                                                         rr                                   π
                                                         R.z = ρ eau g ∫∫ z cos θds = ρ eau g ∫ R cos θ cos θds
               z    θ                                                                                    0
                        R                                          π
                                                         = ρ eau gR ∫ cos 2 θ(2πR sin θ.Rdθ)
                                              z=0                  0
               O                                                             π
                                                         = ρ eau g 2πR       ∫       cos 2 θ sin θdθ
                                                                         3

                                                                             0
                                                                                 π
                                                         = −ρ eau g 2πR          ∫    cos 2 θd (cos θ)
                                                                             3

                                                                                 0

                                                                   2              π          4
                                                         = −ρ eau g πR 3 [cos 3 θ]0 = ρ eau g πR 3
                                                                   3                         3

                        Force verticale et égale au poids
                        de l’eau déplacée
r                 Corps complètement immergé et de forme quelconque
z



                                                          Corps immergé




g
                         r        r                                     r                  r
               M liquide g − ∫∫ p n ds = 0   Fliquide − >objet = − ∫∫ p n ds = − M liquide g
                            Σ                                    Σ




    Théorème d’Archimède : Tout corps complètement immergé subit
    une force verticale dirigée de bas en haut et égale au poids du liquide déplacé
Corps non complètement immerge




      L’objet reste-t-il au fond ?
                     Résultante des efforts
                                                 r             r
      z
                                                 R = (− P + A) z
                                                   P : poids de l’objet
                         Poussée                   A : poussée d’Archimède
                         d’Archimède A
                                                   A > P force ascentionnelle

                                                   A = P équilibre
  g
                         Poids P                   A < P chute vers le sol


Archimède : Syracuse -200 ans couronne en or ?
   - Poids mesuré – mais volume pour avoir la densité (g/cm3) de l’or
   - Poids apparent
= poids réel – poids du volume d’eau déplacé (volume de l’objet x masse volumique de l’eau)

Expérience d’Aristote :
- Ballon vidé, fermé et en équilibre sur un plateau de balance
- Ouverture du ballon qui se rempli => même équilibre (la poussée d’Archimède compense
exactement le poids de l’air entré dans le ballon : il est inexact d’en conclure que l’air
n’est pas pesant – l’expérience doit être réalisée avec un récipient indéformable.
Exemple 1 : Ballon captif de Paris
                                            Ballon captif (Paris XV –parc André Citroën)
                                            Partenariat EUTELSAT/La Mairie de Paris / Aérophile


                                           5500 m3 d’hélium à 2,5 atm
                                           Ballon sphérique de 22m de rayon
                              Enveloppe
                                           Nacelle de poids propre : 200 kg, enveloppe : ?
                              Hélium
                                           30 passagers 75kg ?
                                           Câbles nacelle-enveloppe : 300kg
                                           Câble nacelle-sol : ??? kg/m
                                           Ballon retenu au sol par un câble acier torsadé
                               Nacelle
                                           manœuvré par un treuil

                                           Hauteur autorisée : 150m (Tour Eiffel :      57-115-214-320)



  A = ρair. (4/3 πR3). g   Poids = poids He + enveloppe + câbles + nacelle + passager

                           A – P : force vers le haut exercée sur le câble (traction)
          Exemple 2 : Ballon libre




                                         z
                                                V = 15000 m3 d’hélium à 2,5 atm
                                                Nacelle de poids propre : 500 kg,
                                                Enveloppe : masse négligée

                                                Air : milieu polytropique, n = 1,35
                                                                             n − 1 ρ 0 g n −1
                                                                                          1
                                                      ρ air ( z ) = ρ 0 (1 −            z)
                                                                               n p0




A(0) = ρair.(0) (4/3 πR3). g,    P = P(gaz, Ti) + P (nacelle)    A- P > 0       force ascentionnelle ausol


A(z) = ρair.(z) (4/3 πR3). g    P = P(gaz) + P(nacelle)          A=P           à l’équilibre (1200m)
                       Exemple 3 : Bouchon composite

                         • Section S, hauteur 2h
                         • Matière 1, hauteur h, section S, masse volumique ρ1
                         • Matière 2, hauteur h, section S, masse volumique ρ2
                         • Eau
         eaue               r             r r               r       r
                            A = ρ eau 2hSgz , P = −ρ1 hSgz − ρ 2 hSgz
                                         r         r          r
          eau                  ρ eau 2hSgz − ρ1 hSgz − ρ 2 hSgz = 0
                                                  ρ1 + ρ 2
                                        ρ eau =
                                                     2

                      Exemple 4 : Grafzeppelin

Exemple 5 : Homme
M = 65 kg, volume ~ 65 dm3, poids = 65*g ~ 650 N
Volume d’air déplacé ~ 65 dm3, poussée d’Archimède = ρ(air).65.10-3g =
0,650N = 1/1000ième du poids = 65g
                                r    r
  Exemple 5 : Cachalot R = (− P + A) z              P = A équilibre

M = 50-70 tonnes, 11-17m, P = M.g = 70 000.9,81= 700 000N
A : poussée d’Archimède de l’eau de mer : salinité et compression
Grands mammifères : poids compensé par la poussée d’Archimède
et réserve marines de nourriture

Composition de l’eau de mer
• Sels : NaCl (28g sur les 35g de sels contenus en moyenne dans une eau océanique)
chlorure de magnésium (huit fois moins présent), sulfates de magnésium,
de calcium, et de potassium.
• Ensuite : carbonate de calcium, bromure de magnésium.
• Métaux : argent, or, platine, radium,
• Très faible quantité difficilement décelables, facteur d'accumulation :
 cobalt (homards, moules), nickel (certains ), plomb
Mêmes proportions quel que soit l'océan => communication initiale.

Salinité S : nombre de grammes de sel pour 1 kg d’eau de mer, maximum de 36 à 37
Zones tropicales : 36 à 37, équatoriales : 35, tempérées : 35, polaires : 32-33, Baltique : 1 (golfe de
Botni), Mer Rouge : 41.

Equation d’état de l’eau de mer (1980) : ρ(S, t(°C),p -1atm,) = ρ(S, t,0)/(1-p/K(S,t,p))
                                      r             r
Exemple 5 : Cachalot                  R = (− P + A) z             P = A équilibre
      50-70 tonnes, 11-17m, eau de mer : salinité et compression

Exemple 6 : Bulle d’air
                                      •   Bulle d’air sphérique, quel que soit z
                                      •   Air immobile dans la bulle, gaz parfait
    z=0                               •   Evolution quasi-statique et isotherme
                                      •   Tension superficielle air-eau constante
                    Equilibre de pression                                            80

                                            σ
                    p air = p eau ( z ) +
                                                                                     75




                                                                    sigma (10-3N/m
          g                                 R                                        70


                                                          σ
                                                                                     65
                      M air
                                   rT = p atm   − ρg z +                             60

                    4                                    R( z )                      55
                      πR ( z ) 3                                                     50
                    3                                                                     0   20   40    60      80   100    120

                                                                                                        t (°C)

           R0 3 p atm ρg       σ R0                             σ       p atm ρg                                            R0
          ( ) =      +    z+                              x −
                                                            3
                                                                     x=      +    z                                   x=
           R     p0    p0    p 0 R0 R                         p 0 R0     p0    p0                                           R
Tension superficielle du mercure : 487.10-3N.m à 15°C
Dynamique de la bulle :      r           2
                                            d zr               r               4                  r
                        M air Γ = M air          z = (− P + A) z = (− M air g + πR( z ) 3 ρ eau ) z
                                            dt 2                               3
     6.1.2 Centre de poussée
         Moment au point O quelconque



                                    M                                        M




             O                                       O

 g                                          r                                               r
                                            M liquide − >objet (O quelconque) = − ∫∫ OM ∧ p n ds
                                                                                 Σ
                             r                                        r
= − ∫∫ OM ∧ p ( sans objet ) n ds = − ∫∫∫ OM ∧ grad p dv = ∫∫∫ OM ∧ ρ g dv
     Σ                                  V                        V
                   r                             r
= ( ∫∫∫ ρ OM dv) ∧ g = M OG (liquide déplacé ) ∧ g
     V

     Si O est choisi en G (centre de gravité du fluide), le moment est nul
     => G est le centre de poussée
     Le centre de poussée C est au centre de gravité du liquide déplacé
     Torseur des efforts en G = (résultante, moment nul)
                         6.1.3 Stabilité simple


           A                          A                                 A


           C                    C   G
                                                                       G
           G                                                     C


            P                         P                                 P


(1) EQUILIBRE STABLE   (2) EQUILIBRE INDIFFERENT          (3) EQUILIBRE INSTABLE




                                                   Critère : retour à la position
                                                   Initiale après une petite
                                                   perturbation
                    Exemple : stabilité d’une boule immergée


                      • Boule pleine de rayon R en deux parties (1) et (2)
               1
                      indéformables (solides) de masses différentes
         C           r        4 3 r r                2 r    2      r
     G
                     A = ρ eau πR gz , P = −ρ1 πR 3 gz − ρ 2 πR 3 gz
                              3                      3      3
               2                            ρ1 + ρ 2
                        Equilibre : ρ eau =
                                               2
         eau



• Poussée d’Archimède appliquée en C (centre de la sphère)
• Centre de gravité G : position dépendant des densités des deux demi sphères
   3 r      3 r                     r                    M1 − M 2 3
M 1 Rz − M 2 Rz = ( M 1 + M 2 ) z G z             zG =              R
   8        8                                            M1 + M 2 8

                           Stabilite => M1 < M2
r   6.2 Corps flottants
z   6.2.1 Résultante des efforts


          Fluide 2

                                                                             Corps flottant


         Fluide 1

                                  r        r           r
g    ( M liquide1 + M liquide 2 ) g − ∫∫ p n ds − ∫∫ p n ds = 0
                                  Σ1           Σ2


                                                             r           r                                     r
                                  Fliquide − >objet = − ∫∫ p n ds − ∫∫ p n ds = − ( M liquide1 + M liquide 2 ) g
                                                     Σ1            Σ2



                   Le corps flottant entre deux fluides subit une force :
                   • verticale,
                   • dirigée de bas en haut,
                   • égale au poids des liquides déplacés
Résultante des efforts exercés par deux fluides sur la surface du cube flottant

                                                      Forces :
                                                      • latérales : s’annulent 2 à 2
                                                      • en z = -h1 et z = + h2
     Fluide 2
                                                      • z = 0 : séparation des deux fluides
                                     z
                                              r               r              r
                                              R = p(−h1 ) S z − p (+ h2 ) S z
                                                                   r                       r
                                              = [ p (0) + ρ1 gh1 ]Sz − [ p(0) − ρ 2 gh2 ]S z
                                                                        r
                                              = [ρ1 h1 Sg + ρ 2 gh2 S ] z
     g
                               Fluide 1         Force :
                         a                      • verticale,
                                                • dirigée de bas en haut,
                                                • égale au poids des deux fluides déplacés.


                         air      r                                    r                r
                                  R = [ρ eau heau Sg + ρ air ghair S ] z ≈ ρ eau heau Sgz
                         eau
                                               Bateau : action de l’air négligeable
r                                6.2.2 Centre de poussée
z

                 Fluide 2

                                                              Corps flottant
             O
    g
             Fluide 1


               r               r
    − ∫∫OM ∧ p n ds − ∫∫OM ∧ p n ds = − ∫∫∫ OM ∧ gradp dv − ∫∫∫ OM ∧ gradp dv
        Σ1                  Σ2                V1                     V2
                  r                  r                    r                r
    = ∫∫∫ OM ∧ ρ1 g dv − ∫∫∫ OM ∧ ρ2 g dv = ∫∫∫ ρ1 OMdv ∧ g − ∫∫∫ ρ2 OMdv∧ g
        V1                       V2                V1                V2
                            r                     r
    = (M1 OG1 + M 2 OG2 ) ∧ g = (M1 + M 2 )OG ) ∧ g

             • Moment nul si O est en G
             • Le centre de gravité des deux fluides déplacés est le centre de poussée
                   6.2.3 Stabilité simple




    C                     C
    G                     G                        G      C




EQUILIBRE STABLE     EQUILIBRE INDIFERENT   EQUILIBRE INSTABLE




                                            Stabilité d’une plaque

								
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