Quantum Computer presentazione by yrf69717

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									Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali




                                  Quantum Computer

                                        e
                           Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi

                                              Liceo Locarno


                                         27 gennaio 2009




                                e
                   Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali


1   Introduzione
       Motivazione
       Storia
                  a
       Potenzialit`
2   Principi
       Qubit
       Registri
       Quantum gates
       Propriet`a
3   Algoritmi
       Deutsch-Jozsa
       Grover
       Shor
4   Aspetti sperimentali
       Problemi
       Modelli
       Realizzazioni
                                e
                   Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                       Motivazione Storia Potenzialit`




                                 Introduzione




                                e
                   Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

    e
Cos’` un quantum computer?




                             e
  Un computer quantistico ` un macchinario che esegue calcolazioni
  sfruttando le leggi della fisica quantistica.


  Le operazioni in un computer quantistico avvengono quindi a
  livello subatomico.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

    e
Cos’` un quantum computer?




                             e
  Un computer quantistico ` un macchinario che esegue calcolazioni
  sfruttando le leggi della fisica quantistica.


  Le operazioni in un computer quantistico avvengono quindi a
  livello subatomico.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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La motivazione per il QC




  L’attuale tecnologia informatica sembra avere un limite.

  Se si vuole continuare a ridurre la dimensione e aumentare la
                          e
  potenza dei calcolatori ` necessario introdurre nuove tecniche.

  ⇒ quantum computer.




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La motivazione per il QC




  L’attuale tecnologia informatica sembra avere un limite.

  Se si vuole continuare a ridurre la dimensione e aumentare la
                          e
  potenza dei calcolatori ` necessario introdurre nuove tecniche.

  ⇒ quantum computer.




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La motivazione per il QC




  L’attuale tecnologia informatica sembra avere un limite.

  Se si vuole continuare a ridurre la dimensione e aumentare la
                          e
  potenza dei calcolatori ` necessario introdurre nuove tecniche.

  ⇒ quantum computer.




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Deep Blue vs. Homo Sapiens


  Alcuni scienziati credono che il cervello umano agisca in termini
  quantistici.

            e
  L’ipotesi ` fondata sul fatto
  che Garry Kasparov sia
  riuscito a vincere una partita
  di scacchi contro Deep Blue,
  il computer della IBM, che
  analizza un milione di
  posizioni al secondo.

                                                         o
  Un cervello umano che agisce in termini classici non pu` effettuare
  tante operazioni al secondo.


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Deep Blue vs. Homo Sapiens


  Alcuni scienziati credono che il cervello umano agisca in termini
  quantistici.

            e
  L’ipotesi ` fondata sul fatto
  che Garry Kasparov sia
  riuscito a vincere una partita
  di scacchi contro Deep Blue,
  il computer della IBM, che
  analizza un milione di
  posizioni al secondo.

                                                         o
  Un cervello umano che agisce in termini classici non pu` effettuare
  tante operazioni al secondo.


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Deep Blue vs. Homo Sapiens


  Alcuni scienziati credono che il cervello umano agisca in termini
  quantistici.

            e
  L’ipotesi ` fondata sul fatto
  che Garry Kasparov sia
  riuscito a vincere una partita
  di scacchi contro Deep Blue,
  il computer della IBM, che
  analizza un milione di
  posizioni al secondo.

                                                         o
  Un cervello umano che agisce in termini classici non pu` effettuare
  tante operazioni al secondo.


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                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Linea del tempo

  1981 - Richard Feynman propone l’idea di creare macchinari basati
  sulle leggi della fisica quantistica invece di quella classica.

                                               a
  1985 - David Deutsch dimostra l’universalit` del computer
  quantistico, ossia che esso sarebbe in grado di eseguire qualsiasi
  circuito.

  1994 - Peter Shor scopre un algoritmo quantistico per fattorizzare
  numeri grandi in tempi polinomiali.

  1996 - Lov Grover sviluppa un algoritmo di ricerca che velocizza in
  modo quadratico i problemi di brute-force.

  1998 - Primo computer quantistico funzionante a 2 qubit, basato
  sulla tecnologia NMR (Berkeley).


                                  e
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Linea del tempo

  1981 - Richard Feynman propone l’idea di creare macchinari basati
  sulle leggi della fisica quantistica invece di quella classica.

                                               a
  1985 - David Deutsch dimostra l’universalit` del computer
  quantistico, ossia che esso sarebbe in grado di eseguire qualsiasi
  circuito.

  1994 - Peter Shor scopre un algoritmo quantistico per fattorizzare
  numeri grandi in tempi polinomiali.

  1996 - Lov Grover sviluppa un algoritmo di ricerca che velocizza in
  modo quadratico i problemi di brute-force.

  1998 - Primo computer quantistico funzionante a 2 qubit, basato
  sulla tecnologia NMR (Berkeley).


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Linea del tempo

  1981 - Richard Feynman propone l’idea di creare macchinari basati
  sulle leggi della fisica quantistica invece di quella classica.

                                               a
  1985 - David Deutsch dimostra l’universalit` del computer
  quantistico, ossia che esso sarebbe in grado di eseguire qualsiasi
  circuito.

  1994 - Peter Shor scopre un algoritmo quantistico per fattorizzare
  numeri grandi in tempi polinomiali.

  1996 - Lov Grover sviluppa un algoritmo di ricerca che velocizza in
  modo quadratico i problemi di brute-force.

  1998 - Primo computer quantistico funzionante a 2 qubit, basato
  sulla tecnologia NMR (Berkeley).


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Linea del tempo

  1981 - Richard Feynman propone l’idea di creare macchinari basati
  sulle leggi della fisica quantistica invece di quella classica.

                                               a
  1985 - David Deutsch dimostra l’universalit` del computer
  quantistico, ossia che esso sarebbe in grado di eseguire qualsiasi
  circuito.

  1994 - Peter Shor scopre un algoritmo quantistico per fattorizzare
  numeri grandi in tempi polinomiali.

  1996 - Lov Grover sviluppa un algoritmo di ricerca che velocizza in
  modo quadratico i problemi di brute-force.

  1998 - Primo computer quantistico funzionante a 2 qubit, basato
  sulla tecnologia NMR (Berkeley).


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Linea del tempo

  1981 - Richard Feynman propone l’idea di creare macchinari basati
  sulle leggi della fisica quantistica invece di quella classica.

                                               a
  1985 - David Deutsch dimostra l’universalit` del computer
  quantistico, ossia che esso sarebbe in grado di eseguire qualsiasi
  circuito.

  1994 - Peter Shor scopre un algoritmo quantistico per fattorizzare
  numeri grandi in tempi polinomiali.

  1996 - Lov Grover sviluppa un algoritmo di ricerca che velocizza in
  modo quadratico i problemi di brute-force.

  1998 - Primo computer quantistico funzionante a 2 qubit, basato
  sulla tecnologia NMR (Berkeley).


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RSA e quantum computer



                         e
  La sicurezza dell’RSA ` basata sulla
          a
  difficolt` di fattorizzazione di numeri
  grandi.

                                            e
  Per un computer classico questo processo ` ritenuto impossibile,
  dato che richiederebbe tempi esorbitanti.

  Un computer quantistico munito dell’algoritmo di Shor sarebbe in
                                                u
  grado di fattorizzare i numeri grandi molto pi` velocemente.




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RSA e quantum computer



                         e
  La sicurezza dell’RSA ` basata sulla
          a
  difficolt` di fattorizzazione di numeri
  grandi.

                                            e
  Per un computer classico questo processo ` ritenuto impossibile,
  dato che richiederebbe tempi esorbitanti.

  Un computer quantistico munito dell’algoritmo di Shor sarebbe in
                                                u
  grado di fattorizzare i numeri grandi molto pi` velocemente.




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RSA e quantum computer



                         e
  La sicurezza dell’RSA ` basata sulla
          a
  difficolt` di fattorizzazione di numeri
  grandi.

                                            e
  Per un computer classico questo processo ` ritenuto impossibile,
  dato che richiederebbe tempi esorbitanti.

  Un computer quantistico munito dell’algoritmo di Shor sarebbe in
                                                u
  grado di fattorizzare i numeri grandi molto pi` velocemente.




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RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico             quantistico



  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico



  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico             quantistico



  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico



  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


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                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico             quantistico
                               1024 iterazioni


  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico



  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


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                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico             quantistico
                               1024 iterazioni
                                150′ 000 anni

  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico



  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico              quantistico
                               1024 iterazioni           1010 iterazioni
                                150′ 000 anni

  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico



  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico              quantistico
                               1024 iterazioni           1010 iterazioni
                                150′ 000 anni             < 1 secondo

  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico



  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico              quantistico
                               1024 iterazioni           1010 iterazioni
                                150′ 000 anni             < 1 secondo

  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico



  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico              quantistico
                               1024 iterazioni           1010 iterazioni
                                150′ 000 anni             < 1 secondo

  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico



  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico              quantistico
                               1024 iterazioni           1010 iterazioni
                                150′ 000 anni             < 1 secondo

  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico
                              5 bilioni di anni


  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico              quantistico
                               1024 iterazioni           1010 iterazioni
                                150′ 000 anni             < 1 secondo

  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico
                              5 bilioni di anni          circa 2 minuti


  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

RSA e quantum computer

  In particolare, per fattorizzare un numero di 300 cifre:
                                    classico              quantistico
                               1024 iterazioni           1010 iterazioni
                                150′ 000 anni             < 1 secondo

  Ancora pi` estremo diventa quando il numero ha 5′ 000 cifre:
           u
                                     classico             quantistico
                              5 bilioni di anni          circa 2 minuti


  Evidentemente questa velocizzazione esponenziale metterebbe in
  serio pericolo l’RSA, oggi molto diffuso nel mondo.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Brute-force


                          e
  Un computer quantistico ` in grado di risolvere problemi di ricerca
             √
  in un tempo n rispetto a quello classico.

                                                   a
  Consideriamo un problema con le seguenti propriet`:
                                                  e
          l’unico metodo per trovare la soluzione ` provare le diverse
          combinazioni,
          ci sono n possibili combinazioni,
          ogni combinazione richiede lo stesso tempo per essere provata,
          non ci sono indizi su quali combinazioni sono migliori.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Brute-force


                          e
  Un computer quantistico ` in grado di risolvere problemi di ricerca
             √
  in un tempo n rispetto a quello classico.

                                                   a
  Consideriamo un problema con le seguenti propriet`:
                                                  e
          l’unico metodo per trovare la soluzione ` provare le diverse
          combinazioni,
          ci sono n possibili combinazioni,
          ogni combinazione richiede lo stesso tempo per essere provata,
          non ci sono indizi su quali combinazioni sono migliori.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Brute-force


                          e
  Un computer quantistico ` in grado di risolvere problemi di ricerca
             √
  in un tempo n rispetto a quello classico.

                                                   a
  Consideriamo un problema con le seguenti propriet`:
                                                  e
          l’unico metodo per trovare la soluzione ` provare le diverse
          combinazioni,
          ci sono n possibili combinazioni,
          ogni combinazione richiede lo stesso tempo per essere provata,
          non ci sono indizi su quali combinazioni sono migliori.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Brute-force


                          e
  Un computer quantistico ` in grado di risolvere problemi di ricerca
             √
  in un tempo n rispetto a quello classico.

                                                   a
  Consideriamo un problema con le seguenti propriet`:
                                                  e
          l’unico metodo per trovare la soluzione ` provare le diverse
          combinazioni,
          ci sono n possibili combinazioni,
          ogni combinazione richiede lo stesso tempo per essere provata,
          non ci sono indizi su quali combinazioni sono migliori.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Brute-force


                          e
  Un computer quantistico ` in grado di risolvere problemi di ricerca
             √
  in un tempo n rispetto a quello classico.

                                                   a
  Consideriamo un problema con le seguenti propriet`:
                                                  e
          l’unico metodo per trovare la soluzione ` provare le diverse
          combinazioni,
          ci sono n possibili combinazioni,
          ogni combinazione richiede lo stesso tempo per essere provata,
          non ci sono indizi su quali combinazioni sono migliori.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Brute-force


                          e
  Un computer quantistico ` in grado di risolvere problemi di ricerca
             √
  in un tempo n rispetto a quello classico.

                                                   a
  Consideriamo un problema con le seguenti propriet`:
                                                  e
          l’unico metodo per trovare la soluzione ` provare le diverse
          combinazioni,
          ci sono n possibili combinazioni,
          ogni combinazione richiede lo stesso tempo per essere provata,
          non ci sono indizi su quali combinazioni sono migliori.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Brute-force


  Un esempio potrebbe essere un password
  cracker che tenta di scoprire la password di un
  file criptato.


  Per un problema con tutte e quattro le
          a
  propriet` un computer quantistico
  impiegherebbe un tempo proporzionale alla
  radice di n.

  Problemi di ricerca come questo vengono
  risolti con l’algoritmo di Grover.



                                  e
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                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Brute-force


  Un esempio potrebbe essere un password
  cracker che tenta di scoprire la password di un
  file criptato.


  Per un problema con tutte e quattro le
          a
  propriet` un computer quantistico
  impiegherebbe un tempo proporzionale alla
  radice di n.

  Problemi di ricerca come questo vengono
  risolti con l’algoritmo di Grover.



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

Brute-force


  Un esempio potrebbe essere un password
  cracker che tenta di scoprire la password di un
  file criptato.


  Per un problema con tutte e quattro le
          a
  propriet` un computer quantistico
  impiegherebbe un tempo proporzionale alla
  radice di n.

  Problemi di ricerca come questo vengono
  risolti con l’algoritmo di Grover.



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

                         a
Un pericolo per la societ`

  Una volta realizzato, il quantum computer sarebbe un pericolo per
  le tecnologie classiche, ossia gran parte di quelle oggi utilizzate.


  Eseguendo calcolazioni molto
    u
  pi` rapidamente metterebbe
  in crisi gli attuali sistemi di
  crittografia.

  Queste sono altre motivazioni
  che hanno spinto ad investire
  nella ricerca in questo ambito.



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

                         a
Un pericolo per la societ`

  Una volta realizzato, il quantum computer sarebbe un pericolo per
  le tecnologie classiche, ossia gran parte di quelle oggi utilizzate.


  Eseguendo calcolazioni molto
    u
  pi` rapidamente metterebbe
  in crisi gli attuali sistemi di
  crittografia.

  Queste sono altre motivazioni
  che hanno spinto ad investire
  nella ricerca in questo ambito.



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                 a
                                                         Motivazione Storia Potenzialit`

                         a
Un pericolo per la societ`

  Una volta realizzato, il quantum computer sarebbe un pericolo per
  le tecnologie classiche, ossia gran parte di quelle oggi utilizzate.


  Eseguendo calcolazioni molto
    u
  pi` rapidamente metterebbe
  in crisi gli attuali sistemi di
  crittografia.

  Queste sono altre motivazioni
  che hanno spinto ad investire
  nella ricerca in questo ambito.



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                        a
                                                       Qubit Registri Quantum gates Propriet`




I principi del calcolo quantistico




                                e
                   Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                        a
                                                         Qubit Registri Quantum gates Propriet`

Il Qubit



                 e       a
  Il quantum bit ` l’unit` di informazione quantistica.

         o
  Esso pu` avere gli stati di base |0 e |1 .

  In modo da poter manipolare gli stati quantistici, i qubit sono
  associati a vettori in C2
                                             1                        0
                               |0 =                      |1 =               .
                                             0                        1




                                  e
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Il Qubit



                 e       a
  Il quantum bit ` l’unit` di informazione quantistica.

         o
  Esso pu` avere gli stati di base |0 e |1 .

  In modo da poter manipolare gli stati quantistici, i qubit sono
  associati a vettori in C2
                                             1                        0
                               |0 =                      |1 =               .
                                             0                        1




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Il Qubit



                 e       a
  Il quantum bit ` l’unit` di informazione quantistica.

         o
  Esso pu` avere gli stati di base |0 e |1 .

  In modo da poter manipolare gli stati quantistici, i qubit sono
  associati a vettori in C2
                                             1                        0
                               |0 =                      |1 =               .
                                             0                        1




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Gli stati entangled


                                                                  o
  Oltre agli stati fondamentali, lo stato di un bit quantistico pu`
  essere una qualsiasi combinazione lineare di |0 e |1 .

             u          e
  Il qubit pi` generale ` quindi dato da

                                         |ψ = α |0 + β |1



  Gli stati intermedi formati da una combinazione lineare sono detti
  stati di sovrapposizione quantistica.




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Gli stati entangled


                                                                  o
  Oltre agli stati fondamentali, lo stato di un bit quantistico pu`
  essere una qualsiasi combinazione lineare di |0 e |1 .

             u          e
  Il qubit pi` generale ` quindi dato da

                                         |ψ = α |0 + β |1



  Gli stati intermedi formati da una combinazione lineare sono detti
  stati di sovrapposizione quantistica.




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Gli stati entangled


                                                                  o
  Oltre agli stati fondamentali, lo stato di un bit quantistico pu`
  essere una qualsiasi combinazione lineare di |0 e |1 .

             u          e
  Il qubit pi` generale ` quindi dato da

                                         |ψ = α |0 + β |1



  Gli stati intermedi formati da una combinazione lineare sono detti
  stati di sovrapposizione quantistica.




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                                                         Qubit Registri Quantum gates Propriet`

La misura sul qubit


  Lo stato di un qubit rimane
  sconosciuto fino a quando
  viene effettuata una misura.

               a
  Le probabilit` di ottenere i
  valori 0 o 1 sono date da

  Prob|ψ {0} = | 0 |ψ |2 = |α|2

  e

  Prob|ψ {1} = | 1 |ψ |2 = |β|2 .                         Figura: Il paradosso del gatto di
                                                              o
                                                          Schr¨dinger spiega la
                                                          sovrapposizione quantistica.


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La misura sul qubit


  Lo stato di un qubit rimane
  sconosciuto fino a quando
  viene effettuata una misura.

               a
  Le probabilit` di ottenere i
  valori 0 o 1 sono date da

  Prob|ψ {0} = | 0 |ψ |2 = |α|2

  e

  Prob|ψ {1} = | 1 |ψ |2 = |β|2 .                         Figura: Il paradosso del gatto di
                                                              o
                                                          Schr¨dinger spiega la
                                                          sovrapposizione quantistica.


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Registri quantistici


                             e
  Un sistema quantistico non ` limitato ad un qubit.

  Consideriamo ad esempio un sistema in cui vi sono due qubit.

  Lo spazio sar` definito da C2 ⊗ C2 , dove ogni insieme dei numeri
               a
  complessi definisce un qubit.

  Gli elementi del nuovo spazio saranno della forma

                                     |ψ1 ⊗ |ψ2 ≡ |ψ1 |ψ2 .




                                  e
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Registri quantistici


                             e
  Un sistema quantistico non ` limitato ad un qubit.

  Consideriamo ad esempio un sistema in cui vi sono due qubit.

  Lo spazio sar` definito da C2 ⊗ C2 , dove ogni insieme dei numeri
               a
  complessi definisce un qubit.

  Gli elementi del nuovo spazio saranno della forma

                                     |ψ1 ⊗ |ψ2 ≡ |ψ1 |ψ2 .




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Registri quantistici


                             e
  Un sistema quantistico non ` limitato ad un qubit.

  Consideriamo ad esempio un sistema in cui vi sono due qubit.

  Lo spazio sar` definito da C2 ⊗ C2 , dove ogni insieme dei numeri
               a
  complessi definisce un qubit.

  Gli elementi del nuovo spazio saranno della forma

                                     |ψ1 ⊗ |ψ2 ≡ |ψ1 |ψ2 .




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Registri quantistici


                             e
  Un sistema quantistico non ` limitato ad un qubit.

  Consideriamo ad esempio un sistema in cui vi sono due qubit.

  Lo spazio sar` definito da C2 ⊗ C2 , dove ogni insieme dei numeri
               a
  complessi definisce un qubit.

  Gli elementi del nuovo spazio saranno della forma

                                     |ψ1 ⊗ |ψ2 ≡ |ψ1 |ψ2 .




                                  e
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Registri quantistici
  In uno spazio C2 ⊗ C2 vi saranno quindi 4 stati che definiscono
  una base ortonormata

                        |0 |0             |0 |1            |1 |0            |1 |1 .

                                 e
  Un vettore generico in |ψ1 |ψ2 ` una combinazione lineare dei 4
  stati di base.

                                                   ı
  Questo formalismo si generalizza a m qubit, e cos` possiamo
  costruire un registro quantistico.

                                            e
  Lo stato generale in un sistema a m qubit ` descritto con
                                                   2m −1
                                         |Φ =              αk |xk .
                                                    k=0


                                  e
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Registri quantistici
  In uno spazio C2 ⊗ C2 vi saranno quindi 4 stati che definiscono
  una base ortonormata

                        |0 |0             |0 |1            |1 |0            |1 |1 .

                                 e
  Un vettore generico in |ψ1 |ψ2 ` una combinazione lineare dei 4
  stati di base.

                                                   ı
  Questo formalismo si generalizza a m qubit, e cos` possiamo
  costruire un registro quantistico.

                                            e
  Lo stato generale in un sistema a m qubit ` descritto con
                                                   2m −1
                                         |Φ =              αk |xk .
                                                    k=0


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Registri quantistici
  In uno spazio C2 ⊗ C2 vi saranno quindi 4 stati che definiscono
  una base ortonormata

                        |0 |0             |0 |1            |1 |0            |1 |1 .

                                 e
  Un vettore generico in |ψ1 |ψ2 ` una combinazione lineare dei 4
  stati di base.

                                                   ı
  Questo formalismo si generalizza a m qubit, e cos` possiamo
  costruire un registro quantistico.

                                            e
  Lo stato generale in un sistema a m qubit ` descritto con
                                                   2m −1
                                         |Φ =              αk |xk .
                                                    k=0


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                          a
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Registri quantistici
  In uno spazio C2 ⊗ C2 vi saranno quindi 4 stati che definiscono
  una base ortonormata

                        |0 |0             |0 |1            |1 |0            |1 |1 .

                                 e
  Un vettore generico in |ψ1 |ψ2 ` una combinazione lineare dei 4
  stati di base.

                                                   ı
  Questo formalismo si generalizza a m qubit, e cos` possiamo
  costruire un registro quantistico.

                                            e
  Lo stato generale in un sistema a m qubit ` descritto con
                                                   2m −1
                                         |Φ =              αk |xk .
                                                    k=0


                                  e
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Porte logiche quantistiche



  Le porte logiche quantistiche sono l’analogo delle porte logiche
  classiche, ossia delle operazioni che modificano lo stato del qubit.

  Tuttavia si differenziano da esse:
          sono reversibili,
          le operazioni sono definite anche per gli stati entangled,
          costituiscono delle operazioni lineari rappresentate con matrici.




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Porte logiche quantistiche



  Le porte logiche quantistiche sono l’analogo delle porte logiche
  classiche, ossia delle operazioni che modificano lo stato del qubit.

  Tuttavia si differenziano da esse:
          sono reversibili,
          le operazioni sono definite anche per gli stati entangled,
          costituiscono delle operazioni lineari rappresentate con matrici.




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Porte logiche quantistiche



  Le porte logiche quantistiche sono l’analogo delle porte logiche
  classiche, ossia delle operazioni che modificano lo stato del qubit.

  Tuttavia si differenziano da esse:
          sono reversibili,
          le operazioni sono definite anche per gli stati entangled,
          costituiscono delle operazioni lineari rappresentate con matrici.




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Porte logiche quantistiche



  Le porte logiche quantistiche sono l’analogo delle porte logiche
  classiche, ossia delle operazioni che modificano lo stato del qubit.

  Tuttavia si differenziano da esse:
          sono reversibili,
          le operazioni sono definite anche per gli stati entangled,
          costituiscono delle operazioni lineari rappresentate con matrici.




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Porte logiche quantistiche



  Le porte logiche quantistiche sono l’analogo delle porte logiche
  classiche, ossia delle operazioni che modificano lo stato del qubit.

  Tuttavia si differenziano da esse:
          sono reversibili,
          le operazioni sono definite anche per gli stati entangled,
          costituiscono delle operazioni lineari rappresentate con matrici.




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Porte logiche a un qubit



  Le porte a un qubit sono generalmente definite da una matrice
  unitaria 2x2.

  Esempi di quantum gates a un qubit:
                             1   1 1
      Hadamard gate, H = √2           , rappresentata                                         H   ,
                                 1 −1
                                              0 1
          Pauli-X gate, X =                       , rappresentata                X       .
                                              1 0




                                  e
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Porte logiche a un qubit



  Le porte a un qubit sono generalmente definite da una matrice
  unitaria 2x2.

  Esempi di quantum gates a un qubit:
                             1   1 1
      Hadamard gate, H = √2           , rappresentata                                         H   ,
                                 1 −1
                                              0 1
          Pauli-X gate, X =                       , rappresentata                X       .
                                              1 0




                                  e
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Porte logiche a un qubit



  Le porte a un qubit sono generalmente definite da una matrice
  unitaria 2x2.

  Esempi di quantum gates a un qubit:
                             1   1 1
      Hadamard gate, H = √2           , rappresentata                                         H   ,
                                 1 −1
                                              0 1
          Pauli-X gate, X =                       , rappresentata                X       .
                                              1 0




                                  e
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Porte logiche a un qubit



  Le porte a un qubit sono generalmente definite da una matrice
  unitaria 2x2.

  Esempi di quantum gates a un qubit:
                             1   1 1
      Hadamard gate, H = √2           , rappresentata                                         H   ,
                                 1 −1
                                              0 1
          Pauli-X gate, X =                       , rappresentata                X       .
                                              1 0




                                  e
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CNOT gate


  Per gli stati di sovvraposizione sono necessarie delle porte logiche
               u
  agenti su pi` qubit.

                    u             e
  La porta logica pi` importante ` la CNOT gate (controlled-NOT),
  che agisce su due qubit detti di controllo e target.

  `
  E rappresentata dal circuito

                                             |A          •         |A                               .

                                             |B          
                                                               |B ⊕ A
         e
  dove ⊕ ` la somma modulo 2.



                                  e
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CNOT gate


  Per gli stati di sovvraposizione sono necessarie delle porte logiche
               u
  agenti su pi` qubit.

                    u             e
  La porta logica pi` importante ` la CNOT gate (controlled-NOT),
  che agisce su due qubit detti di controllo e target.

  `
  E rappresentata dal circuito

                                             |A          •         |A                               .

                                             |B          
                                                               |B ⊕ A
         e
  dove ⊕ ` la somma modulo 2.



                                  e
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CNOT gate


  Per gli stati di sovvraposizione sono necessarie delle porte logiche
               u
  agenti su pi` qubit.

                    u             e
  La porta logica pi` importante ` la CNOT gate (controlled-NOT),
  che agisce su due qubit detti di controllo e target.

  `
  E rappresentata dal circuito

                                             |A          •         |A                               .

                                             |B          
                                                               |B ⊕ A
         e
  dove ⊕ ` la somma modulo 2.



                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                        a
                                                         Qubit Registri Quantum gates Propriet`

CNOT gate
                                     e             e
  Si nota subito che se il controllo ` 0 il target ` inalterato,
  altrimenti viene negato.

  Si ha quindi

              |00 → |00 , |01 → |01 , |10 → |11 , |11 → |10 .



                e
  La porta CNOT ` rappresentata dalla                     matrice unitaria
                                                          
                            1 0 0                         0
                          0 1 0                          0
                                                          .
                          0 0 0                          1
                            0 0 1                         0


                                  e
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CNOT gate
                                     e             e
  Si nota subito che se il controllo ` 0 il target ` inalterato,
  altrimenti viene negato.

  Si ha quindi

              |00 → |00 , |01 → |01 , |10 → |11 , |11 → |10 .



                e
  La porta CNOT ` rappresentata dalla                     matrice unitaria
                                                          
                            1 0 0                         0
                          0 1 0                          0
                                                          .
                          0 0 0                          1
                            0 0 1                         0


                                  e
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CNOT gate
                                     e             e
  Si nota subito che se il controllo ` 0 il target ` inalterato,
  altrimenti viene negato.

  Si ha quindi

              |00 → |00 , |01 → |01 , |10 → |11 , |11 → |10 .



                e
  La porta CNOT ` rappresentata dalla                     matrice unitaria
                                                          
                            1 0 0                         0
                          0 1 0                          0
                                                          .
                          0 0 0                          1
                            0 0 1                         0


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                         a
                                                          Qubit Registri Quantum gates Propriet`

            a
Reversibilit`

  I calcoli quantistici, esclusa la misura, sono reversibili grazie alle
  matrici unitarie.
         e
  Questa ` una differenza fondamentale rispetto ai calcoli classici,
  dove molte operazioni sono irreversibili.
     e
  Ne ` un esempio tipico la porta NAND, definita x ↑ y = 1 ⊕ xy ,
         e
  dove ⊕ ` la somma modulo 2.
                      e
  Dato il risultato 1 ` impossibile risalire ai due bit iniziali.

                                           input          output
                                            00           0↑0=1
                                            01           0↑1=1
                                            10           1↑0=1
                                            11           1↑1=0


                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                         a
                                                          Qubit Registri Quantum gates Propriet`

            a
Reversibilit`

  I calcoli quantistici, esclusa la misura, sono reversibili grazie alle
  matrici unitarie.
         e
  Questa ` una differenza fondamentale rispetto ai calcoli classici,
  dove molte operazioni sono irreversibili.
     e
  Ne ` un esempio tipico la porta NAND, definita x ↑ y = 1 ⊕ xy ,
         e
  dove ⊕ ` la somma modulo 2.
                      e
  Dato il risultato 1 ` impossibile risalire ai due bit iniziali.

                                           input          output
                                            00           0↑0=1
                                            01           0↑1=1
                                            10           1↑0=1
                                            11           1↑1=0


                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                         a
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            a
Reversibilit`

  I calcoli quantistici, esclusa la misura, sono reversibili grazie alle
  matrici unitarie.
         e
  Questa ` una differenza fondamentale rispetto ai calcoli classici,
  dove molte operazioni sono irreversibili.
     e
  Ne ` un esempio tipico la porta NAND, definita x ↑ y = 1 ⊕ xy ,
         e
  dove ⊕ ` la somma modulo 2.
                      e
  Dato il risultato 1 ` impossibile risalire ai due bit iniziali.

                                           input          output
                                            00           0↑0=1
                                            01           0↑1=1
                                            10           1↑0=1
                                            11           1↑1=0


                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                         a
                                                          Qubit Registri Quantum gates Propriet`

            a
Reversibilit`

  I calcoli quantistici, esclusa la misura, sono reversibili grazie alle
  matrici unitarie.
         e
  Questa ` una differenza fondamentale rispetto ai calcoli classici,
  dove molte operazioni sono irreversibili.
     e
  Ne ` un esempio tipico la porta NAND, definita x ↑ y = 1 ⊕ xy ,
         e
  dove ⊕ ` la somma modulo 2.
                      e
  Dato il risultato 1 ` impossibile risalire ai due bit iniziali.

                                           input          output
                                            00           0↑0=1
                                            01           0↑1=1
                                            10           1↑0=1
                                            11           1↑1=0


                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali                                        a
                                                         Qubit Registri Quantum gates Propriet`

Parallelismo quantistico

                            o
  Un computer quantistico pu` valutare una funzione f (x) su diversi
  valori contemporaneamente.

                 a                     e
  Questa propriet` fondamentale del QC ` nota come parallelismo
  quantistico.

  Essa comporta un grande vantaggio sul computer classico, dove
                                           e
  per ottenere informazioni sugli elementi ` necessario processarli
  tutti singolarmente.

  Supponiamo di dover calcolare i valori della funzione

                                         f (x) = 2x       mod 7

  dove x assume i valori interi da 0 a 7.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Parallelismo quantistico

                            o
  Un computer quantistico pu` valutare una funzione f (x) su diversi
  valori contemporaneamente.

                 a                     e
  Questa propriet` fondamentale del QC ` nota come parallelismo
  quantistico.

  Essa comporta un grande vantaggio sul computer classico, dove
                                           e
  per ottenere informazioni sugli elementi ` necessario processarli
  tutti singolarmente.

  Supponiamo di dover calcolare i valori della funzione

                                         f (x) = 2x       mod 7

  dove x assume i valori interi da 0 a 7.

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Parallelismo quantistico

                            o
  Un computer quantistico pu` valutare una funzione f (x) su diversi
  valori contemporaneamente.

                 a                     e
  Questa propriet` fondamentale del QC ` nota come parallelismo
  quantistico.

  Essa comporta un grande vantaggio sul computer classico, dove
                                           e
  per ottenere informazioni sugli elementi ` necessario processarli
  tutti singolarmente.

  Supponiamo di dover calcolare i valori della funzione

                                         f (x) = 2x       mod 7

  dove x assume i valori interi da 0 a 7.

                                  e
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                                                         Qubit Registri Quantum gates Propriet`

Parallelismo quantistico

                            o
  Un computer quantistico pu` valutare una funzione f (x) su diversi
  valori contemporaneamente.

                 a                     e
  Questa propriet` fondamentale del QC ` nota come parallelismo
  quantistico.

  Essa comporta un grande vantaggio sul computer classico, dove
                                           e
  per ottenere informazioni sugli elementi ` necessario processarli
  tutti singolarmente.

  Supponiamo di dover calcolare i valori della funzione

                                         f (x) = 2x       mod 7

  dove x assume i valori interi da 0 a 7.

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Parallelismo quantistico


  Si potrebbe creare un registro contente la superposizione di tutti
  gli stati da 0 a 7, e in seguito eseguendo f (x) una sola volta,
  ottenere un registro contenente la superposizione dei risultati
  1, 2, 4, 6, 1, 3, 5, 0.

                                                a
  Misurando il registro avremmo una probabilit` di 2/8 di ottenere 1,
                  a
  e una probabilit` di 1/8 di ottenere uno gli altri valori.

     u
  Pi` che per ottenere un risultato definito, il parallelismo
              e                  e                            a
  quantistico ` utile quando vi ` l’interesse per una propriet` che
  riguarda tutti i valori di f considerati nell’insieme.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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                                                         Qubit Registri Quantum gates Propriet`

Parallelismo quantistico


  Si potrebbe creare un registro contente la superposizione di tutti
  gli stati da 0 a 7, e in seguito eseguendo f (x) una sola volta,
  ottenere un registro contenente la superposizione dei risultati
  1, 2, 4, 6, 1, 3, 5, 0.

                                                a
  Misurando il registro avremmo una probabilit` di 2/8 di ottenere 1,
                  a
  e una probabilit` di 1/8 di ottenere uno gli altri valori.

     u
  Pi` che per ottenere un risultato definito, il parallelismo
              e                  e                            a
  quantistico ` utile quando vi ` l’interesse per una propriet` che
  riguarda tutti i valori di f considerati nell’insieme.




                                  e
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Parallelismo quantistico


  Si potrebbe creare un registro contente la superposizione di tutti
  gli stati da 0 a 7, e in seguito eseguendo f (x) una sola volta,
  ottenere un registro contenente la superposizione dei risultati
  1, 2, 4, 6, 1, 3, 5, 0.

                                                a
  Misurando il registro avremmo una probabilit` di 2/8 di ottenere 1,
                  a
  e una probabilit` di 1/8 di ottenere uno gli altri valori.

     u
  Pi` che per ottenere un risultato definito, il parallelismo
              e                  e                            a
  quantistico ` utile quando vi ` l’interesse per una propriet` che
  riguarda tutti i valori di f considerati nell’insieme.




                                  e
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Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor




    L’algoritmo di Deutsch-Jozsa




                                e
                   Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Introduzione


  L’algoritmo di Deutsch prende il nome
  dal suo creatore David Deutsch, che
  l’ha concepito nel 1985.

  Nel 1992 Richard Jozsa e Deutsch
  propongono una generalizzazione
  dell’algoritmo.

                                e
  L’algoritmo di Deutsch-Jozsa ` un
  primo esempio che dimostra la migliore
  performance dei circuiti quantistici
  rispetto a quelli classici.
                                                                        Figura: David Deutsch.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Introduzione


  L’algoritmo di Deutsch prende il nome
  dal suo creatore David Deutsch, che
  l’ha concepito nel 1985.

  Nel 1992 Richard Jozsa e Deutsch
  propongono una generalizzazione
  dell’algoritmo.

                                e
  L’algoritmo di Deutsch-Jozsa ` un
  primo esempio che dimostra la migliore
  performance dei circuiti quantistici
  rispetto a quelli classici.
                                                                        Figura: David Deutsch.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Introduzione


  L’algoritmo di Deutsch prende il nome
  dal suo creatore David Deutsch, che
  l’ha concepito nel 1985.

  Nel 1992 Richard Jozsa e Deutsch
  propongono una generalizzazione
  dell’algoritmo.

                                e
  L’algoritmo di Deutsch-Jozsa ` un
  primo esempio che dimostra la migliore
  performance dei circuiti quantistici
  rispetto a quelli classici.
                                                                        Figura: David Deutsch.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Il problema

  Funzione f (x) definita su un insieme di N = 2n elementi che pu`
                                                                o
  risultare soltanto in f (x) = 0 o in f (x) = 1.

  Funzione o costante (tutti gli f (x) hanno valore identico) o
                 a             e         a
  bilanciata (met` degli f (x) ` 0 e met` 1).

                                              a
  Problema: conoscere quale delle due propriet` possiede la
  funzione.

                                               e
  Classicamente si calcola il valore f (x) finch´ non si trova la
  soluzione: alla peggio N/2 + 1 volte.

  L’algoritmo di Deutsch-Jozsa ci permette di conoscere la risposta
  con un singolo passaggio.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Il problema

  Funzione f (x) definita su un insieme di N = 2n elementi che pu`
                                                                o
  risultare soltanto in f (x) = 0 o in f (x) = 1.

  Funzione o costante (tutti gli f (x) hanno valore identico) o
                 a             e         a
  bilanciata (met` degli f (x) ` 0 e met` 1).

                                              a
  Problema: conoscere quale delle due propriet` possiede la
  funzione.

                                               e
  Classicamente si calcola il valore f (x) finch´ non si trova la
  soluzione: alla peggio N/2 + 1 volte.

  L’algoritmo di Deutsch-Jozsa ci permette di conoscere la risposta
  con un singolo passaggio.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Il problema

  Funzione f (x) definita su un insieme di N = 2n elementi che pu`
                                                                o
  risultare soltanto in f (x) = 0 o in f (x) = 1.

  Funzione o costante (tutti gli f (x) hanno valore identico) o
                 a             e         a
  bilanciata (met` degli f (x) ` 0 e met` 1).

                                              a
  Problema: conoscere quale delle due propriet` possiede la
  funzione.

                                               e
  Classicamente si calcola il valore f (x) finch´ non si trova la
  soluzione: alla peggio N/2 + 1 volte.

  L’algoritmo di Deutsch-Jozsa ci permette di conoscere la risposta
  con un singolo passaggio.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Il problema

  Funzione f (x) definita su un insieme di N = 2n elementi che pu`
                                                                o
  risultare soltanto in f (x) = 0 o in f (x) = 1.

  Funzione o costante (tutti gli f (x) hanno valore identico) o
                 a             e         a
  bilanciata (met` degli f (x) ` 0 e met` 1).

                                              a
  Problema: conoscere quale delle due propriet` possiede la
  funzione.

                                               e
  Classicamente si calcola il valore f (x) finch´ non si trova la
  soluzione: alla peggio N/2 + 1 volte.

  L’algoritmo di Deutsch-Jozsa ci permette di conoscere la risposta
  con un singolo passaggio.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Il problema

  Funzione f (x) definita su un insieme di N = 2n elementi che pu`
                                                                o
  risultare soltanto in f (x) = 0 o in f (x) = 1.

  Funzione o costante (tutti gli f (x) hanno valore identico) o
                 a             e         a
  bilanciata (met` degli f (x) ` 0 e met` 1).

                                              a
  Problema: conoscere quale delle due propriet` possiede la
  funzione.

                                               e
  Classicamente si calcola il valore f (x) finch´ non si trova la
  soluzione: alla peggio N/2 + 1 volte.

  L’algoritmo di Deutsch-Jozsa ci permette di conoscere la risposta
  con un singolo passaggio.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’algoritmo


                          ⊗n                                             

                     |0              H ⊗n                  H ⊗n        


                                                   Uf                 NM
                          |1           H

  Analisi del procedimento
                      e                 e
          Il qubit |0 ` in numero n, |1 ` il qubit ausiliario,
          la prima porta H serve a produrre la superposizione degli n
          qubit, in modo da avere gli N diversi valori dell’insieme di
          partenza in un unico registro quantistico,
          Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a) ,
                                                         e
          La misurazione restuisce il valore 00...0 se f ` costante;
                         a                 e
          almeno un 1 sar` presente se f ` invece bilanciata

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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L’algoritmo


                          ⊗n                                             

                     |0              H ⊗n                  H ⊗n        


                                                   Uf                 NM
                          |1           H

  Analisi del procedimento
                      e                 e
          Il qubit |0 ` in numero n, |1 ` il qubit ausiliario,
          la prima porta H serve a produrre la superposizione degli n
          qubit, in modo da avere gli N diversi valori dell’insieme di
          partenza in un unico registro quantistico,
          Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a) ,
                                                         e
          La misurazione restuisce il valore 00...0 se f ` costante;
                         a                 e
          almeno un 1 sar` presente se f ` invece bilanciata

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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L’algoritmo


                          ⊗n                                             

                     |0              H ⊗n                  H ⊗n        


                                                   Uf                 NM
                          |1           H

  Analisi del procedimento
                      e                 e
          Il qubit |0 ` in numero n, |1 ` il qubit ausiliario,
          la prima porta H serve a produrre la superposizione degli n
          qubit, in modo da avere gli N diversi valori dell’insieme di
          partenza in un unico registro quantistico,
          Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a) ,
                                                         e
          La misurazione restuisce il valore 00...0 se f ` costante;
                         a                 e
          almeno un 1 sar` presente se f ` invece bilanciata

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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L’algoritmo


                          ⊗n                                             

                     |0              H ⊗n                  H ⊗n        


                                                   Uf                 NM
                          |1           H

  Analisi del procedimento
                      e                 e
          Il qubit |0 ` in numero n, |1 ` il qubit ausiliario,
          la prima porta H serve a produrre la superposizione degli n
          qubit, in modo da avere gli N diversi valori dell’insieme di
          partenza in un unico registro quantistico,
          Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a) ,
                                                         e
          La misurazione restuisce il valore 00...0 se f ` costante;
                         a                 e
          almeno un 1 sar` presente se f ` invece bilanciata

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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L’algoritmo


                          ⊗n                                             

                     |0              H ⊗n                  H ⊗n        


                                                   Uf                 NM
                          |1           H

  Analisi del procedimento
                      e                 e
          Il qubit |0 ` in numero n, |1 ` il qubit ausiliario,
          la prima porta H serve a produrre la superposizione degli n
          qubit, in modo da avere gli N diversi valori dell’insieme di
          partenza in un unico registro quantistico,
          Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a) ,
                                                         e
          La misurazione restuisce il valore 00...0 se f ` costante;
                         a                 e
          almeno un 1 sar` presente se f ` invece bilanciata

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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L’algoritmo


                          ⊗n                                             

                     |0              H ⊗n                  H ⊗n        


                                                   Uf                 NM
                          |1           H

  Analisi del procedimento
                      e                 e
          Il qubit |0 ` in numero n, |1 ` il qubit ausiliario,
          la prima porta H serve a produrre la superposizione degli n
          qubit, in modo da avere gli N diversi valori dell’insieme di
          partenza in un unico registro quantistico,
          Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a) ,
                                                         e
          La misurazione restuisce il valore 00...0 se f ` costante;
                         a                 e
          almeno un 1 sar` presente se f ` invece bilanciata

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2



              e
  La funzione ` definita su un insieme di partenza di 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:            |ψ0 = |00 |1

                                     |00 +|01 +|10 +|11           |0 −|1
    2. H ⊗2 H:           |ψ1 =                2               ⊗     √
                                                                      2

    3. Uf :              ...




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Esempio con n = 2



              e
  La funzione ` definita su un insieme di partenza di 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:            |ψ0 = |00 |1

                                     |00 +|01 +|10 +|11           |0 −|1
    2. H ⊗2 H:           |ψ1 =                2               ⊗     √
                                                                      2

    3. Uf :              ...




                                  e
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Esempio con n = 2



              e
  La funzione ` definita su un insieme di partenza di 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:            |ψ0 = |00 |1

                                     |00 +|01 +|10 +|11           |0 −|1
    2. H ⊗2 H:           |ψ1 =                2               ⊗     √
                                                                      2

    3. Uf :              ...




                                  e
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Esempio con n = 2



              e
  La funzione ` definita su un insieme di partenza di 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:            |ψ0 = |00 |1

                                     |00 +|01 +|10 +|11           |0 −|1
    2. H ⊗2 H:           |ψ1 =                2               ⊗     √
                                                                      2

    3. Uf :              ...




                                  e
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Effetto di Uf

  Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a)

               |0 −|1                   |0⊕f (x) −|1⊕f (x)
  Uf : |x        √
                   2
                          −→ |x                 √
                                                  2

  Due casi
                                      |0 −|1
          Se f (x) = 0: |x              √
                                          2
                                      |1 −|0                |0 −|1
          Se f (x) = 1: |x              √
                                          2
                                                 = − |x       √
                                                                2


  In generale

                                   |0 − |1                 |0 − |1
                     Uf : |x          √    −→ (−1)f (x) |x    √
                                        2                       2


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi     Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali    Deutsch-Jozsa Grover Shor

Effetto di Uf

  Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a)

               |0 −|1                   |0⊕f (x) −|1⊕f (x)
  Uf : |x        √
                   2
                          −→ |x                 √
                                                  2

  Due casi
                                      |0 −|1
          Se f (x) = 0: |x              √
                                          2
                                      |1 −|0                |0 −|1
          Se f (x) = 1: |x              √
                                          2
                                                 = − |x       √
                                                                2


  In generale

                                   |0 − |1                 |0 − |1
                     Uf : |x          √    −→ (−1)f (x) |x    √
                                        2                       2


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi     Quantum Computer
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Effetto di Uf

  Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a)

               |0 −|1                   |0⊕f (x) −|1⊕f (x)
  Uf : |x        √
                   2
                          −→ |x                 √
                                                  2

  Due casi
                                      |0 −|1
          Se f (x) = 0: |x              √
                                          2
                                      |1 −|0                |0 −|1
          Se f (x) = 1: |x              √
                                          2
                                                 = − |x       √
                                                                2


  In generale

                                   |0 − |1                 |0 − |1
                     Uf : |x          √    −→ (−1)f (x) |x    √
                                        2                       2


                                  e
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Effetto di Uf

  Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a)

               |0 −|1                   |0⊕f (x) −|1⊕f (x)
  Uf : |x        √
                   2
                          −→ |x                 √
                                                  2

  Due casi
                                      |0 −|1
          Se f (x) = 0: |x              √
                                          2
                                      |1 −|0                |0 −|1
          Se f (x) = 1: |x              √
                                          2
                                                 = − |x       √
                                                                2


  In generale

                                   |0 − |1                 |0 − |1
                     Uf : |x          √    −→ (−1)f (x) |x    √
                                        2                       2


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Effetto di Uf

  Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a)

               |0 −|1                   |0⊕f (x) −|1⊕f (x)
  Uf : |x        √
                   2
                          −→ |x                 √
                                                  2

  Due casi
                                      |0 −|1
          Se f (x) = 0: |x              √
                                          2
                                      |1 −|0                |0 −|1
          Se f (x) = 1: |x              √
                                          2
                                                 = − |x       √
                                                                2


  In generale

                                   |0 − |1                 |0 − |1
                     Uf : |x          √    −→ (−1)f (x) |x    √
                                        2                       2


                                  e
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Effetto di Uf

  Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a)

               |0 −|1                   |0⊕f (x) −|1⊕f (x)
  Uf : |x        √
                   2
                          −→ |x                 √
                                                  2

  Due casi
                                      |0 −|1
          Se f (x) = 0: |x              √
                                          2
                                      |1 −|0                |0 −|1
          Se f (x) = 1: |x              √
                                          2
                                                 = − |x       √
                                                                2


  In generale

                                   |0 − |1                 |0 − |1
                     Uf : |x          √    −→ (−1)f (x) |x    √
                                        2                       2


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Effetto di Uf

  Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a)

               |0 −|1                   |0⊕f (x) −|1⊕f (x)
  Uf : |x        √
                   2
                          −→ |x                 √
                                                  2

  Due casi
                                      |0 −|1
          Se f (x) = 0: |x              √
                                          2
                                      |1 −|0                |0 −|1
          Se f (x) = 1: |x              √
                                          2
                                                 = − |x       √
                                                                2


  In generale

                                   |0 − |1                 |0 − |1
                     Uf : |x          √    −→ (−1)f (x) |x    √
                                        2                       2


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Effetto di Uf

  Uf : |a |b −→ |a |b ⊕ f (a)

               |0 −|1                   |0⊕f (x) −|1⊕f (x)
  Uf : |x        √
                   2
                          −→ |x                 √
                                                  2

  Due casi
                                      |0 −|1
          Se f (x) = 0: |x              √
                                          2
                                      |1 −|0                |0 −|1
          Se f (x) = 1: |x              √
                                          2
                                                 = − |x       √
                                                                2


  In generale

                                   |0 − |1                 |0 − |1
                     Uf : |x          √    −→ (−1)f (x) |x    √
                                        2                       2


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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2


  Supponiamo che:
          f (x) = 0 per x = 01 e x = 10
          f (x) = 1 per x = 00 e x = 11

  Procediamo da dove siamo arrivati

                                      (−1)1 |00 +(−1)0 |01 +(−1)0 |10 +(−1)1 |11
    3. Uf :        |ψ2        =                            2

                                      −|00 +|01 +|10 −|11
                              =                2




                                  e
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Esempio con n = 2


  Supponiamo che:
          f (x) = 0 per x = 01 e x = 10
          f (x) = 1 per x = 00 e x = 11

  Procediamo da dove siamo arrivati

                                      (−1)1 |00 +(−1)0 |01 +(−1)0 |10 +(−1)1 |11
    3. Uf :        |ψ2        =                            2

                                      −|00 +|01 +|10 −|11
                              =                2




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Esempio con n = 2


  Supponiamo che:
          f (x) = 0 per x = 01 e x = 10
          f (x) = 1 per x = 00 e x = 11

  Procediamo da dove siamo arrivati

                                      (−1)1 |00 +(−1)0 |01 +(−1)0 |10 +(−1)1 |11
    3. Uf :        |ψ2        =                            2

                                      −|00 +|01 +|10 −|11
                              =                2




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2


  Supponiamo che:
          f (x) = 0 per x = 01 e x = 10
          f (x) = 1 per x = 00 e x = 11

  Procediamo da dove siamo arrivati

                                      (−1)1 |00 +(−1)0 |01 +(−1)0 |10 +(−1)1 |11
    3. Uf :        |ψ2        =                            2

                                      −|00 +|01 +|10 −|11
                              =                2




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2


  Supponiamo che:
          f (x) = 0 per x = 01 e x = 10
          f (x) = 1 per x = 00 e x = 11

  Procediamo da dove siamo arrivati

                                      (−1)1 |00 +(−1)0 |01 +(−1)0 |10 +(−1)1 |11
    3. Uf :        |ψ2        =                            2

                                      −|00 +|01 +|10 −|11
                              =                2




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2


  Supponiamo che:
          f (x) = 0 per x = 01 e x = 10
          f (x) = 1 per x = 00 e x = 11

  Procediamo da dove siamo arrivati

                                      (−1)1 |00 +(−1)0 |01 +(−1)0 |10 +(−1)1 |11
    3. Uf :        |ψ2        =                            2

                                      −|00 +|01 +|10 −|11
                              =                2




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2

    4. H ⊗2 H:

                                −H ⊗2 |00 +H ⊗2 |01 +H ⊗2 |10 −H ⊗2 |11
         |ψ3             =                         2


                                1            |00 +|01 +|10 +|11               |00 −|01 +|10 −|11
                         =      2    −                2                +               2


                                      |00 +|01 −|10 −|11                |00 −|01 −|10 +|11
                                +              2                 −               2

                                1
                         =      2   0 |00 + 0 |01 + 0 |10 + 2 |11                    = |11


            e                    e
  Il valore ` diverso da 00 −→ f ` bilanciata.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2

    4. H ⊗2 H:

                                −H ⊗2 |00 +H ⊗2 |01 +H ⊗2 |10 −H ⊗2 |11
         |ψ3             =                         2


                                1            |00 +|01 +|10 +|11               |00 −|01 +|10 −|11
                         =      2    −                2                +               2


                                      |00 +|01 −|10 −|11                |00 −|01 −|10 +|11
                                +              2                 −               2

                                1
                         =      2   0 |00 + 0 |01 + 0 |10 + 2 |11                    = |11


            e                    e
  Il valore ` diverso da 00 −→ f ` bilanciata.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2

    4. H ⊗2 H:

                                −H ⊗2 |00 +H ⊗2 |01 +H ⊗2 |10 −H ⊗2 |11
         |ψ3             =                         2


                                1            |00 +|01 +|10 +|11               |00 −|01 +|10 −|11
                         =      2    −                2                +               2


                                      |00 +|01 −|10 −|11                |00 −|01 −|10 +|11
                                +              2                 −               2

                                1
                         =      2   0 |00 + 0 |01 + 0 |10 + 2 |11                    = |11


            e                    e
  Il valore ` diverso da 00 −→ f ` bilanciata.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2

    4. H ⊗2 H:

                                −H ⊗2 |00 +H ⊗2 |01 +H ⊗2 |10 −H ⊗2 |11
         |ψ3             =                         2


                                1            |00 +|01 +|10 +|11               |00 −|01 +|10 −|11
                         =      2    −                2                +               2


                                      |00 +|01 −|10 −|11                |00 −|01 −|10 +|11
                                +              2                 −               2

                                1
                         =      2   0 |00 + 0 |01 + 0 |10 + 2 |11                    = |11


            e                    e
  Il valore ` diverso da 00 −→ f ` bilanciata.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2

    4. H ⊗2 H:

                                −H ⊗2 |00 +H ⊗2 |01 +H ⊗2 |10 −H ⊗2 |11
         |ψ3             =                         2


                                1            |00 +|01 +|10 +|11               |00 −|01 +|10 −|11
                         =      2    −                2                +               2


                                      |00 +|01 −|10 −|11                |00 −|01 −|10 +|11
                                +              2                 −               2

                                1
                         =      2   0 |00 + 0 |01 + 0 |10 + 2 |11                    = |11


  Il valore ` diverso da 00 −→ f ` bilanciata.
            e                    e


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2

    4. H ⊗2 H:

                                −H ⊗2 |00 +H ⊗2 |01 +H ⊗2 |10 −H ⊗2 |11
         |ψ3             =                         2


                                1            |00 +|01 +|10 +|11               |00 −|01 +|10 −|11
                         =      2    −                2                +               2


                                      |00 +|01 −|10 −|11                |00 −|01 −|10 +|11
                                +              2                 −               2

                                1
                         =      2   0 |00 + 0 |01 + 0 |10 + 2 |11                    = |11


            e                    e
  Il valore ` diverso da 00 −→ f ` bilanciata.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor




L’algoritmo di ricerca di Grover




                                e
                   Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Introduzione



                                   e
  L’algoritmo di ricerca di Grover ` stato
  sviluppato da Lov Grover nel 1996.

                   e
  La sua funzione ` quella di risolvere
  problemi di ricerca in spazi privi di una
  struttura.

  L’algoritmo di Grover ha fornito un
  elevato miglioramento di prestazioni
  rispetto agli algoritmi di ricerca classici.

                                                                            Figura: Lov Grover.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Introduzione



                                   e
  L’algoritmo di ricerca di Grover ` stato
  sviluppato da Lov Grover nel 1996.

                   e
  La sua funzione ` quella di risolvere
  problemi di ricerca in spazi privi di una
  struttura.

  L’algoritmo di Grover ha fornito un
  elevato miglioramento di prestazioni
  rispetto agli algoritmi di ricerca classici.

                                                                            Figura: Lov Grover.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Introduzione



                                   e
  L’algoritmo di ricerca di Grover ` stato
  sviluppato da Lov Grover nel 1996.

                   e
  La sua funzione ` quella di risolvere
  problemi di ricerca in spazi privi di una
  struttura.

  L’algoritmo di Grover ha fornito un
  elevato miglioramento di prestazioni
  rispetto agli algoritmi di ricerca classici.

                                                                            Figura: Lov Grover.


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Il problema


  Ricerca di un elemento in un database contenente N = 2n
  elementi.

  Problema: trovare un elemento x per il quale un determinata
  condizione p(x) sia valida.

  Classicamente si controlla p(x) per ogni valore presente nel
              o
  database. Ci` richiede in media N/2 valutazioni di p(x).

                                 a
  L’algoritmo di Grover ci fornir` invece una soluzione dopo
                  √
  solamente circa N passaggi.




                                  e
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Il problema


  Ricerca di un elemento in un database contenente N = 2n
  elementi.

  Problema: trovare un elemento x per il quale un determinata
  condizione p(x) sia valida.

  Classicamente si controlla p(x) per ogni valore presente nel
              o
  database. Ci` richiede in media N/2 valutazioni di p(x).

                                 a
  L’algoritmo di Grover ci fornir` invece una soluzione dopo
                  √
  solamente circa N passaggi.




                                  e
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Il problema


  Ricerca di un elemento in un database contenente N = 2n
  elementi.

  Problema: trovare un elemento x per il quale un determinata
  condizione p(x) sia valida.

  Classicamente si controlla p(x) per ogni valore presente nel
              o
  database. Ci` richiede in media N/2 valutazioni di p(x).

                                 a
  L’algoritmo di Grover ci fornir` invece una soluzione dopo
                  √
  solamente circa N passaggi.




                                  e
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Il problema


  Ricerca di un elemento in un database contenente N = 2n
  elementi.

  Problema: trovare un elemento x per il quale un determinata
  condizione p(x) sia valida.

  Classicamente si controlla p(x) per ogni valore presente nel
              o
  database. Ci` richiede in media N/2 valutazioni di p(x).

                                 a
  L’algoritmo di Grover ci fornir` invece una soluzione dopo
                  √
  solamente circa N passaggi.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’algoritmo di ricerca


     |0         /n        H ⊗n                                                              


                                                                                              

                                            G               G               G              NM
     |0          X          H
                     Figura: Il ciruito quantistico dell’algoritmo di Grover.



  Analisi del procedimento
                    e
          |1 = X |0 ` il qubit ausiliario,
                                                                                     √
            e
          G ` l’operatore di Grover: viene applicato circa                               N volte e
          mette in evidenza l’elemento cercato,
                                     a
          la misurazione finale ci dar` il valore cercato.


                                   e
                      Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi   Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’algoritmo di ricerca


     |0         /n        H ⊗n                                                              


                                                                                              

                                            G               G               G              NM
     |0          X          H
                     Figura: Il ciruito quantistico dell’algoritmo di Grover.



  Analisi del procedimento
                    e
          |1 = X |0 ` il qubit ausiliario,
                                                                                     √
            e
          G ` l’operatore di Grover: viene applicato circa                               N volte e
          mette in evidenza l’elemento cercato,
                                     a
          la misurazione finale ci dar` il valore cercato.


                                   e
                      Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi   Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’algoritmo di ricerca


     |0         /n        H ⊗n                                                              


                                                                                              

                                            G               G               G              NM
     |0          X          H
                     Figura: Il ciruito quantistico dell’algoritmo di Grover.



  Analisi del procedimento
                    e
          |1 = X |0 ` il qubit ausiliario,
                                                                                     √
            e
          G ` l’operatore di Grover: viene applicato circa                               N volte e
          mette in evidenza l’elemento cercato,
                                     a
          la misurazione finale ci dar` il valore cercato.


                                   e
                      Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi   Quantum Computer
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L’algoritmo di ricerca


     |0         /n        H ⊗n                                                              


                                                                                              

                                            G               G               G              NM
     |0          X          H
                     Figura: Il ciruito quantistico dell’algoritmo di Grover.



  Analisi del procedimento
                    e
          |1 = X |0 ` il qubit ausiliario,
                                                                                     √
            e
          G ` l’operatore di Grover: viene applicato circa                               N volte e
          mette in evidenza l’elemento cercato,
                                     a
          la misurazione finale ci dar` il valore cercato.


                                   e
                      Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi   Quantum Computer
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L’algoritmo di ricerca


     |0         /n        H ⊗n                                                              


                                                                                              

                                            G               G               G              NM
     |0          X          H
                     Figura: Il ciruito quantistico dell’algoritmo di Grover.



  Analisi del procedimento
                    e
          |1 = X |0 ` il qubit ausiliario,
                                                                                     √
            e
          G ` l’operatore di Grover: viene applicato circa                               N volte e
          mette in evidenza l’elemento cercato,
                                     a
          la misurazione finale ci dar` il valore cercato.


                                   e
                      Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi   Quantum Computer
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L’operatore di Grover



                           /n                       H ⊗n        P0        H ⊗n
                                      O

                                Figura: L’operatore G in dettaglio.



  Dove
            e
          O ` l’oracolo,
          G = (2 |ψ ψ| − I )O.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
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L’operatore di Grover



                           /n                       H ⊗n        P0        H ⊗n
                                      O

                                Figura: L’operatore G in dettaglio.



  Dove
            e
          O ` l’oracolo,
          G = (2 |ψ ψ| − I )O.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
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L’operatore di Grover



                           /n                       H ⊗n        P0        H ⊗n
                                      O

                                Figura: L’operatore G in dettaglio.



  Dove
            e
          O ` l’oracolo,
          G = (2 |ψ ψ| − I )O.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
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L’operatore di Grover



                           /n                       H ⊗n        P0        H ⊗n
                                      O

                                Figura: L’operatore G in dettaglio.



  Dove
            e
          O ` l’oracolo,
          G = (2 |ψ ψ| − I )O.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
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L’oracolo

                                          e
  L’oracolo determina se un dato elemento ` una soluzione
  attraverso una funzione f (x).

  Questa restituisce
                     e
          0 se x non ` una soluzione,
                 e
          1 se x ` una soluzione (un elemento cercato).

  Ora
                                 O : |x |q → |x |q ⊕ f (x) ,
  da cui
                                   |0 − |1                |0 − |1
                      O : |x          √    → (−1)f (x) |x    √    .
                                        2                      2


                                  e
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L’oracolo

                                          e
  L’oracolo determina se un dato elemento ` una soluzione
  attraverso una funzione f (x).

  Questa restituisce
                     e
          0 se x non ` una soluzione,
                 e
          1 se x ` una soluzione (un elemento cercato).

  Ora
                                 O : |x |q → |x |q ⊕ f (x) ,
  da cui
                                   |0 − |1                |0 − |1
                      O : |x          √    → (−1)f (x) |x    √    .
                                        2                      2


                                  e
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L’oracolo

                                          e
  L’oracolo determina se un dato elemento ` una soluzione
  attraverso una funzione f (x).

  Questa restituisce
                     e
          0 se x non ` una soluzione,
                 e
          1 se x ` una soluzione (un elemento cercato).

  Ora
                                 O : |x |q → |x |q ⊕ f (x) ,
  da cui
                                   |0 − |1                |0 − |1
                      O : |x          √    → (−1)f (x) |x    √    .
                                        2                      2


                                  e
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L’oracolo

                                          e
  L’oracolo determina se un dato elemento ` una soluzione
  attraverso una funzione f (x).

  Questa restituisce
                     e
          0 se x non ` una soluzione,
                 e
          1 se x ` una soluzione (un elemento cercato).

  Ora
                                 O : |x |q → |x |q ⊕ f (x) ,
  da cui
                                   |0 − |1                |0 − |1
                      O : |x          √    → (−1)f (x) |x    √    .
                                        2                      2


                                  e
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L’oracolo

                                          e
  L’oracolo determina se un dato elemento ` una soluzione
  attraverso una funzione f (x).

  Questa restituisce
                     e
          0 se x non ` una soluzione,
                 e
          1 se x ` una soluzione (un elemento cercato).

  Ora
                                 O : |x |q → |x |q ⊕ f (x) ,
  da cui
                                   |0 − |1                |0 − |1
                      O : |x          √    → (−1)f (x) |x    √    .
                                        2                      2


                                  e
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L’oracolo

                                          e
  L’oracolo determina se un dato elemento ` una soluzione
  attraverso una funzione f (x).

  Questa restituisce
                     e
          0 se x non ` una soluzione,
                 e
          1 se x ` una soluzione (un elemento cercato).

  Ora
                                 O : |x |q → |x |q ⊕ f (x) ,
  da cui
                                   |0 − |1                |0 − |1
                      O : |x          √    → (−1)f (x) |x    √    .
                                        2                      2


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’operatore di Grover



  L’effetto della parte (2 |ψ ψ| − I ) dell’operatore di Grover su di
  un generico stato
                            |φ =         |x ,
                                                    x∈{0,1}n

       o
  si pu` riassumere in:
                                                         3N − 4       N −4
       (2 |ψ ψ| − I )                      |x =            √      |x + √       |x .
                               x∈{0,1}n
                                                          N N x∈S     N N x ∈S
                                                                            /




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’operatore di Grover



  L’effetto della parte (2 |ψ ψ| − I ) dell’operatore di Grover su di
  un generico stato
                            |φ =         |x ,
                                                    x∈{0,1}n

       o
  si pu` riassumere in:
                                                         3N − 4       N −4
       (2 |ψ ψ| − I )                      |x =            √      |x + √       |x .
                               x∈{0,1}n
                                                          N N x∈S     N N x ∈S
                                                                            /




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’operatore di Grover



  L’effetto della parte (2 |ψ ψ| − I ) dell’operatore di Grover su di
  un generico stato
                            |φ =         |x ,
                                                    x∈{0,1}n

       o
  si pu` riassumere in:
                                                         3N − 4       N −4
       (2 |ψ ψ| − I )                      |x =            √      |x + √       |x .
                               x∈{0,1}n
                                                          N N x∈S     N N x ∈S
                                                                            /




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’operatore di Grover



  L’effetto della parte (2 |ψ ψ| − I ) dell’operatore di Grover su di
  un generico stato
                            |φ =         |x ,
                                                    x∈{0,1}n

       o
  si pu` riassumere in:
                                                         3N − 4       N −4
       (2 |ψ ψ| − I )                      |x =            √      |x + √       |x .
                               x∈{0,1}n
                                                          N N x∈S     N N x ∈S
                                                                            /




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’operatore di Grover



  L’effetto della parte (2 |ψ ψ| − I ) dell’operatore di Grover su di
  un generico stato
                            |φ =         |x ,
                                                    x∈{0,1}n

       o
  si pu` riassumere in:
                                                         3N − 4       N −4
       (2 |ψ ψ| − I )                      |x =            √      |x + √       |x .
                               x∈{0,1}n
                                                          N N x∈S     N N x ∈S
                                                                            /




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2
  Ricerca dell’elemento x = 10 in un database contente 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:                         |ψ0        =       |00 |1

                                                         |00 +|01 +|10 +|11            |0 −|1
    2. H ⊗2 H:                        |ψ1        =                2              ⊗       √
                                                                                           2

                                                         |00 +|01 −|10 +|11
    3. O:                             |ψ2        =                2

                                                         N−4                                     3N−4
    4. (2 |ψ ψ| − I ):                |ψ3        =        √ (|00
                                                         N N
                                                                       + |01 + |11 ) +            √
                                                                                                 N N
                                                                                                        |10

                                                         4−4                                    12−4
                                                 =        8 (|00     + |01 + |11 ) +              8    |10

                                                 =       0(|00 + |01 + |11 ) + 1(|10 ) = |10 .


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2
  Ricerca dell’elemento x = 10 in un database contente 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:                         |ψ0        =       |00 |1

                                                         |00 +|01 +|10 +|11            |0 −|1
    2. H ⊗2 H:                        |ψ1        =                2              ⊗       √
                                                                                           2

                                                         |00 +|01 −|10 +|11
    3. O:                             |ψ2        =                2

                                                         N−4                                     3N−4
    4. (2 |ψ ψ| − I ):                |ψ3        =        √ (|00
                                                         N N
                                                                       + |01 + |11 ) +            √
                                                                                                 N N
                                                                                                        |10

                                                         4−4                                    12−4
                                                 =        8 (|00     + |01 + |11 ) +              8    |10

                                                 =       0(|00 + |01 + |11 ) + 1(|10 ) = |10 .


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2
  Ricerca dell’elemento x = 10 in un database contente 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:                         |ψ0        =       |00 |1

                                                         |00 +|01 +|10 +|11            |0 −|1
    2. H ⊗2 H:                        |ψ1        =                2              ⊗       √
                                                                                           2

                                                         |00 +|01 −|10 +|11
    3. O:                             |ψ2        =                2

                                                         N−4                                     3N−4
    4. (2 |ψ ψ| − I ):                |ψ3        =        √ (|00
                                                         N N
                                                                       + |01 + |11 ) +            √
                                                                                                 N N
                                                                                                        |10

                                                         4−4                                    12−4
                                                 =        8 (|00     + |01 + |11 ) +              8    |10

                                                 =       0(|00 + |01 + |11 ) + 1(|10 ) = |10 .


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi      Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2
  Ricerca dell’elemento x = 10 in un database contente 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:                         |ψ0        =       |00 |1

                                                         |00 +|01 +|10 +|11            |0 −|1
    2. H ⊗2 H:                        |ψ1        =                2              ⊗       √
                                                                                           2

                                                         |00 +|01 −|10 +|11
    3. O:                             |ψ2        =                2

                                                         N−4                                     3N−4
    4. (2 |ψ ψ| − I ):                |ψ3        =        √ (|00
                                                         N N
                                                                       + |01 + |11 ) +            √
                                                                                                 N N
                                                                                                        |10

                                                         4−4                                    12−4
                                                 =        8 (|00     + |01 + |11 ) +              8    |10

                                                 =       0(|00 + |01 + |11 ) + 1(|10 ) = |10 .


                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2
  Ricerca dell’elemento x = 10 in un database contente 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:                         |ψ0        =       |00 |1

                                                         |00 +|01 +|10 +|11            |0 −|1
    2. H ⊗2 H:                        |ψ1        =                2              ⊗       √
                                                                                           2

                                                         |00 +|01 −|10 +|11
    3. O:                             |ψ2        =                2

                                                         N−4                                     3N−4
    4. (2 |ψ ψ| − I ):                |ψ3        =        √ (|00
                                                         N N
                                                                       + |01 + |11 ) +            √
                                                                                                 N N
                                                                                                        |10

                                                         4−4                                    12−4
                                                 =        8 (|00     + |01 + |11 ) +              8    |10

                                                 =       0(|00 + |01 + |11 ) + 1(|10 ) = |10 .


                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2
  Ricerca dell’elemento x = 10 in un database contente 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:                         |ψ0        =       |00 |1

                                                         |00 +|01 +|10 +|11            |0 −|1
    2. H ⊗2 H:                        |ψ1        =                2              ⊗       √
                                                                                           2

                                                         |00 +|01 −|10 +|11
    3. O:                             |ψ2        =                2

                                                         N−4                                     3N−4
    4. (2 |ψ ψ| − I ):                |ψ3        =        √ (|00
                                                         N N
                                                                       + |01 + |11 ) +            √
                                                                                                 N N
                                                                                                        |10

                                                         4−4                                    12−4
                                                 =        8 (|00     + |01 + |11 ) +              8    |10

                                                 =       0(|00 + |01 + |11 ) + 1(|10 ) = |10 .


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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali     Deutsch-Jozsa Grover Shor

Esempio con n = 2
  Ricerca dell’elemento x = 10 in un database contente 4 elementi
  (N = 4).

    1. input:                         |ψ0        =       |00 |1

                                                         |00 +|01 +|10 +|11            |0 −|1
    2. H ⊗2 H:                        |ψ1        =                2              ⊗       √
                                                                                           2

                                                         |00 +|01 −|10 +|11
    3. O:                             |ψ2        =                2

                                                         N−4                                     3N−4
    4. (2 |ψ ψ| − I ):                |ψ3        =        √ (|00
                                                         N N
                                                                       + |01 + |11 ) +            √
                                                                                                 N N
                                                                                                        |10

                                                         4−4                                    12−4
                                                 =        8 (|00     + |01 + |11 ) +              8    |10

                                                 =       0(|00 + |01 + |11 ) + 1(|10 ) = |10 .


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Guadagno


  Abbiamo trovato un elemento in un database che ne contiene 4 in
  un solo passaggio.

  Classicamente avremmo dovuto effettuare mediamente 2 passaggi.

                                              e
  Sebbene in questo esempio il guadagno non ` enorme, per un
  database di 105 elementi la situazione cambia:

                                    classico                        Grover




                                 e
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Guadagno


  Abbiamo trovato un elemento in un database che ne contiene 4 in
  un solo passaggio.

  Classicamente avremmo dovuto effettuare mediamente 2 passaggi.

                                              e
  Sebbene in questo esempio il guadagno non ` enorme, per un
  database di 105 elementi la situazione cambia:

                                    classico                        Grover




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Guadagno


  Abbiamo trovato un elemento in un database che ne contiene 4 in
  un solo passaggio.

  Classicamente avremmo dovuto effettuare mediamente 2 passaggi.

                                              e
  Sebbene in questo esempio il guadagno non ` enorme, per un
  database di 105 elementi la situazione cambia:

                                    classico                        Grover




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Guadagno


  Abbiamo trovato un elemento in un database che ne contiene 4 in
  un solo passaggio.

  Classicamente avremmo dovuto effettuare mediamente 2 passaggi.

                                              e
  Sebbene in questo esempio il guadagno non ` enorme, per un
  database di 105 elementi la situazione cambia:

                                    classico                        Grover




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Guadagno


  Abbiamo trovato un elemento in un database che ne contiene 4 in
  un solo passaggio.

  Classicamente avremmo dovuto effettuare mediamente 2 passaggi.

                                              e
  Sebbene in questo esempio il guadagno non ` enorme, per un
  database di 105 elementi la situazione cambia:

                                    classico                        Grover
                      50′ 000     iterazioni (media)




                                 e
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Guadagno


  Abbiamo trovato un elemento in un database che ne contiene 4 in
  un solo passaggio.

  Classicamente avremmo dovuto effettuare mediamente 2 passaggi.

                                              e
  Sebbene in questo esempio il guadagno non ` enorme, per un
  database di 105 elementi la situazione cambia:

                                    classico                        Grover
                      50′ 000     iterazioni (media)           248 iterazioni




                                 e
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    L’algoritmo di fattorizzazione
               di Shor



                                e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Introduzione


                      e
  L’algoritmo di Shor ` stato sviluppato
  da Peter Shor nel 1994.

  Risolve in un tempo ragionevole uno
                 u
  dei problemi pi` antichi della
  matematica: la fattorizzazione di
  grandi numeri.

  L’algoritmo di Shor, se implementato
  in un computer quantistico,
  metterebbe in pericolo il sistema RSA
  sul quale si basa la sicurezza in rete.

                                                                            Figura: Peter Shor.
                                  e
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Introduzione


                      e
  L’algoritmo di Shor ` stato sviluppato
  da Peter Shor nel 1994.

  Risolve in un tempo ragionevole uno
                 u
  dei problemi pi` antichi della
  matematica: la fattorizzazione di
  grandi numeri.

  L’algoritmo di Shor, se implementato
  in un computer quantistico,
  metterebbe in pericolo il sistema RSA
  sul quale si basa la sicurezza in rete.

                                                                            Figura: Peter Shor.
                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Introduzione


                      e
  L’algoritmo di Shor ` stato sviluppato
  da Peter Shor nel 1994.

  Risolve in un tempo ragionevole uno
                 u
  dei problemi pi` antichi della
  matematica: la fattorizzazione di
  grandi numeri.

  L’algoritmo di Shor, se implementato
  in un computer quantistico,
  metterebbe in pericolo il sistema RSA
  sul quale si basa la sicurezza in rete.

                                                                            Figura: Peter Shor.
                                  e
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Il problema


  Fattorizzazione di un numero N = pq nei suoi fattori primi p e q.

  Il miglior algoritmo classico impiega tempi dell’ordine di
                                                     1/3 (log log n)2/3
                                     O(e c(log n)                         ).

  L’algoritmo di Shor ci permette di giungere al risultato in un
  tempo polinomiale

                                       O((log n)2 log log n)).




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi     Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali    Deutsch-Jozsa Grover Shor

Il problema


  Fattorizzazione di un numero N = pq nei suoi fattori primi p e q.

  Il miglior algoritmo classico impiega tempi dell’ordine di
                                                     1/3 (log log n)2/3
                                     O(e c(log n)                         ).

  L’algoritmo di Shor ci permette di giungere al risultato in un
  tempo polinomiale

                                       O((log n)2 log log n)).




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi     Quantum Computer
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Il problema


  Fattorizzazione di un numero N = pq nei suoi fattori primi p e q.

  Il miglior algoritmo classico impiega tempi dell’ordine di
                                                     1/3 (log log n)2/3
                                     O(e c(log n)                         ).

  L’algoritmo di Shor ci permette di giungere al risultato in un
  tempo polinomiale

                                       O((log n)2 log log n)).




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi     Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’algoritmo di Shor



             a
  Per comodit`, si divide l’algoritmo di fattorizzazione di Shor in due
  parti:
          la parte quantistica, per trovare il periodo r della funzione
          f (x) = ax mod N, con a un numero casuale coprimo a N,

          la parte classica, per ricavare da r i due numeri p e q, grazie
          alla teoria dei numeri.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’algoritmo di Shor



             a
  Per comodit`, si divide l’algoritmo di fattorizzazione di Shor in due
  parti:
          la parte quantistica, per trovare il periodo r della funzione
          f (x) = ax mod N, con a un numero casuale coprimo a N,

          la parte classica, per ricavare da r i due numeri p e q, grazie
          alla teoria dei numeri.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’algoritmo di Shor



             a
  Per comodit`, si divide l’algoritmo di fattorizzazione di Shor in due
  parti:
          la parte quantistica, per trovare il periodo r della funzione
          f (x) = ax mod N, con a un numero casuale coprimo a N,

          la parte classica, per ricavare da r i due numeri p e q, grazie
          alla teoria dei numeri.




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’algoritmo di fattorizzazione



         |0      /n H ⊗n                                                UQFT          


                                                                                        

                                              Uf                                     NM
         |0      /m                                    


                                                         

                                                    NM
                   Figura: Il ciruito quantistico dell’algoritmo di Shor.



  Dove
               e
          UQFT ` la Trasformata di Fourier Quantistica,
                                   a                   e
          la misurazione finale ci d` un valore che non ` ancora r .



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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L’algoritmo di fattorizzazione



         |0      /n H ⊗n                                                UQFT          


                                                                                        

                                              Uf                                     NM
         |0      /m                                    


                                                         

                                                    NM
                   Figura: Il ciruito quantistico dell’algoritmo di Shor.



  Dove
               e
          UQFT ` la Trasformata di Fourier Quantistica,
                                   a                   e
          la misurazione finale ci d` un valore che non ` ancora r .



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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L’algoritmo di fattorizzazione



         |0      /n H ⊗n                                                UQFT          


                                                                                        

                                              Uf                                     NM
         |0      /m                                    


                                                         

                                                    NM
                   Figura: Il ciruito quantistico dell’algoritmo di Shor.



  Dove
               e
          UQFT ` la Trasformata di Fourier Quantistica,
                                   a                   e
          la misurazione finale ci d` un valore che non ` ancora r .



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

L’algoritmo di fattorizzazione



         |0      /n H ⊗n                                                UQFT          


                                                                                        

                                              Uf                                     NM
         |0      /m                                    


                                                         

                                                    NM
                   Figura: Il ciruito quantistico dell’algoritmo di Shor.



  Dove
               e
          UQFT ` la Trasformata di Fourier Quantistica,
                                   a                   e
          la misurazione finale ci d` un valore che non ` ancora r .



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Fattorizzazione di 39
  Per fattorizzare 39, scegliamo a = 5.
  La funzione f (x) = 5x mod 39 ci d` i seguenti valori:
                                      a

                                  f (0)      =      50    mod 39 = 1
                                  f (1)      =      51    mod 39 = 5
                                  f (2)      =      52    mod 39 = 25
                                  f (3)      =      53    mod 39 = 8
                                  f (4)      =      54    mod 39 = 1
                                  f (5)      =      55    mod 39 = 5
                                  f (6)      =      56    mod 39 = 25
                                  f (7)      =      57    mod 39 = 8
                                  f (8)      =      58    mod 39 = 1
                                  f (9)      =      59    mod 39 = 5
                                f (10)       =      510   mod 39 = 25

                         e
  Notiamo che il periodo ` r = 4.
                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi     Quantum Computer
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Fattorizzazione di 39
  Per fattorizzare 39, scegliamo a = 5.
  La funzione f (x) = 5x mod 39 ci d` i seguenti valori:
                                      a

                                  f (0)      =      50    mod 39 = 1
                                  f (1)      =      51    mod 39 = 5
                                  f (2)      =      52    mod 39 = 25
                                  f (3)      =      53    mod 39 = 8
                                  f (4)      =      54    mod 39 = 1
                                  f (5)      =      55    mod 39 = 5
                                  f (6)      =      56    mod 39 = 25
                                  f (7)      =      57    mod 39 = 8
                                  f (8)      =      58    mod 39 = 1
                                  f (9)      =      59    mod 39 = 5
                                f (10)       =      510   mod 39 = 25

                         e
  Notiamo che il periodo ` r = 4.
                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi     Quantum Computer
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Fattorizzazione di 39
  Per fattorizzare 39, scegliamo a = 5.
  La funzione f (x) = 5x mod 39 ci d` i seguenti valori:
                                      a

                                  f (0)      =      50    mod 39 = 1
                                  f (1)      =      51    mod 39 = 5
                                  f (2)      =      52    mod 39 = 25
                                  f (3)      =      53    mod 39 = 8
                                  f (4)      =      54    mod 39 = 1
                                  f (5)      =      55    mod 39 = 5
                                  f (6)      =      56    mod 39 = 25
                                  f (7)      =      57    mod 39 = 8
                                  f (8)      =      58    mod 39 = 1
                                  f (9)      =      59    mod 39 = 5
                                f (10)       =      510   mod 39 = 25

                         e
  Notiamo che il periodo ` r = 4.
                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi     Quantum Computer
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Fattorizzazione di 39
  Per fattorizzare 39, scegliamo a = 5.
  La funzione f (x) = 5x mod 39 ci d` i seguenti valori:
                                      a

                                  f (0)      =      50    mod 39 = 1
                                  f (1)      =      51    mod 39 = 5
                                  f (2)      =      52    mod 39 = 25
                                  f (3)      =      53    mod 39 = 8
                                  f (4)      =      54    mod 39 = 1
                                  f (5)      =      55    mod 39 = 5
                                  f (6)      =      56    mod 39 = 25
                                  f (7)      =      57    mod 39 = 8
                                  f (8)      =      58    mod 39 = 1
                                  f (9)      =      59    mod 39 = 5
                                f (10)       =      510   mod 39 = 25

                         e
  Notiamo che il periodo ` r = 4.
                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi     Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali        Deutsch-Jozsa Grover Shor

Fattorizzazione di 39

  Si sceglie una n per il quale 2n sia circa dell’ordine di N 2 .

  Nel nostro caso 392 = 1521 −→ n = 10 (210 = 1024).

                                                ⊗10
    1. input:            |ψ0        =      |0            |0

                                            1       511
    2. H ⊗9 H:           |ψ1        =      32       x=0 |x       |0

                                            1       511
    3. Uf :              |ψ2        =      32       x=0 |x       |f (x)

                                            1
                                    =      32    |0 |1 + |1 |5 + |2 |25 + |3 |8

                                           + |4 |1 + |5 |5 . . .


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi         Quantum Computer
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Fattorizzazione di 39

  Si sceglie una n per il quale 2n sia circa dell’ordine di N 2 .

  Nel nostro caso 392 = 1521 −→ n = 10 (210 = 1024).

                                                ⊗10
    1. input:            |ψ0        =      |0            |0

                                            1       511
    2. H ⊗9 H:           |ψ1        =      32       x=0 |x       |0

                                            1       511
    3. Uf :              |ψ2        =      32       x=0 |x       |f (x)

                                            1
                                    =      32    |0 |1 + |1 |5 + |2 |25 + |3 |8

                                           + |4 |1 + |5 |5 . . .


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi         Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali        Deutsch-Jozsa Grover Shor

Fattorizzazione di 39

  Si sceglie una n per il quale 2n sia circa dell’ordine di N 2 .

  Nel nostro caso 392 = 1521 −→ n = 10 (210 = 1024).

                                                ⊗10
    1. input:            |ψ0        =      |0            |0

                                            1       511
    2. H ⊗9 H:           |ψ1        =      32       x=0 |x       |0

                                            1       511
    3. Uf :              |ψ2        =      32       x=0 |x       |f (x)

                                            1
                                    =      32    |0 |1 + |1 |5 + |2 |25 + |3 |8

                                           + |4 |1 + |5 |5 . . .


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi         Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali        Deutsch-Jozsa Grover Shor

Fattorizzazione di 39

  Si sceglie una n per il quale 2n sia circa dell’ordine di N 2 .

  Nel nostro caso 392 = 1521 −→ n = 10 (210 = 1024).

                                                ⊗10
    1. input:            |ψ0        =      |0            |0

                                            1       511
    2. H ⊗9 H:           |ψ1        =      32       x=0 |x       |0

                                            1       511
    3. Uf :              |ψ2        =      32       x=0 |x       |f (x)

                                            1
                                    =      32    |0 |1 + |1 |5 + |2 |25 + |3 |8

                                           + |4 |1 + |5 |5 . . .


                                  e
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Fattorizzazione di 39

  Si sceglie una n per il quale 2n sia circa dell’ordine di N 2 .

  Nel nostro caso 392 = 1521 −→ n = 10 (210 = 1024).

                                                ⊗10
    1. input:            |ψ0        =      |0            |0

                                            1       511
    2. H ⊗9 H:           |ψ1        =      32       x=0 |x       |0

                                            1       511
    3. Uf :              |ψ2        =      32       x=0 |x       |f (x)

                                            1
                                    =      32    |0 |1 + |1 |5 + |2 |25 + |3 |8

                                           + |4 |1 + |5 |5 . . .


                                  e
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Fattorizzazione di 39

  Si sceglie una n per il quale 2n sia circa dell’ordine di N 2 .

  Nel nostro caso 392 = 1521 −→ n = 10 (210 = 1024).

                                                ⊗10
    1. input:            |ψ0        =      |0            |0

                                            1       511
    2. H ⊗9 H:           |ψ1        =      32       x=0 |x       |0

                                            1       511
    3. Uf :              |ψ2        =      32       x=0 |x       |f (x)

                                            1
                                    =      32    |0 |1 + |1 |5 + |2 |25 + |3 |8

                                           + |4 |1 + |5 |5 . . .


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi         Quantum Computer
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Fattorizzazione di 39

  Si sceglie una n per il quale 2n sia circa dell’ordine di N 2 .

  Nel nostro caso 392 = 1521 −→ n = 10 (210 = 1024).

                                                ⊗10
    1. input:            |ψ0        =      |0            |0

                                            1       511
    2. H ⊗9 H:           |ψ1        =      32       x=0 |x       |0

                                            1       511
    3. Uf :              |ψ2        =      32       x=0 |x       |f (x)

                                            1
                                    =      32    |0 |1 + |1 |5 + |2 |25 + |3 |8

                                           + |4 |1 + |5 |5 . . .


                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi         Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Fattorizzazione di 39


  Stati possibili alla prima misurazione
                                   1
              1      |Ψ1 =        16    |0 + |4 + |8 + |12 + |16 + . . .
                                   1
              5      |Ψ5 =        16    |1 + |5 + |9 + |13 + |17 + . . .
                                    1
             25      |Ψ25 =        16    |2 + |6 + |10 + |14 + |18 + . . .
                                   1
              8      |Ψ8 =        16    |3 + |7 + |11 + |15 + |19 + . . .


  Supponiamo di trovare il valore 1. Ci ritroviamo con lo stato |Ψ1 .




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Fattorizzazione di 39


  Stati possibili alla prima misurazione
                                   1
              1      |Ψ1 =        16    |0 + |4 + |8 + |12 + |16 + . . .
                                   1
              5      |Ψ5 =        16    |1 + |5 + |9 + |13 + |17 + . . .
                                    1
             25      |Ψ25 =        16    |2 + |6 + |10 + |14 + |18 + . . .
                                   1
              8      |Ψ8 =        16    |3 + |7 + |11 + |15 + |19 + . . .


  Supponiamo di trovare il valore 1. Ci ritroviamo con lo stato |Ψ1 .




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Fattorizzazione di 39


  Stati possibili alla prima misurazione
                                   1
              1      |Ψ1 =        16    |0 + |4 + |8 + |12 + |16 + . . .
                                   1
              5      |Ψ5 =        16    |1 + |5 + |9 + |13 + |17 + . . .
                                    1
             25      |Ψ25 =        16    |2 + |6 + |10 + |14 + |18 + . . .
                                   1
              8      |Ψ8 =        16    |3 + |7 + |11 + |15 + |19 + . . .


  Supponiamo di trovare il valore 1. Ci ritroviamo con lo stato |Ψ1 .




                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Quantum Fourier Transform


  La porta UQFT agisce come
                                                         N−1
                                           1                         xy
                                UQFT |x = √                     e 2πi N |y
                                            N            y =0

                                a
  Applicata al nostro stato ci d`

                                       1
    4. UQFT |Ψ1 :               =      2    |0 + |256 + |512 + |768                  .

  Si effettua ora una misura e si trova uno dei quattro valori, ad
  esempio 768.



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Quantum Fourier Transform


  La porta UQFT agisce come
                                                         N−1
                                           1                         xy
                                UQFT |x = √                     e 2πi N |y
                                            N            y =0

                                a
  Applicata al nostro stato ci d`

                                       1
    4. UQFT |Ψ1 :               =      2    |0 + |256 + |512 + |768                  .

  Si effettua ora una misura e si trova uno dei quattro valori, ad
  esempio 768.



                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Quantum Fourier Transform


  La porta UQFT agisce come
                                                         N−1
                                           1                         xy
                                UQFT |x = √                     e 2πi N |y
                                            N            y =0

                                a
  Applicata al nostro stato ci d`

                                       1
    4. UQFT |Ψ1 :               =      2    |0 + |256 + |512 + |768                  .

  Si effettua ora una misura e si trova uno dei quattro valori, ad
  esempio 768.



                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Deutsch-Jozsa Grover Shor

Quantum Fourier Transform


  La porta UQFT agisce come
                                                         N−1
                                           1                         xy
                                UQFT |x = √                     e 2πi N |y
                                            N            y =0

                                a
  Applicata al nostro stato ci d`

                                       1
    4. UQFT |Ψ1 :               =      2    |0 + |256 + |512 + |768                  .

  Si effettua ora una misura e si trova uno dei quattro valori, ad
  esempio 768.



                                  e
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Parte classica

  Si riduce
                                           768   768    3
                                             n
                                               =      =
                                            2    1024   4

                                 e
  Il denominatore della frazione ` il periodo −→ r = 4.

  Quindi i fattori sono dati semplicemente da

          p = MCD(ar /2 − 1, N)                          e       q = MCD(ar /2 + 1, N).

  Nel nostro esempio
          p = MCD(24, 39) = 3
          q = MCD(26, 39) = 13.

  Ed in effetti 3 · 13 = 39.

                                  e
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Parte classica

  Si riduce
                                           768   768    3
                                             n
                                               =      =
                                            2    1024   4

                                 e
  Il denominatore della frazione ` il periodo −→ r = 4.

  Quindi i fattori sono dati semplicemente da

          p = MCD(ar /2 − 1, N)                          e       q = MCD(ar /2 + 1, N).

  Nel nostro esempio
          p = MCD(24, 39) = 3
          q = MCD(26, 39) = 13.

  Ed in effetti 3 · 13 = 39.

                                  e
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Parte classica

  Si riduce
                                           768   768    3
                                             n
                                               =      =
                                            2    1024   4

                                 e
  Il denominatore della frazione ` il periodo −→ r = 4.

  Quindi i fattori sono dati semplicemente da

          p = MCD(ar /2 − 1, N)                          e       q = MCD(ar /2 + 1, N).

  Nel nostro esempio
          p = MCD(24, 39) = 3
          q = MCD(26, 39) = 13.

  Ed in effetti 3 · 13 = 39.

                                  e
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Parte classica

  Si riduce
                                           768   768    3
                                             n
                                               =      =
                                            2    1024   4

                                 e
  Il denominatore della frazione ` il periodo −→ r = 4.

  Quindi i fattori sono dati semplicemente da

          p = MCD(ar /2 − 1, N)                          e       q = MCD(ar /2 + 1, N).

  Nel nostro esempio
          p = MCD(24, 39) = 3
          q = MCD(26, 39) = 13.

  Ed in effetti 3 · 13 = 39.

                                  e
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Parte classica

  Si riduce
                                           768   768    3
                                             n
                                               =      =
                                            2    1024   4

                                 e
  Il denominatore della frazione ` il periodo −→ r = 4.

  Quindi i fattori sono dati semplicemente da

          p = MCD(ar /2 − 1, N)                          e       q = MCD(ar /2 + 1, N).

  Nel nostro esempio
          p = MCD(24, 39) = 3
          q = MCD(26, 39) = 13.

  Ed in effetti 3 · 13 = 39.

                                  e
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Parte classica

  Si riduce
                                           768   768    3
                                             n
                                               =      =
                                            2    1024   4

                                 e
  Il denominatore della frazione ` il periodo −→ r = 4.

  Quindi i fattori sono dati semplicemente da

          p = MCD(ar /2 − 1, N)                          e       q = MCD(ar /2 + 1, N).

  Nel nostro esempio
          p = MCD(24, 39) = 3
          q = MCD(26, 39) = 13.

  Ed in effetti 3 · 13 = 39.

                                  e
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Parte classica

  Si riduce
                                           768   768    3
                                             n
                                               =      =
                                            2    1024   4

                                 e
  Il denominatore della frazione ` il periodo −→ r = 4.

  Quindi i fattori sono dati semplicemente da

          p = MCD(ar /2 − 1, N)                          e       q = MCD(ar /2 + 1, N).

  Nel nostro esempio
          p = MCD(24, 39) = 3
          q = MCD(26, 39) = 13.

  Ed in effetti 3 · 13 = 39.

                                  e
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Parte classica

  Si riduce
                                           768   768    3
                                             n
                                               =      =
                                            2    1024   4

                                 e
  Il denominatore della frazione ` il periodo −→ r = 4.

  Quindi i fattori sono dati semplicemente da

          p = MCD(ar /2 − 1, N)                          e       q = MCD(ar /2 + 1, N).

  Nel nostro esempio
          p = MCD(24, 39) = 3
          q = MCD(26, 39) = 13.

  Ed in effetti 3 · 13 = 39.

                                  e
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Parte classica

  Si riduce
                                           768   768    3
                                             n
                                               =      =
                                            2    1024   4

                                 e
  Il denominatore della frazione ` il periodo −→ r = 4.

  Quindi i fattori sono dati semplicemente da

          p = MCD(ar /2 − 1, N)                          e       q = MCD(ar /2 + 1, N).

  Nel nostro esempio
          p = MCD(24, 39) = 3
          q = MCD(26, 39) = 13.

  Ed in effetti 3 · 13 = 39.

                                  e
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                    Aspetti sperimentali




                                e
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La decoerenza quantistica

                            e
  La decoerenza quantistica ` l’annullamento della
  sovrapposizione quantistica all’impatto del sistema con
  l’ambiente.

           e
  L’effetto ` paragonabile al lancio di una
  moneta su un tavolo: nel momento
  dell’impatto con la superficie assume uno
  stato definitivo, testa o croce, annullando la
  sovrapposizione presente durante il volo.

  La decoerenza condiziona fortemente la realizzazione di un
  computer quantistico.

  Tuttavia, i progressi effettuati in questo ambito inducono a credere
  che questo problema possa venire superato.

                                  e
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La decoerenza quantistica

                            e
  La decoerenza quantistica ` l’annullamento della
  sovrapposizione quantistica all’impatto del sistema con
  l’ambiente.

           e
  L’effetto ` paragonabile al lancio di una
  moneta su un tavolo: nel momento
  dell’impatto con la superficie assume uno
  stato definitivo, testa o croce, annullando la
  sovrapposizione presente durante il volo.

  La decoerenza condiziona fortemente la realizzazione di un
  computer quantistico.

  Tuttavia, i progressi effettuati in questo ambito inducono a credere
  che questo problema possa venire superato.

                                  e
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La decoerenza quantistica

                            e
  La decoerenza quantistica ` l’annullamento della
  sovrapposizione quantistica all’impatto del sistema con
  l’ambiente.

           e
  L’effetto ` paragonabile al lancio di una
  moneta su un tavolo: nel momento
  dell’impatto con la superficie assume uno
  stato definitivo, testa o croce, annullando la
  sovrapposizione presente durante il volo.

  La decoerenza condiziona fortemente la realizzazione di un
  computer quantistico.

  Tuttavia, i progressi effettuati in questo ambito inducono a credere
  che questo problema possa venire superato.

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La decoerenza quantistica

                            e
  La decoerenza quantistica ` l’annullamento della
  sovrapposizione quantistica all’impatto del sistema con
  l’ambiente.

           e
  L’effetto ` paragonabile al lancio di una
  moneta su un tavolo: nel momento
  dell’impatto con la superficie assume uno
  stato definitivo, testa o croce, annullando la
  sovrapposizione presente durante il volo.

  La decoerenza condiziona fortemente la realizzazione di un
  computer quantistico.

  Tuttavia, i progressi effettuati in questo ambito inducono a credere
  che questo problema possa venire superato.

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La decoerenza quantistica

                            e
  La decoerenza quantistica ` l’annullamento della
  sovrapposizione quantistica all’impatto del sistema con
  l’ambiente.

           e
  L’effetto ` paragonabile al lancio di una
  moneta su un tavolo: nel momento
  dell’impatto con la superficie assume uno
  stato definitivo, testa o croce, annullando la
  sovrapposizione presente durante il volo.

  La decoerenza condiziona fortemente la realizzazione di un
  computer quantistico.

  Tuttavia, i progressi effettuati in questo ambito inducono a credere
  che questo problema possa venire superato.

                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Problemi Modelli Realizzazioni

Confinamento ionico lineare
  La tecnologia trapped ions, sviluppata nel 1995, consiste nell
  alineare degli ioni di Berillio ed utilizzarli come qubit.

  I due stati stabili |0 e |1 sono dati dallo stato di riposo e dallo
  stato d’eccitazione dello ione.




              Figura: Tre ioni di Berillio illuminati con un raggio laser UV.

                                  e
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Confinamento ionico lineare
  La tecnologia trapped ions, sviluppata nel 1995, consiste nell
  alineare degli ioni di Berillio ed utilizzarli come qubit.

  I due stati stabili |0 e |1 sono dati dallo stato di riposo e dallo
  stato d’eccitazione dello ione.




              Figura: Tre ioni di Berillio illuminati con un raggio laser UV.

                                  e
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Confinamento ionico lineare
  La tecnologia trapped ions, sviluppata nel 1995, consiste nell
  alineare degli ioni di Berillio ed utilizzarli come qubit.

  I due stati stabili |0 e |1 sono dati dallo stato di riposo e dallo
  stato d’eccitazione dello ione.




              Figura: Tre ioni di Berillio illuminati con un raggio laser UV.

                                  e
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Confinamento ionico lineare
  Per cambiare lo stato o creare una sovrapposizione di stati
  vengono utilizzati dei fasci laser.




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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Problemi Modelli Realizzazioni

Confinamento ionico lineare (3)




  L’ostacolo maggiore consiste tutt’ora nel fenomeno della
  decoerenza: uno stato entangled di uno ione ha una durata di
  vita di pochi millisecondi.
                                  e
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  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Problemi Modelli Realizzazioni

Confinamento ionico lineare (3)




  L’ostacolo maggiore consiste tutt’ora nel fenomeno della
  decoerenza: uno stato entangled di uno ione ha una durata di
  vita di pochi millisecondi.
                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Problemi Modelli Realizzazioni

Risonanza magnetica nucleare

  Nel metodo della risonanza magnetica nucleare (NMR) si utilizza
  lo spin del nucleo atomico come corrispondente al qubit.

  I cambiamenti di stato vengono provocati da campi magnetici
  esterni.

                                                                   e
  Il problema sta nel fatto che il segnale di una singola molecola `
                                               u
  troppo debole e sono quindi necessarie pi` molecole.

  La produzione di molte molecole poste tutte nello stesso stato
           e
  iniziale ` assai difficile.

                                   e
  Si ritiene che con questo metodo ` possibile realizzzare un
  computer quantistico con al massimo 6 qubit.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Risonanza magnetica nucleare

  Nel metodo della risonanza magnetica nucleare (NMR) si utilizza
  lo spin del nucleo atomico come corrispondente al qubit.

  I cambiamenti di stato vengono provocati da campi magnetici
  esterni.

                                                                   e
  Il problema sta nel fatto che il segnale di una singola molecola `
                                               u
  troppo debole e sono quindi necessarie pi` molecole.

  La produzione di molte molecole poste tutte nello stesso stato
           e
  iniziale ` assai difficile.

                                   e
  Si ritiene che con questo metodo ` possibile realizzzare un
  computer quantistico con al massimo 6 qubit.

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Risonanza magnetica nucleare

  Nel metodo della risonanza magnetica nucleare (NMR) si utilizza
  lo spin del nucleo atomico come corrispondente al qubit.

  I cambiamenti di stato vengono provocati da campi magnetici
  esterni.

                                                                   e
  Il problema sta nel fatto che il segnale di una singola molecola `
                                               u
  troppo debole e sono quindi necessarie pi` molecole.

  La produzione di molte molecole poste tutte nello stesso stato
           e
  iniziale ` assai difficile.

                                   e
  Si ritiene che con questo metodo ` possibile realizzzare un
  computer quantistico con al massimo 6 qubit.

                                  e
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Risonanza magnetica nucleare

  Nel metodo della risonanza magnetica nucleare (NMR) si utilizza
  lo spin del nucleo atomico come corrispondente al qubit.

  I cambiamenti di stato vengono provocati da campi magnetici
  esterni.

                                                                   e
  Il problema sta nel fatto che il segnale di una singola molecola `
                                               u
  troppo debole e sono quindi necessarie pi` molecole.

  La produzione di molte molecole poste tutte nello stesso stato
           e
  iniziale ` assai difficile.

                                   e
  Si ritiene che con questo metodo ` possibile realizzzare un
  computer quantistico con al massimo 6 qubit.

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                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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Risonanza magnetica nucleare

  Nel metodo della risonanza magnetica nucleare (NMR) si utilizza
  lo spin del nucleo atomico come corrispondente al qubit.

  I cambiamenti di stato vengono provocati da campi magnetici
  esterni.

                                                                   e
  Il problema sta nel fatto che il segnale di una singola molecola `
                                               u
  troppo debole e sono quindi necessarie pi` molecole.

  La produzione di molte molecole poste tutte nello stesso stato
           e
  iniziale ` assai difficile.

                                   e
  Si ritiene che con questo metodo ` possibile realizzzare un
  computer quantistico con al massimo 6 qubit.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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D-Wave Orion

  Nel 2006 la D-Wave ha realizzato Orion, un computer quantistico
  a 16 qubit.

  Durante la dimostrazione Orion
  ha risolto con successo i
  seguenti problemi:
         trovare delle strutture
         molecolari che coincidono
         con quella della caffeina,
         creare la disposizione dei
         posti a sedere di un
         matrimonio,
         completare alcuni puzzle                                  Figura: Il chip di Orion.
         Sudoku.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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D-Wave Orion

  Nel 2006 la D-Wave ha realizzato Orion, un computer quantistico
  a 16 qubit.

  Durante la dimostrazione Orion
  ha risolto con successo i
  seguenti problemi:
         trovare delle strutture
         molecolari che coincidono
         con quella della caffeina,
         creare la disposizione dei
         posti a sedere di un
         matrimonio,
         completare alcuni puzzle                                  Figura: Il chip di Orion.
         Sudoku.

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                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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D-Wave Orion

  Nel 2006 la D-Wave ha realizzato Orion, un computer quantistico
  a 16 qubit.

  Durante la dimostrazione Orion
  ha risolto con successo i
  seguenti problemi:
         trovare delle strutture
         molecolari che coincidono
         con quella della caffeina,
         creare la disposizione dei
         posti a sedere di un
         matrimonio,
         completare alcuni puzzle                                  Figura: Il chip di Orion.
         Sudoku.

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D-Wave Orion

  Nel 2006 la D-Wave ha realizzato Orion, un computer quantistico
  a 16 qubit.

  Durante la dimostrazione Orion
  ha risolto con successo i
  seguenti problemi:
         trovare delle strutture
         molecolari che coincidono
         con quella della caffeina,
         creare la disposizione dei
         posti a sedere di un
         matrimonio,
         completare alcuni puzzle                                  Figura: Il chip di Orion.
         Sudoku.

                                  e
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D-Wave Orion

  Nel 2006 la D-Wave ha realizzato Orion, un computer quantistico
  a 16 qubit.

  Durante la dimostrazione Orion
  ha risolto con successo i
  seguenti problemi:
         trovare delle strutture
         molecolari che coincidono
         con quella della caffeina,
         creare la disposizione dei
         posti a sedere di un
         matrimonio,
         completare alcuni puzzle                                  Figura: Il chip di Orion.
         Sudoku.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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D-Wave Orion

  Nel 2006 la D-Wave ha realizzato Orion, un computer quantistico
  a 16 qubit.

  Durante la dimostrazione Orion
  ha risolto con successo i
  seguenti problemi:
         trovare delle strutture
         molecolari che coincidono
         con quella della caffeina,
         creare la disposizione dei
         posti a sedere di un
         matrimonio,
         completare alcuni puzzle                                  Figura: Il chip di Orion.
         Sudoku.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
  Introduzione Principi Algoritmi Aspetti sperimentali   Problemi Modelli Realizzazioni

D-Wave Orion

 Molti sono scettici su quanto
 dimostrato, infatti nemmeno la D-Wave
        e
 stessa ` sicura che Orion esegua
 veramente calcolazioni quantistiche.

        e
 Orion ` stato costruito su base di
                                       e
 un’elettronica di superconduzione che `
 in grado di proteggere gli stati
 quantistici dall’ambienete esterno.

 La D-Wave afferma che i computer
 quantistici non sono destinati a
 sostituire gli attuali sistemi classici,
      ı
 bens` a risolvere problemi NP-completi
                                                                      Figura: Il computer
 non risolvibili classicamente.                                       quantistico Orion.

                                  e
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D-Wave Orion

 Molti sono scettici su quanto
 dimostrato, infatti nemmeno la D-Wave
        e
 stessa ` sicura che Orion esegua
 veramente calcolazioni quantistiche.

        e
 Orion ` stato costruito su base di
                                       e
 un’elettronica di superconduzione che `
 in grado di proteggere gli stati
 quantistici dall’ambienete esterno.

 La D-Wave afferma che i computer
 quantistici non sono destinati a
 sostituire gli attuali sistemi classici,
      ı
 bens` a risolvere problemi NP-completi
                                                                      Figura: Il computer
 non risolvibili classicamente.                                       quantistico Orion.

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D-Wave Orion

 Molti sono scettici su quanto
 dimostrato, infatti nemmeno la D-Wave
        e
 stessa ` sicura che Orion esegua
 veramente calcolazioni quantistiche.

        e
 Orion ` stato costruito su base di
                                       e
 un’elettronica di superconduzione che `
 in grado di proteggere gli stati
 quantistici dall’ambienete esterno.

 La D-Wave afferma che i computer
 quantistici non sono destinati a
 sostituire gli attuali sistemi classici,
      ı
 bens` a risolvere problemi NP-completi
                                                                      Figura: Il computer
 non risolvibili classicamente.                                       quantistico Orion.

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                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
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D-Wave Orion

 Molti sono scettici su quanto
 dimostrato, infatti nemmeno la D-Wave
        e
 stessa ` sicura che Orion esegua
 veramente calcolazioni quantistiche.

        e
 Orion ` stato costruito su base di
                                       e
 un’elettronica di superconduzione che `
 in grado di proteggere gli stati
 quantistici dall’ambienete esterno.

 La D-Wave afferma che i computer
 quantistici non sono destinati a
 sostituire gli attuali sistemi classici,
      ı
 bens` a risolvere problemi NP-completi
                                                                      Figura: Il computer
 non risolvibili classicamente.                                       quantistico Orion.

                                  e
                     Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi    Quantum Computer
Ringraziamo per il suo costante aiuto il nostro professore
                    e
responsabile, nonch´ docente di fisica Christian Ferrari.
Grazie per l’attenzione e arrivederci.


              e
 Doriano Hautl´ e Gionata Genazzi

								
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