PPP-Studientag-Math

Document Sample
PPP-Studientag-Math Powered By Docstoc
					                     Informationen, Anregungen und
                         Beispiele für die Arbeit
                           in der Fachschaft
B.Mathea / F.Weber                April 2006         1
    Diese Präsentation ist in folgende Abschnitte gegliedert:
          Vorbemerkungen zu SINUS und SINUS-Transfer              Folie 3

          Woher kommen die Forderungen nach einer Weiterent-
           wicklung der Aufgabenkultur im Mathematikunterricht?    Folie 5

          Was heißt Weiterentwicklung der Aufgabenkultur im
           Mathematikunterricht?                                   Folie 17

          Was sind „offene Aufgaben“?                             Folie 22

          Wie soll man mit offenen Aufgaben im Unterricht
                                                                   Folie 26
           umgehen?
          Anregungen zu Workshops - am Studientag und für die
                                                                   Folie 35
           Weiterarbeit in der Fachschaft
          Beispiele für offene Aufgaben aus dem Modellversuch
                                                                   Folie 52
           SINUS in Rheinland-Pfalz
          Der Bezug zwischen offenen Aufgaben und den
                                                                   Folie 80
           Bildungsstandards
B.Mathea / F.Weber                       April 2006                            2
                     Das BLK-Programm SINUS
                         in Rheinland-Pfalz

   Diese Präsentation basiert auf Ergebnissen und Erfahrungen,
   die in Rheinland-Pfalz im BLK-Modellversuchsprogramm "Stei-
   gerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
   Unterrichts" (SINUS bzw. SINUS-Transfer) gewonnen wurden.

   Weitergehende Informationen zu SINUS und SINUS-Transfer in Rheinland-
   Pfalz erhält man in folgenden Broschüren:
    • Steigerung der Effizienz des math.-nat. Unterrichts - Die Umsetzung des
       BLK-Programms in Rheinland-Pfalz
    • Sinus-Transfer - Die Umsetzung des BLK-Programms in Rheinland-Pfalz
    • Sinus-Transfer - Offene Aufgaben für die Hauptschule
   und im Internet: www.sinus.bildung-rp.de

B.Mathea / F.Weber                  April 2006                              3
                     Das BLK-Programm SINUS
                         in Rheinland-Pfalz


           Ab 2007 wird SINUS-Transfer in Rheinland-Pfalz auf
           weitere Schulen aller Schularten mit Sekundarstufe I
          ausgeweitet. Die dann teilnehmenden Schulen erhalten
          Anregungen und Unterstützung zu den beiden Schwer-
             punkten von SINUS-Transfer in Rheinland-Pfalz:
                           Offene Aufgaben
                                  und
                      Sichern von Grundwissen

B.Mathea / F.Weber                April 2006                      4
                       Woher kommen die
                     Forderungen nach einer
                     Weiterentwicklung der
                        Aufgabenkultur
               im Mathematikunterricht ?

B.Mathea / F.Weber            April 2006      5
Aus unterschiedlichen Bereichen liegen Ergebnisse,
Erfahrungen, Beobachtungen zum Mathematikunterricht vor:


aus Internationalen     Wieviel und welche Mathematik können
Studien (z.B. TIMSS,    unsere Schülerinnen und Schüler, wo haben
                        sie Schwierigkeiten?
PISA)




B.Mathea / F.Weber           April 2006                             6
Aus unterschiedlichen Bereichen liegen Ergebnisse,
Erfahrungen, Beobachtungen zum Mathematikunterricht vor:


aus Internationalen     Wieviel und welche Mathematik können
Studien (z.B. TIMSS,    unsere Schülerinnen und Schüler, wo haben
                        sie Schwierigkeiten?
PISA)

aus der Fachdidaktik    Welche didaktischen Modelle bewähren sich
                        gut für das Lernen von Mathematik?




B.Mathea / F.Weber           April 2006                             7
Aus unterschiedlichen Bereichen liegen Ergebnisse,
Erfahrungen, Beobachtungen zum Mathematikunterricht vor:


aus Internationalen     Wieviel und welche Mathematik können
Studien (z.B. TIMSS,    unsere Schülerinnen und Schüler, wo haben
                        sie Schwierigkeiten?
PISA)

aus der Fachdidaktik    Welche didaktischen Modelle bewähren sich
                        gut für das Lernen von Mathematik?

aus der Wirtschaft      Was können Auszubildende in Mathematik?
                        Wieviel und welche Mathematik wird im
                        Berufsleben benötigt?




B.Mathea / F.Weber           April 2006                             8
Aus unterschiedlichen Bereichen liegen Ergebnisse,
Erfahrungen, Beobachtungen zum Mathematikunterricht vor:


aus Internationalen     Wieviel und welche Mathematik können
Studien (z.B. TIMSS,    unsere Schülerinnen und Schüler, wo haben
                        sie Schwierigkeiten?
PISA)

aus der Fachdidaktik    Welche didaktischen Modelle bewähren sich
                        gut für das Lernen von Mathematik?

aus der Wirtschaft      Was können Auszubildende in Mathematik?
                        Wieviel und welche Mathematik wird im
                        Berufsleben benötigt?

von Lehrkräften         Einmal Gelerntes wird zu schnell wieder ver-
                        gessen. Schüler/innen können Gelerntes zu
                        wenig anwenden und nur schwer auf neue
                        Situationen übertragen. Wie kann man den
B.Mathea / F.Weber
                        Lernprozess effektiver gestalten?
                             April 2006                                9
Aus unterschiedlichen Bereichen liegen Ergebnisse,
Erfahrungen, Beobachtungen zum Mathematikunterricht vor:


aus Internationalen
Studien (z.B. TIMSS,                     Daraus werden
PISA)
                                          bestimmte
aus der Fachdidaktik
                                    Forderungen an den

aus der Wirtschaft                Mathematikunterricht
                                           abgeleitet.

von Lehrkräften



B.Mathea / F.Weber          April 2006                     10
Ergebnisse, Erfahrungen,   Forderungen an den
Beobachtungen zum
Mathematikunterricht:
                           Mathematikunterricht:

                              stärkere Kumulativität
aus Internationalen            (d.h. für den Unterricht: Grundwissen u.
Studien (z.B. TIMSS,           -fertigkeiten müssen dauerhaft
PISA)                          gesichert, neue Inhalte mit früheren
                               verzahnt werden; Schüler/innen sollten
                               angeleitet werden, Defizite im
aus der Fachdidaktik           Grundwissen selbst-ständig
                               aufzuarbeiten)
aus der Wirtschaft


von Lehrkräften



B.Mathea / F.Weber         April 2006                                 11
Ergebnisse, Erfahrungen,   Forderungen an den
Beobachtungen zum
Mathematikunterricht:
                           Mathematikunterricht:

                              stärkere Kumulativität
aus Internationalen
Studien (z.B. TIMSS,          flexible Verfügbarkeit des erwor-
PISA)                          benen Wissens, stärkere Anwen-
                               dungsorientierung
                               (d.h. für den Unterricht: Anwendung des
aus der Fachdidaktik           Gelernten in unterschiedlichen Kontex-
                               ten; Problemstellungen aus der Lebens-
                               welt der Schüler/innen auswählen)
aus der Wirtschaft


von Lehrkräften



B.Mathea / F.Weber         April 2006                               12
Ergebnisse, Erfahrungen,   Forderungen an den
Beobachtungen zum
Mathematikunterricht:
                           Mathematikunterricht:

                              stärkere Kumulativität
aus Internationalen
Studien (z.B. TIMSS,          flexible Verfügbarkeit des erwor-
PISA)                          benen Wissens, stärkere Anwen-
                               dungsorientierung
aus der Fachdidaktik          größere Selbstständigkeit und
                               Eigenverantwortlichkeit der
aus der Wirtschaft             Schüler/innen
                               (d.h. für den Unterricht: Arbeitsaufträge,
                               die z.B. selbstständige Informations-
                               beschaffung, Strukturierung der Arbeit,
                               Auswahl und Begründung des Vorge-
von Lehrkräften                hens, kritisches Reflektieren der Ergeb-
                               nisse erfordern; veränderte Unterrichts-
                               skripte)

B.Mathea / F.Weber         April 2006                                   13
Ergebnisse, Erfahrungen,   Forderungen an den
Beobachtungen zum
Mathematikunterricht:
                           Mathematikunterricht:

                              stärkere Kumulativität
aus Internationalen
Studien (z.B. TIMSS,          flexible Verfügbarkeit des erwor-
PISA)                          benen Wissens, stärkere Anwen-
                               dungsorientierung
aus der Fachdidaktik          größere Selbstständigkeit und
                               Eigenverantwortlichkeit der
aus der Wirtschaft             Schüler/innen
                              Verfügbarkeit fachlicher und
                               allgemeiner Arbeitsmethoden
                                (d.h. für den Unterricht: Schüler/innen
von Lehrkräften                 sollen Überlegungen, Lösungswege u.
                                Ergebnisse dokumentieren u. präsen-
                                tieren, fachbezogen diskutieren u. argu-
                                mentieren, Problemstellungen im Team
B.Mathea / F.Weber         Aprilbearbeiten)
                                 2006                                   14
          Diese Forderungen an den Mathematikunter-
          richt sind in den
                   Bildungsstandards Mathematik
          aufgegriffen worden und sind Bestandteil der
          Bildungsstandards.

                          Sie sind dort als
              Allgemeine mathematische Kompetenzen
                           ausgewiesen.


B.Mathea / F.Weber             April 2006                15
       Bildungsstandards Mathematik
       Allgemeine mathematische Kompetenzen:

       (K 1) Mathematisch argumentieren
       (K 2) Probleme mathematisch lösen
       (K 3) Mathematisch modellieren
       (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden
       (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen
             Elementen der Mathematik umgehen
       (K 6) Kommunizieren

       (Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind
       die gleichen in den Bildungsstandards für den Mittleren
       Schulabschluss und für den Hauptschulabschluss.)
B.Mathea / F.Weber                April 2006                     16
                          Umsetzung der Forderungen im
                             Mathematikunterricht

    Konkrete, auf den Unterricht bezogene Wege zur Umsetzung
    der genannten Forderungen werden in den BLK-Programmen
    SINUS und SINUS-Transfer entwickelt und erprobt.

    In Rheinland-Pfalz wurde dabei als durchgehend tragendes
    Element die Weiterentwicklung der Aufgabenkultur im
    Mathematikunterricht gewählt.


                                   Was heißt
                     „Weiterentwicklung der Aufgabenkultur“
                            im Mathematikunterricht?
B.Mathea / F.Weber                   April 2006                17
                         Ziele der Weiterentwicklung der
                                Aufgabenkultur im
                              Mathematikunterricht


   • Veränderung des folgenden, weit verbreiteten Unterrichts-
     skripts:
            In aufeinanderfolgenden Unterrichtssequenzen, die sich an Lehr-
             buchthemen orientieren, wird fragend-entwickelnd eine mathema-
             tische Aussage, ein Algorithmus, eine Regel oder Formel erarbeitet.
            In den anschließenden Übungen werden entsprechende Aufgaben-
             typen systematisch trainiert, bis deren Lösungsschritte zur Routine
             werden. Es schleifen sich dabei bestimmte Lösungsmuster ein.
            In Klassenarbeiten und Tests werden diese dann abgefragt.



B.Mathea / F.Weber                       April 2006                                18
                     Ziele der Weiterentwicklung der
                            Aufgabenkultur im
                          Mathematikunterricht

   • Veränderung heißt nicht, dass dieses Unterrichtskript radikal
     umgekrempelt und über Bord geworfen werden soll.
   • Es soll dadurch verändert werden, dass den Schülerinnen
     und Schülern zunächst gelegentlich und dann immer häufiger
     Aufgaben und Problemstellungen zur (möglichst selbststän-
     digen) Bearbeitung vorgelegt werden, die Merkmale einer
     sog. offenen Aufgabe tragen.

   Die folgende Grafik verdeutlicht noch einmal, wie in Rheinland-Pfalz die
   allgemeinen Forderungen an den Mathematikunterricht schrittweise kon-
   kretisiert wurden.


B.Mathea / F.Weber                   April 2006                               19
                     Das BLK-Programm SINUS
                         in Rheinland-Pfalz

         Forderungen an den Mathematikunterricht
          Bildungsstandards: Allgemeine math. Kompetenzen



                       Weiterentwicklung
                       der Aufgabenkultur



                        Offene Aufgaben
B.Mathea / F.Weber             April 2006                   20
                     Das BLK-Programm SINUS
                         in Rheinland-Pfalz


   Einer der Schwerpunkte von SINUS in Rheinland-Pfalz ist also
   das Öffnen von Aufgaben, weil über offene Aufgaben ein guter
   Zugang zur Realisierung allgemeiner mathematischer Kompe-
   tenzen eröffnet wird.


   Was wir unter einer "offenen Aufgabe" verstehen, ist im Folgen-
   den erläutert.



B.Mathea / F.Weber             April 2006                        21
                  Was sind
             "offene Aufgaben"?
   Auf den nächsten Folien werden charakteristische Merkmale
   für offene Aufgaben genannt.
   Anschließend werden Sie zu Beispielen für offene Aufgaben
   geführt.



B.Mathea / F.Weber            April 2006                       22
                     Merkmale offener Aufgaben

     • Die Aufgabenstellung enthält keine kleinschrittigen Fragen.
       Ausgangspunkt ist die Beschreibung einer Problemsituation.

     • Die Aufgabe dient nicht dem kurzatmigen Einüben eines
       gerade behandelten Stoffs.

     • Die Aufgabe lässt sich nicht nach einem bestimmten
       trainierten Schema lösen. Sie kann auf verschiedenen
       Wegen gelöst werden.

     • Die Aufgabe fordert die Schüler/innen heraus, einen
       Lösungsweg selbst zu überlegen.

B.Mathea / F.Weber              April 2006                       23
                     Merkmale offener Aufgaben

     • Es gibt nicht nur eine richtige Lösung; die Aufgabenstel-
       lung lässt unterschiedliche Lösungen zu.

     • Es ergibt sich die Notwendigkeit von Begründungen.

     • Es ergibt sich die Notwendigkeit, die Bearbeitung der Auf-
       gabe und die Lösung zu dokumentieren und für Andere
       verständlich zu präsentieren.
     Bei weitem nicht alle der hier aufgeführten Kriterien müssen
     bei einer Aufgabe erfüllt sein, damit sie als "offene Aufgabe"
     anerkannt werden kann.
                                                     Beispiele ab Folie 52

B.Mathea / F.Weber                April 2006                                 24
                     Offene Aufgaben für die Hauptschule

                     Zusätzliche Forderungen an offene Aufgaben
                                  für die Hauptschule
     • Der Textanteil in den Aufgabenstellungen muss drastisch
       eingeschränkt werden.

     • Der Sachverhalt bzw. das Problem darf nicht zu komplex,
       vielschichtig, verschachtelt sein. Die Offenheit einer Auf-
       gabe für die Hauptschule ist dadurch notwendigerweise
       begrenzt.

     • Die Aufgaben müssen so beschaffen sein, dass auch
       fachfremd unterrichtende Lehrer/innen gut damit zurecht
       kommen.
                                                        Beispiele ab Folie 55

B.Mathea / F.Weber                      April 2006                              25
           Wie soll man mit
    offenen Aufgaben im Unterricht
              umgehen?



B.Mathea / F.Weber   April 2006      26
                     Offene Aufgaben im Unterricht
   • Die Aufgaben sollen nicht zum Einüben eines gerade be-
     handelten Stoffs dienen, sondern die Schülerinnen und
     Schüler herausfordern, sich mit einer offenen Fragestellung
     zu beschäftigen.

   • Die offenen Aufgaben sollen regelmäßig in den laufenden
     Unterricht eingestreut bzw. integriert werden.

   • Damit offene Aufgaben häufiger in den Unterricht einbezogen
     werden können, sollen die Aufgabenstellungen und Arbeits-
     aufträge von den Lehrkräften in der Regel so zusammenge-
     stellt werden, dass sie von den Schülerinnen und Schülern in
     einer begrenzten Zeit bearbeitet werden können.
     (Projektaufgaben sind oft zu zeitaufwändig.)

B.Mathea / F.Weber               April 2006                        27
                     Offene Aufgaben im Unterricht
                     Vorbereitung durch die Lehrkräfte
     • Aufgabenvorschläge (z.B. aus der nachfolgenden Beispiel-
       sammlung) im Team bearbeiten und für den Unterricht auf-
       bereiten
           Offene Aufgaben sind häufig keine "fix und fertigen" Aufgaben, die 1:1 in
           den Unterricht übernommen werden können. Vielfach müssen die
           Vorlagen für den Unterricht aufbereitet werden, indem z.B.
             aus dem Angebot geeignete Teilprobleme, Fragen bzw. Arbeits-
              aufträge ausgewählt werden.
             zusätzliche Fragestellungen oder Veranschaulichungen ergänzt
              werden (Anpassen des Anspruchsniveaus; Differenzierungs- und
              Hilfsangebote, ...).



B.Mathea / F.Weber                       April 2006                               28
                     Offene Aufgaben im Unterricht
                     Vorbereitung durch die Lehrkräfte


     • Erwartungen bezüglich des Unterrichts formulieren für
       einen späteren Vergleich von Planung und Verlauf

     • Die offenen Aufgaben im Unterricht erproben

     • Im Anschluss an den Unterricht:
       Erfahrungen austauschen und Ergebnisse der Erprobung
       zusammenstellen




B.Mathea / F.Weber                 April 2006                  29
                     Offene Aufgaben im Unterricht

                      Angestrebtes Schülerverhalten

   • Sich mit der Problemstellung
     selbstständig auseinander
     setzen, in Gruppen-, Partner-
     oder Einzelarbeit
   • Das Problem angehen, nach
     Lösungsmöglichkeiten suchen,
     vermutete Lösungswege be-
                                               Schülerinnen beschäftigen sich
     schreiten und dies alles, ohne            mit der Aufgabe "Eine Uhr aus
     kurzatmig Hilfe von der Lehr-             Wachs"          Aufgabe Folie 63
     kraft zu erbitten

B.Mathea / F.Weber                April 2006                                      30
                     Offene Aufgaben im Unterricht

                      Angestrebtes Schülerverhalten

      • Notwendige Entscheidun-
        gen, die das Sachproblem
        oder den Lösungsweg be-
        treffen, darstellen und be-
        gründen

      • Den eigenen Lösungsweg
        beschreiben




B.Mathea / F.Weber                April 2006          31
                     Offene Aufgaben im Unterricht

                       Erfahrungen mit offenen Aufgaben



   • Die Schülerinnen und Schüler
     gehen zuerst zögernd, im Laufe
     der Zeit aber immer mutiger und
     selbstverständlicher an offene
     Fragestellungen heran.
        Die Motivation ist hoch.




B.Mathea / F.Weber                 April 2006             32
                     Offene Aufgaben im Unterricht

                       Erfahrungen mit offenen Aufgaben


   • Sie lernen schnell zu regeln, wie
     sie ein gestelltes Problem an-
     gehen und welche Wege für sie
     geeignet sind (z.B. experimen-
     telles Vorgehen, Lösen durch
     Rechnen oder Nachdenken).
        Jede Gruppe bzw. jeder Einzelne
                                                Die Drei suchen günstige Stand-
        bestimmt individuell das Bearbei-       orte für "Rettungshubschrauber
        tungstempo.                             in Rheinland-Pfalz"
                                                          Aufgabe Folien 64-66



B.Mathea / F.Weber                 April 2006                                     33
                     Offene Aufgaben im Unterricht

                       Erfahrungen mit offenen Aufgaben

     • Die Lehrkräfte müssen bereit sein, das herkömmliche
       Unterrichtsskript zu verändern:
       - keine kleinschrittige, enge Führung
       - kein zielstrebiges Zusteuern auf fachliche Ergebnisse
       - Begleiten der Einzelnen auf ihrem eigenen Lösungsweg.
     • Damit sich ein dauerhafter Zugewinn der angestrebten
       allgemeinen Kompetenzen (siehe Bildungsstandards)
       einstellt, sollten offene Aufgaben nicht zu selten im
       Unterricht eingesetzt werden.



B.Mathea / F.Weber                 April 2006                    34
           Anregungen für Workshops
            am Studientag und für die
      Weiterarbeit in der Fachschaft



B.Mathea / F.Weber     April 2006       35
                     Anregungen für Workshops


   Für die Gestaltung des Workshops werden im
   Folgenden drei alternative Vorschläge ange-
   boten:
                    A), B) und C)

   Die Lehrkräfte sollen zunächst einen der drei
   Vorschläge für ihre Arbeit im Workshop aus-
   wählen.


B.Mathea / F.Weber             April 2006          36
                      Anregungen für Workshops
   A) Öffnen von herkömmlichen Aufgaben in den Lehrbüchern
         Die Lehrkräfte sollen eine oder mehrere Aufgaben aus einem Lehrbuch
         auswählen und durch entsprechende Veränderungen diese Aufgaben zu
         offenen Aufgaben machen. Welche Veränderungen sich anbieten, wird an
         Ort und Stelle gesagt.                                       Folie 38

   B) Aufbereiten von Aufgabenvorschlägen aus der nachfolgen-
      den Beispielsammlung für den Unterricht
         Es werden Problemstellungen, die Grundlage für eine offene Aufgabe
         sind oder sein können, vorgestellt. Die Lehrkräfte sollen sich überlegen,
         wie sie diese Anregungen für ihren Unterricht aufbereiten können.
                                                                         Folie 47
   C) Entwickeln von offenen Unterrichtseinheiten
         Es werden Situationen beschrieben, aus denen man eine Unterrichts-
         einheit mit offenen Problem- und Aufgabenstellungen (zum Beispiel zur
         Einführung in ein neues Thema) entwickeln kann.              Folie 49

B.Mathea / F.Weber                      April 2006                                   37
                     Anregungen für Workshops




                         Vorschlag A)
    Öffnen von herkömmlichen Aufgaben




B.Mathea / F.Weber             April 2006       38
                     A) Lehrbuchaufgaben            offene Aufgaben

      Mögliche Arbeitsschritte im Workshop:
      • Auf der nächsten Folie sind fünf alternative Möglichkeiten A1 ... A5 auf-
        geführt, wie man schrittweise eine herkömmliche Übungsaufgabe öffnen
        kann. Sie werden in den darauf folgenden Folien durch Beispiele erläu-
        tert.
        Entscheiden Sie sich für eine der fünf Möglichkeiten.

      • Wählen Sie aus dem Übungsmaterial Ihres Lehrbuchs eine Aufgabe
        aus, und formulieren Sie sie so um, dass sie Merkmale einer offenen
        Aufgabe hat.

      • Legen Sie eine Unterrichtsform für die Bearbeitung der Aufgaben fest,
        und reflektieren Sie mögliches Schülerverhalten. Dazu gehören auch
        Hilfen, die ggf. den Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt
        werden.

      • Machen Sie sich darüber Gedanken, welche Ergebnisse Sie bei der
        Bearbeitung durch die Schülerinnen und Schüler erwarten.
B.Mathea / F.Weber                     April 2006                                   39
                     A) Lehrbuchaufgaben           offene Aufgaben

   Alternative Vorschläge, wie man schrittweise eine herkömm-
   liche Übungsaufgabe öffnen kann.

    A1. Kleinschrittige Fragen in einer Lehrbuchaufgabe durch
        allgemeinere Aufträge ersetzen            Beispiel Folien 41/42

    A2. Lehrbuchaufgaben durch zusätzliche (redundante)
        Angaben erweitern                        Beispiel Folie 43


    A3. Lehrbuchaufgaben durch zusätzliche Fragen erweitern
                                                             Beispiel Folie 44

    A4. Fragestellung in einer Lehrbuchaufgabe von den Schüle-
        rinnen und Schülern variieren lassen      Beispiel Folie 45


    A5. Lehrbuchaufgaben in einen Sachzusammenhang ein-
        betten                                Beispiel Folie 46

B.Mathea / F.Weber                    April 2006                                 40
                     A) Lehrbuchaufgaben            offene Aufgaben

   A1. Kleinschrittige Fragen in einer Lehrbuchaufgabe durch
       allgemeinere Aufträge ersetzen
   Lehrbuchaufgabe:
   Die nebenstehende Grafik zeigt die von einem
   Temperaturschreiber aufgezeichnete Zuord-
   nung ZeitTemperatur.
   Beispiel: Der gestrichelte Pfeil zeigt an, dass
   um 14 Uhr die Temperatur 16o C betrug.
   a) Lies die Temperaturen zu den angegebenen
   Zeiten ab; vervollständige die angefangene
   Tabelle: Do 4 Uhr, Do 6 Uhr, Do 9 Uhr,
   Do 13 Uhr, Do 17 Uhr, Do 22 Uhr, Fr 4 Uhr,
   Fr 7 Uhr, Uhr 9 Uhr.                                    Uhrzeit   Temperatur
   b) Welches war die höchste Temperatur,                 Do 0 Uhr      13o
   welches die niedrigste? Wann war das?                  Do 2 Uhr      11o

   c) Gib alle Zeitpunkte an, zu denen die Tempe-
   ratur 9o C betrug.
   F. Weber
B.Mathea / F.Weber                     April 2006                                 41   41
                     A) Lehrbuchaufgaben             offene Aufgaben

   A1. Kleinschrittige Fragen in einer Lehrbuchaufgabe durch
       allgemeinere Aufträge ersetzen

   Offene Aufgabe:
   Die nebenstehende Grafik wurde von einem
   Temperaturschreiber aufgezeichnet.
   Du sollst einen Bericht über den Tempera-
   turverlauf schreiben.
   Was fällt dir alles auf? - Trage möglichst viele
   Informationen zusammen.




B.Mathea / F.Weber                      April 2006                     42
                     A) Lehrbuchaufgaben            offene Aufgaben


   A2. Lehrbuchaufgaben durch zusätzliche (redundante)
       Angaben erweitern

   Lehrbuchaufgabe:
   Konstruiere ein Dreieck aus a = 6 cm, c = 9 cm, s c = 4 cm, und gib eine
   Konstruktionsbeschreibung an.

   Offene Aufgabe:
   Wähle aus den vorgegebenen Größen jeweils drei aus und überlege anhand
   einer Skizze, ob aus den ausgewählten Größen ein Dreieck (eindeutig)
   konstruierbar ist. Begründe deine Antworten!
   a = 6 cm, c = 9 cm,  = 40o,  = 50o, w = 5 cm, sc = 4 cm, ha = 4,5 cm.




B.Mathea / F.Weber                     April 2006                             43
                     A) Lehrbuchaufgaben                offene Aufgaben


   A3. Lehrbuchaufgaben durch zusätzliche Fragen erweitern

   Lehrbuchaufgabe:
                                    1 , 2 , 3 und 5
   a) Addiere die Bruchzahlen       2 3 5         8
   b) Multipliziere die                 1      3
                          Bruchzahlen 2 , 2 , 5 und 5
                                            3       8


   Erweiterung:
   c) Baue mit den vier Bruchzahlen eine Rechenaufgabe, deren Ergebnis mög-
      lichst nahe bei 1 liegt. Du darfst die Rechenzeichen + -  : benutzen,
      jedes auch mehr als einmal.




B.Mathea / F.Weber                         April 2006                          44
                     A) Lehrbuchaufgaben            offene Aufgaben

   A4. Fragestellung in einer Lehrbuchaufgabe von den
       Schülerinnen und Schülern variieren lassen

   Lehrbuchaufgabe:

   Wie hoch ist die Höhe des
   Schattens an der Wand?                              180 cm
                                  130 cm

                                              150 cm            350 cm

   Mögliche Variationen:
   (1) Auf welcher Höhe müsste die Lampe installiert werden, damit der Schatten
       30 cm länger wird?
   (2) Wie hoch wird der Schatten, wenn die Lampe am Boden befestigt wird?
   (3) Wie lang wird der Schatten, wenn die Person bis auf 1 Meter an die Wand
       heranrückt?

B.Mathea / F.Weber                     April 2006                                 45
                     A) Lehrbuchaufgaben                offene Aufgaben


   A5. Lehrbuchaufgaben in einen Sachzusammenhang
       einbetten

   Lehrbuchaufgabe:
   Die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck sind 3 cm und 5 cm lang.
   Berechne die Länge der Hypotenuse!

   Offene Aufgabe:
   Von A nach B führt ein schmaler, meist stark befah-
   rener Weg.
   Lohnt sich die Abkürzung, wenn man auf dem
   schmalen Weg durchschnittlich mit 30 km/h und auf
   den Hauptstraßen durchschnittlich mit 50 km/h
   fahren kann?

   Weitere Varianten siehe: F. Weber (Hsg): Steigerung der Effizienz des math.-nat. Unter-
   richts", Mainz 1999; Seite 70
B.Mathea / F.Weber                         April 2006                                        46
                     Anregungen für Workshops




                         Vorschlag B)
  Aufbereiten von Aufgabenvorschlägen
         aus der nachfolgenden
   Beispielsammlung für den Unterricht



B.Mathea / F.Weber             April 2006       47
                     B) Aufbereiten von Aufgabenvorschlägen

      Mögliche Arbeitsschritte im Workshop:
      • Entscheiden Sie, in welcher Ihrer Klassen Sie eine offene Aufgabe
        erproben wollen, und wählen Sie eine geeignete Aufgabe aus der
        Beispielsammlung dieser Präsentation aus.             Beispiele ab Folie 52

      • Passen Sie die Aufgabe der Leistungsfähigkeit Ihrer Schülerinnen und
        Schüler an, d.h. vereinfachen oder erweitern Sie ggf. die Problemstel-
        lung.
      • Überlegen Sie, welche Wege die Schülerinnen und Schüler bei der
        Bearbeitung des Problems gehen könnten und auf welche Schwierig-
        keiten sie möglicherweise stoßen.
      • Formulieren Sie Impulse und Hilfestellungen für die Bearbeitung des
        Problems.
      • Machen Sie sich Gedanken über mögliche Lösungswege und Ergeb-
        nisse, die Sie bei der Bearbeitung erwarten.

B.Mathea / F.Weber                      April 2006                                    48
                     Anregungen für Workshops




                         Vorschlag C)
      Entwickeln von Unterrichtseinheiten




B.Mathea / F.Weber             April 2006       49
                     C) Entwickeln von Unterrichtseinheiten

      Die folgenden Vorschläge sollen exemplarisch anregen, für die Erarbeitung bzw.
      Einübung eines Themas alternative Wege zu reflektieren.


      Vorschlag 1:
      Es stehen ein Theodolit und Geräte zum Messen von Entfernungen (Messstäbe,
      Messbänder, ...) zur Verfügung. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Höhe
      eines Gebäudes, eines Baumes oder die Entfernung eines markanten Punktes
      bestimmen.
      Fachliches Ziel: Einführung oder Anwendung einer trigonometrischen Funktion.

      Vorschlag 2:
      Die Schülerinnen und Schüler sollen die Maße von Konservendosen bestimmen
      und überlegen, was ihnen an den Ergebnissen auffällt. Sie sollen Vermutungen
      als Fragen formulieren und Antworten durch Berechnungen finden (z.B. Be-
      ziehung zwischen Volumen und Oberfläche; geeignete Verpackung in quader-
      förmigen Kartons, ...)
      Fachliches Ziel: Einführung oder Anwendung der Berechnungen am Zylinder.


B.Mathea / F.Weber                       April 2006                                    50
                     C) Entwickeln von Unterrichtseinheiten



      Vorschlag 3:
      Zur Festigung und Übung eines erarbeiteten Themas soll den Schülerinnen und
      Schülern ein Lernzirkel (Lernen an Stationen) bereitgestellt werden.
      Mögliche Themen: Prozentrechnung, quadratische Gleichungen, ...




B.Mathea / F.Weber                      April 2006                                  51
B.Mathea / F.Weber   April 2006   52
                     Beispiele für offene Aufgaben

   Die Aufgabensammlung ist folgendermaßen gegliedert:

   1. Einfache Aufgaben, die auch bei leistungschwächeren
      Schülerinnen und Schülern (vor allem in der Hauptschule)
      erfolgreich eingesetzt wurden               Beispiele Folien 54-59

         Sie lassen sich so bearbeiten, dass sie auch für ein höheres Anspruchs-
         niveau geeignet sind.

   2. Aufgabenstellungen, die - was Anforderungsniveau und/oder
      erforderliche Bearbeitungszeit betrifft - der jeweiligen Lern-
      gruppe angepasst werden können                  Beispiele Folien 60-74


   3. Aufwändigere Problemstellungen, bei denen Schätzwerte
      von Größen ermittelt werden müssen       Beispiele Folien 75-78


B.Mathea / F.Weber                     April 2006                                  53
                     Beispiele für offene Aufgaben

                               Teil 1
   Einfache Aufgaben,
   • die auch bei leistungschwächeren Schülerin-
     nen und Schülern erfolgreich eingesetzt wur-
     den
   • die sich so bearbeiten lassen, dass sie auch
     für ein höheres Anspruchsniveau geeignet
     sind

B.Mathea / F.Weber               April 2006          54
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 1

        Übersicht:

            Im Supermarkt
            Fahrt ins Stadion
            Getränkepreise 1 (einfachere Version)
            Getränkepreise 2 (anspruchsvollere Version)


         Lösungswege, mögliche Lösungen und methodische Hinweise zu diesen
         Aufgaben sind an folgenden Stellen zu finden:
         • Broschüre: "Sinus-Transfer - Offene Aufgaben für die Hauptschule", Mainz
           2006
         • www.sinus.bildung-rp.de



B.Mathea / F.Weber                        April 2006                                  55
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 1
                                             Im Supermarkt
                         ... und jetzt die
                               Sahne!
                                                                       Haben Sie
                                                                       auch Achtel-Liter-
                                                                       Packungen?




                                                              2
                     1                                                ???
                         Wir haben nur
                         diese Becher!




                           3                                      4
B.Mathea / F.Weber                               April 2006                                 56
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 1
                                Fahrt ins Stadion

     Auf geht's,
        zum
    Fußballspiel
    nach Mainz




                                                      Wir sind ja
                                                     viel zu früh.




                          Irgendetwas stimmt da nicht !!!
B.Mathea / F.Weber                     April 2006                    57
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 1
                        Getränkepreise (einfachere Version)

       Was kosten die Getränke
       auf den Tischen?
                                                          €
                                            9€

             10 €
                                                      €
                                                                  €




                                                              €
          8€
                                     €
B.Mathea / F.Weber                       April 2006                   58
                         Beispiele für offene Aufgaben - Teil 1
                         Getränkepreise (anspruchsvollere Version)

       Was kosten die Getränke
       auf den Tischen?
                                                              €
                                                9€

                     €
                                                          €
                                                                       €




                                                                  7€
          8€
                                         €
B.Mathea / F.Weber                           April 2006                    59
                     Beispiele für offene Aufgaben


                               Teil 2

   Aufgabenstellungen, die - was Anforderungs-
   niveau und/oder erforderliche Bearbeitungszeit
   betrifft - der jeweiligen Lerngruppe angepasst
   werden können



B.Mathea / F.Weber               April 2006          60
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2


            Übersicht:

                Eine Uhr aus Wachs
                Rettungshubschrauber in Rheinland-Pfalz
                Waterli enttäuscht dich nie
                Chefredakteur im Dauerstress

               Lösungswege, mögliche Lösungen und methodische Hinweise zu diesen
               Aufgaben sind an folgenden Stellen zu finden:
               • Broschüre: "Sinus-Transfer - Die Umsetzung des BLK-Programms in
                 Rheinland-Pfalz", Mainz 2004
               • www.sinus.bildung-rp.de


B.Mathea / F.Weber                         April 2006                              61
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2




        Eine Uhr aus Wachs
        • Welches Diagramm passt
          zu welcher Kerze?

        • Wir bauen eine Kerzenuhr

B.Mathea / F.Weber                    April 2006              62
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2




                                                   Welches Diagramm passt
                                                   zu welcher Kerze?




B.Mathea / F.Weber                    April 2006                            63
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2
                                                        Kerzenuhr


                                                                         Erzeuge eine Kerzenuhr,
                                                                         indem du Stifte in eine
                                                                         Kerze steckst.
                                                                         Alle 15 Minuten soll ein Stift
                                                                         geräuschvoll herunterfallen.




                       2002 F. Balck, IPPT, TU-Clausthal
B.Mathea / F.Weber                                          April 2006                                    64
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2




                     Wo fliegen se denn?

            Rettungshubschrauber
              in Rheinland-Pfalz

B.Mathea / F.Weber                    April 2006              65
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2
   Wo fliegen se denn? - Rettungshubschrauber in Rheinland-Pfalz

                                            Ihr seid Mitglieder der Planungs-
                                            kommission der Rettungsleit-
                                            stelle in Rheinland-Pfalz und
                                            plant die Standorte der Ret-
                                            tungshubschrauber sowie ihre
                                            Einsatzgebiete.
                                            Das heißt, ihr sollt festlegen, an
                                            welchen Orten ein Hubschrau-
                                            ber stationiert werden soll und
                                            wie weit sein Einsatzgebiet
                                            reicht.


B.Mathea / F.Weber                    April 2006                                 66
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2
   Wo fliegen se denn? - Rettungshubschrauber in Rheinland-Pfalz
   Rahmenbedingungen:
   In 8 bis 12 Minuten soll ein Hubschrauber am Unfallort sein. Hiervon
   sind ca. 2 min für die Zeit zwischen Alarmierung und Startzeitpunkt
   des Hubschraubers einzurechnen.
   Alle Teile des Landes sollen abgedeckt werden. Die Kosten sind
   möglichst gering zu halten.
   Gängige Maschinen sind zwei Helikopter des Typs Eurocopter
   a) EC 135: Geschw.: 260 km/h
   b) BO 105: Geschw.: 230 km/h

   Die Lehrkräfte müssen entscheiden, ob sie diese Rahmenbedingungen vorgeben
   oder nicht. Vorteil im ersten Fall: Die Bearbeitungszeit hält sich in Grenzen. Vorteil im
   zweiten Fall: Die Schülerinnen und Schüler müssen selbstständig recherchieren.

B.Mathea / F.Weber                         April 2006                                      67
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2




                           Waterli
                     enttäuscht dich nie!


B.Mathea / F.Weber                    April 2006              68
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2
                            Waterli enttäuscht dich nie!

                                              Kaufpreis: 65 €
                                              CO2 – Patronen
                                              für 60 Liter: 7,90
                                              €


                                             Familie Sparsam aus Entenhausen
                                             denkt über die Anschaffung eines
                                             Wasseraufbereitungsgeräts nach,
                                             weil sie für ihren dreiköpfigen Haus-
                                             halt ständig für Getränke sorgen
                                             muss.

                                             Stimmt das wirklich, dass sich das
                                             Gerät in 10 Wochen bezahlt macht?
                                             Was meint ihr?

B.Mathea / F.Weber                     April 2006                                    69
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2
                            Waterli enttäuscht dich nie!

         Zusätzliche Informationen

         Familie Sparsam:
         • Jeder trinkt durchschnittlich 1,5 Liter Wasser am Tag.
         • Ein Kasten Mineralwasser mit 12 Literflaschen kostet 3 €.
         • 1m3 Leitungswasser kostet 8 €.




        Die Lehrkräfte müssen entscheiden, ob sie diese Zusatzinformationen vorgeben
        oder nicht. Vorteil im ersten Fall: Die Bearbeitungszeit hält sich in Grenzen.
        Vorteil im zweiten Fall: Die Schülerinnen und Schüler müssen selbstständig
        recherchieren, überlegen und entscheiden.
B.Mathea / F.Weber                        April 2006                                     70
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2
                            Waterli enttäuscht dich nie!

   Mögliche Erweiterungen der Aufgabe

   1) Vertreter Faselviel will seinen Umsatz steigern und reist durch das Land.
      Um seine Kunden besser beraten zu können, soll sein Azubi Rechenfix
      ihm eine Verkaufsmappe (Tabelle) erstellen, aus der Faselviel alle Kos-
      ten einfach ablesen kann.

   2) Rechenfix – faul und bequem – versucht seinem Chef klar zu machen,
      dass eine solche Mappe viel zu umfangreich würde. Er bietet ihm eine
      Rechenanweisung (Term) zum Selbstrechnen an.

   3) Faselviel ist unzufrieden und verlangt ein Computerprogramm,
      z.B. eine Excel-Datei.


B.Mathea / F.Weber                     April 2006                                 71
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2




                       Chefredakteur im
                         Dauerstress


B.Mathea / F.Weber                    April 2006              72
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2
                           Chefredakteur im Dauerstress


       Du bist Chefredakteur des Monatsmagazins “FIT - Fakten,
       Infos, Trends” und daher für die Richtigkeit aller Artikel ver-
       antwortlich.
       Jungreporter Karl Knipske legt dir folgenden Artikel "Kon-
       sumfreudige Teenager" auf den Schreibtisch. Er behauptet,
       gründlich recherchiert zu haben und sich bei seinen Be-
       rechnungen ausschließlich auf die nachfolgenden Quellen
       (Tabellen, Grafik, Aussage des Herrn von Kanthagen) ge-
       stützt zu haben.
       Du hast Zweifel und prüfst den Artikel genau.

B.Mathea / F.Weber                    April 2006                         73
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2
                           Chefredakteur im Dauerstress

                                   Konsumfreudige Teenager
                                       (von Karl Knipske)
      Sparen ist uncool! 80% ihres Taschengeldes geben Jugendliche sofort wieder aus.
      Im Schnitt verfügten Jugendliche 2002 über 150 Euro Taschengeld monatlich. Seit
      1996 ist das Taschengeld der 12- bis 18-jährigen damit um über 50% angestiegen.

      Kleidung und Schuhe stehen mit über 50% an der Spitze der beliebtesten Konsum-
      güter. Mit 71,8 Millionen Euro werden etwa 10% pro Monat für Handys ausgegeben,
      d.h. jeder 10. Jugendliche besitzt bereits ein Handy. Der Trend geht deutlich weiter
      nach oben.

      Bei den Ausgaben sind geschlechtsspezifische Unterschiede deutlich erkennbar:
      Geben die Jungen vorwiegend ihr Geld für Musik, Sportveranstaltungen und Genuss-
      mittel aus, so bevorzugen Mädchen Kosmetik, Schmuck, Kleidung und Geschenke.

      Auch Firmen setzen verstärkt auf die Kaufkraft der Jugendlichen. Herr von Kant-
      hagen, Geschäftsführer der Firma PinkLabel: "In den letzten 5 Jahren haben wir
      unser Angebot speziell für Jugendliche erweitert. Mittlerweile haben die Jugend-
      lichen einen Anteil von 40% des Jahres-Gesamtumsatzes von über 1,5 Mrd. Euro bei
      Musik-CDs bundesweit."

B.Mathea / F.Weber                           April 2006                                      74
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 2
                                    Chefredakteur im Dauerstress
   Quellen für den Artikel des Karl Knipske
   Monatliches Taschengeld in Euro in
   den verschiedenen Altersgruppen                               Ausgaben der 12-18jährigen pro Monat im Jahr 2002
                                                                                     Angaben in Mio. Euro
   (Stand 1996)
                                                    Kleidung/Schuhe                                                     312,5
           12-jährige:       21                      Essen/Getränke                            129,9
           13-jährige:       35                                Handy                    71,8
                                                         Kino/Konzert            42,1
           14-jährige:       52
                                                          Musik-CDs              41,4
           15-jährige:       73                           Geschenke          29,4

           16-jährige:      112                           Sportartikel       26,8
                                                         Körperpflege       19,6
           17-jährige:      172
                                                           Computer         17
           18-jährige:      269                            Sonstiges             43,7


                                    Bevölkerungszahlen 2002 (Angaben in Tausend)

                          12-jährige 13-jährige 14jährige      15jährige         16jährige     17jährige    18jährige
              männlich      499,3       489,5      480                464           464,7        469,2       483,6
               weiblich     472,8       462,2     455,8               441           439,5        444,4       458,4
               gesamt       972,1       951,7     935,8               905           904,2        913,6        942
                                                         Tabelle 2
B.Mathea / F.Weber                                       April 2006                                                             75
                     Beispiele für offene Aufgaben


                               Teil 3
   Aufwändigere Problemstellungen, bei denen
   • Schätzwerte von Größen ermittelt werden
         müssen
   • (nur) eine Näherungslösung angestrebt
         werden kann


B.Mathea / F.Weber               April 2006          76
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 3
                        "Die Türme grüßen die Nullfünfer"
      Zwei Mainzer unterhalten sich:
      (Das war am 14.04.2005)

      Erster Mainzer: In der letzt' Woch' war
      so'n Sturm, da habe se des Plakat für
      die Nullfünfer nit hoch 'kriegt.
      Zweiter Mainzer: Des wiegt ja auch fast
      1000 Kilo.
      Erster Mainzer: Komm, geh fort! Des
      glaubst aber auch nur du.
      Zweiter Mainzer: Gestern hat doch so
      'was Ähnliches in de Zeitung gestanden.
      Erster Mainzer: Na, vielleicht doch! Was
      wiegt denn 1 Quadratmeter von so 'ner
      Plane?
      Zweiter Mainzer: Des hab' ich gelesen:
      1 Quadratmeter wiegt ungefähr 1300
      Gramm.

B.Mathea / F.Weber                              April 2006    77
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 3
                                 Strohrollenberg
                                                   In der untersten Reihe
                                                   liegen 5 Strohrollen, in
                                                   der nächsten 4, dann 3,
                                                   dann 2 und ganz oben
                                                   1 Strohrolle.
                                                   Wie hoch ist der Stroh-
                                                   rollenberg?




                                                   Quelle: Institut für Qualitätsent-
                                                   wicklung, Wiesbaden (Hsg.):
                                                   Standard Mathematik von der
                                                   Basis bis zur Spitze, Wiesbaden
                                                   2005


B.Mathea / F.Weber                    April 2006                                        78
                     Beispiele für offene Aufgaben - Teil 3

     Weitere Aufgaben zum Schätzen und Argumentieren

     1) Wievielmal hast du in deinem Leben schon ein- und
        ausgeatmet?

     2) Wie lang wird der Streifen, wenn man eine Zahnpasta-
        Tube ausdrückt?

     3) Wie viele Luftballons passen in unser Klassenzimmer?

     4) Wie viele Bäume stehen in unserem Ort?

     5) Ein Stau auf der Autobahn ist 6 km lang. Wie viele Fahr-
        zeuge stehen in dem Stau?


B.Mathea / F.Weber                    April 2006                   79
                     Offene Aufgaben
                            und
                     Bildungsstandards



B.Mathea / F.Weber          April 2006   80
               Offene Aufgaben und Bildungsstandards


   Durch die Beschäftigung mit offenen Aufgaben erwerben die
   Schülerinnen und Schüler schrittweise allgemeine mathema-
   tische Kompetenzen, wie sie in den Bildungsstandards be-
   schrieben sind.

   Welche Kompetenzen durch eine offene Aufgabe gefördert
   werden, hängt wesentlich von der Aufgaben- bzw. Problem-
   stellung ab. Bei ein und demselben Sachverhalt können durch
   verschiedene Fragestellungen ganz unterschiedliche Kompe-
   tenzen gefordert und gefördert werden.



B.Mathea / F.Weber             April 2006                        81
               Offene Aufgaben und Bildungsstandards
   Auf den folgenden Folien werden exemplarisch 7 Varianten ein und
   derselben Aufgabe jeweils den entsprechenden "Leitideen", den
   "allgemeinen mathematischen Kompetenzen" und dem jeweiligen
   "Anforderungsniveau" in Abhängigkeit von der Aufgabenstellung
   zugeordnet.

   Die Aufgabe und mehrere Variationen wurden von Lehrkräften
   einer Sinusschule in Rheinland-Pfalz entwickelt und erprobt.
   Siehe: F. Weber (Hsg): "Steigerung der Effizienz des mat.-nat. Unterrichts - Die
   Umsetzung des BLK-Programms in Rheinland-Pfalz", Mainz 1999, Seite 70.

   Die fachdidaktischen Kommentare und weitere Aufgabenvarianten
   wurden durch die wissenschaftlichen Mitarbeiter der Universität
   Kassel (Prof. Blum) und des "Instituts für Qualitätsentwicklung im
   Bildungswesen (IQB)“ erstellt.

                     Die folgenden Aufgabenvarianten mit Erläuterungen finden Sie im Internet unter:
                        www.iqb.hu-berlin.de  Evaluation der Standards  Ma Sek 1  Material
B.Mathea / F.Weber                                       April 2006                                    82
                                                            „Abkürzung“

     Aufgabenstellung:

     Viele Autofahrer benutzen für die Fahrt von
     A nach B nicht die stark befahrenen
     Hauptstraßen, sondern einen „Schleichweg“.
     Äußere dich, ob die Abkürzung eine
     Zeiterspar-nis bringt, wenn man auf dem
     Schleichweg durchschnittlich mit 30 km/h
     und auf den Haupt-straßen durchschnittlich
     mit 50 km/h fahren kann.



 Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB)
B.Mathea / F.Weber                                             April 2006   83
     Zielsetzung der Aufgabe:

     Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler insbesondere
     nach, inwieweit sie die allgemeine mathematische Kompetenz

     „Mathematisch argumentieren (K 1)“

     im Rahmen der Leitidee

     „Messen (L 2)“

     erworben haben. Weiterhin berücksichtigt werden bei dieser Aufgabe die Leitidee
     „Funktionaler Zusammenhang (L 4)“ und die allgemeinen mathematischen Kompeten-
     zen „Probleme mathematisch lösen (K 2)“, „Mathematisch modellieren (K 3)“, „Mathe-
     matische Darstellungen verwenden (K 4)“ und „Mit symbolischen, formalen und tech-
     nischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5)“. Die Aufgabe ist dem Anforde-
     rungsbereich II zuzuordnen.




 Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB)
B.Mathea / F.Weber                                          April 2006                     84
   Varianten der Aufgabe mit anderen Anforderungen im Bereich der
   Leitideen:

   Die Aufgabe kann folgendermaßen abgewandelt werden, so dass die Leitidee L 4 eine
   stärkere Bedeutung neben der Leitidee L 2 erhält:

   Nimm an, dass man auf dem Schleichweg mit durchschnittlich 30 km/h fahren
   kann.
   Wie hoch darf die Durchschnittsgeschwindigkeit auf den Hauptstraßen höchstens sein,
   wenn die Abkürzung eine Zeitersparnis bringen soll?

   Eine noch deutlichere Betonung der Leitidee L 4 erfährt die Aufgabe durch folgende Ab-
   änderung (die Zahl 5 wird in der Skizze durch den Parameter u ersetzt):

   Nimm an, dass man auf dem Schleichweg mit durchschnittlich 30 km/h fahren kann.
   Wie hoch darf die Durchschnittsgeschwindigkeit auf den Hauptstraßen höchstens sein,
   wenn die Abkürzung eine Zeitersparnis bringen soll? Erstelle für diese Höchstgeschwin-
   digkeit v in Abhängigkeit von u eine Wertetabelle und einen Graphen. Begründe ohne zu
   rechnen: Die in a) beschriebene Höchstgeschwindigkeit v erreicht für ein gewisses u einen
   größtmöglichen Wert.

       Nun handelt es sich zudem um eine Aufgabe aus dem Anforderungsbereich III und die
       allgemeine mathematische Kompetenz des „Kommunizierens (K 6)“ ist auch berück-
       sichtigt.
 Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB)
B.Mathea / F.Weber                                        April 2006                           85
     Aber zurück zur Betrachtung der Leitidee. Eine weitere Abwandlung der Aufgabe könnte
     folgendermaßen lauten:

     Viele Autofahrer benutzen für die Fahrt von A nach B nicht die stark befahrenen
     Haupt-straßen, sondern einen „Schleichweg“. Um wie viel Prozent ist dieser
     Schleichweg
     kürzer als die Hauptstraße?

     Nun müssen die Schülerinnen und Schüler bei der Lösung der Aufgabe neben den
     mathematischen Kompetenzen der Leitidee „Messen (K 2)“ auch die inhaltsbezogenen
     mathematische Kompetenzen der Leitidee „Zahl (K 1)“ (insbesondere wegen der sach-
     gerechten Verwendung der Prozentrechnung) nachweisen.




 Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB)
B.Mathea / F.Weber                                          April 2006                      86
     Varianten der Aufgabe mit anderen Anforderungen im Bereich des
     Anforderungsbereichs:

     Die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck sind 3 cm und 5 cm lang. Berechne die
     Länge der Hypotenuse!

     Diese sehr reduzierte Aufgabe ist eindeutig dem Anforderungsbereich I
     zuzuweisen. Dieses wurde erreicht durch eine innermathematische Fragestellung
     mit konkreter Aufga-benstellung, sowie Verzicht auf eine Betrachtung der
     Abhängigkeit zur Durchschnittsge-schwindigkeit, wodurch von den Schülerinnen
     und Schülern auch keine Kompetenzen im Bereich der Leitidee „Funktionaler
     Zusammenhang (L 4)“ nachzuweisen sind. Als allge-meine mathematische
     Kompetenzen, die zur richtigen Lösung der Aufgabe führen, sind die
     Kompetenzen „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
     Mathe-matik umgehen (K 5)“ und „Kommunizieren (K 6)“ notwendig.




 Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB)
B.Mathea / F.Weber                                          April 2006                    87
     Die Ausgangsaufgabe lässt sich aber auch durchaus so gestalten, dass sie dem Anforde-
     rungsbereich III genügt:


     Gegeben ist nebenstehender Kartenaus-
     schnitt.
     Viele Autofahrer benutzen für die Fahrt
     von A nach B nicht die stark befahrenen
     Hauptstraßen, sondern einen „Schleich-
     weg“.
     Lohnt sich der Schleichweg? Begründe
     deine Antwort.




     Hier sind allgemeine mathematische Kompetenzen aus allen sechs Bereichen zu
     erbringen.




 Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB)
B.Mathea / F.Weber                                          April 2006                       88
     Welche Aufgabe zu welchem Zweck?

     Die dargestellte Aufgabe kann sehr unterschiedlich im Unterricht eingesetzt werden.
     Denkbar sind folgende Möglichkeiten:

        •     Einstiegsaufgabe in ein neues Thema
        •     Übungsaufgabe im Unterricht
        •     Aufgabe zur Leistungsmessung (z. B. für die Klassenarbeit)
        •     Aufgabe zum Einsatz in Studien

     Die präsentierten Varianten der Aufgabe können meist auch sehr vielfältig eingesetzt
     werden, die Aufgabe Die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck sind 3 cm und
     5 cm lang. Berechne die Länge der Hypotenuse!“ Ist allerdings eine typische
     Aufgabe zum Üben und zur Leistungsmessung. Ihr Einsatz in Studien ist aufgrund des
     vermeidbaren Auswertungsaufwands nicht üblich. Für diesen Zweck könnte die
     Aufgabe folgender-maßen formuliert werden:




 Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB)
B.Mathea / F.Weber                                          April 2006                      89
     Die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck sind 3 cm und 5 cm lang.
     Welche Aussagen sind richtig?
      • Die Hypotenuse ist länger als jede der beiden Katheten.
      • Die Länge der Hypotenuse wird durch keine irrationale Zahl beschrieben.
      • Die Länge der Hypotenuse ist größer als 5,7 cm.

     Die Prüfung der ersten Aussage lässt u. a. erkennen, ob die Schülerin oder der
     Schüler
     grundsätzliche Beziehungen im Umfeld des Satzes von Pythagoras erkennt.

     Die Prüfung der zweiten Aussage kann bereits den Umgang mit Variablen und
     Gleichun-gen (nämlich mit dem Satz des Pythagoras) prüfen, zusätzlich wird
     deutlich, ob die Schülerin oder der Schüler z. B. sinntragende Vorstellung der
     rationalen Zahlen besitzt.

     Die Prüfung der dritten Aussage stellt sicher, dass die Aufgabe auch berechnet wurde und
     somit der Umgang mit Gleichungen und Variablen auch fundiert vorhanden ist.


 Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB)
B.Mathea / F.Weber                                          April 2006                          90

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Stats:
views:22
posted:5/6/2010
language:German
pages:90