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									Tsn_3                               DUT   CNAM GEII                                                         1


                 TP3 Traitement Numérique du Signal
Sur DSP (processeurs de signaux) :
      Filtres IIR (Réponse impulsionnelle Infinie, récursif)
      Exemple : Filtre Moyenneur IIR

I       Rappels sur filtres IIR
I1   Description
 Décrits par l’équation de récurrence :
         N 1                M 1                                               an, bn                 yn
    yn   xn  k .bk   yn  k .ak
                                                    xn

         k 0                k 1

Nommés filtre Récursifs
Attention, peuvent être instables (du fait de la rétroaction) !

 Fonction de transfert en fonction de la fréquence, en écriture rapide en Z, avec :


                               z  e2ix      et      x
                                                                  f
                                                                fech

                                                     N 1

                                           Yn                z k .bk
                                 G( z)             k 0
                                                        M 1
                                                   1   z k .ak
                                           Xn
                                                       k 1
                                                                                          N 1

                                                                                          b       k
 Gain pour f = 0 : on fait x = 0 ou z = 1, il vient :                   G ( f  0)      k 0
                                                                                            M 1
                                                                                        1   .a k
                                                                                            k 1




I2     Avantage et inconvénient des IIR
Avantage :     filtres raides possibles avec peu de coefficient, du fait de la rétroaction, la
durée de la réponse impulsionnelle peut être longue mais avec très peu de coefficients.

Inconvénient :

Par construction, un filtre IIR ne peut pas être à phase linéaire (la réponse impulsionnelle
est forcement dissymétrique).




                                                                                                       ed 2009
Tsn_3                                                     DUT      CNAM GEII                                                                       2


II         filtre de base du premier ordre, passe bas
II 1       Relation temporelle et Fonction de transfert
                                                                                            Yn   1 a
       yn = (1+a)xn - a yn-1                                                   G( z)          
                                                                                            Xn 1  a.z 1
     |a |< 1 et         cas utile a < 0
                                                                                              f
                                                          Avec
                                                                       z  e 2ix x              nTe
                                                                                            fech
On trouverait alors aisément :
                                                                              1 a
                                             G ( x) 
                                                                 1  2a. cos(2x)  a 2

 Gain pour f = 0 :
On fait x = 0 ou z = 1, il vient :                               G( f  0)  1
 Approximation pour x (ou f petit) :
                                       4x 2                                                                     1
On fait cos(2x)  1                        , il vient facilement : G ( x) 
                                         2                                                                   x2
                                                                                              1
                                                                                                    (1  a) 2 (4a 2 )
                                                                                                        1
C’est le module d’une fonction de transfert du premier ordre                                                x
                                                                                                  1 j
                                                                                                            xc
                                                                       1 a                             1 a
De fréquence de coupure à 3dB xc                                               ou    fc  fech
                                      2  a                      2  a
Attention à notation sans dimension x = f/fech, en fait la fréquence réelle de coupure en Hz
reste proportionnelle à fech.

 Exemple pour différentes valeurs de a, et pour deux cas le filtre analogique du premier
  ordre équivalent au début.
                 a = -0,1                                      a = -0,5
      1                                                                          1

     0.9                                                                        0.9

     0.8                                                                        0.8

     0.7                                                                        0.7

     0.6                                                                        0.6

     0.5                                                                        0.5

     0.4                                                                        0.4
                 Premier ordre
     0.3         analogique                                                     0.3

     0.2                                                                        0.2

     0.1                                                                        0.1

      0                                                                          0
       0   0.1    0.2    0.3     0.4   0.5    0.6   0.7    0.8   0.9    1         0   0.1   0.2   0.3   0.4      0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   1




                                                                                                                                           ed 2009
Tsn_3                                                                   DUT             CNAM GEII                                                                                                                  3

                                           a = -0,900                                                                                            a = -0,990
   1                                                                                                  1

  0.9                                                                                                0.9

  0.8                                                                                                0.8

  0.7                                                                                                0.7

  0.6                                                                                                0.6

  0.5                                                                                                0.5

  0.4                                                                                                0.4

  0.3                              Premier ordre                                                     0.3
                                   analogique
  0.2                                                                                                0.2

  0.1                                                                                                0.1

   0                                                                                                  0
    0   0.1             0.2        0.3     0.4    0.5     0.6     0.7         0.8     0.9   1          0       0.1            0.2        0.3           0.4           0.5        0.6     0.7       0.8    0.9   1



 Cas particulier
En réglant a de plus en plus proche de -1 (|a| restant inférieur à 1), on peut donc très
facilement affaiblir très fortement même des fréquences très basses, pour ne laisser que la
composante continue !
D’ou le nom de moyenneur en réglant a très voisin de -1.


II 2    Régime transitoire, stabilité

II 2 a      Réponse impulsionnelle h
Si on envoi une seule impulsion x0=1, on calcule aisément d’après la relation de récurrence
hn  (1  a) x n  ahn 1 et en partant de hn-1 = 0 :
h0 = 1+a         h1 = (1+a)(-a) h2 = (1+a)(-a)2           … et donc :

                                                                                      hn  (1  a )(  a ) n

               Entrée x0=1,                              x1,x2… = 0                                                           Réponse pour a = -0,5
          1
                                                                                                                      0.5
         0.9
                                                                                                                     0.45

         0.8                                                                                                          0.4

         0.7                                                                                                         0.35

         0.6                                                                                                          0.3

                                                                                                                     0.25
         0.5
                                                                                                                      0.2
         0.4
                                                                                                                     0.15
         0.3
                                                                                                                      0.1

         0.2                                                                                                         0.05

         0.1                                                                                                              0
                                                                                                                                    0    1   2     3   4     5   6   7     8   9 10 11 12 13 14

          0
                         0 1 2 3 4 5 6              7 8 9 10 11 12 13 14

                                            a = -0.9                                                                                                   a = -0,99
              0.1                                                                                                0.012

          0.09
                                                                                                                  0.01
          0.08

          0.07
                                                                                                                 0.008

          0.06

          0.05                                                                                                   0.006


          0.04
                                                                                                                 0.004
          0.03

          0.02                                                                                                   0.002

          0.01
                                                                                                                      0
               0                                                                                                          0         50       100           150       200       250    300   350    400
                    0         50     100    150    200   250    300     350     400




                                                                                                                                                                                                           ed 2009
Tsn_3                                           DUT      CNAM GEII                                                4

 Durée du régime transitoire :
La durée de la réponse impulsionnelle est celle du régime transitoire, donc théoriquement
infini ! Si on raisonne comme en analogique, on peut dire que le régime transitoire est fini
quand on arrive à 95% de la valeur finale, donc pour :
 hn          (1  a)(a) n                                                 1,3
     0,05                 (a) n donc n.log(-a )= log(0,05) et n 
 y0              (1  a)                                                log(  a )
                                                                   1,3
                          Durée transitoire(de 0 à 95%)  fech.
                                                                log(a)
Il est évident que plus le filtre coupe en basse fréquence (a proche de -1) plus la réponse
impulsionnelle est longue et plus le régime transitoire est long (comme pour un filtre FIR).

 Stabilité :
D’après la formule hn  (1  a )(  a ) n on voit bien que si |a| > 1, la réponse impulsionelle hn
tend vers l’infini et donc instabilité !

Condition de stabilité :                              |a |< 1   et donc pour le cas utile -1 < a < 0

II 2 b           Réponse à un échelon (réponse indicielle)

Une étude mathématique est faisable, on peut par contre en utilisant très simplement un
tableur tel qu’Excel tracer les réponses impulsionnelles (en faisant x0 = 1 seulement) et
indicielle (tous les xn à 1) pour une valeur de a et les comparer :

    Réponse impulsionnelle pour a = -0,5                             Répponse indicielle pour a = -0,5
                                                                   1,2
   1,2
                                                                     1
    1

   0,8                                                             0,8
                                                                                                  xn échelon
                                                 xn                0,6
   0,6
                                                 hn
   0,4                                                             0,4                            yn, réponse
                                                                                                  indicielle
   0,2                                                             0,2
    0                                                                0
         1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11 12 13 14 15             1   3   5   7   9   11   13    15


On voit que, comme pour tout filtre, la durée de la réponse impulsionnelle est égale au
temps de montée de la réponse à un échelon. Les allures (oscillantes ou non) sont également
ressemblantes)




                                                                                                             ed 2009
Tsn_3                                    DUT    CNAM GEII                                                                        5


III       Filtre de base du second ordre
III 1     Relation de récurrence et fonction de transfert
                                                                              Yn    1  a1  a2
yn  (1  a1  a2 ) xn  a1 yn 1  a2 yn  2   et                  G( z)       
                                                                              Xn 1  a1 z 1  a2 z  2
Avec a1 < 0 et a2 > 0 cas usuels

                2x
avec z  e
Il vient aisément:
                                                       1  a1  a 2
                       G ( x) 
                                   1  a12  a 2  2a1 (1  a 2 ).cos 2x  2a 2 . cos 4x
                                               2




 Gain pour f = 0
On fait z = 1, il vient directement : G( f  0)  1

 Etude des extremums
On obtient les extremums en dérivant par rapport à x, donc pour :
                       2a1 (1  a 2 ).2 . cos 2x  2a 2 .4 . cos 4x = 0
Or on connaît une formule magique : cos(2k) = 2sin(k)cos(k)

Donc pour :                  sin(2x).a1 (1  a2 )  4a2 cos 2x  0

Donc soit:
       sin(2x)  0 ou x  k / 2 , donc x = 0,5 (max utile avant repliement de spectre)
                                                               a1 (1  a 2 )
      ou a1 (1  a 2 )  4a2 cos 2x  0 donc      cos 2x 
                                                                  4a 2
Donc deux régimes possibles selon que cette équation peut se résoudre ou non :

                                                                                         a1 (1  a 2 )
III 1 a      Régime sans maximum, donc sans résonance si                                                1
                                                                                            4a 2
                                                                        a1= -1,2         a2 =0,4286 max plat
                                                           1
La courbe est « maximalement plate » à la
                                                          0.9
               4a 2
limite : a1                                              0.8
              1  a2
                                                          0.7
(A rapprocher d’un Filtre de Butterworth en               0.6
analogique).                                              0.5

                                                          0.4

                                                          0.3

                                                          0.2

                                                          0.1

                                                           0
                                                                0     0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9    1




                                                                                                                            ed 2009
Tsn_3                                               DUT         CNAM GEII                                                                       6


                                                                      a1 (1  a 2 )
III 1 b              Régime avec résonance si                                        1
                                                                         4a 2
Alors la fréquence de résonance x0 réduite ou f0 s’écrit :

                                                      1           a (1  a 2 )   f
                                              x0       . Arc cos 1              0
                                                     2              4a 2        fech

On trouverait facilement alors le module du gain G0 à la résonance. On voit que ce gain peut
tendre vers l’infini pour la valeur toute simple a2  1, et cela veut dire que l’on s’approche
alors de l’instabilité !
                                                      1      4a 2
                              G0  (1  a1  a 2 )        .
                                                   1  a 2 4a 2  a12

Exemple :
                 a1 = -1,2 et a2 = 0.6                                                      a1 = –1,2 et a2 = 0.95
1.8
                                                                             20
1.6
                                                                             18
1.4
                                                                             16

1.2
                                                                             14

 1                                                                           12

0.8                                                                          10


0.6                                                                           8

                                                                              6
0.4
                                                                              4
0.2
                                                                              2
 0
  0     0.1    0.2    0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9    1
                                                                              0
                                                                                  0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   1


                Gain à la résonnance: 1.6
                                                                                      Gain à la résonnance: environ 19

On peut obtenir très aisément de très fortes surtensions (gain à la résonnance) avec a2 proche
de 1 (des valeurs de 100 ou même 400 sont possibles).

Si a2 > 1 on atteint l’instabilité en mode oscillant la surtension devient infinie.


III 2         Réponse impulsionnelle, réponse indicielle et Stabilité

Comme en analogique, on peut avoir un régime apériodique, critique et pseudo périodique.
On atteint l’instabilité si la réponse impulsionnelle tend vers l’infini, en oscillant ou non.

Remarque : nous n’avons étudié plus haut que la limite de stabilité en mode oscillant. L’étude
complète selon a1 et a2 n’est pas étudiée ici (on trouverait en fait un triangle dans un plan a2,
a1). Nous ne donnons donc ici que des exemples.

Quelques figures dans différents cas :




                                                                                                                                        ed 2009
Tsn_3                                DUT        CNAM GEII                                                              7

 Différents cas stables

                   a1 = -1,2 a2 = 0,38                           a1 = -1,2 a2 = 0,4286
                       Non oscillant                 Maximalement plat en fréquence, mais
     1,2                                             déjà un peu oscillant en transitoire
      1                                              (Normal, comme en analogique, à rapprocher
                                                     d’un filtre de Butterworth)
     0,8                                                   1,2
                                    xn
     0,6                            echelon
                                    yn                      1
     0,4                                                   0,8
                                                                                                  xn
     0,2                                                   0,6                                    echelon
                                                                                                  yn
      0                                                    0,4
           1   3   5 7    9 11 13 15 17 19 21              0,2
                                                            0
                                                                 1   3    5 7      9 11 13 15 17 19 21

                   a1 = -1,2 a2 = 0,6                                    a1 = -1,2 a2 = 0,95
                         oscillant                                           très oscillant
1,6                                                   2,5
1,4
1,2                                                    2
 1                                                    1,5
0,8                                        yn                                                             yn
0,6                                                    1
0,4                                                   0,5
0,2
 0                                                     0
       1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40               1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40


 Différents cas instables
      Instabilité mode non oscillant                                 Instabilité mode oscillant

                   a1= -1,47 a2 = 0,44                                    a1= -1,2 a2 = 1,3
 0
                                                        50
-1 1 3 5 7 9 111315171921232527293133353739             40
-2                                                      30
-3                                                      20
                                                        10
-4                                                       0
-5                                                     -10 1     4   7    10 13   16 19   22 25   28 31   34 37   40
                                                       -20
-6
                                                       -30
-7                                                     -40




 Relation classique en mode oscillant: Surtension (en fonction de la fréquence) et
  Stabilité :

Comme pour tout filtre, si le coefficient de surtension augmente (ici a2 proche de 1), le
régime transitoire est de plus en plus oscillant et long.

A la limite, on peut très aisément en numérique faire a2 = 1. On obtient alors un simple et très
utile générateur sinusoïdal ! (méthode différente de la technique de synthèse directe de
fréquence qui fait appel à une table de sinus, et un accumulateur de phase).


                                                                                                               ed 2009
Tsn_3                            DUT     CNAM GEII                                               8


IV       Expérimentation sur DSP TMS320C67

    Pour toute cette partie, et les suivantes, la fréquence d’échantillonnage sera fixée à :
               Fech  48 KHz            donc limite Shannon Fech/2  24 kHz
Tous les calculs en virgule flottante.

IV 1     Passe bas du premier ordre : yn = (1+a)xn – ayn-1       -1 < a < 0

IV 1 a      Travail préalable théorique
                                                                         1 a
1) Retrouver la formule donnant le module du gain : G( x) 
                                                                  1  2a. cos(2x)  a 2
2) Pour a = -0,5 calculer :
    Le gain continu ou très basse fréquence G(0)
    La fréquence de coupure à 3dB (en assimilant cette fonction de transfert à un premier
     ordre analogique, voir le rappel de cours correspondant.
    G(0,5)
    Tracer alors l’allure de G(f), avec donc des fréquences en abscisse !

IV 1 b      Vérification pratique
Au moyen du « Code composeur Studio » de Texas, et dans le répertoire dsp_c67 ini GEII
que vous indiquera l’enseignant,
Ouvrir le projet :      dsk_c67.pjt
Aller dans sources, il vous faudra les fichiers C principaux (et seulement ceux ci) :
                dsk_c67.c              le noyau de l’application, ne rien modifier !
                aic23.c                fonctions de l’interface analogique, ne rien modifier
                demo.c                 Le fichier C de travail (si ce fichier n’est pas présent
dans le projet, ou si il y en a un autre, l’ajouter et ne garder comme fichiers.C dans le projet
que ces trois fichiers. Ne rien modifier d’autre évidemment !
On reprend donc le demo.c du premier TP, on le modifiera.

   1) Modification de la fonction traitement_echantillons
On reconnaît le TP N°1, la sortie étant égale à l’entrée multipliée par 1.5

void traitement_echantillons(int *I, int *O)       // [0] voie G [1] voie D (rouge)
{
O[1] = 1.5 *(float) I[1]; // voie droite, indice 1
}
void periodic_log(void)
{}                             // POUR AFFICHER DES VALEURS

Tout en s’interdisant d’utiliser une variable globale (on sait qu’un bon programmeur non
bidouilleur les réduit au strict minimum nécessaire !), il faut tout de même conserver
l’ancienne valeur de yn pour calculer la nouvelle. Vous devez connaitre l’astuce !
     Déclarer yn de cette façon, et utilisez une variable locale xn.
     Sachant que si on écrit en C : yn = fonction(yn,…), le yn de droite est en réalité
        l’ancienne valeur soit yn-1, écrire alors le programme tout simple de filtrage (2 ou 3
        lignes, il n’est donc pas utile d’avoir une variable pour yn-1).

     2) Vérifier alors pratiquement le module (de F faible, jusqu’à Fech/2) de la fonction de
        transfert du filtre obtenu, avec toujours la bonne mesure de quelques points

                                                                                           ed 2009
Tsn_3                                DUT         CNAM GEII                                          9

         caractéristiques et quelques points supplémentaires On comparera très pertinemment
         théorie et pratique, si vous constater des différences, les expliquer correctement ! (voir
         le TP précédent).

IV 1 c     Application : Mesure de valeur efficace
Comme notre maquette DSK C67 comporte hélas une liaison capacitive en entrée, on ne peut
évidemment pas mesurer une valeur moyenne qui serait toujours nulle ! On mesurera donc
une valeur efficace.
                                                             N 1
                                                         1
                                                Veff 
                                                         N
                                                             x
                                                              0
                                                                    2
                                                                    n


     1) Théorie
On veut réaliser un voltmètre numérique EFFICACE de cahier des charges identique au TP
précédent, à savoir :
Echantillonnage à Fech = 48 KHz (comme précédemment).
Calcul de la valeur efficace, ondulations résiduelles  1% pour F  50 Hz
On filtrera non pas xn mais xn*xn.
Il faut trouver a, mais il faut toujours réfléchir pour éviter de s’embarquer bêtement dans un
calcul à priori simple, mais en fait long et délicat à cause de valeurs numériques particulières,
et absolument inutile !
    On est dans le cas ou x est petit, l’approximation faite dans le rappel du cours
(développement limité du cos) est tout a fait justifiée ! (sinon on ne sait pas résoudre
analytiquement …. )
    D’autre part, comme a est très proche de –1, la résolution exacte de l’équation du second
ordre que l’on devrait trouver serait très délicate (nécessitant des valeurs numériques
intermédiaires très précises), donc autant l’éviter !
                                                                        Courbe du module du gain
On effectuera la démarche suivante :                                      0.05        a=?

Comme x est petit, on choisit l’approximation de la fonction
classique du premier ordre analogique :                                                100Hz
                                      1
                          G ( x) 
                                          x2                              0.01
                                     1
                                          xc2                                 0
                                                                               0                     x
    Pourquoi faut-il considérer le point à 100Hz et non pas
     50Hz ?
    En déduire alors la valeur numérique approchée de xc.
    D’après la formule de xc en fonction de a du rappel de
     cours, en déduire alors la valeur de a (très proche de –1,
     donc surtout ne pas résoudre d’équation du second
     degré,  a est alors proche de quelque chose … ! ).
     Bien prendre pour a 6 à 7 chiffres significatifs !

IV 1 d      Vérification pratique

   1) Modifier la fonction traitement_échantillons pour obtenir en yn la valeur efficace
      (pour l’instant non convertie en volts).

   2) On veut afficher cette valeur après conversion en Volt. On dispose pour cela de la
      fonction d’interruption void periodic_log(void), qui est cadencée toutes les quelques
      secondes.

                                                                                               ed 2009
Tsn_3                            DUT    CNAM GEII                                              10

On se servira de la fonction LOG_printf qui travaille avec les mêmes paramètres que la
fonction printf classique du C, et qui permet d’afficher des résultats dans la fenêtre « Log
message ».
La syntaxe sera :
LOG_printf(&trace, "Veff = %f v", ?????????? ); // Affichage de Veff en

    Compléter cette ligne sachant que l’excursion de tension du CAN ou du CNA est de -
     1,3v crête à presque +1,3v crête pour un échantillon de 16 bits, donc de -32768 à
     32767.
    Pourquoi Veff (en float) doit-elle être obligatoirement une variable globale ?


   3) Essai pour une valeur de a de –0,5
 Pour ouvrir la fenêtre de messages, faire :
       DSP/BIOS | Message Log
 Puis faire click droit et Property page et cocher ‘Automatically scroll end of buffer’.

    Pour F = 500 Hz et 1Vcrète (1Vpp pour des générateurs qui supposent une charge de
     50), observer rapidement le signal à l’oscilloscope. Expliquez ce que l’on observe.
    Expliquer alors les valeurs numériques qui s’affichent sur la fenêtre de Log Message.


   4) Remplacer alors a par la valeur calculée précédemment.

    Qu’observe-t-on à l’oscilloscope ?
    Qu’observe-t-on sur la fenêtre de messages. Etes vous satisfait quand à la bonne
     mesure de Veff et à la stabilité de cette mesure ?
    Mettre maintenant F à 50Hz. Vérifier la stabilité de l’affichage. Etes vous satisfait
     par rapport au cahier des charges quant à la stabilité de la mesure (ici, ne pas répondre
     seulement oui, une petite mesure visuelle peut se faire !)
    Toujours pour 50Hz, on peut constater cependant que la valeur efficace indiquée est
     plus faible que la réalité. A votre avis d’où cela peut-il provenir ? Votre programme
     en est-il la cause ? (on rappelle que l’affichage est correct pour des fréquences de 200,
     500 HZ …).




                                                                                          ed 2009
Tsn_3                           DUT     CNAM GEII                                          11

IV 2    Passe bas du second ordre : yn = (1+a1+a2)xn – a1yn-1 - a2yn-2      0<a2 <1 a1 < 0

IV 2 a     Filtre obtenu avec : a1 = -1,2 et a2 = 0,6 et fech = 48000 Hz
  1) Etude théorique
    Montrer que le régime est « avec résonance ».
    Donner G(0) (fréquence)
    Calculer la fréquence de résonance x0 (réduite) puis f0 (en Hz)
    Calculer le module du gain G(f0) = G0 à la résonance, ainsi que le facteur de résonance
       ou de surtension :
                                                     G( f  f 0 )
                               Coeff de Surtension 
                                                     G ( f  0)


  2) Mise en œuvre sur la maquette DSP
  On introduira en flottant les coefficients : a1 = -1.2 et a2 = 0.6

    Modifier votre programme en utilisant quatre variables flottantes xn, yn, yn_1, et
     yn_2. On doit ici conserver à chaque appel de la fonction yn_1 et yn_2 (même
     astuce que précédemment, SANS UTILISER DE VARIABLES GLOBALES
     INUTILEMENT ! ).
            Calculez : yn = (1+a1+a2).xn –a1.yn_1 – a2.yn_2
            Sortir vers O[1] cet yn
            Réactualiser yn_2, puis yn_1

     Vérifier le fonctionnement, avec une sinusoïde à l’entrée de 1 volt crête.
En comparant pour chaque cas avec la théorie (commentaires pertinents), mesurez
rapidement:
           - Gain en BF.
           - Fréquence de résonance.
           - Gain à la résonance.
    (Ce gain étant > 1, si on déborde, limiter le signal sinusoïdal d’entrée !).


IV 2 b      Filtre à forte résonance
Faire : a2 = 0,95
     Pour la même tension d’entrée de 1 volt crête, que constate-t-on sur la sortie autour de
        la résonance f0 cela vous étonne-t-il ? (remarque : ce f0 est un peu différente du cas
        précédent, mais on ne demande pas de la recalculer).?
     Diminuer alors la tension d’entrée pour visualiser la forte résonance autour de la f0,
        mesurer alors cette fréquence f0.
     Mesurer rapidement le nouveau gain à la résonnance (facteur de surtension). Est-ce
        correct par rapport à la courbe fournie dans le rappel de cours ?
     Que se passe-t-il si a2 se rapproche de 1, intérêt ?

IV 2 c    Et si on faisait a2 = 1 !
  On est à la limite de la stabilité avec un régime oscillant. Donc sans autre calcul on peut
  dire que (un peu comme an analogique) la réponse impulsionnelle est une sinusoïde
  d’amplitude stable, de fréquence f0.
   En analogique, on ne peut rester juste à la limite d’oscillation (en dessous, l’amplitude
  diminue, au delà elle augmente indéfiniment). Ici en numérique, on peut évidemment coder


                                                                                       ed 2009
Tsn_3                          DUT    CNAM GEII                                           12

   a2 = 1 sans erreur ! Si a2 diffère de 1 même de très peu, l’amplitude de la sinusoïde
   diminuera (système limite stable) ou au contraire augmentera (limite instable)
   On crée donc un générateur sinusoïdal, c’est totalement mâgique …. !
(Remarque : une autre technique numérique existe pour effectue une synthèse sinusoïdale, par
accumulation de phase et accès à une table, totalement différente et non étudiée ici !)

    Faire donc a2 = 1
    On veut que le programme génère sa réponse impulsionnelle : il faut initialiser xn à
      une valeur avant la boucle, pour aussitôt le mettre à zéro dans celle ci.
  Modifier le programme de la façon suivante :
      Jusqu’à présent xn était égal à I[1] afin de récupérer chaque échantillon entrant.
      Initialiser maintenant xn à par exemple 16384 (donc la moitié de la valeur max
  possible).
      Ecrire xn = 0 juste après la ligne calculant yn, ainsi pour les échantillons suivant xn
  vaudra 0.

    Vérifier le fonctionnement

    Calculer théoriquement la nouvelle valeur de f0 de résonance (avec a2 = 1).

    Mesurer la fréquence générée, est ce correct ?

    Fixer a2 à 0.99999 puis a2 à 1.00001 et observer et commenter pour chacun des cas le
     signal généré. En particulier quelle est la durée du transitoire quand a2 = 1 ?




                                                                                      ed 2009

								
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