Docstoc

PENGANTAR MEKANIKA QUANTUM

Document Sample
PENGANTAR MEKANIKA QUANTUM Powered By Docstoc
					Pengantar Mekanika Kuantum




                    Oleh:


              Miftachul Hadi
  Applied Mathematics for Biophysics Group
        Physics Research Centre LIPI
Puspiptek, Serpong, Tangerang 15314, Indonesia
          http://www.fisika.lipi.go.id

                 16 Mei 2008
Bab 1

Pendahuluan

   Mekanika kuantum adalah metode baru untuk menginterpretasikan data dan mem-
prediksi sifat-sifat obyek submikroskopik. Pengembangan mekanika kuantum: radiasi
benda hitam Planck, atom Bohr, mekanika matriks Heisenberg, dualitas cahaya oleh
Einstein, de Broglie, Schrodinger, mekanika gelombang.



1.1     Radiasi benda hitam Planck

   Formula Rayleigh-Jeas:


                                                 8πν 2
                                u(ν, T ) =             kT
                                                  c3
Bencana ultra violet:

                                     ∞
                                         u(ν, T )dν → ∞
                                 0

dimana u adalah kerapatan energi radiasi.




                                             1
BAB 1. PENDAHULUAN                                                                        2




                                          ¯      Eρ(E)dE
                                          E=
                                                  ρ(E)dE
                                                  ∞
                                                 0
                                                     Ee−E/kT dE
                                            =       ∞ −E/kT
                                                   0
                                                     e      dE
                                                 2 2
                                                k T
                                            =
                                                 kT
                                            = kT

                       ∞                               ∞
                           e−E/kT
                                       dE = kT             e−u du = kT e−u |0 = kT
                                                                            ∞
                   0                               0


                                   ∞                                   ∞
                                       Ee−E/kT dE = (kT )2                 ue−u du
                               0                                   0


                       ∞
                                                 d         ∞
                                                                             1
                           Ee−Eα dE = −                        e−Eα dE =        = k2T 2
                   0                            dα     0                     α2
Menurut Planck:


   • energi merupakan perkalian bilangan bulat dengan energi terkecil, E = hν.

   • integral   → somasi, Σ.




                                         ¯ = Σn=0 nhνe
                                              ∞        −nhν/kT
                                         E
                                               Σ∞ e−nhν/kT
                                                n=0
                                             hνΣ∞ nxn
                                                 n=0
                                           =
                                               Σ∞ xn
                                                n=0


                                                                            1
                               Σ∞ xn = 1 + x + x2 + ... =
                                n=0
                                                                           1−x


                                                                               x
                           Σ∞ nxn = x + 2x2 + 3x3 + ... =
                            n=0
                                                                             1 − x2
Maka
BAB 1. PENDAHULUAN                                                                  3



                                           x
                                            2
                                 ¯
                                 E = hν 1−x
                                          1
                                          1−x
                                          x
                                   = hν
                                        1−x
                                      hνe−hν/kT ehν/kT
                                   =
                                     1 − e−hν/kT ehν/kT
                                         hν
                                   = hν/kT
                                     e      −1

                                        8πhν 3    1
                             u(ν, T ) =
                                          c3 ehν/kT − 1
yakni, kerapatan energi radiasi.
   Gelombang de Broglie:
Cahaya sebagai partikel


                                                        c
                                 E = hν = hω 2π/T = h
                                          ¯
                                                        λ
dimana c adalah kecepatan cahaya.
Momentum gelombang cahaya: p = h/λ.
Gelombang de Broglie: λ = h/p.



1.2     Persamaan Schrodinger

   Persamaan Schrodinger adalah persamaan gelombang untuk partikel. Persamaan
gelombang bisa ditulis sebagai


                                                        h
                              ψ = ei(kx−ωt) = ei(px−Et)/¯

Catatan:
i pada eksponensial memiliki makna, jika i hilang maka eksponensial bernilai plus atau
minus yakni bukan gelombang.
   Terdapat dua pilihan bagi Schrodinger:


                                                p2
                                        E=
                                                2m
BAB 1. PENDAHULUAN                                                             4


   atau


                    E 2 = p2 c2 + m 2 c4   (dibuktikan oleh Dirac)

sebab menurut Schrodinger ”tidak” dapat menjelaskan atom H.
Persamaan yang memenuhi persamaan pertama adalah


                                       ∂ψ    h2 ∂ 2 ψ
                                             ¯
                                   h
                                  i¯      =−
                                       ∂t    2m ∂x2
Catatan:
E diskrit yakni energi partikel dalam keadaan ”bound state” (misal elektron dalam
atom H).
   Max Born menafsirkan kuadrat fungsi gelombang sebagai peluang, p ∝ |ψ|2 .
Tinjau partikel dalam kotak


                                       ∂ψ    h2 ∂ 2 ψ
                                             ¯
                                   h
                                  i¯      =−
                                       ∂t    2m ∂x2
Misal


                                                    h
                                ψ(x, t) = φ(x)e−iEt/¯

maka


                                h           h      h2
                                                   ¯      ∂ 2 φ(x)
                      φ(x)e−iEt/¯ E = e−iEt/¯ −
                                                   2m       ∂x2


                               h2 d2 φ(x)
                               ¯
                                          + Eφ(x) = 0
                               2m dx2


                               d2 φ(x) 2mE
                                      + 2 φ(x) = 0
                                dx2     ¯
                                        h

                                 d2 φ(x)
                                      2
                                         + k 2 φ(x) = 0
                                  dx
BAB 1. PENDAHULUAN                                                        5




                              (D + ik)(D − ik)φ = 0

Solusi:


                              φ(x) = Aeikx + Be−ikx

atau


                            φ(x) = C sin kx + D cos kx

gunakan ”kotak”: φ(x = 0) = 0 dan φ(x = a) = 0


                      φ(x = 0) → D = 0 → φ(x) = C sin kx


                                                                     nπ
                   φ(x = a) = C sin ka = 0 → ka = nπ, k =
                                                                      a
dimana n adalah bilangan bulat.
Sehingga


                                                           nπx
                                   φ(x) = C sin
                                                            a


                                      ∞
                              1=           |φ(x)|2 dx
                                     −∞
                                                a
                                                           nπx
                                  = |C|2            sin2       dx
                                            0               a
                                        1                        2
                                  = |C|2 a → C =
                                        2                        a

                                                    2     nπx
                                  φ(x) =              sin
                                                    a      a


                            2mE      h2 k 2
                                     ¯          n2 π 2 h2
                                                       ¯
                     k2 =      2 →E=        →E=
                             h
                             ¯        2m         2ma2
BAB 1. PENDAHULUAN                                                                    6



                                                      2     nπx
                                  φn (x) =              sin
                                                      a      a


                                                      h
                              ψn (x, t) = φn (x)e−iEt/¯
                                                    2     nπx −iEt/¯
                                                                   h
                                          =           sin    e
                                                    a      a


                                     Pn (x) = |ψn (x, t)|2
                                                    2 2 nπx
                                                =     sin
                                                    a     a
jika t = 0 → ψn (x) = φn .
Solusi problem partikel dalam kotak ada n jenis. Superposisi linier dari solusi tersebut
juga merupakan solusi persamaan Schrodinger.
Problem A.4 Goswami, p.27:
Partikel dalam kotak (Gb. 1.9)


                                         x2
                             ψ(x) = x 1 − 2             ,    0≤x<a
                                         a


                               ψ(x) = 0,            x > a,   x < 0.

Hitung peluang partikel dalam keadaan dasar (n = 1)!


                                          a
                         ψn |φ1 =             ψn (x)φ1 (x)dx
                                               ∗
                                      0
                                          a
                                                       x2      2     πx
                                 =            x 1−               sin    dx
                                      0                a2      a      a

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:247
posted:4/28/2010
language:Indonesian
pages:7