up2

							Institut for Matematiske Fag                            Sandsynlighedsregning og statistik 1

Københavns Universitet                                                   Susanne Ditlevsen

                                                                          1. september 2008




                                   Ugeprojekt 2
                         Møntkast, terninger og forsikring.
                               (Aeveres 8. september 2008.)



1) En mønt kastes tre gange. Hver gang mønten viser krone kastes en terning.
Hvad er sandsynligheden for at få mindst én sekser i dette spil?
Vejledning: En mulig fremgangsmåde er følgende. Lad              An (n = 0, 1, 2, 3)   være
hændelsen at mønten viser krone netop        n   gange, og benyt Sætning 1.4.4.


2)  Prøv nu at studere spillet ved simulation ved hjælp af maple. Find på denne
måde sandsynlighederne for at få henholdsvis 0, 1, 2 og 3 seksere. Sammenlign
disse sandsynligheder med sandsynligheden fundet i opgave 1. Find også sandsyn-
ligheden for at få tre lige antal øjne.
Vejledning: På sast1-hjemmesiden kan man (under Maple) hente forskellige -
ler, der kan bruges i forbindelse med projektopgaven. Ikke mindst er der et maple
worksheet med titlen      up2.mw,   hvorpå der ndes procedurer og ordrer, som kan
bruges til at besvare opgaven. Alt på up2.mw kan frit benyttes ved besvarelsen,
men man skal selvfølgelig i sin rapport forklare, hvad der foregår, når diverse
ordrer og procedurer anvendes. Det kan blive nødvendigt at ændre lidt i ordrer
og procedurer for at svare på nogle af spørgsmålene. For at kunne benytte det
omtalte worksheet, up2.mw, skal man også hente to maple-procedurer på sast1-
hjemmesiden. Den ene hedder event. Når den anvendes, er resultatet med sand-
synlighed   p   et 1-tal og med sandsynlighed     1−p    et nul. Filen med proceduren
hedder   event.m. Hvis man for eksempel skriver
                                      >   event(0.3);


og trykker return, får man med sandsynlighed 0.3 et 1-tal og med sandsynlighed
0.7 et nul. Denne procedure bruges som en nyttig byggesten, når man vil simulere
udfaldet af et spil som det, der er beskrevet i spørgsmål 1. Man kan simulere
mange udfald af spillet og studere den relative hyppighed af de forskellige mulige
udfald. En måde at få overblik over en masse simulationer er ved hjælp af et
pindediagram, hvor længden af hver pind er lig den relative hyppighed af det
udfald, over hvilket pinden er anbragt. Sådan et pindediagram kan man lave
v.h.a. maple proceduren pind, der også kan hentes fra sast1-hjemmesiden (len
hedder   pind.m).
Når man vil bruge en af disse procedurer i et maple worksheet, skal man først


                                             1
gemme len på sin computer. Det skal kraftigt understreges, at maple skal kunne
nde procedurelerne. Det kan man opnå på mindst to måder. Enten skal lerne
ligge samme sted (katalog, folder) som det worksheet, man arbejder i. Da kan
man indlæse proceduren i sit worksheet ved at skrive read "pind.m"; (hvis det er
pind, man vil indlæse). Sådan er det gjort på up2.mw. Hvis procedure-len ikke
ligger samme sted som det worksheet, man arbejder i, skal man angive hele stien
til procedure-len. Hvis f.eks. len pind.m ligger på m-drevet, skal man skrive
read "m:pind.m"; Det anbefales endelig, at man studerer det maple worksheet,
der hedder   eventeks.mw, som også kan down-loades fra kursushjemmesiden. Her
kan man se, hvordan procedurerne event og pind kan bruges, og hvordan relative
hyppigheder beregnes. Man kan også se, hvordan man bruger både seq, add og
piecewise (der alle ndes som standard i maple), når man programmerer et simu-
lationsstudium. Den sidste funktion bruges til at lave en indikatorfunktion for et
interval.


3) Vi vender os nu til et forsikringsmatematisk problem. Jensen har forsikret sig
mod en bestemt type skade. Vi vil studere, hvor mange penge forsikringsselska-
bet kan risikere at komme af med til hende i løbet af fem år. Vi gør følgende
antagelser. Det antages, at Jensen højst har én skade per år, at sandsynligheden
for en skade i et givet år er 0.1, og at det der sker i et år er uafhængigt af, hvad
der sker i de øvrige år. Hvis der sker en skade, kan den være af to typer. Med
sandsynlighed 0.7 koster den 1 enhed, og med sandsynlighed 0.3 koster den 3 en-
heder. En enhed kunne f.eks. være 10000 kroner, men det er lidt lettere at regne
med 1 og 3 i stedet for 10000 og 30000.


Find sandsynligheden for, at forsikringsselskabet ikke skal udbetale noget til Jen-
sen i løbet af fem år.

4) Belys forsikringsselskabets risiko ved simulation ved hjælp af maple f.eks. ved at
svare på følgende spørgsmål. Bestem sandsynlighederne for, at der ialt udbetales
henholdsvis 1, 2, 3, 4, 5 og 6 enheder i løbet af fem år. Hvad er sandsynligheden
for, at der udbetales syv eller ere enheder i løbet af fem år? Hvor stor er den
gennemsnitlige udbetaling i løbet af fem år til en forsikringskunde som Jensen?

En udskrift af den maple-kode, der er blevet benyttet, skal vedlægges besvarelsen.




                                          2