Cinemática (I)
• Cinemática del robot
– Estudio de su movimiento con respecto a un sistema de referencia
• Descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo. • Relaciones entre la posición y orientación del extremo del robot (localización) y los valores de sus coordenadas articulares.
– Problema cinemático directo: Determinar la posición y orientación del extremo del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot. – Problema cinemático inverso: Determinar la configuración que deben adoptar las articulaciones del robot para alcanzar una posición y orientación del extremo conocidas. – Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Parte de la cinemática que intenta obtener las relaciones entre las velocidades del movimiento de las articulaciones y las del extremo del robot.
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Cinemática (II)
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Resolución del problema cinemático directo (I)
• Mediante un método geométrico
– Obtenemos la posición y orientación del extremo del robot apoyándonos en las relaciones geométricas
• No es un método sistemático • Es usado cuando tenemos pocos grados de libertad
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Resolución del problema cinemático directo (II)
• Mediante matrices de transformación homogénea
– A cada eslabón se le asocia un sistema de referencia solidario – Es posible representar las traslaciones y rotaciones relativas entre los distintos eslabones – La matriz i-1Ai representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot – Representación total o parcial de la cadena cinemática del robot:
• 0A3 = 0A11A2 2A3 • T = 0A6 = 0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6
– Existen métodos sistemáticos para situar los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón y obtener la cadena cinemática del robot. Método de Denavit-Hartenberg (D-H)
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Método de D-H
• • Permite el paso de un eslabón al siguiente mediante 4 transformaciones básicas, que dependen exclusivamente de las características constructivas del robot. Las transformaciones básicas que relacionan el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1 son:
1. 2. 3. 4. Rotación θi alrededor del eje zi-1 Traslación di a lo largo del eje zi-1 Traslación ai a lo largo del eje xi Rotación αi alrededor del eje xi
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg (I)
1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot. 2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n. 3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. 4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1. 5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0. 6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg (II)
7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi. 8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi. 9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn. 10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos. 11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados. 12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}. 13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg (III)
14) Obtener las matrices de transformación i-1Ai. 15) Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot: T = 0A1 1A2 ... n-1An 14) La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referidas a la base en función de las n coordenadas articulares. • Los cuatro parámetros de D-H (θi, di, ai, αi) dependen únicamente de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y el siguiente.
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Ejemplo 1. D-H (I)
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Ejemplo 1. D-H (II)
Cθ i Sθ −1 Ai = i 0 0 - Cα i Sθ i Cα i Cθ i Sα i 0 Sα i Sθ i - Sα i Cθ i Cα i 0 a i Cθ i a i Sθ i di 1 C1 S 0 A1 = 1 0 0 1 0 2 A3 = 0 0 - S1 0 0 C1 0 0 0 1 l1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d3 0 0 1 0 1 1 A2 = 0 0 C 4 S 3 A4 = 4 0 0 0 0 0 0 1 0 d2 0 0 1 - S4 0 0 C4 0 0 0 1 l4 0 0 1 0 1
- S1C 4 C C T = 0 A1 1 A 2 2 A 3 3 A 4 = 1 4 S4 0
S1S4 - C1S 4 C4 0
C1 C1 (d 3 + l 4 ) S1 S1 (d 3 + l 4 ) d 2 + l1 0 0 1
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Ejemplo 2. D-H (I)
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Ejemplo 2. D-H (II)
C1 S 0 A1 = 1 0 0 S3 - C A3 = 3 0 0 C 5 S 4 A5 = 5 0 0 - S1 0 C1 0 - 1 0 0 0 0 1 0 - C 3 − l 2 S3 0 - S3 l 2 C 3 1 0 0 0 0 1 0 S5 0 0 - C 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 C 2 S 1 A2 = 2 0 0 C 4 S 3 A4 = 4 0 0 C 6 S 5 A6 = 6 0 0 0 S2 0 - C2 1 0 0 0 0 - S4 0 0 l1 1 0 0 l3 1 0 0 l4 1
T = 0 A1 1 A 2 2 A 3 3 A 4 = - S1C 4 C C 1 4 S4 0 S1S 4 - C1S 4 C4 0 C1 C1 (d 3 + l 4 ) S1 S1 (d 3 + l 4 ) d 2 + l1 0 0 1
0 C4 -1 0 0 0 - S6 0 C6 0 0 1 0 0
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