Docstoc

C2 - PDF

Document Sample
C2 - PDF Powered By Docstoc
					Xử lý số tín hiệu                                                             Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian



                      Chương 2
          TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN
          2.1. Tín hiệu rời rạc theo thời gian
        Tín hiệu tương tự thường liên tục theo thời gian. Bằng cách lấy mẫu tín
hiệu, ta được tín hiệu rời rạc theo thời gian, còn gọi là tín hiệu số (digital signal).
Chương này sẽ trình bày về hệ thống xử lý tín hiệu số (về phương diện mạch thì
gọi là DSP – Digital Signal Processor).
       Trong chương 1, ta đã khảo sát tín hiệu rời rạc s(nT) với n là các số
nguyên. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử chu kỳ lấy mẫu T = 1. Từ đó,
tín hiệu rời rạc là s(n). Một ví dụ của tín hiệu rời rạc thời gian như hình 2.1: tại
thời điểm n, biên độ s(n) có thể dương, âm, thực hay phức. Tóm lại, s(n) có thể
nhận giá trị bất kỳ, kể cả bằng 0 hay .
                          5


                          4


                          3


                          2
                                                                                                            …
                          1


                          0


                          -1     …
                          -2


                          -3


                          -4


                          -5
                            -5       -4        -3        -2     -1    0        1   2    3       4       5       6


                                                              a. Tín hiệu vô hạn
                          5


                          4


                          3


                          2


                          1


                          0


                          -1


                          -2


                          -3


                          -4


                          -5
                            -8            -6        -4           -2       0        2        4       6           8

                                                              b. Tín hiệu hữu hạn

                                     Hình 2.1 – Tín hiệu rời rạc thời gian

       Để biểu diễn tín hiệu rời rạc s(n), ta sử dụng chuỗi biên độ với ký hiệu 
xác định gốc thời gian n = 0. Khi biểu diễn tín hiệu vô hạn, ta sử dụng dấu … ở
hai đầu của chuỗi.




Trang 8                                                                                     GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                          Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

          Hình 2.1a: s(n) = {…,-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2,…}: tín hiệu vô hạn
                                                          
          Hình 2.1b: s(n) = {-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2}: tín hiệu hữu hạn
                                                 
          Trong trường hợp tín hiệu s(n) bằng 0 khi n < 0 thì ta có thể biểu diễn như
sau:
          s(n) = {-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2,…}
                     

              2.1.1.       Các tín hiệu rời rạc sơ cấp đặc biệt
          -   Hàm xung đơn 2vị: còn gọi là mẫu đơn vị
                           1 1.8n  0
                    (n) =  1.6                                                                                (2.1)
                           0 1.4n  0
                               1.2

                                1

                               0.8

                               0.6

                               0.4

                               0.2

                                0
                                 -5   -4    -3       -2       -1   0   1      2   3   4    5



                                           Hình 2.2 – Hàm xung đơn vị

          -   Hàm bước đơn2vị:
                           1 n  0
                              1.8

                    u(n) =  1.6                                                                                (2.2)
                           0 1.4n  0
                               1.2

                                1

                               0.8

                               0.6

                               0.4                                                        …
                               0.2

                                0
                                 -5   -4    -3       -2       -1   0   1      2   3   4    5


                                           Hình 2.3 – Hàm bước đơn vị




Trang 9                                                                                GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                                       Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

        -          Hàm dốc đơn vị:
                                n n  0
                         r(n) =                                                                                                        (2.3)
                                0 n  0
                                         6



                                         5



                                         4



                                         3



                                         2

                                                                                                                  …
                                         1



                                         0
                                          -5       -4   -3   -2       -1        0   1        2        3       4     5

                                                        Hình 2.4 – Hàm dốc đơn vị

        -          Hàm mũ:
                                a n           n0
                         x(n) =                                                                                                        (2.4)
                                0             n0

              1                                                                         6


                                                                                        5
            0.8

                                                                                        4
            0.6

                                                                                        3

            0.4
                                                                                        2


            0.2                                                                         1



                                                                                        0
              0                                                                                  -2       0        2        4   6   8    10
                    -2       0       2         4        6         8        10

                                 0<a<1                                                                            a>1
              1                                                                         6

            0.8
                                                                                        4
            0.6

            0.4
                                                                                        2
            0.2

              0                                                                         0

            -0.2
                                                                                        -2
            -0.4

            -0.6                                                                        -4

            -0.8
                                                                                        -6
             -1
                                                                                                 -2       0        2        4   6   8    10
                    -2       0       2         4        6         8        10

                                 -1 < a < 0                                                                        a < -1
                                                             Hình 2.5 – Hàm mũ thực

        Trong trường hợp số mũ a là số phức, ta có thể biểu diễn như sau:
                         a = rej

Trang 10                                                                                                      GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                   Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

        Khi đó:
                    x(n) = rnejn = rn(cosn + jsinn)                                                   (2.5)
      Do x(n) là hàm phức nên nó sẽ gồm 2 thành phần: phần thực x R(n) và
phần ảo xI(n):
                    xR(n) = rncosn
                    xI(n) = rnsinn                                                                      (2.6)

             2.1.2.            Phân loại tín hiệu rời rạc
      Việc phân loại tín hiệu sẽ dựa vào đặc tính của tín hiệu. Tín hiệu có các
cách phân loại sau:
                    2.1.2.1.        Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất
        Năng lượng của tín hiệu:
                           

                            x (n )
                                      2
                    E=                                                                                   (2.7)
                         n  

        Giá trị công suất trung bình định nghĩa là:
                                        N
                                 1
                                       N x(n)
                                               2
                    P = lim                                                                              (2.8)
                         N  2 N  1
                                      n

        Ta định nghĩa EN:
                               N

                             x (n )
                                          2
                    EN =                                                                                 (2.9)
                           n  N

       là năng lượng của tín hiệu trong khoảng [-N,N] thì năng lượng E có thể
biểu diễn như sau:
                    E = lim E N                                                                        (2.10)
                         N 


        và công suất trung bình của tín hiệu là:
                                 1
                    P = lim           EN                                                               (2.11)
                         N  2 N  1


      Như vậy, nếu E hữu hạn thì P = 0 và tín hiệu x(n) gọi là tín hiệu năng
lượng. Nếu P hữu hạn và khác 0 thì x(n) là tín hiệu công suất.
        VD: Xét hàm bước đơn vị u(n):
                               N                   N

                             x (n )              1
                                          2              2
                    EN =                      =              =N+1
                           n  N                 n 0


                                 1                N 1
                    P = lim           E N = lim          = 1/2
                         N  2 N  1       N  2 N  1


         E vô hạn và P = ½  hàm bước đơn vị u(n) là tín hiệu công suất.




Trang 11                                                                        GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                    Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

                    2.1.2.2.   Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn
        Một tín hiệu s(n) gọi là tuần hoàn với chu kỳ N (N > 0) nếu và chỉ nếu:
                    s(n) = s(n + N) n                                                  (2.12)
        Giá trị N nhỏ nhất gọi là chu kỳ cơ sở của tín hiệu tuần hoàn. Nếu không
tồn tị giá trị N nào để phương trình (2.12) thỏa mãn thì tín hiệu gọi là không tuần
hoàn.
        Năng lượng của tín hiệu tuần hoàn s(n) là hữu hạn trong một chu kỳ khi
giá trị của tín hiệu là hữu hạn. Tuy nhiên, trên toàn bộ tín hiệu thì giá trị này là vô
hạn. Mặt khác, công suất trung bình của tín hiệu là hữu hạn và tương đương với
công suất trung bình của tín hiệu trong một chu kỳ . Công suất trung bình của tín
hiệu tuần hoàn:
                         1 N 1
                            s( n )
                                    2
                    P=                                                                  (2.13)
                         N n 0
        là hữu hạn nên tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu năng lượng.
                    2.1.2.3.   Tín hiệu chẵn và lẻ
        Tín hiệu chẵn (đối xứng) nếu:
                    s(n) = s(-n)                                                        (2.14)
        và lẻ (phản đối xứng) nếu:
                    s(n) = - s(-n)                                                      (2.15)
        Chú ý rằng nếu s(n) lẻ thì s(0) = 0.
        Ta có:
                    se(n) = [s(n) + s(-n)]/2                                            (2.16)
        là tín hiệu chẵn và:
                    so(n) = [s(n) - s(-n)]/2                                            (2.17)
        Cộng 2 vế của (2.16) và (2.17), ta được:
                    s(n) = se(n) + so(n)                                                (2.18)
       Như vậy, bất kỳ tín hiệu nào cũng có thể biểu diễn ở dạng tổng của 2 tín
hiệu khác: một tín hiệu chẵn và một tín hiệu lẻ.

             2.1.3.        Các phép toán đơn giản trên tín hiệu rời rạc
                    2.1.3.1.   Biến đổi trên miền thời gian
        -    Dịch:
       Tín hiệu s(n) được gọi là dịch trên miền thời gian nếu thay biến n bằng n-k
với k là số nguyên.
        Nếu k > 0: tạo thành tín hiệu trễ
        Nếu k <0: tạo thành tín hiệu sớm




Trang 12                                                         GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                    Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

        -    ảnh gương: tín hiệu s(-n) gọi là tín hiệu ảnh gương của s(n)
        Chú ý rằng hoạt động dịch và ảnh gương không có tính giao hoán. Gọi TD
là hoạt động làm trễ tín hiệu (time delaying) và RT là hoạt động ảnh gương
(reflection). Ta có:
                    TDk[s(n)] = s(n – k), k >0
                    RT[s(n)] = s(-n)                                                    (2.19)
        Từ đó:
                    TDk{RT[s(n)]} = TDk{s(-n)} = s(-n + k)
                    RT{TDk[s(n)]} = RT{s(n – k)} = s(-n – k)                            (2.20)
         TDk{RT[s(n)]}  RT{TDk[s(n)]}
        -    Co: tín hiệu s(µn) với µ nguyên gọi là tín hiệu co của s(n)
       Ta có: s(n) là tín hiệu lấy mẫu của tín hiệu gốc s(t) với chu kỳ lấy mẫu 1
nên s(µn) cũng là tín hiệu lấy mẫu của s(t) nhưng sử dụng tần số lấy mẫu µ. Như
vậy, quá trình co tín hiệu lấy mẫu thực chất là tăng chu kỳ lấy mẫu của tín hiệu µ
lần  quá trình này còn gọi là giảm tần số lấy mẫu (downsampling).
                    2.1.3.2.     Biến đổi biên độ
        Quá trình biến đổi biên độ của tín hiệu lấy mẫu bao gồm: cộng, nhân và
co.
        Cộng tín hiệu:
                    y(n) = x1(n) + x2(n)                                                (2.21)
        Nhân tín hiệu:
                    y(n) = x1(n)x2(n)                                                   (2.22)
        Co tín hiệu:
                    y(n) = Ax(n), A là hằng số                                          (2.23)

        2.2. Hệ rời rạc
             2.2.1.        Mô tả
       Xét hệ thống nhận tín hiệu vào x(n), tác động lên x(n) và tạo thành tín
hiệu ra y(n). Quá trình tác động của hệ thống lên x(n) thường biểu diễn là H.

                               x(n)              H            y(n)

        Quá trình này thường được ký hiệu là:
                    y(n) = H[x(n)]                                                      (2.24)
                   
        Hay: x(n) H y(n)
      Thông thường đối với các hệ thống, ta chỉ quan tâm đến quá trình biến đổi
mà không cần quan tâm đến cấu trúc của hệ thống (hệ thống xem như là một
"hộp đen" đối với người sử dụng)  ta chỉ cần biết quan hệ giữa ngõ vào và ngõ


Trang 13                                                         GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                       Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

ra của hệ thống (input-output relationship). Khi đó, hệ thống thường được mô tả
bằng phương trình tín hiệu vào – ra.
                                n            n 3
        VD: Xét tín hiệu x(n) = 
                                0            khác
                    x(n) = {3,2,1,0,1,2,3}
                                  
        Đáp ứng của hệ thống ứng với các phương trình tín hiệu khác nhau:
        -    y(n) = x(n – 1):
        Cách thức đơn giản để tính toán đáp ứng của hệ thống là thay tất cả các
giá trị của n cho đến khi các giá trị này đều bằng 0.
                    y(n) = {3,2,1,0,1,2,3}
                                
        -    y(n) = x(n + 1):
                    y(n) = {3,2,1,0,1,2,3}
                                      
        -    y(n) = [x(n – 1) + x(n) + x(n + 1)]/3
                    y(n) = {1,5/3,2,1,2/3,1,2,5/3,1}
                                      
        -    y(n) = max{x(n – 1), x(n), x(n + 1)}
                    y(n) = {3,3,3,2,1,2,3,3,3}
                                    
                         n
        -    y(n) =      x ( n  i)
                       i  

                    y(n) = {3,5,6,6,7,9,12}
                                  
       Ngoài cách biểu diễn hệ thống bằng phương trình, ta còn có thể biểu diễn
hệ thống bằng các sơ đồ khối:
        -    Bộ cộng:
            x1(n)
                                                       y(n) = x1(n) + x2(n)
            x2(n)

        Để tạo bộ trừ, ta có thể thêm dấu trừ vào trước khi đưa vào ký hiệu cộng
        -    Bộ nhân với hằng số:
                                   a
             x(n)                                      y(n) = ax(n)




Trang 14                                                              GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                            Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

        -     Bộ nhân tín hiệu:

              x1(n)                                         y(n) = x1(n)x2(n)

                                  x2(n)

        -     Bộ trễ đơn vị:

              x(n)                              z-1                     y(n) = x(n - 1)

       Để tạo trễ nhiều hơn 1 có thể thực hiện bằng cách ghép nối tiếp nhiều bộ
trễ đơn vị với nhau:
              x(n)             z-1                    z-1               y(n) = x(n - 2)

        Hay cũng có thể biểu diễn:
              x(n)                              z-2                     y(n) = x(n - 2)
        -     Bộ sớm đơn vị:

              x(n)                              z                       y(n) = x(n + 1)

        Bộ sớm cũng có thể thực hiện giống như bộ trễ.
        VD: Biểu diễn các hệ thống theo sơ đồ khối:
                      1            1        1
         y(n) =       x (n  1)  x (n )  x (n  1)
                      4            2        2
                       1/4
                                     z-1

                       1/2
        x(n)                                                     y(n)

                       1/2
                                     z

         y(n) = 2x1(n) – x2(n) + 2x1(n)x2(n)

                                           2
      x1(n)
                                           2
                                                                      y(n)

                                           -1
      x2(n)

         y(n) = 3[x1(n) – 2x22(n)]




Trang 15                                                                 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                       Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

         y(n) = 2y(n – 1) + x(n) + 3x(n – 2)




             2.2.2.          Phân loại
             2.2.1.1. Hệ thống động và hệ thống tĩnh
      Hệ thống tĩnh là hệ thống có ngõ ra là hàm của tín hiệu ngõ vào không trễ,
không sớm. Ví dụ như hệ thống y(n) = ax(n) + bx3(n) là hệ thống tĩnh. Hệ thống
này sử dụng tín hiệu vào trực tiếp, không cần biết đến các trạng thái sớm hay trễ
nên còn được gọi là hệ thống không nhớ (memoryless).
        Hệ thống động hay có nhớ là hệ thống sử dụng thêm trạng thái sớm hay
trễ của tín hiệu. Nếu ngõ ra tín hiệu chỉ xác định được khi phải biết tất cả các giá
trị từ n – N đến n thì hệ thống được gọi là nhớ với chu kỳ N.
        -    Nếu N = 0 thì hệ thống là tĩnh
        -    Nếu 0 < N <: hệ thống nhớ hữu hạn
        -    Nếu N = : hệ thống nhớ vô hạn
        VD:
                              n
                    y(n) =    x (n  k ) là hệ thống nhớ hữu hạn
                             k 0

                              
                    y(n) =    x (n  k ) là hệ thống nhớ vô hạn
                             k 0


             2.2.1.2. Hệ thống bất biến và hệ thống biến thiên theo
                        thời gian
      Một hệ thống gọi là bất biến theo thời gian nếu đặc tính ngõ vào – ngõ ra
không thay đổi theo thời gian.
        Định lý: Hệ thống H bất biến theo thời gian nếu và chỉ nếu:
                    y(n) = H[x(n)]  y(n – k) = H[x(n – k)]                                (2.25)
        với mọi x(n) và khoảng dịch k.
        VD: Xác định các tín hiệu sau là bất biến hay biến thiên theo thời gian
         y(n) = x(n) – x(n – 1) (bộ sai phân)
                    y(n,k) = x(n – k) – x(n – k – 1)

Trang 16                                                            GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                        Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

        Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k:
                    y(n – k) = x(n – k) – x(n – k – 1)
         hệ thống bất biến theo thời gian
         y(n) = nx(n) (bộ nhân thời gian)
                    y(n,k) = (n – k)x(n – k)
        Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k:
                    y(n – k) = nx(n – k)
         hệ thống biến thiên theo thời gian
         y(n) = x(-n) (bộ tạo ảnh gương)
                    y(n,k) = (-n – k)
        Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k:
                    y(n – k) = x(-(n – k)) = x(-n + k)
         hệ thống biến thiên theo thời gian
         y(n) = x(n)cosn (bộ điều chế)
                    y(n,k) = x(n – k)cos(n – k)
        Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k:
                    y(n – k) = x(n – k)cos(n – k)
         hệ thống bất biến theo thời gian

              2.2.1.3. Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến
        Định lý: Hệ thống là tuyến tính nếu và chỉ nếu:
                    H[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1H[x1(n)] + a2H[x2(n)]                          (2.26)
        với mọi tín hiệu ngõ vào x1(n), x2(n) và các hằng số a1, a2.
        Từ phương trình (2.26), nếu a2 = 0:
                    H[a1x1(n)] = a1H[x1(n)] = a1y1(n)                                       (2.27)
         hệ thống tuyến tính có tính tỉ lệ
        Xét trường hợp a1 = a2 = 1:
                    H[x1(n) + x2(n)] = H[x1(n)] + H[x2(n)] = y1(n) + y2(n)                  (2.28)
         hệ thống tuyến tính có tính cộng
        Xét trường hợp a1 = a2 = 0:
                    H[0] = 0                                                                (2.29)
      Nghĩa là nếu x(n) = 0 mà y(n)  0 thì hệ thống là phi tuyến. Hệ thống thỏa
mãn phương trình (2.29) gọi là hệ thống lỏng (relaxed system).
        VD: Xác định các tín hiệu sau là tuyến tính hay phi tuyến
         y(n) = nx(n)
                    y1(n) = nx1(n)
Trang 17                                                             GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                           Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

                    y2(n) = nx2(n)
                    y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = n[a1x1(n) + a2x2(n)]
                    = a1nx1(n) + a2nx2(n) = a1y1(n) + a2y2(n)
         hệ thống tuyến tính
         y(n) = x(n2)
                    y1(n) = x1(n2)
                    y2(n) = x2(n2)
                    y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1x1(n2) + a2x2(n2)
                    = a1y1(n) + a2 y2(n)
         hệ thống tuyến tính
         y(n) = x2(n)
                    y1(n) = x12(n)
                    y2(n) = x22(n)
                    y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = [a1x1(n) + a2x2(n)]2
                    = a1x12(n) + a2x22(n) + 2a1a2x1(n)x2(n)  a1y1(n) + a2y2(n)
         hệ thống phi tuyến
         y = Ax(n) + B
                    y1(n) = Ax1(n) + B
                    y2(n) = Ax2(n) + B
                    y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = A[a1x1(n) + a2x2(n)] + B
                    = a1Ax1(n) + a2Ax2(n) + B = a1y1(n) + a2y2(n) + B(1 – a1 – a2)
         nếu B = 0: hệ thống tuyến tính, B  0: hệ thống phi tuyến
         y(n) = ex(n)
                    y1(n) = e x ( n )
                                   1




                    y2(n) = e x    2 (n)




                    y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = e a x ( n )a x
                                                          a 1   2 2 (n)
                                                                          = ea x (n)ea x
                                                                               a 1    2 2 (n)




                     a1 e x ( n ) + a 2 e x
                             1                 2 (n)



         hệ thống phi tuyến
        Ta có thể xác định hệ thống phi tuyến dựa vào (2.29) như sau: nếu x(n) =
0 thì y(n) = ex(n) = e0 = 1  0 nên hệ thống là phi tuyến.

             2.2.1.4. Hệ thống nhân quả và không nhân quả
      Định lý: Hệ thống là nhân quả nếu và chỉ nếu ngõ ra của hệ thống chỉ phụ
thuộc vào các ngõ vào ở hiện tại và quá khứ (x(n), x(n – 1), x(n – 2), …) mà
không phụ thuộc vào ngõ vào ở tương lai (x(n + 1), x(n + 2), …). Hệ thống
không thỏa mãn điều kiện này gọi là không nhân quả.

Trang 18                                                                   GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                        Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

          VD:
                    y(n) = x(n) – x(n – 1) là nhân quả
                    y(n) = x(n2) là không nhân quả
                    y(n) = x(2n) là không nhân quả

             2.2.1.5. Hệ thống ổn định và hệ thống bất ổn
      Định lý: Một hệ thống lỏng là ổn định nếu và chỉ nếu bất kỳ ngõ vào bị
chặn nào cũng sẽ có ngõ ra bị chặn, nghĩa là tồn tại 2 số Mx, My hữu hạn sao cho:
                    |x(n)|  Mx  |y(n)|  My                                               (2.30)
          VD:
                    y(n) = 2x(n) là ổn định
                    y(n) = y2(n – 1) + x(n)
          Giả sử x(n) = 2(n) và y(-1) = 0
                    y(0) = y2(-1) + x(0) = 2
                    y(1) = y2(1) + x(1) = 22 + 0
                    y(n) = y2(n – 1) + x(n – 1) = 22n không bị chặn  hệ thống bất ổn

      2.3. Hệ LTI rời rạc (Discrete Time Linear Time
           Invariant)
             2.2.3.          Đáp ứng
       Thông thường ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian để
thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế. Hệ thống cũng thường xét là hệ thống
nhân quả và lỏng (nghĩa là nếu ngõ vào bằng 0 thì ngõ ra cũng bằng 0).
          Xét tín hiệu rời rạc:
                    x(n) = {1,4,-1,2,3}
                                      
          Khi đó:
                    x(n=0) = x(0)(0) = -1
                    x(n=1) = x(1)(1) = 2
                    x(n=-1) = x(-1)(-1) = 4
          Như vậy, ngõ vào của hệ thống rời rạc x(n) có thể biểu diễn như sau:
                               
                    x(n) =    x(k)(n  k)
                             k  
                                                                                            (2.31)

          Ta biểu diễn đáp ứng của hệ thống đối với ngõ vào đơn vị tại n = k là
h(n,k):
                    y(n,k) = h(n,k) = H{(n – k)}                                           (2.32)
          Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu x(n) bất kỳ là:

Trang 19                                                             GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                        Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

                                                         
                    y(n) = H{x(n)} = H   x (k )(n  k )   x (k )H(n  k )          (2.33)
                                       k               k 
                               
                    y(n) =    x (k )h (n, k )
                             k  
                                                                                            (2.34)

       Chú ý rằng (2.34) chỉ ứng dụng tính chất tuyến tính của hệ thống mà
không dùng tính chất bất biến theo thời gian nên có thể áp dụng cho bất kỳ hệ
thống tuyến tính lỏng nào.
        Trong hệ thống bất biến thời gian, đáp ứng xung của hàm trễ là:
                    H{(n – k)} = h(n – k)                                                  (2.35)
        Theo (2.33) và (2.35):
                               
                    y(n) =    x (k )h (n  k )
                             k  
                                                                                            (2.36)

      Công thức (2.36) chính là tích chập của tín hiệu ngõ vào x(n) và đáp ứng
xung đơn vị h(n). Quá trình tính tích chập y(n0) có thể mô tả như sau:
         Tạo ảnh gương: tạo ảnh tại k = 0 để tạo thành h(-k).
        Dịch h(-k) sang phải nếu n0 > 0 và sang trái nếu n0 < 0 để tạo thành
h(n0 – k).
         Nhân x(k) với h(n0 – k) để tạo chuỗi v(n0) = x(k)h(n0 – k).

         Cộng tất cả các giá trị của chuỗi v(n0) để tính giá trị ngõ ra tại n = n0.
      VD: Xác định ngõ ra của hệ thống có đáp ứng xung h(n) = {1,2,1,-1} với
ngõ vào x(n) = { 1,2,3,1}                                        
                       
        Tính toán tại n = 0:
         Tạo ảnh gương: h(-k) = {-1,1,2,1}
                                                     
         Do n = 0 nên không thực hiện dịch
         Nhân với x(k): v(0) = {0,0,2,2,0,0}
                                                 
         y(0) =        v(0) = 4
        Tính toán tương tự:
                    y(n) = { 1,4,8,8,3,-2,-1}
                                   

             2.3.1.          Tính chất
                2.3.1.1. Tính giao hoán
        Ta xét một biến m = n – k hay k = n – m. Thế vào (2.36):

Trang 20                                                             GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                     Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
                                                                          
                    y(n) =     x(n  m)h(n  (n  m)) =  x(n  m)h(m)
                             m                                        m  
                                                                                                         (2.37)

        Hay ta có thể viết:
                               
                    y(n) =    x (n  k )h (k )
                             k  
                                                                                                         (2.38)

        Xét hai chuỗi:
                    v(n) = x(k)h(n-k)                                                                    (2.39)
                    w(n) = x(n – k)h(k) = v(n – k)
       Như vậy, v(n) và w(n) là 2 chuỗi có số lượng phần tử giống nhau nhưng vị
trí khác nhau. Do đó:
                                                                
                    y(n) =    w (n ) 
                             k  
                                                v( n  k ) 
                                              k  
                                                                 v( n )
                                                                k  
                                                                                                         (2.40)

        Từ (2.39) và (2.40):
                    x(n) * h(n) = h(n) * x(n)                                                            (2.41)


x(n)       h1(n)               h2(n)          y(n)               x(n)             h2(n)        h1(n)      y(n)


                                              Hình 2.6 – Tính giao hoán


        VD: Xác định ngõ ra của hệ LTI với đáp ứng xung:
                    h(n) = anu(n), |a| < 1
        và ngõ vào là hàm bước đơn vị: x(n) = u(n)
        Ta dùng phương trình (2.38), thực hiện tạo ảnh gương của x(k).
                    x(-k) = {…,1,1,1,1,1,1}
                                                      
                                      2   3   4
                    h(k) = {1,a,a ,a ,a ,…}
                              
        Tại n = 0:
                               
                    y(0) =    x (k )h (k ) = 1
                             k  

        Tại n = - 1:
                    h(k) = {1,a,a2,a3,a4,…}
                              
                    x(-1-k) = {…,1,1,1,1,1,1,0}
                                                          

Trang 21                                                                             GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                               Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

                    y(-1) = 0
        Tại n = 1:
                    h(k) = {1,a,a2,a3,a4,…}
                              
                    x(1-k) = {…,1,1,1,1,1,1}
                                                  
                    y(1) = 1 + a
        Tại n = 2:
                    h(k) = {1,a,a2,a3,a4,…}
                              
                    x(2-k) = {…,1,1,1,1,1,1}
                                              
                    y(2) = 1 + a + a2
                                                          n
                                                                  1  a n 1
        Tương tự: y(n) = 1 + a + … + an =                ak 
                                                         k 0      1 a
                                                  1
        Từ đó: y() =         lim y(n)  1  a
                               n 


                      2.3.1.2. Tính kết hợp
                    [x(n)*h1(n)]*h2(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)]                                        (2.42)


             x(n)        h1(n)                h2(n)      y(n)                  x(n)   h1(n) * h2(n)         y(n)




                                              Hình 2.7 – Tính kết hợp
       VD: Xác định đáp ứng xung của hai hệ LTI ghép liên tầng có các đáp ứng
xung lần lượt là:
                    h1(n) = (½)nu(n)
                    h2(n) = (¼)nu(n)
        Đáp ứng xung của 2 hệ là:
                               
                    h(n) =    h (k )h
                             k  
                                      1   2   (n  k )

        Xét chuỗi:
                    v(n) = h1(k)h2(n – k) = (½)k(¼)n-ku(k)u(n-k)
       Như vậy, v(n)  0 khi k  0 và n – k  0  n  k  0. Nghĩa là v(n) = 0
khi n < 0.

Trang 22                                                                       GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                                Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

          Từ đó:

                                                                                   1 n 2 n 1  1 với n  0
                               n                                    n
                    h(n) =      12   14 
                                      k      n k
                                                        =    1 n  2 k
                                                              4              =      4
                              k 0                                 k 0


          Như vậy: h(n) =               1 n 2 n 1  1u(n)
                                         4


                      2.3.1.3. Tính phân phối
                    [x(n)* [h1(n) + h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n)                                                     (2.43)

                       h1(n)

       x(n)                                                 y(n)                   x(n)      h1(n) + h2(n)        y(n)

                       h2(n)



                                                Hình 2.8 – Tính phân phối
          Nếu có nhiều hệ LTI mắc song song thì đáp ứng tổng cộng của hệ thống
là:
                    h(n) =     h (n )
                              i 1
                                        i                                                                                (2.44)


              2.3.2.         Hệ LTI nhân quả
         Hệ LTI nhân quả là hệ chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống tại thời
điểm hiện tại và quá khứ mà không phụ thuộc vào thời điểm tương lai. Do đó, tại
n = n0 :
                                                                       1                          
                    y(n0) =      h (k ) x (n
                               k  
                                                    0    k)         h (k ) x (n
                                                                    k  
                                                                                       0    k )   h (k ) x (n 0  k )
                                                                                                   k 0

          không phụ thuộc vào các trạng thái n > n0 khi các hệ số h(k) = 0 với k < 0.
          Nghĩa là:
                    h(n) = 0 khi n < 0                                                                                   (2.45)
      Như vậy, hệ thống LTI là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung cũng là
nhân quả. Từ đó, ngõ ra của hệ thống nhân quả là:
                               
                    y(n) =     h (k ) x (n  k )
                              k 0
                                                                                                                         (2.46)

                                n
          Hay: y(n) =          x (k )h (n  k )
                              k  
                                                                                                                         (2.47)

          Trong trường hợp tín hiệu ngõ vào là nhân quả, nghĩa là x(n) = 0 khi n < 0
thì:
                               n
                    y(n) =     h (k ) x (n  k )
                              k 0
                                                                                                                         (2.48)


Trang 23                                                                                       GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                               Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
                                    n
        Hay: y(n) =                x (k )h (n  k )
                                   k 0
                                                                                                                   (2.49)

        VD: Xác định ngõ ra của hệ LTI với đáp ứng xung:
                    h(n) = anu(n), |a| < 1
        và ngõ vào là hàm bước đơn vị: x(n) = u(n)
        Do h(n) và x(n) là nhân quả nên áp dụng (2.48):
                                    n
                                                                       1  a n 1
                    y(n) =         a n u (n )u (n  k ) =
                                   k 0                                 1 a

             2.3.3.               Sự ổn định
       Hệ thống ổn định khi tín hiệu vào hữu hạn thì ngõ ra hữu hạn. Nghĩa là:
nếu tồn tại số Mx sao cho: |x(n)|  Mx <  thì |y(n)|  My < .
        Từ (2.38), lấy trị tuyệt đối:
                                                                        
                    |y(n)| =             h (k ) x (n  k ) 
                                       k  
                                                                        h (k ) x (n  k )
                                                                       k  

                                                 
                    |y(n)|  M x                 h (k )
                                               k  

        Để |y(n)| hữu hạn thì:
                      

                     h (k )
                    k  
                                           hữu hạn                                                                 (2.50)

      Như vậy, để hệ thống ổn định thì tổng giá trị tuyệt đối của đáp ứng
xung tại tất cả các thời điểm là hữu hạn.
                                   
        Trường hợp                h (k )
                                 k  
                                                        vô hạn, xét ngõ vào:

                            h * (n )
                                                         h (n )  0
                    x(n) =  h (n )
                            0
                                                         h (n )  0
        Trong đó h*(n) là liên hiệp phức của h(n). Ta có:
                                                                                          
                                                                         h * (k )h (k )
                    y(0) =          x (k )h (k ) =
                                   k  
                                                                    h (k ) =
                                                                  k  
                                                                                           h (k )
                                                                                          k  
                                                                                                     vô hạn

       Từ đó, y(n) không bị chặn. Như vậy, (2.50) cũng là điều kiện cần để hệ
thống ổn định.
        VD: Xét điều kiện để hệ thống ổn định với đáp ứng xung:
                    h(n) = anu(n), |a| < 1
        Do hệ thống là nhân quả nên (2.50) trở thành:
                     

                    a
                    k 0
                             k
                                  hữu hạn.

Trang 24                                                                                    GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                                               Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

        Hay:
                                                               m 1
                                               1 a
                    a               lim
                                k
                                                                        hữu hạn
                    k 0
                                        m         1 a
        Như vậy hệ thống ổn định khi |a| < 1.
        VD: Xét điều kiện để hệ thống ổn định với đáp ứng xung:
                           a n                  n0
                    h(n) =  n
                           b                    n0
        Ta có:
                                                                                                                         1
                                                                                                                1       m 1
                                                                      1                                          b
                                                                                                            1
                     h (k )               =   a          k
                                                                +       b       k
                                                                                     =   a      k
                                                                                                     + lim
                                                                                                       m  b            1
                    k                       k 0                    k              k 0
                                                                                                                 1
                                                                                                                         b

                                                                    1
                                                      1              m 1
                                                               b
                    =    a
                         k 0
                                    k
                                        + lim
                                               m             b 1
                                                                                hữu hạn khi |a| < 1 và |b| > 1


             2.3.4.                 Đáp ứng xung vô hạn và hữu hạn
        Ở các phần trước, ta gọi đáp ứng xung của hệ thống là h(n). Để thuận tiện
hơn, ta chia đáp ứng xung thành 2 phần: đáp ứng xung có thời gian hữu hạn (FIR
– Finite duration Impulse Response) và đáp ứng xung có thời gian vô hạn (IIR –
Infinite duration Impulse Response). Do hệ thống FIR chỉ có giá trị trong một
khoảng thời gian xác định nên đối với hệ thống FIR:
                    h(n) = 0 khi n < 0 và n ≥ M
        Ngõ ra của hệ thống FIR là:
                                    M 1
                    y(n) =           h (k ) x (n  k )
                                    k 0

       Như vậy, ngõ ra y(n) là kết hợp tuyến tính của các tín hiệu lấy mẫu x(n),
x(n – 1), … x(n – M + 1). Ta gọi hệ thống FIR là hệ thống nhớ hữu hạn.

      2.4. Phương trình sai phân
             2.4.1.                 Hệ rời rạc đệ quy và không đệ quy
        Xét một hệ thống tính trung bình tích lũy của tín hiệu x(n):
                                      1 n
                    y(n) =                 x (k )
                                    n  1 k 0
                                                                                                                                   (2.51)

        Hay:
                                                    n 1
                    (n + 1)y(n) =                    x (k )
                                                    k 0
                                                                        + x(n) = ny(n-1) + x(n)


Trang 25                                                                                                    GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                       Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

                               n               1
                    y(n) =        y(n  1)       x (n )                                                   (2.52)
                             n 1            n 1
       Như vậy ngõ ra y(n) có thể tính toán đệ quy thông qua y(n – 1) và ngõ vào
x(n). Hệ thống như vậy được gọi là hệ đệ quy, trong đó tín hiệu ngõ ra tại thời
điểm n y(n) phụ thuộc vào các giá trị ngõ ra ở quá khứ y(n – 1), y(n – 2), …
                    y(n) = F{x(n),x(n – 1), …, y(n – 1), y(n – 2),…}                                       (2.53)
      Ngược lại, nếu ngõ ra y(n) chỉ phụ thuộc ngõ vào thì hệ thống gọi là
không đệ quy:
                    y(n) = F{x(n),x(n – 1), …}                                                             (2.54)

             2.4.2.          Mô tả hệ LTI bằng phương trình sai phân hệ số
                             hằng
        Giả sử ta có hệ thống đệ quy với phương trình:
                    y(n) = ay(n – 1) + x(n)                                                                (2.55)

                               x(n)                                     h(n)               y(n)


                                                           a              z-1


                                           Hình 2.9 – Hệ đệ quy đơn giản
        Ta có:
                    y(0) = ay(-1) + x(0)
                    y(1) = ay(0) + x(1) = a2y(-1) + x(1) + ax(0)
                                                 n
                    y(n) = an+1y(-1) +          a
                                                k 0
                                                       k
                                                           x (n  k ) , n ≥ 0                              (2.56)

      Ngõ ra của hệ thống bao gồm 2 thành phần: điều kiện đầu y(-1) và đáp
ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào x(n).
       Nếu hệ thống lỏng (relaxed system) thì x(0) = 0  y(0) = 0 y(-1) = 0.
Vậy, một hệ thống đệ quy là lỏng nếu điều kiện đầu = 0. Đáp ứng của hệ thống
trong trường hợp này (zero – state response) là:
                                n
                    yzs(n) =   a
                               k 0
                                      k
                                          x (n  k ) , n ≥ 0                                               (2.57)

       Chú ý rằng (2.57) là tổng chập của x(n) với đáp ứng xung h(n) = anu(n) 
hệ thống mô tả bằng phương trình sai phân bậc 1 là hệ nhân quả và đáp ứng này
gọi là đáp ứng buộc của hệ thống (forced response). Như vậy, hệ thống đệ quy
lỏng mô tả bằng phương trình sai phân bậc 1 là hệ IIR LTI với đáp ứng xung
h(n).
       Trong trường hợp hệ thống có y(-1) ≠ 0 và ngõ vào x(n) = 0 n. Đáp ứng
của hệ thống trong trường hợp này (zero – input response) là:

Trang 26                                                                            GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                  Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

                    yzi(n) = an+1y(-1), n ≥ 0                                                         (2.58)
       Khi đó, đáp ứng này gọi là đặc tính của hệ thống do nó độc lập với ngõ
vào và còn được gọi là đáp ứng tự do của hệ thống (free response). Tổng đáp ứng
của hệ thống có thể mô tả như sau:
                    y(n) = yzi(n) + yzs(n)
        Dạng phương trình sai phân tổng quát mô tả như sau:
                                N                      M
                    y(n) =   a k y(n  k )   b k x (n  k )                                       (2.59)
                               k 1                    k 0

                     N                      M
        Hay:         a k y(n  k)   b k x(n  k), a 0  1
                    k 0                    k 0
                                                                                                      (2.60)

        N gọi là bậc của phương trình sai phân (bậc của hệ thống).

             2.4.3.         Đáp ứng của hệ LTI đệ quy
      Đáp ứng xung của hệ thống LTI định nghĩa là đáp ứng của hệ thống với
ngõ vào là hàm xung đơn vị. Trong trường hợp hệ thống đệ quy, h(n) chính là
đáp ứng buộc của hệ thống khi ngõ vào là hàm xung đơn vị và giá trị đầu bằng 0.
        Với hệ thống đệ quy bậc 1, đáp ứng buộc của hệ thống (2.55):
                                n
                    yzs(n) =   a
                               k 0
                                      k
                                          x (n  k )                                                  (2.61)

        Khi x(n) = (n):
                                n
                    yzs(n) =   a
                               k 0
                                      k
                                          (n  k ) = an , n ≥ 0

         Đáp ứng xung của hệ thống đệ quy bậc 1:
                    h(n) = anu(n)                                                                     (2.62)
        Trong trường hợp bất kỳ:
                                n
                    yzs(n) =    h (k ) x (n  k )
                               k 0
                                                                                                      (2.63)

        Khi x(n) = (n):
                                n
                    yzs(n) =    h(k)x(n  k) = h(n)
                               k 0



      2.5. Thực thi của hệ thống rời rạc
             2.5.1.         Cấu trúc của hệ thống LTI
        Xét hệ thống bậc 1:
                    y(n) = - a1y(n – 1) + b0x(n) + b1x(n – 1)                                         (2.64)
        được mô tả như hình vẽ:



Trang 27                                                                       GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                     Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian


                               x(n)         b0                v(n)                           y(n)



                                      z-1                                              z-1

                                             b1                                  -a1

                                       Hình 2.10 – Dạng trực tiếp 1
       Dạng biểu diễn của hệ thống sử dụng cả bộ trễ ở cả ngõ ra và ngõ vào gọi
là cấu trúc dạng trực tiếp loại 1. Hệ thống trên hình 2.10 được biểu diễn ở dạng 2
hệ thống ghép liên tầng. Tầng đầu tiên không đệ quy mô tả như sau:
                    v(n) = b0x(n) + b1x(n – 1)                                                           (2.65)
        Tầng thứ hai là tầng đệ quy:
                    y(n) = - a1y(n - 1) + v(n)                                                           (2.66)
      Theo tính chất giao hoán của hệ LTI, ta có thể thay đổi vị trí của hai tầng
đệ quy và không đệ quy:
                    w(n) = - a1w(n – 1) + x(n)                                                           (2.67)
                    y(n) = b0w(n) + b1w(n – 1)
        Hai phương trình sai phân (2.67) mô tả như hình vẽ sau:
                           x(n)                          w(n)               b0                y(n)



                                                        z-1           z-1

                                                  -a1                        b1
                                                        Hình 2.11
       Theo hình 2.11, hai bộ trễ đều tạo thành tín hiệu w(n – 1) nên có thể ghép
thành chỉ một bộ trễ như sau:
                           x(n)                          w(n)               b0                y(n)



                                                                z-1

                                                  -a1                        b1

                                                        Hình 2.12
      Sơ đồ hình 2.12 được gọi là cấu trúc dạng trực tiếp loại 2 và thướng được
sử dụng trong các ứng dụng thực tế.
     Dựa vào phân tích của hệ bậc 1 trên, ta xét hệ thống biểu diễn bằng
phương trình sai phân sau:

Trang 28                                                                               GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                     Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
                                ����                                ����
                    y(n) = −    ����=1 �������� ����(����       − ����) +     ����=0 �������� ����(����   − ����)                (2.68)
        Cấu trúc trực tiếp loại 1 và loại 2 của (2.68) mô tả như sau;
                               x(n)            b0                                           y(n)



                                      z-1                                           z-1

                                                b1                          -a1


                                      z-1                                           z-1

                                                b2                          -a2


                                                                     
                                          -1
                                      z                                             z-1

                                                bM                          -aN


                                  Hình 2.13 – Cấu trúc trực tiếp loại 1
                         x(n)                                            b0                 y(n)


                                                            z-1

                                                                       b1
                                                    -a1

                                                                         
                                                            z-1
                                                     -aM              bM


                                                    
                                                            z-1

                                                     -aN

                                  Hình 2.14 – Cấu trúc trực tiếp loại 2
        Xét trường hợp của phương trình (2.68) với ak = 0 (k = 1, …, N):
                             ����
                    y(n) =   ����=0 �������� ����(����        − ����)                                                (2.69)
       là hệ LTI không đệ quy. Hệ thống này dùng M+1 mẫu của tín hiệu ngõ
vào và mỗi mẫu ứng với một bộ cộng có trọng số tương ứng là bk, nghĩa là ngõ ra
là trung bình động (moving average) của ngõ vào. Hệ thống này còn được gọi là

Trang 29                                                                              GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                       Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

hệ thống trung bình động (MA system). Hệ thống này chính là hệ thống FIR với
đáp ứng xung:
                       �������� 0 ≤ ���� ≤ ����
                    h(n) =                                                                                 (2.70)
                        0      ����ℎá����
        Xét (2.68) với M = 0:
                                    ����
                    y(n) = −        ����=1 �������� ����(����   − ����) + ����0 ����(����)                                   (2.71)
      Hệ thống này gọi là hệ đệ quy thuần túy (purely recursive). Khi đó, ngõ ra
của hệ thống là kết hợp tuyến tính giữa N ngõ ra trước đó và giá trị hiện tại của
ngõ vào.

             2.5.2.          Hệ thống FIR đệ quy và không đệ quy
        Xét phương trình cơ bản của hệ thống nhân quả , đệ quy:
                    y(n) = F[y(n – 1), …, y(n – N), x(n), …, x(M)]                                         (2.72)
        Hay cụ thể hơn là phương trình sai phân biểu diễn hệ LTI:
                                    ����                              ����
                    y(n) = −        ����=1 �������� ����(����   − ����) +       ����=0 �������� ����(����   − ����)                (2.73)
        Mặt khác, hệ thống nhân quả không đệ quy mô tả bằng phương trình:
                    y(n) = F[x(n), …, x(M)]                                                                (2.74)
        và hệ LTI biểu diễn bằng phương trình (2.73) với ak = 0 (k = 1, …, N).
        Xét hệ thống FIR:
                              1       ����
                    y(n) =
                             ����+1     ����=0 ����(����   − ����)                                                   (2.75)
        Đáp ứng xung của hệ thống:
                              1
                    h(n) =           0 ≤ ���� ≤ ����                                                           (2.76)
                             ����+1

        Cấu trúc của hệ thống mô tả như sau:
                                                                                  1
                               x(n)                                            ���� + 1         y(n)


                                                      z-1




                                                                  
                                                          -1
                                                      z




                             Hình 2.15 – Cấu trúc không đệ quy của hệ FIR
        Từ phương trình (2.75):
                                      1      ����
                    y(n – 1) =               ����=0 ����(����        − 1 − ����)
                                    ����+1



Trang 30                                                                                GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                   Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian
                               1        ����
                    y(n) =
                              ����+1      ����=0 ����   ���� − ����
                                 1       ����                            1
                          =
                               ����+1      ����=0 ����(����   − 1 − ����) +
                                                                    ����+1
                                                                           ���� ���� − ����(���� − 1 − ����)
                                                  1
                    y(n) = y(n – 1) +                  ���� ���� − ����(���� − 1 − ����)                         (2.77)
                                              ����+1
        Phương trình (2.77) chính là phương trình đệ quy của hệ FIR với cấu trúc
sau:
                                                                       1
                                                                                            y(n)
                           x(n)                                     ���� + 1


                                            z-1                   -1                  z-1


                                                  


                                            z-1
                                                  x(n – 1 – M)


                                     Hình 2.16 – Cấu trúc đệ quy của hệ FIR

       2.6. Tương quan của tín hiệu rời rạc
             2.6.1.            Chuỗi tương quan chéo và tự tương quan
       Xét hai tín hiệu năng lượng x(n) và y(n). Tương quan chéo
(crosscorrelation) giữa hai tín hiệu này rxy(l) định nghĩa như sau:
                                 
                    rxy(l) =    x(n) y(n  l)
                               n  
                                                                                                       (2.78)

                                 
        Hay: rxy(l) =           x(n  l) y(n)
                               n  
                                                                                                       (2.79)

        Nếu thay đổi x(n) bằng y(n) và ngược lại:
                                 
                    ryx(l) =    y(n)x(n  l)
                               n  
                                                                                                       (2.80)

                                 
        Hay: ryx(l) =           y(n  l)x(n)
                               n  
                                                                                                       (2.81)

        So sánh (2.65) và (2.66):
                    rxy(l) = ryx(-l)                                                                   (2.82)
        Như vậy, ryx(l) là ảnh gương của rxy(l).
        VD: Xác định chuỗi tương quan chéo của các chuỗi sau:
                    x(n) = {2,-1,3,7,1,2,-3}
                                            

Trang 31                                                                        GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                      Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

                    y(n) = {1,-1,2,-2,4,1,-2,5}
                                          
        Theo (2.64), tại l = 0:
                    v0(n) = x(n)y(n) = {2,1,6,-14,4,2,6}
                                                                  
                                                      
                    rxy(0) =     x ( n ) y( n ) =
                                n  
                                                     v
                                                     n  
                                                              0   (n ) = 7

        Với l > 0, ta thực hiện dịch phải y(n) và tính vl(n) = x(n)y(n-l)
                    rxy(1) = 13
                    rxy(2) = -18
                    rxy(3) = 16
                    rxy(4) = -7
                    rxy(5) = 5
                    rxy(6) = -3
                    rxy(l) = 0 , l  7
        Với l < 0, ta thực hiện dịch trái y(n) và tính vl(n) = x(n)y(n-l)
                    rxy(-1) = 0
                    rxy(-2) = 33
                    rxy(-3) = -14
                    rxy(-4) = 36
                    rxy(-5) = 19
                    rxy(-6) = -9
                    rxy(-7) = 10
                    rxy(l) = 0 , l  -8
        Như vậy, chuỗi tương quan chéo của x(n) và y(n) là:
                    rxy(l) = {10,-9,19,36,-14,33,0,7,13,-18,16,-7,5,-3}
       Trong trường hợp y(n) = x(n) thì tương quan chéo trở thành tự tương quan
(autocorrelation):                         
                                 
                    rxx(l) =    x(n)x(n  l)
                               n  
                                                                                                          (2.83)

                                 
        Hay: rxx(l) =           x(n  l) y(n)
                               n  
                                                                                                          (2.84)




Trang 32                                                                           GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                                              Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

               2.6.2.        Tính chất của chuỗi tương quan và tương quan
                             chéo
        Xét 2 tín hiệu năng lượng x(n), y(n) và kết hợp tuyến tính của 2 tín hiệu
này ax(n) + by(n – l) trong đó a, b là các hằng số bất kỳ. Năng lượng của tín hiệu
này là:
                                                                                                     

            ax(n)  by(n  l)                        x 2 (n )  b 2         y2 (n  l)  2ab  x(n) y(n  l)
                                            2
                                                = a2
         n                                          n                    n                   n  

                      

                     ax(n)  by(n  l)                      = a2rxx(0) + b2ryy(0) + 2abrxy(l)
                                                       2
                                                                                                                  (2.85)
                    n  

        Ta có:
                    a2rxx(0) + b2ryy(0) + 2abrxy(l)  0                                                           (2.86)
        Giả sử b  0:
                                   2
                           a           a
                    rxx (0)   2rxy (l)   ryy (0)  0
                           b           b
      Đây là bất phương trình bậc 2 với các hệ số rxx(0), 2rxy(l) và ryy(0) thoả
mãn với a, b tuỳ ý nên:
                      4rxy (l)  rxx (0)ryy (0)  0
                           2



        Mà rxx(0) = Ex và ryy(0) = Ey là năng lượng của x(n) và y(n). Do đó:
                    rxy (l)  rxx (0)ryy (0)  E x E y                                                            (2.87)

        Trường hợp y(n) = x(n):
                    rxx (l)  E x E x  E x                                                                       (2.88)
      Nghĩa là chuỗi tự tương quan có giá trị lớn nhất tại l = 0 và chuỗi tương
quan chéo có giá trị lớn nhất theo (2.73).
        Chuỗi tự tương quan và tương quan chéo chuẩn hoá được định nghĩa như
sau:
                                 rxx (l)
                     xx (l)                                                                                     (2.89)
                                 rxx (0)
                                          rxy (l)
                     xy (l)                                                                                     (2.90)
                                   rxx (0)ryy (0)

         |xx(l)|  1 và |xy(l)|  1
        Ta có:
                                                                       
                    rxx(-l) =     x(n)x(n  (l)) =
                                 n  
                                                                        x(n  l)x(n) = rxx(l)
                                                                      n  


         chuỗi tự tương quan là chẵn  chỉ cần tính cho trường hợp l  0.
        VD: Tính chuỗi tự tương quan của x(n) = anu(n), 0 < a < 1

Trang 33                                                                                   GV: Phạm Hùng Kim Khánh
 Xử lý số tín hiệu                                                           Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian




 1
                           x(n)                                         1
                                                                                       x(n – l)
                                                                                        l0
0.8                                                                    0.8




0.6                                                                    0.6




0.4                                                                    0.4




0.2                                                                    0.2




 0                                                                      0
        -5            0               5           10             15               -5                 0           5     10   15

                                                                        3




 1                                                                     2.5                                    rxx(l)
                           x(n – l)
0.8                                                                     2
                            l<0
0.6                                                                    1.5




0.4                                                                     1




0.2                                                                    0.5




 0                                                                      0
        -5            0               5           10             15               -5                 0           5     10   15

                                                                                                             n
                     Hình 2.15 – Tính toán tự tương quan của chuỗi x(n) = a u(n)
             Xét l  0:
                                                                                         
                     rxx(l) =    x(n)x(n  l) =
                                n  
                                                             a n a n l = a l  a 2 n
                                                            n l                           n l


                                 -l       2l   2l+2                l          2        41  a 2 m2
                     rxx(l) = a (a + a                + …) = a (1 + a + a + …) = a lim                   l
                                                                                   m    1 a
             Do 0 < a < 1 nên:
                                       1      l  1
                     rxx(l) = a l          =a
                                      1 a      1 a
             Xét l < 0:
                                                                                         
                     rxx(l) =    x(n)x(n  l) =
                                n  
                                                             a n a n l = a l  a 2 n
                                                            n 0                        n 0


                                           1         1
                     rxx(l) = a l
                                                  l
                                               =a
                                          1 a      1 a
             Như vậy:
                                  l    1
                     rxx(l) = a
                                      1 a



 Trang 34                                                                                         GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Xử lý số tín hiệu                                         Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

                                     1    1
                    rxx(0) = a 0        
                                    1 a 1 a
                   xx(l) = a|l|

              2.6.3.           Tương quan của chuỗi tuần hoàn
          Xét hai tín hiệu công suất x(n) và y(n). Tương quan chéo giữa hai tín hiệu
này là:
                                             M
                                     1
                    rxy(l) = lim
                             M  2 M  1
                                            x(n) y(n  l)
                                          n  M
                                                                                             (2.91)

          Tự tương quan:
                                               M
                                       1
                    rxx(l) = lim
                               M  2 M  1
                                              x(n)x(n  l)
                                            n  M
                                                                                             (2.92)

          Nếu x(n) và y(n) là chuỗi tuần hoàn với chu kỳ N thì:
                               1 N 1
                    rxy(l) =      x(n) y(n  l)
                               N n 0
                                                                                             (2.93)

                               1 N 1
                    rxx(l) =      x(n)x(n  l)
                               N n 0
                                                                                             (2.94)

          Hai chuỗi tương quan rxy(l) và rxx(l) cũng là chuỗi tuần hoàn có chu kỳ N.




Trang 35                                                              GV: Phạm Hùng Kim Khánh

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:36
posted:4/28/2010
language:Vietnamese
pages:28