Facharbeit Mathematik Mechanisch

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					    Facharbeit Mathematik:
Mechanische Schwingungen und
 elektrische Schwingungskreise

      Von: Knut Ahlers & Julian Ipse
          Fachlehrer: Herr Mayer
           Schuljahr 2005/2006
        Abgabetermin: 24.03.2006

                   a
              23. M¨rz 2006
Inhaltsverzeichnis


1. Einleitung                                                                             1
   1.1. Themenwahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            1
   1.2. Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         1

2. Allgemeines                                                                            2
   2.1. Definition von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              2
   2.2. Definition eines elektrischen Schwingkreises . . . . . . . . . . . . .             2

3. Mechanische Schwingungen (Knut)                                                         4
   3.1. Vorversuch zur Bestimmung der Federkonstante D . . . . .          .   .   .   .    4
   3.2. Einstiegsversuch (Das Federpendel) . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .    5
        3.2.1. Analyse der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .    6
        3.2.2. Funktionstyp und Funktion . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .    6
        3.2.3. Herleiten der DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .    7
   3.3. Versuch 2 (Schwingender Wagen) . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .    8
        3.3.1. Analyse der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .    9
                                    u      a
        3.3.2. Herleiten der DGL f¨r ged¨mpfte Schwingungen[5]            .   .   .   .    9
   3.4. Versuch 3 (Schwingendes Pendel) . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   10
        3.4.1. Analyse der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   10
   3.5. Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   11
        3.5.1. Im Alltag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   11
        3.5.2. In der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   11

4. Elektrische Schwingungen (Julian)                                                      13
   4.1. Versuch 1 (Schwingkreis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   13
        4.1.1. Beschreibung des Versuchsaufbaus . . . . . . . . . . . .           .   .   13
                      u
        4.1.2. Durchf¨hrung des Versuchs . . . . . . . . . . . . . . .            .   .   14
        4.1.3. Analyse der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          .   .   14
        4.1.4. Funktionstyp und Funktion[9] . . . . . . . . . . . . . .           .   .   15
                                          u
        4.1.5. Berechnung der Funktion f¨r den empirischen Graphen                .   .   15
        4.1.6. Herleiten der Formeln und DGL[10] . . . . . . . . . . .            .   .   16
                        a
   4.2. Versuch 2 (Entd¨mpfter Schwingkreis) . . . . . . . . . . . . .            .   .   17
        4.2.1. Beschreibung des Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . .           .   .   17
                      u
        4.2.2. Durchf¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         .   .   18
        4.2.3. Analyse der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          .   .   18
        4.2.4. Funktionstyp und Funktion[9] . . . . . . . . . . . . . .           .   .   19
        4.2.5. Herleitung der DGL[7][8] . . . . . . . . . . . . . . . . .         .   .   20



                                          ii
        4.2.6. Beweis der DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                  20
   4.3. Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                20

5. Schlusswort                                                                                               21
   5.1. Fazit mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                   21
   5.2. Fazit elektrische Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                              21

Literaturverzeichnis                                                                                          I

A. Anhang                                                                                                    II
                    a
   A.1. Fachworterkl¨rung . . . . . . .        . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   II
   A.2. Inhalt der CD . . . . . . . . . .      . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   II
                                  a
   A.3. Versicherung der selbstst¨ndigen       Anfertigung .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   II
   A.4. Lizenz . . . . . . . . . . . . . .     . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   II




                                         iii
1. Einleitung

1.1. Themenwahl
Wir haben das Thema Mechanische Schwingungen und elektrische Schwingkrei-
                     ”
                            a                   o
se“ aus der Themenliste gew¨hlt, weil unser pers¨nliches Interesse in der Ma-
                                       o                    u            a
thematik und Physik liegt. Ausserdem k¨nnte dieses Thema f¨r unsere sp¨tere
Berufswahl von Vorteil sein, da wir Berufe im ingenieurwissenschaftlichen Bereich
anstreben.



1.2. Ziele
In dieser Facharbeit wollen wir das Thema der mechanischen und elektrischen
Schwingkreise ein wenig beleuchten. Dazu werden wir mit Versuchen anfangen,
 u
f¨r die wir von der Schule Material gestellt bekommen. Aus diesen leiten wir dann
                                                   u
die mathematischen Aspekte wie z.B. die Formeln f¨r die Schwingungen oder die
DGL her.
Den Aufbau der Versuche werden wir dabei mittels einer Digitalkamera doku-
mentieren und die Bilder auf der beigelegten CD-Rom bereitstellen. Der Inhalt
der CD-Rom ist Kapitel A.2 dieser Facharbeit zu entnehmen.




                                       1
2. Allgemeines

2.1. Definition von Schwingungen
Als Schwingung[3] bezeichnet man es, wenn ein System aus seinem Gleichgewicht
                                                     a
gebracht wird und versucht, dieses durch eine gegenl¨ufige Kraft wieder herzu-
stellen. Dabei wird meistens Energie zwischen zwei verschiedenen Energieformen
ausgetauscht (Bsp: potentielle Energie und kinetische Energie oder auch elektri-
sche Energie und magnetische Energie).
                                                                           a
Eine Schwingung ist dabei teilweise eine periodisch wiederkehrende Zustands¨nde-
rung. Dieses sieht man sehr gut an echten harmonischen Schwingungen. Dort wird
                                a
exakt immer wieder eine Zustands¨nderung aufgezeichnet.
           u
Beispiele f¨r Schwingungen sieht man auch im Alltag oft. Eine Schaukel ist zum
                 a
Beispiel eine ged¨mpfte Schwingung. Wenn sie jedoch immer wieder angestoßen
                               a
wird, kann man von einer entd¨mpften Schwingung reden. Ein anderes Beispiel
ist eine alte Pendeluhr. In ihr schwingt ein Pendel immer hin und her und treibt
                 a
damit die Zahnr¨der der Uhr an.



2.2. Definition eines elektrischen Schwingkreises
                                                                              a
Ein elektrischer Schwingkreis[6] ist eine elektrische Schaltung aus Induktivit¨t L
             a
und Kapazit¨t C. Diese werden durch einen Kondensator und eine Spule erzeugt.




                                      a
                   Abbildung 2.1.: Ged¨mpfter Schwingkreis




                                        2
Je nach Anordnung der Bauteile wird zwischen zwei verschiedenen Schaltungsar-
ten unterschieden. Sind der Kondensator und die Spule in Reihe geschaltet, han-
delt es sich um eine Reihenschaltung. Bei der Parallelschaltung sind die beiden
Bauteile parallel angeordnet. Diese Schaltung kann jedoch durch andere Elemente
   a
erg¨nzt werden, wie zum Beispiel einem Transistor und einer Stromversorgung,
                      a
um daraus einen entd¨mpften Schwingkreis zu konstruieren, wie zum Beispiel bei
der Meissner-Schaltung.




                            a
        Abbildung 2.2.: Entd¨mpfter Schwingkreis (Meissner-Schaltung)


Bei dem elektrischen Schwingkreis liegt dann durch den periodischen Austausch
von Energie zwischen Spule und Kondensator abwechselnd eine hohe Spannung
oder ein hoher Strom vor. Wenn der Kondensator geladen ist, ist eine hohe Span-
nung vorhanden, welche im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert ist.
                                  o
Bei der Einladung in die Spule str¨mt ein hoher Strom in das Magnetfeld der Spu-
le. Die Frequenz f0 mit der sich dieser Vorgang wiederholt wird mit der folgenden
Formel berechnet:
                                            1
                                   f0 = √
                                         2π LC
                                                     a
Aufgrund der Induktion der Spule, welche der Strom¨nderung entgegenwirkt,
fließt der Strom weiter und der Kondensator wird mit umgekehrter Polung wieder
geladen. Durch den ohmschen Widerstand ist ein Schwingkreis dieser Art jedoch
verlustbehaftet, was bedeutet, dass die schwingende Energie bei jeder Schwingung
abnimmt. Wie lange ein Schwingkreis seine Schwingung aufrecht erhalten kann
                    u                    u
wird mithilfe der G¨te definiert. Der G¨tefaktor Q wird wie folgt bestimmt:

                                           f0
                                    Q=
                                           B

                               u
Das B in dieser Formel steht f¨r die Bandbreite B = f2 − f1 . f1/2 sind die
untere und obere Grenzfrequenz. Hierbei ist allerdings zu beachten, dass f0 nicht
als arithmetisches Mittel der oberen und unteren Grenze berechnet werden darf,
sondern als geometrisches Mittel.



                                       3
3. Mechanische Schwingungen
   (Knut)

3.1. Vorversuch zur Bestimmung der
       Federkonstante D
                                                                     u
Der Versuch zur Bestimmung der Federkonstante D ist recht einfach. F¨r den
          o                                     o
Aufbau ben¨tigt man ein Stativ, ein Gewicht in H¨he von 1N und ein Lineal.




                            Abbildung 3.1.: Aufbau

Der Aufbau wird wie in Abbildung 3.1 gezeigt aufgebaut. In diesem Fall wurde
ein sehr stabiles Stativ verwendet, um zu verhindern, dass sich das Stativ bewegt,
               o                a
sobald eine gr¨ßere Last angeh¨ngt wird.
                            a                                            a
In der Vermessung wird zun¨chst die Feder ohne Gewicht an das Stativ geh¨ngt.
                                                                     a
Am Lineal wird die Position der untersten Windung markiert. Danach h¨ngt man
an die Feder das Gewicht mit 1N und markiert wieder die Position der untersten



                                        4
Windung. Wichtig ist hierbei, dass beide Male exakt die gleiche Position markiert
wird, da sonst das Ergebnis ungenau wird.
                                            N
                u
Da die Einheit f¨r die Federkonstante in    m
                                                angegeben wird rechnet man nun aus,
                                                     a
mit welchem Faktor zu einem Meter die Feder ausgel¨ngt wurde. Im folgenden
                                                                  a
Rechenbeispiel gehe ich davon aus, dass die Feder um 300 mm ausgel¨ngt wurde.
(Die Differenz zwischen dem unteren und dem oberen markiertem Punkt betr¨gta
300 mm) Hieraus ergibt sich dann bei 1N Gewicht folgende Rechnung:

                                      1N           N
                                           = 3, 33
                                     0, 3m         m

Damit stellen wir fest, dass die Feder eine Federkonstante D von 3, 33 N besitzt.
                                                                       m
                                                 u
Die so ermittelte Federkonstante kann danach f¨r die theoretische Berechnung
von Versuchen eingesetzt werden.



3.2. Einstiegsversuch (Das Federpendel)
In meinem Einstiegsversuch verwende ich ein einfaches Federpendel. Hierzu wer-
den folgende Materialien ben¨tigt: Stativ, Feder (3 N ), Gewichtteller (10 g), Ge-
                            o                       m
                  1
wichte (60 g), CBR und der TI 83+.




                            Abbildung 3.2.: Versuchsaufbau

Der Versuch wird wie in Abbildung 3.2 gezeigt aufgebaut. Danach wird das Feder-
pendel in Schwingungen versetzt und die Aufzeichnung der Entfernung vom CBR

 1
     CBR = Calculator based Ranger




                                           5
                                                                o
zum Gewicht gestartet. Um die Messbarkeit mit dem CBR zu erh¨hen, habe ich
eine CD am Gewicht befestigt. Eine CD reflektiert einerseits die Schallimpulse,
mit denen der CBR die Entfernung zu Objekten feststellt, sehr gut und bringt
                          a
andererseits nur wenig zus¨tzliches Gewicht an das Pendel. Der Luftwiederstand,
                                                                      a
der durch die CD verursacht wird, wird in diesem Experiment vernachl¨ssigt, da
bei einem Federpendel eine harmonische Schwingung nachgewiesen werden
soll.
                                  u
Die Messreihe, welche der CBR in f¨nf Sekunden aufgenommen hat, findet man
als Textdatei auf der beigelegten CD (siehe A.2).


3.2.1. Analyse der Daten

Bei einer ersten Betrachtung der Messergebnisse durch den Taschenrechner oder
ein Programm2 zur Darstellung von Funktionen und Punktwolken ¨hnelt diese
                                                                 a
sehr stark einer Sinuskurve. Die vereinzelten Punkte, welche nicht auf einer ge-
                                                                   u
dachten Sinuskurve liegen, sind durch Messfehler bzw. Umweltein߬sse auf den
             a
CBR zu erkl¨ren.


3.2.2. Funktionstyp und Funktion

Da hier in diesem Versuch von einer Sinusfunktion ausgegangen werden kann, wie
ich auch schon in der Analyse der Daten schrieb, kann man nach der Regel Eine
                                                                          ”
Schwingung, deren Zeit-Elongations-Gesetz eine Sinusfunktion ist, heißt harmo-
nische Schwingung. Federpendel schwingen harmonisch.“ (Quelle: Merkblatt
Physik, digitalisierte Version auf CD siehe A.2) feststellen, dass hier eine har-
                                    u
monische Schwingung vorliegt. F¨r diese gilt dann die Formel s = sm ∗sin(ωt).


Da eine harmonische Schwingung einer von der Seite betrachteten Kreisbewegung
     a
sehr ¨hnelt, kann man hier die Beziehung w = 2π/T verwenden. Zusammen mit
1/T = f folgt ω = 2πf . Setzt man dieses nun in die Formel s = sm ∗ sin(ωt) ein,
      a
so erh¨lt man das Zeit-Elongationsgesetz s = sm ∗ sin(2πf t).
Wie man allerdings an dieser Grafik sieht, ist leider die Theorie nicht immer gleich
                                                          a
der Praxis. Einerseits liegt in der Praxis eine leicht ged¨mpfte Schwingung vor,
      u
was f¨r die Theorie ignoriert wurde. Andererseits findet man in der Messkurve
(rot) einige Messfehler, die durch ungenaue Messungen des CBR verursacht wur-
 2
     Das von mir verwendete Programm heißt Gnuplot“ und ist unter http://www.gnuplot.info/
                                          ”
      herunterladbar.




                                             6
               Abbildung 3.3.: Messung und Theoretische Kurve

den. Auch stimmt die Periodendauer in der Praxis nicht mit der Periodendauer
                                                                      u
in der Theorie uberein. Diese Grafik ist also ein deutliches Beispiel f¨r Messfehler
               ¨
und Ungenauigkeiten im Material.


3.2.3. Herleiten der DGL

 u                                             o
F¨r die Herleitung der Differentialgleichung ben¨tigen wir als erstes das Hooksche
                                                                       a
Gesetz, welches besagt, dass eine Feder, die aus der Ruhelage ausgel¨ngt wird,
      u                a            u
eine R¨ckstellkraft erf¨hrt. Diese R¨ckstellkraft wird mit F = −D∗s beschrieben.
Hierbei ist D die Federkonstante und s die Auslengung aus der Ruhelage. Da die
                                                                          a
einzige hier auftretende Reibung die Luftreibung ist, kann diese vernachl¨ssigt
werden, da sie nur sehr gering ist.
Dadurch, dass keine Reibung auftritt, ist davon auszugehen, dass die Schwingung
          a
nicht ged¨mpft ist. Sie wird in diesem Falle als harmonische Schwingung be-
zeichnet.
                                                     u
Wenn man nun die Newtonsche Grundgleichung F = ma ber¨cksichtigt, so gilt
                                                           o
ma = −Ds. Diese Gleichung kann man nun nach a aufl¨sen und erh¨lt a =    a
                                           a
−D/m ∗ s. Da sich allerdings s in der Zeit ¨ndert, muss man die Variable s durch
                                          u
die Funktion s(t) ersetzen. Unter der Ber¨cksichtigung, dass die Beschleunigung
                         a
a auch von der Zeit abh¨ngt, ersetzt man nun a durch a(t) .
                                                              D
                           a
Durch diese Ersetzungen erh¨lt man nun die Gleichung a(t) = − m ∗ s(t) . Da



                                        7
bekannt ist, dass die Beschleunigung die zweite Ableitung des Weges nach der
                    ˙      ¨                                         a
Zeit ist, gilt at = v(t) = st . Ersetzt man dieses in der Formel, erh¨lt man die
                        u
Differentialgleichung f¨r harmonische Schwingungen:

                                           D
                                ¨
                                s(t) = −     ∗ s(t)
                                           m


3.3. Versuch 2 (Schwingender Wagen)
                                                             a
Im Versuch zum schwingenden Wagen sieht man sehr gut eine ged¨mpfte Schwin-
                a         a                                         a
gung. Die haupts¨chliche D¨mpfung besteht hier in der Reibung der R¨der an
           u
der Bahn. F¨r den Versuch werden eine Fahrbahn, ein Wagen mit Gewichten und
      o                                o
zwei m¨glichst gleich starke Federn ben¨tigt.




              Abbildung 3.4.: Aufbau zum schwingenden Wagen


Den Aufbau sieht man in Abbildung 3.4. In der Abbildung ist ausserdem noch
                               a
der y(t) -Schreiber und das Ger¨t zum Umwandeln der mechanischen Messung in
elektrische Signale zu sehen. Im Aufbau werden die Gewichte auf den Wagen
montiert und dieser mit den Federn verbunden. Die Federn werden nun an den
Enden der Bahn befestigt.
Schiebt man den Wagen nun in die eine Richtung, so wird er von der gedehnten
          u
Feder zur¨ck gezogen. Da der Wagen dabei allerdings nicht wieder genau in die
                  u
Mittelstellung zur¨ckkehrt, wird die zweite Feder gedehnt. Die Reaktion erfolgt
nun in die andere Richtung und der Wagen wird wieder in die Richtung der
     u                                 u
urspr¨nglichen Auslengung gezogen. W¨rde man diesen Versuch ohne jegliche
              u        a
Reibung durchf¨hren bek¨me man wieder eine harmonische Schwingung.




                                       8
3.3.1. Analyse der Daten




              Abbildung 3.5.: Messung zum schwingenden Wagen

An der Aufzeichnung (Abbildung 3.6) sieht man sehr deutlich eine ged¨mpftea
Schwingung. Die Amplitude nimmt dabei linear ab. Diese lineare Abnahme endet
                                                                  a         o
nach der vierten Periode, da dort die Ungenauigkeiten der Messger¨te am gr¨ßten
sind. An dieser Stelle wird eigentlich keine richtige Schwingung mehr festgestellt
sondern nur noch minimale Bewegung der Federn und des Wagens.


                          u     a
3.3.2. Herleiten der DGL f¨r ged¨mpfte Schwingungen[5]

                                                                   u
Wenn wir wieder wie in Versuch 1 von einer Auslengung s ausgehen, m¨ssen wir
                       u
auch hier wieder eine R¨ckstellkraft FR = −Ds betrachten. Ausserdem kommt
              a
nun noch die d¨mpfende Reibungskraft FD = −β∗v hinzu. Da zur Aufstellung der
                                  u
Schwingungsgleichung ausser der r¨cktreibenden Kraft noch die Reibungskraft
   u                           a                             ¨          ˙
ber¨cksichtigt werden muss, erh¨lt man mit F = FR + FD , a = s und v = s die
                                                                β     D
Gleichung m∗¨ = −D∗s−β∗s. Diese Gleichung l¨sst sich dann in s+ m ∗s+ m ∗s =
              s             ˙                a               ¨     ˙
0 umformen.
                                                2   D
Ersetzt man in der so erhaltenen Gleichung nun ω0 = m (Die Eigenfrequenz der
                                      β
      a
unged¨mpften Schwingung) und 2δ = m (δ =Abklingkoeffizient) erh¨lt man die
                                                                 a
DGL in der allgemeinen Form:

                                           2
                             s + 2δ ∗ s + ω0 ∗ s = 0
                             ¨        ˙

         a              o
Hiervon l¨sst sich die L¨sung nun in der Form

                                  ˆ
                           s(t) = s(t) ∗ sin(ωd ∗ t + ϕ0 )




                                         9
                      ˆ               a
darstellen. Dabei ist s(t) die zeitabh¨ngige Amplitude.



3.4. Versuch 3 (Schwingendes Pendel)
Ein schwingendes Pendel, wie wir es zum Beispiel in einer alten Pendeluhr oder
                o
Standuhr sehen k¨nnen, erzeugt eine nahezu harmonische Schwingung, da hier
                                                                a
der Luftwiderstand durch das hohe Gewicht auf einer kleinen Fl¨che am Ende
                            a
minimiert ist, weil das Gest¨nge kaum Widerstand hat und die kleine Fl¨chea
des Gewichts keinen nennenswerten Luftwiderstand verursacht. Das im Versuch
verwendete Pendel wird nahezu reibungsfrei gelagert und somit in seiner Pendel-
bewegung fast nicht behindert. Das verwendete Pendel besitzt einen Anschluss
 u
f¨r einen y(t) -Schreiber und kann somit gut vermessen werden.


3.4.1. Analyse der Daten




                     Abbildung 3.6.: Messung zum Pendel

Wie man in den beiden Grafiken gut sehen kann, schwingt das Pendel wirklich
                                                               u
nahezu harmonisch. In der ersten Grafik wurde die Aufzeichnung f¨nf Minuten
                                                                     u
laufen lassen. Man sieht daran sehr gut, dass die Schwingung in den f¨nf Minuten
                            u                                  u
kaum abgenommen hat. W¨rde man die Aufzeichnung weiterf¨hren, w¨rde das  u
                                                            u
Perndel zwar irgendwann zum Stillstand kommen. Dieses w¨rde allerdings auch
den Aufzeichnungsrahmen des y(t) -Schreibers uberlasten.
                                               ¨
Auf der zweiten Grafik sieht man sehr gut, dass die Schwingungen gleich sind
und die selbe Amplitude haben. Hier erkennt man deutlich, dass die Schwingung
periodisch wiederkehrend ist.




                                       10
3.5. Anwendung

3.5.1. Im Alltag

Im Lautsprecher[1]:
                                                          u
Die wohl am weitesten verbreitete Anwendung im Alltag d¨rfte der Lautspre-
cher sein. In diesem wird eine Membran in Schwingungen versetzt. Durch diese
                                   u
Schwingungen werden die Luftmolek¨le ebenfalls zu Schwingungen angeregt, wel-
che das menschliche Ohr dann wahrnehmen kann.




          Abbildung 3.7.: Aufbau eines Lautsprechers: Die Schwingspule

Wie in dieser Aufbauzkizze zu sehen, ist besteht ein Lautsprecher aus einer mit der
Membran verbundenen Schwingspule (im Bild gelb), welche durch den Magneten
(im Bild rot) in Schwingungen versetzt wird. Dadurch schwingt die Membran mit
                  o
und ein Ton wird h¨rbar.


3.5.2. In der Technik

Erzeugung von Ultraschall[2]:
In der Technik werden mechanische Schwingungen zum Beispiel bei der Erzeu-
gung von Ultraschall eingesetzt. Hierbei wird an einen Schwingkristall eine Wech-
selspannung angelegt. Dadurch erzeugt der Kristall mechanische Schwingungen,
                                   a                      o
welche dann zum Reinigen von Gef¨ßen benutzt werden k¨nnen, da die Verunrei-
                                                                         a
nigungen durch die hohen Schwingfrequenzen (20 kHz - 1 GHz) vom Gef¨ß gel¨st  o
werden.
                                              u
Da sich Schwingungen durch Materialien an Ber¨hrungsstellen fortsetzen ist auch
                               a       o                          a
die Anwendung in Reinigungsger¨ten m¨glich. Dabei wird das Gef¨ß im Reini-
         a
gungsger¨t in Schwingungen versetzt. Diese Schwingungen ubertragen sich dann
                                                         ¨
z.B. in den zu reinigenden Schmuck.
                       a
In Ultraschallprufger¨ten wird eine Schallfrequenz von 500 kHz bis 25 mHz
                  ¨
                                    u
erzeugt, welche sich durch das zu pr¨fende Material bewegt und von Verunrei-



                                        11
nigungen oder Materialfehlern anders reflektiert wird, als im ubrigen Material.
                                                             ¨
                        u     a
Dabei nimmt dann das Pr¨fger¨t die Reflektionen wieder auf und zeigt diese auf
einem Oszillator an.




                                     12
4. Elektrische Schwingungen
   (Julian)

4.1. Versuch 1 (Schwingkreis)

4.1.1. Beschreibung des Versuchsaufbaus

Im folgenden Einstiegsversuch untersuchen wir die Eigenschaften eines einfachen
                                                           u      o
Schwingkreises aus einer Spule und einem Kondensator. Daf¨r ben¨tigen wir ei-
ne Spannungsversorgung U = 5V , einen Kondensator C = 40µF , eine Spule
                    a
mit einer Induktivit¨t L = 500H, einem Widerstand R = 300Ω und einen y(t) -
Schreiber. Hierzu verwenden wir einen Parallelschwingkreis, bei dem wir dann
die anliegende Spannung uber dem Kondensator mit dem y(t) -Schreiber messen
                        ¨
werden.




                             Abbildung 4.1.: Aufbau


Bei diesem Aufbau werden die Schwingkreiskomponenten Spule und Kondensator
                                                                            a
parallel geschaltet. Ebenso verfahren wir mit dem y(t) -Schreiber welcher sp¨ter die
Spannung im Stromkreis messen soll. Der y(t) -Schreiber wird auf einen Vorschub
von 50 mm und eine Empfindlichkeit von y = 1 cm eingestellt.
        s
                                               V




                                        13
                             Abbildung 4.2.: Foto des Aufbaus

             u
4.1.2. Durchf¨hrung des Versuchs

Um den Kondensator zu laden schließen wir zuerst den Stromkreis von Kon-
densator und Spannungsversorgung. Nach kurzer Zeit starten wir zeitgleich den
y(t) -Schreiber und schließen den Stromkreis von Spule und Kondensator. Nun
                                                                  a
beginnt der periodische Austausch von Energie zwischen der Kapazit¨t und der
          a
Induktivit¨t. Wenn die Aufzeichnung beendet ist kann mit der Auswertung der
Messdaten begonnen werden.


4.1.3. Analyse der Daten




                                                 a
                  Abbildung 4.3.: Analyse der ged¨mpften Schwingung

Der in Abbildung 4.3 von einem y(t) -Schreiber aufgenommener Graph (t=50mm/s;
y=1V/cm)1 beschreibt eine ged¨mpfte Schwingung, das bedeutet, dass jede Am-
                                a
                                                    ˆ ˆ ˆ
plitude kleiner ist als die Vorhergehenden (siehe y1 , y2 , y3 ). Eingezeichnet sind
                                       ˆ       a              a
die Periodendauer T und die Amplitude y . Die D¨mpfung ist abh¨ngig von dem
                                               o
in die Schaltung integrierten Widerstand. Je gr¨ßer der Widerstand ist, desto
  o                  a                             o
gr¨ßer ist auch die D¨mpfung. Aus dem Graphen k¨nnen wir ablesen, das die
            ˆ                         a                     a
Amplitude y1 = 5, 3cm und die Wellenl¨nge λ ≈ 0, 048m betr¨gt. Bei t = 5, 8s
 1
     Wichtig: Diese Werte entstammen einer Aufzeichnung eines y(t) -Schreibers, welcher DinA3-
                                        u
     Papierformat nutzt und sind nicht f¨r den vorliegenden Graphen zu verwenden




                                               14
sind n = 6 Schwingungen feststellbar, womit die Frequenz f = n ≈ 1, 03Hz
                                                               t
berechnet werden kann. Mit den Werten, welche dem Graphen entnommen wer-
     o
den k¨nnen und den Werten von den elektrischen Bauteilen des Schwingkreises
kann nun alles Weitere errechnet werden. Da die Schwingungen immer die glei-
che Periodendauer haben, kann dieser Graph auch als stetig bezeichnet werden.
        u
Geringf¨gige Abweichungen sind durch Messfehler oder Zeichenungenauigkeit zu
    a
erkl¨ren.


4.1.4. Funktionstyp und Funktion[9]

Bei den Messdaten wurde bereits festgestellt, dass der Graph eine stetige Schwin-
gung aufweist. Um diese am besten in einer Funktion beschreiben zu k¨nnen, o
                                                          x
                    u
sollte von einer nat¨rlichen Exponentialfunktion x → e ausgegangen werden.
                      a
Hier muss auch die D¨mpfung σ, welche negativ ist, und die Zeit t angegeben
werden, daraus folgt:
                                  y(t) = e(−σ∗t)

                                                    o
Um die Schwingungen in der Gleichung darstellen zu k¨nnen, muss auch eine
Sinus- oder Cosinus-Funktion verwendet werden. Hier fließen auch die Faktoren
Kreisfrequenz ω, Zeit t und Phasenwinkel ϕ mit ein. Daraus folgt:

                              y(t) = sin(ω ∗ t + ϕ)

                                           ˆ
Entscheidend ist aber auch die Amplitude y , welche die Auslenkung bestimmt.
                        u          a
Somit ist die Funktion f¨r eine ged¨mpfte Schwingung:

                        y(t) = y ∗ e(−σ∗t) ∗ sin(ω ∗ t + ϕ)
                               ˆ


                                u
4.1.5. Berechnung der Funktion f¨r den empirischen Graphen

                                u
Um die entsprechende Funktion f¨r den in 4.1.3 analysierten Graphen zu ermit-
       u                 a
teln, m¨ssen zuerst die D¨mpfung σ, die Kreisfrequenz ω und der Phasenwinkel ϕ
berechnet werden. Gegeben sind uns die bisher bekannten Werte t = 5, 8s, Anzahl
                                    a
der Schwingungen n = 6, Induktivit¨t L = 500H und Widerstand R = 300Ω.
                 a
Berechnung der D¨mpfung σ:
                          R
Dazu wird die Formel σ = 2L ben¨tigt.
                                o
     300Ω
σ = 2∗500H
σ = 0, 3s−1




                                        15
Berechnung der Kreisfrequenz ω:
                                      o
Dazu wird die Formel ω = 2 ∗ π ∗ f ben¨tigt.
ω = 2 ∗ π ∗ 1, 03Hz
ω ≈ 6, 47s−1
Berechnung des Phasenwinkels ϕ:
                                  o
Dazu wird die Formel ϕ = ω ∗ t ben¨tigt.
          −1
ϕ = 6, 47s ∗ 5, 8s
ϕ ≈ 37, 526
                                                           a
Da jetzt alle Werte bekannt sind kann nun die Funktion erg¨nzt werden, allerdings
      u
muss f¨r die Zeit t bei der Darstellung ein x eingesetzt werden.

                   y(t) = 5, 3 ∗ e(−0,3∗x) ∗ sin(6, 47 ∗ x + 37, 256)




                                             a
                Abbildung 4.4.: Graph der ged¨mpften Schwingung



4.1.6. Herleiten der Formeln und DGL[10]

Der Schwingkreis besitzt keine Spannungsquelle, somit gilt hier UI +UR +UL = 0.
          ˙
UI = L ∗ I(t)
UR = R ∗ I(t)
       Q(t)
UL = C
daraus folgt:
     ˙                  Q(t)
L ∗ I(t) + R ∗ I(t) +    C
                               =0
   ˙                                                                 a
Da Q(t) = I(t) ist, kann die Gleichung differenziert werden, somit erh¨lt man die



                                          16
DGL:
                            ¨           ˙     I( t)
                        L ∗ I(t) + R ∗ I(t) +       =0
                                               C
                                              ¨         ˙      1
Wenn nun durch L dividiert wird, erh¨lt man I(t) + R ∗ I(t) + LC ∗ I(t) = 0. Diese
                                    a                L
DGL beinhaltet die konstanten Koeffizienten der Form f(x) + qf(t) + rf(x) = 0
       R              1
(q =   L
           und r =   LC
                        ),   und ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung.



                    a
4.2. Versuch 2 (Entd¨mpfter Schwingkreis)

4.2.1. Beschreibung des Aufbaus

                                                                     o
Bei dem folgenden Versuch wird der Schwingkreis so erweitert, dass M¨glichst
        a
keine D¨mpfung vorhanden ist. Dazu muss die Schaltung mit einem Transistor
                               u                          o                u
erweitert werden, damit eine R¨ckkopplung stattfindet. Ben¨tigt werden hierf¨r
                                                  a
ein Transistor 2N3055, eine Spule hoher Induktivit¨t L=500H n=2x5100 / n=24,
einen Kondensator C = µ50F , eine Stromversorgung U=1,2V-, einen Widerstand
R=100kΩ und einen y(t) -Schreiber.




                                   Abbildung 4.5.: Aufbau

Die Schaltung wird dann der Skizze entsprechend aufgebaut. Wichtig ist, dass
die Spule n=24 einen Stromkreis mit dem y(t) -Schreiber bildet und dieser von der
Spule n=2x5100 induziert wird.




                                              17
             u
4.2.2. Durchf¨hrung

Wenn wir die Stromversorgung einschalten, dann wird der Kondensator uber ¨
den Transistor geladen. Dann wird die Stromversorgung automatisch abgetrennt.
Zwischen Spule und Kondensator beginnt der Strom zu schwingen. Dabei wird
aber immer wieder der Transistor angeregt, welcher dann wieder die Stromver-
                      u
sorgung freigibt und f¨r die erneute Ladung des Kondensators sorgt. Somit wird
der Verlust von Energie im Schwingkreis immer wieder ausgeglichen.
Durch die induktive Kopplung des y(t) -Schreibers wird immer die Spannung auf-
gezeichnet, welche gerade an der Spule anliegt.


4.2.3. Analyse der Daten




                                  Abbildung 4.6.: Aufbau

Bei diesem Graphen (t=50mm/s; y=0,5mV/cm)2 ist leicht zu erkennen, dass es
sich um eine Sinusfunktion handelt, da diese konstante Schwingungen aufweist.
                                                       o
Allerdings ist im orange markierten Bereich eine Unf¨rmigkeit zu erkennen, was
verdeutlicht, dass der Schwingkreis an dieser Stelle erneut angeregt wird, um der
  a
D¨mpfung entgegen zu wirken.
                 a
Aus dem Graphen l¨sst sich ablesen, dass in t=5,7s im Schwingkreis n=4 Schwin-
gungen auftraten. Aus diesen Werten kann man die Frequenz f = n ≈ 0, 7Hz und
                                                              t
die Kreisfrequenz ω = 2π ∗ f ≈ 4, 41s−1 berechnen. Ebenfalls abzulesen ist die
       a                                   ˆ
Wellenl¨nge λ ≈ 0, 072m und die Amplitude y = 11, 6cm. Es handelt sich hierbei

 2
     Wichtig: Diese Werte entstammen einer Aufzeichnung eines y(t)-Schreibers, welcher DinA3-
                                        u
     Papierformat nutzt und sind nicht f¨r den vorliegenden Graphen zu verwenden




                                              18
um eine harmonische Schwingung, deren Zeit-Elongations-Gesetz eine Sinusfunk-
                 u
tion ist. Geringf¨gige Abweichungen sind durch Messfehler oder Zeichenungenau-
              a
igkeit zu erkl¨ren.


4.2.4. Funktionstyp und Funktion[9]

Da es sich her um eine harmonische Schwingung handelt, muss von einer Sinus-
                                                      u
funktion ausgegangen werden (siehe 4.2.3). In diese m¨ssen wie bereits in 4.1.4.
                                  ˆ
beschrieben wurde die Amplitude y , die Kreisfrequenz ω, die Zeit t und der Pha-
senwinkel ϕ einfließen, damit ein entsprechender Graph gezeichnet werden kann.

                                    ˆ
                             y(t) = y ∗ sin(ω ∗ t + ϕ)

                                                              u
Wenn die entsprechenden Werte eingesetzt wurden, ergibt dies f¨r den in 4.2.3.
beschriebenen Graphen folgende Funktion:

                        y(t) = 11, 6 ∗ sin(4, 4 ∗ x + 25, 07)




                                             a
            Abbildung 4.7.: Graph einer unged¨mpften Schwingung


Wichtig ist, dass auch hier anstelle des t ein x eingesetzt wird, da ansonsten eine
entsprechende y-Koordinate errechnet wird und keine Darstellung erfolgt.




                                         19
4.2.5. Herleitung der DGL[7][8]

Da es sich bei diesen Messergebnis um eine Sinusschwingung handelt und somit
     a
unged¨mpft ist, ist UC = UL . Die jeweilige Spannung wird mit den Formeln
                                        ˙
UC = Q und UL = −L ∗ (dI/dt) = −L ∗ I berechnet. Also kann daraus gefolgert
      C
                        ˙                             ˙            ˙   ¨
werden, das Q = −L ∗ I ist. Da aber auch I = dQ = Q und somit I = Q ist,
             C                                   dt
                                      ¨
kann die Gleichung auch als Q = −L ∗ Q geschrieben werden. Wenn nun noch Q¨
                             C
 freigestellt“ wird, erhalten wir die Differentialgleichung
”
                                        1      ¨
                                 −(        )∗Q=Q
                                      (LC)

Die 2.Ableitung von Q und Q sind somit in einer Gleichung, was bedeutet, das dies
                                                  u
eine Differentialgleichung 2.Ordnung ist, welche f¨r diese Art von Gleichungen
    o
ben¨tigt wird.


4.2.6. Beweis der DGL

       o                     o
Eine M¨glichkeit die DGL zu l¨sen ist die Folgende:
       ˆ
Q(t) = y ∗ sin(ωt + ϕ)
˙          ˆ
Q(t) = ω ∗ y ∗ cos(ωt + ϕ)
¨ = −ω 2 ∗ y ∗ sin(ωt + ϕ)
Q(t)          ˆ
                                       1         ¨
Wenn dieser Ansatz nun in die DGL −( (LC) )∗Q = Q eingesetzt wird, dann erh¨lt
                                                                           a
                     2                        1
man die Gleichung −ω ∗ y ∗ sin(ωt + ϕ) = −( (LC) ) ∗ y ∗ sin(ωt + ϕ).
                         ˆ                           ˆ
                  o               o
Somit gilt diese M¨glichkeit der L¨sung der DGL immer zu dem Zeitpunkt, wo die
                    2    1                                           1
                                                             ˆ
Thomson-Formel ω = (LC) zutrifft. Das bedeutet, dass Q(t) = y ∗ sin( √LC t + ϕ)
      o
eine L¨sung der DGL ist.



4.3. Anwendung
Schwingkreise[6] werden in der Physik genutzt, um bestimmte Frequenzen her-
                                                    o
auszufiltern um sie dann entweder alleine nutzen zu k¨nnen, oder um sie alleine
          u                                         o              o
zu unterdr¨cken und die restlichen Frequenzen ungest¨rt nutzen zu k¨nnen.
           u
Beispiele f¨r das herausfiltern einer zu nutzenden Frequenz ist der Fernseher bzw.
das Radio, um den Kanal ein zu stellen.




                                         20
5. Schlusswort

5.1. Fazit mechanische Schwingungen
                 u
Nach der Durchf¨hrung und Auswertung der verschiedenen Versuche stellt man
                 u
fest, dass zwar f¨r Physik und Mathematik der Luftwiderstand und andere Rei-
                  a                                a
bungen vernachl¨ssigt werden, jedoch in der Realit¨t wird man wirklich un-
    a
ged¨mpfte Schwinungen kaum oder sogar gar nicht finden. Sogar im Versuch
mit dem schwingenden Pendel kommt die Schwingung mit der Zeit zum erliegen.
An diesem Punkt setzt dann die physikalische Forschung und Entwicklung an, um
     a
die D¨mpfung in mechanischen Schwingungen und Versuchen zu verhindern oder
zumindest so weit zu minimieren, dass diese nicht mehr messbar sind. Ein solcher
          a              u
Versuch w¨re allerdings f¨r eine Facharbeit mit zu hohen Kosten und einem zu
                                       u                         a      o
hohen Aufwand verbunden, da man daf¨r spezielle reibungslose Ger¨te ben¨tigt.
Ausserdem braucht man um diese Schwingungen aufzuzeichnen hochempfindliche
   a
Ger¨te, welche sehr teuer in der Herstellung sind.



5.2. Fazit elektrische Schwingkreise
Die beiden unterschiedlichen Versuche zeigen deutlich, anders als bei den mecha-
nischen Schwingungen, dass es bei den elektrischen Schwingkreisen keine großen
                                             a
Schwierigkeiten bei der Erzeugung von unged¨mpften Schwingungen gibt. Aller-
                        u                a
dings werden auch hierf¨r bestimmte Ger¨tschaften, wie zum Beispiel Transisto-
       o                                o
ren ben¨tigt, da es manuell nur schwer m¨glich ist, der abklingenden Schwingung
              o
wieder den n¨tigen Impuls zu einem geeigneten Zeitpunkt zu geben, damit die
Schwingung nicht zum erliegen kommt. Es wird aber auch deutlich, dass Schwing-
kreise in der heutigen Zeit eine wichtige Rolle spielen, da das Zeitalter der Infor-
mation und Kommunikation auf sie angewiesen ist. Viele Neuerungen, wie zum
                                         a
Beispiel das Radio oder der Fernseher w¨ren ohne die Schwingkreise nicht zu rea-
                         u
lisieren und wenn dann w¨rde es nur einen Kanal geben, da eine Selektion der
                   o       a
Frequenzen nicht m¨glich w¨re.



                                        21
Literaturverzeichnis


 [1] http://www.akustiklabor.ch/news/aufbau tieftoener/map/schwingspule.htm

 [2] http://de.wikipedia.org/wiki/Ultraschall
                                               u    a
     http://de.wikipedia.org/wiki/Ultraschallpr¨fger¨t

 [3] http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung

 [4] http://www.dbg.rt.bw.schule.de/lehrer/ritters/physik/meschw/p ms.htm
     incl. Unterseiten

 [5] http://mitglied.lycos.de/ctweb11/hpbimg/physik script 9.pdf

 [6] http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis

 [7] http://www.roro-seiten.de/physik/lk12/emschwingungen/-
      differentialgleichung.html

 [8] Dorn, Bader - Physik Gymnasium Sek II 12/13 - Auflage 2001 - Hannover
     2001

                                    u
 [9] Paetec - Formeln und Tabellen f¨r die Sekundarstufen I und II - 11. Aufl.
    - Cottbus 2004

[10] Weber, Zillmer - Themenheft Differenzengleichungen Differentialgleichun-
     gen Sek II - 1. Aufl. - Berlin 1997




                                      I
A. Anhang

                 a
A.1. Fachworterkl¨rung

A.2. Inhalt der CD
Auf der CD findet man im Verzeichnis bilder Bilder von unseren Versuchen.
                                a
Das Verzeichnis material enth¨lt zum Beispiel Messreihen. Im Hauptverzeichnis
                                                                        a
liegen die Dateien facharbeit.tex und facharbeit.pdf. Die TEX-Datei enth¨lt den
                                                            a
Text unserer Facharbeit im Rohformat. Die PDF-Datei enth¨lt die Facharbeit im
 u
f¨r Menschen lesbaren Format.
Im Materialverzeichnis befindet sich ausserdem eine Datei namens pharb.jpg. Die-
       a                                                                  a
se Enth¨lt das Merkblatt aus dem Physikunterricht, welches in 3.2.2 erw¨hnt
wurde.



                              a
A.3. Versicherung der selbstst¨ndigen Anfertigung
            a                                     a
Hiermit erkl¨ren wir, dass wir die Arbeit selbstst¨ndig angefertigt, keine anderen
als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit, die im
Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen wurden,
mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht haben.
                a
Weyhe, den 23. M¨rz 2006
Julian Ipse
Knut Ahlers



A.4. Lizenz
Dieser Inhalt ist unter einem Creative Commons Namensnennung NichtKom-
merziell Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Germany Lizenzvertrag li-



                                        II
zenziert. Um die Lizenz anzusehen, gehen Sie bitte zu
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/de/
oder schicken Sie einen Brief an Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way,
Stanford, California 94305, USA.




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