luiz alvarenga 2008_geometria e imagem by luizcarvalho

VIEWS: 5,501 PAGES: 507

									LUIZ GONZAGA DE ALVARENGA
                      Título da obra:

                  Geometria & Imagem


Copyright © 2008 – 2009, Luiz Gonzaga de Alvarenga.

              Todos os direitos reservados.
       Proibida a reprodução sob qualquer forma.

    A reprodução não-autorizada desta obra, no todo
ou em parte, constitui infração da lei de direitos autorais.
                      (Lei 9610/98)

                     Capa: do autor.




                                                               2
LUIZ GONZAGA DE ALVARENGA




  G eom etria


        &


    Im agem




                            3
4
                                   PLANO DA OBRA

                                  Parte I – Geometria, 6

Capítulo I     –   Noções de Geometria Geral, 7
Capítulo II    –   Introdução ao Desenho Geométrico, 63Geometria & Imagem
Capítulo III   –   Geometrias Não-Euclidianas, 171
Capítulo IV    –   Elementos de Topologia, 179
Capítulo V     –   Outras Geometrias e Topologias, 187
Capítulo VI    –   Planificação da Esfera. Projeções Geográficas, 229

                                 Parte II – Imagem, 281

Capítulo VII –     Desenho Decorativo e Ornamental, 283
Capítulo VIII –    Teoria Geral das Cores, 289
Capítulo IX –      Natureza, Simetria e Arte, 309
Capítulo X    –    Geometria Fractal, 327
Capítulo XI –      A Percepção da Realidade, 335
Capítulo XII –     Transformações. Ocupação do Plano e do Espaço, 373
Capítulo XIII –    Elementos de Cristalografia, 417
Capítulo XIV –     Computação Gráfica. Hardware e Software, 425
Capítulo XV –      Transformações Geométricas e Modelagem de Sólidos, 449

                                APÊNDICES, 465

APÊNDICE I   – Lista de Letras Gregas, Com Pronúncia, 466
APÊNDICE II  – Demonstração sobre a Pavimentação do Plano, 467
APÊNDICE III – Alguns Exemplos de Mapas-Múndi, 468
APÊNDICE IV – Os Problemas Geométricos de Delos, 472
                     Trissecção do Ângulo, 477
                     Duplicação do Cubo, 481
                     Quadratura do Círculo, 485
APÊNDICE V – Relações Matemáticas nas Proporções Geométricas, 488
APÊNDICE VI – Considerações Sobre o Problema do Caixeiro-Viajante, 490

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 506




                                                                            5
    P arte I



G E O M E TR IA




                  6
                                            Capítulo I

                                    Noções de Geometria Geral

        1.0 – Construção de uma Geometria1

       A construção de uma geometria é realizada pela admissão e uso dos seguintes
conceitos:

       Termos primitivos: são conceitos não definidos, aceitos como evidentes por si
mesmo.
       Definições: são os conceitos definidos através do uso de termos primitivos e pelo
uso de outros conceitos.
       Axiomas: também chamados postulados, são as noções comuns acerca da
   matéria tratada.2
       Teoremas: são postulados que normalmente podem ser demonstrados.3

        1.1 – Pontos, Linhas, Retas e Planos

       A geometria euclidiana aceita como termos primitivos o ponto, a reta (ou linha)
e o plano.
       Os pontos são representados pelas letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , P, ...
       As retas são representadas pelas letras latinas minúsculas a, b, c, d, ... , r, ...
       Os planos são representados pelas letras gregas minúsculas α, β, δ, ζ, ...4

       Na geometria são estudadas as figuras geométricas: ângulo, triângulo,
quadriláteros, circunferência, polígonos, etc.




1
   A geometria surgiu na Grécia antiga, sistematizada por Euclides (e por isto chamada Geometria
Euclidana) em uma obra famosa, cuja influência perdurou até o século XIX. A criação das chamadas
geometrias não-euclidianas foi uma necessidade histórica, devido às inconsistências lógicas que foram
sendo notadas na geometria euclidiana. Modernamente, diz-se que esta contém os fundamentos de duas
geometrias, a Geometria Absoluta a e Geometria Afim. A relação entre elas é dada por uma relação
primitiva denominada intermediação (intermediacy).
2
  Está estabelecido na história da geometria que, para Euclides, os axiomas tratariam da comparação das
grandezas e por isso seriam noções úteis para várias matérias, além da geometria; quanto aos postulados,
tratariam especificamente de questões geométricas. Entretanto, LAKATOS, citando o historiador da
matemática Árpád Szabó, diz que o conceito de axioma no tempo de Euclides tinha um significado
contrário, ou seja, era admitido em um diálogo como uma proposição que se expunha para ser testada
quanto às suas conseqüências, sem que, no entanto, fosse admitida como verdadeira pelo interlocutor.
Conforme diz Lakatos, “é uma ironia que seu significado se tenha virado do avesso”. (LAKATOS, 1978,
p. 71, nota 68).
3
  O conceito de teorema é ambíguo, porque há matemáticos: a) que chamam de teorema uma conjectura
não demonstrada; b) que chamam de teorema somente as conjecturas que o foram. Por exemplo, o
chamado último teorema de Fermat seria tão somente uma conjectura não provada (ou demonstrada), e
que só se teria tornado realmente um teorema após a sua demonstração. Isto foi feito em 1995 pelo
matemático inglês Andrew Wiles. Assim, deixou de ser a conjectura de Fermat para se transformar no
teorema de Wiles-Fermat.
4
  Denominadas, respectivamente: alfa, beta, gama, delta. Veja-se no Apêndice I uma lista de letras
gregas, maiúsculas e minúsculas, com os respectivos nomes.


                                                                                                      7
        Entende-se que tanto uma reta quanto uma figura geométrica sejam constituídos
de infinitos pontos.

      Uma reta (ou uma linha) pode ser contínua, quebrada, descontínua ou
segmentada, curvada, vertical, horizontal, oblíqua ou inclinada, perpendicular:




       •   Reta: é uma linha contínua prolongada infinitamente nos seus dois sentidos.
       •   Semi-reta: é uma reta com uma origem, que se prolonga infinitamente no
           sentido oposto.
       •   Segmento de reta: é uma parte definida de uma reta, ou seja, possui origem e
           extremidade. Os segmentos de mesma medida são chamados segmentos
           congruentes. 5




       •   Ponto médio de um segmento: é o ponto que o divide em duas partes iguais.
       •   Mediatriz de um segmento: é a perpendicular levantada sobre o seu ponto
           médio.

       Os segmentos de reta podem ser:

       •   Colineares: são os segmentos de reta que pertencem à mesma linha ou reta
           suporte r:



       •   Consecutivos: quando um segmento segue-se ao outro em uma mesma reta

5
  As figuras que possuem simultaneamente as propriedades reflexiva (ou identidade), simétrica e
transitiva possuem também a propriedade da equivalência, que pode ser uma destas: igualdade;
congruência; semelhança.


                                                                                             8
    suporte r.



As retas em um plano podem ser:

•   Reversas: duas retas r e s são reversas se não existir um plano que as
    contenha:




•   Coplanares: duas retas são coplanares quando existe um plano que as
    contenha. As retas coplanares podem ser incidentes ou paralelas:

       o Retas coplanares incidentes ou concorrentes: quando se interceptam
         em um ponto P do plano:




       o Retas coplanares paralelas: quando jamais se interceptam em um
         mesmo plano:




1.2 – Figuras Geométricas

As figuras geométricas podem ser:



                                                                         9
        •   Planas: são aquelas nas quais todos os seus pontos pertencem ao mesmo
            plano.
        •   Espaciais: são aquelas cujos pontos não pertencem todos ao mesmo plano.
            São as figuras volumétricas (que possuem volume).

        1.2.1 – Figuras Geométricas Planas. Ângulos,6 Curvas e Triângulos

       Ângulos: são formados por duas semi-retas (lados) de mesma origem (vértice).
A distância entre os lados é chamada de abertura. A abertura é medida em graus.
       Os ângulos podem ser: nulo (0o);7 raso (180º); pleno (360º);8 agudo; reto; obtuso.




        Dois ângulos podem ter entre si as seguintes condições:

        •   Ângulos complementares: quando a soma dos dois é igual a 90º.
        •   Ângulos suplementares: quando a soma dos dois é igual a 180º.9
        •   Ângulos opostos pelo vértice: quando os lados são pares de semi-retas
            opostas e são congruentes.




       Alguns pontos de um ângulo podem ser exteriores, interiores ou pertencer ao
ângulo. Na figura, os pontos A e E são exteriores, os pontos C e D são interiores, e o
ponto B pertence ao ângulo.




6
  Ou ângulos planos.
7
  Quando os dois lados coincidem entre si, sem abertura.
8
  Quando os dois lados coincidem entre, com abertura total.
9
  Os ângulos complementares e suplementares também são chamados de ângulos adjacentes. Em cada
um, o ângulo ABC é chamado de ângulo consecutivo do ângulo ACD (se a construção for vista no sentido
horário).


                                                                                                 10
        Os pontos C e D são interiores, porque os lados do triângulo são prolongáveis ao
infinito.




       1.2.1.1 – Curvas Simples

       Há dois tipos de curvas simples:

       •   Curvas fechadas: são aquelas em que a origem coincide com a extremidade
           da linha traçada. Em uma curva fechada simples também podem ser
           distinguidos os pontos interiores, os pontos exteriores, e os pontos que
           pertencem à curva.




       •   Curvas abertas: são aquelas em que as extremidades (ou origem e
           extremidade) não se tocam. Basicamente, as curvas abertas simples podem
           ser côncavas ou convexas (e determinam as figuras côncavas e as convexas):




       1.2.1.2 – Triângulos

       O triângulo é um polígono de três lados. Seus elementos principais são: a base
(AB), os vértices A, B e C (o vértice é o ponto de encontro dos outros dois lados) e a
altura h:




       O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se
a região interna de um triângulo de região convexa e a região externa de região


                                                                                     11
côncava.

           Os triângulos têm as seguintes propriedades:

           •   A soma de seus ângulos internos é igual a 180º.
           •   Qualquer ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos
               não adjacentes:10

           Os triângulos classificam-se conforme:

           •   A dimensão dos lados.
           •   A natureza dos ângulos.

           Quanto à dimensão dos lados, os triângulos podem ser:

           •   eqüilátero (três lados iguais);
           •   isósceles (dois lados iguais);
           •   escaleno (lados desiguais entre si).

           No triângulo isósceles os ângulos adjacentes à base são congruentes.




        Quanto à natureza dos ângulos, os triângulos podem ser: acutângulo (que tem os
três ângulos agudos); retângulo (é o que tem um ângulo reto); obtusângulo (é o que tem
um ângulo obtuso).
        No triângulo retângulo o lado que se opõe ao ângulo reto é denominado
hipotenusa e os outros dois chamam-se catetos.




      Um triângulo é igual a si mesmo quando há identidade entre os mesmos lados e
os mesmos ângulos.11

           Entre si, dois triângulos podem ser:



10
     Cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente.
11
     É a propriedade chamada reflexiva.


                                                                                   12
        •    Congruentes: quando há correspondência entre lados e ângulos respectivos.12
        •    Semelhantes: quando há uma correspondência entre seus vértices, tal que os
             lados correspondentes são proporcionais e os ângulos correspondentes são
             congruentes.13




        Ponto e retas notáveis do triângulo:14

        •    Ceviana: é o segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao lado
             oposto correspondente ou ao do seu prolongamento (podendo ser, por esta
             razão, em número infinito). As três mais importantes são: a mediana, a
             altura e a bissetriz.15
        •    Mediana: é o segmento que liga o ponto médio de um lado ao vértice oposto.
             O triângulo tem três medianas.
        •    Altura: é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto
             ou ao prolongamento deste lado. Um triângulo tem três alturas.
        •    Bissetriz: é o segmento de reta que divide cada ângulo do triângulo em duas
             partes iguais. O triângulo tem três bissetrizes.
        •    Mediatriz: perpendicular que passa pelo ponto médio de cada lado do
             triângulo.
        •    Baricentro: é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo.
        •    Ortocentro: é o ponto onde se cruzam duas alturas.
        •    Circuncentro: é o ponto onde as mediatrizes se cruzam. É eqüidistante dos
             vértices, e por isso, é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo:




        •    Conjugados isogonais (ou: pontos inversos): são dois pontos, dos quais o
             primeiro é o encontro de três cevianas que partem de vértices diferentes, e o
             segundo é o ponto de encontro da cevianas isogonais em relação às cevianas
             anteriores. Ex: o circuncentro e o ortocentro.

12
   Os lados e os ângulos correspondentes são congruentes entre si. Uma figura qualquer é congruente a
outra quando os seus tamanhos não variam.
13
   Uma figura qualquer é semelhante a outra quando seus tamanhos variam, mas as suas formas são
mantidas, ou seja, elas são proporcionais entre si (a forma é dita invariante).
14
   As relações gerais das partes do triângulo são estudadas pela parte da geometria denominada geometria
do triângulo.
15
   São chamadas de cevianas notáveis.


                                                                                                     13
        •   Incentro: é o ponto de encontro das bissetrizes interiores do triângulo. É
            também o centro da circunferência inscrita do triângulo:




        • Ex-incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes externas, duas a duas,
          relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas. Os
          ex-incentros são externos aos triângulos.16
        • Círculo ex-inscrito: dado um ex-incentro, é o círculo que tem esse ponto
          como centro e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros
          lados do triângulo.
        • Semi-mediana: é a ceviana isogonal da mediana:




        •   Pontos concíclicos: são os seis pontos que constituem as projeções de dois
            pontos inversos, M e M’, sobre os lados de um triângulo.
        •   Ponto de Lemoine (ou Ponto de Greve): é o ponto de encontro das semi-
            medianas. É o conjugado isogonal do baricentro:




        •   Pontos isotônicos: são dois pontos marcados sobre um lado de um triângulo
            onde um é simétrico ao outro em relação ao ponto médio do lado (são os
            pontos D e E da figura):


16
   O ponto que é o incentro de um triângulo ABC é o único ponto interior eqüidistante dos lados do
triângulo. Mas há pontos exteriores com essa mesma propriedade: são os chamados ex-incentros.


                                                                                               14
           •   Retas isotônicas: sâo cevianas que ligam os pontos isotônicos.

           Propriedades gerais dos triângulos:

           •   No triângulo retângulo, o circuncentro coincide com o ponto médio da
               hipotenusa, e o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto (altura
               relativa à hipotenusa).
           •   Um triângulo qualquer admite sempre uma circunferência inscrita e outra
               circunscrita.
           •   Em qualquer triângulo, a medida de um lado é menor que a soma das
               medidas dos outros dois.
           •   Em qualquer triângulo, a medida de um lado é maior que a diferença das
               medidas dos outros dois.
           •   Em qualquer triângulo, a medida de cada lado é menor que a medida do
               semiperímetro desse triângulo.
           •   Em um triângulo qualquer, a medida de cada mediana é menor que a semi-
               soma das medidas dos lados adjacentes a ela.
           •   Em um triângulo qualquer, a medida de cada altura é menor que a semi-soma
               das medidas dos lados adjacentes a ela.
           •   O triângulo eqüilátero possui em um mesmo ponto interior o circuncentro, o
               incentro, o ortocentro e o baricentro.

           Outras retas notáveis do triângulo:

           •   Reta de Euler: em um triângulo ABC qualquer, são colineares três dos seus
               pontos notáveis, a saber: o baricentro G, o circuncentro O e o ortocentro H
               (ou seja, reta de Euler é a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o
               circuncentro).17
           •   Reta de Simson: ao traçar por um ponto P de uma circunferência circunscrita
               a um triângulo ABC, perpendiculares aos lados do triângulo, estas
               intersectam os três lados em três pontos que são colineares. Esta é a reta de
               Simson.
           •   Reta de Wallace: em um triângulo com uma circunferência circunscrita e um
               ponto dessa circunferência, as projeções ortogonais do ponto sobre os lados
               do triângulo determinam três pontos colineares que estão no suporte da reta
               de Wallace.


17
     Euler provou que |GH| = 2.|GO|.


                                                                                         15
           •    Reta de Droz-Farny (resulta do teorema proposto em 1899 pelo suíço Arnold
                Droz-Farny): duas retas perpendiculares que passem pelo ortocentro de um
                triângulo ABC cortam as retas dos lados em X e X', Y e Y', Z e Z'. Nestas
                condições, os pontos médios M de XX', N de YY' e P de ZZ' são colineares:




           •    Retas isogonais: são duas cevianas que, partindo de um mesmo vértice,
                admitem a bissetriz do mesmo ângulo como eixo de simetria:




           Alguns tipos especiais de triângulos:

           •    Triângulo órtico: é o que se obtém quando se ligam os três pés das alturas do
                triângulo:18




18
     Deste modo, os lados do triângulo são as bissetrizes dos ângulos externos de seu triângulo órtico.


                                                                                                          16
         •   Triângulo podar: é o que se obtém quando se ligam os extremos de três
             cevianas traçadas de cada vértice.
         •   Triângulo de ouro: é um triângulo isósceles no qual a divisão de um dos
             lados iguais pela base, é o número de ouro. Os ângulos de um triângulo de
             ouro medem 36º, 72º e 72º. As cinco pontas de um pentagrama são
             triângulos de ouro:




     •   Triângulo de Reuleaux: apesar do nome, este não é propriamente um triângulo, e
         sim um triângulo curvilíneo eqüilátero que pode ser formado a partir de um
         triângulo eqüilátero ABC. Basta fazer três arcos de circunferência de mesmo
         raio centrados em A, B e C, respectivamente. Este triângulo possui a propriedade
         (assim como a circunferência) de ao rolar, sua extremidade superior manter-se a
         uma distância fixa do solo.




         1.2.2 – Polígonos

       O polígono é uma figura geométrica simples constituída por um conjunto de
segmentos de retas consecutivas, de modo que dois deles, sucessivos, não sejam
colineares.19
       Polígono regular convexo: é o polígono que tem todos os lados iguais entre si, e
    todos os ângulos iguais entre si.




19
  Dois segmentos de reta colineares sucessivos são segmentos em que a extremidade de um coincide com
a origem do seguinte, em uma mesma linha ou reta suporte.


                                                                                                 17
           1.2.2.1 – Quadriláteros

        Quadriláteros são polígonos de quatro lados, não necessariamente iguais entre
si. Os quadriláteros possuem quatro lados, quatro ângulos e quatro vértices.

           Os principais quadriláteros são os paralelogramos e os trapézios.

        Paralelogramo: é o quadrilátero que possui os dois pares de lados opostos
respectivamente paralelos. As suas medianas e diagonais encontram-se no centro da
figura. Sua altura é a perpendicular entre os dois lados paralelos.

           •   Quadrado: quando possui os quatro lados de mesmo comprimento e os
               quatro ângulos internos, retos.
           •   Retângulo: quando possui os quatro ângulos internos retos, com lados iguais
               dois a dois (ou seja, lados opostos iguais).
           •   Rombóide: é o paralelogramo propriamente dito.
           •   Losango ou rombo: quando possui os quatro lados congruentes (do mesmo
               comprimento) e os ângulos opostos (dois agudos e dois obtusos) também
               congruentes dois a dois.20 A altura do losango é a reta perpendicular entre os
               dois lados paralelos




       Trapézio: é o quadrilátero que possui dois, e apenas dois de seus lados paralelos.
Os dois lados paralelos são chamados base maior e base menor. O segmento que,
baixado da origem da base menor encontra a base maior, é denominado altura do
trapézio.

           Os trapézios podem ser:

           •   Retângulo: quando possui dois ângulos retos.
           •   Isósceles ou simétrico: é o que possui os dois lados não paralelos
               congruentes.
           •   Escaleno: quando apresenta lados não paralelos e não congruentes; ou
               quando possui todos os lados e ângulos não congruentes;
           •   Trapezóide: é o quadrilátero que não tem lados paralelos.




20
     Um paralelogramo com as diagonais perpendiculares entre si é um losango.


                                                                                          18
           1.2.3 – Circunferências e Círculos

      A circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano eqüidistantes de
um ponto chamado centro, que está no mesmo plano. Representa-se por C(O,r).21

           Elementos da circunferência:

           •    Raio: é o segmento que liga o centro a cada um dos pontos da circunferência.
           •    Flecha: é a porção do raio perpendicular à corda (e que por isso passa pelo
                seu ponto médio).
           •    Diâmetro: é qualquer corda que passa pelo centro da circunferência. É a
                maior corda da circunferência.
           •    Disco: são todos os pontos interiores a uma circunferência e que não
                pertencem a esta.
           •    Tangente: é qualquer reta que toca a circunferência externamente em um
                único ponto, e é perpendicular ao raio que passa por este ponto.
           •    Secante: é qualquer reta que corta a circunferência em dois pontos.
           •    Arco: é qualquer parte limitada da circunferência.
           •    Corda: é todo segmento de reta cujos extremos pertencem à circunferência.

           Em uma circunferência, ângulos centrais iguais determinam arcos e cordas
       iguais, e reciprocamente.

           Posições relativas de duas circunferências:




           A circunferência pode apresentar os seguintes ângulos:

           •    Ângulo central: é o que tem o vértice no centro da circunferência e os seus
                lados são raios.
           •    Ângulo inscrito: é o que tem o vértice sobre a circunferência e os seus lados
                são cordas. Ou: é aquele no qual os extremos do arco pertencem aos lados do
                ângulo, e o vértice do ângulo é um ponto do arco, distinto dos extremos.
           •    Ângulo circunscrito: é o que tem o vértice fora da circunferência e os lados

21
     Onde O é o centro e r é o raio da circunferência C.


                                                                                          19
       são tangentes a ela.
   •   Ângulo de segmento: é aquele em que um dos lados é uma corda e o outro
       lado é tangente à circunferência. O ponto de tangência é o vértice do ângulo.
       Ou: quando o ângulo tem o vértice na circunferência, um dos lados numa
       secante e o outro numa tangente.




   O círculo é a soma dos pontos da circunferência com os pontos do disco. É
também a porção do plano limitada pela circunferência.

   Outros elementos do círculo:

   •   Semicírculo: é a superfície limitada por um diâmetro e por uma
       semicircunferência.
   •   Setor ou setor circular: é a superfície compreendida entre o arco e dois raios
       em suas extremidades.
   •   Setor maior: quando o setor supera o semicírculo.
   •   Coroa circular: é a porção do círculo situada entre duas circunferências
       concêntricas.
   •   Segmento circular: é a porção do círculo limitada por uma corda e um dos
       arcos que a subentendem (assim, o semicírculo é um segmento circular).
   •   Zona circular: é a porção do círculo limitada por duas cordas paralelas.
   •   Trapézio circular: é a porção da coroa circular compreendida entre dois raios
       do círculo maior.




   •   Segmento capaz: um segmento circular é dito capaz de um ângulo dado


                                                                                  20
           quando todos os ângulos nele inscritos são iguais ao ângulo dado.
       •   Círculo dos Nove Pontos: é a circunferência que contém os pontos médios
           dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o
           ortocentro aos vértices.

       Há também os ângulos que interceptam arcos. É quando os extremos do arco
pertencem ao lado do ângulo, e, exceto os seus extremos, o arco pertence ao interior do
ângulo. Assim, se o ângulo tem o seu vértice na circunferência ou em seu exterior, ele
intercepta um arco se:

       1. os extremos do arco pertencem aos lados do ângulo;
       2. com exceção dos seus extremos, o arco pertence ao interior do ângulo.




       1.2.3.1 – Linhas Poligonais e Polígonos

        Linha poligonal: é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares,
dois a dois. Classificam-se em:




                                                                                    21
      Polígono: é uma linha poligonal fechada simples. Um polígono divide o plano
em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns.

        Elementos de um polígono: um polígono possui os seguintes elementos:




        Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos:      ,    ,
    ,     ,     .
        Vértices: ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
        Diagonais: segmentos que unem dois vértices não consecutivos:        ,   ,    ,
   ,     .
        Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , , ,
        Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado
a ele consecutivo:   ,   ,   ,   ,   .

        Outras definições:

        •   Polígono inscrito: é o que tem todos os seus vértices pertencentes à
            circunferência (e esta está circunscrita ao polígono).
        •   Polígono circunscrito: é aquele que tem todos os seus lados tangentes à
            circunferência (e esta está inscrita no polígono).
        •   Polígono regular: dividindo uma circunferência em n partes iguais, o
            polígono cujos vértices são os pontos de divisão é regular.
        •   Polígono estrelado: é uma linha poligonal fechada não-simples com
            propriedades especiais.

        1.2.3.2 – Circunferências com Polígonos Inscritos e Circunscritos

      O polígono cujos lados são tangentes à circunferência nos pontos de divisão é
   regular. Todo polígono regular é simultaneamente inscritível e circunscritível.

      A inscrição de polígonos em uma circunferência pode ou não ter solução exata
   com régua e compasso.

        Os processos exatos compreendem os seguintes polígonos:

        •   Triângulo eqüilátero         (n = 3)
        •   Quadrado                     (n = 4)
        •   Pentágono                    (n = 5)
        •   Hexágono                     (n = 6)


                                                                                     22
        •   Octógono                   (n = 8)
        •   Decágono                   (n = 10)
        •   Dodecágono                 (n = 12)
        •   Pentadecágono              (n = 15)

       Os processos cuja solução não é exata envolvem (entre outros) os seguintes
polígonos:

        •   Heptágono                  (n = 7)
        •   Eneágono                   (n = 9)
        •   Undecágono                 (n = 11)
        •   Tridecágono                (n = 13)
        •   Heptadecágono              (n = 17)

     Relação de polígonos regulares, com quatro até cem lados:




       Apesar de teoricamente realizáveis com régua e compasso, as divisões em 25 ou
mais lados não possuem praticidade, além de serem de difícil consecução.

        1.2.4 – Cônicas e Arcos

       Figuras cônicas22 são aquelas que resultam do corte ou seção, em ângulos
diversos, de um cone.23 São a parábola, a circunferência, a elipse e a hipérbole.




22
   Estas figuras foram estudadas pelo matemático grego Apolônio de Perga (± 262-190 a.C.). Estas
figuras são apresentadas a título de ilustração, pois são estudadas na Geometria Analítica.
23
   Ou são a interseção de um plano escolhido com uma superfície cônica.


                                                                                             23
•   Arco: é um elemento construtivo em curva que emoldura a parte superior de
    um vão (abertura ou passagem) ou reentrância.




                            AB = vão = L
                        CD = flecha = altura = f

Os extremos A e B do arco são denominados nascenças do arco.

•   Curva: é uma linha que não mantém a mesma direção, ou seja, é uma linha
    ou superfície que não é reta. A curva pode ser:




•   Oval: é uma curva fechada, constituída pela concordância de arcos de
    circunferência. O oval pode ser:

       Regular (ou falsa elipse): apresenta dois eixos de simetria. Quanto à
       forma, pode ser: arredondada ou alongada.
       Irregular (ou oval propriamente dita): possui um só eixo de simetria.

Classificação funcional dos arcos:



                                                                          24
        •    Arco cego: surge, geralmente, como elemento de relevo da parede. Sua área
             é tapada.
        •    Arco de descarga: é o arco que recebe e alivia o peso de uma parede. Situa-
             se acima de uma platibanda.
        •    Arco de escarnação: é o arco construído para servir de auxílio a outro arco
             que não pode suportar o peso sobre si exercido.
        •    Arco de penetração: é o que resulta da intersecção entre duas abóbadas de
             berço.
        •    Arco de cruzeiro: é o arco que, na igreja, separa a nave, da capela-mor ou do
             coro.

        Há vários tipos de arcos, que são usados em projetos arquitetônicos: ogival,
gótico, botante, arco angular, truncado, poligonal, zig-zag, redondo, escarzano,
elíptico, peraltado, apontado, carpanel, deprimido côncavo, deprimido convexo,
georgiano, ogival quebrado, agudo, tudor espanhol, tudor inglês, flamígero,
multilobado, angelado e florentino.

        Os arcos mais característicos são:24

        •    Arco aviajado (ou arco botante, arco botaréu ou arco esconso): é um arco
             que não tem os seus extremos ou pontos de origem sobre a mesma linha
             horizontal.




        •    Arco ogival (ou arco de ogiva): é o arco de estruturação de uma abóbada.25




        •    Arco toral: é o arco transversal à nave que sustenta a abóbada. Situa-se
             perpendicularmente às paredes laterais.

24
   Os arcos gótico e ogival são característicos das aberturas (portas e janelas) das catedrais góticas. Os
arcos tudor, otomano, ferradura e mourisco foram utilizados nos vãos da arquitetura mourisca (também
conhecida como sarracena). O arco ferradura é característico da arquitetura árabe na Espanha.
25 O arco ogival estrutura o esqueleto da abóbada, cruzando com outro no centro e distribuindo o peso até
os pilares de apoio.


                                                                                                      25
•   Arco abatido: também chamado de asa de cesto, asa de balaio e sarapanel.




•   Arco gótico: também chamado de Talão, pela semelhança da moldura deste
    nome. É um arco ogival constituído pela concordância de quatro arcos de
    circunferência, possuindo quatro centros.




•   Arco mourisco (ou arco árabe ou arco ferradura): é o arco cuja altura é
    maior do que a metade do vão ou abertura.




•   Arco pleno-cintro (ou arco romano): é o arco em que a altura, flecha ou raio
    é igual a metade do vão ou diâmetro.




                                                                             26
•   Arco tudor: também chamado de arco gótico inglês. Originou-se no reinado
    de Henrique VII (1485-1509), primeiro rei da dinastia dos Tudor. É um arco
    ogival constituído pela concordância de quatro arcos de circunferência.
    Possui quatro centros.




•   Arco ferradura: é um arco composto por dois arcos de círculo.




•   Arcos geminados: são arcos reunidos dois a dois por um outro arco maior ou
    por coluna, tendo um capitel comum.




•   Arcos trilobados: são três arcos compostos por circunferências secantes.




•   Arco parabólico: é o arco em forma de parábola ou catenária.


                                                                               27
•   Arco capaz: é o lugar geométrico dos pontos do plano do qual um segmento
    é visto sob um mesmo ângulo.




Exemplos diversos de arcos arquiteturais:




                                                                         28
       1.2.5 – Estrelas

       As estrelas são polígonos; entretanto, esta é apenas uma definição formal. Não
há uma definição exata para este tipo de polígono.
       A figura a seguir é uma estrela; esta estrela é um polígono regular (um
pentagrama) de cinco pontas.




                                                                                  29
           1.2.5.1 –       Estrelas Regulares

        Na geometria, uma estrela poligonal regular é um polígono equilateral, equi-
angular que se auto-intesecta. Este polígono é criado ao se conectarem os vértices não
adjacentes de um polígono simples e regular de n lados, continuando o processo até
atingir o vértice de partida.
        Por exemplo, no pentágono regular, uma estrela de cinco pontas pode ser obtida
desenhando-se uma linha do do primeiro ao terceiro vértice, do terceiro ao quinto, deste
ao segundo, então ao quarto e retornando ao primeiro. Esse processo envolve n adições
repetidas, sendo n o número de lados do polígono, e o número x a ser somado n vezes é:
1 < x < n-1.
        A notação desse polígono (símbolo Schläfli) é {n/x}, que é igual a {n/n-x}.

      Uma estrela poligonal regular também pode ser representada como uma
sequência de estrelamentos26 de um polígono regular convexo central.

           Exemplos de estrelas regulares, com respectivas notações de Schläfli:




        A figura a seguir mostra uma série de seqüências evolutivas de polígonos
estelares, com aumento gradativo do número de pontas.




26
     Veja-se à frente, o item 1.2.6.4.


                                                                                     30
        1.2.5.2 – Figuras Estelares

        As figuras estelares são polígonos estelares que são formados a partir da
repetição (após uma rotação) de uma figura qualquer. Por exemplo, a partir do triângulo,
é possível formar tanto um hexagrama (de seis pontas) quanto o eneagrama, uma figura
estelar de nove pontas.




                           2{3} ou {6/2}               3{3} ou {9/3}

        Se o número n de lados for divisível por m, a estrela obtida será um polígono
regular de n/m lados. A nova figura é obtida rotacionando esses n/m-gons regulares um
vértice para a esquerda no polígono original, até que o número de vértices rotacionados
se iguale a n/m – 1, e então combinam-se as duas figuras.27
        Nos casos em que n e m possuam um fator em comum, o polígono estelar para
um n menor é obtido,e versões rotacionadas podem ser combinadas. Essas figuras são
chamadas figuras estelares ou polígonos estelares impróprios ou polígonos compostos.
        A mesma notação {n/m} é frequentemente usada para eles.

        1.2.5.3 – Polígonos Estelares Irregulares

       Polígonos estelares irregulares cíclicos ocorrem como figuras de vértice para os
poliedros uniformes, definidos pela sequência de arestas poligonais regulares a partir de
cada vértice, permitindo múltiplas rotações e direções retrógradas.




        Na figura anterior, a linha branca é uma figura de vértice hexagonal não-regular
cíclica para o Grande icosidodecaedro retro-achatado. O comprimento das arestas é
definido pela distância entre vértices alternos nas faces do poliedro uniforme.

27
  Um caso extremo disso ocorre quando n/m = 2, produzindo uma figura consistindo de n/2 segmentos de
retas, chamado de polígono estelar degenerado.


                                                                                                 31
       1.2.5.4 – Interiores dos Polígonos Estelares

       Os interiores dos polígonos estelares sempre deixam uma ambiguidade quanto à
sua interpretação.O diagrama abaixo, por exemplo, mostra três interpretações distintas
de um pentagrama.




   •   A interpretação à esquerda possui cinco vértices de um pentágono regular
       conectados alternadamente, ou seja, pulando vértices alternados. O interior é
       tudo que está à esquerda (ou à direita) de cada aresta, até a próxima intersecção.
       Isso faz com que a região pentagonal convexa central fique do "lado de fora", e
       em geral pode-se determinar o lado de dentro por uma regra par-ímpar binária,
       contando quantas arestas são interceptadas por um ponto ao longo de um raio ao
       infinito.

   •   A interpretação do meio também tem os cinco vértices de um pentágono regular
       conectados alternadamente. O interior pode ser tratado como:

              o o interior da linha perimetral de um decágono simples;
              o tendo a região pentagonal convexa central rodeada duas vezes,
                porque o perímetro estrelado a rodeia duas vezes.

   •   A interpretação à direita cria novos vértices nas intersecções nas arestas (cinco,
       nesse caso) e define um novo decágono côncavo formado pela linha perimetral
       da primeira interpretação. Deixa de ser um pentagrama, mas continua sendo um
       polígono estelar.

       1.2.5.5 – Exemplos de Interpretações de Prismas Estelares

       Com relação à área dentro do pentagrama, cada interpretação leva a uma
resposta diferente.




                                                                                      32
        O prisma heptagrâmico acima, por exemplo, mostra que diferentes
interpretações podem criar aparências bem diferentes.

        1.2.6 – Corpos ou Figuras Sólidas28

       Corpos sólidos, ou simplesmente sólidos, são os corpos geométricos que ocupam
uma posição definida no espaço e que se delimitam por linhas retas ou curvas,
adquirindo assim uma forma e possuindo um volume.29
       O seu estudo é chamado de morfologia geométrica geral dos sólidos.

        1.2.6.1 – Poliedro. Ângulo Diedro e Ângulo Triedro

        Poliedro30 é o sólido31 limitado por superfícies planas. São elementos do
poliedro: as faces; as arestas; os vértices; o diedros; os ângulos poliedros ou sólidos.
        As superfícies do poliedro são polígonos planos, denominados faces do poliedro.
A superfície que limita o poliedro, ou seja, o conjunto de todas as suas faces,32 chama-
se superfície poliédrica.
        Os lados da face são chamados arestas, e o vértices das faces são os vértices do
poliedro. Deste modo, cada aresta é comum a duas faces contíguas ou vizinhas, e cada
vértice pertence a três ou mais delas.33 As faces são superfícies planas; as arestas são
segmentos de retas, e os vértices são pontos de intersecção das arestas. A diagonal de
um poliedro é o segmento de reta que une dois vértices que não pertencem à mesma
face.

        •   Ângulo diedro: é aquele formado por dois semiplanos, ou faces, que se
            encontram com uma reta origem comum, denominada aresta. Deste modo, o

28
   Ou figuras volumétricas.
29
   Dois sólidos são equivalentes, se possuírem o mesmo volume.
30
   “Dá-se o nome de sólido poliedral, ou simplesmente poliedro, a qualquer sólido ligado por planos ou
faces planas”. (Legendre, 1809, citado por LAKATOS, p. 29, nota 11).
31
   Também chamado sólido geométrico.
32
   Ou seja, é a soma das superfícies das faces. O volume de um poliedro é a porção limitada de espaço
ocupada pelo sólido poliédrico.
33
   De um vértice saem pelo menos três arestas, e pode-se atingir qualquer vértice seguindo arestas
consecutivas. Um plano que contém duas arestas consecutivas contém um polígono, cujos vértices são os
vértices do poliedro. Esse polígono forma a face do poliedro.


                                                                                                   33
            ângulo diedro é formado por duas faces consecutivas:




        •   Ângulo triedro: é o ângulo de três planos que têm um ponto em comum:




       Nos poliedros, as faces são superfícies planas, as arestas são segmentos de retas
e o vértices são pontos de intersecção das arestas. Duas faces consecutivas formam um
ângulo diedro. Quando as faces se cortam no mesmo vértice, constituem um ângulo
poliedro, ou ângulo sólido.

      Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo com o número de faces que
possuam. Exemplos:


        •   Tetraedro: quatro faces
        •   Pentaedro: cinco faces
        •   Hexaedro: seis faces
        •   Heptaedro: sete faces
        •   Octaedro: oito faces
        •   Eneaedro: nove faces
        •   Decaedro: dez faces
        •   Undecaedro: onze faces
        •   Dodecaedro: doze faces
        •   Icosaedro: vinte faces

        Os poliedros se dividem em:34

        •   Poliedros regulares: são aqueles cujas faces são polígonos regulares iguais
            entre si e os ângulos sólidos são todos iguais entre si. Subdividem-se em:

                o Convexos: é o que fica todo ele situado do mesmo lado do plano
                  determinado por qualquer uma de suas faces.
                o Não convexos: quando não estão inteiramente situados do mesmo
                  lado do plano determinado por qualquer uma de suas faces.


34
   Outras classificações são feitas no âmbito da Cristalografia, dividindo os sólidos em sistemas:
isométrico; tetragonal; ortorrômbico; hexagonal; monoclínico; triclínico (veja-se o Capítulo XIII).


                                                                                                34
           •    Poliedros irregulares: são os que possuem as faces e os ângulos diedros
                desiguais.

           1.2.6.2 – Sólidos ou Poliedros Diversos

           Sólidos ou Poliedros Regulares de Platão:

           São cinco, os poliedros regulares de Platão:

           •    Tetraedro                (4 faces triangulares)
           •    Hexaedro35               (6 faces quadrangulares)
           •    Icosaedro                (20 faces triangulares)
           •    Octaedro                 (8 faces triangulares)
           •    Dodecaedro               (12 faces pentagonais)




           Sólidos de Arquimedes:

       Ou poliedros semi-regulares, são poliedros convexos cujas faces são polígonos
regulares de mais de um tipo. Todos os vértices são congruentes, ou seja, há o mesmo
arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Todo vértice pode ser transformado em
outro vértice por uma simetria do poliedro.
       Existem treze poliedros arquimedianos, que são obtidos por operações sobre os
sólidos platônicos – treze por truncamento: o tetraedro truncado, o cuboctaedro, o cubo
truncado, o octaedro truncado, o rombicuboctaedro, o cuboctaedro truncado, o
icosidodecaedro, o odecaedro truncado, o icosaedro truncado, o rombicosidodecaedro
truncado e o icosidodecaedro truncado; dois por snubificação36 de sólidos platónicos: o
cubo snub e o icosidodecaedro snub.




35
     Ou cubo.
36
     Veja-se o item 1.2.6.3, à frente.


                                                                                    35
      Poliedros de Kepler-Poinsot:

       São poliedros regulares não-convexos, nos quais todas as suas faces são
polígonos regulares iguais, e em todos os vértices encontram-se o mesmo número de
faces.
       Existem quatro Poliedros de Kepler-Poinsot.



Poliedro de Kepler-Poinsot    Imagem             Faces          Vértices Arestas


   Pequeno dodecaedro                       12 pentagramas
                                                                   12       30
         estrelado                             regulares


                                            12 pentagramas
Grande dodecaedro estrelado                                        20       30
                                               regulares




                                                                                 36
    Grande dodecaedro                     12 pentágonos regulares     12       30




    Icosaedro estrelado                   20 triângulos equiláteros   12       30




       Em 1619, Kepler descobriu dois poliedros simultaneamente regulares e não
convexos: o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado. No século
XIX, demonstrou-se que existem apenas nove poliedros regulares: os cinco sólidos
platónicos e quatro poliedros regulares não convexos, ou Poliedros de Kepler-Poinsot.

       Sólidos de Catalan:

        Os chamados Sólidos de Catalan são uma família de treze poliedros gerados
como os Poliedros dos Sólidos de Arquimedes. São poliedros convexos de faces
uniformes, sem vértices uniformes. As faces que formam os sólidos de Catalan não são
polígonos regulares, mas os seus ângulos diédricos são iguais em todo o poliedro. O
dodecaedro rômbico e o triacontaedro rômbico são poliedros de arestas uniformes. O
icositetraedro pentagonal e o hexecontaedro pentagonal têm figura isomórfica.




                                                                                    37
           1.2.6.3 – Snubificação

        A chamada snubificação de um poliedro é a operação que permite obter um
poliedro de outro poliedro. Essa operação consiste em afastar todas as faces do poliedro,
rodar as mesmas um certo ângulo (normalmente 45º) e preencher os espaços vazios
resultantes com polígonos (triângulos, retângulos, etc). O caso especial de uma
Snubuficação sem rotação é denominado expansão de sólido.
        Operações de Snubficação:
        Do cubo para o cubo snub:37




           Do dodecaedro para o dodecaedro snub:




           Do tetraedro para o icosaedro:




37
     Note-se que o preenchimento dos espaços vazios entre quadrados é feito com triângulos.


                                                                                              38
           Do octaedro resulta o cubo snub:




           Do icosaedro resulta o dodecaedro snub:




           1.2.6.4 – Estrelamento

        O estrelamento é um processo geométrico de construção de novos polígonos (em
duas dimensões) ou de novos poliedros (em 3 dimensões). Consiste em estender os
lados do polígono, ou as faces do poliedro, até se encontrarem novamente. A nova
figura é um estrelamento da original.38

           Estrelamento de Polígonos:

           A figura a seguir mostra o estrelamento de um pentágono.




                                                                      .



38
     O processo foi descrito pela primeira vez por Kepler, em 1619.


                                                                                 39
        Estrelamento de Poliedros (Platônicos):

       O tetraedro e o cubo não podem ser estrelados, pois os planos definidos pelas
suas faces encontram-se apenas nas arestas do poliedro original.
       O octaedro tem um estrelamento, chamado stella octangula.




       O dodecaedro tem três estrelamentos, que são: o pequeno dodecaedro estrelado,
o grande dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro.




       O estrelamento do icosaedro é mais complicado. O número total são 58
estrelamentos, onde estão incluídas figuras como o icosaedro triakis, o grande
icosaedro, a composição de cinco octaedros, a composição de cinco tetraedros e a
composição de dez tetraedros.

        1.2.6.5 – Equação de Euler

       Quando definidos restritamente,39 os poliedros possuem a seguinte equação
característica, atribuída ao matemático Euler:

        V–A+F=2,

onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do
poliedro. Esta equação, como se pode ver, aplica-se (entre outros) aos seguintes
poliedros:



39
  Uma polêmica que se arrasta há séculos divide os matemáticos em duas correntes opostas: 1) os que
aceitam esta equação para todos os poliedros; 2) os que dizem existir poliedros para os quais a equação
não se aplica (p. ex., o poliedro estelado de Kepler). Para uma extensa discussão a respeito, veja-se:
LAKATOS, 1978.


                                                                                                    40
                             Poliedro         V       A       F
                              Cubo            8       12      6
                         Prisma triangular     6       9      5
                        Prisma pentagonal     10      15      7
                        Pirâmide quadrada      5       8      5
                       Pirâmide triangular     4       6      4
                       Pirâmide pentagonal     6      10      6
                             Octaedro         6       12      8
                              Torre           9       16      9
                          Cubo truncado       10      15      7

       1.2.6.6 – Poliedros Irregulares. Prismas e Pirâmides

       Poliedros irregulares são aqueles que apresentam as faces e os ângulos diedros
desiguais.
       Há dois grupos principais de poliedros irregulares: os prismas e as pirâmides.

       I – Prisma: é o poliedro irregular formado por duas faces ou bases poligonais,
   iguais e paralelas, e por uma superfície prismática (chamada superfície lateral),
   constituída por n paralelogramos (chamados faces laterais).
       Os elementos característicos do prisma são:

       1.   as bases, inferior e superior;
       2.   as arestas, como intersecção de duas faces;
       3.   as faces laterais, ou parelologramos que se juntam cada um a dois outros;
       4.   a altura, que é a distância perpendicular entre os planos das bases;
       5.   o eixo, ou segmento de reta que liga os centros das duas bases;
       6.   os vértices.

       Os prismas se classificam quanto às arestas e quanto à forma da base.

       Quanto às arestas, podem ser:

       1) Prismas retos: possuem arestas laterais verticais ou perpendiculares aos
   planos das bases.




        Um tipo particular de prisma reto é o paralelepípedo. É um sólido cujas bases e
faces são paralelogramos. Possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Qualquer face pode ser
tomada como base. O paralelepípedo pode ser reto ou oblíquo, conforme a inclinação
dos seus lados.




                                                                                        41
   2) Prismas oblíquos: possuem arestas laterais oblíquas aos planos das bases.




   Quanto à forma da base, podem ser:

    1) Prismas regulares: quando as bases do prisma reto são polígonos regulares.
Exemplos: prismas retos de base triangular, de base quadrangular, de base
retangular, de base pentagonal, de base hexagonal, etc.




   2) Prismas irregulares: são aqueles cujas bases são polígonos irregulares.




                                                                                  42
        Quando um prisma é truncado por um plano não paralelo às bases, obtém-se dois
prismas “truncados”, cujas faces são trapézios e as bases não são mais paralelas entre si.
O plano de intersecção do plano oblíquo com o prisma denomina-se seção plana, e o
sólido tem o nome de tronco de prisma ou prisma truncado.




        II – Pirâmide: é o sólido geométrico cuja base é um polígono qualquer e cujas
faces são triângulos que concorrem em um ponto que é o vértice da pirâmide.
        Os elementos da pirâmide são:

       1. o vértice comum às faces laterais;
       2. as arestas, que partem do vértice e são os lados dos triângulos e da base
          poligonal;
       3. a altura, que é o segmento perpendicular baixado do vértice ao plano da
          base;
       4. o eixo, que é o segmento de reta que liga o vértice da pirâmide ao centro do
          plano da base.




       As pirâmides se classificam quanto ao eixo e quanto à forma da base.

       Quanto ao eixo, podem ser:


                                                                                       43
        1) Pirâmide reta, cujo eixo é perpendicular à base.




        2) Pirâmide oblíqua, cujo eixo é oblíquo à base.




        Quanto à forma da base, podem ser:

        1) Pirâmide regular, cuja base é um polígono regular.40




       Na pirâmide regular, todas as arestas laterais são iguais e as faces laterais são
triângulos isósceles iguais.

        2) Pirâmide irregular, cuja base é constituída por um polígono irregular.

       A pirâmide também pode ser truncada. Este truncamento pode ser realizado de
duas formas:

        a) seccionando-a paralelamente ao plano da base:




40
   Pode ser: triângulo; quadrado; pentágono; etc. Pode-se definir pirâmide regular, também, como aquela
em que o pé da altura é o centro da base. A pirâmide limitada por triângulos eqüiláteros é chamada
tetraedro, que é um dos cinco poliedros regulares de Platão.


                                                                                                    44
       b) seccionando-a segundo um plano oblíquo em relação ao plano da base:




        Em qualquer caso, a porção da pirâmide entre a base e o plano que seccionou as
arestas laterais é denominada pirâmide truncada ou tronco de pirâmide.

       Qualquer pirâmide pode ser seccionada por um plano. Exemplo de uma pirâmide
pentagonal seccionada:




       Planificação: é a representação de um sólido qualquer em um plano. A pirâmide
pentagonal regular, por exemplo, pode ser planificada usando cinco triângulos isósceles
e um pentágono:




        As imagens a seguir ilustram o hexecontaedro deltoidal e sua respectiva
planificação.



                                                                                    45
        1.2.6.7 – Sólidos de Revolução

       Sólido de revolução, ou corpo de revolução, é o corpo gerado pela rotação de
uma figura plana em redor de um eixo situado no mesmo plano (horizontal, vertical ou
inclinado). Assim, o sólido surge pela revolução de uma linha em torno de um eixo; isto
produz a superfície de revolução.41
       As várias seções de uma superfície de revolução realizadas por planos que
passam pelo eixo são linhas planas, que recebem o nome de meridianos.
       Um ponto em um mediano, girando, descreve uma circunferência cujo plano é
perpendicular ao eixo. As seções executadas em uma superfície de revolução, por
planos perpendiculares ao eixo, são círculos.
       A linha que se desloca no espaço para formar a superfície de revolução é
denominada geratriz.
       Os principais sólidos de revolução são: o cilindro; o cone; a esfera.42

        O cilindro surge pela revolução de um retângulo em torno de um de seus lados.
O cilindro é o sólido geométrico redondo e reto formado por duas bases circulares
paralelas. Os lados menores do retângulo geram os círculos das bases, e o lado maior
gera a superfície de revolução.




        Deve-se considerar, no cilindro:

        A superfície de revolução, que é a superfície gerada pela rotação de uma linha
paralela ao eixo. As posições sucessivas ocupadas por esta reta são as geratrizes da
superfície de revolução.
        O cilindro de revolução, ou simplesmente cilindro, é o sólido gerado pela

41
   Há um número ilimitado de superfícies de revolução, regulares e irregulares. Alguns corpos especiais
gerados por revolução são denominados quádricas. Uma quádrica é uma superfície na qual toda a seção
plana é uma seção cônica. Exemplos de quádricas: elipsóide de revolução; hiperbolóide de uma folha ou
hiperbólico; hiperbolóide de duas folhas ou elíptico; parabolóide elíptico.
42
   São os denominados sólidos padrões de revolução, ou sólidos redondos.


                                                                                                    46
rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.

       Elementos geométricos do cilindro:

       1. superfície cilíndrica de revolução, ou superfície lateral do cilindro, é a
           superfície gerada pelo lado oposto ao fixo;
       2. área total, que é a soma da área lateral com as áreas das bases;
       3. geratriz, que é o lado do retângulo que gera a superfície cilíndrica de
           revolução;
       4. as bases, que são planos circulares e paralelos do sólido;
       5. a altura, que é a perpendicular entre os planos das bases;
       6. o eixo, que é o segmento de reta que liga os centros das duas bases, ou
           também, o suporte do lado fixo do retângulo;
       7. o raio das bases, que é também o raio do cilindro;
       8. o diâmetro das bases, que é também o diâmetro do cilindro;
       9. a seção meridiana MNPQ, formada pelos diâmetros e pelos lados;
       10. o volume do sólido.




       Os cilindros classificam-se, quanto à direção do eixo, em cilindro reto e cilindro
oblíquo.

       O cilindro reto é o que apresenta o eixo perpendicular aos planos das bases.




       O cilindro oblíquo é aquele que tem o eixo oblíquo aos planos das bases.




       Chama-se cilindro truncado ao cilindro seccionado por um plano paralelo ou




                                                                                      47
oblíquo ao plano da base.43




       A planificação do cilindro não oferece dificuldade, pois é feita com um
retângulo e dois círculos.




       O cone é a superfície gerada pela rotação de um triângulo retângulo em torno de
um de seus catetos.44 As posições sucessivas ocupadas pela hipotenusa são as geratrizes
da superfície considerada.




        Elementos do cone:

        1. o eixo, ou suporte do cateto fixo;
        2. a superfície lateral ou cônica de revolução, gerada pela hipotenusa do
           triângulo retângulo;
        3. a superfície total, que é a soma da área lateral com a área da base;
        4. a base do sólido, que é o círculo gerado pelo cateto móvel;
        5. o vértice do cone, que é o vértice do ângulo agudo formado pela hipotenusa e
           o cateto fixo;
        6. a altura, que é a distância perpendicular do vértice ao plano da base;
        7. o raio do cone, que é o raio da base;


43
   Paralelo, ou secção reta; oblíquo, ou secção transversal. No primeiro caso a superfície seccionada é um
círculo; no último caso, é uma elipse.
44
   Ou: cone é o sólido geométrico de revolução que é limitado por uma superfície cônica de revolução e
por um círculo, que é sua base.


                                                                                                      48
        8. o diâmetro do cone, que é o diâmetro da base;
        9. as geratrizes, que são os segmentos de reta que ligam o vértice do cone aos
            pontos da circunferência da base;
        10. a seção meridiana AVB, definida pelo diâmetro, vértice e hipotenusa em
            lados opostos.
        11. o volume do sólido.




        Os cones classificam-se, conforme a perpendicularidade de seu eixo, em cone
reto e cone oblíquo.
        O cone reto é aquele que apresenta o eixo perpendicular ao plano da base.




        O cone oblíquo é o que apresenta obliquamente o eixo, em relação ao plano da
base.




       O cone pode ser truncado em duas direções. Pelo seccionamento realizado por
um plano paralelo ao plano da base; ou pelo seccionamento realizado por um plano
oblíquo ao plano da base:




        O tronco de cone de revolução é a porção de cone compreendida entre a base de
fronteira curvilínea e um plano que lhe é paralelo e intersecta o cone, corresponde ao
sólido gerado por um trapézio retângulo que gira em torno do eixo que é o lado


                                                                                   49
perpendicular às bases.




         A planificação do cone é realizada através de um setor circular e um círculo
menor.




       A esfera ou superfície esférica de revolução é gerada pela revolução de uma
semicircunferência.45 Os pontos da superfície esférica distam igualmente do ponto que é
o centro da esfera. Esfera, então, é o sólido geométrico limitado pela superfície esférica
de revolução.




         Os elementos da esfera são:

         1. a superfície esférica de revolução;
         2. o raio da esfera, que é o raio do semicírculo;
         3. o diâmetro da esfera, que é o diâmetro do semicírculo.46

       O truncamento da esfera é o seu seccionamento por um plano. O seccionamento
pode ser realizado ou não pelo seu centro. Sempre se obtém, no entanto, uma seção
plana que será um círculo.




      Se passar pelo centro, a secção plana tem o mesmo raio que a esfera e determina
um círculo máximo. As secções planas que não passam pelo centro possem raios

45
  Ou seja, a geratriz é uma semicircunferência.
46
  O diâmetro esférico é o segmento de reta que passa pelo seu centro e liga dois pontos opostos na
superfície esférica, eqüidistantes deste centro.


                                                                                               50
menores do que o raio da esfera, e assim, determinam círculos menores.

       A esfera, pelo seu formato, determina em sua superfície círculos máximos, que
são o equador e os meridianos, e círculos menores, chamados círculos paralelos.




        Polígono esférico: é a porção de superfície esférica limitada por arcos de
círculos máximos, e menores que uma semicircunferência. Os arcos de círculo máximo
limitados por suas sucessivas seções são chamados lados.
        Um polígono esférico é chamado convexo quando está todo situado em um
mesmo hemisfério dos que determinam os círculos máximos onde estão seus lados. O
contorno de um polígono esférico é chamado linha poligonal esférica fechada.
        A todo polígono esférico corresponde um ângulo poliédrico que tem por vértices
o centro da esfera, e por lados os raios que unem o centro com os vértices dos
polígonos. Este ângulo poliédrico é chamado ângulo sólido correspondente ao polígono
esférico.

      Cunha esférica é a porção de esfera compreendida entre dois semiplanos que
tem por origem o eixo que é o diâmetro da esfera. O contorno da cunha esférica é
formado por dois semicírculos da esfera.




       A superfície esférica entre dois semicírculos da cunha esférica é chamada fuso.




                                                                                     51
       Triângulo esférico é o triângulo cujos lados são círculos máximos da esfera. O
triângulo máximo seria aquele cujo vértice está em um pólo e a base está no círculo do
equador. Entretanto, triângulos esféricos menores podem ser traçados, mas sempre
sendo, os seus lados, círculos máximos.




      Segmento esférico de uma base é cada uma das partes de uma esfera separadas
por um plano que a intersecta, sendo o círculo a base do segmento.




       .
       O contorno de um segmento esférico de uma base é formado por um círculo e a
superfície esférica para um dos lados desse círculo; é chamado de calota esférica.




       O contorno de um segmento esférico de duas bases é formado por dois círculos e
a superfície esférica compreendida entre as bases, chamada zona esférica.




       Toro ou anel é um sólido que resulta da rotação de um círculo em torno de um
eixo que o não corta.




       A planificação da esfera, por constituir um tópico especial, é um tema que será


                                                                                   52
tratado em separado, no Capítulo VI.

       Princípio de Cavalieri: Se dois sólidos sobre um plano são seccionados por todo
o plano paralelo ao plano dado, segundo figuras com a mesma área, então os sólidos
possuem o mesmo volume.




           1.3 – Geometria Espacial. Sistema de Projeção Geométrica

       Para representar uma figura qualquer de modo que todas as suas partes ocupem
as posições reais e demonstrem as dimensões exatas, usa-se o método das projeções. As
projeções têm por finalidade fazer conhecer as formas e as dimensões reais dos objetos
ou corpos.

        Uma figura do espaço se projeta de um ponto O sobre um plano π (que não
contém o ponto O), quando se determinam, sobre o plano, as interseções dos vários
raios projetantes, determinados pelo centro de projeção O e pelos pontos da figura.




       O sistema de projeção tem os seguintes elementos: pólo ou centro de projeção
(O); objeto (M); plano de projeção (P ou π)47. As retas que partem do centro de
projeção e passam pelos pontos a serem projetados, interceptando o plano de projeção,
são chamadas de retas projetantes (OM).

       Um outro elemento importante das projeções é a perspectiva.48 A perspectiva é a
forma de representação gráfica que mostra em uma superfície bidimensional os objetos


47
     E objeto projetado – m.
48
     Do latim perspicere, ver através de.


                                                                                   53
em três dimensões, tal como eles aparecem à visão.
        Com relação à perspectiva em si, um de seus elementos mais importantes é o
chamado ponto de fuga. O ponto de fuga é um ponto situado no infinito, no qual as
paralelas de um objeto se encontram.




        Conforme a posição ocupada pelo centro de projeção, os sistemas de projeção se
classificam em: sistema de projeção cônica49 e sistema de projeção cilíndrica.50




        O sistema de projeção cônica caracteriza-se por ter o centro de projeção a uma
distância finita do objeto, tornando convergentes as projetantes no ponto (e divergentes,
na direção do plano), formando assim uma figura similar a um cone.
        Este sistema proporciona uma perspectiva real ou exata (perspectiva linear), da
figura observada.




49
   Também: projeção polar, ou projeção central. Foram dos estudos da projeção cônica que surgiram os
elementos conceittuais da perspectiva.
50
   Com o centro em uma posição finita, os raios de projeção se abrem formando um cone; se o centro está
no infinito, os raios tornam-se paralelos, determinando assim uma projeção cilíndrica.


                                                                                                    54
       A projeção cônica de um ponto M qualquer sobre um plano P é o ponto m de
encontro do segmento OM com o plano. O segmento OM é a projetante, e as projetantes
de todos os pontos duma figura concorrem ao pólo O.
       A projeção de um ponto M sobre o plano P pode ser ortogonal – segmento
O’Mm’ (perpendicular ao plano P)51 – ou pode ser oblíqua – segmento OMm (oblíquo
ao plano P).




        O sistema de projeção cilíndrica caracteriza-se por ter o centro de projeção a
uma distância infinita do objeto, fazendo com que as projetantes fiquem paralelas entre
si.52
        Neste sistema se encontram três planos perpendiculares entre si: o plano vertical
(P.V.); o plano horizontal (P.H.) e o plano de perfil ou plano lateral (P.L.).53 A
intersecção dos planos PV e PH é chamada de linha de terra (LT).




51
   A projeção ortogonal, normal ou ortográfica de um ponto M sobre o plano P é o pé – ponto m – da
perpendicular baixada desse ponto M ao plano P. As projetantes são paralelas entre si e perpendiculares
ao plano de projeção.
52
   Este sistema é o mais usado em Desenho Industrial, Desenho Mecânico e Desenho Arquitetônico.
53
   Em Desenho Arquitetônico, o PV é designado como elevação, alçado ou vista de frente; o PH é
designado como planta e o PL, como vista lateral. Se a projeção representa uma parte interna do corpo, é
chamada corte ou seção.


                                                                                                     55
       A representação completa no plano de uma figura no espaço, através de
projeções, é denominada épura.
       É possível descobrir várias características da figura no espaço através do sistema
de projeções e de rebatimentos sobre os planos PV, PH e PL.54




       Dependendo da posição do centro de projeção,55 pode-se subdividir o sistema de
projeção cilíndrica em: projeção cilíndrica oblíqua e projeção cilíndrica ortogonal.




       A projeção oblíqua de um ponto M sobre um plano P é o ponto m de encontro de
uma reta que passa obliquamente por M em direção ao plano P. As projetantes, neste
caso, não concorrem ao mesmo ponto O, pois seguem uma direção oblíqua ao plano de
projeção P.




           1.3.1 – Representação de Objetos Tridimensionais

           1.3.1.1 – Sistema de Quadrantes

      Uma forma de situar espacialmente um objeto é usando o sistema de quadrantes.
Este sistema é formado por dois planos que se cortam perpendicularmente,


54
     Estes são processos típicos da Geometria Descritiva, que não serão abordados aqui.
55
     Posição esta que corresponde à de um hipotético observador.


                                                                                          56
determinando quatro áreas chamadas quadrantes.




       1.3.1.2 – Projeção Cilíndrica Oblíqua. Perspectiva Cavaleira

       Denomina-se perspectiva cavaleira56 a qualquer sistema de representação de
objetos sobre um plano de projeção. É uma forma usual de representação de objetos
tridimensionais, em que uma de suas faces não sofre deformação, pois se situa paralela
ao plano de projeção.
       Esse sistema apresenta as projetantes paralelas entre si, formando com o plano
de projeção um ângulo diferente de 90º.

       A projeção cilíndrica oblíqua fornece as perspectivas cavaleiras, nos casos em
que o objeto é posicionado com suas faces paralelas ao plano de projeção.




       A perspectiva cavaleira tem três eixos, correspondentes às arestas de um prisma
quadrangular reto. Dois eixos são perpendiculares entre si e correspondem às arestas
situadas na face frontal, paralelas ao plano de projeção, onde as medidas estão em
verdadeira grandeza (ou seja, duas dimensões do objeto formam um plano paralelo ao
plano de projeção; assim, esta face, e todas as que lhe forem paralelas irão se projetar
em verdadeira grandeza).
       O terceiro eixo (ou terceira dimensão) dá a direção das chamadas linhas de fuga
(ou profundidade). Apesar de poder fazer qualquer ângulo com a horizontal (existindo

56
  “Cavalíer projectíon”. Além desta existe também a chamada Projeção Militar, que não será aqui
abordada.


                                                                                            57
infinitas linhas de fuga), geralmente adotam-se os seguintes ângulos: 30º; 45º; 60º.




       Para cada ângulo adotado (30, 45 ou 60º), há quatro quadrantes em que se pode
representar o objeto,




        O traçado da perspectiva cavaleira inicia-se (de preferência) pelo vértice frontal;
a partir dele desenham-se os três eixos: vertical, horizontal e o terceiro eixo, que faz um
dos três ângulo pré-estabelecidos (o ângulo de fuga). Sobre os três eixos medem-se a
altura, a largura e a profundídade (espessura) do objeto, sendo que este último eixo sofre
alteração.

        O maior inconveniente no emprego da Perspectiva Cavaleira é o da deformação,
originada das projetantes oblíquas que provocam uma distorção na representação do
objeto. Por este motivo, adota-se o chamado coeficiente de redução (ou fator de
redução), para as medidas tomadas perpendicularmente ao plano de projeção. A
redução do comprimento das linhas perpendiculares com o plano de projeção (o
coeficiente de redução) depende do valor do ângulo de fuga.
        A vantagem do seu uso está no fato de que na vista frontal (vista principal) os
valores serão tomados em verdadeira grandeza (VG),57 e as projetantes geralmente
fazem um ângulo 45º com o plano de projeção.
        Com o objetivo de reduzir as deformações e proporcionar uma forma mais
agradável e reconhecível da figura emprega-se um coeficiente de redução de ½ para os
valores colocados sobre o eixo de 45º. A tabela a seguir mostra outros valores de
coeficientes de redução.




57
  Ou seja, é vantajoso para objetos em que a vista de frente é a mais importante em detalhes e quando
contém uma circunferência, de modo que sua reprodução seja exata, no desenho.


                                                                                                  58
                               Valores dos coeficientes de redução

                                       Coeficiente de redução das escalas dos eixos
            TIPOS                  Largura                Altura            Profundidade
     Cavaleira 30º                    1                     1                     ⅔
     Cavaleira 45º                    1                     1                     ½
     Cavaleira 60º                    1                     1                     ⅓

        1.3.1.3 – Projeção Cilíndrica Ortogonal

       A projeção cilíndrica ortogonal fornece dois tipos de desenho muito usados: as
perspectivas axonométricas e as vistas.




        As perspectivas axonométricas são os desenhos que resultam da projeção
cilíndrica ortogonal quando o objeto está inclinado relativamente ao plano de projeção.
        De acordo com a inclinação do objeto, podem-se ter três diferentes fatores de
redução de suas medidas reais em relação às projeções. Por essa razão, as perspectivas
axonométricas classificam-se em:

        •    Trimétrica: em que há reduções diferentes nas três dimensões.
        •    Dimétrica (ou bimétrica): em que há duas dimensões com reduções iguais.
        •    Isométrica: em que as três dimensões têm o mesmo fator de redução.58




58
   A perspectiva isométrica e a perspectiva cavaleira assemelham-se por ter três eixos, correspondentes às
três arestas de um prisma quadrangular reto, sobre os quais se podem tomar as medidas.


                                                                                                       59
       Pela sua simplicidade, a perspectiva isométrica (onde os eixos fazem entre si, na
projeção, ângulos de 120º) é a mais utilizada. Eis a posição para a isométrica:




       Além disso, pode-se fazer uma perspectiva sem redução, que é chamada
perspectiva isométrica simplificada.

           Características:

       •   Os eixos (eixos isométricos) fazem entre si ângulos de 120º.
       •   As retas paralelas do objeto permanecem paralelas na perspectiva.59
       •   Os ângulos, as linhas e planos não isométricos não aparecem em verdadeira
           grandeza.
       •   Os planos paralelos aos planos formados pelos eixos são chamados de planos
           isométricos.
       •   As reduções nas três dimensões são iguais, com valor de 0,81.

       Em uma perspectiva isométrica, um mesmo objeto pode aparecer de oito modos
diferentes, em que os lados se revezam ao longo dos eixos XYZ:




59
     Se forem paralelas aos eixos, são chamadas de linhas isométricas.


                                                                                     60
•   frontal, com lateral direito ou esquerdo e lado superior ou inferior;
•   posterior, com lateral direito ou esquerdo e lado superior ou inferior.




               ESQUEMA DE PROJEÇÕES E PERSPECTIVAS




                                                                              61
62
                                     Capítulo II

                       Introdução ao Desenho Geométrico


       2.1 – Material Para Desenho Geométrico

       Normalmente, as construções geométricas são realizadas com o seguinte
material:

       2.1.1 – Lápis ou lapiseira




       Sua classificação se dá pela dureza do grafite:

        Número 1 ou Tipo B: Macio            Para traçar linhas cheias
        Número 2 ou Tipo HB: Médio           Para traçar linhas médias
        Número 3 ou Tipo H: Duro             Para traçar linhas finas

       Os tipos 2B até 6B são muito macios, e os tipos 2H até 9H são muito duros.


       2.1.2 – Régua




       A régua pode ser de plástico, acrílico ou alumínio, com medidas (graduação) em
centímetros (cm), milímetros (mm) e (opcionalmente), em polegadas (inch).


       2.1.3 – Borracha




        A borracha deve ser macia, preferivelmente branca. Nunca devem ser usadas
fitas ou tintas corretivas.



                                                                                    63
        2.1.4 – Esquadros




       Ou par de esquadros, de uso complementar (são usados em conjunto), sendo que
um tem os ângulos de 90o 45o e 45o , e o outro, 90º 60º e 30º. São de plástico ou acrílico
transparente, sem graduação (destinam-se ao traçado de linhas, e não à sua medida).

        2.1.5 – Compasso




       É usado para o traçado de circunferências, arco de circunferência, ou para
transportar medidas. Deve ser feito de metal de boa qualidade, para maior precisão.
Uma de suas pontas é a ponta seca,60 e a outra é a ponta do grafite,61 que se deve
apontada em bisel (ver figura), e não de forma cônica. Quando aberto, a distância entre
suas pontas representa o raio da circunferência ou arco a se traçar.
       Quando a figura a ser traçada possui raio muito grande, que ultrapasse a abertura
do compasso, usa-se uma peça auxiliar chamada alongador.62 Para o traçado de círculos
muito pequenos, usa-se a peça chamada bailarino, em que a ponta com grafite ou o tira-
linhas63 giram facilmente em torno de um eixo central.




60
   A ponta seca serve para apoiar o compasso, enquanto a outra ponta traça o desenho.
61
   Também chamado de mina.
62
   Ou barra alongadora.
63
   Peça de metal semelhante a uma pinça, que carrega um pouco de tinta entre as suas hastes. O tira-
linhas, com um cabo próprio, pode ser usado para traçar linhas de contorno de formato irregular.


                                                                                                 64
       2.1.6 – Compasso de ponta seca




                                .

        É um tipo especial de compasso, com duas pontas secas, usado para
transferência de distâncias, ou eventualmente, dividir um espaço em duas partes iguais

       2.1.7 – Transferidores




        São réguas circulares graduadas em graus, feitas de acrílico ou plástico
transparente, utilizados para medir ou traçar ângulos. Podem ser de meia-volta (180º) ou
volta completa (360º).

       2.1.8 – Curvas francesas




      São um conjunto de réguas com lados recurvos ou irregulares, apropriadas para
desenhar facilmente circunferências, elipses, e outras figuras circulares.

       2.1.9 – Gabaritos diversos

       São peças auxiliares para desenho, em variados feitios e formatos, adequados
para desenhar figuras geométricas usadas no desenho técnico.




                                                                                     65
          2.1.10 – Planímetro e Pantógrafo

          Planímetro: é um aparelho usado para a medida de áreas sobre superfícies
planas.




       Pantógrafo: é um instrumento simples, formado por réguas articuladas, que
serve para fazer transferência de figuras, ou também executar ampliações e reduções nas
proporções desejadas.




          2.1.11 – Softwares para desenho

       São programas de computador de vários níveis de complexidade, usados para o
desenho geométrico64 ou computação gráfica. Podem variar desde o simples Paintbrush,
de poucos recursos, até programas extremamente sofisticados do tipo CAD-CAM.




64
   No site: http://cinderella.de/tiki-index.php?page=Download+Cinderella+1.4&bl, pode ser encontrado o
freeware Cinderella, que é um programa apropriado para o desenho geométrico.



                                                                                                   66
67
68
69
        2.2 – Escorço de História do Desenho Geométrico

       O desenho geométrico é disciplina auxiliar do desenho arquitetônico, desenho
técnico, engenharias, design e arte, além de ser complemento da geometria descritiva e
cotada, geometria projetiva, geometria analítica e da própria geometria como um todo.

        O desenho geométrico tem acompanhado a geometria por muitos séculos,
formando as figuras necessárias às demonstrações geométricas. Desde Euclides,
Apolônio, Arquimedes, Menelau, Papus, o desenho geométrico se tornou essencial à
compreensão das várias propriedades dos corpos e das formas geométricas. A partir do
século XVII, com a introdução das cônicas no estudo do movimento, por Kepler e
Galileu, e a criação da geometria analítica por Descartes e Fermat, a geometria
figurativa se tornou absolutamente essencial para a matemática.65

        O francês Girard Desargues foi o primeiro a apontar o papel fundamental da
perspectiva na geometria, compreensão esta que foi desenvolvida por Pascal, ao
introduzir o ponto de vista projetivo. Entretanto, foi Gaspard Monge quem, no século
XVIII, deu grande impulso às concepções da geometria, ao criar e desenvolver a
geometria descritiva. A geometria projetiva,66 por seu lado, desenvolveu-se com as
idéias de Brianchon, Jean-Victor Poncelet, Steiner, Chasles, Möbius, Staudt, Laguerre e
Cailey.

        A este edifício penosamente construído faltava, entretanto, uma base teórica
geral, base esta que foi providenciada por Felix Klein e por David Hilbert.
        Klein apelou para a teoria dos grupos estruturada por Galois em 1830 e
conceituou os diferentes teoremas da geometria como uma teoria das invariantes de um
grupo de transformações particular.67 Na geometria euclidiana, seriam as translações,
simetrias, rotações, etc., correspondentes às invariantes do grupo métrico.
        Em 1899, o matemático David Hilbert apresentou os fundamentos de uma
geometria assentada sobre poucas bases axiomáticas (o seu objetivo era diminuir tanto
quanto possível o número de axiomas da geometria), e onde não se dava nenhuma
definição de entes geométricos.

       O acréscimo moderno ao desenho geométrico veio a ser a introdução do
computador e os programas ou softwares de desenho assistido (CAD-CAM), também
chamado de computação gráfica. Neste caso, a modelagem gráfica é realizada por
algoritmos capazes de traçar curvas e figuras complexas, impossíveis de serem traçadas
com os instrumentos usuais.




65
   No século XIX o matemático Laplace (Pierre Simon, Marquês de Laplace, 1749-1827) se orgulhava de
ter escrito uma obra sobre mecânica celeste em que não utilizava imagens (Mecânica Analítica), mas o
físico e filósofo da ciência francês Poincaré (Jules Henri Poincaré, 1854-1912) se encarregou de fazer
retornar as imagens à matemática.
66
   Na geometria projetiva, qualquer par de linhas coplanares se intersectam em algum ponto do plano, e o
conjunto de pontos sobre uma linha é sempre fechado, não se podendo distinguir, de três ponto sobre uma
linha, qual deles se situa entre os outros dois.
67
   Klein trabalhou em várias áreas da matemática, mas seu principal trabalho foi na geometria. Em 1871
ele descobriu que a geometria euclidiana e a não euclidiana podiam ser vistas como casos particulares de
uma superfície projetiva, o que tornava equivalente a consistência das duas geometrias.


                                                                                                     70
        2.3 – Construções Geométricas Fundamentais68

        2.3.1 – Traçado de Perpendiculares

       1) Traçar uma reta perpendicular a uma outra reta que contém o ponto A, e que
passe por ele.

        Solução:

        1. Com a ponta seca no ponto A, traçar dois arcos que cortam a reta em pontos
           opostos, 1 e 2.
        2. Com a ponta seca nos pontos 1 e 2, traçar os arcos que se cortam e assinalam
           o ponto 3.
        3. Com a régua, traçar uma reta que passa pelos pontos A e 3.




       Observação: a abertura do compasso, para marcar o ponto 3, deve sempre ser
maior do que a metade da distância entre 1 e 2.

       2) Traçar uma reta perpendicular a uma outra reta, que passe por um ponto B
que não está contido nela.

        Solução:

        1. Com centro no ponto B, traçar dois arcos que cortam a reta em pontos
           opostos, 1 e 2.
        2. Com centro nos pontos 1 e 2, traçar os arcos que se cortam e assinalam o
           ponto 3.
        3. Com a régua, traçar uma reta que passa pelos pontos B e 3.




68
  Um excelente site, com literalmente centenas de construções geométricas e outras curiosidades, pode
ser visto em: http://geometrias.blogspot.com/.



                                                                                                  71
       3) Traçar uma semi-reta perpendicular a um segmento de reta e cuja origem se
encontre na extremidade escolhida.

      Solução:

      1. Com centro em A, traçar um arco (com raio qualquer) que corta o segmento
         e assinala o ponto 1.
      2. Com o mesmo raio, traçar arcos que cortam o primeiro, marcando os pontos
         2 e 3.
      3. Com centro nestes pontos, encontrar o ponto 4.
      4. Com a régua, traçar o segmento de reta entre os pontos A e 4.




      2.3.2 – Traçado de Mediatrizes, Bissetrizes e Paralelas

      1) Traçar a mediatriz do segmento de reta AB.

      Solução:

      1. Com centro nos pontos A e B, marcar os pontos opostos 1 e 2.
      2. Com a régua, traçar uma reta que os una.




                                                                                72
       2) Traçar a bissetriz de um ângulo formado pelas retas r e s, sendo que o vértice
que elas formam não é acessível.

       Solução:

       1. Traçar uma reta qualquer MN que intercepte os lados r e s.
       2. Traçar as quatro bissetrizes dos ângulos, determinando os pontos A e B.
       3. Traçar a bissetriz, a qual passa pelos pontos A e B.




       3) Traçar uma reta paralela a uma reta dada r, e que passe por um ponto A.

       Solução:

           1.   Com centro em A e raio qualquer AB, traçar um arco.
           2.   Com centro em B e mesmo raio, traçar o arco AC.
           3.   Com raio igual a AC e centro em B, marcar o ponto D.
           4.   Traçar uma reta passando pelos pontos A e D, que é paralela a r.




                                                                                     73
      4) Traçar por dois pontos P e Q eqüidistantes de uma reta, duas paralelas a ela
      que passem pelos pontos.

      1. Com a ponta do grafite em P ou Q, encontrar o ponto O, centro de uma
         circunferência.
      2. Com o mesmo raio e ponta do grafite em O, traçar a circunferência com
         centro em O’, que determina os ponto P’ e Q’.
      3. Traçar pelos pontos P-P’ e Q-Q’ as paralelas pedidas.




      2.4 – Proporções Gráficas. Divisões de Segmentos

       A resolução gráfica de uma proporção cria uma série de segmentos lineares
relacionados entre si, denominados segmentos proporcionais.

       Como se sabe, uma proporção é uma igualdade entre duas razões, cuja
representação literal é essa:

      a = c        ou: a:b :: c:d
      b   d

      Essa proporção é lida assim: a está para b assim como c está para d.
      As razões a, b, c e d são denominados termos. Assim, a e d são os termos
extremos, e b e c são os termos médios.

        Quando os termos médios são iguais, a proporção é chamada contínua, porque
possui médias proporcionais. Na proporção contínua os extremos são chamados
terceiras proporcionais, e terceira proporcional um deles.

       Denomina-se quarta proporcional qualquer um dos quatro termos, em relação
aos outros três.




                                                                                  74
        2.4.1 – Número de Ouro

      A proporção (a+b)/a = a/b , conhecida desde os antigos gregos, é chamada de
secção de ouro, ou corte de ouro, cuja representação é a letra grega Φ (phi), em
homenagem ao escultor grego Fídias (Phideas).

       Numericamente, a relação a/b é denominada número de ouro, segmento áureo
ou relação áurea, e vale (aproximadamente) 1,618.69

      Geometricamente, dado um segmento de reta AB, um ponto C divide este
segmento de forma harmoniosa se existir a proporção AB/CB = CB/AC, sendo CB o
segmento maior. Assim, proporção áurea, seção ideal ou seção áurea, ou ainda divina
proporção é uma divisão especial de um segmento que o divide de uma forma
harmoniosa.

        A proporção (A + B) = A/B é a proporção contínua característica da proporção
áurea. Nela, sendo dados dois termos, o menor está para o maior assim como este está
para o todo.

        O número de ouro é o valor da razão AB/CB, a chamada razão de ouro. A
divisão de um segmento feita de acordo com essa proporção é denominada divisão
áurea, a que Euclides chamou divisão em média e extrema razão. O matemático Luca
Pacioli a chamou de secção divina, e Leonardo da Vinci, de secção áurea.

        2.4.1.1 – Construção da Seção Áurea

        1º. Processo:

       Sobre a reta AB levanta-se no ponto B a perpendicular BD, de tamanho igual à
metade de AB. Traça-se a diagonal AD. Com abertura do compasso igual a BD e centro
em D, encontra-se a interseção E. Com abertura AE traça-se o arco que determina o
ponto F. O segmento áureo de AB é o segmento AF.




        2º. Processo:

        Toma-se um quadrado ABCD, que é dividido ao meio. Traça-se a diagonal da

69
  O número de ouro Φ é um número irracional dado pela relação (1 + √5)/2 , cujo valor aproximado é
1,618033989.


                                                                                               75
metade. Com abertura do compasso igual a EC e com centro em E, traça-se o arco que
determina o ponto F. O segmento áureo de AF é o segmento AB.




        2.4.1.2 – O “Gnômon”

      O “gnomon” é uma figura geométrica que, quando associada a outra figura
geométrica, resulta numa figura semelhante70 a ela.

        1) Construir o gnômon de uma figura dada:

        Solução:

        1. No quadrado ABCD traça-se a diagonal.
        2. Com abertura do compasso igual a AD e centro em A, traça-se o arco que
           determina o ponto E. A parte ADG’EF’B é chamada “gnômon”. O ponto C
           é parte do quadrado EG’CF’, que é semelhante ao quadrado ADCB.




        2.4.2 – Divisão de Segmentos

        1) Dividir um segmento AB em média e extrema razão.

        Solução:71

        1.   Levanta-se uma perpendicular por uma das extremidades do segmento (B).
        2.   Marca-se BO igual à metade de AB.
        3.   Com centro em O traça-se uma circunferência de raio BO.
        4.   Unem-se os pontos O-A.
        5.   Com centro em A e raio AQ traçar um arco que determina o ponto X em AB.
        6.   O ponto X divide o segmento AB em média e extrema razão.

70
   A similitude central ou homotetia é a transformação geométrica que permite reduzir ou ampliar figuras,
sem que elas percam sua semelhança. Assim, dois objetos são semelhantes se um for transformado em
escala a partir do primeiro, seja por redução, ampliação ou igualdade.
71
   Veja-se no Apêndice V as considerações matemáticas a respeito desse processo.


                                                                                                      76
      2) Achar a média proporcional de dois segmentos de retas dados, AB e BC.




      Solução:

      1.   Marca-se sobre uma linha os dois segmentos sucessivos, AB e BC.
      2.   Divide-se AC ao meio, encontrando o centro O.
      3.   Com centro em O e raio OA, traçar a semicircunferência.
      4.   Levanta-se uma perpendicular a AC no ponto B, encontrando o ponto D. O
           segmento BD é a média proporcional entre AB e BC.




      3) Determinar a terceira proporcional entre dois segmentos dados, AB e BC.




      Solução:

       Sejam as duas retas AB e BC respectivamente o extremo e a média proporcional
entre dois segmentos.

      1. Sobre uma linha qualquer, marca-se o comprimento AB.
      2. Pelo ponto B levanta-se uma perpendicular e marca-se sobre esta o
         comprimento BC.
      3. Ligam-se os pontos C e A.
      4. Traça-se a perpendicular a AC, que corta AB no ponto O.
      5. Com centro em O e raio OA, traça-se a semi-circunferência que determina
         sobre a linha o ponto D. O segmento BD é a terceira proporcional procurada.




                                                                                   77
      4) Determinar a quarta proporcional de uma proporção cujos termos conhecidos
possuem valores correspondentes a três segmentos dados, AB, BC e AD.




      Os segmentos estão na seguinte proporção: AB:BC::AD:x

      Solução:

      1.   Traça-se uma linha auxiliar AY, com inclinação qualquer.
      2.   Determina-se a distância AD sobre AY.
      3.   Interliga-se D com B.
      4.   Paralelamente a DB, passando por C, determina-se o ponto E sobre AY. O
           segmento DE é a quarta proporcional procurada (x = DE).




      2.4.3 – Divisão Harmônica e Homologia

      1) Dividir harmonicamente um segmento em uma razão dada.




       Seja OA o segmento e x e y os comprimentos, que exprimem uma razão
qualquer.

      Solução:

      1. Pelas extremidades A e O do segmento traçar duas paralelas quaisquer.
      2. A partir de A marca-se o valor x, e a partir de O, o valor y, encontrando-se os
         pontos X e Y.
      3. Unem-se os ponto X e Y, prolongando para encontrar o ponto B.


                                                                                     78
       4. Prolonga-se para baixo a linha OY, de modo que OC seja igual a OY.
       5. Unem-se os pontos X e C, determinando o ponto H. Os pontos H e B
          dividem (um internamente e o outro externamente) o segmento OA na
          mesma razão dos segmentos x e y.72




       2.4.4 – Divisão em Partes Iguais e Proporcionais

       1) Dividir um segmento AB em n partes iguais.

       Solução:

       1. Seja n igual a cinco. A partir da extremidade A traça-se uma reta AC
          qualquer.
       2. Também a partir da extremidade, com um raio arbitrário, marcam-se cinco
          pontos sucessivos, 1 a 5.
       3. Unem-se os pontos 5-B, e traçam-se paralelas passando pelos pontos 4, 3, 2
          e 1, determinando assim cinco partes iguais no segmento AB.




       2) Traçar três circunferências tangentes entre si, de forma que a soma de seus
diâmetros seja igual a um segmento AB dado.



       Solução:


       1. Dividir o segmento em seis partes iguais (pelo processo dado).73
       2. Tomar como centro de cada circunferência os números ímpares e raio igual
          ao segmento A1.



72
   Dividem harmonicamente o segmento OA. Assim, os pontos A, O, H e B constituem uma divisão
harmônica.
73
   Para melhor visualização, omitiu-se o processo de divisão.


                                                                                         79
           3) Dado um segmento m, obter o segmento x = m√7.

           Solução:

           1.   Divide-se um segmento AB arbitrário em sete partes iguais.
           2.   Traçada a semicircunferência sobre o ponto médio, encontra-se o ponto B1.
           3.   Traça-se o segmento AB1, prolongando (AB1 = m’).
           4.   Determina-se a distância m a partir do ponto B1.
           5.   Traça-se uma paralela pelo ponto E, encontrando a interseção F. A distância
                BF é igual ao valor de x procurado.




      Justificativa: Sendo AB = m’√7, dividindo membro a membro tem-se:
m’:m::AB:x.74
      A incógnita x é encontrada pela 4ª. proporcional.

           4) Dividir um segmento AB em partes proporcionais aos números a, b e c.

           Solução:

           1. Traçar uma reta qualquer AC.
           2. A partir da extremidade A, marcar sucessivamente AD = a (ou a.x), DE = b
              (ou b.x), EF = c (ou c.x).
           3. Unir os pontos F e B, e traçar as paralelas a FB, determinando assim os
              segmentos proporcionais em AB.




           5) Dividir um segmento dado em três partes iguais.

           Solução:

74
     Da relação: m’:AB::m:x.


                                                                                        80
        Seja AB o segmento dado. Sobre uma reta suporte r, a uma distância qualquer,
traçar outro segmento A’B’ de mesma medida AB.
        Encontrar o ponto médio C deste segundo segmento.
        Interligar os pontos A-B’ e B-C. O segmento DE encontrado corresponde a um
terço do segmento AB.




      6) Dividir um segmento dado em duas, três e cinco partes iguais.

      Solução:

      1. Seja AB o segmento dado. Construído um retângulo qualquer AA’BB’,
         encontrar os pontos médios A” e B”.
      2. Traçar as diagonais A’B e AB”.
      3. Traçar os segmentos CD (equivalente à metade de AB) e EF (equivalente a
         um terço de AB).
      4. Interligar os pontos AD, e traçar o segmento GH (equivalente a um quinto do
         segmento AB).




       7) Dado o segmento de medida igual a a, encontrar o seu inverso (de medida
      1
igual a /a).

      Solução:

      1.   Toma-se AB igual a a.
      2.   Traça-se AC ┴ AB (AC perpendicular a AB) e AC igual à unidade (= 1).
      3.   Unem-se os pontos C e B, e traça-se CD ┴ CB, obtendo-se o ponto D.
      4.   No triângulo BCD a altura AC é média proporcional entre os dois segmentos
           que ela determina na hipotenusa:

      (AC)2 = DA.AB         ou     1 = DA.a      ou      DA = 1/a




                                                                                 81
       8) Dado o segmento de medida a, determinar os segmentos de medidas a√2, a√3,
a√4, a√5, etc.

      Solução:

      1. Toma-se AB = a, BC ┴ AB e BC = a.
      2. No triângulo ABC, AC = a√2. Em seguida, traça-se CD ┴ AC e toma-se CD
         = a. No triângulo ACD, AD = a√3.
      3. Sucessivamente, encontra-se AE = a√4 (ou 2a), AF = a√5, etc.




      Caso especial: se a = 1, encontram-se os diâmetros √2, √3, √4, √5, etc, que se
podem construir assim:




      2.4.5 – Escala Numérica e Escala Gráfica

      2.4.5.1 – Escala Numérica

       Escala numérica: é a razão existente entre um comprimento qualquer       no
desenho e o comprimento real       representado por .
       Deste modo, se um comprimento de 13 metros está representado no desenho por
2,6 cm, a escala desse desenho será igual a:

e = 2,6 = 1          = 1:500
    1300  500


      De um modo geral: e =        .




                                                                                 82
           de onde:         =         ; e:       = e.      .
                                e

       Como a figura desenhada e o objeto representado são semelhantes, conclui-se
que a escala é a razão de semelhança dessas figuras.

      De um modo geral, a escala numérica é representada por uma fração cujo
numerador é a unidade e cujo denominador é 10 ou 5, ou múltiplo desses números.

           2.4.5.2 – Escala Gráfica

       A escala gráfica é dada por um segmento de reta por meio do qual pode-se
determinar um comprimento real, conhecendo-se o comprimento correspondente no
desenho.
       A escala gráfica é a representação gráfica de um escala numérica.
       A escala gráfica pode ser:

           1. Escala gráfica simples ou ordinária.
           2. Escala gráfica decimal ou das transversais.

           1) Construir a escala gráfica ordinária para a escala numérica 1:50.75

           Na escala dada, 1 metro é representado por 2 cm.76

           Solução:

       1. Marca-se em uma reta: AB = BC = CD = ... = 2 cm
       2. Toma-se a origem em B, que passa a ser 0, e numeram-se as divisões seguintes.
          A divisão BA à esquerda é dividida em dez partes iguais.

           Tem-se, então:

           BC = CD = DE = ... representando 1 metro.
           BN = 0,1 AB representando 0,1 m ou 1 dm.




           2) Construir uma escala de transversais cujo título é 1:25.

           Na escala dada, 1 metro é representado por 4 cm. Por esta razão, adota-se, para

75
     A razão 1:50 é também chamada título da escala gráfica.
76
     Tem-se: 100/50 = 2 (2 cm).


                                                                                       83
representar 1 m, um comprimento de 4 cm.

          Solução:

     1. Tomar AB = BC = CD = DE = ... = 4 cm.
     2. Dividir AB em dez partes iguais.
     3. Traçar por A, B, C, D, E, ... , as perpendiculares à reta AB.
     4. Marcar na perpendicular tirada de A, dez vezes um comprimento qualquer A1, e
        traçar pelos pontos assim obtidos 1, 2, 3, 4, ... , 9 e M as paralelas a AE.
     5. Tomar ON = B1, unir N a B e traçar pelos outros pontos da divisão de AB as
        paralelas a BN. Tem-se assim, também, OM dividido em dez partes iguais.

       Na escala construída, os segmentos AB = BC = CD, etc., representarão a
unidade (1 metro, no caso); B1 será 0,1 da unidade, ou seja, 1 dm, e mn representará
0,06 da unidade, pois:

          mn = Bm                mn = 0,06.OB = 0,06.u
          ON   OB             0,1.AB    OB




       Como exemplo de aplicação de escala construída, o segmento PQ nela marcado
representará 3,58u, ou 3,58 metros, no caso.

          2.5 – Traçado de Ângulos

          1) Traçar um ângulo igual (congruente) a outro ângulo dado.77

          Solução:

          1. Seja AOB o ângulo dado.
          2. Com centro em O e raio qualquer OA, traçar o arco AB.
          3. Com centro em O’ traçar um arco de mesmo raio, e com centro em C, marcar
             CD igual a AB.
          4. Traçar o vértice que passa por O’ e D.




77
  E o mesmo que fazer o transporte de um ângulo dado. Transportar um ângulo, então, significa construir
outro ângulo congruente ao ângulo inicial.


                                                                                                    84
           2) Encontrar a bissetriz do ângulo dado.78

           Solução:

           1. Dado o ângulo AOB, com raio qualquer, traçar o arco CD.
           2. Com centro em C e D e raio pelo menos duas vezes maior que OC encontra-
              se o ponto E, na intercessão dos arcos traçados.
           3. Traçar a bissetriz OE.




           3) Dividir um ângulo reto (igual a 90º) em três ângulos iguais.

           Solução:

           1. No ângulo reto AOB, traçar com raio qualquer um arco.
           2. Com o mesmo raio, com centro em A’ e B’, marcar dois pontos no arco que
              determinam as divisões buscadas.




           4) Dividir um ângulo qualquer em três partes iguais.

           Solução:

           1º. Processo:

       1. Com centro em O e raio qualquer traçar uma circunferência auxiliar.
       2. Prolongar os lados do ângulo, obtendo os pontos C e D na circunferência.

78
     Se o ângulo vale 90º, a bissetriz o divide em dois ângulos iguais de 45º.


                                                                                     85
       3. Traçar a bissetriz do ângulo e tomar EF = OE.
       4. Unir o ponto F aos pontos C e D, obtendo na circunferência os pontos G e H,
          que dividem o arco AB dado em três partes aproximadamente iguais.




           Justificativa:79

           Seja:

           AÔB = 2a ;
           HÔE = x ;
           EÔG = x ;
           HÔG = HÔE + EÔG = 2x = HÔG ,

sendo 2x o ângulo obtido pela construção feita.




           No triângulo OGF, a lei dos senos dá:

                  2r        =               r             ,   ou:
            sen 1/2 (a + x)          sen 1/2 (a – x)

           sen 1/2 (a – x) = 1
           sen 1/2 (a + x)   2

           Desenvolvendo:



79
     Veja-se a solução ao problema da trissecção do ângulo qualquer no Apêndice IV.


                                                                                      86
        sen a/2 . cos x/2 – sen x/2 . cos a/2 = 1
        sen a/2 . cos x/2 + sen x/2 . cos a/2   2

               Dividindo por cos a/2.sen x/2 , resulta:

       tg a/2 – tg x/2 = 1 , de onde resulta:
        tg a/2 + tg x/2   2

       tg x/2 = 1/3 tg a/2   (1)

       Observação:

       Para 2a = 45o , a equação (1) dá 2x igual a 15º 08’ , ao invés de 15º. Percebe-se
então que (por esta construção) a divisão em três ângulos não é exata.80

       2º. Processo: (a solução pessoal do autor está contida no Apêndice IV)

       5) Traçar um ângulo de 75º, usando somente o compasso e a régua.

       Solução:

       Na construção anterior, determina-se a bissetriz de um dos ângulos, encontrando
assim a reta OC, e por conseqüência, o ângulo AOC de 75º.




       6) Traçar um ângulo obtuso de 135º, usando somente o compasso e a régua.

       Solução:

       Basta tomar no ângulo raso (180º) o ângulo reto e uma bissetriz.




80
  E isto viria a comprovar, em tese, a impossibilidade de trissectar o ângulo apenas com régua e
compasso.


                                                                                             87
       2.6 – Construção de Polígonos

       1) Construir um triângulo, sendo conhecidos os três comprimentos.




       Solução:

       1. Sobre o segmento a, a partir de cada extremidade (C e B) e com raios
          respectivos b e c, encontra-se o ponto A.
       2. Interligam-se os pontos A-C e A-B.




       2) Construir um triângulo, sendo dados a base AB e um ângulo externo (135º) .



       Solução:

       1. Sendo o ângulo externo igual a 135º, o ângulo interno é igual a 45º. Constrói-
          se o ângulo sobre o segmento AB, em sua extremidade B.
       2. Sobre a origem A, levanta-se uma perpendicular até encontrar o segmento
          que é o lado (hipotenusa) do ângulo traçado, no ponto C.




        3) Construir um triângulo isósceles cujo ponto interno O esteja a X cm do ponto
b´, a Y cm do ponto c´ e a Z cm do ponto a´. São dados: X = 6, Y = 7 e Z = 8.

       Solução:

       1. Traçam-se três circunferências concêntricas com raios iguais a X, Y e Z cm e
          três segmentos OA, OB e OC separados por ângulos de 60o.
       2. Com os valores dados, a distância Ob´ compreende a distância pedida de 6
          cm. Traça-se b´c´ (cuja distância Oc´ é igual a 7 cm).
       3. A mediatriz h levantada é também a bissetriz do triângulo a´c´b´, sendo


                                                                                      88
        então a distância Oa´ igual a 8 cm.




     2.7 – Equivalência de Áreas e de Figuras

     1) Construir um triângulo equivalente a um quadrilátero qualquer dado.

     Solução:

     Seja ABCD o quadrilátero dado.

1.   Traçar uma diagonal qualquer BD.
2.   Traçar por C a paralela a BD.
3.   Prolongar AD até encontrar a paralela em E.
4.   O triângulo BDE é equivalente ao triângulo BCD (porque possuem a mesma
     base e a mesma altura). Portanto, o triângulo ABE é equivalente ao quadrilátero
     ABCD.




     2) Construir um triângulo equivalente a um pendtágono qualquer dado ABCDE.

     Solução:

1.   Unir um vértice qualquer A aos vértices C e D.
2.   Prolongar o lado CD e traçar por B a paralela a AC, obtendo B’.
3.   Traçar por E a paralela a AD, obtendo E’.
4.   O triângulo AB’E’ tem área igual à do pentágono dado ABCDE.




                                                                                 89
      3) Construir um triângulo equivalente a um polígono regular qualquer.

      Solução:

   1. Tomar CD = 2p.
   2. Tomar EF perpendicular a CD e EF = OM = a.
   3. Área triângulo = área polígono = p.a (semiperímetro x apótema).




        4) Construir um retângulo conhecendo-se uma das dimensões a e cuja área seja
igual à área de um quadrado de lado L.

      Solução:

      Seja ABCD o quadrado dado.

   1. Unir E ao ponto B.
   2. Traçar por D a paralela a BE, obtendo o ponto F no lado AB.

      A outra dimensão do retângulo será AF, porque: AF = AD ,
                                                     AB AE

      ou:   AB2 = AF.AE.




                                                                                 90
        5) Construir um triângulo eqüilátero equivalente a um triângulo dado ABC.

        Solução:

   1. Constrói-se o triângulo eqüilátero ACD, traçando a altura DE desse triângulo.
   2. Tomar DE como diâmetro de uma circunferência.
   3. Traçar por B a perpendicular a DE, obtendo o ponto G na circunferência, e o
      ponto F em DE.
   4. Com centro em E e raio EG, obter o ponto H em DE.
   5. Traçar por H as paralelas a AD e DC.
   6. O triângulo HIJ é eqüilátero e equivalente ao triângulo ABC dado.

        Justificativa:

           HEI ≈         ADE     HE = EI
                                 DE AE

           EFG ≈         DEG      EG = EF
                                  DE EG

            EI = EF       ;    EG = HE ,
            AE HE

        e portanto:

        AE.EF = EI.HE ou: área        ABC = área     HIJ.




       6) Construir um triângulo conhecendo-se uma altura e sabendo-se que ele é
equivalente a outro triângulo dado ABC.

        Solução:
   1.   Com centro em B e raio igual à altura dada, traçar um arco.
   2.   Do ponto A, traçar a tangente ao arco.
   3.   Traçar por C a paralela a AB, obtendo o ponto D.
   4.   O triângulo ABD é equivalente ao triângulo ABC, porque tem base igual (AB) e
        altura igual.




                                                                                    91
       7) Construir um quadrado equivalente a um círculo dado de raio R (quadratura
do círculo).

        1ª. Solução:

        A solução deve ser aproximada, devendo ter-se:

        πR2 = L2          L2 = (πR).R

      (O lado do quadrado é a média proporcional entre o raio R da circunferência e a
metade do comprimento da circunferência).

   1.   Tomar AB igual à metade do comprimento da circunferência.
   2.   Tomar AC = R.
   3.   Traçar uma circunferência tendo CB como diâmetro.
   4.   Traçar AD perpendicular a CB, de onde: AD2 = AC.AB = R.(πR);.




        2ª. Solução (a solução pessoal do autor será vista no Apêndice IV).


        8) Encontrar um quadrado equivalente à soma de dois outros quadrados.

        Solução:

       É uma aplicação direta do teorema de Pitágoras (a2 = b2 + c2), sendo a
hipotenusa a o lado do quadrado equivalente, e os lados b e c os lados dos dois
quadrados.




                                                                                  92
        9) Encontrar um quadrado equivalente à área de três outros quadrados iguais
entre si.

           Solução:

      O quadrado C4 é a soma dos quadrados C1 e C2, e junto com C3 dá origem ao
quadrado C5, soma dos três quadrados.81




        10) Encontrar um círculo equivalente à soma das áreas de outros dois círculos de
raios desiguais entre si.

           Solução:

           1. Traçar um triângulo retângulo, considerando que os lados AC e AB sejam os
              raios dos círculos dados.
           2. A hipotenusa CB corresponde ao raio do círculo procurado.




81
     Veja-se o item 2.17.


                                                                                     93
        Justificativa: considere-se um triângulo de lados iguais unitários (raio = 1).
Deste modo, a hipotenusa é igual a √2. Se as áreas de cada círculo valem π.r2 = π.12 = π,
e a soma das áreas vale π + π = 2π, então a área do círculo cujo raio é igual à hipotenusa
vale π.r2 = π.(√2)2 = 2π.82




           11) Encontrar um quadrado equivalente à área de um retângulo dado ABCD.

           Solução:

           1. Com centro em A projeta-se o ponto D até encontrar o ponto E, na extensão
              da reta AB.
           2. Encontrar o ponto O, mediano da reta EB e centro da semicircunferência a se
              traçar.
           3. Estender o segmento AD até encontrar o ponto F na semicircunferência
              traçada, e encontrando o segmento AF, que é o lado do quadrado procurado.




           12) Traçar círculos equivalentes ao dobro e ao triplo de um círculo dado de raio
OA.

           Solução:

           1. Traçar por A a perpendicular ao raio OA.
           2. Tomando AC = OA, encontra-se o raio OC do círculo dobrado.
           3. Tomando CD = CB, encontra-se o raio OD do círculo triplicado.83


82
     Idem, nota anterior.
83
     Na seqüência podem ser encontrados o quádruplo, quíntuplo, etc., do círculo dado.


                                                                                         94
      Justificativa:

       No triângulo OAC tem-se: (OC)2 = (OA)2 + (AC)2 = 2.(OA)2, portanto: π.(OC)2
= 2.π.(OA)2
       No triângulo OAD tem-se: (OD)2 = (OA)2 + (AD)2 = (OA)2 + 2.(OA)2, portanto:
(OD)2 = 3.(OA)2 , de onde: π.(OD)2 = 3.π.(OA)2.




      13) Traçar um círculo equivalente à metade de um círculo dado de raio OA.

      Solução:

   1. Traçar a mediatriz do raio OA do círculo dado.
   2. Marcar BM = AM.

      OB é o raio do círculo procurado.

      Justificativa:



      ou:              ,


      ou:




       14) Construir um círculo equivalente a um quadrado dado ABCD (problema
inverso ao de número 7).



                                                                                  95
      Solução:

      Deve-se ter L2 = πR2 , de onde R ≈ L ≈ 0,564L.
                                         √π

      1. Tomar o ponto médio M do lado AD e uni-lo ao ponto C.

      Justificativa:

      No triângulo CMD, tem-se:

      CM2 = L2 + L2 ,
                 4

      ou: CM = L√5        ,
                2

      ou: CM = 0,559L.
           2

       Portanto, é possível tomar CM/2 como raio do círculo equivalente ao quadrado
dado, com um erro cometido de aproximadamente 0,005L, por falta.




       15) Por um ponto D sobre o lado de um triângulo ABC, traçar uma reta que
divida este triângulo em duas figuras equivalentes.

      Solução:

   1. Unir D a C e traçar por B a paralela a DC, que encontrará o prolongamento de
      AC em E.
   2. Achar o ponto médio M de AE.
   3. O triângulo ADM e o quadrilátero BDMC são equivalentes.

      Justificativa:

      Área     ADM = 1AM.h1 = AE.h1           (1)
                     2        4

         ADC ≈         ABE : AC/AE = h1/h ou: AE.h1 = AC.h



                                                                                96
        Substituindo em (1):

        Área     ADM = AC.h = 1 área do       ABC.
                        4     2




        Observações:

        1. Se o ponto D for o ponto médio de AB, então M coincidirá com C.
        2. SE AD for menor do DB, então o ponto médio M será exterior a AC.

        Neste caso:

   1. Traça-se por M a paralela a BE que encontra BC no ponto N.
   Tem-se, então, o triângulo BDN equivalente ao quadrilátero ADNC.




        16) Dividir um triângulo ABC em n partes equivalentes, por meio de paralelas à
base.

        Solução (para n =3):

   2.   Traçar AD perpendicular a AC e igual à altura h do triângulo dado.
   3.   Dividir AD em três partes iguais: DE= EG = GA.
   4.   Traçar uma semicircunferência de diâmetro AD.
   5.   Traçar por E e G as perpepndiculares a AD.
   6.   Com centro em D e raios respectivamente DF e DH, obter os pontos M e N em
        AD, onde são tiradas as paralelas ao lado AC.

        Justificativa:

        Área do triângulo (1): DF2 = DM2 = DE.DA = h .h
                                                   3



                                                                                   97
       ou:     DM2 = 1            ou:   DM = √3
                h2   3                   h    3

          (1) ≈      ABC: x = DM = √3 , de onde: x = b. √3
                          b    h   3                    3

       Área       (1) = x.DM = b.√3.√3.h = b.h          igual a um 1/3 da área do   ABC
                          2     2.3.3       6

       Área       (1) +   (2) = y.DN = 1 . √(2/3).h.√(2/3).b = 2b.h        2/3 do   ABC.
                                  2    2                        6

       Portanto, a área do trapézio (2) é igual a um terço da área do triângulo ABC.




       17) Construir círculos equivalentes ao dobro, triplo, etc. de um círculo dado de
raio OA.

       Solução:

   1. Traçar por A a perpendicular ao raio OA.
   2. Tomar AC = AO.
   3. Tomar CE = CB, e EF = ED, etc.

       OC é o raio do círculo de área dupla.
       OE é o raio do círculo de área tripla.
       OF é o raio do círculo de área quádrupla, etc.

       Justificativa:

       No      OAC:        OC2 = OA2 + AC2 = 2.OA2 , logo:          π.OC2 = 2.π.OA2

       No      OAE:        OE2 = OA2 + AE2 = OA2 + 2. OA2 ,

       logo:   OE2 = 3.OA2 , de onde: π. OE2 = 3.π.OA2              ,

       e assim por diante.




                                                                                       98
      18) Dividir um círculo de raio OA em n partes equivalentes por meio de círculos
concêntricos.

       Solução (para n=3):

   1. Dividir OA em três partes iguais.
   2. Traçar uma circunferência cujo diâmetro é OA.
   3. Pelos pontos de divisão de OA, traçar perpendiculares a OA, obtendo D e E na
      circunferência.
   4. Com centro em O e raios OD e OE, traçar as circunferências pedidas.

   Justificativa:

   CD2 = OB.OA =.1OA2
                 3
     2
   OE = OC.OA = 2.OA2
                   3




       19) Dividir uma coroa circular em duas coroas equivalentes, sendo dados R e r.

       Solução:

       Construir o triângulo retângulo OAB cujos catetos são OA = B e AB = r.
       Traçar a mediatriz de OB e marcar nela MN = OM.
       Com centro em O e raio ON, traçar a circunferência que divide a coroa dada em
duas outras equivalentes.



                                                                                    99
   Justificativa:

   No     OMN: ON2 = OM2 + MN2 = 2.OM2 = 2.(OB)2
                                             2
     2      2  2
   ON = 1.(R +r )
        2

   Área da coroa (1): π.OA2 – π.ON2 = π.R2 – π.1.(R2 +r2)
                                               2

   = 1.π.(R2 – r2) = metade da área da coroa dada.
     2




   2.7.1 – Construção de Figuras Semelhantes

   1) Construir um retângulo semelhante a outro, sendo 2 a razão de semelhança.
                                                       3
   Solução:

   Seja ABCD o retângulo dado.

1. Dividir AD em duas partes iguais.
2. Marcar AM = MD = DE.
3. Traçar por F a perpendicular a AE até encontrar a diagonal AC prolongada, no
   ponto F.
4. AEFG será o retângulo pedido.




                                                                              100
      2) Construir um polígono semelhante a outro de modo que a razão de
semelhança seja 3.
                7

      Seja ABCDE o polígono dado.

   1. Dividir AE em três partes iguais.
   2. Marcar AM igual a sete dessas partes.
   3. Traçar por M a paralela a DE até encontrar o prolongamento da diagonal AD em
      N.
   4. Traçar por N a paralela a DC até enocntrar o prolongamento da diagonal AC em
      F.
   5. Assim por diante.




      2.8 – Simetrias e Homotetias

      1) Construir a figura simétrica central (em relação ao ponto O) da figura ABC.

      Solução:

      1. Em relação ao ponto central O, determinar os pontos simétricos A’, B’ e C’.
      2. Interligar os pontos homólogos, passando pelo centro O.




      2) Construir a figura simétrica axial à figura ABC.

      Solução:

      1. Em relação à reta axial, determinar os pontos simétricos A’, B’ e C’.
      2. Interligar os pontos simétricos.


                                                                                  101
      3) Traçar o caminho que a bola A deve percorrer para bater na bola B, tocando
uma vez em cada lado da mesa.

       Solução:

   1. Determinam-se os pontos simétricos A’ e B’.
   2. Interligam-se os pontos A’ e B’.
   3. Determinar a trajetória pela interligação interna com os pontos interceptados.




       4) Determinar os centros de homotetia de duas circunferências interiores e não
secantes.

       Solução:

       Sejam as duas circunferências de centro O e O’ abaixo.

   1. Traçar o raio OA da maior, e paralelo a ele, o diâmetro BC da menor.
   2. Unir os pontos O e O’ das curvas.
   3. Ligar A com B, obtendo o ponto 1 (centro de homotetia direta) no encontro
      desta linha com o prolongamento do suporte dos centros.
   4. Unir os pontos A e C, obtendo no mesmo suporte o ponto 2, que é o centro de
      homotetia inversa dos dois círculos.




                                                                                       102
   5) Determinar o centro radical de três circunferências.

   Solução:

   Sejam os círculos de centros A, B e C a seguir.

1. Com centro em lugar arbitrário entre eles (o), traçar uma circunferência secante
   aos círculos dados.
2. Unir os pontos de secância e prolonga-se estas linhas, determinando assim o
   triângulo 1, 2 e 3.
3. Ligar os centros A, B e C dos círculos dados.
4. Levantar perpendiculares a AC, AB e BC, pelos pontos 1, 2 e 3 aos suportes dos
   centros.
5. As perpendiculares vão se encontrar no ponto R, que é o centro radical dos três
   círculos dados.




   6) Determinar o eixo radical de duas circunferências.

   Solução:

   Sejam as duas circunferências C e c a seguir.

1. Com centro em O e o, que são pontos arbitrários, e com qualquer raio, descrever
   as duas circunferências que vão cortar as anteriores, nos pontos 1-2 e 5-6, e 3-4 e
   7-8.
2. Unir os pontos 1-2 e 5-6, obtendo o ponto R.


                                                                                  103
     3. Unir os pontos 3-4 e 8-7, obtendo o ponto E.
     4. O segmento ER coincide com o eixo radical pedido.




        2.9 – Circunferência

        1) Obter o raio de um arco de circunferência de centro inacessível.

        Solução:

        1. A partir de um ponto O qualquer próximo à extremidade do arco, traçar uma
           linha que intercepta o arco no ponto A.
        2. Com ajuda de um transferidor, traçar o ângulo AOB, com abertura de 30º.
        3. Traçar o segmento AB. Este segmento é a corda do arco central de 60º, que é
           também o raio AB procurado.84




        2.9.1 – Retificação da Circunferência

        Processos de Retificação da Circunferência:85

        1º. Processo (mais simples, mas pouco rigoroso):

        1. Traçar os raios perpendiculares OB e OA.
        2. Com centro em C e raio igual ao da circunferência, encontrar os pontos D e
           E.
        3. Tomar MN = 2(AB + DE).



84
  O triângulo ABO’ é eqüilátero.
85
  A retificação é o processo geométrico que encontra o segmento de comprimento igual a 2πR.
Conhecendo-se o valor de R, podem ser tomados para valores de π os resultados, com tantas casas
quantas se queira, dos números fracionários 22/7 ou 355/113.


                                                                                          104
        Justificativa:

       AB = lado do quadrado inscrito e DE = lado do triângulo eqüilátero inscrito,
portanto:

        AB = R√2 (MN = 2B(√2 + √3) = 2R(1,4142 + 1,732)
        DE = R√3 (MN = 2R x 3,1462)

       O erro cometido é por excesso, com um valor aproximado de 0,0046 x 2R, sendo
portanto inferior a cinco milésimos do diâmetro.

        2º. Processo:

   1.   Traçar o diâmetro AB e traçar por B a perpendicular a AB.
   2.   Com centro em AB e raio BO traçar o arco OC.
   3.   Traçar a mediatriz de BC, obtendo o ponto D na perpendicular.
   4.   Marcar DE = 3R
   5.   Unir E a A e tomar AE como metade do comprimento da circunferência.




        Justificativa:

        No triângulo retângulo BMD o ângulo MBD vale 30º, portanto:

        BD = 2MD e BM = R/2. Pelo teorema de Pitágoras:

        BD2 = MD2 + BM2, e fazendo BD = x, vem:

        x2 = (x/2)2 + (B/2)2   e x = R√3
                                      3

        No triângulo ABE:

        AE2 = AB2 + BE2 , ou:

                                                                               105
            AE2 = (2R)2 + (3R - R√3 )2 , de onde:
                                  3

            AE = R√(40/3 - 2√3) = R√(9,8692231719) , ou:

            AE = 3,14153 x R.

       O erro é por falta, sendo inferior a um décimo milésimo do raio, ou
aproximadamente: 6.10-5 .R.

            3º. Processo:86

       1.   Traçar um diâmetro qualquer AB e traçar por A a perpendicular ao diâmetro AB.
       2.   Tomar AC igual ao diâmetro AB, ou seja, AC = 2R.
       3.   Dividir o raio OA em cinco partes iguais e tomar CD = 1/5R e DF = 2/5R.
       4.   Tomar AE = OD e traçar por E a paralela à reta OF, obtendo o ponto G.
       5.   Tomar AG = 2π/R, ou seja, toma-se AG como comprimento da circunferência
            dada.




            Justificativa:

            Tem-se:     AOF ≈       AEG , portanto: AF = AO e:
                                                    AG AE

            AG = AF(AE)
                    AO

            Substituindo AF, AE e AO pelos seus valores indicados, tem-se:

86
     É um processo devido ao matemático Specht, e dá uma precisão muito boa.


                                                                                     106
      AG = 13√146.R     = 2R(13√146)
             25              50

       Calculando a expressão entre parênteses, obtem-se o número 3,1415919 para o
valor de π. Com sete casas decimais, o valor correto de π é igual 3,1415926. Sendo
assim, o erro cometido é por falta, sendo inferior a um milionésimo de diâmetro.

      4º. Processo: (a solução pessoal do autor será vista no Apêndice IV).

      2.9.2 – Retificação de um Arco de Circunferência

      1) Retificar um arco AB de circunferência menor ou igual a 90º.




   1. Traçar o diâmetro AC e tomar CD igual a ¾ do raio da circunferência.
   2. Traçar por A a perpendicular ao diâmetro AC.
   3. Unir D ao ponto B e obter E na perpendicular traçada.

      AE é aproximadamente o comprimento do arco AB dado.

      Justificativa:




      Por construção: AD = 11.R , ou seja, 2R mais 3 de R.
                           4                       4

      No triângulo ADE:

      AE = AD.tg β = 11/4.R.tg β (1)

      Aplicando a lei dos senos no triângulo OBD, tem-se:

       OD = OB         , portanto:     7R =   R
      sen γ sen β                    4sen γ sen β



                                                                              107
            sen γ = 7
            sen β   4

           No triângulo OBD, tem-se: α = β + γ , ou: γ = α – β . Portanto:

           sen (α – β) = 7
              sen β      4

           sen α . cos β – sen β . cos α = 7          , ou:
                      sen β                4

           sen α – cos α = 7 , de onde:
            tg β           4

           tg β =      4 sen α _
                      7 + 4cos α

           Substituindo estes valores, obtem-se:

           AE = 11.sen α
                7 + 4cosα

                                       = πRα
           Valor do arco, pela geometria:
                                         180º
      Podem ser feitas então as seguintes verificações, para se ter uma idéia da
aproximação fornecidade pelo processo:

      1) Para α = 90º , tem-se AE = 11R = 1,57142.R , e arco                        = π.R ≈
                                     7                                                2
1,57079R , sendo o erro por excesso inferior a 0,0007.R

       2) Para α = 45º , tem-se AE = 0,7909.R e arco                        = 0,7854.R. O erro é de
aproximadamente 0,0055.R.

           2.9.3 – Divisão da Circunferência.

           1) Dividir um ângulo em um número n qualquer de partes iguais.

           Solução:

           Seja, por exemplo, n = 5.87

       1. Retificar o arco AB do ângulo.
       2. Dividir o segmento AE, obtido na retificação do arco, em cinco partes iguais.
       3. Unir os pontos de divisão ao ponto D.
          O arco ficará dividido aproximadamente em cinco partes iguais.



87
     Trata-se de uma construção aproximada, para n diferente de 2 ou de potência de 2.


                                                                                               108
           2) Dividir uma circunferência em n partes iguais.88

       1. Dividir o diâmetro AB qualquer em n partes iguais.
       2. Com centro em A e depois em B e raio AB, obter os pontos C e D.
       3. Unir os pontos C aos pontos de divisão 0, 2, 4 e 6 ou aos pontos 1, 3 e 5,
          obtendo os pontos A, E, F e G, que dividem a circunferência.
       4. Unir o ponto D aos mesmos pontos em que se uniu o ponto C.




           3) Dividir uma circunferência em quatro partes iguais.

           Solução:

       •   Basta traçar dois diâmetros perpendiculares entre si, encontrando os pontos A,
           B, C e D.




       4) Dividir a circunferência em 5 partes iguais (construir um pentágono
regular).89

88
     Processo geral, devido a Bion.
89
     Realizado pelo matemático H. W. Richmond, em 1892.


                                                                                     109
        Solução:

        1. Seja XA o diâmetro do círculo com centro em O.
        2. Escolher P a meio caminho do raio perpendicular a XA.
        3. Traçar a bissectora do ângulo APO na intersecção de Q com XA, e um
           bissector externo na intersecção com XA, em R.

       Se A é tomado de um dos vertices do pentágono regular, Q e R são as projeções
dos outros quatro em XA. Eles podem ser obtidos traçando as perpendiculares a XA em
Q e R.




        5) Dividir uma circunferência em cinco e em dez parte iguais.

        Solução:

        Traçar dois diâmetros perpendiculares, AB e CD.
        Dividir o raio OB ao meio, obtendo o ponto M.
        Com centro em M e raio MC, traçar um arco e obter o ponto E.

        CE é o lado do pentágono regular inscrito.
        OE é o lado do decágono regular inscrito.




        6) Dividir uma circunferência em seis partes iguais e inscrever um hexágono.90

        Solução:


90
  Deve-se notar que o processo de divisão da circunferência é o mesmo que permite inscrever polígonos
regulares na circunferência (polígono regular inscrito). Outros problemas serão vistos no próximo item.


                                                                                                  110
       1. Iniciando no extremo do diâmetro, marcar sucessivamente sobre a circunferência
          distâncias iguais ao raio.
       2. Interligar as divisões encontradas.




          7) Dividir uma circunferência em sete partes iguais.

          Solução:91

       1. Traçar um raio qualquer OA.
       2. Traçar a sua mediatriz, que encontra o segmento OA em M e a circunferência
          em B.
       3. Tomar BM como lado do heptágono regular.




          Cálculo do erro cometido por tomar o segmento BM como o lado do heptágono:

          Pela trigonometria, o lado AB de um polígono regular de n lados é igual a:

          AB = L e OA = OB = R , e ângulo AÔB = α = 360º
                                                     n




          No triângulo OBM, tem-se:

          BM = OB.sen α ou: L = R.sen 360         ou: L = 2Rsen 180      (1)
                      2     2         2n                         n


       A fórmula (1) é uma fórmula geral que dá o lado de um polígono regular e com
n lados, inscrito em uma circunferência de raio R.

91
     Processo aproximado.


                                                                                       111
       Para n = 7, tem-se:

       L = 2Rsen 360 = 0,8678R
                  7

        Pela construção feita, tomou-se, para o lado do heptágono, a altura do triângulo
eqüilátero OBA. Logo:

       L’ = BM = R√3 = 0,8660R
                    2
       O erro cometido é de L – L’ ≈ 0,0018R, sendo por excesso e inferior a 0,002R.


       8) Dividir uma circunferência em nove partes iguais.

       Solução:

   1. Traçar dois diâmetros perpendiculares, AB e CD.
   2. Com centro em C e raio CO obtem-se o ponto E.
   3. Com centro em D e raio DE obtem-se o ponto F, no prolongamento do diâmetro
      AB.
   4. Com centro em F e raio FC, obtem-se G em AB.
   5. Toma-se AG como lado do eneágono regular.




       Justificativa:




       No triângulo CED:

       DE = √(4R2 – R2) = R√3 = DF

       No triângulo ODF:



                                                                                    112
        OF = √(DF2 – OD2) = R√2
        De onde:

        GO = GF – OF = DF – OF = R√3 – R√2 = R(√3 – √2)

        AG = OA – OG = R(1 + √3 – √2) = 0,6822R

        Pela trigonometria, para n = 9, L = 0,6850R.

         O erro cometido na construção é aproximadamente 0,0028R, sendo um erro por
falta, e inferior a 0,003R.


        9) Dividir uma circunferência em onze partes iguais.

        Solução:

   1.   Traçar dois diâmetros perpendiculares, AB e CD.
   2.   Tomar o ponto médio M do raio OB e uni-lo ao ponto C.
   3.   Traçar a mediatriz de CM, encontrando o ponto E.
   4.   Tomar o segmento CE, que é aproximadamente o lado do polígono de onze
        lados.




        Justificativa:

        Pela trigonometria:

        L = 2Rsen 180º = 2Rsen(16º21’49”) = 0,5635R
                  11

        Por construção: L’ = CE = 1CM = 1√(R2 + R2) = R√5
                                  2     2       4     2

        O erro cometido na construção é por falta e vale aproximadamente 0,0045R.


        10) Dividir uma circunferência em doze partes iguais.

        1ª. Solução:

   1. Traçar dois diâmetros perpendiculares entre si, AB e CD.


                                                                                    113
2. Dividir cada ângulo reto em três partes iguais.

   2ª. Solução:

1. Dividir a circunferência em seis partes iguais.
2. Traçar as mediatrizes de cada ângulo, até encontrar a circunferência.
3. Interligar os pontos encontrados.


   11) Dividir uma circunferência em treze partes iguais.

   Solução:

1. Traçar dois diâmetros perpendiculares entre si, AB e CD.
2. Dividir o raio OC em quatro partes.
3. Interligar o ponto B com o primeiro ponto, N, até encontrar o ponto E na
   circunferência.
4. O segmento AE é o lado aproximado do polígono regular de treze lados.




   Justificativa:

   Pela trigonometria:

   L = 2Rsen 180º ≈ 0,4786R
             13

   Por construção,    ABE ≈    BOM , ou: BN = ON (1)
                                         AB AE

   No triângulo BCN:

   BN = √(R2 + R2) = R√17
                4      4

   Substituindo em (1), vem:

   AE = AB.ON = 2R = 0,4850R
         BN     √17

   O erro cometido é por excesso e vale aproximadamente 0,0064R.



                                                                           114
        12) Dividir uma circunferência em quinze partes iguais.

        Solução:

     1. Tomar AB igual ao raio (lado do hexágono regular)
     2. Tomar o segmento BC (lado do decágono regular inscrito)
     3. O segmento AC é o lado do polígono de 15 lados.




        Justificativa:

       Como AÔB = 60º e BÔC = 36º , tem-se que AÔC = 60 – 36 = 24º .
       AÔC, então, é o ângulo central do pentadecágono regular inscrito na
circunferência, e o segmento AC é o seu lado.


       13) Dividir uma circunferência em 17 partes iguais92 (ou construir um
heptadecágono regular).

        Solução:

     1. Fazer um círculo com centro em O, e escolher um vértice V neste círculo.
     2. Localizar o ponto A no círculo de modo que OA seja perpendicular a OV, e
        localizar o ponto B em OA tal que OB seja 1/4 de OA.
     3. Localizar o ponto C em OV tal que o ângulo OBC seja 1/4 do ângulo OBV.
     4. Achar o ponto D em OV (extendido) tal que DBC seja a metade de um ângulo
        reto.
     5. O ponto E indica onde o círculo em DV corta OA.
     6. Fazer um círculo com centro em C e passando pelo ponto E, sendo que os
        pontos F e G indicam os dois pontos onde o círculo corta o segmento OV.
     7. Levantar perpendiculares a OV nos pontos F e G de modo que encontrem o


92
    A circunferência dividida em 17 partes iguais é o heptadecágono, também conhecida como
heptakaidecagon. Os geômetras gregos antigos devotaram tempo considerável à questão da divisão do
círculo em n partes, com régua e compasso. A divisão em três, quatro e cinco partes (e seus múltiplos),
bem como a construção de um polígono de 15 lados pela combinação do triângulo e do pentágono foi
tudo o que conseguiram. Somente em 1796 o matemático alemão Gauss, então com 19 anos de idade,
descobriu que era possível construir (mas não o construiu) um heptadecágono regular (polígono de 17
lados) usando apenas régua e compasso. A primeira construção foi realizada em 1800 pelo matemático
Johannes Erchinger. Em 1893 o matemático H. W. Richmond realizou outra construção, que é a mostrada
acima.


                                                                                                  115
       círculo principal (que tem centro em O), onde indicarão os ponto V3 e V5.




       Os pontos V, V3 e V5 são os pontos do vértice inicial, terceiro e quinto, de um
heptágono regular. Os demais vértices podem ser encontrados por bissecção (por
exemplo, V4 é encontrado bissectando V3 e V5).

       A área do heptadecágono regular é dada pela expressão:


                        .

       14) Dividir a circunferência, por outro processo, em 17 parte iguais.

       Solução:

       1. Traçar os diâmetros AB e CD.
       2. Encontrar o ponto médio E do raio OD.
       3. Com centro em B e raio BE traçar o arco que corta a circunferência no ponto
          F.
       4. O segmento DF é o lado do polígono inscrito de 17 lados.



                                                                                   116
        2.9.4 – Tangências à Circunferência

        1) Traçar uma tangente a uma circunferência que passe por um ponto P que está
nela.

        Solução:

        1. Traçar um segmento que uma o centro O ao ponto P e determine um ponto
           exterior O’ eqüidistante de P.
        2. Traçar a mediatriz do segmento OO’, determinando assim a tangente que
           passa pelo ponto P.




        2) Traçar uma circunferência tangente internamente a três outras não em linha
reta e com raios desiguais entre si.

        Solução (solução pessoal):

        1. Interligar os centros A, B e C das circunferências.
        2. Levantar as mediatrizes dos segmentos de retas 1-2 e 5-6, que passam pelos
           pontos D e E e determinam o ponto O, centro da circunferência tangente.
        3. Interligando O-A encontra-se o raio OA’.




                                                                                 117
        3) Traçar uma circunferência tangente externamente a três outras não em linha
reta e com raios desiguais entre si.93

       Solução (solução pessoal):

       1. Feita a construção anterior, traçam-se os segmentos que unem o centro ao lado
oposto externo de cada círculo (passando pelo centro de cada um). Determinam-se,
assim, os pontos F, G e H:




       2. Interligam-se os pontos encontrados:




93
   Este problema não deve ser confundido com a questão de determinação do centro radical de três
circunferências (vide item 2.8, problema 5).


                                                                                           118
        3. Levantam-se as mediatrizes dos segmentos G-H e F-H. Encontra-se, assim, o
novo centro O’ (partes do desenho foram apagadas, para melhor visualização).
Interligando O’ com H, encontra-se o segmento O’H, que é o raio do círculo tangente
exteriormente:




      4) Traçar uma circunferência tangente a uma reta e a duas outras circunferências.

      Solução:

      Sejam as circunferências O e O’ e a reta rr’ da figura abaixo.

   1. Traçar um reta auxiliar ra ra’, e distante dela, o raio da circunferência menor.
   2. Descrever uma circunferência auxiliar concêntrica com O, de raio igual à
      diferença de raios entre os círculos O e O’.
   3. Traçar por O uma perpendicular a ra ra’ e que determina os pontos a, b e c.
   4. Unir a a O’, obtendo o ponto S.
   5. Levantar a mediatriz M de O’S.
   6. Prolongar aO’S até cortar a reta auxiliar ra ra’, obtendo o ponto m.
   7. Marcar a distância mp de m para a direita e para a esquerda sobre a reta auxiliar,
      obtendo os pontos 1 e 2.
   8. Levantar por estes pontos duas perpendiculares à reta auxiliar, que determinarão
      sobre rr’ os pontos de tangência, e na mediatriz M os centros C e C1 das duas


                                                                                    119
      circunferências necessárias à resolução do problema.




      5) Determinar o ponto de contato de uma tangente com uma circunferência.

      Solução:

      Seja a circunferência O e a tangente TT’ da figura a seguir.

   1. Unir o centro O a um ponto qualquer X da tangente.
   2. Dividir ao meio a distância XO, obtendo o ponto 2.
   3. Com centro em 2 e raio O2, traçar o arco de círculo que vai cortar TT’ em C,
      que é o ponto de contato pedido.




      6) Traçar uma circunferência tangente a uma reta r em um ponto A e que passe
por um ponto dado B.

      Solução:

   1. Traçar por A a perpendicular a r.
   2. Traçar a mediatriz de AB que encontrará a perpendicular em C, centro da
      circunferência pedida.



                                                                                 120
       7) Traçar uma circunferência que passe por dois pontos dados A e B e seja
tangente a uma reta dada r.

      Solução:

       Por um teorema da geometria, tem-se que CA.CB = CD2. Portanto, para resolver
o problema, basta determinar a média proporcional entre CA e CB.

   1. Tomar CB como diâmetro de um círculo.
   2. Traçar AD perpendicular a CB.
   3. Com centro em C e raio CD, obter na reta os pontos E e E’, os quais serão os
      pontos de tangência das circunferências.
   4. Traçar por E e E’ perpendiculares a r, que irão encontrar a mediatriz de AB em
      O e O’, centros de duas circunferências que resolverão o problema.




       8) Traçar uma circunferência de raio R tangente a uma reta dada t e a uma
circunferência dada de centro O.

      Solução:

   1. Tomar AB perpendicular à reta dada t, e AB igual ao raio dade R.
   2. Traçar por B a paralela a t.
   3. Com centro em O e raio igual à soma do raio dado R e do raio da circunferência
      dada, traçar uma circunferência que corta a paralela traçada em B nos pontos C e
      C’, centros das circunferências procuradas.




                                                                                  121
           9) Traçar com um raio dado R uma circunferência tangente a duas outras.

           São dados:

       •   Circunferência de centro O e raio r.
       •   Circunferência de centro O’ e raio r’.
       •   O raio R.

       1. De O e O’ como centros e com raios respectivamente iguais, tem-se:

               a)   às somas R+r, R+r’
               b)   às diferenças R-r, R-r’
               c)   a uma soma e uma diferença: R+r, R-r’
               d)   a uma diferença e uma soma: R-r’, R+r’.

       2. Com base nos dados, descrever circunferências que se cortam em oito pontos A,
          A’, B, B’, C, C’, D, D’, que serão os centros das circunferências que satisfazem
          à condição imposta.94




       10) Traçar uma circunferência tangente a uma outra dada e a uma reta em um
ponto dado A.

           Solução:

94
     Este problema tem oito soluções, no máximo.


                                                                                       122
     1.   Traçar, de A, a perpendicular à reta dada t.
     2.   Tomar AB = AC = raio da circunferência dada.
     3.   Unir B e C ao centro O da circunferência dada.
     4.   Traçar a mediatriz de OB, obtendo o ponto E.
     5.   Traçar a mediatriz de OC obtendo o ponto F
     6.   Os pontos E e F são os centros das circunferências pedidas.

          Justificativa:

          Tem-se, na figura: OE = OB, e como AB = OD, vem: ED = EA.




          11) Traçar quatro circunferências tangentes a três retas que se cortam duas a
duas.

          Solução:

       Traçar as bissetrizes dos ângulos CBD e BCI, obtendo o ponto O1, centro da
circunferência tangente às retas BC, AB e AC.
       Obter, analogamente, os pontos O2, O3 e O4.95




95
   As circunferências de centros O1, O2 e O3 dizem-se ex-inscritas ao triângulo ABC, e de centro O4,
inscrita.


                                                                                               123
           12) Traçar circunferências tangentes entre si e inscritas em um ângulo dado
BAC.
           Solução:

           Os centros dessas circunferências devem estar na bissetriz do ângulo.

       1. Com centro na bissetriz, traçar uma circunferência qualquer tangente aos lados
          do ângulo.
       2. Do ponto D, onde a circunferência encontra a bissetriz, traçar DE perpendicular
          à bissetriz, obtendo E no lado AC do ângulo.
       3. Com centro em E e raio ED, obter o ponto F.
       4. Traçar por F a perpendicular a AC até encontrar a bissetriz em O’, que é o centro
          de outra circunferência.
       5. E assim por diante.




           2.9.5 – Inscrição de Figuras

           1) Inscrever um quadrado em uma circunferência, sem usar o centro desta.

           Solução:

           1. Com o transferidor, traçar um ângulo de 45º de modo que o vértice toque a
              circunferência e os lados a cortem.
           2. Interligar os dois pontos do arco determinado pelo ângulo, encontrando
              assim a corda que é o lado do quadrado.96




           2) Inscrever um triângulo eqüilátero em uma circunferência.

           Solução:

96
     O ângulo central correspondente é um ângulo reto.


                                                                                       124
        1. Sobre a extremidade inferior do diâmetro traçar, com o mesmo raio, uma
           semi-circunferência auxiliar que determina os pontos A e B.
        2. Interligar os pontos A e B à extremidade superior do diâmetro (ponto C).




        3) Inscrever uma estrela de seis pontas em uma circunferência.

        Solução:

        1. Repetir o procedimento anterior sobre a extremidade superior do diâmetro,
           encontrando os ponto D, E e F.
        2. Interligar estes últimos pontos.




        4) Inscrever um pentágono regular em uma circunferência.

        5) Inscrever um decágono regular em uma circunferência.

        6) Inscrever um pentadecágono regular em uma circunferência.

       A solução dos problemas 4, 5 e 6 consiste, basicamente, em unir os pontos
encontrados quando se divide a circunferência em cinco, dez ou quinze lados iguais,
processo este já visto anteriormente.

        7) Inscrever um quadrado em um triângulo qualquer dado, ABC.

        Solução:

   1.   Construir um quadrado BCDE, tendo o lado BC do triângulo como seu lado.
   2.   Unir D e E ao vértice A fazendo o triângulo DAE e obtendo F e G no lado BC.
   3.   Traçar por F e G perpendiculares a BC, obtendo H em AB e I em AC.
   4.   FGHI é o quadrado pedido.

        Justificativa:




                                                                                 125
         AHI ≈     ABC     HI = AH
                           BC   AB

         AHF ≈      ABD       HF = AH ,
                              HD AB


        de onde: HI = HF ,
                 BC BD

        e como: BC = BD , então: HI = HF.




       8) Inscrever em um triângulo qualquer dado, um retângulo semelhante a outro
retângulo cujos lados medem m e n.

        Solução:

        (A solução implica em construir um retângulo tendo BC por base e semelhante
ao retângulo dado).

   1.   Tomar BD = m e BE = n.
   2.   Traçar uma linha entre os pontos E e D.
   3.   Traçar por B uma perpendicular a BC.
   4.   Traçar por C a paralela a DE, obtendo G na perpendicular a BC.
   5.   Completar o retângulo, encontrando F.
   6.   Unir F e G ao vértice A, obtendo os pontos H e I em BC.
   7.   Traçar perpendiculares a BC, encontrando J e K.
   8.   HIJK é o retângulo pedido.




                                                                               126
        9) Inscrever um quadrado em um semicírculo dado.

        Solução:

   1. Tomar o diâmetro AB do semi-círculo dado como lado de um quadrado ABCD.
   2. Unir C e D ao centro O do semi-círculo, obtendo os pontos E e F na
      circunferência.
   3. Traçar por E e F as perpendiculares a AB, obtendo G e H no diâmetro AB.
   4. EFGH é o quadrado pedido.




        2.10 – Concordância de Retas e Arcos

        2.10.1 – Concordância de Retas

       1) Concordar duas semi-retas paralelas de mesmo sentido nas suas origens A e
B, por meio de dois arcos em concordância entre si.

        Soluções:

        1º. Caso: as duas semiretas possuem sentidos contrários.

   1.   Traçar por A e B as perpendiculares às semi-retas r e s.
   2.   Unir os pontos A e B, encontrando o ponto médio C de AB.
   3.   Traçar as mediatrizes de AC e CB, de modo a interceptarem as perpendiculares.
   4.   Pelos pontos O e O’ encontrados, centros dos arcos pedidos, traçar estes arcos.




                                                                                    127
        2º. Caso: as duas semiretas possuem o mesmo sentido, e b é maior do que d.

   1.   Traçar AM perpendicular a r.
   2.   Tomar AD = BO < d/2.
   3.   Traçar a mediatriz de DO até encontrar o prolongamento de AM em O’.
   4.   Com centro em O’ e raio O’A, traçar o arco AC.
   5.   Com centro em O e raio OC, traçar o arco CB.




        3º. Caso: as duas semiretas possuem o mesmo sentido, com b menor que d.

   1.   Traçar AM perpendicular a s.
   2.   Tomar AC = BM = - b.
   3.   Traçar a mediatriz de CM.
   4.   Com centro em O e raio OA traçar um arco até encontrar a mediatriz em D.
   5.   A partir de B, traçar a perpendicular a s até encontrar a mediatriz em O’, que é o
        centro de outro arco DB.




       2) Concordar dois segmentos de reta AB e Cd paralelas e de comprimentos
diferentes, por uma curva sinuosa (a ducina ou cimalha).

        Solução:

   1. Unem-se os pontos D e C.
   2. Dividir DC em quatro partes iguais, obtendo-se os pontos E, F e G.
   3. Traçar duas perpendiculares a AC, uma por G e outra por E.


                                                                                      128
   4. Traçar uma perpendicular a AC pelo ponto C, a qual cortará a que passa por G
      no ponto O2, que será um dos centros da concordância.
   5. Levantar uma perpendicular a BD que passe por D e que encontra a que passa
      por E no ponto O1, segundo centro da concordância.




      3) Concordar um reta dada r em um ponto dado A, com uma reta s por meio de
um arco de concordância.

        Solução:

   1.   Traçar por A a perpendicular a r.
   2.   Traçar por B a perpendicular a s.
   3.   Encontrar o ponto O no ponto de encontro das retas.
   4.   Com centro em O e raio OA, traçar o arco AB.




        4) Concordar duas retas r e s por meio de um arco tangente à reta t.

        Solução:

   1. Traçar as bissetrizes das retas r e t, e s e t.
   2. O encontro das bissetrizes determina o ponto O, que é centro do arco de
      concordância AB.
   3. O ponto C é o ponto em que o arco AB tangencia a reta t.




       5) Concordar as semiretas AB e CD não paralelas, nos pontos A e C, por meio
de dois arcos de circunferências.


                                                                               129
           Solução:

      1.   Traçar por A a perpendicular a AB e, com um raio qualquer OA, traçar um arco.
      2.   Traçar por C a perpendicular a CD e marcar CE = OA.
      3.   Traçar a mediatriz de OE que vai encontrar a perpendicular CE em O’.97
      4.   Unir os pontos O’ e O, obtendo o ponto M de encontro dos dois arcos.
      5.   Com centro em O’ e raio O’C, traçar o arco MC.




       6) Concordar com um arco de círculo, duas retas convergentes A e B, das quais
se conhece o seu encontro.

           Solução:

      1. Prolongam-se as duas retas até que se encontrem no ponto O.
      2. Traçar a bissetriz do ângulo formado.
      3. Com centro em O e raio que alcance o lugar em que se quer a concordância,
         traçar um arco de círculo que corte as retas nos pontos C e D.
      4. Levantar por C uma perpendicular que corte a bissetriz em P.
      5. Com centro em P e raio PC ou PD, faz-se a concordância.




       7) Concordar com um arco de círculo, duas retas convergentes das quais não é
possível determinar o ponto de encontro.

           Solução:

      1. Construir um ângulo auxiliar interior, cujos lados são paralelos e eqüidistantes
         das linhas que se quer concordar.
      2. Traçar a bissetriz deste ângulo.
      3. Traçar uma perpendicular pelo ponto em que se deseja concordar uma das
         linhas.

97
     A curva AMC é denominada curva composta.


                                                                                     130
   4. Pelo ponto O, traçar uma perpendicular a CD.
   5. Com centro em O e raio EO ou EF, traçar o arco que concordará as linhas.




       8) Ligar dois segmentos de reta AB e CD de diferentes comprimentos, por uma
curva sinuosa e composta (gola ou talão).

        Solução:

      9) Concordar dois segmentos de retas de diferentes comprimentos (AB e CD),
por uma curva côncava (a scocia).

        Solução:

   1.  Traçar a perpendicular AX à linha AB no ponto A.
   2.  Traçar uma perpendicular a AB no ponto B, indo até D.
   3.  Dividir o segmento BD em três partes iguais, determinando os ponto E e F.
   4.  Traçar uma paralela a AB passando pelo ponto E, cortando AX no ponto G,
       primeiro centro da curva.
   5. Marcar GA1 igual a AG e dividir este segmento em três partes.
   6. Marcar para a esquerda uma dessas partes, determinando o ponto 4.
   7. Unir este ponto ao ponto F.
   8. Com centro em G e raio GA, traçar o primeiro arco da curva até o ponto A1.
   9. Com centro em 4 e raio 4A1, traçar o segundo arco até o ponto A2.
   10. Dividir o segmento de reta 4A2 em quatro partes, marcando uma dessas partes
       para a esquerda sobre o prolongamento de A2F1, determinando o ponto 5.
   11. Levantar uma perpendicular a CD pelo ponto C e marcar sobre este segmento a
       partir de C para cima a distância A25, que dá o ponto P.
   12. Ligar P a 5 e levantar uma perpendicular pelo centro de P5, que cortará o
       prolongamento de CP em Z.
   13. Unir Z a 5, prolongando esta linha para baixo.
   14. Com centro em 5 e raio 5A2, desecrever o arco A2A3.
   15. Com centro em Z e raio ZA3, descrever o arco A3C, último trecho da curva
       pedida.




                                                                                 131
           2.10.2 – Concordância de Arcos

       1) Concordar o arco dado AB no ponto B, com outro arco que passe por um
ponto C.

           Solução:

           1. Unir os pontos B e C e O e B, prolongando este último segmento.
           2. Traçar a mediatriz de BC, encontrando o ponto O’ na intercessão com OB.
           3. Com centro em O’ e raio O’B, traçar o arco concordante.98




      2) Concordar dois arcos dados de centro O e O’, por meio de outro arco,
conhecendo-se o ponto A de concordância com o primeiro arco.

           Solução:

       1. Unir os ponto O e A, e marcar AB = R’, raio do outro arco.
       2. Unir os pontos B e O’, e traçar a mediatriz de BO’, que encontra a reta OA em
          C, centro do arco concordante procurado.99




98
     A curva ABC é denominada curva reversa.
99
     Unindo-se C a C’ verifica-se que CA’ = CA.


                                                                                    132
          3) Concordar dois arcos dados de centros O e O’ por meio de outro arco de raio
dado r.

          Solução:

   1. Com centro em O e raio R + r, e com centro em O’ e raio R’ + r, obtem-se o
      centro C de um arco concordante com os arcos O e O’.
   2. Unir o ponto C a O e O’, obtendo os pontos de concordância A e B.




      4) Construir uma linha curva qualquer composta de arcos de circunferência
concordados.

          Solução:

   1. Transportar o primeiro arco AB e prolongar qualquer um de seus raios extremos
      (B1).
   2. Marcar sobre esta linha a distância C2.
   3. Com centro em 2 e raio C2, traçar o arco CD cujo comprimento é marcado pelo
      transporte da distância CD (corda do arco).
   4. Prolongar D2 e marcar sobre esta linha o comprimento F3.
   5. Com centro em 3, traçar o arco EF, pelo transporte de sua corda EF.
   6. Marcar em F3 a distância G4.
   7. Com centro em 4, traçar o arco GH, pela marcação de sua corda GH.




                                                                                    133
   2.11 – Ovais Regulares e Irregulares

   2.11.1 – Ovais Regulares

   1) Traçar uma oval regular, dados os dois eixos.

   Solução:

   1.   Traçar AB perpendicular a CD e iguais aos eixos.
   2.   Tomar AE = OC e EF = 1/3 de OE.
   3.   Traçar os triângulos eqüiláteros AMF e ANF.
   4.   Unir M e N a F, obtendo O’ e O”.
   5.   Com centro em F e raio FM, traçar o arco MAN.
   6.   Com centro em O’ e raio O’M, traçar o arco MCM’.
   7.   Repetir a construção para O” e F’.




   2) Traçar uma oval regular arredondada, sendo dado o eixo menor CD.

   Solução:

1. Traçar a mediatriz de CD.
2. Tomar OM = OM’ = 1OC
                        2
3. Unir C e D a M e M’.
4. Com centro em C traçar o arco GDN.
5. Com centro em D, traçar o arco ECF.
6. Com centro em M, traçar o arco FBG.
7. Com centro em M’, traçar o arco EAG.




                                                                         134
     3) Traçar uma oval regular arredondada, dado o eixo maior AB.

     Solução:

1.   Dividir o eixo maior em três partes iguais.
2.   Traçar os triângulos equiláteros EFM e EFN.
3.   Com centro em E, traçar o arco GAH.
4.   Com centro em F, traçar o arco IBJ.
5.   Com centro em M, traçar o arco GF.
6.   Com centro em N, traçar o arco HI.




     4) Traçar uma oval regular alongada, dado o eixo menor.

     Solução:

1. Tomar CD como diagonal de um quadrado. Para isto, traça-se a mediatriz de CD
   e faz-se OM = ON = OC.
2. Com centro em C e raio CD, traçar o arco EDF.
3. Com centro em D e mesmo raio, traçar o arco GCH.
4. Com centro em M, traçar o arco GAE.
5. Com centro em N, traçar o arco HBF.




                                                                           135
     5) Construir uma oval regular alongada, dado o eixo maior AB.

     Solução:

1.   Traçar a mediatriz de AB.
2.   Dividir AO e OB ao meio.
3.   Traçar os triângulos eqüiláteros MNE e MNF.
4.   Com centro em M, traçar o arco GAH.
5.   Com centro em N, traçar o arco IBJ.
6.   Com centro em E, traçar o arco GI.
7.   Com centro em F, traçar o arco HJ.




     6) Construir uma oval regular de oito centros, sendo dado o eixo menor.

     Solução:

1. Considerar a circunferência dada pelos diâmetros ortogonais AB e CD, sendo
   CD o eixo dado.
2. Divide-se o diâmetro vertical CD em seis partes iguais.
3. Construir um retângulo cujo lado maior é o comprimento AB e o lado menor
   meça três divisões do diâmetro referido.
4. Ligar as divisões 6 e 8 do lado menor do retângulo ao ponto 1 do diâmetro
   vertical, e as divisões 7 e 9 do lado do retângulo, ao ponto 5 do diâmetro
   vertical.
5. Prolongar estas quatro retas nos dois sentidos, de modo que cortem os
   prolongamentos do diâmetro horizontal AB, encontrando os pontos F, G, I, J, E
   e H.
6. Unir os ponto F e G a C e I, e J a D, prolongando as retas. Os pontos C, F, G, E,
   H, I, J e D são os centros para o traçado da oval regular.
7. Com centro em H e raio AH, descrever o arco KH’.
8. Com centro em G e raio H’G, descrever o arco H’G’.

                                                                                136
   9. Com centro em C e raio CG’, descrever o arco G’C’.
   10. Com centro em F e raio FC’, descrever o arco C’F’.
   11. Com centro em E e raio EF’, descrever o arco F’-5’.
   12. Com centro em I e raio I-5’, descrever o arco 5’-D’.
   13. Com centro em D e raio DD’, descrever o arco D’J’.
   14. Com centro em J e raio JJ’, descrever o arco J’K.




       7) Construir uma oval regular de quatro centros, sendo conhecido o seu eixo
maior AB.

      Solução:

   1. Dividir o eixo AB em quatro partes.
   2. Construir um triângulo eqüilátero, tomando o segmento dado pelas extremidades
      1 e 3 como base, encontrado o ponto D.
   3. Fazer o mesmo para baixo, encontrando o ponto C.
   4. Prolongar os lados dos dois triângulos.
   5. Com centro em 1 e raio 1A, traçar o arco 4-5.
   6. Com centro em C e raio C5, traçar o arco 5-6.
   7. Com centro em 3 e raio 3-6, traçar o arco 6-7.
   8. Com centro em D e raio D7, traçar o arco 7-4.




                                                                               137
        2.11.2 – Ovais Irregulares

        1) Traçar uma oval irregular de quatro centros, sendo dado o diâmetro do semi-
círculo CD.

        Solução:

   1.   Traçar a mediatriz de CD.
   2.   Com centro em O e raio OC, obter os pontos A e B na mediatriz.
   3.   Unir C e D ao ponto E.
   4.   Com centro em C, traçar o arco DF.
   5.   Com centro em D, traçar o arco CG.
   6.   Com centro em E, traçar o arco GBF.




        2) Traçar uma oval irregular de seis centros, sendo dado o diâmetro do semi-
círculo CD.

        Solução:

   1. Traçar a mediatriz de CD.
   2. Tomar CE = DF = 3 CD.
                         4
   3. Tomar GJ = 1CD.



                                                                                  138
               4
4. Unir G a E e F, obtendo H e I na circunferência cujo diâmetro é CD.
5. Com centro em E e raio ED, traçar um arco até encontrar o prolongamento de
   HG em L.
6. Com centro em F e raio FC, traçar o arco CK.
7. Com centro em H e raio HL, traçar o arco LM.
8. Com centro em I e raio IK, traçar o arco KM.
9. Com centro em J, traçar o arco MN.




   3) Traçar uma oval irregular de quatro centros, dado o eixo AB.

   Solução:

1. Traçar uma oval irregular de quatro centros auxiliar, tomando o diâmetro C’D’
   qualquer.
2. Traçar BE = A’B’.
3. Traçar BF = O’D’.
4. Unir o ponto E ao ponto F.
5. Traçar por A uma paralela a EF, obtendo o ponto G (BG = 1CD).
                                                             2
                                                           o
6. Como se conhece o diâmetro CD, recai-se no problema n . 1.




   2.12 – Traçado de Espirais Policêntricas

   2.12.1 – Traçado da Espiral de Arquimedes


                                                                            139
           Definições:

        Espiral de Arquimedes: é a curva plana descrita por um ponto M que se move
com um movimento uniforme sobre uma reta, enquanto esta gira uniformemente em
torno de um de seus pontos O, considerado fixo. Os segmentos percorridos pelo ponto
devem ser proporcionais aos ângulos descritos pela reta móvel.
        O ponto fixo chama-se pólo, e a reta OM que une o ponto móvel ao pólo chama-
se raio vetor.
        Espira: é a parte da curva que corresponde a uma rotação da reta de 360º.
        Passo: é o segmento do raio vetor compreendido entre duas espiras
consecutivas, OA.
        Parâmetro: é o raio da circunferência que, retificada, é igual ao passo.

           1) Traçar uma espiral de Arquimedes, dado o passo OA.

           Solução:

       1. Dividir o passo OA em n partes iguais, fazendo o mesmo com a circunferência
          cujo raio é OA.
       2. Com centro em O e raios respectivos O1, O2, O3, O4, O5, ... , traçar arcos de
          circunferência até encontrar os raios O1’, O2’, O3’, O4’, O5’, ... em pontos que,
          unidos, darão a espiral pedida.

           2) Traçar uma tangente em um ponto qualquer M da curva espiral.

       1. Unir o ponto O ao ponto M dado, e por O, traçar ON perpendicular a OM, sendo
          ON igual ao parâmetro da espiral.
       2. Unir N a M e traçar por M a perpendicular a MN (MN é a normal e a
          perpendicular MT é a tangente).




           3) Traçar uma falsa espiral100 de quatro centros (ovalada).


100
      As espirais verdadeiras aproximam-se ou afastam-se assintoticamente de um ponto em torno do qual


                                                                                                 140
         Solução:

    1. Traçar um retângulo 1234, de modo que os seus lados 3-2 e 4-1 sejam o dobro
        dos outros dois lados.
    2. Prolongar o lado 3-2 na direção de B.
    3. Prolongar o lado 3-4 na direção de C.
    4. Prolongar o lado 1-4 na direção de D.
    5. Prolongar o lado 1-2 na direção de A.
    6. Com centro em 1 e raio 1-3, traçar um arco que vai cortar a reta A em a.
    7. Com centro em 2 e raio 2-1, traçar o arco ab.
    8. Com centro em 3 e raio 3-b, traçar o arco bc.
    9. Com centro em 4 e raio 4-c, traçar o arco cd.
    10. Com centro em 1 e raio 1-d, traçar o arco da’, e assim por diante.




         2.13 – Evolvente do Círculo

       Definição: evolvente do círculo é a curva descrita por um ponto A, fixo em uma
reta que rola sobre uma circunferência, mantendo-se sempre tangente a ela e sem
escorregamento.101

         1) Traçar uma evolvente de um círculo, de raio dado.

         Solução:

    1.   Dividir a circunferência em 12 ou mais partes iguais.
    2.   Traçar as tangentes nos pontos de divisão.
    3.   Com centro em A e raio AL, traçar o arco L1.
    4.   Com centro em B e raio B1, traçar o arco 12.
    5.   Com centro em C e raio C2, traçar o arco 23.
    6.   Com centro em D e raio D3, traçar o arco 34.
    7.   Com centro em E e raio E4, traçar o arco 45.
    8.   E assim por diante.



se desenvolvem. Isso não ocorre com as pseudo ou falsas espirais.
101
    A normal em um ponto M qualquer será o próprio raio correspondente a M1, e a tangente será a
perpendicular a M1, traçada de M.


                                                                                           141
         2.14 – Curvas Cíclicas e Curvas Comuns

         1) Traçar uma ciclóide102 sendo conhecido o raio do círculo gerador.

         Solução:

      1. Traçar a tangente AS à circunferência em um ponto A, que vai descrever a
         ciclóide.
      2. Dividir a circunferência em n partes iguais (12).
      3. Traçar paralelas a AS pelos pontos de divisões da circunferência.
      4. Retificar o arco A1, e marcá-lo 12 vezes em AS, a partir de A.
      5. Obter um ponto qualquer da circunferência, tomando o raio A3.
      6. Com centro em 3’, cortar a paralela traçada pela divisão 3 da circunferência,
         (encontrando o ponto N).
      7. Repetir essa construção, obtendo assim os outros pontos que, unidos, darão a
         ciclóide.




         2) Traçar a tangente e a normal à ciclóide encontrada.

         Solução:

      1. Unir o ponto N ao ponto de contato correspondente (4’, no caso).
      2. Traçar por N uma perpendicular a N4’.

         A perpendicular NT é a tangente, e N4’ é a normal.

102
   Ciclóide: é a curva descrita por um ponto de uma circunferência, que rola sobre uma reta sem
escorregamento.


                                                                                          142
         (Ver figura anterior).

         Observação:

        Sendo N4’ paralela a A8, então NT é paralela a 8-6. Portanto, é possível traçar
tangentes à ciclóide paralela a uma reta r, pois traçou-se inicialmente A8 perpendicular
a r. Pode-se traçar uma tangente em um ponto qualquer da curva, cujo ponto de contato
correspondente não é conhecido.

         3) Traçar uma epiciclóide.103

         Solução:

      1. Traçar as duas circunferências tangentes em A e dividir a circunferência
         geradora em 12 partes iguais.
      2. Com centro em O’ e raios que vão de O’ até os pontos de divisão da
         circunferência geradora, traçar os arcos.
      3. Marcar na circunferência O’: arco A1’ = arco 1’2’ = arco 2’3’ = ... = arco A1.
      4. Para determinar um ponto qualquer M da curva, com centro em 3’ e raio A3,
         cortar o arco de centro O’ que passa pela divisão 3 da circunferência.
      5. Repetir essa construção e obter quantos pontos se desejar, da curva.




         4) Traçar a tangente e a normal em um ponto N, da epiciclóide encontrada.

      1. Unir N ao ponto de contato correspondente 4’.

         A perpendicular a N4’ é a tangente. A normal é N4’.
         (Ver figura anterior).

         5) Traçar uma hipociclóide.104



103
    Epiciclóide: é a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola entre outra exteriormente,
sem escorregamento.
104
     Hipociclóide: é a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre outra,
interiormente, sem escorregamento.


                                                                                                     143
           Solução:

       (A construção desta curva e o traçado da tangente e da normal é semelhante às
construções anteriores).




           6) Traçar uma elipse,105 conhecendo o eixo maior e a distância focal.

           Solução:

      1. Tomar AA’ igual ao eixo maior.
      2. Traçar a mediatriz de AA’.
      3. Marcar OF = OF’, como a metade da distância focal dada.
      4. Com centro em F e F’ e raio igual a OA, obter B e B’ na mediatriz de AA’.
      5. Tomar um ponto qualquer C em OF. Com centro em F e raio AC, traçar um
         arco.
      6. Com centro em F’ e raio A’C, traçar outro arco que corte o anterior em M, que é
         um ponto da elipse.
      7. Analogamente, obtêm-se tantos pontos da elipse quantos se quiser.106

           Justificativa:

           MF = AC
           MF’ = A’C, de onde MF + MF’ = AC + A’C = AA’ = 2a.




105
    Elipse: é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma de suas distâncias a dois pontos dados
(focos) é constante,
106
    Para cada ponto C é possível obter quatro pontos da elipse, fazendo centro em F e F’ com os raios AC
e A’C.


                                                                                                   144
       7) Traçar uma elipse, conhecendo os dois diâmetros conjugados107 AB e CD e o
ângulo que eles formam.

           Solução:

      1. Tomar AO = OB e OC = OD.
      2. Traçar uma circunferência com centro em O e raio OA.
      3. Traçar por O a perpendicular a AB que encontre a circunferência em E.
      4. Tomar um ponto qualquer em F e traçar por ele a perpendicular a OA, que vai
         encontrar a circunferência em G.
      5. Por F, traçar a paralela a CD, e por G, a paralela a CE. Essas paralelas distintas
         cortam-se no ponto H, que é um ponto da elipse.
      6. Repetir essa construção para os outros pontos de AB, e obter outros pontos da
         elipse.
      7. Para cada ponto H tem-se um ponto I da elipse, bastando tomar FI = FH.




           8) Dada uma elipse, determinar o seu centro.

           Solução:

      1.   Traçar duas cordas quaisquer AB e CD paralelas.
      2.   Encontrar os pontos médios M e N das duas cordas.
      3.   Unir e prolongar os pontos médios M e N, até encontrar os pontos E e F.
      4.   O ponto médio do diâmetro EF será o centro da elipse.




107
   Diâmetros conjugados: são assim chamados quando um deles divide ao meio todas as cordas paralelas
do outro.


                                                                                               145
       9) Dada uma elipse, determinar os focos e os dois eixos.

       Solução:

   1. Determinar o centro O da elipse.
   2. Com centro em O e raio qualquer, traçar uma circunferência que corte a elipse
      nos pontos C, D E, e G.
   3. Traçar o retângulo CDEG, e por O, traçar as perpendiculares a CD e a CE.
   4. AA’ e BB’ serão os eixos.
   5. Com centro em B e raio OA, obter os focos F e F’.




       10) Traçar uma tangente à elipse.

       1º. Caso – de um ponto tomado na curva:

   1. Unir M a F e F’, e traçar a bissetriz do ângulo SMF.
   2. A bissetriz será a tangente e a normal será a perpendicular à bissetriz em M.




       2º. Caso – de um ponto P exterior à elipse:

       Sabe-se (pela geometria) que o simétrico do foco em relação à tangente à elipse
pertence ao círculo diretor do outro foco. Portanto:

   1. Com centro em P e raio PF, traçar uma circunferência.
   2. Com centro em F’ e raio AA’, traçar uma circunferência que corta a primeira em
      G e G’, simétricos do foco F em relação às tangentes.


                                                                                      146
       3. Sendo a mediatriz de FG uma tangente, obter o ponto de contato M, unindo F’ a
          G.
       4. Sendo a mediatriz de FG’ outra tangente, unir F’ a G’, obtendo M’ de tangência.




            3º. Caso – paralela a uma reta dada R.

       1. Com centro em F’ e raio AA’, traçar uma circunferência.
       2. Por F, traçar a perpendicular a r que vai encontrar a circunferência em G e G’
          (simétricos de F em relação às tangentes).
       3. A mediatriz de FG é uma tangente. Obter o ponto de tangência M, unindo F’ a
          G.
       4. A mediatriz de FG’ é outra tangente, e o ponto de tangência é M’.




        11) Dada uma elipse, pelo eixo maior e pelos focos, determinar as suas
diretrizes108.

            Solução:

       1. Traçar o eixo maior AA’ e os focos.
       2. Traçar a mediatriz de FF’, e nela marcar OC = OA = a.
       3. Unir F a C e traçar por A a paralela a CF.
       4. Tem-se: OF = OC              ou c = a       ou    OE = a2
                     OA       OE            a OE                    c
       5. Com centro em O e raio OE, obter D e D’.
       6. As perpendiculares a AA’ tiradas por D e D’ serão as diretrizes pedidas.



108
      Diretrizes: são retas perpendiculares ao eixo maior e situadas à distância a2/c do centro.


                                                                                                   147
           12) Construir uma elipse, conhecendo-se os dois focos e uma tangente.

           Solução:

      1.   Traçar por F a perpendicular à tangente.
      2.   Marcar NG = NF.
      3.   Unir G a F’. Tem-se F’G = 2a = AA’.
      4.   Encontrar o ponto médio de FF’ e marcar OA = OA’ = a.
      5.   Construir a elipse pelo método já visto anteriormente.




           13) Construir uma hipérbole dada a constante AA’ = 2a e a distância focal FF’ =
2c.109

           Solução:

      1. Tomar OA = OA’ = metade de AA’ e OF = OF’ = metade de FF’.
      2. Para determinar um ponto M qualquer da curva, tomar um ponto qualquer C da
         reta FF’ exterior ao segmento FF’.
      3. Com centro em F e raio AC, traçar um arco. Com centro em F’ e raio A’C traçar
         outro arco, que corta o primeiro em M, ponto da hipérbole, porque A’C – AC =
         AA’.
      4. Aproveitando o raio AC, com centro em F e F’, traçar arcos para cima e para
         baixo de FF’, fazendo o mesmo com o raio A’C e centro em F’.
      5. Tomando outros pontos em FF’ e repetindo as construções, pode-se obter tantos
         pontos quantos se queiram, da hipérbole.
         Unir todos os pontos encontrados.




109
   Hipérbole: é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das suas distâncias a dois pontos
dados (os focos) é constante.


                                                                                                  148
       14) Traçar tangentes à hipérbole dada pela constante AA’ e pela distância focal
FF’.

       1º. Caso – em um ponto M dado na curva.

   1. Unir M a F e F’ e traçar a bissetriz do ângulo FMF’.
   2. Essa bissetriz é a tangente. A perpendicular à tangente no ponto M é a normal à
      curva.




       2º. Caso – tangente à hipérbole de um ponto exterior à curva.

   1. Com centro em F’ e raio AA’, traçar um arco.
   2. Com centro em P e raio PF, traçar outro arco que corta o anterior em G e G’, que
      são simétricos do foco F em relação às tangentes.
   3. A mediatriz de FG dá uma tangente. Obtém-se o ponto de tangência M unindo
      F’ a G.
   4. A mediatriz de FG’ dá a outra tangente, e F’G’, o ponto de tangência M’.
   5. O problema terá duas, uma ou nenhuma solução, conforme a circunferência de
      centro P corte o círculo diretor de F’ em dois, um ou nenhum ponto.




       15) Traçar tangentes à hipérbole, paralelas a uma reta dada r.


                                                                                  149
      1. Com centro em F’ e raio AA’, traçar um arco (círculo diretor de F’).
      2. Traçar em F a perpendicular a r que vai cortar o arco anterior em G e G’,
         simétricos de F em relação às tangentes procuradas.
      3. Unir F’ a G e F’ a G’, para obter os pontos de contato M e M’.




         Observação:

             a) Se a perpendicular de F a r cortar o círculo diretor de F’ em dois pontos
                G e G’, tem-se duas tangentes (caso anterior).
             b) Se aquela perpendicular for tangente ao círculo diretor de F’, tem-se uma
                só tangente, cujo ponto de tangência é um ponto impróprio (ponto no
                infinito). Essa tangente é chamada assíntota.
             c) Se a perpendicular não cortar o círculo diretor de F’, não se terá nenhuma
                tangente paralela à reta dada.




         16) Traçar uma parábola,110 dada a diretriz r e o foco F.

         Solução:



110
   Parábola: é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente de uma reta dada (diretriz)
e de um ponto (foco) exterior à reta.


                                                                                                  150
   1. Traçar por F a perpendicular a r.
   2. Para determinar dois pontos da parábola, tomar um ponto C qualquer no eixo OF
      à direita de A (ponto médio de OF), e por ele traçar a paralela à diretriz r.
   3. Com centro em F e raio OC, cortar a paralela em M e M’, que são pontos da
      parábola, pois MF = MN = OC.
   4. Obter, analogamente, outros pontos da curva, que unidos, dará a parábola.




         17) Traçar uma tangente e uma normal à parábola, de um ponto M tomado na
curva.

         Solução:

   1. Unir M a F e traçar por M a perpendicular à diretriz r.
   2. A bissetriz do ângulo FMN será a tangente pedida.




         18) Traçar a tangente de um ponto P exterior à parábola.

         Solução:

   1. Com centro em P e raio PF, traçar uma circunferência que corta a diretriz em G
      e G’ (simétricos do foco em relação às tangentes).
   2. As tangentes são as mediatrizes de FG e de FG’.
   3. Traçar por G e G’ as paralelas ao eixo OF, para obter os pontos de contato M e
      M’.




                                                                                 151
        19) Traçar tangentes paralelas (com relação a uma parábola) a uma reta dada s.

        Solução:

     1. Traçar por F a perpendicular a s, obtendo G na diretriz.
     2. A mediatriz de FG será a tangente pedida. Traçar por G a paralela ao eixo OF,
        para obter o ponto de tangência M.




        20) Construir uma parábola, conhecendo-se o foco F e dois de seus pontos, M e
N.

        Solução:

     1. Com centro em M e raio MF, traçar uma circunferência, e com centro em N e
        raio NF, traçar outra circunferência.
     2. A tangente comum às duas circunferências será a diretriz da parábola, porque
        MF = MB e NF = NC.
     3. Construir a parábola conforme problema já visto.




        21) Construir uma parábola conhecendo a distância do foco a uma tangente e o
raio vetor do ponto de contato M.

        Solução:

     1. Tomar FG = 2d.
     2. A mediatriz de FG é a tangente. Com centro em F e raio igual ao raio vetor
        dado, obter M na tangente.
     3. Unir M a G e traçar por G a perpendicular a GM. Esta perpendicular será a
        diretriz.



                                                                                     152
            2.15 – Construção de Arcos Arquitetônicos111

            1) Construir um arco Ogival Eqüilátero.

            Solução:

       1. Traçar um segmento AB (vão).
       2. Traçar duas retas perpendiculares ao segmento AB por A e por B.
       3. Com centro em B e abertura AB, traçar um arco.




       4. Com a ponta seca em B e com abertura AB, traçar outro arco.

            O arco Gótico Eqüilátero é definido pelos pontos A, B e C.




            2) Construir um arco Pleno (Romano), sendo dado o vão.

            Solução:

       1.   Traçar o segmento AB (vão).
       2.   Traçar duas perpendiculares ao segmento AB por A e por B.
       3.   Encontrar o ponto médio M do segmento AB.
       4.   Com a ponta seca em M e com medida MA ou MB, traçar o arco AB.

            O arco Romano é definido pelos pontos A e B.112



111
      Veja-se: www.mat.uel.br/geometrica.
112
      O arco pleno ou arco romano é simplesmente a semicircunferência que tem como vão, o diâmetro.


                                                                                                      153
   3) Construir um   arco Ogival Superelevado, sendo dado o vão e a altura.

   Solução:

1. Traçar o segmento AB.
2. Traçar a mediatriz do segmento AB e marcar nela a altura MC do arco.
3. Ligar o ponto C às extremidades do segmento AB, formando o triângulo
   isósceles ABC.
4. Prolongar o segmento AB para os lados, em seguida construir a mediatriz dos
   lados AC e BC do triângulo ABC.
5. Marcar os centros 1 e 2 onde as mediatrizes cortarem o prolongamento do
   segmento AB.
6. Com a ponta seca no centro 2 e abertura igual à medida 2A ou 2C, traçar o arco
   AC.
7. Com a ponta seca no centro 1 e abertura igual à medida 1B ou 1C, traçar o arco
   CB.

   O arco Ogival Superelevado é definido pelos pontos A, C e B.




   4) Construir um   arco Ogival, sendo dado o vão e a altura.

   Solução:

   1.   Traçar o segmento AB (vão).
   2.   Encontrar o seu ponto médio e traçar a altura MC do arco.
   3.   Determinar a mesma distância R (qualquer) a partir de A, B e C.
   4.   Traçar os círculos de raio R.
   5.   Ligar os centros dos círculos e prolongar o segmento AB.
   6.   Traçar as mediatrizes dos segmentos O1O2 e O2O1'.




                                                                              154
      7. Prolongar as mediatrizes, e encontrar na reta que passa por AB os centros O3
         e O3'.
      8. Ligar os centros O3 e O3' ao centro O2 e prolongar, encontrando os dois
         pontos de tangência na circunferência de centro O2.




   9. Com a ponta seca em 03 e abertura O3B, traçar o arco que concorda com a
       circunferência de centro O2.
   10. Com a ponta seca em O3’ e abertura O3’A, traçar o outro arco que concorda com
       a mesma circunferência.




        5) Construir um arco Abatido (Asa de Cesto), sendo dado o vão e a flecha
(altura).

      1ª. Solução:

   1. Traçar o segmento AB (vão)
   2. Traçar duas retas perpendiculares ao segmento AB por A e por B.
   3. Traçar a mediatriz de AB achando o ponto médio M.


                                                                                  155
4. Determinar a altura MC (dada). Liga AB ao ponto C, formando o triângulo
   isósceles ABC.




   5. Com centro em M e raio igual à MC, traçar um arco que corte o segmento
      AB.
   6. Marcar os pontos D e E.
   7. Com centro em C e abertura igual à AD ou EB, traçar um arco que corte os
      lados do triângulo nos pontos F e G.
   8. Traçar as mediatrizes dos segmentos AF e GB. Essas duas mediatrizes cortam
      a mediatriz de AB no ponto O.




9. Com a ponta seca em O e abertura OC, traçar um arco que corte as duas
    mediatrizes traçadas.
10. Com a ponta seca do compasso nos pontos onde as duas mediatrizes cortam
    o segmento AB (O1 e O2) e abertura igual a O1A ou O2B, traçar dois arcos
    que concordam com as duas retas e o arco de centro O.




   2ª. Solução (simplificada):

1. Traçar a mediatriz de AB e marcar nela a flecha dada.
2. Marcar CE = CD.
3. Unir A a D e marcar DF = AE.


                                                                               156
4.   A mediatriz de AF encontra AB em O’, e o prolongamento de CD em O.
5.   Tomar CO” = CO’.
6.   Com centro em O e raio OD, traçar o arco GDR.
7.   Com centro em O’ e O”, traçar os arcos GA e BH.




     6) Construir um arco Gótico Flamejante, sendo dado o vão e a altura.

     Solução:

1.   Traçar o segmento AB (vão).
2.   Traçar a altura MC do vão.
3.   Ligar AC e BC.
4.   Traçar uma reta perpendicular ao segmento MC por C.




5. Traçar a mediatriz de AC e BC, encontrando os pontos T e T' nos segmentos AC
   e BC.
6. Traçar as mediatrizes de AT e BT'.
7. Traçar as mediatrizes de TC e T'C.
8. Prolongar as mediatrizes de AT e BT' até o segmento AB, encontrando os
   centros O1 e O1'.




     9. Prolongar as mediatrizes de TC e T'C até a reta que passa por C, encontrando
         assim os centros O2 e O2'.
     10. Com a ponta seca em O1 e abertura igual a O1B, traçar o arco BT'.


                                                                                157
         11. Com a ponta seca em O2' e abertura igual a T'C, traçar o arco T'C.
         12. Com a ponta seca em O1' e abertura igual a O1'A, traçar o arco AT.
         13. Com a ponta seca em O2 e abertura igual a TC, traçar o arco TC.




         7) Construir um arco Esconso113 (Aviajado, Botante), sendo dado o vão.

         Solução:

         1º Processo:

      1. Traçar o segmento AB (vão).
      2. Traçar duas retas perpendiculares ao segmento AB por A e por B, com a reta
         perpendicular a B com uma altura igual a BC, a partir de B.
      3. Com a ponta seca em B e abertura BC, traçar um arco que corte o
         prolongamento de AB no ponto D.
      4. Encontrar a mediatriz de MD e marcar o ponto médio M do segmento MD.
      5. Traçar uma reta paralela à AD pelo ponto C, encontrando o ponto E no
         cruzamento com a mediatriz.




      6. Com centro em E e abertura EC, traçar um arco que corte a mediatriz.
      7. Com centro em M e abertura igual a MD, traçar um arco.




113
   Denomina-se arco aviajado ou arco esconso ao arco formado pela concordância de arcos e suas
nascenças A e B não estão numa mesma horizontal.


                                                                                          158
   O arco Botante é definido pelos pontos C e A.

   2º Processo:

1. Traçar o segmento AB (vão).
2. Traçar duas retas perpendiculares ao segmento AB por A e por B, sendo que a
   reta perpendicular a B deve ter a altura igual a BC, a partir de B.
3. Traçr pelo ponto C uma reta perpendicular ao segmento BC.
4. Marcar nessa reta perpendicular, a partir do ponto C, um segmento CO1 com
   uma medida igual à R1 (qualquer).
5. Marcar no segmento AB, a partir do ponto A, a medida AO2 igual à R1. Onde a
   mediatriz (m) cortar o segmento AB ou o seu prolongamento, tem-se o ponto O3.




6. Com a ponta seca no centro O1, traçar uma circunferência de raio R1.
7. Com a ponta seca no centro O2, traçar outra circunferência de raio R1.
8. Ligar o centro O3 ao centro O1 e prolongar até cruzar com a circunferência de
          centro O1, obtendo o ponto D.




   9. Com centro em O3 e abertura O3D ou O3A, traçar um arco que começa no
      ponto D e termina no ponto A. O arco botante é definido pelos pontos C, D e


                                                                                   159
          A.




        8) Construir um arco Aviajado conhecendo o ponto D de concordância dos
arcos, a tangente comum e as verticais r e s que passam pelos pontos de nascença.

        Solução:

   1. Traçar por D a perpendicular a t.
   2. Traçar as bissetrizes dos ângulos que r e s fazem com t, obtendo os pontos O e
      O’ na perpendicular traçada por D.
   3. Traçar a partir de O a perpendicular a r, obtendo o ponto de nascença A.
   4. Traçar a partir de O’ a perpendicular a s, obtendo o ponto de nascença B.
   5. Com centro em O e raio OA, traçar o arco AD.
   6. Com centro em O’ e raio OD, traçar o arco DB.




       9) Construir um arco Aviajado, dados os pontos de nascença A e B que se acham
sobre as verticais AS e BT.

        Solução:

   1.   Traçar por A a perpendicular a BT e obter o ponto C.
   2.   Com centro em C e raio CB, obter o ponto D no prolongamento de AC.
   3.   Traçar a mediatriz de AD.
   4.   Com centro no ponto médio M de AD, traçar o arco AE.
   5.   Traçar, por B, a perpendicular a BT até encontrar a mediatriz em O.
   6.   Com centro em O e raio OE, traçar o arco EB.




                                                                                    160
   9) Construir um arco Tudor, sendo dado o vão.

   Solução:

1. Traçar o segmento AB (vão).
2. Traçar duas retas perpendiculares ao segmento AB pelos pontos A e B.
3. Dividir o segmento AB em três partes iguais utilizando o processo de divisão de
   segmentos, e marcar os centros O3 e O1.




4. Construir na parte do meio da divisão um quadrado de lado igual à medida de
   1
     /3 do vão, ou seja, O1O3.
5. Marcar os outros dois centros, O2 e O4.
6. Traçar as duas diagonais do quadrado e prolongá-las para cima.
7. Com a ponta seca em O2 e abertura igual a O21, traçar o arco 1-3.




                                                                                 161
8. Com a ponta seca no centro O1 e abertura O1B, traçar o arco B1.
9. Repetir o procedimento, do lado esquerdo da mediatriz de AB.
10. Com o compasso no centro O3 e abertura igual à O3A, traçar o arco
    A2.
11. Com o compasso no centro O4 e abertura O4-2, traçar o arco 2-3.




     O arco Tudor é formado pelos arcos B132A.

     10) Construir um arco Otomano, sendo dado o vão.

     Solução:

1.   Traçar o segmento AB (vão).
2.   Traçar duas retas perpendiculares ao segmento AB pelos pontos A e B.
3.   Dividir o segmento AB em seis partes iguais.
4.   Marcar na segunda e quarta divisão os pontos D e E, respectivamente.


                                                                            162
5. Traçar uma reta pelo ponto D, que forme com o segmento AB um ângulo de
   60°.
6. Traçar outra reta pelo ponto E que forme com o segmento AB o mesmo
   ângulo. As retas se encontram no ponto C que está na mediatriz do segmento
       AB.




7. Com centro do compasso no ponto D e abertura DA, traçar o arco A1.
8. Com centro do compasso no ponto E e abertura EB, traçar o arco B2.
9. Traçar pelos pontos 1 e 2 retas perpendiculares à D1 e E2, respectivamente.




   O arco Otomano é formado pelos arcos B2P1A.

   11) Construir um arco Mourisco, sendo dado o vão.

   Solução:



                                                                                 163
1. Traçar o segmento AB (vão).
2. Traçar duas retas perpendiculares ao segmento AB, pelos pontos A e B.
3. Prolongar para cima as duas perpendiculares.
4. Traçar pelos pontos A e B duas retas que formam com AB um ângulo igual a
   30°.
5. Marcar os pontos C e D no cruzamento dessas duas retas com as duas
   perpendiculares.




6. Com a ponta seca no ponto C e abertura igual à CD, traçar um arco que corte
   a perpendicular que passa pelo ponto A.
7. Com a ponta seca no ponto D e abertura igual à DC, traçar um arco que corte
   a perpendicular que passa pelo ponto B.
8. Com a ponta seca no ponto C e abertura igual à CD, traçar um arco que corte
   a perpendicular que passa pelo ponto A.
9. Com a ponta seca no ponto D e abertura igual à DC, traçar um arco que corte
    a perpendicular que passa pelo ponto B.




     12) Construir um arco Ferradura, sendo dado o vão

1. Traçar o segmento AB (vão).
2. Tacar duas retas perpendiculares ao segmento AB, pelos pontos A e B.
3. Traçar a mediatriz do segmento AB. encontrando o ponto médio M.




                                                                                 164
4. Com a ponta seca no ponto M e abertura igual a MB, traçar o arco AOB,
   encontrando o ponto O no cruzamento do arco com a mediatriz.
5. Com a ponta seca no ponto O e abertura igual à OM, traçar um arco que corte
   o arco anterior nos pontos P e Q.

   O arco Ferradura é determinado pelos pontos APQB.




   13) Construir um arco Trilobado, sendo dado o vão.

   Solução:

1. Traçar o segmento AB (vão).
2. Traçar duas retas perpendiculares ao segmento AB pelos pontos A e B.
3. Dividir o segmento AB em quatro partes iguais, encontrando os pontos C, D e E.
4. Traçar a mediatriz do segmento AB.




5. Com a ponta seca no ponto C e abertura igual a CA, traçar o arco AD.
6. Com a ponta seca no ponto E e abertura igual à EB, traçar o arco DB.
7. Com a ponta seca no ponto D e abertura igual à DE, traçar o arco CE,
   encontrando o ponto F onde o arco corta a mediatriz do segmento AB.
8. Com a ponta seca no ponto F e abertura igual à FD, traçar um arco que corta
   os arcos AD e DB nos pontos G e H.

   O arco Trilobado é definido pelos pontos A, G, H e B.




                                                                                 165
       14) Construir um arco Capaz, sendo dados o ângulo e o vão.

       Solução:

       1.   Traçar o segmento AB (vão).
       2.   Traçar duas retas perpendiculares ao segmento AB. pelos pontos A e B.
       3.   Construir o ângulo dado (65°), com vértice no ponto A ou B.
       4.   Traçar a mediatriz do segmento AB.




       5. Construir novamente o ângulo dado na extremidade A ou B, mas para o lado
           de baixo do segmento AB.
       6. Traçar uma reta perpendicular ao lado do ângulo que, passando pelo ponto B,
           encontre o ponto O onde a perpendicular cortar a mediatriz.
       7. Com centro no ponto O e abertura igual à OB ou OA, traçar o arco capaz do
          ângulo de 65°.

        Pela escolha aleatória do ponto C do arco, veja-se que dele partem duas semi-
retas que passam pelos pontos A e B e formam um ângulo ACB igual a 65°.




       Na figura abaixo, o ponto C do arco que é o vértice do ângulo ACB foi
deslocado para a esquerda. Desse modo, o ângulo permanece de igual valor (65°).
       Conclui-se então que este arco capaz é o lugar geométrico dos pontos que vêem
o segmento AB sob um ângulo de 65°.




                                                                                    166
        2.16 – Geometria Sangaku114

        Histórico: 115

       Um dos principais períodos históricos do Japão medieval é o denominado
período Edo, que vai de 1603 a 1867. Em 1868 ocorreu a reforma Meiji, que deu início
à ocidentalização do Japão.
       Durante a maior parte inicial desse período o Japão ficou isolado, não mantendo
contato com seus vizinhos. O regime de governo era feudal, tendo como líder o Xogun
(ainda que existisse um imperador, de autoridade limitada).
       O Japão mantinha comércio apenas com Portugal e Holanda, mas os navios
desses países podiam aportar num único ponto da baia de Nagasaki.
       A Matemática no Japão, nesse período, foi desenvolvida a partir de bases
chinesas, tendo como principal referência um clássico chinês intitulado Jiuzhang
Suanshu, cuja origem data do final da dinastia (chinesa) Han (208 a.C.-8 d.C.).

        O jesuíta Matteo Ricci (1552-1610), a quem o imperador permitiu um trabalho
missionário na China, foi responsável por várias traduções de obras de geometria,
astronomia e matemática ocidentais para o chinês. Os livros de Geometria que ele
traduziu foram os comentários sobre os seis primeiros livros de Euclides, de autoria de
C. Clavius (1538-1612). Posteriormente, essas obras chegaram ao Japão.
        Devido à reforma Meiji, o Japão necessitava de funcionários com conhecimento
de contabilidade e matemática (devido à organização governamental centralizada que
foi instituída), para executar e fiscalizar a cobrança dos impostos. Por este motivo, os
matemáticos japoneses desenvolveram uma habilidade muito grande no uso do ábaco.
        Assim como na China, havia no Japão concursos públicos para o provimento dos
cargos públicos, o que levou à criação de diversas escolas matemáticas, cada uma com
um líder e um grupo de discípulos.

        Foi então que começaram a aparecer várias gravuras com teoremas geométricos,
escritas numa língua antiga do Japão, o Kanbum. Essas gravuras, feitas em madeira,
eram dadas como oferendas aos deuses nos santuários xintoístas e nos templos
budistas,116 e tinham como conteúdo resultados geométricos apresentadas por meio de
figuras artisticamente trabalhadas, acompanhadas de um texto explicativo. Essas
gravuras eram chamadas Sangaku. Diversos matemáticos se tornaram famosos nesta
época, fosse como mestres, fosse para divulgar suas descobertas. Os mais conhecidos
são: Seki Kowa Takakazu (1642-1708), Takebe Katahiro (1664-1739) e Aida Yasuaki
(1747-1817).
        As gravuras do início do período Edo ocupavam placas retangulares de
aproximadamente 50 cm por 30 cm; gravuras mais recentes foram feitas em placas de
madeira de 180 cm por 90 cm. A figura abaixo mostra uma gravura sangaku.



114
    Para maiores informações, veja-se o site (do qual o texto histórico foi parcialmente adaptado, a partir
de um texto de Cláudio Arconcher): http://www.rpm.org.br/novo/conheca/49/1/sangaku.htm. Veja-se
também: http://cabrisoluciondeproblemas.netcipia.net/xwiki/bin/view/Main/sangaku3d. Pode-se consultar
também o site: www.asahi-net.or.jp, bem como a revista Scientific American Ed. Especial n. 11,
Etnomatemática, p. 30 ss.
115
    A rigor, este texto faz parte da geometria matemática, sendo apresentado aqui tão somente para dar a
conhecer uma parte pouco conhecida da geometria japonesa.
116
    O templo de Asakusa, em Tóquio, conserva 215 tabuletas de madeira.


                                                                                                      167
       Um grande número de problemas envolvem circunferências e elipses, sendo que
o grau de dificuldade dos problemas é, em geral, elevado.

       O problema Sangaku mostrado a seguir é de uma peça de madeira, que está
preservada e data de 1885.
       Na figura a seguir tem-se um triângulo equilátero ABC e duas circunferências
de centros      e O , raios r1 e r2 , respectivamente. Tais circunferências tangenciam
os lados do triângulo equilátero externamente, tangenciam a reta suporte do lado BC e
uma rela      variável que passa pelo vértice A. Provar que, independentemente, da
posição da reta , a soma r1 + r2 é uma constante.




       Demonstração:

        Primeiramente observe-se que, se a reta     traçada por A for paralela ao lado
BC, é evidente que, nesse caso, r1 + r2 é igual a h, altura do triângulo equilátero.
Resta provar que em todos os outros casos possíveis a soma r1 + r2 é igual a h.
        Pode-se ainda considerar as situações limites para a reta    : por exemplo,
contendo AB ou AC. Nesses casos, uma das circunferências transforma-se num dos
vértices, B ou C, e a outra torna-se uma circunferência ex-inscrita ao triângulo ABC.
        Ainda aqui tem-se r1 + r2 igual a h, sendo um dos raios zero, e o outro, h.

        Para todos os outros casos, tem-se a situação que se descreve a seguir, e é
ilustrada na figura.

       Seja L a interseção da reta BC com a reta perpendicular a AB que passa por
  . Se    é a interseção dessa perpendicular com AB e       é a interseção, com a reta
    , da perpendicular a      traçada por L, tem-se, com as notações da figura:




                                                                                  168
       Os triângulos retângulos          e        são congruentes (        e      são
tangentes por B) e, lembrando que o ângulo          mede      , segue que também os
triângulos retângulos        e        são congruentes, implicando            . Então,
tem-se que os triângulos         e      também são congruentes, logo, o ângulo entre
os segmentos AL e AB mede . Observe-se que                         logo,            o
que implica         , e que o ponto L pertence ao segmento BC. Além disso, tem-se
que a medida do ângulo         também é . Isso permite provar, de modo análogo, que
o simétrico de       em relação a AC também coincide com L, ou
       Finalmente, tem-se                                             o que completa
a demonstração.

           2.17 – Curiosidades da Geometria Persa

      Em um texto de Reza Sarhangi (com colaboradores),117 ele mostra como a
geometria persa lidou com alguns problemas de construção geométrica. A figura abaixo,
que mostra duas construções de um quadrado a partir de três quadrados, é um exemplo
de uma concepção geométrica errada, apontada pelos geômetras persas.




        A construção à esquerda, que poderia ser aceita como um resultado válido, não
constrói, verdadeiramente, um quadrado. Apesar de a figura possuir quatro ângulos
retos, a diagonal de um dos quadrados menores é um número irracional, e não poderia
resultar do lado quadrado menor mais a metade do lado, que é um número racional.
        Na outra construção, dois quadrados são divididos ao longo de suas diagonais.
Em seguida, cada um destes quatro triângulos é colocado ao lado do terceiro quadrado,
de modo que o vértice do ângulo reto do triângulo coincida com o vértice do quadrado.
Juntam-se os vértices dos ângulos retos de quatro triângulos por meio de uma linha. De
cada triângulo maior um triângulo menor é formado por essa linha. É fácil provar que,
em cada lado do quadrado, os pequenos triângulos externos e internos são iguais.

117
      Adaptado de: http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/GRAPHICA_2007B.pdf.


                                                                                  169
170
                                              Capítulo III

                                 Geometrias Não-Euclidianas

           3.1 – O Quinto Postulado de Euclides

        As geometrias não-euclidianas118 começaram a surgir a partir da constatação da
insuficiência da geometria Euclidiana para descrever a natureza real do espaço, bem
como das tentativas constantes de demonstrar o chamado Quinto Postulado de Euclides,
também conhecido como Postulado das Paralelas.

           Este postulado pode ser expresso assim:

       “Se uma reta, ao cortar outras duas, faz os ângulos interiores de um mesmo lado
menores do que dois ângulos retos, as duas retas, indefinidamente prolongadas, se
encontram deste mesmo lado”.




       O modo como este postulado foi formulado conduziu à hipótese de que ele
poderia ser demonstrado como um teorema. Comentadores gregos e árabes (das obras
de Euclides) fizeram inúmeras tentativas infrutíferas, com este objetivo.

       No século XVIII, o matemático italiano Saccheri, que percebera que a rejeição
do postulado poderia levar à consideração de várias hipóteses, fez uma tentativa com
base no método de redução ao absurdo.
       Admitindo que qualquer segmento de reta poderia ser prolongado ao infinito,
Saccheri fez a seguinte construção. Sobre um segmento de reta AB, levantou duas
perpendiculares sobre as suas extremidades, AC e AD, de comprimentos iguais.




           Investigando os ângulos ACD e BCD (que ele chamou ângulos de topo), admitiu


118
      Não há uma, e sim, várias geometrias não-euclidianas.


                                                                                  171
as seguintes hipóteses:

        I)      os ângulos são retos;
        II)     os ângulos são obtusos;
        III)    os ângulos são agudos.

       Apesar de suas pesquisas terem levado a várias conseqüências lógicas, ele
entretanto rejeitou-as, porque levavam a estranhas conclusões que iam contra a
geometria euclidana. De todo modo, sem o saber, Saccheri tinha dado os primeiros
passos em direção à elaboração de uma geometria “não-euclidiana”.

       Outras pesquisas (não publicadas) a respeito deste tema surgiram com o
matemático alemão Karl Gauss (e que podem ser constatada em sua correspondência).
Incumbido de fazer um levantamento geodésico, por triangulação, de extensas áreas
dentro da Alemanha,119 Gauss perguntou-se o que poderia resultar de uma investigação
empírica acerca do espaço. Sua investigação de campo, contudo, redundou em nada.

        3.1.1 – Geometria Hiperbólica e Geometria Elíptica

        Posteriormente a Gauss, algumas de suas idéias foram desenvolvidas por vários
matemáticos, tais como Pierre Bonnet ((1819-1892), Carl Jacobi (1804-1851) e
Ferdinand Minding (1806-1885), idéias estas que abordavam conceitos de linhas,
figuras geodésicas e curvaturas.

       A substituição do quinto postulado por proposições alternativas mostrou que os
teoremas da geometria euclidiana eram mudados. Por exemplo, a soma dos ângulos
internos de um triângulo deixava de ser 180º.
       Logo surgiram duas correntes: em uma, denominada geometria hiperbólica120
(criada por Lobachevski), a soma é inferior a dois ângulos retos121; na outra,
denominada geometria elíptica122 (devida principalmente a Riemann), a soma seria
superior a dois ângulos retos.123

      Outas contribuições vieram com o matemático francês Poincaré, bem como pelo
matemático italiano Beltrami. Este sugeriu que os postulados da geometria hiperbólica
podiam ser trazidos para uma superfície plana em formato de sela.124




119
    O que ele realizou, entre 1821 e 1838.
120
    Pela razão de que as retas sobre a sua superfície descrevem hipérboles.
121
    E corresponde à hipótese III de Saccheri. Esta superfície é dita ser de curvatura positiva.
122
    Devido a que as retas sobre a sua superfície descrevem elipses.
123
    Corresponde à hipótese II de Sacchieri. Esta superfície é dita ser de curvatura negativa.
124
    Essa superfície é gerada pela revolução de uma curva denominada tractrix em torno de um eixo (sua
assíntota). A tractrix é uma curva na qual o comprimento de cada tangente, do ponto de contato até a
intersecção com o eixo, é constante. A curva é descrita pela extremidade de uma tangente de
comprimento fixo, enquanto a outra extremidade desloca-se ao longo de um eixo no qual a curva
aproxima-se assintoticamente de cada lado. Qualquer geodésica sobre esta superfície satisfaz os
postulados da geometria hiperbólica, em especial, o postulado das paralelas.


                                                                                                172
        3.1.2 – A Geometria de Riemann

       Os fundamentos definitivos da geometria não-euclidiana foram dadas pelo
matemático alemão Riemann.
       Riemann desenvolveu a sua geometria, não através de postulados, mas
generalizando e ampliando a noção de curvatura, que tinha sido introduzida por Gauss.
Pela análise de superfícies e das equações que as descrevem, Gauss introduziu a noção
de geodésica, como sendo a linha em uma superfície que é a menor distância entre dois
pontos separados dessa superfíce, e mostrou que a natureza dessas linhas depende de
uma propriedade da superfície, que ele chamou de curvatura.
       É sabido que existem vários tipos de superfície, além do plano e da esfera
(superfície esférica). A curvatura da esfera, que é constante em qualquer ponto, é
definida como o inverso do quadrado de seu raio; desse modo, quanto maior o raio,
menor a curvatura, e vice-versa. Nas superfícies planas, as geodésicas são retas, porque
a curvatura da superfície é nula. Na superfície da esfera, as geodésicas são os círculos
máximos, e a curvatura, como se viu, é constante em cada região de sua superfície.125
Na superfície de um ovo, a curvatura não é constante, pois as sua extremidade maior
possui uma curvatura menor do que a curvatura da extremidade menor. Cada região do
ovo possui curvatura diferente, mas sempre positiva.
       A superfície da sela possui, por outro lado, curvatura negativa por toda parte.126




      No toro, a curvatura não somente varia ao longo da superfície, como também
pode mudar de positiva para negativa, ou vice-versa.

      Em seu estudo das curvaturas, Gauss estabeleceu um modo de localizar um
ponto sobre qualquer superfície matematicamente dada. Seu método baseou-se no

125
   Uma esfera tem curvatura constante positiva.
126
    A esfera tem curvatura positiva porque, para qualquer ponto dela, a esfera encontra-se sempre do
mesmo lado do plano tangente a esse ponto. Numa sela isto não acontece. Qualquer que seja o ponto da
sela, a superfície atravessa sempre o plano tangente em torno desse ponto, e por isso a curvatura é
negativa. Além disso, a sela, ao contrário da esfera, não se fecha nem é limitada. Outros exemplos de
superfícies negativas são a pseudoesfera e a superfície de Dini. Ambas são superfícies de curvatura
constante negativa. A superfície Dini é tambem conhecida como superfície one-soliton. As equações
paramétricas da superfície Dini são: x = (u - t); y = (r * cos(v)); z = (r * sen(v)).


                                                                                                173
processo que é utilizado pelos geógrafos para localizar um ponto qualquer sobre o globo
terrestre, e que utiliza meridianos de longitude e paralelos de latitude.
        No diagrama a seguir, que utiliza um sistema de coordenadas Y (latitude) e X
(longitude), para ir do ponto M até o ponto vizinho N, pode-se adotar o seguinte
processo. Mantendo a longitude constante, vai-se do ponto M até oponto P’; em
seguida, mantendo a latitude constante, vai-se do ponto P’ até o ponto N. A distância
entre os pontos M e N pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras:

                                      .




        Em uma superfície curva, onde as coordenadas não se cruzam em ângulo reto,
não é possível determinar a distância entre os pontos M e N por este teorema. Além
disso, à medida que se vai de uma região a outra, de curvatura diferente, os ângulos
mudam lentamente. Desse modo, a distância entre dois pontos vizinhos é função tanto
das coordenadas quanto das expressões matemáticas que definem a variação da
curvatura da superfície.




       Tornando arbitrariamente pequeno (inifinitesimal) esta distância, Gauss definiu a
distância entre os pontos pela equação:

        ds2 = Edx2 + 2Fdxdy + Gdy2 ,

sendo que esta equação é válida em qualquer superfície curva.127

        No plano euclidiano, a equação se torna:

        ds2 = dx2 + dy2 ,

sendo que E e G são iguais a um, e F igual a zero. Numa superfície curva, entretanto, os
valores numéricos de E, F e G variam, mostrando as variações de curvatura de um

127
   A curvatura (de Gauss) de uma superfície é a medida escalar da taxa de variação da direção de um
vetor normal unitário em torno da superfície. Um plano tem curvatura zero: tem direção normal constante.
Uma esfera tem curvatura constante: o seu vetor normal unitário varia a uma taxa constante em todos os
pontos.


                                                                                                   174
ponto para o outro.128

        Na geometria euclidiana, como se viu, a curvatura é nula em qualquer ponto de
uma superfície plana. Na geometria de Lobachevski, as superfícies possuem uma
curvatura constante e negativa.
        Riemann generalizou a noção de curvatura (que se aplicava unicamente às
superfícies), aplicando-a ao espaço com qualquer número de dimensões (espaços n-
dimensionais). Enquanto Lobachevski preocupava-se em saber quantas paralelas podem
ser traçadas por um ponto fora de uma reta, Riemann criou uma geometria não-
euclidiana muito mais geral, na qual a métrica utilizada determina as propriedades do
espaço. No espaço euclidiano, a métrica que dá a distância entre dois pontos do espaço
infinitesimalmente próximos é dada por:

        ds2 = dx2 + dy2 + dz2.

        Riemann admitiu que poderia asssumir um espaço de número arbitrário de
dimensões, onde lidaria com n variáveis. De início, ele supôs uma super-superfície de
três dimensões, sobre a qual estendeu três famílias de superfícies x, y e z, tomando a
letra g para os coeficientes. A seguir, definiu a distância entre dois pontos vizinhos
deste espaço, generalizando a equação de Gauss (e tomando uma equação específica
como fórmula para a curvatura gaussiana de uma “superfície” nesse “espaço”) na
seguinte equação:

        ds2 = g11dx2       + g12dxdy + g13dxdz +

            + g21dydx + g22dy2            + g23dydz +

            + g31dzdx + g32dzdy + g33dz2

        Um espaço que tem essa métrica é chamado espaço de Riemann. Nesse espaço,
os coeficientes g (ou constantes g) são função de x, y e z. O espaço euclidiano é um caso
especial desse espaço, onde g11 = g22 = g33 = 1 e os outros coeficientes g são iguais a
zero.
        Procurando tornar rigorosos os conceitos relativos aos espaços n-dimensionais,
Riemann, por meio de uma análise cuidadosa, observou o seguinte. Uma partícula pode,
em tese, mover-se continuamente ao longo de uma linha, de ponto para ponto. Ele
chamou então de contínuo a qualquer objeto geométrico com qualquer número de
dimensões, através do qual uma partícula poderia mover-se. Um contínuo de duas
dimensões é uma superfície, e o espaço euclidiano é um contínuo de três dimensões,
incrustado em um contínuo de n dimensões.
        A métrica que define esses espaços exige três números para definir a curvatura
em um contínuo de três dimensões; exige seis números para um contínuo de quatro
dimensões, e assim por diante.
        Riemann sugeriu que, assim como o plano é uma superfície de curvatura nula,
um espaço plano seria aquele no qual seriam nulos todos os números que definem a

128
    Além da curvatura de Gauss, que é intrínseca à superfície e não depende do modo como ela está
imersa no espaço, pode-se definir também a curvatura média em um ponto. Para isso, consideram-se as
curvas determinadas pela intersecção da superfície com planos perpendiculares ao plano tangente a esse
ponto. Tomam-se depois os valores máximo e mínimo das curvaturas destas curvas (curvaturas
principais). A curvatura média da superfície nesse ponto é a média destes dois valores.


                                                                                                 175
curvatura do espaço n-dimensional. No espaço de três dimensões, como se viu, vle a
equação ds2 = dx2 + dy2 + dz2. A diagonal de um cubo de lados dx, dy e dz tem essa
mesma representação matemática, o que sugere que o espaço euclidiano seria
“achatado” (ou seja, o espaço tridimensional poderia ser dividido em cubos iguais, com
os lados dos cubos iguais a dx, dy e dz), ou “plano”. Os espaços métricos de ordem
superior, por outro lado, deveriam ter (de acordo com Riemann) uma curvatura
constante e positiva, mas a verificação disto, afirmou ele, deveria ser de ordem
experimental. Se o espaço tridimensional se curva dentro de um “espaço” de dimensão
superior, isto significa que na geometria não-euclidiana uma outra dimensão é
acrescentada. Neste caso, o espaço curvo pode se tornar esférico, ou espaço “fechado”
(como na geometria de Riemann) ou então hiperbólico, ou espaço “aberto” (como na
geometria de Lobachevski).

       3.1.3– A Geometria de Minkowski/Einstein

        Em 1908, o matemático Hermann Minkowski publicou um trabalho acerca das
equações de Lorentz, no qual introduziu a idéia de que o tempo poderia ser considerado
como uma quarta dimensão, em um contínuo espaço-tempo. Na geometria de
Minkowski, a distância entre dois pontos, em virtude da dimensão-tempo, tem o
seignificado de “intervalos de tempo” entre dois eventos (eventos O e P, na figura
abaixo).




       Este seria, naturalmente, o gráfico de distância para uma geometria
tridimensional, e a equação correspondente se tornaria (os sinais são negativos):



       Para a geometria minkowskiana quadridimensional, a equação seria (c
corresponde à velocidade da luz):

       s2 = t2 – (x/c)2 – (y/c)2 – (z/c)2.

        As concepções de Riemann e Minkowski foram utilizadas por Einstein em sua
Teoria da Relatividade. Nesta, Einstein afirma que a existência da gravidade e a
existência de um limite físico para o deslocamento dos raios luminosos impõem tanto
uma nova concepção para “retas” (na dimensão espaço) quanto para “simultaneidade”
(na dimensão tempo), e que os eventos ocorrem não no espaço ou no tempo, mas sim no
espaço-tempo. Desse modo, a melhor descrição ao que ocorre no espaço universal
exige, além das três dimensões físicas, uma dimensão de tempo. Para Einstein, o espaço


                                                                                  176
é um contínuo quadridimensional, com três dimensões posicionais e uma dimensão que
caracteriza o instante de um evento. Um evento, portanto, é determinado por quatro
números. Mas ao conceito de espaço (espaço-tempo) une-se o conceito de campo, que é
usado para representar os fenômenos físicos: os fenômenos de inércia e gravitacionais.
Estes se explicam por mudanças na métrica do campo, ou, o que é o mesmo, pelas
variações na densidade da matéria e da energia, os quais provocam a curvatura do
espaço. Para Einstein, o conceito de campo substitui com vantagem tanto o conceito de
espaço (estrito) quanto o de matéria.
        Sendo impossível colocar os eventos de um sistema em coordenadas, que são
puramente locais, Einstein apelou para os tensores,129 os quais permitem um estudo de
espaços n-dimensionais sem preocupação com a sua interpretação física. Ao apresentar,
também, fórmulas de transformação entre sistemas diferentes de coordenadas, ele
introduziu um invariante (um absoluto) na relatividade dos sistemas métricos. De
acordo com Einstein, o que se curva não é o espaço, e sim o espaço-tempo; além disso,
em velocidades próximas à da luz, as mensurações neste contínuo quadridimensional, se
efetuadas conforme os moldes da geometria euclidiana, devem apresentar contração
espacial (os objetos de medida – réguas, por exemplo), no sentido do movimento, e
dilatação ou expansão temporal (os relógios), de acordo com as transformações
previstas por Lorentz. Já no contexto de uma geometria não-euclidiana, não tem sentido
falar em contração ou expansão.
        Para visualizar a geometria quadridimensional, costuma-se simplificá-la em uma
representação em duas dimensões. No gráfico a seguir, representa-se a evolução
temporal de uma partícula (o eixo t é chamado de linha-mundo da partícula), sendo que
acima de O representa-se o futuro, e abaixo, o passado. A borda do cone representa o
limite da velocidade da luz, sendo que qualquer partícula deverá estar entre o eixo
vertical e a borda do cone (a única partícula que será encontrada nesta borda é o fóton,
partícula que se desloca com velocidade c). Naturalmente, nenhuma partícula poderá se
localizar além da borda do cone.130 A trajetória OP representa o intervalo de tempo
entre os eventos O e P.




129
   A grandeza tensorial é uma generalização da grandeza vetorial.
130
   Especulativamente, supõe-se a existência de partículas denominadas táquions, cuja velocidade de
deslocamento é maior do que c.


                                                                                             177
178
                                        Capítulo IV

                                Elementos de Topologia

        4.1 – Deformação e Transformação

       A topologia é a parte da geometria que estuda as distorções ou deformações de
objetos.131 A topologia não se preocupa com as suas formas ou proporções, e sim com
as suas propriedades elásticas. Isto significa que a topologia estuda as transformações
ou mudanças na forma de uma superfície que deixam inalteradas as suas propriedades
básicas e a sua superfície como um todo. Embora a forma de um objeto possa ser
completamente transformada, topologicamente ela mantém as suas características.132 No
figura abaixo, por exemplo, apesar da deformação sofrida pela figura, os pontos
apresentam a mesma ordem original.




        Na transformação topológica devem permanecer invariantes duas propriedades,
o interior e o exterior, bem como a vizinhança. O interior compreende todos os pontos
interiores ao objeto, e o exterior, todos os pontos exteriores a ele.
        Muitas vezes interessa saber se um ponto é interior ou exterior; se a figura é
complexa, basta traçar uma linha reta, com início no ponto e terminando exteriormente
à figura. Se esta reta cortar números ímpares de linhas que pertençam à figura, o ponto é
interno (ponto A); se cortar números pares de linhas (ponto B), então o ponto é externo.




        A vizinhança compreende os pontos que estão próximos entre si (pontos
distintos não podem se transformar em pontos não distintos, pela transformação
topológica). A linha que cerca o objeto é denominada fronteira. Os pontos que estão na
fronteira não são interiores nem exteriores.

131
   Veja-se: http://pt.wikipedia.org/wiki/Topologia_(matematica).
132
    A topologia é um ramo da matemática que estuda os espaços não métricos chamados espaços
topológicos., e as propriedades invariantes pelo grupo das deformações. Ela é também chamada de
geometria da folha de borracha. Currículos acadêmicos sobre graduação e pós-graduação em Topologia
podem ser encontrados em: https://sistemas.usp.br/fenixweb/fexDisciplina?sgldis=SMA5883 ou em:
http://www.icmc.usp.br/~topologia/principal.htm.


                                                                                             179
       As transformações topológicas envolvem uma propriedade denominada genus133
da superfície. Define-se o genus como o número de buracos, furos ou cortes fechados
que tem o objeto, que não se interceptam e que se podem fazer na superfície sem dividi-
la em pedaços. Assim, a esfera134 é, topologicamente, o objeto mais simples, porque não
possui furos, e assim se diz que ela tem genus 0 (zero); o toro tem genus 1, um pote de
duas alças tem genus 2, e assim por diante.




        Alguns objetos complexos, como uma cadeira, por exemplo, podem ser difíceis
de classificar, com relação ao genus.




        Dois objetos completamente diferentes, mas de mesmo genus,135 podem ser
transformados um no outro, através de uma deformação contínua que não introduza
rupturas.
        Por exemplo, uma caneca pode ser transformada em um toro, porque ambos
possuem o mesmo genus (genus 1):136




       Qualquer variedade de 2-dimensões possível pode ser construída a partir de uma


133
    Ou gênero.
134
    Como também qualquer corpo de superfície fechada, como o cubo, por exemplo. Mesmo massas
amorfas podem ser assim consideradas.
135
    Objetos equivalente ou homeomorfos.
136
    Note-se que a superfície interna da caneca não é um furo, porque não a atravessa.


                                                                                        180
esfera, pela adição de argolas. A adição de uma argola resulta na superfície gênero-1, ou
toro. A adição de 2 argolas resulta em uma superfície gênero-2, e assim por diante.




          4.2 – Superfícies Topológicas

        Superfícies minimais: são superfícies que possuem a menor área possivel entre
as superfícies com um dado bordo, e por isso têm curvatura média nula. O que
caracteriza uma superfície minimal é que, em torno de qualquer ponto, ela se curva
positivamente ao longo de uma dada direção principal, e negativamente na direção
perpendicular.

        Exemplos de superfícies minimais são as superfícies de sabão, que podem ser
obtidas com estruturas em arame. Outros exemplos de superfícies que podem ser
transformadas continuamente uma na outra através de uma família de superfícies
minimais são a helicóide e a catenóide.137




          Algumas superfícies que se podem conseguir a partir de outras:

      •   Anel de Möbius (também tira, banda ou faixa de Möbius).138 Um anel de
          Möbius pode ser construído unindo as pontas de um anel, depois de o torcer. A
          superfície resultante tem apenas uma aresta, um lado e é não-orientável (não tem
          normal contínua).139




137
    Unindo as extremidades de um tubo ou cilindro obtem-se o toro, que é orientável e é também uma
superfície minimal.
138
    August Ferdinand Möbius (ou: Moebius), (1790-1868), matemático e astrônomo alemão.
139
    Uma das propriedades do anel de Möbius é que ele tem uma única superfície, ou um único lado.


                                                                                             181
       Uma das propriedades do anel de Möbius é que ele é a única estrutura em três
dimensões que tem apenas uma face. Outra propriedade é que, se cortado ao meio
longitudinalmente, surgem dois novos anéis, um maior e outro menor, inserido o menor
no maior.




      •   Garrafa de Klein: outro objeto topológico estranho é a chamada garrafa de
          Klein,140 ou garrafa cuja superfície tem só um lado:




          4.3 – Variedades e Dimensões

      Os espaços, finitos e infinitos, são representados por uma variedade de 3-
dimensões. Segundo a topologia, um espaço chamado de 3-esfera é a variedade de 3-
dimensões compacta141 mais simples.142

       Variedades de 2-dimensões podem ser classificadas por uniformização ou
geometrização, o que significa dar-lhes uma forma rígida. Ou seja, cada uma delas pode
ser moldada em uma forma com curvatura uniformemente distribuída.

       As variedades 2-dimensões formam três tipos geométricos. A esfera apresenta a
denominada curvatura positiva (como no topo de uma colina).143 O toro geometrizado é
plano; possui curvatura zero (como em uma planície).144 Todas as outras variedades,

140
    Felix Klein, matemático alemão (1849-1925). Unindo as extremidades de um tubo com orientações
opostas consegue-se a garrafa de Klein. Topologicamente, diz-se que a garrafa de Klein é “um espaço
topológico obtido pela colagem de duas fitas de Möbius”, e é compacta, não-orientável e conexa.
141
    Variedades que não são compactas podem ser consideradas infinitas ou com contorno.
142
    As variedades de 3-dimensões mais complexas que a 3-esfera apresentam contornos claros como
muros, ou múltiplas conexões de uma região para outra.
143
    A esfera é a única forma que tem curvatura positiva constante.
144
    Na figura b pode ser visto que o toro pode ser mapeado como um plano; para isto, ele é cortado,


                                                                                              182
com duas ou mais argolas, possuem curvatura negativa (parecida com a curvatura de
uma sela).




        Esta classificação geométrica 2-dimensional pode ser aplicada analogicamente a
uma classificação de variedades topológicas 3-dimensional. De modo geral, uma
variedade de 3-dimensões precisa ser dividida em pedaços, sendo que cada um precisa
ser transformado em uma entre oito geometrias tridimensionais canônicas diferentes.145
        A figura abaixo consiste em equivalentes de cinco geometrias: curvaturas de 3-
geometrias positiva constante (a), zero (b), e negativa constante (c), assim como o
produto da 2-esfera e de um círculo (d) e da superfície de curvatura negativa e um
círculo (e).




        Em uma 2-esfera, qualquer laço fechado afixado pode ser encolhido até virar um


formando um cilindro, que é novamente cortado e desenrolado para formar um plano retangular liso.
145
    Conforme a Classificação de Variedades de 3-dimensões de Perelman.


                                                                                                    183
ponto. Em um toro, um laço fica preso em um buraco no meio. Assim, todas as
superfícies, exceto a 2-esfera, possuem argolas nas quais o laço pode ficar preso.146




        4.4 – Teoremas Topológicos

        Teorema das Quatro Cores: Este é um dos teoremas topológicos mais
conhecidos. Ele diz que o número mínimo147 de cores com que é possível colorir um
mapa, de modo que dois países que façam fronteira não fiquem com a mesma cor, é
quatro. Ou seja, quatro cores são suficientes para colorir qualquer mapa, mantendo os
países diferenciados por uma delas.

        Na fita de Möbius, são necessárias seis cores para garantir que nenhuma área
terá a mesma cor que a área vizinha.




        Para o toro, são necessárias sete cores para garantir a mesma finalidade.




      Teorema do ponto fixo: este teorema diz que, se uma folha de papel quadriculada
e numerada seqüencialmente é amarrotada e colocada sobre outra folha idêntica, há


146
    De acordo com a chamada Conjectura de Poincaré, a 3-esfera é a única de todas as variedades de 3-
dimensões na qual qualquer laço nela pode ser colapsado até virar um ponto, pois em todas as variedades
de 3-dimensões, o laço pode ficar preso. Esta conjectura pode ter sido provada pelo matemático russo
Grigory Perelman, em 2002.
147
    Quatro é o número mínimo e suficiente para colorir qualquer mapa.


                                                                                                  184
sempre um número que fica em cima do seu correspondente.148 Esta transformação de
superfície é chamada de transformada em si mesma.




       Teorema do Ponto Fixo em um Disco: por este teorema, se todos os pontos em
torno do ponto preto no disco se irradiarem para fora, em um padrão de fluxo regular
(no sentido da linha limite do disco, mas não além dela), o ponto deve permanecer fixo.




148
   Um dos pontos da folha amarrotada deve continuar em seu ponto de partida. No exemplo, o ponto fixo
é um ponto situado na região do número 78.


                                                                                                185
186
                                          Capítulo V

                                 Outras Geometrias e Topologias

           5.1 – Curvas Continuamente Deformáveis

           5.1.1 – Enlaces e Anéis

        Um dos princípios fundamentais da topologia é o que diz que duas
circunferências no espaço149 podem estar encadeadas ou não encadeadas. Neste último
caso, é possível separá-las completamente, o que não é possível no primeiro caso.




       É impossível deformar continuamente as circunferências acima de modo a que
elas mudem de uma condição para a outra.
       Entretanto, podem existir dois enlaces que podem ser continuamente deformados
até se transformarem um no outro, através de quatro movimentos elementares que
modificam a forma como um laço cruza o outro. Estes quatro movimentos são
chamados operações topológicas elementares.
       Nestas operações, empurra-se um pedaço de fio em forma de U por cima ou por
baixo do outro fio, ou ele é puxado de volta, por cima ou por baixo.




      A forma como as circunferências vão se cruzando a cada deformação contínua é
uma conseqüência dessas operações.

       Uma operação elementar modifica o total de cruzamentos. Os anéis encadeados
possuem características que se mantêm inalteradas (invariantes) com a deformação
continua, característica esta que os anéis não encadeados não possuem.

           Um primeiro invariante é a paridade do número de cruzamentos, quando um fio

149
      Que são curvas fechadas.


                                                                                  187
(vermelho) está por cima do outro (preto). A paridade de um número diz se ele é par ou
ímpar.
       Nos enlaces encadeados e não encadeados simples, o total de voltas de um fio
em volta do outro é 1 (ímpar), no primeiro caso, e é zero (par), no segundo caso.
Entretanto, nos enlaces mais complexos (entrançamentos com diversos cruzamentos), a
paridade par não garante que o enlace possa ser dissolvido (separado).

       Um segundo invariante pode ser associado a um enlace, dividindo o número de
cruzamentos por 4, e tomando o resto 0, 1, 2 ou 3. Deste modo, dois enlaces a mesma
paridade, possuem tetridade (divisão por 4) diferentes.

       O número de enlaçamentos, um terceiro invariante topológico, é o número de
vezes que um fio atravessa de um lado para o outro.
       Na figura a seguir, seguindo as setas,150 a linha atravessa três vezes de baixo
para cima (+1), e uma vez de cima para baixo (-1) : +1 +1 +1 -1 = -2.




        O número de enlaçamento só pode ser modificado se um laço for atravessado em
forma de U através do fio fechado. Deste modo, surgem ou desaparecem dois pontos de
intersecção. Entretanto, como se pode notar na figura, os dois pontos são contados como
+1 e -1, porque as direções em que os fios atravessam de um lado para o outro são
opostas.




      Topologicamente, nenhum dos três invariantes é um invariante perfeito;151
nenhum é capaz de dizer com certeza que dois enlaces podem ser transformados um no


150
      Se a direção das setas for invertida, o sinal do número de enlaçamento muda.
151
      Não se conhece nenhum invariante perfeito para enlaces.


                                                                                     188
outro por deformação contínua.152

        5.1.2 – Nós e Tranças153

       Na teoria dos nós, o que se quer saber é se é possível transformar um
emaranhado em outro, através de uma deformação contínua. Em outras palavras, o que
se quer saber é se as partes de um emaranhado podem ser separadas sem abrir ou fazer
um novo um nó, e sem cortar nenhuma parte.154

       O emaranhado de nós é chamado de enlace, e de componente, o fio com as duas
pontas amarradas (topologicamente, uma curva fechada, com ponto duplo livre). No
emaranhado podem existir nós, ou laços sem nós, as chamadas circunferências. Neste
caso, deseja-se saber também se um dado enlace com n componentes pode ser desatado
em n circunferências não conectadas.

        Para a solução, são usados invariantes topológicos em forma de teorema. Um
deles é o chamado Polinômio de Alexander.155 A cada nó é associado um polinômio em
uma variável t, que pode ser calculada através de um procedimento definido. Entretanto,
este polinômio, ainda que suficiente para distinguir entre um nó trifólio e um nó
quadrado (veja-se a figura a seguir), não é capaz de distinguir entre um nó quadrado e
um nó da avó, ou entre um trifólio esquerdo e um trifólio direito. Por esta razão,
costuma-se usar o Polinômio de Jones.




152
    Dois enlaces com diferentes invariantes devem ser topologicamente diferentes (não são equivalentes).
Mas isto não significa que se tiverem o mesmo invariante serão topologicamente iguais. Só é possível
saber se dois enlaces são equivalentes realizando-se uma deformação específica que transforme um no
outro.
153
    Uma trança é um sistema entrelaçado de linhas que, de modo diferente dos enlaces, não se fecham em
um laço, mas iniciam e terminam no equivalente matemático de duas fivelas de cabelo, uma acima e outra
abaixo da trança. A trança pode ser suposta como um tipo especial de enlace, só que cortado.
154
    Há aqui uma vantagem em relação ao enlaces vistos no item anterior. Neste caso, com uma simples
conta, e sem tocar um nó, é possível saber se ele pode ser desfeito, ou não.
155
    Descoberto em 1926 por James W. Alexander (1888-1971).


                                                                                                   189
        O matemático Vaughan Jones investigou a semelhança entre objetos
matemáticos de origens diversas156 e descobriu uma forma de definir um invariante
polinomial para enlaces. Foi de onde surgiu o seu polinômio.
        Outro polinômio ainda mais geral foi uma descoberta coletiva, e das iniciais de
seus descobridores surgiu o seu nome: Polinômio de HOMFLY (de Hoste, Ocneanu,
Millet, Freyd, Lickorish e Yetter).

       Cada enlace é definido pelos seus cruzamentos e pela forma como estão
conectados entre si.157 Ao se deformar continuamente um enlace, a sua projeção
também se modifica. Mas as relações entre as posições dos cruzamentos entre si
permanecem iguais de modo geral, ainda que as curvas conectoras se modifiquem.
Entretanto, às vezes, os próprios cruzamentos se modificam.

      De acordo com o matemático Kurt Reidemeister, para todas as modificações
imagináveis devem ser considerados apenas três movimentos elementares.

       O primeiro movimento é a torção. Neste caso, um pedaço de linha em forma de
U é torcido em 180 graus e devolvido à superfície plana, de forma a surgir um laço. A
operação inversa, a destorção, torna possível conseguir um pedaço de linha sem
cruzamento a partir de um laço.

      O segundo movimento é o entrelaçamento. Consiste em empurrar um pedaço de
fio em forma de U para baixo ou para cima de outro, de modo a surgirem dois
cruzamentos superiores ou inferiores, lado a lado. A operação inversa (que pode ser
chamada desentralaçamento) desata a malha.

       O terceiro movimento é a transposição. Neste caso, um fio é puxado passando
por cima de um cruzamento de dois outros fios. Não existe uma operação inversa neste
caso, porque ela faria a mesma coisa.




       Olhando-se a projeção, pode-se ver que toda deformação contínua de um
determinado enlace é uma conseqüência dessas operações elementares. Deste modo,


156
    Jones investigava a função traço na álgebra de operadores, e se percebeu que alguns de seus
operadores se comportavam de modo muito similar àqueles da teoria das tranças.
157
    É o denominado esquema da projeção.


                                                                                          190
para provar que um determinado teorema é um invariante de enlace, é suficiente
demonstrar que cada uma das três operações elementares o mantém inalterado.

       Com algumas operações é possível construir um polinômio simples (chamado
polinômio de chaves158) e demonstrar, com a ajuda das operações elementares, que ele é
um invariante.159
       No polinômio de chaves, a variável a tem tanto potências positivas quanto
potências negativas. Por exemplo, a7 – 3a2 + 2a-3 – 5a-6 pode ser um polinômio de
chaves. Se K é um enlace, então representa-se o polinômio de chaves correspondente
por <K>.
       Existem três regras para o cálculo de polinômios de chaves.

        Regra 1 < O > = 1 160
        Regra 2 < KO > = - [ a-2 + a2 ] < K > 161
        Regra 3 < X > = a < > + a-1 < >

        Por exemplo, o polinômio de chaves do nó de trevo que se constrói com as
regras é: a7 – a3 – a.

        O efeito das operações básicas sobre o polinômio de chaves é o seguinte:




        5.2 – Politopos

       Os politopos, ou poliedros de Schläfli,162 são os análogos multidimensionais dos
polígonos e poliedros.163
       Assim como os polígonos são traçados no plano e os poliedros são traçados no
espaço de dimensão 3, os politopos são traçados em espaços de dimensão 4 ou maior.
       Schäfli descreveu os poliedros regulares em dimensão 4. Nesta dimensão
possuem vértices, arestas, faces de dimensão 2 e faces de dimensão 3:

158
    Este polinômio não é exatamente um invariante; é um quase-invariante. Isto porque ele é invariante
sob entrelaçamento e transposição, mas não sob torção.
159
    Adaptado de O Polinômio de Jones, In: Scientific American, Matemática. Edição Especial no. 1. São
Paulo: Duetto Editorial, 2002.
160
    O polinômio de chaves da circunferência é a constante 1.
161
    Se a um dado enlace K é acrescentada uma circunferência (não entrelaçada com ele), o polinômio de
chaves deve ser multiplicado por - [ a-2 + a2 ].
162
    Ludwig Schläfli (1814-1895), matemático suíço, criador da geometria multidimensional.
163
    Os politopos, por serem multidimensionais, não se pode dizer que são figuras sólidas.


                                                                                                 191
       Nome       Denominação          V          A             F 2D                F 3D
       Simplex     Pentacore            5        10        10 triângulos         5 tetraedros
      Hipercubo    Tesseract           16        32        24 quadrados            8 cubos
         16      Hexadecacore           8         24       32 triângulos         16 tetraedros
         24      Icositetracore         24        96       96 triângulos         24 octaedros
         120    Hecatonicosacore       600      1200      720 pentágonos       120 dodecaedros
         600     Hexacosicore          120       720      1200 triângulos       600 tetraedros

       Um dos mais famosos politopos é o tesseract, que é o cubo em dimensão 4
(hipercubo). Para visualizá-lo, utiliza-se o seguinte artifício.
       Assim como objetos tridimensionais podem ser representados (por projeção) em
uma superfície bidimensional, um objeto de dimensão 4 (que se encontra no espaço de
dimensão 4) e que se move neste espaço, iluminado, sua sombra deve projetar sobre
uma tela (que é agora o espaço de dimensão 3) uma imagem capaz de dar uma idéia da
forma do objeto 4D.




          5.3 – Poliominós

       Poliominós são figuras geométricas compostas por quadrados. Cada quadrado é
adjacente a um ou mais quadrados pelos lados.164 O número de quadrados que formam o
poliominó corresponde ao seu grau.165
       Os poliominós podem ser classificados de duas maneiras: poliominós de lado
único e poliominós de forma livre.

          •   Poliominós de lado único: são poliominós que não podem ser obtidos uns
              dos outros por qualquer composição de rotações.
          •   Poliominós de forma livre: são poliominós que não podem ser obtidos uns
              dos outros por qualquer composição de rotações e reflexões.

          5.3.1 – Operações com Poliominós

          As operações que os poliominós podem receber são as seguintes:

          Translação: ocorre quando a figura desliza para uma nova localização, sem

164
   Cada quadrado tem que estar ligado a pelo menos um dos quadrados restantes por uma das arestas.
165
   A ordem do poliominó corresponde ao número de quadrados que o compõe: se for formado por um
único quadrado é um monominó, se for formado por dois quadrados é um dominó, por três quadrados é
um triminó, por quatro é um tetraminó, por cinco é um pentaminó, e assim por diante.


                                                                                             192
mudar a sua orientação.




      Reflexão: ocorre quando uma figura é virada de forma tal que se cria uma
imagem de espelho da figura original.




        Rotação: ocorre quando um figura é girada em torno de um eixo fixo (a figura
        abaixo mostra uma rotação de 90º).




        5.3.2 – Geração de Poliominós

       A geração de poliominós é bem simples. Dados os poliominós de grau n-1,
podem obter-se todos os poliominós de grau n através de um processo recursivo. O
processo inicia com o único poliominó de grau 2, formado por dois quadrados.

        Dado um poliominó de grau n-1, são gerados poliominós de grau n adicionando
à figura um novo quadrado em cada uma das posições possíveis.
        A imagem a seguir ilustra este processamento. A figura cinzenta representa o
poliominó original, e o quadrado vermelho, o quadrado que é adicionado à figura
original em cada uma das posições possíveis.166




        Para cada um dos poliominós obtidos, determina-se se devem ser adicionados à
lista de poliominós de grau n encontrados até ao momento. Para isso, verifica-se se o
poliominó pode ser obtido de um dos poliominós já encontrados.
        Na geração de poliominós de lado único, verifica-se se pode ser obtido de
rotações.
        Na geração de poliominós de forma livre, verifica-se se pode ser obtido por uma
composição de rotações e reflexão.167


166
    Note-se que a figura original (de grau 3) tem sempre o mesmo formato (mas há um segundo formato
para o triminó). O quadrado vermelho faz uma rotação à sua volta, ocupando sete posições sucessivas.
167
    Apesar de serem formadas sete figuras, a forma livre do tetraminó tem somente cinco figuras (B e G, e
D e E são uma única figura: por exemplo, E é uma rotação de D).


                                                                                                    193
          5.3.3 – Conjuntos de Poliominós de Forma Livre

          Os conjuntos de poliominós de forma livre até ao grau 7 são os seguintes.168

       Monominós: poliominós de grau 1 são compostos por um único quadrado.
Destes, obviamente, existe apenas um.




       Dominós: existe também apenas um único poliominó de grau 2, composto por
dois quadrados.




          (As figuras        e      constituem um único dominó).

          Triminós: compostos por três quadrados, existem apenas dois poliominós de
grau 3.




       Tetraminós: os poliominós de grau 4 são as peças do jogo Tetris. Existem cinco
na forma livre.




          Pentaminós: é outra designação dos poliominós de grau 5. Existem 12 deles.



       Um pentaminó é uma figura plana formada por cinco quadrados congruentes de
tal modo que cada quadrado tem pelo menos um dos seus lados adjacente a um outro
quadrado.

       Os pentaminós são um caso particular dos poliominós. Foram inventados por
Solomon W. Golomb em 1954, que se interessou por estas figuras ao estudar
matematicamente um antigo puzzle composto por peças distintas, cada uma formada por
cinco quadrados unidos pelos seus lados de maneira diferente.




168
   A poliominologia é o estudo dos poliominós e das suas propriedades. Ela tenta responder a perguntas
do tipo: quantos poliominós diferentes de uma determinada ordem podem ser encontrados? Até hoje, só
se sabe qual é o número de poliominós existentes para ordens até 18.


                                                                                                 194
        Hexaminós: existem 35 poliominós de grau 6 distintos.




        Alguns dos poliominós de grau 6 são dobragens de cubo.169 Por dobragem de
cubo entende-se uma figura que, por meio de dobragens apropriadas, possa ser
transformada em um cubo.
        Cada dobragem individual tem sempre como eixo um lado de um dos quadrados
que formam o hexaminó. Não é permitido “rasgar” a figura em qualquer um dos passos
das dobragens.

      As imagens seguintes ilustram um exemplo da dobragem de um cubo a partir de
um hexominó.




       Os poliominós de grau 6 de forma livre que correspondem a dobragens de um
cubo estão indicados na figura a seguir.




        Heptaminós: existem 108 poliominós de grau 7.




169
   Basta inspecionar as figuras para se perceber que nem todos os hexaminós podem ser dobrados de
forma a se obter um cubo.


                                                                                            195
        5.4 – Hexaflexágonos

        Hexaflexágonos são papéis hexagonais dobrados em tiras de papel, e que
revelam faces diferentes quando são flexionados. O hexaflexágono descrito aqui tem
seis faces diferentes, daí o nome hexahexaflexágono.
        De acordo com Martin Gardner,170 os hexaflexágonos surgiram em 1939, com o
estudante de graduação da Universidade de Princeton, na Inglaterra, Arthur H. Stone.

        5.4.1 – Como Fazer um Hexahexaflexágono

        O diagrama a seguir ilustra como dobrar uma variedade de hexahexaflexágono a
partir de uma tira de papel.




        Corta-se uma tira de papel e divide-se-a em 19 triângulos eqüiláteros, como
mostrado acima em (A). Os triângulos são numerados assim: 1, 2, 3, de um lado, e 4, 5,
6 do outro. Podem ser usados também seis cores, formas geométricas ou símbolos para
identificar os triângulos.
        Na frente da tira, a numeração padrão é 1, 2, 3, 1, 2, 3 etc., com o 19.° triângulo
deixado em branco. Este será usado para colar a tira ao final. No lado de trás da tira a
numeração padrão é 4, 4, 5, 5, 6, 6, etc., com o primeiro triângulo deixado em branco.
Os triângulos em branco estão em lados opostos da tira, em lados opostos.
        A seguir, dobra-se a tira de modo tal que os números no lado de baixo fiquem
face a face com números iguais, ou seja, 4 com 4, 5 com 5, 6 com 6. O resultado é

170
  Um capítulo que descreve hexágonos pode ser encontrado no livro de Martin Gardner, Mathematical
Puzzles and Diversions, publicado inicialmente em 1959, mas sempre republicado.


                                                                                            196
mostrado em (B), acima. Com efeito, a tira foi dobrada até tornar-se uma espiral
achatada.
       Dobra-se a tira para trás na linha A-B, e de novo para trás na linha C-D da figura
(C). Ao final, dobra-se em C-D, trazendo a ponta da tira para cima e para frente, de
modo que os triângulos numerados em 3 fiquem face a face aos outros triângulos
numerados em 3. O resultado é mostrado em (D).
       Finalmente, dobra-se a aba excedente do último triângulo e colam-se as duas
faces em branco juntas.
       Se for feito corretamente, uma face do hexágono terá todos os triângulos com
números 1, e a outra face, toda com números 2.

        A largura da tira original depende de quão grande se queira o
hexahexaflexágono resultante, bem como da espessura do papel. Papéis mais grossos
irão requerer modelos maiores, para ficarem mais fáceis de dobrar.

        Para flexionar o hexaflexágono, começa-se agarrando com os dedos dois
triângulos juntos ao longo de uma das bordas.
        Empurra-se para dentro o canto exterior dos dois triângulos opostos.
        Em seguida, abrem-se para cima os dois triângulos opostos no centro, para
revelar a face interna do hexaflexágono. Se não abrir, tente-se pegar um par adjacente
de triângulos (se o modelo não abrir em uma borda, com certeza abrirá em uma borda
adjacente. Mas se o modelo foi construído erradamente, será difícil flexioná-lo).
        Continuando a flexionar o hexaflexágono, ele irá eventualmente mostrar todas as
faces. Para este modelo, as faces 1, 2 e 3 irão aparecer mais freqüentemente do que as 4,
5 e 6.

       5.5 - Poliedros Móveis e Poliedros Oscilantes

       Poliedros móveis: são objetos geométricos sólidos cujos vértices podem sofrer
movimentações limitadas, sem que a figura se rompa e sem que o volume se modifique.
A figura abaixo mostra um exemplo de poliedro móvel, chamado de Poliedro de
Connely-Steffen, com as respectivas instruções de montagem (distâncias dadas em
centímetros).




                                                                                     197
                         (Deixar bordas para serem coladas).


       O modelo abaixo, pronto e colado, seguro com dois dedos pelas extremidades de
sua aresta mais longa, pode ter o seu vértice oposto movido de um lado para o outro em
cerca de 10 graus.




                                                                                  198
        Poliedros oscilantes: são objetos que podem adquirir diversas formas mais ou
menos simétricas, a partir de uma disposição geométrica inicial. A figura a seguir dá o
esquema171 para montar o chamado Corpo transformável de 16 partes, de Klaus-Dieter
Pfeffer, cujas variações são dadas logo a seguir.




171
      Para recortar e montar, a figura deve ser aumentada de modo que a maior aresta fique com 8 cm.


                                                                                                       199
        5.6 – Origami

      Origami172 é a arte japonesa de dobrar papéis. É uma arte meticulosa, que pode
conseguir prodígios de construção como o dragão de papel, mostrado na figura a seguir.




       Como arte, o origami pode dar origem a uma grande quantidade de objetos de
papel originais. Atualmente cartões de todo tipo,173 livros didáticos, recreativos ou de
divulgação científica costumam usar figuras origami, para ilustração.174




172
       A     origem,    história     e   evolução      do     origami    pode    ser     encontrada   em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Origami.
173
    Do tipo que, quando o cartão se abre, várias figuras se destacam, em três dimensões.
174
    Exemplos retirados do site: http://www.origami.com.br/about/index.html.


                                                                                                      200
       Há toda uma teoria geométrica associada às figuras origami. O problema
específico é saber se podem, ou não, ser construídas figuras com dobraduras.175
Considerando somente dobraduras planas cujos vincos representam retas ou segmentos
de retas, as construções geométricas que podem ser realizadas por dobraduras foram
agrupadas em sete casos, conhecidos hoje como os Axiomas de Huzita-Hatori.176




175
    Problemas que consideram o corte e a dobradura (empacotamento) são chamados Bin Packing
Problems, em uma, duas ou três dimensões. Estes problemas, no entanto, não serão abordados aqui.
Informações sobre este tema podem ser vistas em: http://www.astrokettle.com/index.html; na
WIKIPÉDIA, no verbete Bin Packing Problem, em: http://en.wikipedia.org/wiki/Bin_packing_problem;
em http://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/bpack/bpack.htm (para algoritmos em 1D), ou, em
português: http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxi_cnmac/PDF/188.pdf.
176
    O estudo algébrico destes axiomas conduziu a um resultado importante: as dobraduras podem
solucionar problemas que envolvem equações quadradas, cúbicas e quárticas com coeficientes racionais
(insolúveis por construções feitas com régua e compasso). Além desses, podem ser resolvidos também
problemas como a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo.


                                                                                               201
       5.6.1 – Axiomas da Dobragem Origami177

       1) Dados os pontos p1 e p2, existe apenas uma dobra que passa por eles;




       2) Dados os pontos p1 e p2, existe apenas uma dobra que coloca p1 sobre p2;




       3) Dadas as linhas l1 e l2, existe uma dobra que coloca l1 sobre l2;




      4) Dados um ponto p1 e uma linha l1, existe uma dobra única que é
perpendicular a l1 e que passa por p1;




       5) Dados dois pontos p1 e p2 e uma linha l1, existe uma dobra que passa coloca
p1 sobre l1 e que passa por p2;

177
    Veja-se: http://www.langorigami.com/science/hha/hha.php4. Veja-se também: Origami Design
Secrets, de Robert Lang.


                                                                                        202
       6) Dados dois pontos p1 e p2 e duas linhas l1 e l2, existe uma dobra que pões
simultaneamente p1 sobre l1 e p2 sobre l2;




        7) Dados um ponto p1 e duas linhas l1 e l2, existe uma dobra que coloca p1
sobre l1 e que é perpendicular a l2.




        5.6.2 – O Problema da Dobragem de Papel178

        O Origami, sendo uma dobragem de papel, acarreta a seguinte questão: quantas
vezes uma folha de papel de qualquer tamanho ou largura pode ser dobrada em sua
metade? Tradicionalmente, acreditava-se na impossibilidade de fazer esta dobragem
oito ou mais vezes.
        Tal impossibilidade era atribuída à espessura das camadas de papel que resultava
após algumas dobras Como, em cada dobra, duplica-se a quantidade de camadas de
papel, para fazer a oitava dobragem deveriam ser dobradas 128 camadas, o que
supostamente exigiria uma força extraordinária. Mesmo com um papel de 0,1 mm de
espessura, o maço de papéis resultante seria difícil de dobrar, e atingiria uma altura
considerável.

        Em janeiro de 2002, a estudante americana de ensino médio, Britney Gallivan,
não só demonstrou essa possibilidade ao dobrar um papel 11 vezes,179 como ainda
construiu um modelo matemático para prever o tamanho do papel necessário para
realizar uma quantidade arbitrária de dobras. A figura a seguir mostra a dobragem feita
por Britney.180




178
    Conhecido como Paper Folding Problem.
179
    Britney fez 9, 10, 11 e 12 dobragens sucessivas.
180
    Veja-se o site: http://orig4mi.wordpress.com/2008/10/17/mito-detonado-parte-1/.


                                                                                      203
       A estudante deduziu duas fórmulas matemáticas:181 uma para o caso em que as
dobras são feitas em direções paralelas (é o mesmo que dobrar uma folha extensa de
papel higiênico, reduzindo seu comprimento cada vez pela metade); outra, para o caso
em que as dobras são feitas em direções perpendiculares, de maneira alternada (é o caso
de se dobrar uma folha quadrada, girando-a 90° cada vez).

        Comprovou-se que a quantidade de papel necessária no primeiro caso é menor
que na segunda. O recorde de 11 dobras foi realizado com dobras paralelas, sobre uma
tira de papel higiênico de cerca de 1200 m de comprimento.

      As figuras abaixo mostram um corte da folha após a primeira dobra (esquerda),
segunda (centro) e terceira (direita).




       Calcula-se então quanto papel é gasto em cada dobra, começando pela primeira
(D1). Supõe-se, para simplificar, que a folha de papel não se estica, nem se comprime.
Ao formar a dobra, a superfície interna do papel deve se enrugar, acompanhando a
curva da superfície externa. As rugas não estão representadas no esboço acima, e são
desprezados quaisquer efeitos que possam ter nos cálculos.

       Assim, o comprimento de papel gasto na dobra D1 é igual ao comprimento do
arco da semicircunferência externa, de raio igual à espessura do papel.

           l1 = πd.

       A segunda dobra, D2, é feita em duas camadas de papel, e forma duas
semicircunferências, de raios d e 2d, portanto:


181
      Veja-se o site: http://pomonahistorical.org/12times.htm.


                                                                                   204
        l2 = πd + 2πd = 3πd

       A terceira dobra é realizada com 22 = 4 camadas, e forma quatro
semicircunferências de raios d, 2d, 3d e 4d. Em geral, a n-ésima dobra é feita em 2n-1
camadas, e o comprimento de papel gasto é de:

        ln = πd + 2πd + ... + 2n-1πd = πd (1 + 2 + ... + 2n-1).

       A soma entre parênteses, sendo uma soma aritmética finita (ou uma progressão
aritmética), com diferença constante entre os termos consecutivos, é igual a:

        a1 + a2 + ... + ak = k (a1 + ak)/2.
        Portanto:

        ln = 2n-1πd (1 + 2n-1)/2 = (πd/2)(22(n-1) + 2n-1).

        O comprimento L de papel gasto em todas as n dobras realizadas resulta de:



        Cada uma das somas à direita é uma série geométrica finita, em que o quociente
entre termos consecutivos é constante, e pode ser calculada pela fórmula:

        1 + r + r2 + ... + rk = (1 – rk+1)/(1 – r ).


        Para o caso de uma dobragem em uma simples direção a equação é dada por:

       L = π.t . (2n + 4)(2n – 1)
            6
onde L é o menor comprimento possível do material, t é a sua espessura, e n é o número
de dobras possíveis em uma direção (L e t devem ser expressos em uma mesma
unidade).

        A dobragem em uma direção alternativa tem o seguinte limite:

        W = π.t.23(n-1)/2

       Esta equação dá o valor de W, de uma peça quadrada de papel, necessária para
dobrar a peça n vezes.

        5.6.3 – Resolvendo Problemas Geométricos com Dobragem Origami182

        1) Fazer a trissecção de um ângulo qualquer com dobragem origami.



182
   Estas construções devem ser realizadas em papel. Os exemplos foram retirados do texto Matemática e
Origami, onde podem ser encontrados inúmeras outras dobragens origami, com demonstrações
matemátcas. O texto (PDF) pode ser encontrado em: http://www.atractor.pt.


                                                                                                205
           Numa folha quadrada marcar um ângulo agudo qualquer.
           Dobrar horizontalmente a folha e marcar o ponto C.
           Dobrar horizontalmente a folha a partir do ponto médio B, de AC.




       Dobrar de forma que o ponto A fique sobre a linha horizontal indicada, e o ponto
C sobre a linha oblíqua marcada em (1).
       Marcar os pontos A’, B’ e C’.183




           Por último, vincar os segmentos AA’, AB’ e AC’.




183
      Na dobragem, o ponto B é transportado, indicando a posição do ponto B”.


                                                                                   206
      2) Dividir um quadrado de papel em três retângulos iguais, com dobragem
origami.

       Dobrar um quadrado de papel ABCD de modo a A coincidir com D e B
coincidir com D. Ficam assim determinados os pontos E e F, pontos médios de AD e
BC, respectivamente.




      Abrir em seguida o papel, fazendo D coincidir com F.




                                                                            207
        O ponto G encontrado é o ponto de interseção de AD com AB na nova posição.
Assim, AG = 1/3 AB.
        Dividir o segmento GB ao meio (com isso, AB fica dividido em três segmentos
iguais), e vincar nos pontos encontrados.




       Os vincos marcam a divisão do quadrado em três retângulos iguais.

       3) Duplicar um cubo,utilizando a dobragem origami.

       Tomando e girando a figura anterior, considerar o lado do quadrado igual a c.




       Dobrar de forma que o ponto A fique sobre a borda direita, e o ponto B sobre a
linha horizontal, como mostrado abaixo.



                                                                                   208
      O ponto A’ encontrado na borda direita divide o lado do quadrado em dois
segmentos, t e a, cuja razão entre si é de 3√2.

       Deste modo, o segmento t encontrado é a aresta de um cubo que tem exatamente
o dobro do volume do cubo cuja aresta é a.184

      4) Dobrar uma folha de papel de modo que os nove pontos dispostos sobre ela
fiquem alinhados.185




184
      A demonstração matemática desta dobragem pode ser encontrada no texto citado.
185
      Problema retirado de ADAMS, James L. 1994, p. 42.


                                                                                      209
        5.7 – Elementos de Teoria dos Grafos186

        O nome grafo (G) é um conceito abstrato e intuitivo que se usa para representar
a idéia de uma relação existente entre vários objetos. Graficamente, é representado por
pontos (nós ou vértices), que significam os objetos. Estes são unidos por traços
denominados arestas, que configuram a relação. A figura à direita à denominada self-
loop.




        A representação matemática de um grafo é: G = (V,E), em que V é o conjunto de
vértices, e E é o conjunto de arestas, ou ligações entre os vértices.187 O grafo G(V,E) é
definido pelo par de conjuntos V e E, em que:


186
    Para maiores informações, veja-se: http://www.inf.ufsc.br/grafos/livro.html. Veja-se também o site:
http://www.dimap.ufrn.br/~dario/arquivos/Cap2_Grafos-2001.pdf.
187
    ( | V | = n , | E | = m ).


                                                                                                  210
        V - conjunto não vazio: os vértices ou nodos do grafo;
        E- conjunto de pares ordenados a = (v,w).

       No exemplo, V = {1,2,3,4,5,6} e E = {(1,3);(2,3);(3,4);(3,5);(6,6)}. Geralmente,
usa-se a variável vi ou xi , para i = 1,2,3,...,n , para distinguir os nós. | V | = 6 , | E | = 5.

        Seja, por exemplo, o grafo G(V,E) dado por:

        V = { p | p é uma pessoa }
        E = { (v,w) | < v é amigo de w > }

Esta definição representa toda uma família de grafos. Um exemplo de elemento desta
família (G1) é dado por:

        V = { A , B, C, D }
        A = { (A,B) , (A,C) , (B, C) , (B,D) }




                                               G1

      Note-se que, neste exemplo, só há amizade de D com B. Todos os outros
elementos possuem amizade entre si. Nota-se também que a relação <v é amigo de w> é
uma relação simétrica, ou seja, se <v é amigo de w> então <w é amigo de v>. Como
conseqüência, as arestas que ligam os vértices não possuem qualquer orientação.

        Diz-se que um grafo é direcionado ou orientado (e é denominado dígrafo)
quando o sentido das ligações entre os vértices é considerado. Denomina-se arco à
aresta direcionada.
        O dígrafo é representado matematicamente por G(V,E) , em que V é o conjunto
de vértices e E é uma relação binária em V, das ligações.




         Neste exemplo, V = {1,2,3,4,5,6} e E = {(3,1);(2,3);(4,3);(3,5);(6,6)}. | V | = 6 e
| E | = 5.

        Considere-se o grafo definido por:



                                                                                             211
        V = { p | p é uma pessoa da família Z }
        A = { (v,w) | < v é pai ou mãe de w > }

        Um exemplo de deste grafo (G2) é:

        V = { A,B,C,D,F,G }
        A = {(B,A), (D,C), (G,A), (F,D), (G,D)}




                                                G2

       AS relações aqui definidas não são simétrica, porque se <v é pai/mãe de w>,
não é o caso de <w é pai/mãe de v>. Há, então, uma orientação na relação, com um
correspondente efeito na representação gráfica de G.

        5.7.1 – Grafos: Características e Definições

        Ordem: a ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de
vértices, ou seja, pelo número de vértices de G.

        Adjacência e Incidência: em um grafo simples, dois vértices v e w são adjacentes
(ou vizinhos) se há uma aresta a = (v,w) em G (é o caso, por exemplo, de A e B em
G1).188 Está aresta é dita ser incidente a ambos, v e w.189

        Duas arestas são ditas adjacentes se possuem uma extremidade (vértice) comum.

        No caso do grafo ser dirigido, a adjacência (vizinhança) é especializada em:

                •    Sucessor: um vértice w é sucessor de v se há um arco que parte de v
                     e chega em w. Em G2, por exemplo, diz-se que A e D são sucessores
                     de G.
                •    Antecessor: um vértice v é antecessor de w se há um arco que parte
                     de v e chega em w. Em G2, por exemplo, diz-se que B e G são
                     antecessores de A.

        Grau: O grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são

188
    Em outras palavras, dois vértices v ∈ V e w ∈ V de um grafo G(V,E) são denominados adjacentes se
existe a aresta (v,w), ou seja, (v,w) ∈ E.
189
    Uma aresta é incidente a um vértice se este vértice for uma de suas extremidades. Deste modo, as
arestas (u,v) e (v,w) são incidentes ao vértice v.


                                                                                               212
incidentes. Em G1, por exemplo:

       grau(B) = 3
       grau(A) = 2

       No caso do grafo ser dirigido (G2), a noção de grau é especializada em:

               •   Grau de emissão: o grau de emissão de um vértice v corresponde ao
                   número de arcos que partem de v. Em G2, por exemplo:

               grauDeEmissão(B) = 1
               grauDeEmissao(G) = 2
               grauDeEmissao(C) = 0

               •   Grau de recepção: o grau de recepção de um vértice v corresponde ao
                   número de arcos que chegam a v. Em G2, por exemplo:

               grauDeRecepção(A) = 2
               grauDeRecepção(F) = 0
               grauDeRecepção(C) = 1

        Fonte: um vértice v é uma fonte se grauDeRecepção(v) = 0. É o caso dos
vértices B, G, F, em G2.
       Sumidouro: um vértice v é um sumidouro se grauDeEmissão(v) = 0. É o caso,
por exemplo, dos vértices A e C, em G2.

        Laço: um laço é uma aresta ou arco do tipo a = (v,v), ou seja, que relaciona um
vértice a ele próprio. No exemplo abaixo, há três ocorrências de laços para um grafo não
orientado.




       Grafo Regular: um grafo é dito ser regular quando todos os seus vértices tem o
mesmo grau. O grafo abaixo, por exemplo, é dito ser um grafo regular-3, porque todos
os seus vértices tem grau 3.




        Grafo Completo ou Clique: um grafo é dito ser completo quando há uma aresta
entre cada par de seus vértices, ou seja, seus vértices são interligados ou adjacentes, dois



                                                                                        213
a dois, de forma que o caminho mais curto entre quaisquer dois vértices v e w é a aresta
(v,w).




       Os grafos completos são designados por Kn, onde n é a ordem do grafo.




      Um grafo Kn possui o número máximo possível de arestas para um dado n. Ele é,
também, regular-(n-1), porque todos os seus vértices tem grau n-1.

        Grafo Bipartido: um grafo é chamado bipartido quando seu conjunto de vértices
V puder ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2 (ou Xa e Xb) , tais que toda
aresta de G une um vértice de V1 a outro de V2.




     Tomem-se como exemplos os seguintes conjuntos: H={h | h é um homem} e
M={m | m é uma mulher}, e o grafo G(V,E), (G3), em que:

       V=HUM
       A = {v ∈ H e w ∈ M) ou (v ∈ M e w ∈ H) e <v foi namorado de w>}




                                                                                    214
                                         G3




       O grafo abaixo é um K3,3, ou seja, um grafo bipartido completo, que contém duas
partições de três vértices cada uma. Ele é completo porque todos os vértices de uma
partição estão ligados a todos os vértices da outra partição.




        Grafo Rotulado: um grafo G(V,E) é chamado grafo rotulado em vértices (ou
arestas) quando a cada vértice (ou aresta) estiver associado um rótulo. G3 é um exemplo
de grafo rotulado.
        Grafo Valorado: um grafo G(V,E) é dito ser valorado quando existe uma ou
mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números.

       Por exemplo, seja o grafo G(V,E), onde:

       V = {v | v é uma cidade com aeroporto}
       A = {(v,w,t) | <há linha aérea ligando v a w, sendo t o tempo esperado de vôo>}




       O grafo valorado é uma rede (network). O grafo corresponde à estrutura


                                                                                   215
topológica, enquanto que a rede corresponde às informações relacionadas.




           Uma rede é representada matematicamente por:

           G= (V,E,w), em que:

        V é o conjunto de vértices; E é o conjunto de ligações; w é o peso associado aos
vértices.

        A rede é um grafo (direcionado ou não-direcionado) no qual um número real é
associado aos vértices e/ou ligações.190 Este número, freqüentemente, é referido como o
peso do vértice. Essa classificação é feita conforme a necessidade da indicação do fluxo
entre os vértices, e pode representar:

           Custo, distância, capacidade, demanda;
           Tempo de trânsito ou de permanência;
           Probabilidade de erro ou falha;
           Confiabilidade;
           Outros.




        As redes podem ser: rede de telecomunicações; rede de estradas (de todo tipo);
rede elétrica; rede de atividades em projetos, etc.

        A rede de atividades tem as seguintes condições: nós/vértices: atividades; arcos:
restrições de precedência. Entre dois nós existe uma atividade, quantificada em tempo.




           Exemplo de rede de atividades:

190
      No caso do primeiro exemplo de rede, são os números representativos dos tempos de vôo.


                                                                                               216
______________________________________________________________________

       Com relação à rede de atividades, foram desenvolvidos vários tipos de
programas de avaliação de tempo, custo, produção, ou técnicas de Planejamento e
Controle. Entre as mais conhecidas existe a chamada técnica PERT – Program
Evaluation and Review Technique, extensamente usada em empresas de grande porte
para conduzir atividades em grande escala.191

        A rede PERT é uma grafo direcionado. Nela os vértices são chamados de
eventos (numerados), e as arestas são chamadas de atividades (recebem letras
indicativas). Os eventos se sucedem em sequência lógica. A atividade representa o
tempo que se leva para ir de um evento a outro.

        Uma atividade sempre está entre um evento-antecessor e um evento-sucessor. A
execução do projeto tem início com o evento-zero, e vai até o evento-final. Nenhum
evento pode ser dado como ocorrido até que todas as atividades precedentes tenham
sido realizadas. Nenhuma atividade pode ser dada como concluída até que o evento
precedente tenha ocorrido.
        Como várias atividades podem ser executadas em paralelo, com tempos
desiguais de execução, é necessário saber os tempos de execução de cada evento. O
tempo de um evento (TE) representa o tempo provável em que o evento poderá se
verificar. A cada atividade estão relacionados três tempos possíveis de execução: tempo
otimista; tempo mais provável, tempo pessimista. Se uma atividade puder ser realizada
no tempo otimista, podem surgir folgas ao longo do processo. O caminho entre dois ou
mais eventos é chamado caminho crítico quando é o caminho de menor folga. O evento
ou os eventos mais importantes são chamados de eventos-chave.
        A realização prática do PERT envolve a diagramação e realização de cálculos de
tempo e custos (diretos e indiretos), com orçamento por etapas. Uma dos pontos
negativos é que, se houve necessidade de inserir atividades no meio do diagrama, isto
pode levar à criação dos chamados eventos-fantasma.

           A figura abaixo é um exemplo de programação PERT.




191
      Sobre programação PERT, veja-se: http://www.engprod.ufjf.br/fernando/epd015/PERT_CPM.pdf.



                                                                                                  217
        Em 1964, o professor John Fondahl, da Universidade de Stanford, aperfeiçou o
sistema PERT, criando o chamado Precedence Diagramming – PD. Este modelo
simplificou o processo de execução de gráficos, além de ter uma grande facilidade de
revisão e ser de excelente maneabilidade.
        De um modo geral, o PD (NeoPERT, no Brasil) é uma inversão do PERT: o que
era atividade passa a ser nó, e o que era nó passa a ser atividade.
        O grande diferencial do sistema PD é o uso do nó para acumular informações
essenciais à condução do projeto, informações estas que permitem acelerar ou atrasar as
atividades encontradas no caminho crítico. Além disso, o PD facilita a diagramação,
alem de eliminar os eventos-fantasma, porque basta inserir uma atividade onde se
desejar, sem que isto afete o diagrama (a rede) como um todo.




       Além dessas, podem existir:

                     S – Folga total de uma atividade em relação a todo o projeto;
                     L – Folga simples de uma linha de seqüência.

       A figura abaixo exemplifica uma atividade em PD.




                                                                                     218
______________________________________________________________________

        Multigrafo: um grafo G(V,E) é dito ser um multigrafo quando existem múltiplas
arestas entre pares de vértices de G. No grafo abaixo, por exemplo, há duas arestas entre
os vértices A e C e duas entre os vértices A e B, caracterizando-o como um multigrafo.




        Subgrafo: um grafo Gs(Vs, Es) é dito ser subgrafo de um grafo G(V,E) quando
Vs ∈ V e As ∈ A. O grafo abaixo, por exemplo, é um subgrafo do grafo do exemplo
anterior.




       Matematicamente, G’ = (V’,E’) é um subgrafo de G.
       Hipergrafo: um hipergrafo H(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, em
que:

       V - conjunto não vazio;
       A - uma família e partes não vazias de V.

       Seja, por exemplo, o grafo H(V,A) dado por
:
       V = { x1, x2, x3, x4}
       A = { {x1, x2, x4}, {x2, x3, x4}, {x2, x3}}




                                                                                     219
       Cadeia: uma cadeia é uma seqüência qualquer de arestas adjacentes que ligam
dois vértices. O conceito de cadeia vale também para grafos orientados; basta que se
ignore o sentido da orientação dos arcos. A seqüência de vértices (x6, x5, x4, x1) é um
exemplo de cadeia (em G4, à frente).

       A cadeia é:

               •   Elementar, se não passa duas vezes pelo mesmo vértice.
               •   Simples, se não passa duas vezes pela mesma aresta (arco).

       O comprimento de uma cadeia é o número de arestas (arcos) que a compõe.




                                           G4

        Caminho ou percurso: um caminho é uma cadeia na qual todos os arcos
possuem a mesma orientação. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados. A
seqüência de vértices (x1, x2, x5, x6, x3) é um exemplo de caminho, em G4.
        O caminho de um vértice vio para o vértice vik é a seqüência de arestas < vio , vi1
>, < vi1 , vi2 >, ... , < vik-1 , vik >.
        O caminho pode ser:

       Elementar: se passa exatamente uma vez por cada vértice;
       Simples: se passa exatamente uma vez por cada aresta.

        O comprimento de um percurso em um grafo valorado é a soma dos custos de
percorrer cada aresta; em um grafo não valorado, é igual ao número de arestas que o
compõe.
        Ciclo: se os vértices inicial e final de um caminho são coincidentes (o vértice
inicial é o mesmo que o vértice final, ou seja, vio = vik), o caminho é dito fechado e
forma um ciclo. Assim, o ciclo é uma cadeia simples e fechada. A seqüência de vértices
(x1, x2, x3, x6, x5, x4, x1) é um exemplo de ciclo elementar, em G4.




                                                                                       220
       Um Ciclo que passa por todas as arestas de um grafo é chamado Ciclo
Euleriano, e um Circuito elementar que passa por todos os vértices é chamado Circuito
Hamiltoniano.192

       Circuito: é um caminho simples e fechado. A seqüência de vértices (x1, x2, x5,
x4, x1) é um exemplo de circuito elementar, em G4.

        Fecho transitivo direto: o ftd de um vértice v é o conjunto de todos os vértices
que podem ser atingidos por algum caminho iniciando em v. O ftd do vértice x5 do
grafo G5, por exemplo, é o conjunto: {x1, x2, x3, x4, x5, x6}. Note-se que o próprio
vértice faz parte do ftd, já que ele é alcançável partindo-se dele mesmo.




                                                 G5

         Fecho transitivo inverso: O fti de um vértice v é o conjunto de todos os vértices
a partir dos quais se pode atingir v por algum caminho. O fti do vértice x5 do grafo G5,
por exemplo, é o conjunto: {x1, x2, x4, x5, x7}. Note-se que o próprio vértice faz parte
do fti, já que dele se pode alcançar ele mesmo.

        Grafo Conexo: um grafo G(V,E) é dito ser conexo se existir pelo menos uma
cadeia ligando cada par de vértices deste grafo G. 193


192
    Um famoso problema de Circuito Hamiltoniano não resolvido é o Problema do Caixeiro Viajante.
Este problema consiste em analisar todos os circuitos hamiltonianos existentes para (n+1) pontos. O
número máximo de caminhos, então, é n!, um valor que aumenta enormemente em função do valor de n.
193
    A idéia de conexidade está diretamente ligada à possibilidade de passagem de um vértice a outro num
grafo, através das arestas existentes.


                                                                                                  221
        Grafo Desconexo ou Não-Conexo: um grafo G(V,E) é dito ser desconexo se
existir pelo menos um par de vértices que não é unido por nenhuma cadeia.




       Componente Conexa: um grafo G(V,E) desconexo é formado por pelo menos
dois subgrafos conexos, disjuntos em relação aos vértices e maximais em relação à
inclusão. Cada um destes subgrafos conexos é uma componente conexa de G.




        Grafo Fortemente Conexo: o conceito de conexidade em grafos orientados não
exige que exista um caminho que ligue qualquer par de vértices. Quando isto acontece,
o grafo é chamado fortemente conexo (f-conexo). Neste caso, dados dois vértices
quaisquer, v e w, cada um pode ser atingido a partir do outro. Ou seja, se cada par de
vértices participa de um circuito, cada vértice pode ser alcançado a partir de qualquer
outro vértice do grafo.




                                                                                   222
       Base: uma base de um grafo G(V,E) é um subconjunto B ∈ V, tal que:

   •   dois vértices quaisquer de B não são ligados por nenhum caminho;
   •   todo vértice não pertencente a B pode ser atingido por um caminho partindo de
       B.

       Anti-Base: uma anti-base de um grafo G(V,E) é um subconjunto A ∈ V, tal que:

   •   dois vértices quaisquer de A não são ligados por nenhum caminho;
   •   de todo vértice não pertencente a A pode se atingir A por um caminho.




        Raiz: se a base de um grafo G(V,E) é um conjunto unitário, então esta base é a
raiz de G.

       Anti-Raiz: se a anti-base de um grafo G(V,E) é um conjunto unitário, então esta
anti-base é a anti-raiz de G.




        Árvore: é uma estrutura de dados que possui uma relação hierárquica entre seus
elementos. É também um conjunto finito de um ou mais nós, sendo que um deles é
denominado raiz, e os demais, recursivamente, formam uma nova árvore ou sub-árvore.
        Quando, em um determinado sub-nível a árvore tem um único nó, sem
descendentes, ele é chamado de folha. A árvore da figura abaixo tem as seguintes
folhas: D, E, G, H e I.




                                                                                  223
        Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos, e todo grafo G deste tipo que possua
n vértices tem exatamente (n-1) arestas.
        Todo par de vértices de G é unido por uma única cadeia simples. No exemplo
anterior, a cadeia A-C-F-G é a única que liga os vértices A e G.

       Seja G(V,E) um grafo com ordem (n > 2); as propriedades seguintes são
equivalentes para caracterizar G como uma árvore:

   •   G é conexo e sem ciclos;
   •   G é sem ciclos e tem n-1 arestas;
   •   G é conexo e tem n-1 arestas;
   •   G é sem ciclos e por adição de uma aresta se cria um ciclo e somente um;
   •   G é conexo, mas deixa de sê-lo se uma aresta é suprimida (todas as arestas são
       pontes); todo par de vértices de G é unido por uma e somente uma cadeia
       simples.




       Arborescência: uma arborescência é uma árvore que possui uma raiz. Aplica-se,
portanto, somente a grafos orientados.




       Floresta: uma floresta é um grafo cujas componentes conexas são árvores.




                                                                                  224
        Grafo Planar: um grafo G(V,E) é planar se for possível dispor os seus vértices
em um plano de modo que não haja cruzamento de nenhum par de arestas. Abaixo,
aparecem três representações gráficas distintas para uma K4 (grafo completo de ordem
4). Ainda que haja um cruzamento de arestas na primeira figura, a K4 é um grafo planar,
porque admite pelo menos uma representação num plano sem que haja cruzamento de
arestas (duas possíveis representações aparecem nas figuras ao lado).




      Já uma K3,3 e uma s K5 são exemplos de grafos não planares. Estes dois grafos
não admitem representações planares.




        Pode-se fazer uma associação entre um grafo planar e um mapa, onde cada
região do mapa corresponde a um vértice e as fronteiras entre as regiões correspondem
às arestas.




        Coloração: Seja G(V,E) um grafo e C um conjunto de cores. Uma coloração de
G é uma atribuição de alguma cor de C para cada vértice de V, de modo que a dois
vértices adjacentes sejam atribuídas cores diferentes. Assim, uma coloração de G é uma
função f: V → C tal que para cada par de vértices v, w ∈ V tem-se (v,w) ∈ E ⇒ f(v) ≠


                                                                                   225
f(w).
      Uma k-coloração de G é uma coloração que utiliza um total de k cores. O
exemplo abaixo mostra uma 4-coloração para o grafo.




       Número Cromático: denomina-se número cromático X(G) de um grafo G ao
menor número de cores k, para o qual existe uma k-coloração de G. O exemplo ao lado
mostra uma 3-coloração para o grafo, que é o número cromático deste grafo.




        Isomorfismo: dois grafos são isomorfos quando existe uma correspondência
unívoca entre as arestas e os vértices de um e de outro. No caso abaixo, verifica-se que
os vértices A, B, C, D e E e as arestas AB, BC, BE, CD, CE e DE são comuns aos dois
grafos.




        De outra forma: sejam dois grafos G1(V1,E1) e G2(V2,E2). Um isomorfismo de
G1 sobre G2 é um mapeamento bijetivo f: V1 → V2 tal que {x,y} ∈ E1 se e somente
se{f(x),f(y)}∈ E2, para todo x,y ∈ V1.
        Os grafos abaixo são isomorfos, pois há a função { (a→2), (b→1), (c→3),
(d→4), (e→6), (f→5) } que satisfaz a condição descrita.




                                                                                    226
       SCIE (Subconjunto Internamente Estável - também conhecido como conjunto
independente).

       Seja G(V,E) um grafo não orientado. Diz-se que S ⊂ V é um subconjunto
internamente estável se dois vértices quaisquer de S nunca são adjacentes entre si. Para
o grafo abaixo, são exemplos de SCIE os conjuntos:

       { 2, 3}, {1, 4} e {2, 3, 4}

        Entretanto, se dado um SCIE S não existe um outro SCIE S' tal que S' ⊃ S, então
S é dito ser um SCIE maximal. Para o grafo abaixo, são exemplos de SCIE maximais os
conjuntos:

       { 2, 3, 4}, {1, 6} e {4, 5}




       SCEE (Subconjunto Externamente Estável – também conhecido como conjunto
absorvente).

       Seja G(V,E) um grafo orientado. Diz-se que T ⊂ V é um subconjunto
externamente estável se todo vértice não pertencente a T tiver pelo menos um vértice de
T como sucessor.
       Se, dado um SCEE S não existe um outro SCEE S' tal que S' ⊂ S, então S é dito
ser um SCEE minimal. Para o grafo abaixo, são exemplos de SCEE minimais os
conjuntos:

       { x2, x4, x6} e {x1, x5, x3}

Este conceito também pode ser aplicado a grafos não orientados, bastando que se
considere que todo vértice exterior a T deva ter como adjacente pelo menos um vértice
de T.



                                                                                    227
5.7.2 – Resumo Geral de Grafos

O grafo pode ser:

Parcial:




Com sub-grafo;




Completo:




Pleno:




                                 228
                                           Capítulo VI

                  Planificação da Esfera. Projeções Geográficas

        6.1 – Formato da Terra

        Os gregos antigos (Ptolomeu) sabiam que a Terra era esférica.194 No século
XVII, o físico inglês Isaac Newton afirmou que a Terra deveria ser uma esfera achatada,
em virtude de seu movimento de rotação.195
        Nos séculos XVIII e XIX realizaram-se expedições com o objetivo de medir a
sua forma exata. Medições geodésicas precisas feitas pelos geógrafos Maupertius e
Clairut (na Lapônia) e Bouger e La Condamine (no Peru), em 1740, conseguiram
evidências de que a Terra seria na verdade uma elipse de revolução, com pequeno eixo
polar e grande eixo equatorial. Esta forma recebeu o nome de geóide.196
        Devido à complexidade de cálculos que este formato envolvia foi proposto um
outro, geométricamente definido. Foi adotado o chamado elipsóide de revolução,197 ou
elipsóide achatado segundo a linha dos pólos, como superfície de referência.
        De qualquer forma, o formato esférico introduzia um grande problema na
confecção de mapas, devido à impossibilidade de se representar corretamente uma
superfície esférica em um plano.

        6.2 – O Globo Terrestre

        A dificuldade matemática de trabalhar com a forma real da Terra levou à
necessidade de criar processos aproximados, tais como o geóide e o elipsóide de
revolução. Para chegar a um formato ideal, os matemáticos idearam considerar, ou o
elipsóide, ou estão transformá-lo em uma esfera com a mesma superfície, gerando então
o globo terrestre.198 Mesmo o elipsóide, entretanto, apresenta valores diferentes, tais
como raio do equador, raio polar e coeficiente de achatamento199. Por isso, cada região
deve adotar como referência o elipsóide mais indicado.200




194
    A esfericidade da Terra foi um conhecimento que veio a se perder (predominando a idéia da Terra
plana durante grande parte da Idade Média), até vir a ser recuperado no século XV.
195
    Esta forma resulta da ação combinada de forças diversas, tais como a gravidade, a força centrífuga de
rotação, bem como das variações de densidade das rochas.
196
    Geóide é o sólido formado pela superfície do nível médio do mar, prolongado hipoteticamente para o
interior dos continentes (é a superfície teórica que coincide com o nível médio do mar).
197
    Elipsóide ou elipsóide de revolução é o solido gerado pela rotação de uma elípse em torno do eixo dos
pólos (é a superfície em que o equador e os meridianos são representados por elipses).
198
    A superfície irregular da Terra, desde o fundo dos oceanos até a mais alta montanha, é chamada de
superfície topográfica.
199
    As medições mais precisas dão o valor de 1/298,257223563 para o achatamento da Terra.
200
    O Brasil adota tanto o elipsóide de Hayford, de dimensões mais apropriadas para a América do Sul,
quanto o elipsóide da União Astronômica Internacional, que foi homologado em 1967 pela Associação
Internacional de Geodésia e passou a se chamar elipsóide de referência. Este tema será abordado
novamente mais à frente.


                                                                                                    229
           6.2.1 – Espaço. Sistemas de Coordenadas.

       Na geometria, espaço é um ente primitivo, que não pode ser definido. Mas o
espaço pode ser entendido e estudado através do movimento dos corpos. Se um corpo
pode se mover (ou ser movido) para frente e para trás, para cima e para baixo, e para
cada lado, então se admite que o espaço seja tridimensional, ou seja, possui três
dimensões.

           6.2.1.1 – Coordenadas Cartesianas

        A partir de Descartes se tornou possível entender melhor estes conceitos, quando
ele criou a Geometria Analítica. Através dessa ferramenta matemática, os corpos podem
ser situados no espaço através de coordenadas ortogonais. Coordenadas ortogonais são
aquelas formadas por dois eixos (eixo X, ou eixo, da abscissa, e eixo Y, ou eixo das
ordenadas) que se cruzam perpendicularmente, formando o sistema de coordenadas
cartesianas. A essas duas coordenadas pode ser acrescentado o eixo Z (cota ou altura),
definindo então a posição exata de um ponto ou objeto no espaço. É o caso do ponto
P(x,y,z), situado nas coordenadas XYZ:201




      Existem outros sistemas de coordenadas, tais como as coordenadas polares, as
coordenadas cilíndricas, as coordenadas esféricas e as coordenadas geográficas.

           6.2.1.2 – Sistema de Coordenadas Polares (R2)

        Este sistema considera uma linha básica horizontal de referência, por exemplo, o
eixo OX indicado positivamente e um ponto P(x;y).
        Considerando que a distância da origem O(0;0) ao ponto P(x;y) seja indicada por
r, e que o ângulo formado entre o segmento OP e o eixo OX seja indicado por t, então o
ângulo deve ser um parâmetro tal que 0<t<2π. Desta forma, o ponto P será indicado por:
        P = (r;t) , em que:


201
      Em um plano, o ponto P tem coordenadas XY, que se indica: P(x,y).


                                                                                    230
           r = √(x2+y2) e t = arctan(y/x)




        Para um objeto se deslocar da origem O(0;0) ao ponto P(3;4) (em coordenadas
cartesianas), ele deve se deslocar cinco unidades na direção da reta que forma um
ângulo de t = 36,87º com o eixo OX. Em coordenadas polares, o ponto P será descrito
como: P(5;36,87).202

           6.2.1.3 – Sistema de Coordenadas Cilíndricas

        Este sistema considera duas linhas básicas que passam pela origem O(0;0;0);
uma linha de referência no plano do chão como o eixo OX indicado positivamente; uma
linha de referência como o eixo OZ; e o ângulo indicado por t e formado pela projeção
no plano do chão do segmento OP e o eixo OX indicado positivamente. 203
        O ângulo deverá ser um parâmetro tal que 0<t<2π. Assim, um ponto P(x;y;z)
será indicado por

           P(r;t;z)

        Para indicar um ponto neste sistema é necessário construir um cilindro circular
reto com o centro na origem O(0;0;0) e que passe exatamente pelo ponto P(x;y;z). A
projeção deste ponto no plano do chão que é indicada pelo plano z=0 é o ponto
Po(x;y;0). Em seguida determinam-se as coordenadas polares do par ordenado (x,y), o
qual é considerado como um ponto de um plano, e não do espaço.




202
      Tangente de 36,87º = 0,75 = 3/4.
203
      Este sistema é uma ampliação das coordenadas polares, em que se mantém a coordenada z, ou cota z.


                                                                                                    231
        Para um objeto se deslocar da origem O(0;0;0) ao ponto P(3;4;10), ele deve se
deslocar cinco unidades na direção da reta que forma um ângulo t = 36,87 graus com o
eixo OX, e subir dez unidades. Assim, o ponto será descrito, em coordenadas
cilíndricas, como P(5;36,87;10).

       6.2.1.4 – Sistema de Coordenadas Esféricas

        Este sistema considera o plano do chão (z=0) que passa pela origem O(0;0;0)
contendo o eixo OX orientado positivamente e o eixo OZ orientado positivamente, que
é uma linha reta perpendicular ao plano do chão.
        Neste sistema, o ponto P=(x,y,z) é indicado por três medidas: r, que é a distância
entre O (0;0;0) e o ponto P(x;y;z); u, que o ângulo formado entre a projeção no plano do
chão do segmento OP e o eixo OX indicado positivamente; v, que é o ângulo formado
entre o segmento OP e o eixo OZ indicado positivamente.

       O ângulo u varia no intervalo 0<u<2π; o ângulo v varia no intervalo 0<v<π.
       Um ponto P(x;y;z) será indicado por:

       P(r;u;v) , onde:

       r = √(x2+y2+z2) , u = arctan(y/x) , v = arccos(z/r)




       Relação com coordenadas cartesianas:




                                                      , e:




                                                                                      232
Para determinar o vetor      que vai da origem ao ponto P, pode-se dar as suas três
componentes cartesianas, mas pode-se dar também o tamanho do vetor, sua direção e
seu sentido. | |    r e dois ângulos que podem ser os ângulos e      da figura. As
coordenadas esféricas do ponto Psão, então, r, e .




       A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:




                            , sendo as inversas dadas por:




       6.2.1.5 – Sistemas de Referência. Coordenadas. Fusos Horários

       Um dos elementos básicos da Cartografia é o estabelecimento de um sistema de
referência, utilizando um sistema de coordenadas sobre a Terra, de modo que cada
ponto de sua superfície possa ser referido a esse sistema.
       Cada ponto pode ser referido a um par de eixos, que são os meridianos e
paralelos. O esferóide ou o elipsóide de referência cortados por planos normais ao seu
eixo de rotação dão origem a círculos máximos (o equador e os círculos meridianos),
que são linhas de referência Norte-Sul. Os meridianos são os semicírculos que ligam os


                                                                                  233
dois polos terrestres. O semicírculo simétrico, que forma o mesmo círculo máximo, é
denominado antimeridiano.




       Latitude e Longitude:

       Meridianos são círculos máximos da esfera cujos planos contem o eixo dos
pólos. Paralelos são círculos da esfera cujos planos são perpendiculares ao eixo dos
pólos.
       Os meridianos dividem-se em meridianos Leste (todos os meridianos a Leste do
Observatório britânico de Greenwich), e meridianos Oeste (os situados a Oeste de
Greenwich). O meridiano de Greenwich é o meridiano de origem (também conhecido
como inicial ou fundamental). Ele foi escolhido como a origem das longitudes sobre a
superfície terrestre, e como base para a contagem dos fusos horários, e corresponde ao
meridiano de 0o. A leste do meridiano de origem, os meridianos são medidos por
valores crescentes até +180o; a oeste, as medidas decrescem até -180o.
       Longitude é a distância angular entre um ponto qualquer da superfície terrestre e
o meridiano de origem.

        O equador é o paralelo que divide a Terra em dois hemisférios, Norte e Sul. O
paralelo de 0o corresponde ao equador; o de 90o corresponde ao Pólo Norte; e o de -90o
corresponde ao Pólo Sul. Os meridianos encontram-se em cada pólo, cruzando o
equador em ângulo reto. A distância entre meridianos diminui do equador para os pólos,
sendo que os paralelos jamais chegam a se cruzar.
        Latitude é a distância angular entre um ponto qualquer da superfície terrestre e a
linha do equador. Pontos que não correspondem à medição média dos oceanos podem
ter também a altitude como terceiro parâmetro.
        Em conjunto com os círculos paralelos, a localização de um objeto qualquer
sobre a superfície do globo terrestre pode ser realizada por meio das coordenadas
fornecidas pelos meridianos (que indicam as longitudes) e os paralelos (que indicam as
latitudes). Os meridianos e os paralelos são parte do sistema de coordenadas
geográficas.

        Latitude geográfica: é o arco contado sobre o meridiano do lugar e que vai do
equador até o lugar considerado. A latitude, quando medida no sentido do pólo Norte, é
chamada Latitude Norte ou Positiva. Quando medida no sentido Sul é chamada Latitude
Sul ou Negativa. Assim, sua variação é de 0º a 90º N, ou 0º a +90º;
de 0º a 90º S, ou 0º a - 90º.
        O equador é considerado a latitude zero, variando até +90º no pólo Norte ou até
–90º no pólo Sul.

       Longitude geográfica: é o arco contado sobre o equador, que vai de Greenwich
até o meridiano do referido lugar.


                                                                                      234
       Coordenada Geográficas ou Terrestres:

        No sistema de coordenadas geográficas ou terrestres, cada ponto da superfície
terrestre é localizado na interseção de um meridiano com um paralelo. Assim, cada
ponto da superfície é representado por um valor de latitude e um valor de longitude
geográficos.
        A localização é feita usando medidas angulares, ou seja, o sistema tem suas
medidas dadas em graus (º), minutos (‘) e segundos (“) de arco, com direções dadas
pelo quatro pontos cardeais: Norte (N – North); Sul (S – South ); Leste (E – East); Oeste
(W – West) e pelos pontos intermediários.
        Assim, um ponto qualquer na superfície terrestre pode estar a leste ou oeste de
Greenwich, e ao norte ou sul do equador.




       Por exemplo, a cidade de São Paulo situa-se nas coordenadas:

       23º 32’ 52” S 46º 38’ 09” W.

       Desde o século XV, pelo menos, já se sabe que a bússola não aponta para o Pólo
Norte verdadeiro, e sim para o Pólo Norte magnético, que não corresponde ao anterior.
Atualmente, o Pólo Norte magnético dista cerca de 1600 km do Pólo Norte geográfico,
e é um ponto móvel que se desloca ao longo dos séculos (a variação se dá em minutos
de arco, ao longo dos anos, e exige que a leitura da bússola tenha fatores de correção).
Os pólos magnéticos Norte e Sul não são exatamente antípodas um do outro (não estão
em pontos opostos da esfera terrestre, ou seja, a linha que os une não passa pelo centro
da Terra), o que torna assimétrico, o campo magnético terrestre.




                  Variação do Pólo Sul Magnético, entre 2001 e 2050

       Uma terceira coordenada é denominada altitude ou cota. A altitude de um ponto
(h) é a distância contada a partir do geóide (que é a superfície de referência para
contagem das altitudes); um segundo tipo (H), denominado altitude geométrica, é
contada a partir da superfície do elipsóide


                                                                                     235
        Fusos Horários:

       Sobre o globo terrestre foram traçadas linhas imaginárias geodésicas verticais
passando pelos pólos Norte e Sul, (os meridianos), tendo como referência a cidade de
Greenwich (mais exatamente, o seu Observatório), na Inglaterra. Considera-se o
primeiro meridiano, também chamado inicial, fundamental ou meridiano zero (0o)., o
semicírculo imaginário que passa pelo Observatório de Greenwich, nas proximidades de
Londres.
       Os meridianos determinam a divisão do globo terrestre em fusos horários, sendo
o fuso inicial, o fuso onde está Greenwich, que é então utilizado para dar início à
contagem dos fusos horários.




        A chamada Hora Média de Greenwich (HMG) determina a hora internacional.
Cada fuso horário a Leste aumenta-a em uma hora; cada fuso a Oeste a diminui em uma
hora. O meridiano oposto ao que passa sobre Greenwich204 é chamado Linha
Internacional de Data (LID), porque barcos e aviões que a atravessem, devem adiantar
ou atrasar em 24 horas os seus relógios.205
        O meridiano tem, em média, 15º de largura.206 Considerações geográficas e
políticas, entretanto, tornaram necessário modificar os seus traçados.




204
    Mais exatamente, próxima ao antimeridiano de 190º, ou seja, em oposição ao ponto situado dez graus
a Leste do Observatório de Greenwich.
205
    De Leste para Oeste somam-se 24 horas (um dia); de Oeste para Leste diminuem-se 24 horas (um dia).
206
    Como a circunferência tem 360º e o dia tem 24 horas, um valor dividido pelo outro corresponde a 15º,
que é a largura de um meridiano.


                                                                                                   236
        6.3 – Escalas. Mapas

        A planificação da esfera seria a transformação que representasse em um plano as
figuras contidas na superfície da esfera. Seria, porque é um processo impossível. E o
globo terrestre, apesar de mostrar distâncias, formas, áreas e direções reais, não é o mais
apropriado para lidar com processamentos sistemáticos.
        Isso complica o processo de confecção de mapas (cartografia), em que se quer
representar em um papel plano (atlas) porções geográficas situadas em superfícies
esféricas. As representações, evidentemente, devem reproduzir a configuração do
terreno em proporções aceitáveis, de modo que o mapa sirva para, pelo menos,
reconhecer o terreno. As proporções entre a superfície real e sua representação em um
mapa são chamadas escalas.
        A escala é uma informação obrigatória em qualquer mapa, sendo representada
na forma numérica. As escalas numéricas ou fracionárias são descritas por frações cujos
denominadores representam as dimensões naturais, e os numeradores, as que lhes
correspondem no mapa. Escala, então, é a relação matemática existente entre as
dimensões dos elementos representados em um mapa e a grandeza correspondente,
medida sobre a superfície da Terra.
        Há duas modalidades de escala: a numérica e a gráfica.

       Escala numérica: é representada por uma fração ordinária ou por uma razão
matemática (1:250.000). O número 1 significa a unidade no mapa (1 cm) e o número
250.000 o tamanho real (250.000 cm, ou seja, 2,5 km). As escalas mais usadas são:
1:50.000; 1:100.000 e 1:200.000.
       Quanto menor for o segundo número (o denominador), maior será a escala; e
vice-versa. Assim as escalas inferiores a 100.000 são consideradas grandes; e se
superiores a 500.000, são pequenas.
       Quanto maior a escala, mais detalhada é a carta geográfica. Assim, as plantas
(ou cartas cadastrais) se fazem com escalas entre 1:500 e 1:20.000. Os mapas
topográficos oficiais costumam ter escalas entre 1:25.000 e 1:250.000, que são escalas
médias.

       Escala gráfica: é representada sob a forma de um segmento de reta graduado em
km. É constituída de um segmento à direita da referência zero, conhecida como escala
primária. Consiste também de um segmento à esquerda da origem, denominada Talão
ou escala de fracionamento, que é dividido em sub-múltiplos da unidade escolhida,
graduadas da direita para a esquerda. O Talão é seccionado de modo a permitir uma
avaliação mais precisa das distâncias ou tamanhos no mapa. A escala gráfica facilita o
cálculo das distâncias.
       Para mudar a escala gráfica em numérica basta tomar 1 cm = 10 km no mapa (ou
1.000.000 cm); daí, a escala numérica é 1: 1.000.000 ou 1/1.000.000.207




207
   Não pode ser usada para longas distâncias, devido à curvatura esférica da superfície, que introduz erros
na medida.


                                                                                                      237
       Quanto à escala, os mapas podem ser: plantas (ou cartas cadastrais); cartas ou
mapas topográficos; mapas geográficos.
       Quanto aos seus objetivos, os mapas podem ser: gerais (os mapas-múndi; os
continentes, tomados separadamente); temáticos, que são os que mostram características
geográficas específicas da realidade geográfica: distribuição populacional; produção
agrícola; tipos de solos; etc.

           6.4 – Planificação. Sistemas de Projeções

       Todo mapa é uma representação de dados da superfície terrestre. O único meio
de representá-los fielmente é através do globo terrestre, que, entretanto não de fácil
manuseio ou transporte. E representar diretamente a superfície esférica no plano de uma
folha de papel provoca deformações.




       Os gregos (Hiparco, Tales, e outros) perceberam esta dificuldade, e para
contorná-la criaram um processo geométrico chamado projeção.
       O termo projeção vem da noção de colocar uma fonte de luz dentro de um globo
transparente, e daí projetar as sombras das linhas que constituem os meridianos,
paralelos e outras características geográficas sobre um anteparo colocado externamente,
tangencialmente208 ao globo.
       As projeções assim construídas são chamadas de projeções perspectivas.
Projeções perspectivas diferentes podem ser construídas apenas mudando a posição da
fonte de luz.

       A projeção é também um processo de planificação em que, a partir de um ponto
interno (a fonte de luz interna) da esfera, são projetados sobre o plano externo tangente
a ela os pontos característicos da superfície terrestre. Assim, o objetivo da projeção
cartográfica é resolver os problemas decorrentes da representação de uma superfície

208
      Ou cortando (secante) o globo.


                                                                                     238
curvilínea em um plano.




       O princípio analítico geral é escolher uma zona sobre a Terra e associar a cada
ponto p dela um ponto F(p) no plano. Se a projeção plana fosse isométrica209 à
superfície esférica, a medida da distância entre dois pontos p e q poderia ser feita
medindo a distância entre suas representações F(p) e F(q). Não é o caso, entretanto.

       A projeção perspectiva pode ser: gnomônica, centrográfica ou central;
estereoscópica; ortográfica.210

        a) A projeção gnomônica, centrográfica ou central é a mais antiga, tendo sido
criado por Tales de Mileto (~600 a.C.). Ela é uma projeção perspectiva, em que a fonte
de luz está localizada no centro do esferóide. Deste modo, os meridianos são mostrados
como linhas retas radiais, com os paralelos sendo representados por círculos
concêntricos.




       O espaçamento dos paralelos e a deformação de áreas e ângulos aumenta
rapidamente ao distanciar-se do pólo, que é o ponto de tangência. A área que vai até o
limite de 60° do ponto de tangência no mapa pode ser representada sem grandes
problemas; além deste ponto, a distorção é muito grande.
       A projeção gnomônica tem a propriedade especial de representar os meridianos
como linhas retas no mapa, sendo por este motivo, útil à navegação.

       b) A projeção estereoscópica foi criada por Hiparco. Ela posiciona a fonte de
luz no ponto oposto ao de tangência. O espaço entre paralelos aumenta com a distância
ao pólo, mas não tanto quanto na projeção gnomônica.
       Por este motivo, a deformação de áreas e ângulos é menor, sendo possível

209
    Isometria é a transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, mantém as distâncias
entre pontos.
210
    Estas projeções serão vistas novamente à frente, sob outra classificação.


                                                                                                 239
representar uma área de aproximadamente 135° a partir do pólo em um mapa.
Normalmente, contudo, as projeções estereográficas limitam-se a representar um
hemisfério.

       c) A projeção ortográfica assume que a fonte de luz está localizada a uma
distância infinita do ponto de tangência, o que resulta em raios de luz paralelos e
perpendiculares à superfície de projeção.




                                    PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA

        Esta projeção só pode mostrar um hemisfério. O espaçamento entre paralelos
diminui em direção ao Equador. A projeção ortográfica não tem nenhuma propriedade
especial, mas proporciona uma visão perspectiva da Terra como se vista do espaço
exterior.
                                       ***

       As projeções podem ser classificadas211 em termos das propriedades geométricas
de representação e pela superfície geométrica da qual elas são derivadas.

       A maioria das projeções são derivadas de fórmulas matemáticas, mas algumas
projeções são mais fáceis de visualizar e podem ser planificadas sem se deformar,
quando projetadas em uma superfície de desenvolvimento (formas geométricas).
       Algumas das figuras geométricas usadas como auxiliares para a projeção da
superfície curva da Terra são o cilindro (superfície cilíndrica), o cone (superfície
cônica); o plano (geralmente, um disco).




        Dessa forma, tem-se as projeções: cônica, cilíndrica e planar (azimutal ou
zenital), conforme o tipo de plano externo à circunferência. Cada sistema tem as suas
vantagens e desvantagens, pois cada tipo privilegia algumas latitudes, em detrimento de

211
    Cerca de 400 tipos de projeções já foram descritos na literatura cartográfica, sendo que só algumas
dezenas são extensamente usadas. Uma série de definições de projeções pode ser encontrada em:
http://geodesia.ufsc.br/wikidesia/index.php/P%C3%A1gina_principal.


                                                                                                  240
outras. Mas toda projeção deforma, no plano, a superfície esférica.212

       Outras projeções que não podem ser relacionadas a estas três superfícies são
definidas como pseudo, modificadas ou individual (ou única).

        Estas formas geométricas podem ser tangentes ou secantes ao elipsóide ou
esferóide.
        No caso da tangente, o cone, cilindro ou o plano toca a Terra em uma única linha
ou ponto. Se a figura tangenciar o elipsóide ou esferóide, é chamada de projeção
tangente. Nesta, a superfície de projeção é tangente à de referência, sendo: plano - um
ponto; cone e cilindro - uma linha
        No caso da secante, o cone ou cilindro intercepta ou corta a Terra em mais de
um local.213 Se a figura cortar o elipsóide ou esferóide, é chamada de projeção secante.
Nesta, a superfície de projeção secciona a superfície de referência, sendo: plano - uma
linha; cone - duas linhas desiguais; cilindro - duas linhas iguais.




       O conjunto de paralelos e meridianos utilizados por uma projeção é denominado
rede (grid), quadriculado ou reticulado. Como opção ao termo projeção, usam-se os
termos quadrícula ou rede de paralelos e meridianos (canevá, em topografia).
       Assim que construido o reticulado, os pontos da carta serão referidos a esse
sistema e localizados pelas suas coordenadas geográficas.
       Os meridianos e paralelos traçados em uma projeção qualquer são chamados
transformadas.

        Propriedades geométricas das projeções:

        •    Distância: uma projeção é chamada equidistante quando representa
             distâncias em escala do centro da projeção para qualquer outro lugar no
             mapa.
        •    Direção: um mapa preserva a direção quando os azimutes são corretos em
             todas as direções.

212
    Os sistemas de projeções são constituídos por uma fórmula matemática que transforma coordenadas
geográficas, a partir de uma superfície esférica (elipsoidal), em coordenadas planas, mantendo
correspondência entre elas. Este artifício geométrico consegue reduzir as deformações, mas nunca
eliminá-las. Só pequenas partes da superfície terrestre (por exemplo, uma zona de 250 a 300 km2) podem
ser representadas em um plano sem maiores deformações.
213
    Seja tangente ou secante, a localização deste contato é importante porque define a linha ou ponto de
menor distorção na Projeção. Nas projeções cônicas e cilíndricas, o eixo destas formas normalmente
coincide com o eixo principal do elipsóide (Terra).


                                                                                                   241
        •    Escala: é a relação entre uma distância representada em um mapa e a
             distância em verdadeira grandeza.
        •    Área: quando um mapa representa áreas globais de modo que todas as áreas
             tenham a mesma relação proporcional com a verdadeira grandeza, é
             chamado de mapa de igual área ou equivalente.

        Não é possível representar todas as distâncias ou todos os ângulos corretamente
em um mapa. É possível, contudo, produzir mapas que representem apropriadamente
determinadas características geométricas.
        Algumas projeções minimizam a distorção em algumas destas propriedades, às
custas de maximizar a deformação em outras.
        O processo matemático de uma projeção sempre resulta em alguma distorção das
relações geométricas, tais como conformidade, distância, direção, escala. Para controlar
a deformação usam-se métodos matemáticos, sendo que um dos mais conhecidos é o
chamado Indicador de Tissot.214
        Este é um método pelo qual a distorção ou deformação de uma projeção pode ser
apresentada graficamente. A visualização gráfica é feita em partes do esferóide,
geralmente no encontro de meridianos e paralelos. Nesta posição de interseção é criada
uma figura geométrica de avaliação de distorção, que é normalmente um círculo.




                               INDICADOR DE TISSOT - MERCATOR CONFORME




214 Nicolas Auguste Tissot (1824-1897) foi um matemático francês que dividiu com o alemão Carl
Friedrich Gauss a glória de ter contribuído para o desenvolvimento da cartografia matemática. Tissot
demonstrou que toda representação de uma superfície sobre outra pode ser assimilada a uma infinidade de
projeções ortogonais, cada qual em uma escala conveniente. Um círculo infinitesimal no globo será
representado no mapa por uma elipse infinitesimal: a indicatriz de Tissot, ou elipse de distorção.


                                                                                                  242
        6.4.1 – Classificação Geral das Projeções

        6.4.1.1 – Pelas Propriedades Geométricas

       As projeções cartográficas dividem-se, conforme suas propriedades geométricas
características (conforme as relações entre a esfera e o mapa), em:215 projeção
equidistante; projeção conforme ou equiângular; projeção equiárea ou equivalente;
projeção afilática.
       I) Projeção eqüidistante: são aquelas em que as distâncias são verdadeiras em
determinadas direções. Não apresenta deformações lineares para algumas linhas em
especial, ou seja, os comprimentos são representados em escala uniforme (preservam a
escala em alguma parte do mapa, não sendo possível, contudo, representar todas as
distâncias corretamente em escala).216
       A condição de eqüidistância só é conseguida em determinada direção. Nessa
direção, a projeção pode ser meridiana, transversal ou azimutal.




       II) Projeção conforme:217 nesta projeção, em qualquer ponto no mapa a escala é
a mesma em qualquer direção, ainda que mude de um ponto para outro e permaneça
independente do azimute em todos os pontos do mapa.
       Os ângulos sobre um ponto são mantidos idênticos e mostrados corretamente (na

215
    São mutuamente exclusivas.
216
    Todas as distâncias a partir de um ou dois locais e todas as distâncias medidas perpendicularmente a
uma linha são verdadeiras em escala. Ou seja, nesta projeção, tomado qualquer centro, todas as distâncias
radiais a partir dele são corretas, para qualquer parte da Terra.
217
    O termo conforme foi usado por Gauss em 1825. Outras designações são: projeção ortomórfica
(devida a Germain); projeção autogonal (devida a Tissot); projeção isogônica (devida a Fiorini).


                                                                                                    243
esfera e no plano) e as áreas são deformadas.




       Apesar da escala do mapa variar de ponto a ponto, a propriedade de
representação correta de ângulos só se aplica aos ângulos que têm lados pequenos. As
formas de áreas pequenas são preservadas nesta projeção,218 mas as formas de áreas
maiores são distorcidas.

       III) Projeção equivalente (também denominada de igual área, homolográfica ou
equiareal): são aquelas que mantem a área constante em toda a superfície do mapa. As
áreas apresentam-se idênticas e os ângulos apresentam-se deformados.




        Por não deformar as áreas, ela conserva uma relação constante com as áreas
correspondentes na superfície da Terra (há uma equivalência de proporção das áreas
cartográficas). Ou seja, seja qual for a porção representada num mapa, ela conserva a
mesma relação com a área de todo o mapa.
        Entretanto, as quadrículas formadas por paralelos e meridianos só podem
guardar relação de tamanho entre si se sofrerem deformações.219 Neste caso, os ângulos
retos se alteram:




       São muito usadas em mapas temáticos com distribuição de cenários como
população, terras agricultáveis, áreas florestadas, etc.

       IV) Projeção afilática (ou arbitrária, nos Estados Unidos): nesta, as áreas e os
ângulos apresentam-se deformados. A projeção afilática, não possui nenhuma das

218
      Esta projeção não deforma os ângulos, e por isso, não distorce a forma de áreas pequenas.
219
      Geralmente, os retângulos se transformam em trapézios deformados.


                                                                                                  244
propriedades anteriores: equivalência, conformidade, eqüidistância e azimutes certos, ou
seja, projeções em que as áreas, os ângulos e os comprimentos não são conservados.
Entretanto, ela possui uma ou outra propriedade que justifica a sua construção. Por
exemplo, a gnômica, mesmo apresentando todas as deformações, possui a excepcional
propriedade de representar as ortodromias retas.

       Pode-se assumir que as características principais (conformidade, equivalência,
direção verdadeira e equidistância) estão em harmonia no modelo do globo (esferóide).
Assim, um círculo representado em diversas interseções de meridianos e paralelos será
afetado pelas características da projeção e apresentará uma deformação para cada
posição específica.

       6.4.1.2 – Quanto à Posição e Ângulo da Superfície Projetada

       Quanto à posição da superfície de projeção, a projeção pode ser: equatorial;
polar; meridiana.

       •   Projeção equatorial: quando a superfície de projeção é cilíndrica e paralela
           ao plano do equador (é centrada em algum ponto do equador).
       •   Projeção polar: é aquela na qual a superfície de projeção tem centro no pólo
           (é centrada em um dos pólos).
       •   Projeção meridiana: é a que tem a superfície de projeção paralela a um
           plano meridiano (as projeções azimutais e cilíndricas transversas).

       Quanto ao ângulo da superfície de projeção, a projeção pode ser horizontal;
oblíqua, transversa ou transversal; normal.


       •   Projeção horizontal: é aquela na qual a superfície de projeção é cilíndrica e a
           linha central de projeção é alinhada ao equador.
       •   Projeção oblíqua: é aquela em que a superfície de projeção é alinhada ao
           longo de qualquer outro ponto do globo (tem centro em um ponto ou círculo
           qualquer da esfera),
       •   Projeção transversa ou transversal: é quando a superfície de projeção é
           cilíndrica e a linha central de projeção é alinhada a (ou corta) um par de
           meridianos.
       •   Projeção normal: um aspecto é dito normal se ele é o mais simples para uma
           dada superfície de projeção, ou seja: polar, no caso de azimutal (azimutal
           polar); oblíquo, no caso de cônica (cônica oblíqua); e equatorial, no caso de
           cilíndrica (cilíndrica equatorial).




                                                                                      245
        6.4.1.3 – Quanto ao Método

        Quanto ao método, as projeções podem ser classificadas em:

        I) Geométricas: são as baseadas em princípios geométricos projetivos. Podem
ser obtidos pela interseção, sobre a superfície de projeção, do feixe de retas que passa
por pontos da superfície de referência partindo de um centro perspectivo (ponto de
vista).
        II) Analíticas: são as baseadas em formulações matemáticas, feitas com o
propósito de atenderem condições ou características préviamente estabelecidas.

        Quadro-resumo geral de classificação das projeções:




        6.4.1.4 – Quanto ao Sistema de Projeção

       Os sistemas geométricos de projeção são: poli-superficial; projeção plana ou
azimutal; projeção cilíndrica; projeção cônica.220




220 O USGS (U. S. Geological Survey) chama de miscelâneas (miscellaneous) o grupo de projeções que
não podem ser facilmente classificadas. As que são denominadas espaciais foram desenvolvidas para
incluir as visadas de satélites.


                                                                                             246
       Como se viu, cada uma das projeções básicas (exceto a última) pode assumir três
posições em relação à superfície de referência: polar ou horizontal; oblíqua;
transversal, transversa ou meridiana.




        Em qualquer projeção, só os paralelos, ou só os meridianos, ou somente algumas
linhas especiais podem ser verdadeiras ou eqüidistantes, ou seja, terem o mesmo
comprimento que os correspondentes num globo de igual escala. Todas as outras linhas
serão, ou mais compridas, ou mais curtas.

       Na construção das projeções, o meridiano é dividido em partes eqüidistantes
quanto se toma um comprimento igual a 111,1 km por grau, na escala do desenho. Para
representar os paralelos em verdadeira grandeza, deve-se dividi-los em partes de
comprimentos iguais a 111,1 x cosφ, correspondentes à separação entre dois meridianos
consecutivos.

       Para a representação de um quarto de hemisfério, eis como ficarão cada uma das
projeções:




                                                                                  247
       •   Projeções Poli-superficiais:

       Caracterizam-se pelo emprego de mais de uma superfície de projeção (do
mesmo tipo) para aumentar o contato com a superfície de referência e diminuir as
deformações. Exemplos: projeção plano-poliédrica; projeção cone-policônica;
projeção cilindro-policilíndrica.

       •   Projeções Cônicas:

       Nesta projeção, a superfície terrestre é projetada em um cone que a envolve
(representa o desenvolvimento da superfície esférica terrestre sobre um plano de cone).
       Nela, os meridianos convergem para os pólos, e os paralelos são arcos
concêntricos situados a igual distância uns dos outros
       Conhecidas desde a antiguidade, foram aperfeiçoadas e se impuseram a partir do
século XVIII. São utilizadas para mapas de países de latitudes médias.




        Na projeção cônica, a superfície terrestre é projetada, ou sobre um cone tangente
(projeção cônica tangente), ou sobre um cone secante (projeção cônica secante) ao
elipsóide; este é, então, longitudinalmente cortado e desenvolvido sobre o plano
(planificado).
        Os paralelos (linhas de latitude) são representados por arcos circulares
concêntricos ao vértice do cone, e os meridianos (linhas de longitude), por retas radiais
espaçadas igualmente, e convergindo em um dos pólos.

       Na construção do cone tangente, escolhe-se um paralelo base, próximo ao centro
da zona que se deseja representar. Desenha-se o cone tangente a este paralelo e
determina-se o raio r representativo do paralelo base da projeção. Calcula-se o raio r.
Para cada latitude tem-se: r = Rcotgφ, onde R é o raio da Terra e φ é a latitude.



                                                                                     248
        Na projeção cônica tangente, os paralelos estão representados em escala. A
distorção é menor em uma faixa estreita ao longo do paralelo, e aumenta ao se distanciar
deste. É geralmente usada para representar regiões de latitude média (entre +25° e +65°
; -25° e -65° de latitude). O resultado é uma distorção menor na forma original da
superfície representada.




        Na projeção cônica secante, os paralelos localizados entre os dois paralelos de
referência (secantes) são menores que seu verdadeiro comprimento no esferóide, e os
paralelos externos aos de referência são maiores. Esta projeção permite uma melhor
distribuição da distorção e reduz a mesma nas proximidades Norte e Sul do mapa.




                                                                                    249
                                  PROJEÇÃO CÔNICA

       As projeções cônicas geralmente representam regiões de latitude média ou os
Hemisférios Norte ou Sul. São muito utilizadas para a representação cartográfica de
áreas de altas latitudes, como a América do Norte, a Europa Setentrional e o Norte da
Ásia.
       Escolhendo um paralelo no centro da região de interesse (projeção por
tangência), a distorção das características geométricas pode ser reduzida. Se for usada a
projeção por secante, a distorção pode ser reduzida ainda mais, se os dois paralelos
escolhidos abrangerem dois terços da área a ser mapeada.

       As projeções cônicas classificam-se em: projeção conforme; projeção
eqüidistante; projeção equivalente.

        I) Projeção Cônica Conforme ou Ortomórfica: é aquela na qual qualquer área
não muito extensa tem a mesma configuração na esfera e no plano. Ela permite que, em
qualquer ponto, a escala seja constante em todas as direções. Por essa razão, a forma de
áreas pequenas é representada com distorção mínima, mas a formas de áreas maiores é
distorcida por causa das mudanças de escala ponto a ponto.

        Projeção de Lambert ou projeção cônica normal de Lambert (com dois
paralelos padrão): é uma projeção cônica, conforme, analítica e secante. Nela, os
meridianos são linhas retas convergentes, e os paralelos são círculos concêntricos com
centro no ponto de interseção dos meridianos.
  É construída ajustando o espaçamento dos paralelos de forma que a escala na direção
  leste-oeste seja exatamente a mesma na direção norte-sul. O uso de dois paralelos de
     referência (secante) é mais comum, porque permite uma distribuição melhor da
   distorção do mapa. A projeção de Lambert é bastante usada em mapas no Canadá.




         A existência de duas linhas de contato com a superfície (dois paralelos padrão)
fornece uma área maior, com um baixo nível de deformação. Isto faz com que esta
projeção seja bastante útil para regiões que se estendam na direção este-oeste (mas pode
ser utilizada em quaisquer latitudes). Em 1962, foi adotada para a Carta Internacional do



                                                                                     250
Mundo, ao Milionésimo.

        II) Projeção Cônica Eqüidistante: pode ser construída usando um paralelo
(tangente) ou dois (secante), de referência.
        Nesta projeção, dispõem-se os paralelos de forma que sejam espaçados
igualmente ao longo dos meridianos, de forma que a distância entre eles no mapa seja
igual ao comprimento de arco de paralelo no esferóide.

       Na chamada projeção de L’Isles221 as distâncias medidas ao longo dos
meridianos e ao longo dos paralelos de referência estão em escala, mas outras distâncias
ficam distorcidas.




       III) Projeção Cônica Equivalente: uma projeção é considerada equivalente
quando uma zona qualquer tem a mesma área no plano e na esfera, quando na mesma
escala. A projeção cônica equivalente modifica o espaçamento dos paralelos para
manter a escala constante.

       A projeção de Alber, por exemplo, é construída modificando o espaçamento dos
paralelos para obter uma projeção equivalente.




                                         PROJEÇÃO DE ALBER




221
   Guillaume de L’Isle recebeu o título de Primeiro Geógrafo do Rei, na França. Ele resolveu vários
problemas na questão de fronteiras entre os domínios português e espanhol, na América do Sul.


                                                                                              251
       Nesra projeção, os meridianos são representados do mesmo modo que na
projeção cônica tangente, mas o espaçamento entre paralelos é ajustado para permitir a
representação de superfícies com pequena distorção de distâncias e formas. Esta
projeção é bastante usada nos Estados Unidos como a base para sistemas de
coordenadas usadas nos mapas topográficos.

       A projeção de Bonne é outra projeção cônica equivalente.222 Nela, os paralelos
são espaçados de acordo com o esferóide e a escala está em verdadeira grandeza ao
longo do meridiano central e todos os paralelos. Por conservar a grandeza dos paralelos,
conserva também a área dos trapézios.




       A Projeção de Bonne foi a projeção preferida, no século XIX, para Atlas com
mapas de grandes países e continentes, por proporcionar uma representação mais
uniforme de áreas e uma combinação apropriada de meridianos e paralelos.
       Representou também um papel significativo no mapeamento topográfico da
maioria dos países europeus.

        Projeção policônica:223 É a projeção que utiliza diversos cones na superfície de
representação. Não é conforme nem equivalente (só tem essas características próxima
ao meridiano central. Este, e o equador, são as únicas retas da projeção). É universal
para uma determinada figura da terra (esferóide ou elipsóide), empregando
características úteis de escala.
        O meridiano central é dividido em partes iguais pelos paralelos, e não apresenta
deformações. Há uma pequena deformação próxima ao centro do sistema, que aumenta
rapidamente para a periferia
        Os paralelos são círculos não concêntricos (cada cone tem seu próprio ápice), e
não apresentam deformações. Os meridianos são curvas que cortam os paralelos em
partes iguais.

222
    Foi concebida por Rigober Bonne na metade do século 16. É considerada uma projeção pseudocônica
(família de projeções convencionais em que os paralelos são circulares e concêntricos, e os meridianos
são curvilíneos).
223
    Foi desenvolvida pelo suíço Ferdinand R. Hassler (1770-1843), em 1820. Foi usada pela primeira vez,
como uma projeção específica, em 1853, por Edward Bissell Hunt, da US Coast Survey.


                                                                                                  252
       São freqüentemente escolhidas por causa da representação correta da distância e
relações direcionais sobre o ponto de tangência.




       É apropriada para uso em países ou regiões de extensão predominantemente
Norte-Sul e reduzida extensão Leste-Oeste. É muito popular, devido à simplicidade de
cálculo (há tabelas para a sua construção). Era comumente usada para cartas costeiras
dos Estados Unidos.224 No Brasil, é utilizada em mapas regionais, estaduais e temáticos.

        •    Projeções Planas, Azimutais ou Zenitais:

        Representam determinadas relações angulares corretamente. São realizadas em
um plano tangente ou secante à esfera. O seu uso freqüente deve-se à representação
correta da distância e relações direcionais sobre o ponto de tangência.




       As projeções azimutais normais compartilham do mesmo padrão básico de
meridianos radiais e paralelos concêntricos. Projeções diferentes podem ser realizadas
pela modificação do espaçamento dos paralelos ao longo dos meridianos para preservar
propriedades geométricas selecionadas. O plano externo pode ser tangente ou secante.

        a) Projeção azimutal tangente, a distorção no mapa aumenta conforme se
distancia do ponto de tangência. Como a distorção é mínima perto do ponto de
tangência, são apropriadas para representar áreas que têm extensões aproximadamente
iguais nas direções Norte-Sul ou Leste-Oeste.



224
   A agência americana US Geological Survey, que entrou em operação em 1879, usava unicamente este
tipo de projeção em seus mapas topográficos, o que ocorreu até a metade do século XX. Isto influenciou o
seu uso em vários atlas comerciais do século XIX, e que continham mapas de países do Hemisfério Norte.


                                                                                                   253
                           PROJEÇÃO AZIMUTAL TANGENTE

        b) Projeção azimutal secante: nesta, a distorção é menor em grandes porções das
latitudes médias.




                            PROJEÇÃO AZIMUTAL SECANTE

       A projeção azimutal é freqüentemente usada para mapear as regiões polares, mas
pode ser centralizada em qualquer posição na superfície da Terra. Devido ao padrão
radial de distorção (aumentando com o afastamento do ponto de tangência), ela é
apropriada para mapear áreas que têm extensões Norte-Sul e Leste-Oeste iguais.




       A projeção azimutal é uma projeção usada para resolver o problema dos
azimutes (as direções da superfície da Terra). Nela, os azimutes são exatos e a escala é
constante para todas as direções que passam por esse centro; todo grande círculo que
passa por esse centro é representado por uma reta.
       Destina-se quase sempre a mapas especiais confeccionados para a navegação
náutica ou aeronáutica.

        A projeção azimutal tem três modalidades: a central ou gnomônica, que tem os
raios projetados do centro da esfera; a estereográfica, em que os raios são projetados do


                                                                                     254
pólo (oposto); a ortográfica, em que os paralelos, ao invés de projetados de um ponto,
como nos dois primeiros casos, são projetados da linha equatorial.




        I) Projeção central ou gnomônica: nesta projeção, o traçado do mapa é uma
projeção de um único ponto central da Terra, escolhido pelo cartógrafo. É uma projeção
muito boa para pequenos mapas que representem pequenas áreas, sendo por isso muito
utilizada em navegação.




                        PROJEÇÃO CENTRAL OU GNOMÔNICA

       II) A projeção estereográfica usa o mesmo ponto central da projeção central,
mas utiliza outros dois pontos paralelos ao ponto central (chamado pontos antípodas). É
a projeção mais comum em mapas dos pólos, pois sua distorção central é praticamente
nula. É muito usada em mapas-múndi.

        Projeção estereográfica polar: é assim chamada por ser centrada no pólo. Este
tipo de projeção é freqüentemente usada para mapear as regiões polares, mas pode ser
centralizada em qualquer posição na superfície da Terra. Por causa do padrão radial de
distorção (que aumenta com o afastamento do ponto de tangência), elas são apropriadas
para mapear áreas que têm extensões Norte-Sul e Leste-Oeste iguais.




                                                                                   255
        III) Projeção ortográfica: apresenta um (único) hemisfério como se ele fosse
visto a uma grande distância.




       Ela assume que a fonte de luz está localizada a uma distância infinita do ponto
de tangência, resultando em raios de luz paralelos e perpendiculares à superfície de
projeção (os paralelos mantêm seu paralelismo e os meridianos passam pelos pólos). O
espaçamento entre paralelos diminui em direção ao equador.
       A projeção ortográfica tem como característica proporcionar uma visão
perspectiva da Terra como se fosse vista do espaço.




                                  PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA

       As projeções gnomônica e a ortográfica acarretam enormes deformações nas
áreas próximas do círculo equatorial, ao passo que, na estereográfica, são notadas
menores alterações nas referidas áreas.


                                                                                  256
       A projeção azimutal também se classifica em: projeção perspectiva; projeção
equivalente; projeção eqüidistante.

       I) Projeção Azimutal Perspectiva: pode ser construída geometricamente
supondo-se uma fonte de luz no interior (um ponto central chamado centro de projeção)
de um esferóide transparente que projeta as sombras dos meridianos e dos paralelos
sobre a superfície de projeção (as curvas do globo terrestre são projetadas por linhas
retas – oblíquas ou paralelas – no plano). As projeções perspectivas representam
azimutes corretamente no ponto de tangência, mas não representam as distâncias
corretamente.
       Propriedades geométricas diferentes podem ser obtidas mudando a posição da
fonte de luz com respeito ao esferóide.

       Do mesmo modo com as distâncias, nem todas as relações angulares podem ser
representadas corretamente em um único mapa. Contudo é possível representar todas as
relações angulares corretamente sobre um único ponto.




       II) Projeção Azimutal Equivalente: na projeção azimutal, o espaçamento dos
paralelos pode ser ajustado para produzir uma projeção azimutal equivalente. É obtida
fazendo o espaçamento dos paralelos igual ao comprimento da corda do paralelo no
esferóide.
       Nesta projeção, o espaçamento entre paralelos diminui com o distanciamento do
pólo para compensar a deformação que acontece nos paralelos de latitude. A projeção
azimutal equivalente pode representar a Terra inteira, embora seja limitada
freqüentemente à representação de um Hemisfério.




                                   Projeção de Lambert

       III) Projeção Azimutal Eqüidistante: quando as distâncias são conservadas ao


                                                                                  257
longo dos círculos máximos que passam pelo centro.
       Pode ser produzida a partir do padrão básico de meridianos radiais e paralelos
concêntricos, modificando o espaçamento dos paralelos para que fiquem espaçados
igualmente ao longo dos meridianos. O resultado é uma projeção azimutal que pode
representar a Terra inteira em um único mapa.




                         PROJEÇÃO AZIMUTAL EQUIDISTANTE

       A projeção azimutal eqüidistante pode ser: meridiana, quando a distância é
conservada ao longo dos meridianos; transversal, quando a distância é conservada ao
longo dos paralelos.
       Todas as distâncias medidas do ponto de tangência estão em escala e os ângulos
sobre o ponto de tangência também são representados corretamente (todos os pontos
estão na distância e rumo verdadeiros em relação ao centro). Outras distância e relações
angulares estão distorcidas.
       Uma vez que distâncias e ângulos sobre o ponto central estão corretos, a
projeção azimutal eqüidistante é útil para representar rotas de um determinado local
para outros locais desejados.

       O tipo normal (ou polar), é uma projeção eqüidistante que tem os pólos em sua
porção central. As maiores deformações estão em suas áreas periféricas.




       O ponto de tangência representa o pólo norte ou sul, e os meridianos de
longitude são linhas retas radiais que partem deste ponto. Os paralelos de latitude
aparecem como círculos concêntricos.



                                                                                    258
        •    Projeções Cilíndricas:225

       Nelas, projeta-se a esfera terrestre em um plano cilíndrico que a envolve. São um
aperfeiçoamento analítico dos mapas planos, em coordenadas retangulares.




        As projeções cilíndricas são assim denominadas porque são feitas pelo
envolvimento da esfera terrestre por um cilindro.226 Ou seja, a superfície terrestre é
projetada sobre um cilindro tangente ou secante ao elipsóide, que é então cortado e
planificado longitudinalmente.
        Se o cilindro for tangente à esfera, apresenta uma única linha de contacto com
ela, em torno de um grande círculo. Quando o cilindro é secante à esfera (efetua um
corte teórico), apresenta duas linhas de contato. Em ambos os casos, essas linhas são os
únicos pontos da carta que possuem a escala declarada (apresentam a propriedade da
grandeza verdadeira). Nos demais pontos há uma variação da escala, segundo modelos
matemáticos e/ou geométricos, que podem ser calculados.
        De acordo com a posição do cilindro em relação aos polos: se for colocado de
modo normal aos polos, tem-se a projeção cilíndrica normal; se for colocado com
ângulos de 90° com o eixo polar, tem-se a projeção transversa; se for colocado em
ângulos não ortogonais aos polos, tem-se o caso da projeção oblíqua.

        A projeção cilíndrica caracteriza-se por apresentar os paralelos e os meridianos
retos e perpendiculares entre si.227 Os meridianos ficam sempre espaçados de igual
número de graus, com os paralelos separando-se desigualmente.228 Nestes, a escala
aumenta na direção leste-oeste, à medida que se aproxima dos pólos.
        São as projeções mais utilizadas e conhecidas. São apropriadas para as baixas
latitudes, porque deformam as superfícies nas altas latitudes (mantêm as baixas latitudes


225
    Também chamada projeção com paralelos horizontais e meridianos verticais.
226
    Na projeção cilíndrica, a superfície terrestre é projetada sobre um cilindro tangente ou secante ao
elipsóide, que é então cortado e planificado longitudinalmente.
227
    Os paralelos e os meridianos podem simplesmente ter indicadas as suas posições nas bordas laterais do
mapa.
228
    Em orientação normal, as projeções cilíndricas apresentam uma faixa estreita ao longo do equador na
qual a distorção é minimizada, sendo por isto apropriada para a representação de regiões tropicais. Este
padrão de distorção também faz que elas sejam ideais para mapear áreas ao longo da direção Norte-Sul,
mas com pouca extensão Leste-Oeste.


                                                                                                    259
em forma e dimensão mais próximas do real).229 A única coordenada que se mostra no
tamanho original é a do equador.




      Na projeção cilíndrica tangente ou normal o cilindro é tangente ao elipsóide ao
longo do equador. Nesta orientação, o reticulado de meridianos e paralelos aparece
como uma grade retangular.




        Os Meridianos de longitude são linhas retas, igualmente espaçadas e
perpendiculares ao equador. Paralelos de latitude são representados como linhas retas
paralelas ao equador e tendo o mesmo comprimento.
        O equador está representado em escala, e a distorção aumenta à medida que se
distancia do equador. Este tipo de projeção é geralmente usado para representação de
regiões de latitude média-alta (entre -70° e +70° de latitude).

       Na projeção cilíndrica secante o cilindro é secante ao elipsóide ao longo do
equador. Os paralelos localizados entre os dois paralelos de referência (secantes) são
menores que seu verdadeiro comprimento no esferóide, enquanto que os paralelos
externos aos de referência são maiores.




           Esta representação permite uma melhor distribuição da distorção e a reduz, nas

229
      É o caso da Groenlândia, que parece ser maior que a Austrália, mas é três vezes menor.


                                                                                               260
proximidades do Norte e Sul do mapa.

       As projeções cilíndricas se classificam em: projeção cilíndrica eqüidistante;
projeção cilíndrica perspectiva; projeção cilíndrica equivalente; projeção cilíndrica
conforme.

        O tipo mais simples de projeção cilíndrica é a chamada projeção cilíndrica
eqüidistante segundo um paralelo ou projeção equiretangular.230 É constituída de um
reticulado de linhas horizontais e verticais que representam paralelos e meridianos,
sendo que os paralelos de latitude são espaçados igualmente ao longo de meridianos, e a
distância entre paralelos na projeção, igual ao comprimento de arco no esferóide.
        O paralelo central do mapa é escolhido para base, ou linha de distância
verdadeira, e é dividida exatamente como um globo de escala igual. A medida de um
grau na longitude na latitude φ é: 1º de longitude = 1º de latitude x cosφ (sendo φ a
latitude em graus).
        Distâncias medidas ao longo do equador (caso tangente) ou paralelo de
referência (caso secante) e distâncias medidas ao longo de qualquer meridiano estão
representadas em escala.
.




                                PROJEÇÃO EQUIRETANGULAR

       Projeção cilíndrica perspectiva ortográfica: esta projeção assume que a fonte de
luz está localizada a uma distância infinita da superfície de projeção, resultando em
raios paralelos de luz. O espaçamento entre os paralelos diminui conforme se distancia
do equador. Porém, por causa da grande distorção das formas, outros tipos de projeção
são preferidos para representação das regiões polares principalmente.




230
   Como no caso das projeções azimutais, o espaçamento entre paralelos pode ser modificado para
produzir uma projeção eqüidistante.


                                                                                          261
                           PROJEÇÃO CILÍNDRICA ORTOGRÁFICA

        Projeção cilíndrica perspectiva gnomônica: é outro exemplo de projeção
cilíndrica perspectiva, que ilustra o padrão básico de projeções cilíndricas normais.
        Tem princípios idênticos aos da projeção azimutal gnomônica. Uma fonte de luz
é posicionada no centro do esferóide e projeta o reticulado na superfície de projeção que
é um cilindro tangente ao esferóide ao longo do equador.
______________________________________________________________________

       V) Projeções Pseudo-cilíndricas: a projeção cilíndrica ortográfica é a projeção
equivalente cilíndrica básica. Porém, por causa da grande distorção de formas nas
regiões polares, não é a melhor escolha para representar estas regiões. Por isto, foram
desenvolvidas projeções alternativas chamadas projeções pseudo-cilíndricas.
       Elas são desenvolvidas a partir da projeção cilíndrica perspectiva, simplesmente
ajustando o espaçamento dos paralelos.

       Projeção pseudo-cilíndrica sinusoidal:231 pode ser construída a partir da
projeção cilíndrica equidistante através de mudança de escala dos paralelos de latitude
de forma que sejam representados em escala. Nesta projeção, o meridiano central é uma
linha reta com metade do comprimento do equador. Os outros meridianos são linhas
curvas, igualmente espaçadas ao longo dos paralelos. O resultado é uma projeção
equivalente.




                                   PROJEÇÃO SINUSOIDAL

        Os comprimentos dos paralelos são encontrados pela relação: 1º de longitude =
1º de latitude x cosφ.
        A distorção nesta projeção é mínima na interseção do meridiano central com o
equador, e geralmente aumenta à medida que alcança altas latitudes. Isto a torna

231
   Também chamada projeção senoidal, ou, numa nomenclatura mais antiga, projeção Mercator-Sanson-
Flamsteed.


                                                                                            262
apropriada para mapas que representam regiões tropicais ou um único continente.
        Projeção pseudo-cilíndrica de Mollweide:232 é outra projeção equivalente
convencional. Nesta projeção, a Terra inteira é representada dentro de uma elipse (sua
área é proporcional à da esfera terrestre, tendo a forma elíptica). Tem paralelos de
latitude horizontais (são linhas retas paralelas ao equador); os meridianos são curvas
elípticas equidistantes.




                                    PROJEÇÃO DE MOLLWEIDE

        As zonas centrais apresentam grande exatidão, tanto em área como em
configuração, mas as extremidades apresentam grandes distorções (a distorção é mínima
perto da interseção do equador com o meridiano central e aumenta na direção das
extremidades do mapa).
        O espaçamento dos paralelos ao longo do meridiano central é calculado para
assegurar que todas as áreas no mapa sejam iguais às áreas correspondentes no
esferóide. O equador é duas vezes maior do que o meridiano central, sendo dividido em
partes iguais.

       Uma modificação da projeção de Mollweide é chamada de projeção
homalográfica interrompida de Goode.233 Ela combina a área equivalente com
pequenas deformações na forma, com massas interrompidas ou descontínuas (é uma
projeção descontínua, porque visa eliminar várias áreas oceânicas), como se fossem
gomos de um Globo Terrestre.
       É um tipo diferenciado de projeção idealizado com a finalidade de mostrar a
equivalência das massas continentais e oceânicas.
       Nela, o equador é dividido em partes iguais, e os paralelos são colocados como
na projeção anterior. Ao invés de um único meridiano central, cada continente tem o seu
próprio meridiano central conveniente, a partir do qual os outros meridianos são
tomados para a esquerda e para a direita.




232
    Foi construída em 1805 pelo alemão Karl B. Mollweide. Posteriormente (1857) foi chamada de
projeção homalográfica.
233
    Ou também: projeção Homalossena (ou Homolosina)..


                                                                                          263
                            PROJEÇÃO INTERROMPIDA DE GOODE

       Para evitar deformações nas latitudes das zonas temperadas, comuns nas
projeções senoidal e de Mollweide, foi proposta a chamada projeção de Eckert.234
       Nesta projeção, os pólos são representados como paralelos de comprimento igual
a metade do comprimento do equador.




                                    PROJEÇÃO DE ECKERT

        A projeção de Holzel, por sua vez, é uma projeção equivalente, e seu contorno
elipsoidal faz referência à forma aproximada da Terra, que tem um ligeiro achatamento
nos pólos.




                                    PROJEÇÃO DE HOLZEL

        Projeção de Aitoff-Wagner: trata-se duma projeção equivalente confinada numa
elipse, na qual a linha que representa o equador (o eixo maior) é o dobro da linha que

234
  Max Eckert, geógrafo alemão. Ele chegou a propor seis tipos sucessivos de projeções, sendo que a
mais popular (pelo menos na Europa) foi a quarta.


                                                                                             264
substitui o meridiano central (o eixo menor).
        Qualquer quadrícula neste mapa, ainda que varie enormemente de forma,
guarda, por latitude, a mesma área. Nota-se, ainda, que o centro da projeção (onde se
cruzam as únicas linhas retas aí existente) é o único ponto sem deformação, isto é, onde
os ângulos são retos.




                              PROJEÇÃO AITOFF-WAGNER

       Projeção de Mollweide-Aitoff: é uma projeção do tipo azimutal. Conserva a
proporção ou equivalência das áreas representadas em detrimento da forma. Nelas, os
paralelos são horizontais e estão de tal modo espaçados que cada área limitada por dois
deles conserva a mesma proporção da área real, embora possa variar muito no tocante à
forma. Os mapas com essa projeção têm formato elíptico.

       Projeção de Aitoff: é uma projeção azimutal modificada. Foi proposta por David
A. Aitoff em 1889. É a forma equatorial da projeção equidistante azimutal, mas esticada
em forma de elipse.

      Projeção Hammer (ou: projeção Hammer-Aitoff): foi proposta por Ernst
Hermann Heinrich Hammer, que sugeriu que a projeção equivalente azimutal de
Lambert fosse usada tal como a de Aitoff.




      Mesma projeção, mas usando escalas lineares para latitude e longitude, e em
uma escala de fator 0,8:




                                                                                    265
          Os mapas-múndi mostrados a seguir são, todos eles, variações da projeção de
Aitoff.




                               PROJEÇÃO AITOFF-WAGNER




                              PROJEÇÃO VAN DER GRITTEN



                                                                                 266
                                     PROJEÇÃO LARRIVÉE




                                   PROJEÇÃO SAVARD EGG

______________________________________________________________________

       VI) Projeção de Mercator,235 projeção de Robinson e projeção de Peters.236
Estas são as mais conhecidas, entre todas as projeções cilíndricas.

        a) A projeção cilíndrica equatorial ou projeção de Mercator ou é a mais antiga.
Foi criada no século XVI. Por características históricas, coloca a Europa como centro de



235
    Gerardo Mercator ou Gerardus Mercator, nascido Gerard de Cremer, ou Gerhard Kremer (1512-1594),
foi um matemático, geógrafo e cartógrafo flamengo. A chamada projeção de Mercator foi apresentada
por ele em 1569.
236
    Ou Projeção de Gall-Peters.


                                                                                              267
irradiação dos mapas.237




       A projeção de Mercator é uma projeção cilíndrica conforme,238 que não deforma
os ângulos de latitude e longitude (nela, os paralelos e meridianos são linhas retas que
se cortam em ângulos de 90º), portanto, as distâncias angulares e lineares (estas no
equador) são precisas.
       No caso tangente (tangente ao equador), só o equador é representado em escala,
em sua verdadeira grandeza. Os outros paralelos são mais longos no mapa do que no
esferóide. O exagero da extensão das paralelas em latitude é compensado por um
exagero proporcional das distâncias meridianas, segundo uma função chamada variável
de Mercator ou função das latitudes crescentes: ∆Y = φ/cos φ.
       Áreas mais extensas ou situadas em latitudes elevadas aparecem nos mapas com
dimensões exageradamente ampliadas (as regiões polares aparecem muito exageradas, e
os pólos estão sujeitos a um grau infinito de distorção, porque estão representados em
uma linha que tem o mesmo comprimento do equador, embora seja um ponto no
esferóide).239




      Esta projeção foi apresentada em 1569 pelo cartógrafo Gerard Mercator, que
concebeu a quadrícula que leva o seu nome, como uma ajuda à navegação. Ela é usada
para mapas marítimos e de regiões intertropicais, onde as deformações são mínimas.

237
    Assim como, atualmente, os globos terrestres costumam privilegiar as Américas, ou o Hemisfério
Norte.
238
    Como já se viu, na projeção conforme a escala é constante em todas as direções para cada ponto, mas
varia de ponto para ponto no mapa.
239
    A escala é variável segundo a latitude; as regiões polares acima de 75º não podem ser representadas,
pois o exagero dos comprimentos em relação ao equador é de quatro vezes, o que representa uma
dilatação da superfície de 16 vezes.


                                                                                                   268
Além disso, é a única em que as direções podem ser desenhadas em linha reta sobre o
mapa (nesta projeção as formas geométricas são respeitadas, sobretudo as loxodromias,
ou seja, as rotas traçadas com compasso são retas).240

______________________________________________________________________

        Loxodromia e Ortodromia:

         A curva loxodrômica foi descoberta pelo geógrafo e matemático português
Pedro Nunes, em 1537.241 Preocupado em auxiliar a navegação em alto-mar, ele
distinguiu duas possíveis rotas para os navios.
      Uma delas se define como a distância mínima entre dois pontos, ou ortodromia,
que corresponde a um arco de círculo máximo; a outra se define como a trajetória em
que se mantém constante a orientação em relação aos pontos cardeais. Esta é também
designada por linha de rumo ou loxodromia.242
      Estas duas trajetórias só coincidem quando se viaja ao longo de um meridiano (de
Norte para Sul, ou vice-versa) ou ao longo do equador (de Leste para Oeste, ou vice-
versa).
         Loxodromia ou Linha de Rumo é a linha que intercepta os vários meridianos
segundo um ângulo constante (ou seja, sua direção geográfica ou azimute é constante
com os meridianos). É o trajeto mais simples entre dois pontos.
         Trata-se de uma linha torsa,243 com tendência a espiralar-se em direção aos
       244
pólos.




        Ainda que não constitua o caminho mais curto entre dois pontos, é usada

240
    A navegação náutica, mesmo na era do computador e do GPS, não dispensa (pelo menos em barcos
menores) os mapas ou cartas náuticas, nem as formas antigas de navegação. A carta náutica serve para se
marcar a posição, o que geralmente se faz ao meio-dia, marcando uma cruz, um ponto e um círculo em
volta. Do ponto marcado no dia anterior é traçada uma reta e se mede, com um compasso de pontas secas
e a escala na borda da carta, a distância percorrida. [Noções básicas e avançadas sobre navegação podem
ser encontradas no site: http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/cap1.pdf].
241
    Pedro Nunes (1502-1578), que usava o nome latinizado de Petrus Nonius, foi o primeiro a reconhecer
a loxodromia na sua obra O Tratado da Esfera, de 1537. Este reconhecimento resultou de um problema
que lhe foi sugerido por Martim Afonso de Sousa, fundador das primeiras colônias portuguesas no Brasil.
242
    Entre dois pontos quaisquer da superfície terrestre podem traçar-se dois tipos de rotas distintas: a
ortodromia, que minimiza a distância entre eles; e a loxodromia, que mantém constante o rumo, isto é, o
ângulo entre o caminho seguido e os meridianos.
243
    Linha torsa é a que não pode ser traçada sobre o plano. Por exemplo, o corte da casca de uma laranja
cria uma linha torsa.
244
    Pedro Nunes provou que, num planeta hipotético completamente coberto por mares, um barco que
seguisse sempre em uma mesma direção cardeal acabaria por não regressar ao mesmo lugar, mas seguiria
uma espiral infinita, aproximando-se de um dos pólos, mas nunca o alcançando.


                                                                                                   269
normalmente em mapas náuticos e aéreos, usando acidentes geográficos como
referência. A razão está no fato de a orientação dos navios e aeronaves se realizar com
base nas cartas náuticas, fornecidas por projeções azimutais, bússolas magnéticas e
bússolas giroscópicas sobre coordenadas deformadas, que atendem o sentido de
orientação da terra plana.




       Ortodromia é a linha que une dois pontos da superfície da Terra e que
corresponde ao caminho mais curto entre eles.
       Formalmente, é a deformação do círculo máximo quando plotado sobre uma
representação planisférica da Terra. Numa superfície esférica, é o arco de círculo
máximo que representa a menor distância entre dois pontos; sobre um elipsóide de
revolução, é uma linha torsa.




       Se os pontos estiverem separados por um arco de 180º, isto é, sejam
antípodas,245 há uma infinidade de rotas ortodrômicas que os ligam, e que, em qualquer
direção que se parte, se a rota for mantida, chega-se igualmente ao outro ponto. A
ortodromia pura tem o inconveniente de necessitar de correções constantes de rumo, já
que o ângulo com cada meridiano é sempre diferente, exceto se a viagem se faz sobre o
equador ou ao longo de um meridiano.

245
      Antípodas são os pontos extremos e opostos do globo terrestre.


                                                                                   270
        Em navegação marítima, ela só é utilizada em circunstâncias especiais e em
trajetos muito longos, quando o fator tempo seja decisivo, o que não acontece na
navegação aérea. Seja como for, é feita por meio de partes a rumo constante, entre
pontos intermédiários escolhidos ao longo da rota.
        Muitas vezes as ortodromias entre pontos distantes atingem latitudes elevadas,
em que há freqüentes ocorrências de gelo e de condições atmosféricas adversas. É
possível optar, então, por uma rota mista constituída por duas partes de ortodromias que
ligam os pontos de partida e de chegada a um certo paralelo limite, e uma parte
intermediária, em rumo Leste ou Oeste, ao longo desse mesmo paralelo.




______________________________________________________________________

        c) Projeção Cilíndrica de Robinson: é uma projeção não conforme e não
equivalente desenvolvida por A. H. Robinson em 1961 (ou 1963). É baseada em
coordenadas e não em formulação matemática, e foi concebida para minimizar as
distorções angulares e de área, aperfeiçoando as características da projeção de Mercator
nas superfícies das regiões de alta latitude. Combina também fatores positivos de várias
outras projeções, conseguindo assim uma distorção mínima da maioria das massas de
terra do Globo.
        Nesta projeção, os meridianos são colocados em linhas curvas, em forma de
elipses que se aproximam quanto mais se afastam da linha do Equador.




                         PROJEÇÃO CILÍNDRICA DE ROBINSON

        A Antártica é bem distorcida, e as massas de terra mais ao norte também sofrem
distorção, mas esta projeção é considerada a de melhor representação do tamanho e
forma dos países e continentes. É a projeção mais usada nos Atlas atuais.

       d) Projeção Cilíndrica Equivalente de Peters: outra projeção muito utilizada


                                                                                    271
para planisférios é a de Arno Peters, que data de 1973.246 Sua base também é cilíndrica
equivalente, e determina uma distribuição dos paralelos com intervalos decrescentes,
desde o equador até os pólos.




                      PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE DE PETERS

       Nesta projeção, as distâncias e as formas das superfícies foram relegadas a
segundo plano, a fim de enfatizar os tamanhos das áreas representadas
cartograficamente. Os países e continentes situados em baixas latitudes (as áreas de
baixa latitude) são representadas alongadas (no sentido N-S) e distorcidas, enquanto os
situados em altas latitudes se dispersam no sentido L-O; isto porque as distâncias
angulares entre os paralelos são diminuídas gradativamente do equador para os pólos.

       As retas perpendiculares aos paralelos e as linhas meridianas têm intervalos
menores, resultando, na representação das massas continentais, em um significativo
achatamento no sentido Leste-Oeste e a deformação no sentido Norte-Sul, da faixa
compreendida entre os paralelos 60º Norte e Sul. Acima destes, até os pólos, tem-se a
impressão de um alongamento da Terra.

______________________________________________________________________

e) Projeção Mercator Oblíqua (ou projeção Rosenmund-Laborde-Hotine)247: é uma
projeção conforme. Como é uma variante oblíqua da Projeção de Mercator Regular, ela
mantém quase todas as propriedades da projeção normal. Sua característica marcante é
ter dois meridianos representados por linhas retas separadas de 180°.




246
    Outra data geralmente mencionada é 1965. Esta projeção se apresentou contra o modelo eurocêntrico
de Mercator, dando destaque para os países localizados nas baixas latitudes.
247
     Foi desenvolvida entre 1900 e 1950. Publicada pela primeira vez em 1903 por Rosenmund, que
inventou uma forma elipsoidal usada para o mapeamento topográfico de Suíça. Laborde aplicou-a ao
mapeamento topográfico de Madagascar em 1928. Hotine derivou dela uma forma de projeção
denominada Mercator Obliqua Espacial.


                                                                                                272
______________________________________________________________________

       Projeção Universal Transversa de Mercator. UTM:

      Devido à sua importância na Cartografia, o sistema de projeção proposto por
Mercator (e suas variantes modernas) será visto em detalhes.

        Projeção cilíndrica transversa de Mercator: é uma projeção cilíndrica,
conforme, analítica e tangente. Ela resulta da projeção da superfície da esfera em um
cilindro tangente ao meridiano central. Nela, os meridianos e paralelos não são linhas
retas, com exceção do meridiano de tangência e do equador. As distorções aumentam a
partir do meridiano central, tanto em escala, distância como em direção e área.




        É indicada para regiões onde há predominância na extensão Norte-Sul (áreas que
são maiores no sentido Norte-Sul do que no sentido Leste-Oeste). Seu interesse se dá
pelo fato de muitos sistemas nacionais terem sido construidos com base nessa projeção,
como o BNG (British National Grid), baseado no National Grid System of England, que
é administrado pelo British Ordnance Survey.
        É também muito utilizada em cartas destinadas à navegação.

       Outro tipo muito utilizado em cartografia é a MTU – Mercator Transverso
Universal (UTM – Universal Transverse Mercator), uma projeção cilíndrica transversa
secante.




                                                                                  273
        O Sistema UTM é, em essência, uma modificação da Projeção Cilíndrica
Transversa de Mercator (um aperfeiçoamento consiste em projetar o elipsóide numa
esfera que é, por sua vez, projetada no cilindro).
        É adotado em inúmeros países e serve para a confecção de mapas de grande ou
de média escala, entre os paralelos 80º N e S. É utilizado na produção das cartas
topográficas do Sistema Cartográfico Nacional, realizadas pelo IBGE e DSG.248

        A Projeção Universal Transversa de Mercator – UTM (ou conforme, de
Gauss249), é um sistema que surgiu em 1947 para determinar as coordenadas
retangulares nas cartas militares, em escala grande, em todo o mundo.
        Em 1950, os americanos propuseram uma combinação para abranger a quase
totalidade das longitudes, com base na projeção cilíndrica transversa conforme. O
sistema foi adotado pela União Geofísica Internacional, em 1951, com a demominação
de Projeção Universal Transversa de Mercator (UTM).

        Características básicas do sistema UTM:

       O equador é dividido em 60 arcos (fusos) de 6° cada, sendo que cada um se
estende por 6º de longitude, valor máximo que evita deformações. São numerados de
um a sessenta, começando no fuso 180º até 174º W Gr. e continuando para Leste até
reencontrar o ponto de origem.250

        Para criar o sistema utilizou-se uma superfície de projeção com 60 cilindros
transversos e secantes à superfície de referência (elipsóide), Os cilindros são
distribuídos na superfície de referência, de modo a abranger fusos de 6º de amplitude,
compreendidos entre as longitudes múltiplas de 6º + 3º (...; 57º; 51º; 45º;...) cada um,
com amplitude de 6º em longitude.251
        São assim criadas 60 zonas UTM, com origem localizada no meridiano de 180°,
isto é, sobre o antimeridiano de Greenwich. Cada zona é mapeada pela projeção
Tranversa de Mercator, tendo o meridiano central no centro da zona.
        Quanto à extensão em latitude, os fusos se originam no paralelo de 80º S e vão
até o paralelo 84º N.252 A divisão consiste em zonas de 4º.253

248
    Diretoria de Serviço Geográfico do Exército.
249
    O sistema transverso de Mercator já havia sido calculado por J. H. Lambert, sob a denominação de
projeção de Gauss. Foi utilizado em 1866 para calcular a triangulação da cidade de Hanover, quando era
conhecido com o nome de Gauss-Hannoversche Projektion, ou projeção de Gauss-Schreiber.
250
    A indicação “174º W Gr.” significa “174 graus a Oeste de Greenwich”.
251
    Cada um deles é gerado a partir de uma rotação do cilindro, de forma que o meridiano de tangência
divide o fuso em duas partes iguais a 3º de amplitude, 6º no total.
252
    Para além desses paralelos, a projeção adotada mundialmente é a Estereográfica Polar Universal.
253
    Isto está vinculado ao tamanho da carta de 1:100.000, e não à projeção. Os fusos são decorrentes da
necessidade de se reduzir as deformações.


                                                                                                  274
       O quadriculado UTM está associado ao sistema de coordenadas plano-
retangulares, de modo que um eixo coincida com a projeção do Meridiano Central do
fuso (eixo N apontando para Norte) e o outro eixo, com o do Equador. Deste modo,
cada ponto do elipsóide de referência (descrito por latitude, longitude) estará associado
aos valores: Meridiano Central; coordenada E; coordenada N.




        No total de 1200 quadrículas formadas, os seis graus de longitude apresentam as
seguintes características: os dois meridianos laterais são múltiplos de seis, assim como o
meridiano central é de seis mais três. Assim, no recorte de mapa acima, duas
quadrículas mostram: a primeira, o meridiano central de 51º e os dois meridianos
laterais de, respectivamente, 54º e 48º (W); a segunda, o meridiano central de 45º e os
dois laterais de, respectivamente, 48º e 42º. Os limites em latitude, para ambas as
quadrículas, são os paralelos de 28º e 20º (S).

        Cada fuso pode ser prolongado até 30' sobre os fusos adjacentes, o que cria uma
área de superposição de 1º de largura.254
        Para evitar a possibilidade de ocorrência de valores negativos de coordenadas, a
cada fuso é associado um sistema cartesiano métrico de referência, atribuindo à origem
do sistema (interseção da linha do Equador com o meridiano central) as coordenadas
500.000 m,255 para contagem de coordenadas ao longo do Equador, e 10.000.000 m256
ou 0 (zero) m, para contagem de coordenadas ao longo do meridiano central, para os
hemisférios Sul e Norte (cada fuso tem origem na interseção do seu meridiano central
com a linha do equador. As coordenadas UTM destes pontos são x = E (Este) =
500.000,00 m; y = N (Norte) = 10.000.000,00 m, no Hemisfério Sul e y = N = 0,00 m,
no Hemisfério Norte).

       O sistema UTM é conforme; deste modo, as distâncias e áreas apresentam
deformações. A deformação de área é função da posição ocupada pelos pontos dentro de
um fuso UTM. Esta variável é conhecida como coeficiente de deformação linear e
representada pela letra grega κ (kapa). A orientação das figuras também pode ser
considerada pseudodeformação, a não ser no meridiano central de cada fuso, onde o
Norte da quadrícula UTM (NQ) coincide com o Norte Verdadeiro (NV). Em todas as

254
    Esta área facilita o trabalho de campo, em algumas atividades (30’ + 30 ‘ = 1º).
255
    500 km.
256
    10.000 km.


                                                                                       275
demais regiões dos fusos esses dois eixos formam, entre si, um ângulo denominado
Convergência Meridiana, representado pela letra grega δ (gama).
       A deformação interna de um fuso UTM em um cilindro tangente varia, do
meridiano central aos seus extremos. Avaliando a sua deformação, encontra-se um fator
de escala igual a 1 (um) no meridiano central257 e (aproximadamente) 1,0015 (1/666)
nos extremos do fuso.
       Atribuindo-se um fator de escala k = 0,9996 ao meridiano central do sistema
UTM (e o cilindro torna-se secante), consegue-se assegurar um padrão mais favorável
de deformação em escala ao longo do fuso. O erro de escala fica limitado a 1/2500 no
meridiano central e a 1/1030 nos extremos do fuso.




       O sistema de coordenadas geodésicas ou UTM permite o posicionamento de
qualquer ponto situado sobre a superfície da Terra. Para seu melhor uso na navegação,
foram definidos três vetores associados a cada ponto:

        •    Norte Verdadeiro ou de Gauss: tem direção tangente ao meridiano
             (geodésico) e passa pelo ponto, apontando para o Polo Norte;
        •    Norte Magnético: tem direção tangente à linha de força do campo magnético
             e passa pelo ponto, apontando para o Polo Norte Magnético;258
        •    Norte da Quadrícula: tem direção paralela ao eixo N (que coincide com o
             Meridiano Central do fuso) do Sistema de Projeção UTM no ponto
             considerado, e aponta para o Norte (sentido positivo de N).

        As coordenadas UTM são obtidas a partir de coordenadas geográficas, latitude e
longitude de pontos de interesse, através de fórmulas. O coeficiente de deformação
linear (k), que varia de 0,9996 sobre o M.C. a 1,0015 nos extremos do fuso, passando
pelo valor unitário sobre as linhas de secância, também é obtido a partir de fórmulas,
sendo função das coordenadas (pontos cardeais) E e N dos pontos em questão.

______________________________________________________________________

257
    Sobre o meridiano central, no cilindro tangente, sendo unitário o coeficiente de deformação linear, não
existem deformações nesta região.
258
    Devido à significativa variação da posição deste pólo, da ordem de minutos de arco anualmente ao
longo dos anos, torna-se necessária a correção do valor constante da carta para a data do posicionamento
desejado.


                                                                                                      276
        Projeção de Fuller: O Mapa Dymaxion

       O mapa Dymaxion, como é conhecida a Projeção de Fuller da Terra, foi criado
por Buckminster Fuller,259 que o patenteou em 1946. A projeção era feita originalmente
sobre um cubo octaedro. Uma versão publicada em 1954, com o nome The AirOcean
World Map, era um modelo que empregava um icosaedro ligeiramente modificado, mas
quase completamente regular, como base para a projeção.
       É uma projeção cartográfica de um mapa-múndi na superfície de um poliedro,
que pode separar-se de diferentes formas em uma rede. Sua planificação não segue os
esquemas tradicionais, pois não mantém as orientações relativas aos pontos cardeais.
Tem menos distorção no tamanho relativo das regiões (especialmente se comparado
com a projeção de Mercator), como também distorce menos as formas.




       Sua maneira de separar as faces triangulares do icosaedro resulta em uma rede
que mostra massas de terra quase contíguas, que compreendem os continentes da Terra,
e não grupos de continentes divididos por oceanos.

       As figuras a seguir ilustram, as primeiras, as fases seqüenciais de formação e
desdobramento do icosaedro em formas poligonais (redes) que mostram os continentes.
A segunda é uma ilustração mais visível do diagrama completo formado pela projeção
de Fuller.




259
   Richard Buckminster Fuller (1895-1983) foi um visionário e extremamente criativo autodidata,
simultaneamente arquiteto, inventor, engenheiro, matemático, poeta, cosmólogo e escritor, nascido nos
EUA.


                                                                                                277
278
        Classificação das projeções. Quadro-resumo:




                                  GLOSSÁRIO BREVE260

        •   Projeção azimutal: é a projeção que utiliza um plano como superfície de
            projeção e que, no seu aspecto normal, apresenta os paralelos circulares e
            concêntricos e os meridianos retilíneos e concorrentes no centro, e fazendo
            entre si ângulos iguais às respectivas diferenças de longitude.
        •   Projeção cilíndrica: projeção que utiliza um cilindro como superfície de
            projeção e que, no seu aspecto normal, apresenta os meridianos e os
            paralelos retilíneos e perpendiculares entre si.
        •   Projeção conforme: é a projeção na qual a forma das figuras de dimensão
            infinitesimal é conservada, ou seja, em que a escala local em cada ponto é
            independente da direção.
        •   Projeção cônica: projeção cartográfica que utiliza um cone como superfície
            de projeção e que, no seu aspecto normal, apresenta os paralelos circulares e
            concêntricos, os meridianos retilíneos e concorrentes no vértice, e fazendo
            entre si ângulos inferiores às respectivas diferenças de longitude.
        •   Projeção convencional: projeção cartográfica que não utiliza o conceito de
            superfície de projeção, sendo construída com base em critérios formulados
            matematicamente.
        •   Projeção equidistante: é a projeção em que a escala natural (e, portanto, a

260
    Veja-se no Apêndice III alguns exemplos de mapas-múndi que correspondem à planificação do globo
terrestre.


                                                                                              279
    distância natural) é conservada ao longo de certas linhas.
•   Projeção equivalente: é a projeção em que a proporção das áreas de todos os
    objetos representados é conservada, ou seja, em que o módulo de
    deformação areal é constante e igual à unidade.
•   Projeção geométrica: é a projeção que se baseia no conceito de superfície de
    projeção.
•   Projeções pseudocônicas: é a família de projeções convencionais em que os
    paralelos são circulares e concêntricos, e os meridianos são curvilíneos
    (exemplo: projeção de Bonne).
•   Projeções pseudocilíndricas: é a família de projeções convencionais em que
    os paralelos são retilíneos e paralelos entre si, e os meridianos são
    curvilíneos.




                                                                            280
 Parte II



IM A G E M




             281
282
                                        Capítulo VII

                             Desenho Decorativo e Ornamental

        7.1 – Desenho Decorativo. Composição

       O Desenho Decorativo é parte da disciplina Desenho Artístico. Diz-se que é
desenho decorativo o desenho estilizado, ou seja, aquele desenho em que se reduziu ao
essencial as formas encontradas na natureza, de modo que elas possam ser reproduzidas
de um modo esquemático e regular.261 Tem, portanto o desenho decorativo, uma
tendência à simplificação e à padronização.

       Em uma composição ornamental, a unidade que é tomada como modelo e que
geralmente se repete em toda ela é denominada motivo. Motivo, então, é o elemento
empregado em uma ornamentação.
       Os motivos podem ser simples ou complexos. Simples, quando se considera um
único motivo numa só faixa decorativa; complexo, quando além de um motivo, houver
duas ou mais faixas de larguras diferentes.

       O desenho confeccionado com o objetivo de decorar uma superfície qualquer é
denominado ornato. O motivo é a unidade tomada como dominante do ornato. Os
ornatos podem ter motivos lineares aplicados em faixas decorativas, com combinação
de ponto e linhas retas ou linhas sinuosas, verticais, horizontais ou oblíquas.




       Existem várias modalidades de ornatos. Qualquer um serve de motivo, do qual
se podem obter vários tipos de derivações.




261
    Denomina-se estilização a transformação ou simplificação das figuras geométricas, conservando,
entretanto, suas características principais.


                                                                                             283
        Denomina-se faixa decorativa (ou barra decorativa) à ornamentação existente
entre duas linhas paralelas, colocadas em qualquer posição ou sentido. A distância entre
as linhas é a largura da faixa. Conforme a largura, esta é chamada de galão ou filete
(largura mínima).
        A superfície de decoração é chamada de painel (sua superfície é maior do que a
da faixa decorativa). Pode assumir variadas formas geométricas, sendo a mais comum a
forma retangular.

        No desenho decorativo são usados processos gráficos que usam formas
geométricas fundamentais tais como o triângulo, o quadrado, o círculo, bem como
outras figuras menos comuns, derivadas ou transformadas das anteriores. Quanto aos
elementos decorativos, geralmente intercalam pontos, linhas (regulares ou irregulares,
paralelas, perpendiculares ou inclinadas) e figuras, de modo alternado ou superposto,
em cores variadas.




       Além da cor, na composição decorativa podem também ser usados os
hachurados, que são linhas retas ou curvas colocadas paralelamente de modo vertical ou
horizontal, bem próximas entre si, dentro do motivo.




                                                                                    284
        A superfície também pode ser dividida em linhas retas, curvas ou mistas,
formando elementos decorativos denominados redes. Geralmente, a rede é o esquema
inicial do desenho decorativo.
        As redes são constituídas de malhas, que são as figuras geométricas em que
ficam divididos os polígonos. Assim, existem redes de malhas quadradas e retangulares,
quando as disposições de listras são perpendiculares entre si.




       7.2 – Princípios Gráficos

        O desenho decorativo utiliza alguns princípios ou procedimentos gráficos que
facilitam a organização do trabalho artístico.
        O quadro sinótico abaixo mostra quais são estes princípios.




       O princípio de direção refere-se, ou à direção da superfície a decorar, ou à
direção dos motivos dentro da composição decorativa.
       No primeiro caso, a faixa ou superfície decorativa pode tomar várias direções
possíveis, que dependem do interesse da ornamentação.


                                                                                  285
        No segundo caso, os motivos tomam as várias direções que se adequem à
ornamentação.
        Outros efeitos ornamentais surgem do princípio de posição. Neste caso, deve-se
considerar a direção da composição e o uso do motivo nesta direção, que pode ser feito
com repetição, alternância ou simetria.
        A repetição será chamada repetição simples se for usado um único motivo, e
repetição complexa ou composta se for usado mais de um motivo. Os motivos podem
ser colocados com intervalo entre si, encostados, ou então, superpostos.
        Na alternância podem ocorrer, ou a repetição de um único motivo, o qual muda
de posição alternativamente (por exemplo, ora para cima, ora para baixo), ou a repetição
por alternância de mais de um motivo. Podem ocorrer alternâncias de posições,
alternância de motivos ou até mesmo alternância de cores.
        A alternância pode se dar, igualmente, por encosto, intervalo ou superposição.

       As fases da composição decorativa são as seguintes:

       •   Escolha do motivo;
       •   Aplicação do processo de estilização do motivo (esquematização);
       •   Preparação da superfície pela aplicação de quadrículas ou redes;
       •   Escolha dos princípios gerais (repetição, alternância, etc.);
       •   Acabamento.




                                                                                    286
           7.3 – Parâmetros da Composição Visual

       Para o artista gráfico espanhol José Maria Yturralde, devem ser considerados os
seguintes parâmetros, na composição de uma forma visual (abstrata ou concreta):262

           •    A cor
           •    A textura
           •    A superfície táctil
           •    A forma
           •    A cinestesia
           •    A mobilidade
           •    A sonoridade
           •    As relações com o meio
           •    A perceptibilidade
           •    A transformabilidade
           •    O comportamento
           •    A relação cultural
           •    A expressão material
           •    A viabilidade técnica




262
      Veja-se o site: http://www.yturralde.org/Paginas/ObraEt03.html.


                                                                                  287
288
                                        Capítulo VIII

                                  Teoria Geral das Cores


       8.1 – O Espectro da Luz

        O físico inglês Issac Newton descobriu, ao passar um raio de luz solar por um
prisma, que ele se decompunha em sete cores diferentes, chamadas cores principais, e
cuja frequência de vibração263 crescente forma as cores: vermelho, laranja, amarelo,
verde, azul, anil e violeta.




        Essas cores compõem o que se denomina espectro visível da luz, que é parte do
espectro eletromagnético como um todo.




263
    A freqüência da luz é medida em nanômetros (nm). Um nanômetro é igual a 10-9 metros (um
bilionésimo de metro).


                                                                                       289
       Os objetos iluminados absorvem uma parte da radiação e refletem outra parte.264
Por essa razão, os objetos recebem a sua cor da reflexão que fazem da luz recebida.
       O gráfico a seguir ilustra a sensibilidade do olho humano aos vários
comprimentos de onda da luz, quando adaptado à obscuridade.




        A adaptação a um ambiente iluminado, por sua vez, é ilustrada pelo gráfico
abaixo. A curva preta mostra a adaptação à obscuridade, e a vermelha mostra como o
olho se adapta à luz,265 à medida que os bastonetes vão sendo funcionalmente
substituídos pelos cones.266




264
    A luz pode ser: refletida; refratada; difratada; polarizada. A produção da luz pode se dar por:
incandescência; luminescência; fosforescência.
265
    Note-se que a maior sensibilidade é à cor amarela.
266
    Os bastonetes esão ligados à captação e concentração da luz, e podem acumular os efeitos do estímulo
luminoso em áreas mais vastas da retina. Quanto aos cones, são responsáveis pela discriminação de
pormenores e pequenos detalhes visuais.


                                                                                                   290
       Cor: é o resultado do reflexo da luz – estímulo físico267 – que provoca uma
sensação cromática no órgão da visão – ou reação fisiológica e química.268. Assim,
pode-se dizer que existem dois aspectos relacionados com a cor: o estímulo e a
sensação.269
       Os estímulos se dividem em dois grupos:

        A cor-luz, ou radiação luminosa visível, caracterizada pela luz branca e presente
em todo o espaço terrestre iluminado pelo Sol. A cor-luz é a cor física, natural, que
inclui todas as cores do espectro.

     A cor-pigmento, que é a substância material que reflete ou absorve os
componentes da luz que se difundem sobre ela.




        A cor-pigmento pode ser de dois tipos:270

       A cor natural de cada objeto da natureza, como, por exemplo, as folhas da
vegetação e os frutos das árvores;

      A cor artificial, que resulta das tentativas humanas de colorir um objeto e que
provém de substâncias corantes extraídas dos vegetais ou minerais.271

        Com o desenvolvimento das técnicas de pintura, a tecnologia química veio a
criar os chamados pigmentos e corante sintéticos, com cores artificiais que imitam as
cores naturais.

        Basicamente, as cores se dividem em: cores primárias; cores secundárias; cores
terciárias.

267
    A cor de um objeto qualquer resulta da sua capacidade de absorver quase todos os raios coloridos,
refletindo apenas uma radiação específica, cujo comprimento de onda caracteriza aquela cor. Assim, um
corpo verde absorve todas as radiações, com exceção daquela que é específica do verde.
268
    Não é possível ver a luz em si mesma; o que se vê são os objetos iluminados, ou seja, que refletem a
iluminação que recebem. O corpo que absorve todas as cores é chamado de corpo negro; a cor branca,
por outro lado, resulta da reflexão de todas as cores. Branco e preto não são cores, mas características da
luz, e que só convencionalmente são chamados de cor.
269
    A língua inglesa constuma diferenciar estes dois aspectos, dando-lhes os seguintes nomes: colour
vision (sensação) e hue, estímulo.
270
    A contínua experimentação mostrou que a mistura de pigmentos altera a quantidade de luz absorvida e
refletida pelos objetos, sendo que eles refletem apenas a luz que não é absorvida. A cor de um objeto
resulta, então, da absorção de todas as cores, exceto aquela de seu pigmento.
271
    Há dois processos de coloração: a seco, em que são usados o lápis, o giz, o carvão, etc; a líquido,
quando são usados tinta a óleo, nanquim, guache, aquarela, etc., que exigem instrumentos apropriados,
como penas ou pincéis. Estas substâncias são dissolvidas em água, óleo de linhaça, aguarrás, terebentina,
cola, álcool, ou outros preparados especiais. Antigas pinturas rupestres eram feitas com variados tipos de
pigmentos naturais, como plantas, terra, carvão, sangue, pós diversos, etc. Quando as substâncias devem
produzir materiais corantes sólidos, elas são misturadas com cal, argila, etc.


                                                                                                      291
        8.1.1 – Cores Primárias, Secundárias e Terciárias

       Denomina-se tom de uma cor a mudança que se obtém pela adição do preto ou
do branco, o que vai resultar em uma aparência escura ou clara da cor.272 A mistura de
uma cor qualquer com outra cor neutra273 dá origem a novos tons ou tonalidades da
mesma cor. Esta operação é denominada gradação dos tons, gama diatônica ou escala
monocromática. Se o preto e o branco são misturados em variadas proporções, obtém-se
a chamada gradação dos valores, ou gama de cinza.

        Newton classificou as cores-pigmento de um modo inverso à cor-luz, devido a
ser assim que os olhos podem ver, perceber e misturar as tintas. Essa mistura de cor-
pigmento é chamada de mistura subtrativa, por ser oposta à mistura aditiva que acontece
com a cor-luz.

        8.1.1.1 – Sistemas de Cores. Cores Primárias274

        Colorimetria: estuda a forma como três fontes de luz espectral podem ser
utilizadas para a geração de cores. Um de seus objetivos é a deteminação de espaços de
cor perceptualmente uniformes.
        Um espaço de cores perceptualmente uniforme é aquele no qual distâncias
percpetuais iguais separam todas as cores.
        A definição de um espaço de cores uniforme é feita por meio de medições
empíricas que se obtém sob condições rigidamente controladas.

        Sistema XYZ:

       O sistema XYZ de cores primárias da CIE (Comissão Internacional de
Iluminação) é um sistema aditivo,275 que descreve as cores através de três cores
primárias virtuais X, Y e Z. As cores Ct nesse sistema são expressas pela equação:

        Ct = x.X + y.Y + z.Z ,

em que X, Y e Z especificam as quantidades das primárias padrões necessárias para a
descrição de uma cor espectral. A normalização dessa quantidade, em relação à
luminância (X + Y + Z) possibilita caracterizar qualquer cor.
       Esse sistema é formado por cores imaginárias definidas matematicamente.

        Sistema RGB:

       É formado por cada uma das três cores indecomponíveis, cuja mistura em
proporções variáveis dão as cores do arco-íris. São as cores: Vermelho (R – Red), Verde
(G – Green) e Azul (B – Blue).276


272
    A intensidade do tom de uma cor depende da quantidade de preto que lhe é acrescentada.
273
    Será visto mais adiante o que é cor neutra.
274
    A cor primária é também chamada cor geratriz.
275
    Ou sistema de síntese aditiva, em que combinações de três cores são usadas para formar as outras.
276
    Em 1807 o físico Thomas Young afirmou que existiam receptores de luz (chamados cones) na retina
do olho humano, as quais eram conectadas ao cortex visual do cérebro por uma série de redes neurais. Os
cones são sensíveis a radiações de comprimento de onda definido: vermelho (600 - 780 nm), verde (500 -
600 nm), azul ( 380 - 500 nm).


                                                                                                  292
        A mistura dessas três cores em quantidades iguais produz o branco, pela síntese
aditiva.277 Esse sistema aditivo de mistura de cores, conhecido como RGB,278 é
extensamente usado na indústria de comunicação, principalmente em televisores
coloridos.




     O gráfico abaixo mostra as curvas de sensibilidade do olho para cada uma das
componentes de cores RGB.




        Sistemas HSL e HSV:

       Alguns sistemas foram propostos como opção ao RGB, pretendendo ser mais
precisos na representação das cores: são os sistemas HSL (Hue, Saturation e Lightness)
e HSV (Hue, Saturation, Value).279

        Para os químicos e artistas que trabalham com cores-pigmento, as cores

277
    E produz também as chamadas cores secundárias, que são as cores amarelo, roxo e azul-claro.
278
    As cores-luz primárias podem variar de matiz, ou seja, podem ser mais claras ou mais escuras.
279
    No HSL: matiz, saturação, luminosidade. No HSV: matiz; saturation; value. Veja-se a respeito:
http://en.wikipedia.org/wiki/HSL_color_space.


                                                                                            293
primárias são azul, amarelo e vermelho,280 sendo que a mistura dessas cores em
quantidade igual resulta na cor preta ou cinza-neutro, por síntese subtrativa.281




       Assim como as cores-luz, as cores-pigmento também podem ser opacas ou
transparentes.




        As cores-pigmento são também conhecidas como cores puras, e são pigmentos
naturais: vegetal (colorau)282 e mineral (cromo, cobalto, etc.).
        Industrialmente, elas são chamadas cores CMYK (Cian, Magenta, Yellow e
        283
Black). O sistema CMYK é usado em gráficas para a impressão por fotolitos, em
jornais, revistas, livros, cartões, etc.




        As cores CMYK são reproduzidas na natureza em uma seqüência de elementos

280
    As cores-pigmento também podem ser mais claras ou mais escuras, formando respectivamente as
cores-pigmento transparente e a opaca.
281
    Elas não se formam pela mistura de outras cores. As demais cores secundárias são formadas por
combinação das cores primárias.
282
    Colorau ou colorífico é nome dado em Portugal a condimentos de cor vermelha preparados à base de
uma ou mais espécies vegetais. No Brasil, prepara-se um corante inócuo para alimentos à base do
urucum.
283
    Teoricamente, pode-se criar qualquer cor misturando azul turquesa, (Cyan), magenta (Magenta) e
amarelo (Yellow). Este processo, no entanto, não produzia uma cor preta satisfatória, e por esta razão
adicionou-se o preto (blacK), do que resultou o sistema CMYK.


                                                                                                 294
orgânicos, conforme se pode ver na carta de cores a seguir:




       O gráfico mostrado a seguir mostra as diferenças de percepção de cores entre os
sistemas RGB e CMYK.




       Um quarto modelo é o HSI (ou HSB). Nele, as cores são especificadas usando


                                                                                  295
três componentes: matiz (Hue), saturação (Saturation) e intensidade (Intensity) ou (no
HSB) brilho (Brightness).284

        •   Matiz: é a cor pura dominante percebida pelo observador (vermelho,
            amarelo, azul, etc).
        •   Saturação: é a proporção de quantidade de cor em relação ao
            brilho/luminosidade. Quanto menos cinza na composição da cor, mais
            saturada ela é. Ou seja, é o quanto a cor pura dominante (matiz) é diluída
            pela luz branca.
        •   Intensidade: é a quantidade de luz refletida (claro/escuro).

Parâmetros de Munsell: de acordo com Munsell, as três características básicas da cor
são: matiz (ou comprimento de onda); luminosidade ou brilho; croma, crominância ou
saturação.
• Matiz (ou nuança): é a modificação que ela apresenta por efeito da adição de uma
    pequena quantidade de uma outra cor. As nuanças são as divisões intermediárias de
    cores, no espectro, com o que se pode distinguir entre os tons claros (amarelo, p.
    ex.) e os tons escuros (roxo, p. ex.).
• Luminosidade: é o grau de claridade ou de obscuridade contida em uma cor.
• Croma: é a qualidade específica de saturação de cada cor que indica o seu grau de
    pureza. Ao ser misturada com o branco, uma cor perde croma, dessaturando-se.

        Além das cores puras e saturadas, existem ainda os tints285, shades286 e tones287,
que correspondem, respectivamente, às cores obtidas através da adição de branco, cinza
e preto, às cores saturadas.
        A figura a seguir ilustra os tints, shades e tones obtidos a partir da cor vermelha.




        8.1.1.2 – Cores Secundárias

       São as cores resultantes da mistura de duas cores primárias na mesma proporção.
São elas:
          Primária                 +       Primária             =      Secundária
            Azul                       Vermelho                        Roxo
            Azul                       Amarelo                         Verde
         Vermelho                      Amarelo                        Laranja




284
    O HSB é também conhecido como HSL, em que L indica Lightness (luminosidade).
285
    Matizes.
286
    Sombras.
287
    Tons.


                                                                                        296
      8.1.1.3 – Cores Terciárias

      São as cores que resultam da mistura de uma cor primária com uma cor
secundária (a cor terciária é uma cor-pigmento).
      São elas:

        Primária                +        Secundária           =      Terciária
        Amarelo                         Laranja              Amarelo-alaranjado
        Amarelo                          Verde               Amarelo-esverdeado
          Azul                          Verde                 Azul-esverdeado
          Azul                           Roxo                  Azul-arroxeado
        Vermelho                        Laranja              Vermelho-alaranjado
        Vermelho                         Roxo                Vermelho-arroxeado

      A nomenclatura para as cores terciárias varia muito, conforme o país:

      Rosa Salmão          =        magenta      +       laranja
      Verde Limão          =        amarelo      +       verde
      Turquesa             =        verde        +       ciano
      Azul Médio           =        ciano        +       roxo
      Violeta              =        roxo         +       magenta

      As cores terciárias também podem ser consideradas como misturas das cores
secundárias:

      Púrpura/Aubergine             =      Roxo          +      Laranja
      Verde Azeitona/Oliva          =      Laranja       +      Verde
      Azul da Prússia/Cobalto       =      Verde         +      Roxo

       Com relação à cor azul, há uma confusão reinante nas definições de suas
tonalidades. Por exemplo, os pigmentos abaixo são, ambos, definidos como possuindo a
tonalidade azul turqueza:




      Também os pigmentos abaixo são definidos, ambos, como azul petróleo:




                                                                                   297
       Há, felizmente, um consenso quanto ao azul cobalto e o azul ultramarino:




                              GLOSSSÁRIO BREVE

   •   Cor irisada: é a que apresenta fulgurações análogas às cores do espectro. São
       comuns nas asas de borboletas.
   •   Cor dominante: é a que ocupa a maior área da escala em determinada relação
       cromática.
   •   Cor aparente: é a cor variável que surge acidentalmente sobre uma superfície,
       em função da quantidade de luz ambiente ou pela influência de cores próximas.
   •   Cor dióptrica: é aquela produzida pela dispersão da luz sobre os vários corpos
       refratores, tais como prismas, lâminas delgadas, etc.
   •   Cor catóptrica: é a que resulta sobre uma superfície após a absorção e reflexão
       dos raios luminosos.
   •   Cor paróptrica: é a que pode surgir fugazmente sobre uma superfície qualquer.
   •   Cor endóptrica: é a que surge no interior de determinados corpos transparentes,
       por exemplo, por efeito de birrefringência.
   •   Cor indutora: é a cor que, saturando a retina, pode induzir após algum tempo
       uma cor complementar, a qual pode ser percebida quando se muda o fundo
       observado.

       8.1.2 – Cores Complementares

       São cores, em certo sentido, opostas umas às outras. Entretanto, sua acepção
varia conforme se dê na arte ou no processo de impressão. Na física, duas cores são
chamadas complementares se, quando misturadas, produzem o preto, o branco ou
alguma gradação de cinza. Nos sistemas de cores mais perceptíveis, o branco está no
centro do espectro e as cores complementares se situam uma ao lado oposto da outra.
       O exemplo mais claro é o sistema HSV, no qual as cores complementares estão
em lados opostos no disco de cores, contrastando entre si. Geralmente, consideram-se
como cores complementares somente aquelas com completo brilho e saturação. Desse
modo, uma cor primária sempre terá uma cor secundária como complementar e vice-
versa.
       A cor secundária complementar de uma cor primária é aquela formada pelas
outras duas cores primárias. Cores terciárias sempre têm outra cor terciária como


                                                                                  298
complementar.
       Cada cor primária tem uma cor secundária complementar, e vice-versa. Ao
serem juntadas, obtém-se alguma tonalidade de cinza ou marrom.
       O uso de cores complementares é um aspecto importante na arte da pintura e no
design gráfico. Devido à indisponibilidade de alguns pigmentos, cuja cor na natureza
mostra-se com raridade, costuma-se usar pares complementares de cores. Por exemplo:

                   Vermelho e verde
                   Azul e laranja
                   Amarelo e violeta (ou roxo)

       Para facilitar sua visualização, foi criado o chamado Disco Artístico (Circulo das
Cores, ou Círculo Cromático), em que a maioria das cores é disposta de maneira
semelhante ao sistema HSV.




           8.2 – Harmonia das Cores

       Tradicionalmente, consideram-se os seguintes gêneros de harmonia das cores:
harmonia monocromática (ou de um cor dominante); harmonia das cores análogas ou
vizinhas; harmonia das cores opostas ou por contraste.

           8.2.1 – Harmonia por Contraste

       A harmonia por contraste resulta das diferenças existentes entre as oposições de
tons claros e tons escuros. Ou seja, a harmonia por contraste resulta do emprego de
cores complementares.288

           8.2.2 – Harmonia Monocromática

       Corresponde à escala monocromática, ou gradação de tons. Neste caso, usa-se
apenas uma cor, que pode ser aplicada em vários tons, claros ou escuros, que também
podem ser usados em conjunto.


288
      Também se pode usar como contraste um fundo branco ou preto, sobre o qual aplica-se uma das cores.


                                                                                                    299
        8.2.3 – Harmonia das Cores Análogas ou Vizinhas

      Cores análogas289 são aquelas que estão vizinhas no Círculo das Cores. São
próximas entre si. Por exemplo:

        Amarelo           –          Amarelo-esverdeado                           –             Verde
        Azul             –             Azul-violeta                           –                Violeta
        Vermelho           –        Vermelho-alaranjado                           –            Laranja
        Azul – Azul-esverdeado – Verde




        8.3 – Psicologia das Cores

       Estudos científicos comprovaram que o ser humano, inconscientemente, avalia
visualmente uma pessoa, um ambiente ou um item qualquer em no máximo um minuto
e meio, e que entre 60% e 90% desta avaliação baseia-se exclusivamente na cor.
       Cerca de 80% da informação visual total está relacionada com as cores. O olho
humano, responsável pela visão, é composto de várias partes, entre elas a retina, uma
fina camada interna de tecido. A retina é seguida pela coróide e pela esclera
(antigamente chamada de esclerótica, a parte branca do olho). Na retina se encontram as
células conhecidas como fotoreceptoras, que recebem a imagem que é levada ao
cérebro para dar a sensação de visão. Há dois tipos de fotoreceptores, os cones e os
bastonetes, que estão presentes na parte mais interna da retina. Os cones são os
responsáveis pela visão das cores.290 Quanto aos bastonetes, são responsáveis pela

289
    A composição com cores complementares permite maior destaque das cores do que uma composição
com cores análogas.
290
    Nos primatas existem três tipos diferentes dessas células. Isso não ocorre com todos os mamíferos, o
que impede que enxerguem uma faixa de cores mais extensa.


                                                                                                   300
capacidade de visão em ambientes de baixa luminosidade.
        Quando se fala de cores, elas são referidas pelo nome, e cada nome de cor define
um símbolo visual reconhecível. Uma pessoa média reconhece entre 20 e 50 cores
diferentes, nos tons básicos. Este número aumenta, quando se usam amostras de cores
para comparação. Estudos históricos parecem comprovar que a percepção das cores tem
mudado ao longo dos séculos; por exemplo, na antiga civilização greco-romana, o azul
e o verde eram percebidos como duas tonalidades de uma única cor. Também a cor
dourada recebia o mesmo nome que se dava à cor do sangue.
        Os resultados psico-fisiológicos do uso das cores resultaram de intensos estudos
feitos por vários pesquisadores, entre os quais podem ser citados Faber Birren;291 Choku
Akashi; Rose H. Alschuler e La Berta Weiss Hattwick; Harry Wohlfarth e Catharine
Sam (Universidade de Alberta). Vários testes foram desenvolvidos para pesquisar o
efeito das cores: o Rorschach Inkblot Method (1921); o Color Pyramid Test ( CPT), de
Max Pfister (1950); o Color Test de Max Luscher (1948); etc.
        Em 1937, o pesquisador Faber Birren apresentou o chamado arranjo triangular,
o qual representa uma tentativa de mostrar as relações visuais e psicológicas existentes
entre as cores. Para ele, a concepção de beleza visual resulta de uma boa ordenação
(harmonia) de cores.




       O triângulo à esquerda sumariza os modos pelos quais as cores são
experienciadas.292 Uma cor pura combinada com o branco produz um matiz (tint), e
evoca à mente as palavras sombra (shade) ou tom (tone). Sombra implica uma cor
escura, produzida pela mistura com preto, e um tom é o resultado da combinação de
uma cor pura com uma mistura de preto e branco.
       No triângulo à direita, Birren juntou pares de números, separados por um ponto
decimal. Os dígitos antes do ponto decimal dão a proporção de branco, com uma faixa
que varia entre zero e 100. De modo similar, os dígitos depois do ponto indicam o grau
de preto. A proporção real de cor pode ser calculada adicionando os números e
subtraindo de 100, o resultado. Deste modo, a combinação 0.0 será a cor pura; 10.50
dará a nuança (colour-hue) contendo 10% de branco e 50% de preto, ou 40% de cor

291
    Faber Birren, (1900-1988), foi um norte-americano que se tornou uma das maiores autoridades
mundiais no estudo, uso e efeito das cores.
292
    A palavra (verbo) “experienciar”, ainda que não dicionarizada, o seu uso generalizado e constante tem
mostrado que ela tem uma conotação mais específica do que a mais formal experimentar.


                                                                                                    301
pura [100 – (10 + 50)].

       8.3.1 – Gestalt. Percepção Gestáltica da Cor

       A palavra alemã Gestalt surgiu em 1523, de uma tradução da Bíblia, e significa
“o que é colocado diante dos olhos, ou é exposto aos olhares”. A Psicologia da Gestalt,
Psicologia da Forma, ou Gestalt, foi criada pelos psicólogos alemães Max Wertheimer
(1880-1943), Wolfgang Köhler (1887-1967) e Kurt Koffka (1886-1940), no início do
século XX. É uma teoria que considera os fenômenos psicológicos como um conjunto
autônomo, indivisível e articulado em sua configuração, organização e lei interna, e tem
por fundamento a idéia de que o Todo é mais do que a soma de suas Partes.

       8.3.1.1 – Tridimensionalidade e Profundidade

       A percepção gestática, sendo uma percepção da forma, pode dar várias ilusões,
conforme a combinação de cores escolhida. Com uma combinação apropriada de cores
tanto de fundo quanto de conteúdo, pode-se conseguir a impressão de que há uma
tridimensionalidade, na composição.
       Vejam-se os exemplos a seguir.




       Do mesmo modo, a combinação de cores e formas nas figuras abaixo mostra, na
primeira, uma concavidade (mossa ou cavidade), e na segunda, uma convexidade (bossa
ou protuberância).




                                                                                    302
       8.3.1.2 – Efeito de Brilho Difuso

        O fenômeno do brilho difuso ocorre em faixas de cores degradé inversas,
colocadas juntas, dando a impressão de que há um brilho difuso no meio e entre as
faixas (note-se que toda a área central, inclusive fora das faixas, fica enevoada).




       8.3.1.3 – Fenômeno da Cor Complementar

      Este fenômeno resulta da saturação da retina. Fixe-se a vista por cerca de 40
segundos na cruz central entre as quatro cores. Em seguida, volte-se o olhar para fixar a
cruz inserida no fundo cinza. Após alguns segundos, percebem-se as cores
complementares das cores indutoras.




       Vários pintores modernistas usam combinações gestáltica de linhas e de cores
para dar maior impacto às suas obras, como é o caso, por exemplo, dos artistas Piet


                                                                                     303
Mondrian e Wassily Kandinsky.




                                         Wassily Kandinsky (1866-1944). Transverse Line, 1923.
                  Oil on canvas, 141 x 202 cm. Kunstsammlung Nordrhein-Westfalen, Dusseldorf.




                                                                                         304
        8.3.2 – Cores Quentes, Cores Frias e Cores Neutras

        Cores quentes: são cores em que predominam os tons de vermelho, amarelo e
laranja. Caracterizam-se como cores alegres, vibrantes, agressivas e sensuais, chegando
mesmo a dar uma sensação de calor. São cores associadas à estação do Verão.




       Cores frias: são cores em que predominam os tons de azul, verde e roxo.
Caracterizam-se como cores tristes, melancólicas, que dão a sensação de calma e
recolhimento. São cores associadas à estação do Inverno.




        Cores neutras (ou cores indefinidas): são cores em que não há predominância de
tonalidades quentes ou frias. Nas cores neutras há o predomínio de tons de preto, branco
e/ou cinza.




______________________________________________________________________

       Para Patrícia Douat, membro da Associação Brasileira da Cor e consultora em
Psicodinâmica das Cores, as cores da moda das estações devem ser as seguintes:293

293
     GARCIA, Patrícia Douat. Cores, a Identidade de um Nome. Artigo encontrado no site:
http://www2.uol.com.br/modabrasil/forcas_moda/identidade_cores/index.htm. Outros artigos de Patrícia


                                                                                               305
        “Cores de Inverno - Branco e Preto:

        “As cores de inverno são nítidas, vivas e dramáticas. Todas as cores derivadas
do amarelo devem ser evitadas, assim como também devem ser evitadas as tonalidades
sombrias e escuras. As personalidades de inverno pedem por tons e semitons básicos
azuis. As cores fundamentais destas pessoas são o branco puro e o preto.

        “Cores de Verão - Azul e Rosa:

       “As cores de verão são suaves, escuras e tênues que proporcionam um ar
romântico e sedutor. As cores preta e branca pura devem ser evitadas, pois provocam
um efeito duro e sem harmonia. As personalidades de verão pedem por tons e semitons
básicos azuis e cinza. As cores fundamentais destas pessoas são o azul e o rosa. O
castanho suave e o creme também lhes ficam bem.

        “Cores de Primavera - Caramelo e Coral:

        “As cores de primavera são claras e vivas, passando uma sensação vibrante de
frescor. As cores preta e branca pura, azul/vermelho, azul real ou azul/verde devem ser
evitadas, pois tornam a pele sem brilho e viço, dando-lhes uma aparência desbotada. As
personalidades de verão pedem por tons e semitons básicos amarelo cálido. As cores
fundamentais destas pessoas são o coral e o caramelo.

        “Cores de Outono - Ferrugem e Marrom:

       “As cores de outono são maduras e profundas, passando uma sensação plenitude
e tranqüilidade. A cor preta e os tons azuis devem ser evitados, pois passam uma
sensação de frieza, dando-lhes uma aparência indiferente. As personalidades de outono
pedem por tons e semitons básicos amarelo dourado, claras ou atenuadas, refletindo as
cores outonais como o ouro, laranja e marrom terra. As cores fundamentais destas
pessoas são o ferrugem e o marrom.”
 ______________________________________________________________________

       Além do branco, preto e cinza, podem ser consideradas também como cores
neutras os tons de marrom e o bege.




      A cor bege é uma mistura do laranja e marrom; a cor creme, geralmente
confundida com o bege, resulta da combinação das cores branco e amarelo.
      Quanto à cor marfim, que poderia ser confundida com a cor creme, resulta da
combinação dos tons de branco e ocre294, com uma pequena porção de amarelo.295



Douat podem ser encontrados em: http://www2.uol.com.br/modabrasil/forcas_moda ou em:
http://www2.uol.com.br/modabrasil/.
294
    O ocre é uma argila colorida pelo óxido de ferro, usada em pintura.
295
    Uma lista bastante extensa de cores, com as respectivas aparências, pode ser vista na Wikipedia, em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_cores.


                                                                                                   306
           8.4 – Cromia296

      Tricromia, policromia e monocromia: quando são usadas três cores em uma
composição, trata-se de tricromia; mais do que três cores em uma composição, trata-se
de uma policromia. Se for usada uma única cor, mas com várias tonalidades, trata-se de
uma monocromia.




296
      Cromar tem o significado de colorir.


                                                                                  307
308
                                            Capítulo IX

                                  Natureza, Simetria e Arte

        9.1 – Hierarquia e Simetria297

         Quando estudaram coerentemente a natureza, os cientistas perceberam que
existia uma hierarquia que permitia descrever e classificar todos os tipos de seres vivos.
         De acordo com os biólogos, a classificação dos seres vivos é a seguinte: reino;298
filo, classe, ordem, família, gênero e espécie. Cada uma tem várias categorias, mas um
padrão invade todas elas: a simetria.
         A estrutura de todos os seres vivos é absolutamente simétrica, como se existisse
um “projeto básico de anatomia”299 que regulasse suas formas básicas de construção
biológica.
         A simetria não se restringe aos seres vivos, porque ela está presente em todas as
formas existentes (inanimadas e animadas), de um simples cristal de gelo às galáxias.300




       Há vários tipos de simetria natural: a simetria bilateral (ou espelhada); a
simetria radial; a simetria pentagonal (como se pode ver na estrela do mar); a simetria
hexagonal (a simetria dos flocos de neve); a simetria espiralada (das galáxias, da
concha do náutilo, etc.),301 etc.
       As figuras abaixo mostram exemplos de simetria bilateral e simetria radial
respectivamente, existentes na natureza:




297
    Devido à extrema importância do tema Simetria, ele será tratado novamente em outra parte.
298
    Há cinco reinos (com três domínios): Monera; Protista; Plantae; Fungi; Animalia. Os três domínios
são: Bactéria; Archae; Eukaria. O filo, por sua vez, possui entre vinte e trinta categorias. Segundo a visão
moderna, as categorias não são estanques. Para o escritor científico George Johson, algumas estranhas
criaturas, como a opabínia (que tem cinco olhos), o odontogrifo e a alucigênia (da qual ainda não se sabe
sequer qual a sua parte da frente e qual a de trás) ainda esperam catalogação científica (JOHNSON,
George. 1997, p. 353).
299
    Stephen Jay Gould, Wonderful Life.
300
    Veja-se: http://www.revista-temas.com/contacto/NewFiles/Contacto5.html.
301
    A simetria espiralada pode existir nos dois sentidos, para a direita e para a esquerda.


                                                                                                       309
       Geometricamente, a simetria bilateral é a distribuição igual ou proporcional de
duas partes ou motivos em cada lado de uma linha chamada linha mediana ou eixo de
simetria.302




        A simetria, apesar de estar presente em toda a natureza, pode dar a falsa
impressão de que existe em todas as estruturas naturais. Isto é verdade, sob certo ponto
de vista. O corpo humano, por exemplo, é simétrico em várias de suas estruturas, como
a anatomia externa, a estrutura muscular e a estrutura do esqueleto.




302
      A simetria radial é volumétrica, e não será tratada aqui.


                                                                                    310
       Entretanto, sob o ponto de vista da estrutura anatômica interna, o corpo humano
é assimétrico, porque nem todos os seus órgãos são duplicados.303




        A simetria pode ser natural ou artificial. A simetria natural é aquela que ocorre
na natureza, enquanto que a artificial é aquela criada em uma composição ornamental
ou artesanal de qualquer tipo.

        Exemplos de simetria natural:




        Exemplos de simetria artificial:




303
   Os padrões encontrados na natureza são uma mistura de ordem e de desvios inesperados de ordem
(que, entretanto, não chegam à desordem). À medida que os padrões vão se expandindo eles parecem
perder a capacidade de se repetir, e nem sempre conseguem repetições perfeitas. Em vários níveis, o
princípio de economia parece preferir a assimetria.


                                                                                              311
        9.1.1 – Matemática da Simetria

        Além de reproduzir (ou originar) as formas geométricas básicas tais como o
pentágono, hexágono, etc, a simetria que a natureza oferece possui uma característica
matemática inusitada.
        O matemático italiano medieval Leonardo de Piza (mais conhecido como
Fibonacci) definiu uma seqüência numérica na qual, cada um dos termos que a
compõem, com exceção dos dois primeiros, é a soma dos dois termos imediatamente
anteriores: 1 2 3 5 8 13 21 34, etc.304
        O surpreendente é que estes números surgem quando se examina detidamente a
estrutura ou o padrão visual de vários seres vivos, como, por exemplo, a flor de um
girassol ou os frutos de uma conífera (a pinha). Igualmente, com relação à quantidade
de pétalas presentes em flores como o lírio, columbina ou rosas silvestres, ou com
relação ao número de estames e sépalas de outras espécies.
        Em uma haste de cerejeira, por exemplo, se se toma, das folhas que brotam, a
folha situada mais abaixo como ponto de partida, à medida que se vai subindo e
contando as restantes folhas, verifica-se não só sua disposição em espiral em redor do
caule, mas também que aquela que se situa alinhada com a que serviu de referência
inicial corresponde, provavelmente, a um número de Fibonacci.305
        A figura a seguir mostra a disposição geométrica em uma pinha.




        9.1.2 – Tipos Básicos de Simetria

       Existem quatro tipos básicos de simetria de forma em duas dimensões: reflexão,
rotação, translação e reflexão de escorregamento (ou inversão).306

        A simetria por reflexão, ou simetria bilateral, é abundante na natureza. Por
exemplo, na figura de borboleta abaixo, se a figura for dobrada sobre o seu eixo de
simetria, resulta uma sobreposição perfeita. Isso indica que a figura permanece
inalterada após a aplicação da operação de simetria de reflexão, ao longo da sua linha
central.




304
    Esta seqüência ou sucessão de números foi batizada como Seqüência de Fibonacci no século XIX,
pelo matemático francês Edouard Lucas.
305
    No caso da cerejeira trata-se do 5, 2 no ulmeiro é o 2 e 8, na pereira.
306
    Os exemplos foram retirados do artigo Simmetry Rules. O artigo pode ser encontrado no site:
http://www.plus.maths.org/issue38/features/livio/index.html (uma versão condensada é encontrada em:
http://www.scienceinschool.org/2006/issue2/symmetry/portuguese/). Outros exemplos foram retirados da
página Seara da Ciência, em: http://www.searadaciencia.ufc.br/especiais/fisica/simetria/simetria1.htm.


                                                                                                 312
       A simetria de reflexão é também conhecida como simetria dos espelhos. È a
simetria de um objeto colocado em frente a um espelho plano.
       A simetria rotacional é muito encontrada na natureza.307 O floco de neve, por
exemplo, possui simetria rotacional.




        A simetria de translação pode ser encontrado em motivos que se repetem, como
os da figura abaixo.




       A translação implica deslocamento de uma forma qualquer, de uma certa
distância, ao longo de uma linha específica.




307
      É comum encontrar objetos que possuem simetria de rotação e reflexão, ao mesmo tempo.


                                                                                              313
          Este tipo de simetria pode ser observado, por exemplo, em padrões de papel de
parede.

        A simetria por escorregamento, tem como elemento de simetria um ponto
chamado centro de inversão. Embora a inversão seja uma simetria relativamente
comum, é difícil achar um exemplo em que ela seja a única simetria, sem a presença de
rotações ou de reflexão.
        Nesta simetria, a transformação consiste num escorregamento, seguido de uma
reflexão numa linha paralela à direção de deslocamento. Por exemplo, as pegadas
(esquerda-direita-esquerda-direita) que resultam de uma caminhada nas areias de uma
praia. As pegadas são conservadas por reflexão de escorregamento.




          9.1.3 – Classes de Simetria

       Um tipo de notação é usada para classificar a classe de simetria dos objetos. O
tipo de simetria ao qual um objeto pertence é denominada grupo pontual. O grupo
pontual308 de qualquer objeto é o conjunto de operações de simetria que transformam
um objeto em outro indistinguível dele (ou que possa ser exatamente sobreposto a ele).
       Estas operações de simetria estão baseadas em elementos de simetria, e os dois,
operações e elementos, são condições necessárias para definir simetria.
       Um objeto qualquer tem um eixo de simetria (Cn) de ordem n (n eixos de
simetria) se uma rotação de 360º/n ao redor deste eixo deixar o objeto indistinguível do
original.
       Um floco de neve possui um eixo de rotação de ordem 6 (C6), perpendicular ao
plano da figura e passando por seu centro, e seis eixos de rotação adicionais (C2) que se
cruzam no plano.309

          A chamada simetria no plano (ou simetria planar) pode ser:

          •   Simetria central: existem dois grupos de simetria central, o cíclico, que
              consiste em repetições de uma rotação simples, denominado de grupo cíclico
              Cn; e o diédrico (ou diedral) Dn.4, que associa rotações com reflexões. É o
              caso das rosáceas, que podem ser divididas em cíclicas e diedrais.




308
   Acerca de teoria dos grupos, veja-se o Capítulo XII.
309
   O eixo que tiver a ordem mais alta se torna o eixo principal. Eixos que possuam infinitas rotações
sobre este eixo se tornam indiscerníveis do original.


                                                                                                314
           A figura é um exemplo de rosácea com simetria diedral, de tipo D11.310

           •    Grupos de frisos: são denominados grupos Fn: Dos sete grupos, quatro são
                baseados na translação e reflexão, e três permitem meia volta, ou uma
                rotação de 180°.




                                Os sete frisos no artesanato de Portugal

           •    Grupos de simetria em papel de parede: Os grupos de papel de parede
                (padrões de papel de parede, ou padrões de ornatos) são denominados
                grupos Wn. Existem exatamente 17 maneiras de se repetir indefinidamente
                um padrão fixo, de modo a cobrir um plano completamente.




310
      O entendimento do uso dessa e de outras notações se dará após a leitura do Capítulo XII.


                                                                                                 315
      Além dessas simetrias existem também as simetrias de rendas, rodas,
pavimentos, portões, etc., que serão vistos a seguir.

           9.2 – Simetria e Estética

       Um entendimento corrente desde a antiguidade é o que relaciona a simetria à
proporção equilibrada (equilíbrio) e à harmonia. No conceito de beleza estão
envolvidos os conceitos de ordem, ritmo e simetria,311 sob o ponto de vista estrutural, e
os conceitos de composição, harmonia e equilíbrio, sob o ponto de vista funcional.

        Padrões rigorosos de simetria são encontrados na natureza, seja em animais,
plantas ou cristais. Assim, a natureza possui um ordenamento natural que está permeado
de exemplos de ritmo e simetria, ordenamento este que permite o seu estudo,
compreensão, e principalmente, o embevecimento e a admiração ante a beleza e o
espetáculo da vida. A figura a seguir apresenta uma pequena seqüência de formas de
cristais de neve, encontradas na natureza.




       Os variados padrões de simetria constituem uma forma de construção estética
não somente na arquitetura, mas também em fachadas, esquadrias, motivos decorativos
na cerâmica, em rendas, pavimentos, portões, na azulejaria, na tapeçaria, em mobílias,

311
      Sob um ponto de vista mais matemático-formal, a simetria insere-se na categoria da ordem.


                                                                                                  316
no design gráfico e na arte em geral.

        A ocupação contínua de um plano (simetria periódica)312 só pode ser realizada
por figuras geométricas (“azulejos”) com 3, 4 ou 6 lados iguais.313 Em qualquer outro
caso, a ocupação do plano é dita quase-periódica.




      A ocupação contínua do plano também é conhecida como pavimentação.314 Um
exemplo de simetria de pavimentação contínua hexagonal é mostrado na figura abaixo.




        9.3 – Simetria e Arte

       O conceito de simetria pode ser utilizado para a exploração e construção criativa
de formas. Seja em rendas, rodas, frisos, pavimentos ou até mesmo portões, a simetria
como arte transparece em uma enormidade de formas.

         Mesmo na religião, a simetria tem sido utilizada na decoração de igrejas,
mesquitas e templos de todo tipo. As figuras abaixo, por exemplo, ilustram os padrões
geométricos (e sua reconstrução no computador) utilizados na Mesquita de Simman, no
Irã (antiga Pérsia).315

312
    Diz-se também: formar uma grade de simetria plana. Para isso, as operações de preenchimento do
plano devem ser realizadas com um ornamento. Não é possível obter a grade com rotações de n=5 ou
n>6. Sempre haverá sobra de espaço. Com n=5, por exemplo, o preenchimento do plano não é uma grade,
porque não apresenta um ornamento. Veja-se, no Apêndice II, uma demonstração para n=5.
313
    Em outras palavras: uma rede bidimensional só pode ter eixos de simetria simples, dupla, tripla,
quádrupla e sextupla.
314
    Este tema será visto em detalhes no Capítulo XII.
315
    Para mais informações, veja-se: SARHANGI, Reza. The sky within: Mathematical Aesthetics of
Persian dome Interiors, em: http://www.springerlink.com/content/wx13136751526h0k/ (PDF).


                                                                                               317
        O padrão repetitivo é mostrado na figura a seguir.




       As escolas de Arquitetura costumam explorar as formas simétricas tanto na
formação acadêmica quanto na vida profissional. As figuras mostradas a seguir ilustram
como, a partir de objetos triviais, é possível, com criatividade, conseguir padrões de
simetria de grande beleza.316




316
   Os exemplos foram retirados do texto Estratégias para o uso da simetria no ensino de projeto, que
deve ser consultado para conseguir maiores informações. O texto completo encontra-se disponível (em
formato    PDF)     no     site:   http://www.simmlab.ufrgs.br/publicacoes/TURCKIENICZ-MAYER-
BECK%20vers%C3%A3o%20final.pdf.


                                                                                               318
319
320
        9.4 – Simetria nos Grafismos e nas Tradições Gráficas

        9.4.1 – As Figuras do Kolam

       Kolam é um tipo de figura complexa e elaborada desenhada com pó-de-arroz ou
pó-de-pedra, na entrada das casas no Estado de Tamil Nadu, no sudeste da Índia.317 O
desenho, feito com habilidade, graça e destreza, é feito pelas mulheres do vilarejo, em
uma tradição cultural passada de mãe para filha desde o século III ou IV a.C.
       A base para a formação das figuras é dada por um geoplano ou uma tabela de
pontos, pelo qual se prevê o tamanho e a forma final do desenho.




        A figura em a vai sendo reproduzida (com rotações de 90º) até formar a figura
final em d.
        As famílias de kolam reúnem figuras que partilham características comuns, ou
que são derivadas umas das outras.




317
   Em outras partes da Índia são encontradas outras tradições de desenho, tais como muggu, rangoli e
alpana.


                                                                                               321
       As figuras kolam são produzidas a partir de uma linguagem gráfica, que
estabelece os passos que devem ser seguidos. Por exemplo, a produção das chamadas
serpentes. O menor código ou linguagem de reprodução (figura a) tem a seguinte
sequência:

       B--F--B--F

       O significado geral dos símbolos é dado abaixo:

       F      significa      “avançar um passo”
       -      significa      “deslocar-se 45º no sentido horário”
       +      significa      “deslocar-se 45º no sentido anti-horário”
       B      significa      F+F+F--F--F+F+F




        Pela aplicação da regra da reescrita B       B + F + B - - F - - B + F + B,
produzem-se versões mais complexas. Em b, por exemplo, o resultado é: {B + F + B - -
F - - B + F + B} - - F - - {B + F + B - - F - - B + F + B} - - F. Cada nova aplicação da
regra da reescrita substitui cada braço da cruz de quatro braços por outro com quatro
braços, levando a um crescimento exponencial.




                                                                                    322
       9.4.2 – O Sona

        O sona é um tipo de grafismo ou gráfico que reproduz uma fabulação ou história
contada à beira de uma fogueira, um costume do povo tshokwe, que habita o nordeste
de Angola. À medida que a história se desenrola, o narrador (akwa kuta sona) desenha
no solo arenoso uma grade de pontos regularmente espaçados, e vai traçando ao redor
destes pontos uma linha curva que serve de base para a sua história.
        Os desenhos sona integram uma longa tradição de provérbios, fábulas e enigmas
que desempenham um importante papel na transmissão do saber às novas gerações.

      A grade inicial de pontos tem por objetivo facililitar a memorização dos
desenhos, sendo que o número de colunas e linhas depende do motivo (padrão de
desenho) desejado e da história.

      A figura abaixo ilustra a seguinte história: uma mina de sal (2) é disputada por
um coelho (1), um leão (3), um leopardo (4) e uma hiena (5). Ao final da história,
quando o fio termina de ser traçado, o único que fica com a mina é o coelho.




        A teoria dos grafos permite o estudo matemático dos sona, porque eles não
passam de gráficos e redes definidas por pontos e por vértices ligados por linhas
(arestas).

      Na figura, os sona c e d são isomorfos: os pontos 1 e 2 representam um casal,
marido (1) e mulher (2) em meio aos vizinhos (os outros pontos). Os ciúmes do marido
levam-no a construir barreiras que isolam a sua esposa, obrigando-a a ser fiel.




        A figura abaixo constitui uma família de sona (árvores muyombo), que são a
repetição de motivos elementares reunidos em grandes figuras. Os pontos mais elevados
simbolizam os membros de uma família que faz orações aos antepassados.


                                                                                  323
       Os motivos em trama são os sona mais simples, sendo formados de fios que
percorrem as diagonais de uma grade de pontos.




       9.5 – Os Polígonos Estelares na Arte e na Cultura

      Os polígonos estelares (regulares ou não, mas sempre altamente simétricos) têm
uma posição destacada na arte, na religião e na cultura.

      O polígono estelar {5/2} conhecido como pentagrama, pentalpha ou
pentângulo, é considerado como possuidor de uma simbologia e significados ocultos.




       O polígono estelar não-degenerado mais simples é formado por dois polígonos
{6/2} (ou seja, triângulos), o hexagrama (também conhecido como Estrela de Davi ou
Selo de Salomão).




                                                                                  324
       Os polígonos estelares {7/3} e {7/2}, conhecidos por heptagramas, também são
possuidores de significados ocultos, particularmente na Cabala e na Wicca.




       O polígono estelar complexo {8/2} (ou seja, dois quadrados), conhecido como
Estrela de Lakshmi, é uma figura simbólica importante no Hinduísmo.




       O polígono estelar {8/3} (ou octagrama) e a estrela poligonal complexa de dois
polígonos {16/6} são, ambas, motivos geoméricos frequentes na arte e arquitetura
islâmicas Mogol; a primeira é encontrada no brasão do Azerbaijão.




       A estrela de nove pontas, considerada como a estrela da perfeição.




       Uma derivação da estrela de nove pontas é o chamado eneagrama, uma figura
metafísica criada por Georges Ivanovich Gurdjieff.




                                                                                 325
326
                                          Capítulo X

                                     Geometria Fractal
           10.1 – Formas Geométricas Complexas

        O conceito de geometria fractal começou a surgir com as pesquisas do
matemático Benoit Mandelbrott sobre padrões estatísticos.
        Para resolver um problema específico de ocorrências de erros em transmissão de
dados (para a IBM, empresa na qual trabalhava), Mandelbrott notou um padrão (já
percebido pelo economista Hendrik Houtahkker, mas relativo a preços do algodão)
aberrante de distribuição de números em relação à distribuição normal. Entretanto,
parecia existir uma certa ordem oculta, pois havia simetria em pequenas e grandes
escalas. Isto significava que as seqüências de variações independiam da escala; ao se
olhar as variações diárias, e comparando-as com as variações mensais, notava-se que
elas correspondiam-se perfeitamente.
        Para Mandelbrott, essa distribuição de erros assemelhava-se ao chamado
conjunto de Cantor.318

Para compreender a construção desse conjunto basta seguir uma seqüência simples,
mostrada a seguir. Começa-se com uma linha de certo tamanho; depois, tira-se o terço
médio; tira-se o terço médio das duas linhas restantes; repete-se o processo várias vezes.
O que sobra são linhas finas, chamadas poeira de Cantor.




       Mandelbrot concluiu que a abstração matemática mostrada por este conjunto
representava o ruído nas transmissões. A conclusão que tirou era que os erros são
inevitáveis, e para corrigir o problema das transmissões de dados, a IBM deveria usar
uma estratégia de redundância para descobrir e corrigir os erros.

       Sob o ponto de vista das dimensões, o conceito da poeira de Cantor é inusitado,
porque não pode ser classificado pela geometria euclidiana. Nesta, um cubo tem
dimensão 3, porque apresenta largura, comprimento e altura; uma folha de papel possui
dimensão 2, porque tem largura e comprimento; um fio tem dimensão 1, porque tem
somente comprimento. Um ponto, por fim, tem dimensão 0, porque não apresenta
nenhuma dimensão.
       A geometria euclidiana se mostra insuficente também para representar as formas
e contornos da natureza, como por exemplo, o contorno de uma folha, de um litoral, de

318
      Nome dado em homenagem ao matemático russo George Cantor (1845-1918)


                                                                                      327
uma nuvem, uma montanha. 319
       Para descrever as formas da natureza, Mandelbrot foi além das dimensões dadas
pelos números inteiros 0, 1, 2, 3, chegando às dimensões fracionárias, a que ele
denominou fractal.320

        10.1.1 - Fractais

       Fractais são formas geométricas abstratas com padrões complexos, que possuem
as seguintes características:

        •   Tem tantos pontos quanto o conjunto dos números reais.
        •   São auto-semelhantes (uma parte qualquer é idêntica ao todo).
        •   Não perdem a sua definição inicial quando ampliadas.
        •   Possuem dimensão fracionada.

        A seqüência de imagens mostrada a seguir representa o conceito de auto-
semelhança: à medida que vai se escolhendo regiões delimitadas da figura, nota-se a
similaridade desta região com o todo.




        10.1.1.1 – Teoria do Caos

       O estudo dos fractais está ligado à Teoria do Caos, que busca padrões
organizados de comportamento dentro de um sistema aparentemente aleatório.
       Na mitologia grega, Caos era o estado não-organizado do universo, ou o Nada,
de onde todas as coisas vieram. Mas o caos não era considerado apenas o vácuo, e sim
um estado de escuridão e nebulosidade infinita.
    Esta teoria, atualmente, busca compreender as flutuações erráticas e irregulares da
natureza. Sistemas de comportamento caótico são encontrados em muitos campos da
ciência e engenharia, e seu estudo deixa perceber padrões que mostram uma estrutura

319
    Para ilustrar as suas idéias, Mandelbrot escreveu um artigo chamado “Que extensão tem o litoral da
Grã-Bretanha?”, em que analisou o processo de mensurar uma forma irregular como o litoral.
320
    Do adjetivo latino fractus, que vem do verbo frangere, quebrar, fraturar.


                                                                                                 328
ordenada no sistema.

        Uma característica de um sistema caótico é que ele sempre apresenta
sensibilidade às condições iniciais, isto é, qualquer perturbação no estado inicial do
sistema, não importando quão pequena seja, levará rapidamente a uma grande diferença
no estado final,321 fazendo com que qualquer previsão fique difícil. Mas,
compreendendo o comportamento caótico, às vezes é possível entender como o sistema
se comportará como um todo ao longo do tempo.
        O problema é que, ainda que o número de fatores influenciando um determinado
resultado seja pequeno, a ocorrência do resultado esperado pode ser instável, se o
sistema for não-linear.322
        A conseqüência dessa instabilidade dos resultados é que mesmo sistemas
lineares determinísticos podem apresentar grande sensibilidade a perturbações (ruídos) e
erros, o que leva a resultados que são, na prática, imprevisíveis ou aleatórios.
        Até mesmo em sistemas sem ruído, erros microscópicos na determinação do
estado inicial do sistema podem ser amplificados pela não-linearidade ou pelo grande
número de interações entre os componentes, levando ao resultado aleatório.
        Isto é o que se chama Caos Determinístico.

        10.1.1.2 – Dimensões dos Fractais

       Devido às suas formas geométricas, os fractais não são classificados de acordo
com a geometria euclidiana. A sua complexidade é definida pela sua dimensão fractal.

       Entre as várias abordagens sobre dimensões fractais de imagens e/ou objetos, a
mais utilizada é a chamada Dimensão de Hausdorff.323

        A Dimensão de Hausdorff é dada por

d = log(L/n)/log(N) ,

sendo L o comprimento da linha, n é o número de partes em que a linha pode ser
dividida em uma interação p da construção do fractal,324 e N é o comprimento do
segmento na interação p, sendo p um número inteiro.

        As figuras fractais mais simples podem ser construídas (e desenhadas) por

321
    Na física e na matemática, esta teoria é a hipótese que explica o funcionamento de sistemas complexos
e dinâmicos. Nestes sistemas, determinados resultados podem ser instáveis, no que diz respeito à
evolução temporal, em função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que certos resultados
determinados são causados pela ação e interação aleatória dos elementos do sistema. Esta situação foi
assim parafraseada pelo pesquisador de meteorologia do MIT, Edward Lorenz: “O bater das asas de uma
borboleta na China pode provocar uma tempestade do outro lado do mundo”. Ou, como é também
chamado, “efeito borboleta”.
322
    Os sistemas em geral podem ser lineares ou não-lineares (estes são temas estudados pela chamada
Teoria Geral dos Sistemas, criada, entre outros, por Ludwig von Bertalanffy. Esta teoria, por sua vez,
enquadra-se na Cibernética, ciência criada por Norbert Wiener. Nos anos 1960 o matemático francês,
Rene Thom, desenvolveu a teoria que chamou de Teoria da Catástrofe, para tratar com rapidez mudanças
causadas por pequenas perturbações do sistema dinâmico. Ele descreveu sete tipos de cada catástrofe
elementar). Em 1968 o matemático russo V.I. Arnold criou um conjunto (conjunto infinito de
catástrofes), que conteria as catástrofes elementares de Thom como um subconjunto.
323
    Ela foi criada pelo matemático Felix Hausdorff em 1918.
324
    Demonstra-se que na geometria convencional a dimensão é igual ao valor do expoente de n.


                                                                                                    329
recursão, ou processo recursivo, como mostrado na figura a seguir.




      Este processo recursivo é, basicamente, a forma de criar o chamado Floco de
Neve de Koch:325




        Na figura abaixo, a figura, uma estrutura parecida com uma árvore, surge à
medida que dois novos ramos vão sendo acrescentados, a uma distância de dois terços a
partir da base:




        O chamado Triângulo de Sierpinski326 surge de uma interação semelhante à
descrita:


325
    Este fractal, também conhecido como Curva de Koch, resulta da aplicação de várias transformações
geométricas: considera-se um triângulo equilátero, reduz-se até cada lado ficar com um terço do lado
original e, depois aplicam-se rotações e translações de forma que este novo triângulo fique adjacente e no
centro de cada lado do triângulo. Repetindo recursivamente o processo para cada triângulo menor, forma-
se o fractal que correponde ao modelo de um floco de neve.
326
    Primeiramente descrito pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski (1882-1969).



                                                                                                     330
    Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é através do seguinte
algoritmo:

   1.   Inicia-se com um triângulo qualquer.
   2.   Constrói-se um triângulo interno invertido (que é metade do tamanho original).
   3.   Em cada lado, constrói-se novamente três triângulos internos.
   4.   Repete-se esta construção indefinidamente.




      A figura inicial pode ser qualquer outra figura. Veja-se abaixo, usando um
quadrado:




        Um fractal normalmente resulta de uma interação infinita, mas, à medida que se
aumenta o número de iterações, a imagem tende a se tornar cada vez mais parecida com
o fractal.

        O triângulo de Sierpinski possui uma dimensão de Hausdorff de
aproximadamente 1,585 (log(3)/log(2)). Isso acontece porque essa é uma figura formada
por três cópias de sí mesma, em que cada uma é reduzida por um fator de 1/2.
        A área do triângulo de Sierpinski é zero. Isso pode ser percebido quando se
observa que, a cada iteração, a área da figura é reduzida em 25% em relação à área da
figura original.

      Existem outras figuras de Sierpinski, tais como os tapetes de Sierpinski, que
também são formadas por iteração de figuras básicas:




                                                                                    331
      Uma figura “sólida” que pode ser formada pelo processo recursivo é a chamada
Esponja de Menger:




      A idéia de um processamento geométrico recursivo não é recente. O matemático
grego Apolônio demonstrou como se podia usar esta recursividade. É o caso, por
exemplo, do chamado Carpete ou Empacotamento de Apolônio.




        Conforme se vê na figura, três circunferências que se tocam entre si formam um
triângulo curvilíneo no espaço entre elas. Dentro deste pode-se desenhar uma outra
circunferência que toca as três primeiras, formando três novos triângulos curvilíneos.
Repetindo este processo indefinidamente, consegue-se o Carpete de Apolônio.

           10.1.1.3 – A Geometria de Mandelbrot327

       O chamado conjunto de Mandelbrot é um fractal definido como o conjunto de
pontos c no plano complexo para o qual a seqüência definida iterativamente:

           Zo = 0

           Zn+1 = Zn2 + C     ,

não tende ao infinito.

           O conjunto de Mandelbrot gera o fractal de Mandelbrot, tal como se vê a seguir.


327
      Benoit Mandelbrot, um matemático polonês (1924-   ), foi o criador dos objetos fractais.


                                                                                                 332
       Existem então duas categorias de fractais: os geométricos (tais como as figuras
de Sierpinski), que se repetem continuamente em um modelo padrão, e os aleatórios,
que são feitos através dos computadores. O fractal de Mandelbrot é uma figura aleatória
recursiva que só pode ser gerada por um software específico de computador, em virtude
de sua complexidade iterativa.

        Uma aplicação inesperada dos fractais foi a possibilidade de reprodução de
algumas formas da natureza. Na verdade, logo se percebeu que as figuras difíceis de
serem produzidas por computador, tais como nuvens, montanhas, relevos, etc., podiam
ser feitas facilmente através da conveniente iteração, ou de uma equação matemática, ou
de regras simples.

       Exemplos de fractais aleatórios:




                                                                                   333
334
                                         Capítulo XI

                               A Percepção da Realidade


        11.1 – A Percepção de Imagens

        Extensas pesquisas em laboratórios de psicologia tem permitido deduzir que a
exploração visual, (determinada pelos movimentos oculares), de um modo geral, é
dispersa e desconexa. As fixações do campo visual, quando não orientadas pela atenção,
tendem a uma exploração dispersa, embora cíclica, do campo visual.
        Na verdade, a maioria dos objetos é “percebida”, mas não “vista” realmente, e a
maioria dos detalhes é perdida, na exploração. A estruturação perceptual do campo
visual baseia-se na cor, forma e tamanho (em certa medida) do objeto (estático). Se não
há objetos visuais específicos que chamem a atenção, o campo visual permanece como
uma área de exploração sem definição.
        Como o processamento de informação visual tende sempre à busca de
configurações e significados,328 e se o objeto visualizado não possuir uma estrutura
conforme, o cérebro tenta continuamente estruturá-lo por analogia com objetos
conhecidos, e permanece oscilando entre várias interpretações perceptuais.
        A percepção visual, então, de um modo geral não é um processo perfeito, porque
o cérebro nem sempre consegue interpretar corretamente as imagens que recebe da
retina.

        11.1.1 – Ilusões de Ótica

        Ilusões de ótica são as imagens que resultam da falsa interpretação pelo cérebro
de um conjunto, adequadamente disposto, de linhas ou formas.329 Ou seja, a percepção é
correta em si mesma, mas o cérebro se confunde na interpretação da imagem.

     A figura abaixo, por exemplo, dá a impressão de que as linhas não são do
mesmo comprimento (mas são!).




        As linhas abaixo são paralelas? São paralelos os lados opostos do quadrado?




328
   Veja-se à frente o item 11.1.1.5.
329
    Ilusões de ótica são fenômenos visuais que se mostram distúrbios inocentes da percepção, e que
resultam do funcionamento peculiar do cérebro. Não são problemas fisiológicos (desde que não exista
algum distúrbio visual), e sim, psicológicos.


                                                                                              335
        E o que se vê na a figura mostrada a seguir?




        11.1.1.1 – Figuras Impossíveis. Contornos Subjetivos. Figuras Multiestáveis

      As chamadas figuras impossíveis são aquelas criadas por ilusão de ótica e
impossíveis de serem construídas materialmente (mas podem ser desenhadas).

        O triângulo de Penrose, também conhecido como tribarra, apesar do nome foi
criado pelo artista sueco Oscar Reutersvärd, em 1934, sendo também muito usado pelo
artista M.C. Escher.330 O matemático Roger Penrose331 o popularizou na década de
1950.
        A tribarra, que parece ser um objeto sólido, é feita de três barras entrelaçadas
que se encontram aos pares nos ângulos retos dos vértices dos triângulos que formam.
Entretanto, essa forma não pode ser realizada por qualquer objeto tridimensional. Sua
visualização depende de um ângulo de visão apropriado (conforme se pode ver pela
sucessão de figuras, a tribarra surge da rotação sobre o eixo vertical de uma figura
aberta. Ao coincidirem as duas barras horizontais, surge a ilusão):




        Os cubos são figuras ideais para a feitura de objetos impossíveis (o primeiro

330
    Maurits Cornelis Escher, ou M. C. Escher (1898-1972) foi um artista gráfico holandês conhecido pelas
suas xilogravuras e litografias representando imagens ou construções impossíveis.
331
    Roger Penrose (1931- ), físico-matemático nascido na Inglaterra.


                                                                                                   336
mostrado a seguir é o chamado cubo de Escher):




       Outras figuras “impossíveis”:




______________________________________________________________________

      Figura “impossíveis” podem ser utilizadas para a construção de logotipos de alto
impacto visual. As figuras mostradas abaixo foram criadas pelo artista espanhol José
Maria Yturralde:




______________________________________________________________________

        Há também as chamadas construções impossíveis (mas que também podem ser
desenhadas), como esta Cascata de Escher (ao lado em cores, para melhor
visualização):




                                                                                  337
       Os chamados contornos subjetivos332 surgem quando se observa uma figura
incompleta, na qual os contornos que faltam são supridos pelo sistema visual do
observador.




      Os contornos subjetivos surgem também da manipulação de forma e fundo,
como nesta outra figura de Yturralde:




           As figuras multiestáveis são as formas geométricas que mudam de aspecto à

332
      Ou também: contornos subjetivos-cognitivos.


                                                                                338
medida que são observadas. Por exemplo, no cubo a seguir, o furo pode ser visto como
se estivesse em quatro faces diferentes: no topo (externamente), na parede interna
direita, na parede externa direita, ou na parede interna do fundo.




      Na figura a seguir (simetrizada), qual fatia que falta no bolo? A maior ou a
menor?




           11.1.1.2 – Estereometria. Estereovisão e Estereogramas.

        Pares estéreo, estereoscopia, estereometria ou estereovisão, são simplesmente o
mesmo nome para uma capacidade de visualização por paralaxe,333 em que se criam
ilusões de superfícies tridimensionais. Esta ilusão baseia-se na capacidade do cérebro de
perceber pequenas diferenças ou discrepâncias entre as imagens captadas por cada olho.
Isto dá a sensação de profundidade ou tridimensionalidade.

        A visão estereoscópica surge da fusão de duas imagens idênticas, o que
proporciona um certo relevo ou profundidade à imagem observada. O olhar não deve
focalizar as figuras em si, mas olhar “através delas”. O exemplo a seguir deve mostrar
uma pirâmide em relevo (vista entre duas pirâmides):




333
      A separação entre os olhos causa uma pequena diferença angular na visão de um mesmo objeto.


                                                                                                    339
        Pares estéreo já eram conhecidos por Leonardo da Vinci (que, entretanto, não
conseguiu descobrir os conceitos envolvidos em sua visualização). Eles vêm sendo
produzidos para diversão desde o século XIX, inclusive com equipamentos para auxiliar
a sua visualização (o estereoscópio).

       Estereogramas334 são imagens que resultam da capacidade que os olhos possuem
de enxergar, como se estivessem em diversas profundidades (tridimensionalmente),
imagens repetidas horizontalmente, dispostas em distâncias levemente alteradas.
       Os chamados estereogramas de pontos aleatórios (RDS: radom dot stereogram)
são imagens mais sofisticadas e complexas do que o par estéreo. Foram desenvolvidos
por Bela Julez na década de 1970. Estereogramas complexos só podem ser realizados
com softwares adequados.335
       O padrão do estereograma geralmente é um conjunto aleatório de pontos
coloridos ou P&B, um desenho ou mesmo uma foto repetida. De acordo com Julez, o
estereograma de pontos aleatórios em si mesmo não é tridimensional, mas o conjunto da
visão (proporcionada pela conformação dos olhos humanos)336 mais o processamento
pelo cérebro proporciona esta tridimensionalidade.337

       As imagens em três dimensões ficam ocultas em um padrão visual
bidimensional.
       Suponha-se que em uma linha do estereograma se encontrem os pontos reais Ra
e Rb vistos em cada olho, situados à distância s um do outro. Sendo e a distância entre
olhos e d a distância destes ao plano do estereograma, o ponto virtual Vab é visto a uma
profundidade r atrás do nível do papel (veja-se a próxima figura). Pela teoria dos raios:

        S= e .t
          d+t

       Deslocando a imagem horizontalmente, sem modificar a distância d, a
profundidade virtual não se altera.
       As profundidades aparentes devem estar entre 75% e 100% de d; este valor
obtido empiricamente dá resultados muito bons. Assim, a equação anterior simplifica-se

334
    Também conhecidos como autoestereogramas.
335
    A construção de estereogramas de pontos aleatórios é descrita no seu livro, Foundations of Cyclopean
Perception. Veja-se também na Bibliografia, HANKINSON & HERMIDA, 1994.
336
    O olhar, convergente ou divergente, não visa a superfície onde se situa a figura, mas um ponto além
dela (em uma espécie de envesgamento). Os olhos devem estar em uma linha horizontal; qualquer
inclinação lateral da cabeça faz perder a visualização.
337
    A capacidade de determinar a informação tridimensional a partir das disparidades é chamada de
estereopsis. Os animais com essa capacidade (os predadores) possuem posicionamento frontal dos olhos,
porque a sua sobrevivência depende da percepção correta da distância das presas. Essas, por sua vez, têm
olhos posicionados lateralmente. Isto lhes dá pequena ou nenhuma percepção de distância, mas permite a
observação contínua do que existe à sua volta para poderem fugir ao menor sinal de perigo.


                                                                                                   340
em:

       S= e .t ,
         2dt

sem que a distorção resultante seja notada.




       Os exemplos mostrados a seguir ilustram a sofisticação do estereograma.

       Na primeira figura se pode ver a imagem de uma espiral de DNA; a segunda é
uma impressionante reprodução de círculos concêntricos. Quanto à terceira, representa a
Pirâmide de Quéops e a Esfinge.




                                                                                   341
342
        Estereogramas mais simples podem ser feitos facilmente. Basta juntar várias
figuras iguais e em seguida mover imperceptivelmente a figura central para o lado. Por
exemplo, usando o par estéreo mostrado antes, duplicado, nota-se que a sua visão é em
relevo, mas não se destaca tridimensionalmente:338




        Mas basta mover ligeiramente a segunda ou terceira pirâmide para a esquerda ou
direita para que surja o efeito tridimensional:




           Para ver que o primeiro conjunto é plano, basta juntar todos eles, colocando-o no
centro:

338
      As figuras foram colocadas bem juntas para se evitar qualquer discrepância de distância entre elas.


                                                                                                            343
        Também pode ser usado um conjunto maior de figuras. Neste caso, a fila central
deve ser imperceptivelmente movida, cuidando de não deixar marcas de abertura, na
figura total:




        11.1.1.3 – Anamorfismo339

       O anamorfismo ou anamorfose é uma ilusão de ótica criada por uma perspectiva
que induz uma direção ao olhar do observador, e que cria uma figura deformada que só
pode ser vista em suas corretas proporções sob um certo ângulo de visão. A anamorfose
baseia-se na reflexão de raios de luz da imagem dispersa em uma superfície polida

339
   O artigo Anamorfose: A matemática na anamorfose, de Rosmari A. Ferreira Lima pode ser encontrado
em http://www.unimesp.edu.br/arquivos/mat/tcc06/Artigo_Rosmari_Aparecida_Ferreira_Lima.pdf. De
acordo com Rosmari Ferreira, as primeiras figuras deste tipo surgiram na China por volta 1575, tendo
chegado à Europa em 1630.


                                                                                               344
cilíndrica, que reagrupa a imagem.




        Os exemplos mostrados a seguir ilustram como se consegue ver uma figura
anamórfica (a figura distorcida no plano mostra-se em proporções corretas, quando
refletida no cilindro).340




340
      O software Anamorph Mel permite fazer facilmente figuras anamórficas.


                                                                              345
       É possível que uma das figuras anamórficas mais famosas seja esta reproduzida
no quadro Os Embaixadores, de Hans Holbein:341




        A figura anamórfica que se vê em primeiro plano reproduz uma caveira, quando
vista no ângulo correto:




341
      Hans Holbein, Os Embaixadores, 1533. Óleo em tela 207 x 209.5 cm. National Gallery, Londres.



                                                                                                     346
        Qualquer figura que, pintada ou desenhada em um plano proporcione, por ilusão
de ótica, uma sensação de relevo, também pode ser considerada uma figura anamórfica.
Estas figuras são chamadas de anamorfoses em 3D.

        Alguns artistas gráficos, tais como Kurt Wenner e Julian Beever se tornaram
conhecidos pelas suas pinturas anamórficas de pavimento.342 Seus desenhos em 3D são
feitos com giz, e já foram extensamente apresentados na mídia. Alguns exemplos são
mostrados a seguir.




342
      Veja-se o site http://www.tutoriaisphotoshop.net/2008/04/pinturas-3d-de-kurt-wenner.html.



                                                                                                  347
348
349
         O conceito de figura anamórfica é também usado no cotidiano. Por exemplo,
sinalizações de trânsito feitas em pista ou pavimento costumam sofrer distorção
anamórfica para se tornarem mais visíveis (a seta parece ter o mesmo tamanho das
letras, quando vista à distância):




                                                                              350
       Da mesma maneira, estátuas colocadas em frontões muito elevados devem ser
esculpidas de modo a que a sua largura cresça progressivamente do pé para a cabeça e
sejam mais altas que o normal, para anular a perspectiva deformante. Em suas
proporções normais, elas pareceriam ter o tronco e a cabeça encolhidos. Veja-se, por
exemplo, no Panteão romano343 as diferenças de perspectiva (a estátua no frontão não
pode ter as mesmas proporções relativas que a estátua ao rés do chão):




343
   Reconstruído pelo imperador Adriano entre 118 e 135 d.C., devido à destruição pelo incêndio do
prédio original erigido por Marco Agripa. Seu modelo de pórtico e rotunda influenciou toda a arquitetura
ocidental. A sua cúpula, que atinge 43 metros de altura, só foi superada pelo Domo de Florença,
construído por Bruneleschi entre 1420 e 1436. Aliás, o segredo da construção de domos só foi recuperado
após os estudos de Leonardo da Vinci e Bruneleschi, que para isto tiveram que estudar o modelo romano.


                                                                                                   351
352
        11.1.1.4 – Figuras Escondidas ou Ocultas. Imagens Ambíguas

       Figuras ocultas são aquelas que não se notam à primeira vista, em uma pintura
ou desenho.344 As pinturas abaixo, por exemplo, estão, a primeira, recheada de faces, e
na segunda, está oculta uma figura de zebra:




344
   Este tipo de figura deu origem a uma popular tira de desenho chamada “Onde está Wally?”, em que se
devia descobrir o herói em meio a uma confusão de imagens.


                                                                                                353
      Veja-se abaixo o extraordinário quadro de Salvador Dali, Galatea das Esferas,
em que um rosto de mulher é formado por uma sucessão de esferas:




      Na imagem a seguir, há uma figura oculta disfarçada pelas árvores:




                                                                               354
        As imagens ambíguas sempre contêm mais de uma cena na mesma imagem. No
quadro mostrado a seguir, por exemplo, a figura de um velho com a mão no peito
alterna-se com as figuras de uma jovem e um velho com um chapéu de palha na cabeça,
ambos sob um pórtico:345




345
  As cãs grisalhas confundem-se com a iluminação que atravessa o pórtico. Note-se também a cabeça de
uma jovem à direita, sobre o muro.


                                                                                               355
      11.1.1.5 – Figuras Perturbadoras e Figuras Ameaçadoras

       Figuras perturbadoras são aquelas que embaralham a visão, e cujo estímulo
visual de alto impacto continua, mesmo após deixarem de ser fixadas, dando uma
sensação de movimento ou fragmentação a outros objetos fixados em seguida.




                                                                            356
357
      Em alguns casos, imagens inusitadas surgem pela simples manipulação de outras
imagens. Por exemplo, a figura abaixo é uma foto de uma entrada de caverna:




          Duplicando e rearrumando, consegue-se a ameaçadora imagem mostrada a
seguir:




       E para ver o quão ameaçadora se torna, ela foi duplicada abaixo, se ressaltando
as “imagens de rostos”:




                                                                                  358
       Veja-se a mesma figura em outra configuração.




       Note-se os dois “vigias” à frente da caverna, sentados de braços abertos em cada
lado de uma mesa, e com uma imponente “pessoa” no meio, sentada bem ao fundo:




        Quanto à foto que vem a seguir, ela mostra uma estranha e bizarra configuração
de nuvens, na qual se pode ver uma cabeça em que o “rosto”, deformado, está de boca
aberta.




                                                                                   359
        A percepção ou reconhecimento de figuras e imagens onde elas não existem é
denominada pareidolia (um termo criado por Steven Goldstein em 1994). É um tipo de
fenômeno psicológico em que estímulos aleatórios recebem uma configuração
interpretativa pelo cérebro, que tenta associar figuras informes com figuras
conhecidas.346
        Atribuir significados e conexões ocultas à percepção espontânea de imagens que
não possuem relação entre si, ou ver padrões onde não existe nenhum é um fenômeno
denominado apofenia (este termo foi cunhado por K. Conrad em 1958).347

        11.1.1.5 – Figuras Estáticas com “Movimento”

       Algumas imagens estáticas possuem uma combinação inusitada de linhas e
formas que dão a impressão que elas se movimentam. Vejam-se os exemplos a seguir:




346
    O mestre renascentista da pintura, Leonardo da Vinci, relata que as pinturas de fundo que acrescentava
aos seus quadros (veja-se, por exemplo, o fundo da pintura da Mona Lisa) eram visualizados pela
contemplação à sombra de muros e paredes em decomposição (mofados, sujos, manchados), em que a
imaginação solta “via” quadros de batalhas, paisagens, multidões, etc.
347
    A pareidolia pode ser considerada um tipo de distúrbio da percepção. A apofrenia, por seu lado, é vista
como uma espécie de psicose benigna, comum em indivíduos de alta criatividade.


                                                                                                      360
361
        É nítida a impressão de movimento em cada uma delas.

         A explicação para este fenômeno348 foi dada originalmente pelo fisiólogo inglês
W. Grey Walter, em sua obra de divulgação A Mecânica do Cérebro.349 Já na década de
1930 o experimentador alemão Hans Berger descobrira que o cérebro emite impulsos
elétricos de pequeníssimo nível e em várias freqüências ou oscilações, que variam entre
cerca de um até trinta Hertz (ciclos por segundo), chamadas frequências alfa, beta, gama
e delta.
         Cada uma dessas freqüências estaria relacionada com um tipo específico de
consciência, sendo que o estado de alerta consciente do cérebro se caracterizaria pela
presença de ondas de freqüência beta, entre oito e cerca de 12 a 14 Hertz. Quando os
olhos se fechavam, predominava uma freqüência (alfa) característica do estado
psicológico do devaneio.

       Em experiências de laboratório descobriu-se que lampejos intermitentes criados
por lâmpadas estroboscópicas,350 em combinação com os ritmos cerebrais, provocavam
o colapso das funções mentais, criando “tempestades” cerebrais idênticas ao ataque de
epilepsia. Logo se descobriu que os lampejos intermitentes combinavam-se com as
freqüências próprias do cérebro, e esta combinação criava novas freqüências diferentes
que espalhavam-se pelo cérebro, prejudicando o seu funcionamento normal.
       Igualmente, percebeu-se que o funcionamente elétrico do cérebro explicava a

348
    O livro não foi escrito exatamente para explicar a ilusão desses movimentos, mas seu conteúdo tem
uma explicação geral que os inclui implicitamente.
349
    WALTER, W.Grey. A Mecânica do Cérebro. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1962.
350
    O paciente ficava com os olhos abertos.


                                                                                                362
sua contínua busca de configuração (aprendizagem), com a qual a mente procura dar um
sentido ao mundo.
       É, então, esta contínua varredura elétrica intermitente a causa do aparente
movimento das figuras observadas.

           11.1.1.6 – Anaglifos

        São imagens que: a) vistas através de filtros coloridos, apresentam diversos
níveis de relevo ou profundidade; b) apresentam uma ilusão de ótica na qual um relevo
pode se mostrar como um sulco, ou o contrário.

           Anaglifos do Primeiro Tipo

       A visão em três dimensões (ou estereoscópica) resulta da posição dos olhos, que
nos seres humanos permitem a visão binocular. Como os dois olhos captam a imagem
do mesmo objeto de posições diferentes, devido à distância entre os olhos, essas duas
imagens são superpostas no cérebro, o que dá a sensação de 3D.
       Para se conseguir figuras em terceira dimensão (3D), ou figuras tridimensionais,
faz-se uma sobreposição ligeiramente deslocada de uma mesma imagem, mas em suas
cores complementares.




           Existem vários sistemas que proporcionam a sensação de tridimensionalidade:

       Óculos a duas cores: são óculos que utilizam filtros de cores complementares,
   como vermelho e azul ou vermelho e verde. As cores vermelhas, por exemplo, não
   são vistas pelo olho que tem o filtro da mesma cor, mas são vistas pelo outro olho
   em azul ou verde. 351
       Este sistema, por seu baixo custo, é muito usado em revistas e livros. Tem a
desvantagem da alteração das cores, perda de luminosidade e cansaço visual após uso

351
      O filtro vermelho é usado no olho esquerdo e o azul no olho direito.


                                                                                     363
prolongado.




       Luz polarizada: utiliza-se luz polarizada para separar as imagens da esquerda e
da direita. O sistema de polarização não altera as cores, ainda que ocorra uma certa
perda de luminosidade. É usado em projeção de cinema 3D e em alguns monitores de
computador com telas de polarização alternativa.
       Atualmente, é considerado o sistema mais econômico, tendo em vista uma
qualidade de imagem aceitável.




        Alternativo: este é um sistema que apresenta em seqüência, de modo alternativo
e imperceptível, as imagens esquerda e direita sincronizadas em óculos com obturadores
de cristal líquido, de modo que cada olho vê apenas a sua imagem correspondente. Esta
técnica é utilizada em monitores de computador, TV e cinemas 3D de última geração.




        Anaglifos do Segundo Tipo

        A imagem mostrada a seguir é um exemplo do segundo tipo de imagem
anaglífica. Representa uma fotografia tomada pela Mars Express’ High Resolution
Stereo Camera (HRSC) na região Aeolis Mensae, em Marte.352




352
   A região é localizada aproximadamente a 6° Sul e 145° Leste, coordenadas de Marte. Foi feita entre os
dias 26 e 29 de março de 2007, nas órbitas no. 4136 e 4247. Origem: Wikidésia, a enciclopédia livre:
http://geodesia.ufsc.br/wikidesia/index.php/P%C3%A1gina_principal.


                                                                                                   364
       11.2 – A Percepção em Profundidade. A Perspectiva

        A perspectiva, como já se viu, é a forma de representação gráfica que mostra em
uma superfície bidimensional os objetos em três dimensões, tal como eles aparecem à
visão.
        A perspectiva resulta das linhas paralelas que se “encontram” no infinito (O
ponto onde as paralelas se encontram é denominado ponto de fuga) e da ilusão que
resulta quando a mente tenta corrigir o conjunto de linhas, formando uma imagem
proporcional. A imagem seguinte é uma mostra da perspectiva em duas dimensões, ou
plano (note-se que as barras brancas possuem o mesmo comprimento).




                                                                                   365
        A figura abaixo, por outro lado, ilustra o conceito de perspectiva em três
dimensões. Neste caso, o conjunto de linhas como um todo se projeta para um ponto no
infinito, dando não só uma ilusão de profundidade, como também de relevo, ou volume
(o espaço interior delimitado pelas linhas paralelas).




        A figura abaixo mostra a mesma imagem, vista agora em negativo, para dar
realce ao relevo.




                                                                                   366
        Como arte, a perspectiva é uma forma tipicamente moderna de ver e representar
a realidade (surgiu na Idade Média, no período renascentista)353 e ocidental (é quase
ausente das representações pictóricas do oriente).
        Por exemplo, as imagens que se faziam no antigo Egito não possuíam
perspectiva, como se pode notar pela representação que então se fazia dos corpos e
faces.354




       As gravuras chinesas e japonesas tradicionais também não possuem uma visão
em perspectiva, porque não possuem linhas de fuga; a perspectiva é simulada por
sobreposição de figuras (as mais altas são desenhadas em tamanho um pouco menor).355




353
    Entretanto, e paradoxalmente, é possível perceber que as imagens pré-históricas descobertas em grutas
(a de Lascaux, por exemplo), apresentam um tipo de perspectiva.
354
    De todo modo, a figura do Faraó sempre deveria ser representada em tamanho maior do que a dos seus
súditos.
355
    A propósito da percepção da realidade, é curioso que os desenhistas japoneses de mangá usem olhos
enormes em seus personagens, sabendo-se os japoneses em geral possuem olhos pequenos.


                                                                                                    367
       No ocidente, inicialmente, a forma de ver e representar a realidade em forma de
pintura não tinha uma sólida base geométrica e matemática,356 e a perspectiva ilustrada
nas obras medievais mais antigas mostra essa carência, conforme se pode ver pela figura
a seguir.




356
   Na Itália, Giotto foi um dos primeiros artistas italianos, já em um contexto que se aproximava do
Renascimento, a utilizar métodos algébricos para determinar a distância entre linhas.


                                                                                               368
       Somente no prolífico período conhecido como Renascença ou Renascimento foi
que a arte medieval superou suas limitações, principalmente após a contribuição dada
por Albrecht Dürer (1471-1528) à teoria das proporções e da perspectiva. Duhrer foi
uma das figuras centrais do renascimento alemão, tendo recebido grande influência dos
pintores italianos e holandeses.
       Sua arte mostra a influência de teorias matemáticas, tais como a da proporção.
Relativamente à gravura Adão e Eva, Dürer descreveu as intrincadas construções de
régua e compasso que ele fez para construir as figuras. Duhrer expressou suas teorias da
proporção no livro The Four Books on Human Proportions, publicado em 1528.




       Experimentos de projeção cônica utilizando aparelhos mecânicos (chamados
perspectógrafos) eram feitos por Duhrer, Alberti e Brunelleschi, entre outros. Tais
aparelhos permitiam copiar em um plano as figuras tridimensionais observadas.357




357
   A base óptica da perspectiva só foi definida em 1800, pelo filósofo e matemático árabe Alhazen, em
sua obra Perspectiva.


                                                                                                369
                               Perspectógrafo de Duhrer




       Uma página de um livro de Duhrer, mostrando-o a usar o perspectógrafo

      Uma das primeiras pinturas a utilizar a perspectiva foi a obra de Carlo Crivelli, A
Anunciação.




                                                                                     370
      11.2.1 – Perspectiva Ilusória ou Falsa Perspectiva

       A manipulação conveniente das dimensões de um determinado ambiente levam
a uma ilusão de perspectiva do tipo da que é mostrada na figura a seguir.




                                                                             371
        Aqui, em uma sala aparentemente normal, a impressão que se tem é que a pessoa
à direita é bem mais alta do que aquela postada à esquerda. Este tipo de ilusão de
perspectiva é conseguido com uma sala montada segundo o esquema que se mostra a
seguir.358




358
   Os retângulos ao fundo e aos lados são pintados ligeiramente deformados, para aumentar a ilusão. O
piso e o teto, igualmente, são construídos de modo a que suas linhas aparentem ter um ponto de fuga.


                                                                                                372
                                         Capítulo XII

                   Transformações. Ocupação do Plano e do Espaço

        12.1 – Sistemas Matemáticos. Estruturas Matemáticas

       Um sistema matemático é um conjunto de elementos quaisquer provido de uma
operação359 qualquer, definida para os elementos desse conjunto. Cada sistema
matemático possui uma estrutura caracterizada pelas propriedades da operação definida
no conjunto.
       O sistema matemático usual, com as operações comuns: adição; subtração;
multiplicação; divisão (+ – x ÷), é denominado sistema algébrico, por possuir estruturas
algébricas. Tais estruturas surgem das operações definidas nos conjuntos deste sistema
matemático,360 e são:

        •   Estrutura de semi-grupo, quando a operação possui a propriedade
            associativa;
        •   Estrutura de monóide, quando a operação possui a propriedade associativa e
            a existência de um elemento neutro (0) ou de um elemento identidade (I).
        •   Estrutura de grupo, quando a operação possui a propriedade associativa e as
            existências de um elemento neutro (ou identidade) e de um elemento
            inverso.

      Se, além, disso, aplicam-se aos conjuntos deste sistema a propriedade chamada
comutativa, então a estrutura algébrica é chamada de grupo comutativo.

        Supondo que as operações entre os elementos A,B,C,... de um conjunto sejam S
e s, existe o grupo comutativo quando existirem as seguintes propriedades:

        A S (B s C) = (A S B) s (A S C)                    => Associatividade na operação
        A s 0 = 0 s A = A ou A S I = I S A = A             => Existência de um elemento neutro361
        A s ~A = 0 ou A S 1/A = 1                          => Existência de um elemento inverso
        A s B = B s A ou A S B = B S A                     => Comutatividade na operação

       Alguns exemplos de sistemas matemáticos (um conjunto de elementos com uma
operação) são dado a seguir:

        Conjunto: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
        Operação: multiplicação

        Conjunto: I = {...,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ...}
        Operação: adição


359
    A operação, qualquer que seja ela, pode ser representada abstratamente pelo símbolo: .
360
    O sistema algébrico usual utiliza os conjuntos dos números naturais (inteiros e fracionários), dos
números irracionais e racionais, dos números reais e dos números complexos.
361
    Ou existência de um elemento identidade.


                                                                                                 373
        Conjunto: rotações de pontos no plano, em torno de um ponto
        Operação: composição de rotações

        Ou, representando estes conjuntos por uma notação mais restrita: (N, X) ; (I, +) ;
(Rot, o).

        12.1.1 – Algumas Definições Básicas

        •    Aplicação: também chamada função ou transformação, é a relação especial
            que existe entre dois conjuntos, mediante uma correspondência ou
            associação entre os seus elementos.
        •   Relação binária: é a relação que existe entre dois entes ou elementos
            matemáticos, e que dão a eles uma estrutura de ordem.
        •   Correspondência biunívoca: é a correspondência que associa cada ponto de
            um conjunto A a um único ponto de outro conjunto B, e vice-versa.
        •   Par ordenado: é o conjunto de dois elementos ordenados: (a,b). O conjunto
            (b,a), tomado nesta ordem, é um conjunto diferente do anterior.
        •   Função injetora ou injetiva: é a função na qual elementos diferentes de A
            correspondem a elementos diferentes de B (elementos distintos do domínio,
            possuem imagens distintas no contradomínio).
        •   Função sobrejetora ou sobrejetiva: quando todo elemento de B é imagem de
            pelo menos um elemento de A (Uma função f: A→B é sobrejetora somente
            se o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio).
        •   Função bijetora ou bijetiva: é a função que é injetora e sobrejetora
            simultaneamente.
        •   Função inversa: se a função é bijetora, então se define a função inversa
            como sendo a aplicação de B em A.
        •   Segmento orientado: é o segmento no qual se fixa uma origem e uma
            extremidade. Assim, o segmento AB tem origem em A e extremidade em
            B.362
        •   Eqüipolência: também chamada congruência ou sintotia. Dois segmentos
            são eqüipolentes quando possuem o mesmo módulo (valor absoluto), a
            mesma direção e o mesmo sentido.363
        •   Vetor: é o ente geométrico constituído pelo comprimento, direção e sentido
            de todos os segmentos equipolentes a um dado segmento AB.
        •   Vetores ortogonais: são os vetores geométricos perpendiculares entre si.
        •   Coordenadas: ou sistema de coordenadas cartesianas, é o sistema de eixos
            X e Y perpendiculares entre si, chamados respectivamente abscissa e
            ordenada.

       Se O, X e Y são três pontos do plano, os vetores OX e OY nessa ordem formam
um sistema de vetores: (OX, OY) ou (0, x, y).364



362
    Um mesmo segmento AB pode ter dois sentidos: o sentido AB e o sentido BA.
363
    Ou seja, dois segmentos são eqüipolentes quando: a) são orientados no mesmo sentido; b) são
paralelos e congruentes.
364
    A representação formal de vetores normalmente é feita, ou com uma pequena seta sobre as duas letras
maiúsculas      , ou com uma pequena seta sobre a letra minúscula que o representa: .


                                                                                                  374
        12.2 – Simetria. Transformações Isométricas365

        O conceito de simetria pode ser entendido em dois sentidos. Em sentido restrito,
refere-se à simetria bilateral, ou reflexão em torno de um eixo. Em um sentido mais
amplo, refere-se a toda ocorrência de transformação isométrica que mantém invariante
uma determinada forma.
        Por este conceito, toda composição que envolva a repetição de uma forma
orientada por um ou mais eixos, constitui uma composição simétrica, sendo que a
repetição resulta da recursão de transformações isométricas. Este é o conceito de
simetria geométrica, que é baseado na idéia de grupos de transformações.

       Os grupos de simetria no plano (2D) são definidos pelas operações de simetria.
       São também chamados de grupos de simetria planar. Os grupos de simetria
planar classificam-se, conforme a sua estrutura translacional, em:

        •    Grupos de simetria central: existem dois grupos, o cíclico, que consiste em
             repetições de uma rotação simples, denominado de grupo cíclico Cn; e o
             diédrico (ou diedral) Dn.4, que associa rotações com reflexões. É o caso das
             rosáceas, que podem ser divididas em cíclicas e diedrais.

      As rosáceas são ornatos de caráter geométrico, correspondentes à estilização do
desenho de uma rosa. Geralmente, a sua manifestação arquitetônica (ocidental) se dá
nos Vitrais366 das Catedrais construídas na Idade Média. Abaixo, a reprodução da
Rosácea e Vitral da Catedral de Notre-Dame de Paris.367




365
    Ou também: Transformações Geométricas Planas – 2D. Em 3D (tridimensionalidade), é considerada a
chamada simetria cristalográfica.
366
    Incidentalmente, os Vitrais religiosos ocidentais são uma espécie de mandala, que é uma figura
simbólica religiosa oriental. Carl Gustav Jung afirma que “a mandala é um círculo mágico, símbolo do si-
mesmo, enquanto totalidade psíquica, e representativo de um processo psíquico de centralização da
personalidade” (JUNG, Carl G. Memórias, Sonhos e Reflexões, p. 356).
367
    Para maiores informações, veja-se: Mandalas e Rosáceas: Em Busca de Novas Abordagens para
Antigos Conteúdos (NASCIMENTO, BENUTTI e NEVES). O texto no formato PDF pode ser
encontrado em: http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/MANDALAS.pdf.


                                                                                                   375
        O traçado geométrico das rosáceas está ligado à divisão da circunferência em
partes iguais. Está ligado também aos conceitos de polígonos regulares convexos e não-
convexos (os polígonos estrelados).
        Além dos conceitos acima, seu traçado se liga também a outros princípios
geométricos, como o de concordância e das simetrias da dilatação e da reflexão (curvas
cíclicas).




       O grupo das rosáceas (Cn e Dn) possui as seguintes propriedades:

                  o   Não possuem translações nem reflexões deslizantes;
                  o   São finitos;
                  o   Possuem apenas um ponto fixo;
                  o   Alguns possuem apenas rotações;
                  o   Não existe nenhum que só possua reflexões.

       •   Grupos de frisos: são denominados grupos Fn. Os frisos são padrões em que
           existem apenas translações de simetria numa direção, sendo frequentes em
           obras de arte, arquitetura, azulejos, tecidos e artesanato.




        Existem sete tipos (sete grupos) possíveis de frisos, dos quais quatro são
baseados na translação e reflexão, e três permitem uma rotação de 180°. Cada friso é
identificado com dois símbolos (notação matemática):

           1º )       m ou 1 (indica se o friso tem ou não tem eixo de simetria vertical.)
           2º )       1 ou 2 ou g ou m (indica se existe outro tipo de simetria.)




                                                                                         376
m: se for o 1º símbolo tem uma simetria vertical - reflexão de eixo vertical; se for o 2º
símbolo tem uma simetria horizontal - reflexão de eixo horizontal;

1: se for o 1º símbolo, não tem simetria vertical; se for o 2º símbolo, não tem mais
nenhuma simetria além da indicada pelo 1º símbolo;

2: rotação de 180° (usa-se sempre como 2º símbolo);

g: simetria horizontal seguida de translação - reflexão deslizante (usa-se sempre como
2º símbolo).


           A seguir, são dados exemplos de cada um dos sete frisos.368

           1)      Friso                     Isometria                Notação



                                             Translação                   11


           Exemplo:

           2)      Friso                     Isometria                Notação

                                         Rotação de 180º                 12


           Exemplo:

           3)      Friso                     Isometria                Notação


                                         Reflexão Horizontal            1m


           Exemplo:

           4)      Friso                     Isometria                Notação



                                        Reflexão deslizante              1g


           Exemplo:

368
      Os exemplos foram retirados do site: http://www.apm.pt/apm/AeR/frisos.html.


                                                                                     377
        5)      Friso                     Isometria                Notação


                                     Reflexão vertical                m1



        Exemplo:


        6)      Friso                     Isometria                Notação



                                                                      mg




        Exemplo:


        7)      Friso                     Isometria                Notação




                                                                      mm




        Exemplo:

        •    Padrões (ou papéis de parede – wallpaper): também conhecidos como
             padrões periódicos,369 são figuras planas caracterizadas por terem uma
             célula e duas translações linearmente independentes, de modo que o desenho
             final resulta de todas as transformações geradas por essas translações.370

       Além das translações podem existir outras isometrias que deixam o padrão
invariante. Uma isometria assim forma um grupo, porque se ela deixa um padrão
invariante, então a sua inversa também deixa, e o produto de isometrias é também uma
isometria com a mesma propriedade. Logo, as isometrias que deixam o padrão
invariante têm estrutura de grupo, a que se chama grupo de simetria do padrão.371



369
    Ou: padrões são desenhos que ficam invariantes quando se aplicam duas translações definidas por
vetores com direções diferentes. Ou: padrões são desenhos que ficam invariantes quando sofrem uma ou
mais transformações.
370
    Os padrões não devem ser confundidos com pavimentações, porque a célula do padrão pode não cobrir
todo o plano e deixar espaços em branco.
371
    Para uma extensa explanação sobre padrões, veja-se: http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group.


                                                                                                378
        Existem duas notações distintas para catalogar todos estes grupos de simetrias.
        Há a notação de Conway372 (ou notação orbifold – o) e a notação por nome
cristalográfico. A primeira baseia-se no tipo de simetrias não transacionais (não incluem
translações), onde * indica a presença de reflexão, x indica a reflexão deslizante e o
número da ordem da rotação presente. A segunda tem origem na cristalografia.

                                         Conway       Crist
                                                       p1
                                            ××          pg
                                             **         pm
                                            ×*          cm
                                           22×         pgg
                                            22*        pmg
                                           2222         p2
                                           2*22       cmm
                                          *2222       pmm
                                            442         p4
                                            4*2        p4g
                                           *442        p4m
                                            333         p3
                                           *333        3m1
                                            3*3       p31m
                                            632         p6
                                           *632        p6m


       Os padrões classificam-se em 17 tipos diferentes, cada um deles relacionado
com um grupo de simetria. Um padrão estende-se indefinidamente, tanto horizontal
quanto verticalmente.
       A seguir estão indicadas as principais características de cada um desses tipos;373
em seguidas, serão vistos os tipos de redes associados.


        Simbolismo para os diagramas374 de estrutura de célula:

            um centro de rotação de ordem 2 (180°).
            um centro de rotação de ordem 3 (120°).
            um centro de rotação de ordem 4 (90°).
            um centro de rotação de ordem 6 (60°).
                           um eixo de reflexão.
                              um eixo de reflexão deslizante




372
    John Conway (1937- ), matemático nascido na Inglaterra.
373
    Refere-se apenas a padrões planos e monocromáticos.
374
    Estrutura de célula para p e o.


                                                                                     379
      Classificação de padrões:
                                      Grupo 1
                                         p1




       Contém apenas translações. Os dois eixos de translação podem fazer um ângulo
qualquer entre eles. A rede é do tipo paralela.

                                      Grupo 2
                                         p2




      Contém rotações de 180°, isto é de ordem 2. A rede é do tipo paralela.

                                      Grupo 3
                                        pm




      Contém reflexões, cujos eixos são paralelos a uma direção da translação e
perpendicular a outra. A rede é retangular.

                                      Grupo 4


                                                                               380
                                         pg




        Contém reflexões deslizantes, cuja direção é paralela a uma direção da
translação e perpendicular a outra. A rede é retangular.


                                       Grupo 5
                                         cm




       Contém reflexões e reflexões deslizantes com eixos paralelos. Os eixos de
reflexão bissectam o ângulo formado pelas direções das translações. A rede é rômbica.


                                       Grupo 6
                                        pmm




       Contém eixos de reflexão perpendiculares. A rede é retangular.

                                       Grupo 7
                                        pmg

                                                                                 381
      Contém reflexões e rotações de ordem 2. A rede é retangular.


                                      Grupo 8
                                       pgg




       Contém reflexões deslizantes e rotações de ordem 2. Os centros de rotação não
se encontram nos eixos de reflexão, que são perpendiculares. A rede é retangular.

                                      Grupo 9
                                       cmm




       Contém eixos de reflexão perpendiculares e rotações de ordem 2. Os centros de
rotação não se encontram nos eixos de reflexão. A rede é rômbica.

                                     Grupo 10
                                        p4




                                                                                382
       Contém rotações de ordem 4 e de ordem 2. Os centros de rotação de ordem 2
estão entre os centros de rotação de ordem 4. A rede é quadrada.

                                   Grupo 11
                                     p4m




       Contém rotações de ordem 4 e ordem 2 e também reflexões. Os centros de
rotação encontram-se nos eixos de reflexão. A rede é quadrada.

                                   Grupo 12
                                      p4g




       Contém rotações de ordem 4 e de ordem 2 e também reflexões. Os eixos de
reflexão são perpendiculares. A rede é quadrada.

                                   Grupo 13
                                      p3




                                                                            383
       Contém rotações de ordem 3. A rede é hexagonal.

                                      Grupo 14
                                        p31m




        Contém rotações de ordem 3, e também reflexões cujos eixos fazem um ângulo
de 60°. Alguns centros de rotação encontram-se nos eixos de reflexão, outros não. A
rede é hexagonal.

                                      Grupo 15
                                        p3m1




       Contém rotações de ordem 3, mas também reflexões cujos eixos fazem um
ângulo de 60°. Os centros de rotação encontram-se todos nos eixos de reflexão. A rede é
hexagonal.

                                      Grupo 16
                                          p6




                                                                                   384
       Contém rotações de ordem 6, de ordem 2 e de ordem 3. A rede é hexagonal.


                                     Grupo 17
                                       p6m




        Tem um centro de rotação de ordem 6 (60°); tem também dois centros de
rotação de ordem 3, que difere somente por uma rotação de 60° (ou 180°), e três de
ordem 2, o qual somente difere por uma rotação de 60°. Tem também reflexão em seis
direções distintas. Há também reflexões por deslizamento adicionais em seis direções
distintas, cujos eixos estão localizados a meio caminho entre os eixos de reflexão
paralelos adjacentes.

       12.2.1 – Redes:

        A cada padrão fica associada uma rede de pontos. Partindo de um ponto
qualquer consideram-se as imagens desse ponto obtidas por meio de todas as
translações existentes no padrão. As células primitivas do padrão são paralelogramos,
cujos vértices são os pontos das redes associadas ao padrão.

       Classificação das redes:

       •   Paralela: se a região fundamental é um paralelogramo.
       •   Retangular: se a região fundamental é um retângulo.
       •   Rômbica: se a região fundamental é um losango.
       •   Quadrada: se a região fundamental é um quadrado.
       •   Hexagonal: se a região fundamental é um losango com ângulos de 60°.




                                                                                  385
       As transformações existentes em cada padrão estão diretamente relacionadas ao
tipo de rede. Assim, em um padrão com um certo tipo de rede encontram-se
necessariamente determinadas transformações:375

                                             Translações
                                          rotações de 180°
                              paralela      sem reflexões
                                            sem reflexões
                                             deslizantes
                                             Translações
                                          rotações de 180°
                              retangular       reflexões
                                            sem reflexões
                                             deslizantes
                                             Translações
                                          rotações de 180°
                              rômbica          reflexões
                                               reflexões
                                             deslizantes
                                             Translações
                                         rotações de 180° e
                                                  90°
                              quadrada
                                               reflexões
                                               reflexões
                                             deslizantes
                                             Translações
                                          rotações de 180°,
                                              120° e 60°
                              Hexagonal
                                               reflexões
                                               reflexões
                                             deslizantes

        12.3 – Ocupação do Plano. Pavimentação

       Pavimentação: é todo tipo de decoração usado na arte, na cultura, no papel de
parede, etc. Entretanto, aqui serão consideradas apenas as pavimentações formadas por
ladrilhos,376 ou conjuntos planos cuja fronteira é uma curva simples fechada.377

375
   Mais informações sobre redes poderão ser obtidas em http//aleph0.clarku.edu/~djoyce/wallpaper.
376
   Ou azulejos. Ambas denominações serão usadas doravante, indistintamente. Denomina-se mosaico à
junção de dois ou mais losangos entre si.


                                                                                            386
       Há ladrilhos que são poligonos convexos regulares, mas também há outros tipos
que não são poligonos e nem são convexos. Em qualquer pavimentação, o objetivo é
cobrir o plano sem sobreposições e sem deixar espaços por cobrir. Assim, uma
pavimentação do plano é um conjunto de ladrilhos que cobrem o plano nas condições
definidas.378

        Pela experiência pode ser constatado que há ladrilhos que pavimentam, e há
ladrilhos que não pavimentam. A figura abaixo mostra um ladrilho, e a pavimentação
feita com ele.




        Nesta pavimentação, os pontos A e B não são vértices; mas são vértices do
dodecágono. Os vértices da pavimentação são os pontos que resultam da intersecção de
três ou mais ladrilhos. Por exemplo, os pontos C, D e E são vértices da pavimentação,
        O vértice de uma pavimentação não tem de coincidir com os vértices dos
ladrilhos. No entanto, nas pavimentações de poligonos regulares os vértices da
pavimentação coincidem com os vértices dos poligonos.

       As arestas da pavimentação são arcos (ou linhas poligonais, ou segmentos) que
resultam da intersecção de dois ladrilhos. Por exemplo, os segmentos CA e BE são
lados do dodecágono, mas não são arestas da pavimentação. Uma aresta é a linha
poligonal CABE.

       De acordo com o pesquisador polonês G. Pólya, “existem dezessete classes de
grupos cristalográficos não-isomórficos em um plano arquimediano”. Isto quer dizer
que existem apenas 17 maneiras de ocupar um plano. É possível demonstrar379 que a
ocupação contínua de um plano (simetria periódica) só pode ser realizada por figuras
geométricas (os azulejos ou ladrilhos) que sejam triângulos eqüiláteros, quadrados ou
hexágonos,380 ou seja, por polígonos regulares e uniformes.381

        A figura a seguir ilustra as dezessete formas de ocupação do plano.382


377
    Um conjunto de partes fechadas do plano é uma pavimentação se os interiores das partes são disjuntos
dois a dois e a união de todas as partes é todo o plano. Estas partes são chamadas de ladrilhos ou azulejos
da pavimentação.
378
    Diz-se que o plano pode ser pavimentado de maneira periódica, quando é possível construir um
paralelogramo (geralmente maior que um ladrilho) que pode ser repetido para produzir a pavimentação.
Ou seja, é um conceito ligado ao de uma grade com simetria translacional.
379
    Veja-se a demonstração no Apêndice II.
380
    Só é possível pavimentar periódicamente o plano com polígonos regulares se estes polígonos forem o
triângulo equilátero, o quadrado ou o hexágono regular.
381
    Dizer que é “uniforme” significa dizer que as combinações das peças são idênticas a cada vértice.
382
    Em notação de Hermann-Mauguin, os símbolos vão de p1 (grupo plano número 1) até c2mm (grupo
plano número 9), e de p4 (grupo plano número 10) até p6mm (grupo plano número 17).


                                                                                                      387
        As formas regulares de ocupação do plano (periódicas) são as seguintes:




        Em qualquer outro caso, a ocupação do plano é dita quase-periódica (ou a-
periódica).383 Na simetria cristalográfica (3D) o número de alternativas possíveis é de
230.
        O pentágono regular (que tem todos os lados iguais), por exemplo, deixa buracos
vazios.




        Não é o caso do pentágono irregular. Os matemáticos identificaram 14 tipos de

383
   As simetrias podem ser contínuas ou discretas. No primeiro caso, a ocupação de um plano não sofre
continuidade; o contrário, no segundo caso.


                                                                                               388
pentágonos convexos irregulares que pavimentam periódicamente o plano, sendo que
um deles é mostrado a seguir.




       Não se sabe, no entanto, se existem outros pentágonos que satisfazem a
condição.
        Mas existem infinitos polígonos irregulares que pavimentam periódicamente o
plano. Com relação aos hexágonos irregulares convexos, foi provado que existem três
tipos que pavimentam periodicamente o plano.

       As pavimentações que são formadas apenas por um tipo de ladrilho são
chamadas de pavimentações monoédricas ou puras. Nota-se na figura abaixo que,
apesar da extrema irregularidade do ladrilho (um único tipo), o plano é ocupado
continuamente.384




       Dentro das pavimentações monoédricas tem-se as chamadas pavimentações
regulares, que são aquelas em que o ladrilho é um poligono regular. A figura abaixo
mostra uma pavimentação feita com o hexágono regular.




384
    É possível realizar uma pavimentação completa do plano utilizando apenas ladrilhos irregulares e
diferentes entre si.


                                                                                               389
       Com relação a esta pavimentação, observa-se que:

       •   O ladrilho desta pavimentação pavimenta e tem um grupo de simetria com
           12 elementos, ou seja, de ordem 12, e é designado como diedro d6;
       •   É uma pavimentação periódica, porque admite translações de simetria em
           duas direções diferentes;
       •   O grupo de simetria da pavimentação é o grupo p6m;
       •   Se forem unidos os centros dos hexágonos, obtém-se uma pavimentação
           regular triangular. O contrário também se verifica, ou seja, se forem unidos
           os centros dos triângulos, obtém-se uma pavimentação regular hexagonal.
           Deste modo, cada uma das pavimentações é dual da outra, uma vez que a
           pavimentação dual é aquela que se obtém unindo os centros dos ladrilhos da
           pavimentação.

      O hexágono, de todos os ladrilhos que cobrem a superfície, é o que possui o
menor perímetro.

        Além das pavimentações monoédricas, formadas por poligonos regulares,
existem também as pavimentações compostas por dois ou mais tipos de poligonos
regulares. São denominadas pavimentações arquimedianas ou semiregulares.
        Nelas, os vértices da pavimentação são todos do mesmo tipo. Por isso, elas são
descritas de acordo com o tipo de vértice. Isto significa que existem pavimentações
semiregulares compostas pelo mesmo tipo de polígonos, mas que não são idênticas.
        O matemático Ludwig Schläfli demonstrou que existem oito tipos de polígonos
semiregulares. Eles são designados pelo número e pela natureza dos polígonos que se
localizam em cada vértice.
        A figura abaixo mostra dois exemplos de pavimentação semiregular, com a
respectiva designação.




        Ambas são formadas por triângulos e quadrados, mas são diferentes entre si.
Para se identificar a diferença, tem que dar atenção à espécie e ao tipo de vértice. Neste
caso, os vértices das duas pavimentações são da mesma espécie: em todos eles há três
triângulos e dois quadrados. Mas o tipo de vértice já é diferente: na primeira figura o
vértice A é do tipo 3.3.4.3.4; o vértice B, da segunda figura, é do tipo 3.3.3.4.4.




                                                                                      390
        Os oito tipos de ladrilhos semiregulares e respectivas designações são vistos nas
figuras a seguir.




       Os vértices são todos do mesmo tipo, nas pavimentações regulares e
semiregulares. No entanto, existem pavimentações constituídas por poligonos regulares
cujos vértices são de tipos diferentes – são as chamadas pavimentações demiregulares.




        Na figura de pavimentação demiregular, o vértice A é do tipo 3.4.3.12; quanto
ao vértice B, é do tipo 3.12.12.




                                                                                     391
        12.3.1 – Pavimentações Especiais385

       Com relação à pavimentação do plano por figuras não-periódicas (ou a-
periódicas), acreditou-se por muito tempo que não existia tal tipo de forma.386
Entretanto, Robert Berger descobriu387 uma pavimentação não-periódica (ou seja, sem
simetria translacional) usando formas de dominós. Inicialmente, a pavimentação
continha 20.426 peças; depois, ele conseguiu baixar este número para 104 peças. Em
1971, Raphael Robinson baixou mais ainda este número, conseguindo realizar a
cobertura a-periódica do plano com apenas seis peças. Em 1973, Roger Penrose
descobriu outro conjunto a-periódico de seis azulejos.




        12.3.1.1 – Pavimentação de Penrose

       O próprio conjunto de Robinson, de seis azulejos, foi diminuído por Penrose, em
1974, para dois grupos de dois azulejos, conforme se pode ver na figura a seguir.




385
    Exemplos retirados do site: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm.
386
    O problema da existência ou não de ladrilhos não periódicos (ladrilhos que pavimentam o plano sem
gerar um padrão repetido), exige um bom conhecimento de geometria euclidiana, papel e lápis, pois o
mesmo não permite solução computacional.
387
    Uma das grandes polêmicas da filosofia da matemática é a que procura saber se os números (ou
formas, ou objetos matemáticos) existem por si só, e por isso são “descobertos”, ou se possuem uma
existência puramente mental, e por isso são “inventados”. Ela é uma continuação da polêmica filosófica
entre Platão e Aristóteles. Platão dizia que os números são “intermediários” entre as Idéias (as Formas) e
as coisas sensíveis (o plano da matéria, por assim dizer), e assim, existem por si mesmos. Sua doutrina é a
do realismo, que afirma que os números (formas, etc.) são “descobertos”. Para Aristóteles, que defende a
teoria nominalista, os números não existem por si mesmos, e devem ser “inventados” ou “criados” (e se
tornariam apenas “nomes” na mente). As correntes doutrinárias matemáticas modernas dividem-se entre
formalistas, intuicionistas e logicistas.


                                                                                                      392
        Os dois polígonos de Penrose388 são chamados de cometa e dardo, ou flecha (ou
seta) e papagaio (kites e darts).389 As duas formas são derivadas de um paralelogramo
com quatro lados iguais (rhombus).




        Nota-se nos ladrilhos de Penrose a presença da proporção áurea, que se dá
através dos triângulos áureos.

        A sua construção segue algumas regras. O comprimento f é o número de ouro,


                         .
         Ambos os ladrilhos devem ser construídos de acordo com as medidas
assinaladas nas figuras. A seta deve ter dois ângulos internos iguais a 36º, um ângulo
igual a 72º, e o outro igual a 216º (o menor ângulo é de 36º, e os outros são múltiplos de
36º).390
         Os lados posteriores da flecha devem ter comprimento 1,391 bem como a
distância do vértice que corresponde ao sentido da flecha ao vértice oposto; o papagaio

388
    Os polígonos foram denominados de ladrilhos de Penrose, e os conjuntos, de protoladrilhos de
Penrose.
389
    As denominações foram dadas por John Conway. Penrose projetou vários quebra-cabeças (circulares e
poligonais) usando este conceito de pavimentação, denominados Pentaplexity, Perplexing Pisces,
Perplexing Poultry e Cat Among the Pigeons. O objetivo dos jogos é cobrir completamente uma
superfície plana [Perplexing: desconcertante. Poutry, poultry ou poltery: indica ave doméstica, ou ave que
se cria para o consumo].
390
    O triângulo isósceles cujo ângulo oposto à base mede 36° e os ângulos da base medem 72° (o dobro do
ângulo oposto na base) possui uma razão áurea. O mesmo ocorre com o triângulo isósceles cujo ângulo
oposto à base mede 108°, e os da base medem 36°. Ambos são chamados de triângulos áureos.
391
    Nesses polígonos, os comprimentos de qualquer segmento de reta têm comprimento unitário ou
irracional.


                                                                                                     393
deve ter três ângulos internos iguais a 72º e um igual a 144º.
        Os lados do papagaio adjacentes ao ângulo de 144º terão comprimento 1. Os
outros terão comprimento f, bem como a distância do vértice cujo ângulo interno é de
144º em relação ao vértice oposto.
       Para encaixar os ladrilhos, os vértices são assinalados com as letras P e Q;
vértices P da seta só podem estar em contato com vértices P da seta ou papagaio, e
vértices Q da seta só podem tocar vértices Q da seta ou do papagaio, e vice-versa.

        Respeitadas estas regras (na construção dos ladrilhos e na construção da
pavimentação), consegue-se uma pavimentação como a que é mostrada na figura a
seguir.




       Na pavimentação de Penrose,392 nota-se que qualquer região finita está contida
no interior de uma outra região. Na verdade, é possível demonstrar que, dada uma
região qualquer de uma pavimentação de Penrose, existem regiões exatamente similares
em outras pavimentações de Penrose.393 Ou seja, cada porção finita de uma
pavimentação está contida infinitas vezes em cada uma das outras pavimentações
gerada a partir do mesmo conjunto.394

        Esta propriedade tem as seguintes consequências:

        •    Nenhum conjunto finito de ladrilhos determina o resto da pavimentação, ou
             seja, não existe um padrão.
        •    Não é possível, a partir de um conjunto finito de ladrilhos, dizer a que
             pavimentação o conjunto pertence.
        •    Só é possível distinguir as diferentes pavimentações no seu limite infinito.

392
    Em artigo atualmente deletado da Internet (A Razão Áurea nos Ladrilhos de Roger Penrose: A Sua
Desmistificação), seus autores (CAVALCANTI, BELLEMAIN e SOUZA) afirmam que “os direitos
intelectuais sobre estes ladrilhos pertencem a Roger Penrose, mas se contesta que ele tenha sido o
primeiro a estudar os mesmos. Sabe-se que ele não foi o primeiro a utilizá-los. Existem exemplos disso,
os arabescos, no Uzbequistão, de mais de quinhentos anos atrás (artigo publicado pelo físico Peter Lu, da
Universidade de Cambridge, EUA, na revista Science), um dos arcos do alojamento do Sultão da
Mesquita Verde da cidade de Bursa, na Turquia, datado de 1424 e arcada do templo de Darbi Imam em
Isfahan, Irã, construído em 1453, seguiam rigorosamente os padrões dos ladrilhos de Penrose”.
393
    Se uma região de Penrose puder corresponder a uma cidade, e uma pessoa que viva em uma cidade
circular de diâmetro D, com pavimentação de Penrose, é subitamente transportada para uma nova cidade
no plano dessa pavimentação, a distância que essa pessoa poderá estar de uma região que é uma cópia
exata da sua cidade original é dada por D[f 3/2] = D[(1 + √5)/2]3/2. Ou seja, a distância entre os
perímetros circulares destas duas regiões não é maior que Df 3/2. Isto significa que se a pessoa andar na
direção correta, não será necessário percorrer mais que Df 3/2 para se encontrar na sua cidade original.
394
    Este fenômeno, apesar de ser óbvio para pavimentações periódicas, é de se espantar que aconteça em
pavimentações não periódicas.


                                                                                                    394
        O matemático John Conway propôs uma alteração, de modo a obter um novo
efeito com esta pavimentação: marcar os ladrilhos com dois arcos de circunferência
tangentes, cada um em torno de vértices opostos cujos ângulos internos não têm igual
amplitude.395




        Cada arco de circunferência de um ladrilho deve se encaixar no arco de
circunferência do ladrilho adjacente, sendo que a correspondência pode-se dar pelos
dois lados do arco ou por um só.




       Penrose descobriu outros conjuntos de ladrilhos que pavimentam o plano por
uma pavimentação a-periódica.
       Com dois losangos, com um tendo como ângulos internos 108º e 72º e o outro,
ângulos internos 144º e 36º, e marcando-os como na figura, tem-se uma regra para a
construção da pavimentação.
       Com eles, podem ser construídas infinitas pavimentações a-periódicas.




395
   Desenham-se arcos circulares que cortam os lados e os eixos de simetria na razão áurea; em seguida,
juntam-se as arestas de modo a unir os arcos correspondentes.



                                                                                                 395
      Em 1984 as descobertas de Penrose mostraram-se úteis na Cristalografia,
quando foram descobertos os quase-cristais.
      Quase-cristais possuem simetria quase-quíntupla, e são observados na estrutura
molecular de certas ligas (alumínio-lítio-cobre – Al-Li-Cu).




        Eles não possuem a estrutura regular de um cristal, mas tem seus átomos
dispostos de maneira bastante ordenada, exibindo uma simetria local parecida com a
pavimentação de Penrose.
       De fato, verificou-se que existia uma semelhança entre quase-cristais em forma
de icosaedros e padrões em três dimensões da pavimentação de Penrose. Como isso
abria a possibilidade de se poder pavimentar o espaço de maneira não periódica, esta
descoberta abriu grandes expectativas para o estudo destes materiais.

           12.3.1.2 – Quase-Pavimentação com o Carpete de Apolônio




       No Carpete de Apolônio,396 os pontos que não estão em nenhuma circunferência
formam um conjunto de área nula (mais do que uma reta e menos do que uma
superfície). Esta figura normalmente (pelas definições anteriores) não pavimenta o
plano. Entretanto, como a porção de espaço que sobra é muito pequena, ela é
considerada uma quase-pavimentação.

           12.3.1.3 – Pavimentação de Harborth

      Este tipo de pavimentação procura responder à questão sobre a existência ou não
de conjuntos de mosaicos capazes de pavimentar o plano, de exatamente n modos.

396
      Vide Capítulo 7.


                                                                                 396
Harborth mostrou que, para construir dois mosaicos que pavimentem o plano de n
modos, usam-se losangos tais que 6n-7 deles, juntos, envolvam um ponto. Juntando-se
2n-2 losangos em torno de um ponto, obtém-se o mosaico complexo.
       Com estes dois tipos de mosaico, um losango e seis losangos colados entre si de
modo a que 17 deles se disponham em torno de um ponto, há quatro maneiras de
pavimentar um plano. Uma delas é a que está na figura.




       12.3.1.4 – Pavimentação com Hexágonos Regulares e Estrelas

        A partir de uma pavimentação do plano feita com hexágonos regulares,
separando-os um pouco e dividindo o espaço entre eles, consegue-se uma pavimentação
que é composta pelos hexágonos (regulares) e por estrelas.
       Este tipo de pavimentação (pode ser vista como uma pavimentação articulada),
também pode ser feita com os outros polígonos regulares que pavimentam o plano.




       12.3.1.5 – Pavimentação de Voderberg

      Voderberg descobriu esta pavimentação em 1936. Nela, dois mosaicos envolvem
completamente outros dois. Os mosaicos também se podem encaixar de modo a se obter
uma pavimentação em espiral, mas com dois centros.




      Após a descoberta desta pavimentação, foram encontradas muitas pavimentações
semelhantes, construindo espirais com 1, 2, 3 ou 6 centros.



                                                                                  397
        12.3.1.6 – Pavimentação por Poliominós Entrelaçados

        Como já se viu no Capítulo 1, um poliominó é composto por um conjunto de
quadrados ligado uns aos outros de modo tal que cada um tem que estar ligado a pelo
menos um dos restantes por uma das arestas.
        Como os poliominós são compostos por quadrados, é natural supor que estas
figuras pavimentem o plano. A dificuldade está em verificar se dentro de cada tipo de
poliominó, um determinado tipo de figura, sozinha (sem outros poliominós com o
mesmo número de quadrados) pavimenta o plano.
        As figuras a seguir mostram alguns exemplos que respondem esta pergunta.




        12.3.2 – Colorindo a Pavimentação

       De acordo com o teorema das quatro cores,397 uma pavimentação pode ser vista
como um tipo especial de mapa. Desta forma, é possível dizer que qualquer
pavimentação pode ser colorida com quatro cores de modo que os mosaicos que tenham
uma porção de fronteira comum não tenham a mesma cor. O próprio mosaico (junção
de quatro polígonos)398 pode ter quatro cores, de forma que a pavimentação completa
não tenha cores comuns adjacentes.




397
    O teorema pode ser expresso assim: “é possível dispor quatro mosaicos de modo a que cada um faça
fronteira com os outros três, mas não se pode dispor cinco mosaicos de modo a que cada um faça
fronteira com os outros quatro”.
398
    O mosaico, claro, não pode sofrer rotação.


                                                                                               398
       Cortado ao meio o polígono, formam-se dois outros polígonos que ser usados
para formar vários mosaicos diferentes, sem cores adjacentes.




      Os mosaicos (formados pela junção dos quatro polígonos) são formados à
medida que os polígonos sofrem rotações e/ou reflexões. A figura mostra alguns
exemplos de mosaicos formados (sem junção dos polígonos).399




        12.4 – Preenchimento do Espaço

       A forma mais econômica e sem desperdício de preenchimento do plano é dada
pela forma hexagonal. Igualmente, com relação à ocupação do espaço, a forma mais
econômica é dada pela forma hexagonal, que neste caso é representada pela forma
alveolar.
       A melhor representação de um grupo de objetos tridimensionais ocupando o
espaço é dada pelo favo de mel, criado pelas abelhas.




       Um favo é constituído por duas placas de alvéolos, separados por uma camada
de cera com pregas regulares, que forma o fundo comum das duas placas. O ponto em


399
   O uso das cores verde e amarela como cores centrais não é preferencial; o mosaico pode ter as quatro
cores distribuídas como se desejar. Entretanto, o uso de duas cores como cores centrais dos polígonos
leva a uma simplificação de combinações, que facilita a formação do mosaico.


                                                                                                  399
que três hexágonos se encontram, de um lado, é o centro de um hexágono do lado
oposto.
        Um alvéolo, então, é um tubo com seção hexagonal, o fuste, e uma base formada
por três losangos iguais.




       Em 1619, o matemático e astrônomo Johannes Kepler descobriu que a base de
um favo é a metade de um rombododecaedro, sendo que o rombododecaedro é um
corpo limitado por 12 losangos iguais, com 14 vértices. Em seis deles, quatro losangos
se encontram com seus ângulos agudos, e em cada um dos outro oito, três losangos com
os ângulos obtusos.
       Entre os poliedros capazes de preencher o espaço, o octaedro truncado é o que
possui a menor superfície dentro desse volume. Isto foi descoberto em 1887 pelo físico
inglês William Thonson, que também percebeu que este preenchimento melhora quando
se curvam um pouco as arestas e lados, de forma que o octaedro truncado se pareça com
uma esfera.

       12.4.1 – Envolvimento do Espaço

        A esfera é a forma sólida que encerra maior volume com menor superfície, e a
esfera oca é a forma capaz de encerrar maior volume de espaço, com a menor superfície
externa.
        Há duas formas geométricas utilizáveis, a semiesfera e a esfera completa.
        A semiesfera convexa que recobre a parte superior de um edifício é chamada
domo, e a sua parte inferior, côncava, é chamada cúpula ou abóbada.
        A esfera completa, ou superfície esférica, também é chamada de domo.

       Arquiteturalmente, a cúpula é um tipo particular de abóbada, construída sem
ângulos ou quinas, a qual permite ocupar enormes espaços em edifícios.
       Entre os edifícios mais famosos que possuem domos podem ser citados o
Panteão de Adriano, em Roma; a Igreja de Santa Sofia, em Constantinopla; a Igreja
Santa María del Fiore em Florença, na Itália; a Mesquita de Omar, em Jerusalém (com
o famoso Domo da Rocha).

        Os domos não são necessariamente semiesféricos; alguns possuem formato oval,
um elemento da arquitetura barroca criado por Giacomo da Vignola, no século XVI. A
figura seguinte ilustra o formato oval de domo.




                                                                                  400
       Um dos maiores avanços modernos neste campo foi a invenção do domo
geodésico por Buckminster Fuller, nos anos 1950.400 Sabendo que o triângulo pode
associar-se para constituir estruturas indeformáveis, Fuller concebeu um domo
triangulado (esfera completa). Nele, os elementos triangulares distribuem
uniformemente as forças envolvidas, permitindo a construção de estruturas estáveis de
enormes dimensões.




       Atualmente, o maior domo semiesférico do mundo é o Globo Arena, situado em
Estocolmo, e que foi terminado en 1989.




400
   O nome correto é domo geodésico, e não cúpula geodésica. “Cúpula” (ou “abóbada”) é o nome dado à
parte inferior e côncava do domo.


                                                                                              401
       Os domos geodésicos foram concebidos como estruturas de peças lineares,
barras e cabos, constituindo um esqueleto resistente. A função de vedação é feita por
capas de tecido plastificado ou por chapas de plástico apoiadas e ligadas à estrutura.
       Devido à facilidade de construção e sua praticidade, o domo é, atualmente,
extensamente usado nos meios militares, por exemplo, nos sistemas de radar e de
comunicação por satélites.




       12.5 – Geometria dos Padrões de Pelagens em Animais

        Um dos primeiros pesquisadores a aplicar a matemática ao estudo das formas
vivas foi o inglês D’Arcy Thompson, em um livro publicado em 1917.
        Na década de 1930, o também inglês Alan Turing, propôs um campo de estudos
que chamou de morfogênese, ou estudo da pelagem dos animais.
        Este estudo teve que esperar o advento dos computadores, o que aconteceu
quando o matemático James Murray, da Universidade de Oxford, desenvolveu um
processo em três passos capaz de incrementar o programa de Turing.
        O primeiro passo foi escrever as equações que descreviam os processos
químicos envolvidos na produção da coloração da pelagem de um animal. O segundo
passo foi escrever um programa de computador capaz de resolver as equações. Quanto
ao terceiro passo, materializou-se em um programa de computação gráfica capaz de
transformar os resultados das equações em figuras.
        Experimentando suas equações com diversos parâmetros, Murray descobriu que
existia uma relação entre a forma e o tamanho da área da pelagem na qual ocorrem os
processos químicos de formação de manchas, e o padrão da pelagem resultante. Regiões
de pelagem muito pequenas não levavam a qualquer tipo de padrão; regiões finas e
longas levam a listras perpendiculares ao comprimento da área; e regiões
aproximadamente quadradas com mais ou menos a mesma área geral, originam
pequenas manchas, cujo padrão depende das dimensões da região.
        Pela alteração de um único parâmetro das equações, Murray conseguiu mudar
uma cauda com manchas em uma cauda com listras, como se pode ver nas figuras a
seguir.




                                                                                  402
        12.6 – Grupo de Simetria

        Denomina-se grupo de simetria ao conjunto de todas as operações de simetria
que podem converter um objeto em outro, indistinguível do original. Grupo de simetria,
então, é o conjunto de todos os elementos de simetria que um determinado objeto
possui. Geralmente, as possíveis combinações de elementos de simetria e operações são
pequenas. Estas combinações são chamadas de grupos pontuais.401

        Grupos pontuais são classificados em dois grupos principais:

        •    Estruturas sem simetria de reflexão;
        •    Estruturas com simetria de reflexão.

        A estrutura sem simetria de reflexão é chamada de estrutura quiral.402 Esta pode
ser:

        •    Assimétrica: é a que não tem plano e nem eixo.
        •    Dissimétrica: sem plano, mas tendo eixo.

       Nenhuma estrutura quiral pode ter um plano de simetria. Se estiver ausente um
Cn (n > 1), faltam a esta estrutura todos os elementos de simetria, e ela é chamada
assimétrica (grupo pontual Ci).
       Se o objeto possui simetria axial (um ou mais Cn) ele pode ser dissimétrico, mas
não assimétrico. Os que possuem só um eixo de simetria constituem o grupo pontual.

        12.6.1 – Operações de Simetria403

        As operações de simetria podem ser simples ou combinadas (híbridas).
        Uma operação simples é uma operação única. Uma operação combinada é
aquela que possui as propriedades de duas ou mais operações simples.
        Existem quatro tipos de operações de simetria: reflexão; rotação; translação;
reflexão de escorregamento (ou inversão). Ou, considerando-se as operações e
elementos de simetria, existem, além das quatro anteriores, mais: rotoinversão e
rotoreflexão (ou rotação imprópria).404

401
    Um conjunto de operações de simetria não translacionais que leva a um padrão de repetição distinto é
denominado grupo pontual.
402
    Denomina-se quiralidade (do grego chier, mão) à propriedade exibida por um objeto qualquer de não
ser sobreponível à sua imagem no espelho.
403
    As transformações geométricas translação, rotação e simetria (axial e central) transformam polígonos
em polígonos congruentes (semelhantes entre si), ou seja, são transformações que conservam as
distâncias.
404
    Existem diversos elementos de simetria além do próprio eixo de simetria: plano de simetria; centro de
inversão; eixos de rotoinversão e de rotoreflexão; eixos de rototranslação; planos de transreflexão; além


                                                                                                    403
       Se um plano divide o objeto em duas metades simétricas, ele é chamado de
plano de simetria ( σ ). Este é um plano especular que passa através do objeto de modo
que a reflexão de cada ponto do objeto no plano forme um objeto indistinguível do
original. Podem existir vários planos de simetria.
       Um objeto e sua imagem refletida são ditos enantiomorfos.405 A imagem do
objeto (o objeto refletido) nem sempre pode ser superposta ao próprio objeto. Isso fica
evidente no caso de uma mão e sua imagem. A imagem de uma mão direita é uma mão
esquerda. E uma mão esquerda não pode ser superposta a uma mão direita.406




       Todos os objetos que vêm aos pares, como luvas e sapatos, por exemplo, são
enantiomorfos entre si.
       Dois objetos enantiomorfos podem, ou não, serem capazes de superposição.


da translação no espaço. Após o elemento identidade, apresentado por qualquer objeto ao ser girado de
2π radianos ao redor de qualquer eixo, o eixo de rotação binário é aquele exibido por uma amostra que
repete sua imagem inicial após uma rotação de π radianos.
405
    Do grego: enantios = opostos, e morfos = forma.
406
    A mão direita é a enantiomorfa da mão esquerda e vice-versa.


                                                                                                404
Uma esfera, por exemplo, pode ser superposta à sua imagem. O mesmo acontece com
um cubo. Mas, já se viu que isso não acontece com uma mão.
       Vale o mesmo, para um parafuso ou um saca-rolha. Para enfiar um parafuso
normal na madeira deve-se girá-lo no sentido horário. Já o parafuso enantiomorfo (e o
saca-rolha enantiomorfo), teria de ser girado no sentido anti-horário.




       Essa diferença causada pela operação de simetria só ocorre na reflexão. A
rotação, que se verá a seguir, não muda em absolutamente nada o objeto simétrico sobre
o qual opera.407

        A rotação é, igualmente, uma operação de simetria. É conhecida como simetria
cíclica ou simetria rotatória. Nessa operação, a forma, depois de percorrer 360º em
torno de um eixo, repete n vezes uma posição congruente no espaço.408 O valor angular
para haver a superposição é dado pela equação abaixo:

                 φ = 360º
                      n

sendo n a ordem do eixo.
        Na notação norte-americana, os eixos de rotação409 usam um índice pequeno, à
direita da letra A (de axis), e à sua esquerda, um número comum para indicar o número
de eixos de mesma ordem e de mesma espécie existentes em uma forma, como
coeficiente. O índice corresponde a n.
        Por exemplo, em uma simetria 3A2 , a forma tem três eixos binários de simetria.

       A rotação tanto pode ser para a direita (dextrógira) quanto para a esquerda
(levógira).410
       A rotação em torno do eixo Z, pelo ângulo φ, no plano XY, tem as seguintes
equações:
               x2 = x1 cosφ – y1 senφ
               y2 = x1 senφ + y1 cosφ

407
    As operações de simetria permitem distinguir um objeto simétrico de um outro, não simétrico. Se,
após uma operação, o objeto estiver em uma configuração indistinguível daquela que tinha antes (ou se a
forma final puder ser superposta à forma original), diz-se que ele é simétrico em relação a essa operação.
408
    Denomina-se operação identidade à rotação ou giro de 360º (ou, o que é o mesmo, de 0º, ou que seria
“não girar”).
409
    Na projeção estereográfica e no desenho geométrico, os eixos são representados por formas: uma
pequena elipse, para o eixo binário; um triângulo eqüilátero, para o ternário; um quadrado pequeno, para
o quaternário; um pequeno pentágono regular, para um quinário; um pequeno hexágono regular, para um
senário.
410
    Sob o ponto de vista da simetria, são a mesma operação.


                                                                                                     405
                 z2 = z1

       Para o caso de eixo de rotação imprópria, as repetições seguem a ordem direita,
esquerda, direita, esquerda, etc., gerando pares enantiomorfos.




       Uma operação de rotação implica na existência de um elemento de simetria, o
eixo de rotação.

        A simetria rotacional é muito encontrada na natureza.411 O floco de neve, por
exemplo, pode ser girado de 60, 120, 180, 240, 300 ou 360 graus em torno do seu eixo
central (eixo perpendicular ao plano), resultando configurações indistintas umas das
outras.412 Isto significa que o floco de neve possui simetria rotacional.




        A estrela mostrada na figura, por sua vez, ao receber uma rotação de 72 graus
(ou os seus múltiplos), ela permanece igual a si mesma.




       Nos exemplos do floco de neve e da estrela, o eixo de rotação é perpendicular ao
plano de cada figura, passando pelos seus centros geométricos.
       A operação de rotação sobre a estrela é de ordem 5. Mas a estrela tem mais cinco
eixos de rotação (além do eixo perpendicular ao plano).



411
   É comum encontrar objetos que possuem simetria de rotação e reflexão, ao mesmo tempo.
412
   A distância angular entre cada ponta do floco de neve é de 60º. Ou seja, um floco de neve é simétrico
por rotações de 60 graus em torno do seu centro.


                                                                                                   406
       Nesse caso, o eixo é de ordem 2. As rotações, portanto, são de 180º. A cada duas
rotações de ordem 2, a estrela volta à configuração original. O eixo de rotação pertence
ao plano da estrela e passa pela bissetriz de uma de suas pontas. Os outros quatro eixos
correspondem às outras quatro pontas.
       Já um floco de neve possui um eixo de rotação de ordem 6, perpendicular ao
plano da figura e passando por seu centro, e seis eixos de rotação de ordem 2.




       A translação é, igualmente, uma operação de simetria. A faixa abaixo tem
simetria de translação, porque se reproduz quando deslocada, de um valor fixo, para a
esquerda ou direita.




        Como uma operação de simetria (simetria de coincidência), é uma mudança
simples de posição de um módulo sobre uma curva, tanto reta quanto de qualquer outra
classe.
        Essa simetria possui os seguintes elementos: o comprimento de identidade
(comprimento de translação, ou período) e a repetição da forma. Um objeto com
simetria de translação, quando deslocado em uma certa direção, de um certo valor t, fica
exatamente como era antes. Isso, entretanto, só seria válido para um objeto infinito.
Assim, a simetria de translação é aproximada apenas em uma região limitada.

      Ela é uma das simetrias estruturais na maioria das formas naturais, e mesmo em
algumas artificiais.
      Se o módulo é simétrico intrinsecamente, a simetria implica em outra mais


                                                                                    407
elevada, bastando, para isso, realizar a translação em uma curva regular.
       A translação de um ponto no eixo X (ou paralelo a ele) tem as coordenadas das
novas posições dadas pelas equações:

               x2 = x1 + t
               y2 = y1
               z2 = z1

onde t é o período de translação.

      A figura abaixo é outro exemplo de simetria de translação (está indicado o
módulo de simetria).




       A operação de inversão (simetria por escorregamento) tem como elemento de
simetria um ponto chamado centro de inversão. Para qualquer ponto de um objeto com
simetria de inversão existe outro ponto do objeto situado à mesma distância do centro
de simetria (i), no lado oposto.




        São quatro as operações de simetria que geram repetições: rotação; reflexão;
rotoreflexão (centro de inversão); rotoinversão. Rotoreflexão e rotoinversão geram os
mesmos padrões de repetição, como se pode ver no quadro a seguir.




                                                                                 408
     A reflexão rotatória (ou rotoreflexão) são a combinação da rotação e da reflexão
em uma única operação. Existe um eixo de rotoreflexão para cada eixo de rotação
comum. A notação é:




                                            Rotoreflexão

        A inversão rotatória ou rotoinversão é uma operação combinada.413 Ela consiste
de uma rotação própria mais uma inversão. O eixo de inversão rotatória é um elemento
composto que combina a rotação em torno de um eixo com a inversão em torno de um
centro. A notação é:                 , para os eixos de rotoinversão.
        O eixo de rotoinversão é o elemento de simetria combinado que opera de modo
cíclico. Em cada etapa do ciclo executa-se a operação de rotação em torno de um eixo,
de modo semelhante ao eixo de rotação, obtendo-se um ponto intermediário de


413
   A operação de rotoreflexão (ou rotação-reflexão – Sn) envolve duas manipulações: a rotação de 360º/n
sobre um eixo designado Sn; a reflexão por um plano perpendicular ao eixo Sn que atravessa o objeto
(plano de simetria). Estas operações separadas, Cn e s, sua combinação resulta em uma operação distinta.


                                                                                                   409
construção. Em seguida, o ponto intermediário é refletido através de um ponto central,
obtendo-se um ponto definitivo.
       A operação é repetida sobre o ponto definitivo até completar o ciclo, quando se
obtém novamente o ponto inicial.




                                       Rotação própria e inversão

        12.6.2 – Grupos de Simetria no Plano. Isometrias

       Os padrões definidos por operações de simetria ou transformações
isométricas414 – translação, rotação, reflexão e composição – são classificados como
grupos de simetria no plano.

       Uma isometria é a transformação geométrica T em R2 que verifica a seguinte
condição:

        Se T(A) = A’ e T(B) = B’ , então dist(A,B) = dist(A’,B’)

        Uma isometria fica determinada se são conhecidas as imagens (por meio de T)
de três pontos não colineares.
        Dados dois segmentos AB e A’B’, existe uma (e só uma) isometria direta Td que
transforma AB em A’B’ e uma (e só uma) isometria inversa Ti que transforma A’B’ em
AB. Assim, tem-se Ti = STd, em que S é a reflexão de eixo A’B’.
        As transformações isométricas admitem as operação algébricas clássicas, de
adição e multiplicação (adição de rotações, multiplicação de reflexões, etc.).
        O produto ST de duas reflexões é: identidade, se S = T; uma translação, se S e T
tem eixos paralelos não coincidentes; uma rotação, se S e T tem eixos não paralelos.
        Se S e T são duas reflexões distintas de eixos paralelos s e t, o produto ST é uma
translação definida por um segmento orientado com as características de: direção,
perpendicular às retas s e t; sentido, de t para s; comprimento, igual ao dobro da
distância entre s e t.
        Se S e T são duas reflexões de eixos não paralelos s e t, o produto ST é uma
rotação415 cujo centro é a interseção de s com t; e o ângulo tem sentido, de t para s e

414
    As transformações isométricas produzem figuras congruentes; quanto às dilatações, produzem figuras
similares.
415
    Se o grupo isotópico é uma rotação, o grupo de simetria é chamado Cn, sendo n a ordem da rotação.


                                                                                                 410
amplitude igual ao dobro da amplitude do ângulo entre os eixos s e t.

       O produto de três reflexões cujos eixos são concorrentes em um ponto, ou
paralelos entre si, é uma reflexão.
       O produto de três reflexões distintas cujos eixos não são concorrentes em um
ponto, nem paralelos entre si, é uma reflexão deslizante.

           12.7 – Transformações de Simetria no Plano416

        A simetria, sob o ponto de vista das transformações no plano, pode ser: simetria
axial; simetria central; homotetia.

           12.7.1 – Simetria Axial

       Considerando-se uma reta r e dois ponto M e M’, diz-se que a reta é denominada
eixo de simetria dos pontos quando eles estão eqüidistantes dela, em lados opostos.
Todo ponto do eixo de simetria é simétrico de si mesmo.

       A transformação no plano que a cada ponto faz corresponder o seu simétrico, em
relação à reta, é denominada simetria axial.

       A simetria axial é também chamada de inversão (ou de reflexão). A inversão
possui um ponto imaginário a partir do qual, em qualquer sentido de uma mesma
direção, encontram-se elementos iguais, constitutivos da forma. O ponto imaginário é o
centro de simetria.

           12.7.2 – Simetria Central

      Dois pontos, M e M’, são simétricos entre si em relação a um ponto fixo O
quando este ponto é o ponto médio do segmento MM’.
      O ponto O é denominado centro de simetria, e é simétrico de si mesmo.

       Em um plano, dois pontos M e M’ tem somente um centro de simetria, que é o
ponto médio do segmento MM’.

      A transformação no plano que a cada ponto M faz corresponder o seu simétrico
M’ (em relação a um centro fixo O), é denominada simetria central.417

       Um tipo de simetria central e á simetria de reflexão. Esta é a simetria bilateral
que se obtém quando se coloca um espelho diante de um objeto, e se considera a sua
forma e a sua imagem.
       O objeto que possui simetria de reflexão tem um plano imaginário que o divide
em duas partes idênticas, de natureza especular (enantiomorfas).

      A simetria axial (ou equilíbrio axial) é um caso especial da simetria de reflexão.
      Se a figura é plana ou pertence ao espaço bidimensional, então a interseção de
um plano com o outro dá uma reta, ou um eixo de simetria planar, com as mesmas


416
      Este tema repete, com outras considerações, o item anterior (Operações de Simetria).
417
      A simetria central é uma rotação especial (R180º) em torno do centro O.


                                                                                             411
propriedades do plano no espaço tridimensional.

        12.7.3 – Similitude Central ou Homotetia do Plano

       Um ponto M’ de um plano diz-se transformado homotético de um ponto M em
relação a um centro O e a um número real418 k se existirem as seguintes condições:

        •   o ponto M’ pertence à reta OM’;
        •   existe um número real k tal que OM’ = |k|.OM;
        •   se k > 0, o ponto O é exterior ao segmento MM’, e se k < 0, o ponto O é
            interior ao segmento MM’.

         O ponto O é chamado centro da similitude ou centro da homotetia, e o número
real k, coeficiente da similitude ou coeficiente da homotetia.

       Desta forma, similitude central ou homotetia do plano é a transformação na qual
qualquer ponto M de um plano é transformado em um ponto M’, homotético de M em
relação ao um centro O e a um número real k (que é constante para todos os pontos).

       A operação composição de duas transformações homotéticas sucessivas de
mesmo centro O e de coeficientes k1 e k2 é, igualmente, uma transformação homotética
de centro O e coeficientes k = k1 . k2.

       A homotetia permite reduzir ou ampliar figuras geométricas, mantendo as suas
proporções. Assim, as figuras geométricas que se correspondem numa homotetia são
semelhantes. São preservadas tanto as proporcionalidades entre segmentos
correspondentes quanto a congruência entre ângulos correspondentes.419
       Assim, a homotetia transforma polígonos em polígonos semelhantes.

       A homotetia do plano é também conhecida como dilatação ou simetria
homeomórfica. É uma simetria estrutural e simples. Nela, como se viu, os tamanhos são
semelhantes entre si, variando conforme uma lei de dilatação determinada. A dilatação
amplia a forma, sem modificar as suas proporções e relações angulares.420

        12.7.3.1 – Tipos de Homotetia (ou de Dilatação)

        Dilatação deslizante: é a operação de combinação da dilatação e da translação.
Essa é uma simetria típica dos processos de crescimento. A figura abaixo é um exemplo
desse tipo de simetria.




418
    Número real é qualquer número contido no conjunto dos números racionais e irracionais.
419
    A homotetia possui a propriedade da invariância com relação às proporções, ou seja, é uma
transformação que conserva as proporções.
420
    A dilatação nem sempre é considerada uma simetria, porque não é uma transformação linear e não
conserva as distâncias.


                                                                                             412
       As coordenadas para um ponto que sofra essa operação de simetria são as
seguintes:

                    x2 = k (x1 + x0)
                    y2 = k (y1 + y0)
                    z2 = k (z1 + z0)

sendo que k é a constante escalar que indica o processo dilatatório.

       Dilatação rotatória: é a operação de simetria que combina a dilatação e a
rotação. As novas coordenadas de um ponto em uma operação desse tipo, no plano XY,
são dadas pelas equações:

                    x2 = k (x1 cos φ – y1 sen φ)
                    y2 = k (x1 sen φ + y1 cos φ)
                    z2 = z1

sendo k uma constante escalar que indica a dilatação.

        Reflexão dilatatória: é a operação de simetria que combina a reflexão e a
dilatação. A figura formada por esta simetria é um enantiomorfo dilatado do original.

       Para o ponto operado por esta simetria, tem-se as seguintes equações para as
novas coordenadas:

                    x2 = k (x1 cos φ + y1 sen φ)
                    y2 = k (x1 sen φ – y1 cos φ)
                    z2 = z1

em que k é a constante escalar que dá a dilatação.

       Reflexão dilatatória deslizante (THS, ou Gleistreckspiegelung): é a operação de
simetria que combina a reflexão, a dilatação e a translação.421

       As equações dessa simetria, para um THS paralelo à reta y = x . tg (φ/2) e no
plano XY, com uma translação igual a √(xo2 + yo2) são:
             x2 = k (x1 cos φ + y1 sen φ + xo)
             y2 = k (x1 sen φ – y1 cos φ + yo) , [com yo = xo . tg (φ/2)
             z2 = z1

           Rotação deslizante dilatatória: é a operação de simetria que combina a rotação,

421
      A curva helicóide é um exemplo dessa simetria.


                                                                                      413
a translação e a dilatação.422

       Para o ponto operado por esta simetria, tem-se as seguintes equações para as
novas coordenadas:

                x2 = k (x1 + xo /2)
                y2 = – k.y1
                z2 = – k.z1

sendo k a constante escalar que indica a dilatação.
       Mas se o ângulo for igual a 2π e com uma translação de k.xo , as coordenadas
serão dadas por:

                x2 = k (x1 + xo φ/2 π)
                y2 = k (y1 cos φ – z1 sen φ)
                z2 = k (z1 cos φ + y1 sen φ)

        Reflexão rotatória dilatatória: é a operação de simetria que combina a reflexão,
a rotação e a dilatação.

       As transformações de coordenadas para um ponto sobre o qual seja aplicada esta
simetria, com rotação ao redor do eixo X, de um ângulo φ e espelhamento no plano YZ
são:

                x2 = – k.x1
                y2 = k (y1 cos φ – z1 sen φ)
                z2 = k (y1 sen φ + z1 cos φ)

        As propriedades de k são as mesmas anteriores.

        12.7.4 – Grupo das Translações

        Transformação geométrica plana, ou translação no plano é uma aplicação que
faz corresponder a um ponto M um outro ponto M’.423
        A operação de translação é denotada por Ta, sendo que a é a medida algébrica do
segmento MM’. O ponto M’ é dito transformado de M pela translação Ta.
        A translação de figuras planas é realizada traçando segmentos eqüipolentes a um
segmento orientado dado, a partir dos vértices da figura a ser transformada.

       A um ponto M (x, y) ou a um vetor V (x, y) associa-se uma matriz linha [x y]
chamada matriz de coordenadas. A transformação projetiva faz corresponder a uma
matriz de coordenadas homogêneas de um ponto M, uma matriz de coordenadas do
ponto transformado M’.

       O Sistema Matemático constituído pelo conjunto de translações no plano e pela
operação adição de translações possui a estrutura de grupo comutativo, pois valem para

422
   As carapaças dos caracóis são exemplos deste tipo de simetria.
423
   As transformações chamadas projetivas conservam a propriedade de linha reta, e por isto são muito
usadas na computação gráfica. Também a classe das transformações afins nas transformações projetivas
tem papel relevante na computação gráfica.


                                                                                               414
ele todas as propriedades definidas.

       12.7.5 – Grupo das Rotações

       Quando se associa a um arco MM’ um sentido de percurso, diz-se que ele está
orientado. A orientação pode ser no sentido positivo (anti-horário) ou negativo
(horário).
       A rotação de centro O e amplitude w é a transformação que faz corresponder a
qualquer ponto M do plano um ponto M’, tal que:

       OM       OM’     e    m(MM’) = w

       A operação de rotação é denotada por Rw, sendo que w é a medida em graus da
rotação. O ponto M’ é dito transformado de M pela rotação Rw.

        A rotação de centro O e amplitude w de uma figura plana transforma cada
vértice A, B e C (ou mais pontos) nos vértices respectivos A’, B’ e C’.

       O Sistema Matemático constituído pelo conjunto de rotações no plano e pela
operação adição de rotações também possui a estrutura de grupo comutativo.

       12.7.5.1 – Rotação Deslizante

         Esta operação é também conhecida como translato-rotação. É a combinação das
operações de translação e rotação. O operador é um eixo polarizado ou em parafuso
(hélice). A notação norte-americana é um número maior indicando o eixo de rotação, e
um número menor indicando a sua polarização. Por exemplo: 21, 31, 32, 41, 42, 43, 51, 52,
53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, etc.




                       Ação de dois eixos polarizados de simetria

       Os eixos 41 e 43 são enantiomorfos, assim como o 31 e o 32, e o 61 com o 65.




                                                                                      415
                          Enantiomorfia de eixos polarizados

        A notação na projeção estereográfica é mostrada abaixo, relativa aos eixos 2, 3,
4 e 6, que são os mais comuns.




                                                                                    416
                                               Capítulo XIII

                                   Elementos de Cristalografia 424

        13.1 – Cristais

        Cristal425 é todo corpo que, em uma mudança de fase, e devido às forças
interatômicas, adquire uma ordenação estrutural de seus elementos químicos,
manifestando uma forma exterior poliédrica. Apresentam ângulos planos, diedros e
sólidos.426

        As faces do cristal são os planos que delimitam o poliedro, e as arestas são as
linhas formadas oela intersecção das faces.
        De um modo geral, os cristais apresentam todos os elementos de simetria já
vistos até agora.

        13.1.1 – Cristais Simétricos e Assimétricos

      O cristal deve sua forma regular a um arranjo bem ordenado de seus átomos e
moléculas.




       No cristal, os átomos se organizam de modo a ocupar os vértices de sua estrutura
cúbica, que é uma estrutura de grande simetria. Essa estrutura, e a sua imagem em
espelho (especular), podem ser inteiramente superpostas. Os enantiomorfos, nesse caso,
são idênticos.
       Existem, entretanto, cristais cujas estruturas cristalinas internas não são
exatamente idênticas a seus enantiomorfos. O exemplo mais comum é o quartzo.

      A figura abaixo mostra dois cristais cujos arranjos internos de átomos são a
imagem um do outro.




424
    Veja-se: http://www.biocristalografia.df.ibilce.unesp.br/valmir/cursos/. Os conceitos e definições aqui
abordados pretendem dar uma idéia da geometria dos cristais, e não o conhecimento geológico e
mineralógico envolvido.
425
    Do grego cristalós, gelo.
426
    Por serem poliedros convexos, os cristais obedecem à relação de Euler.


                                                                                                      417
        Por fora, naturalmente, não dá para saber porque os cristais são idênticos.
Entretanto, e ainda que os arranjos atômicos internos não possam ser vistos, eles
realmente não podem ser superpostos.
        Isso levou ao problema de como distinguir um cristal de quartzo de seu
enantiomorfo.
        O físico francês Francois Arago descobriu, em 1911, que um feixe de luz que
passa através do quartzo tem a sua direção de polarização girada, ou para a direita, ou
para a esquerda. Desse modo se tornava possível, observando esse feixe de luz,
distinguir entre os dois enantiomorfos. O que gira a polarização para a direita é
chamado de tipo D (dextro, ou dextrógiro) e o que gira para a esquerda é do tipo L
(levo, ou levógiro). O quartzo, por ter essa propriedade, é denominado opticamente
ativo.




        Diz-se que este tipo de cristal tem quiralidade. Um objeto quiral tem então duas
estruturas possíveis, uma sendo o reflexo da outra, e girando a polarização da luz em
sentidos opostos.

        13.1.2 – Simetrias no Cristal

      Ao se estudar os cristais,427 percebeu-se que aqueles que se apresentavam
morfologicamente distintos possuíam um mesmo conjunto de operações de simetria.428
Os que apresentavam as mesmas operações de simetria foram classificados em classes.

427
   Estudos estes iniciados por Johann Hessel, em 1830.
428
   Operações de simetria como eixos de rotação (2, 3, 4, 6), planos de reflexão, centros de inversão e
eixos de rotação inversão.


                                                                                                 418
Conforme as características translacionais dos cristais, há 32 grupos pontuais ou classes
de cristais. Os grupos envolvem sete tipos diferentes de simetria de rede,
compreendendo sete sistemas cristalinos (veja-se à frente, os sistemas cristalinos).

       Há 14 maneiras diferentes de arranjar os pontos de rede.429 São as chamadas
Redes de Bravais.430




       Um exemplo de grupo pontual pode ser conseguido pela combinação de uma
rotação própria com um plano de reflexão, ou seja, com um espelho perpendicular ao

429
    São denominadas redes de Bravais, em homenagem a August Bravais, que as descobriu no século XIX
[P = primitivo ou simples; C = centrado nas faces ab; f = centrado no corpo; F = centrado nas faces].
430
    Com as combinações de todas as operações de simetria, incluindo-se as que envolvem translações,
mais as redes de Bravais, alcança-se um total de 230 grupos espaciais possíveis.


                                                                                                419
eixo de rotação). Os grupos são simbolizados pela notação 1/m, 2/m, 3/m, 4/m, 6/m.431
Entretanto, acrescentam apenas três novos grupos, porque




        No estudo dos cristais há que se distinguir dois tipos de simetria:
a simetria externa, ou simetria geométrica; a simetria interna, ou simetria física.
        Denomina-se singonia é a simetria encarada do ponto de vista exclusivamente
geométrico.432
        Simetria física é aquela que, além do aspecto geométrico, leva em conta as
particularidades físicas de cada face.

       Classe de Simetria: é o conjunto de elementos de simetria compatíveis de
coexistir; uma classe engloba (possui) muitas outras formas cristalinas.
       Uma classe de simetria é denominada holoédrica ou holossimétrica quando
possui a simetria máxima do sistema ao qual pertence. Uma classe é hemidiédrica ou
semi-simétrica quando não possui a simetria máxima do sistema a que pertence.
       Uma forma holoédrica é aquela que pertence a uma classe holoédrica. A forma
hemiédrica é aquela que não pertence a uma classe holoédrica, porque pertence a uma
hemiédrica.

        Grau de simetria: é a simetria completa de uma forma cristalina; o grau é tanto
maior quanto maior for o número de elementos de simetria de um cristal. O cubo, por
exemplo, tem grau de simetria igual a 3A4 4A3 6A’2 C 3P 6P’ , e o paralelepípedo
simples tem grau A2 A’2 A”2 C P P’ P”.
        Também um cubo de fluorita (CaF2) da classe da fluorita (3E4 4E3 6E2 C 3P 6P)
é geometricamente semelhante a um cubo de pirita (FeS2), que apresenta a simetria 3E2
4E3 C 3P, da classe da pirita.
        É que o cubo de pirita apresenta estrias em três direções diferentes. Com isto, os
eixos quaternários característicos do cubo desaparecem, surgindo eixos binários. Os
planos diagonais deixam de ser planos de simetria, mas os planos que contém os eixos
X, Y e Z continuam planos de simetria.
        Os eixos ternários permanecem, mas desaparecem os eixos binários centro-de-

431
    Os livros-texto sobre simetria costumam usar a notação de Schoenflies (Cn, Sn, etc.); mas em
cristalografia, é mais comum usar a notação de Hermann-Mauguin (m, mm2, etc).
432
    Muitos autores costumam substituir a palavra sistema por singonia. Ao invés de dizer "sistema cúbico"
ou "sistema tetragonal" falam em "singonia cúbica" ou "singonia tetragonal".


                                                                                                    420
aresta – centro-de-aresta

       Zona cristalográfica: é uma região de duas ou mais faces paralelas a uma
direção.

       Simetria física: é a que leva em conta as particularidades físicas do cristal. Por
exemplo, a pirita (FeS2) tem a singonia de um cubo, mas devido à estriação triglifa,433 só
possui simetria igual a 3A2 4A3 C 3P.

       Sistema cristalino: é um conjunto de formas que possuem alguns eixos de
simetria comuns entre si, derivadas uma das outras por modificações na simetria. Um
sistema apresenta várias classes de simetria.434

        Os sistemas cristalinos servem de base para a principal classificação dos cristais.
Os sistemas cristalinos (ou cristalográficos) são: cúbico; tetragonal; hexagonal; trigonal;
rômbico; monoclínico; triclínico.
        Uma outra classificação é a seguinte:

       Isométrico: possui três eixos iguais perpendiculares entre si.
       Tetragonal: possui três eixos perpendiculares entre si, sendo que dois são iguais
em comprimento, e o terceiro é maior ou menor que os outros.
       Ortorrômbico: possui três eixos perpendiculares entre si, todos de comprimentos
diferentes.
       Hexagonal: possui quatro eixos, sendo três no mesmo plano, de igual
comprimento e formando ângulos iguais um com o outro, e um eixo perpendicular ao
plano contendo os outros três eixos e passando pelo seu ponto de intersecção.
       Monoclínico: possui três eixos desiguais em comprimento, sendo um inclinado
ao plano contendo os outros dois, que fazem ângulos retos entre si.
       Triclínico: possui três eixos desiguais, cada um inclinado ao plano contendo os
outros dois.

        O sistema isométrico é também chamado de sistema cúbico. Os três eixos do
sistema são iguais em comprimento, e formam eixos retos entre si. O eixo que ocupa a
prosição vertical é chamado de eixo principal, e os outros, eixos laterais. Girando o
cubo em torno de qualquer destes três eixos, ele irá ocupar, em uma volta inteira, quatro
posições nas quais o sólido apresenta a mesma forma. Com quatro eixos de simetria
trigonal, ao girar o cristal em torno de um deles, a forma se repete três vezes em uma
volta inteira. O cubo pode ter também seis eixos de simetria binária.




433
      Que possui três sulcos ou estrias em três direções diferentes.
434
      Há sete sistemas cristalinos tridimensionais, mas somente quatro em sistemas bidimensionais.


                                                                                                     421
       Entre os cristais isométricos, existem: octaedro; dodecaedro; tetraexaedro;
trapezoedro (com 24 faces iguais, também chamado de trisoctaedro-tetragonal);
hexoctaedro (com 48 faces). A figura mostra exemplos de octaedro e dodecaedro.




        O sistema tetragonal é constituído por: prisma unidade; prisma diametral;
dipirâmide435 unidade (ou pirâmide de primeira ordem), dipirâmide diametral (ou
pirâmide de segunda ordem). Neste sistema são encontradas formas análogas ao
tetraedro do sistema isométrico.

       No sistema tetragonal é encontrado um eixo de simetria tetragonal que coincide
com o eixo vertical cristalográfico. Tem quatro eixos de simetria binária, que são
horizontais, e os outros bissectam os ângulos entre os dois primeiros. Existe um plano
principal de simetria: é o plano que contém os eixos cristalográficos horizontais. Há
quatro planos de simetria verticais, os quais incluem o eixo vertical e um dos quatro
eixos antes mencionados.

        O sistema ortorrômbico possui eixos desiguais, que se intersectam em ângulos
retos. Suas formas características são o prisma rômbico e a pirâmide.

       O sistema hexagonal possui duas formas principais: dois prismas de seis faces,
duas duplas-pirâmides de seis faces, um prisma de doze faces e uma dupla-pirâmide de
doze faces.

       O sistema monoclínico abrange todas as formas que possam ser referidas a três
eixos desiguais, tendo um inclinado ao plano que contém os outros dois.

        O sistema triclínico possui três eixos desiguais em comprimento e inclinados
entre si, de modo que não há um eixo perpendicular a um plano contendo os outros dois.
Não existem planos de simetria.
                                            *

        Nas formas cristalinas simples existem as formas abertas e as formas fechadas.
Uma forma aberta é aquela que não delimita completamente o espaço, e por essa razão,
não pode existir isoladamente.
        Exemplos de formas abertas:
        Pédio (monoedro): é uma face sem correspondente, sem repetição pela simetria
do cristal.


435
      Ou: bipirâmide.


                                                                                  422
       Doma: é a forma aberta composta de um conjunto de duas faces não paralelas e
simétricas por um plano.
       Esfenóide: é a forma aberta de duas faces não paralelas e simétricas por um eixo
binário.




        Pinacóide: é a forma aberta constituída por duas faces paralelas,
interdependentes pela simetria.
        Prisma: é a forma aberta constituída por um conjunto de três ou mais faces
paralelas em uma direção e interdependentes pela simetria; suas faces estão em zona.436
        Uma forma fechada é aquela que delimita completamente o espaço.
        Exemplos de formas fechadas:
        Sistema cúbico: as formas do sistema cúbico, devido à alta simetria, são todas
formas fechadas, e são: hexaoctaedro (48 faces); tetra-hexaedro ou cubo piramidado (24
faces); icositetraedro trapezoidal (24 faces); diploedro (24 faces); rombododecaedro (12
faces); deltoidedodecaedro (12 faces); octaedro regular (8 faces); hexaedro regular ou
cubo (6 faces).
        Bipirâmides: são formas fechadas constituídas por duas pirâmides unidas pela
base e interdependentes pela simetria. Geralmente apresentam um plano principal de
simetria. Podem ser: trigonais; ditrigonais; rômbicas; hexagonais; di-hexagonais;
tetragonais.
        Trapezoedros: são formas fechadas cujas faces são trapezóides, alternando-se as
sueriores com as inferiores, e onde as arestas equatoriais são, alternadamente, maiores e
menores. Nos sistemas onde existem definem as classes trapezoidais. Existem no
sistema tetragonal, no sistema hexagonal e no sistema trigonal.
        Escalenoedros: são formas fechadas que possuem faces triangulares
escalenoédricas, formando pares simétricos, alternando-se as superiores com as
inferiores. As arestas formam uma seqüência alternada, de igual tamanho.
        Romboedro: é uma forma fechada constituída por seis faces losangulares iguais,
alternando-se as superiores com as inferiores. Só existem romboedros no sistema
trigonal.
        Biesfenóide ou cunha: é a forma fechada constituída por dois esfenóides
interdependentes pela simetria. Existem biesfenóides tetragonais e rômbicos.
        Existem também as chamadas formas combinadas, que são aquelas em que há
mais de uma forma simples. Por exemplo, a união de um sistema prisma-pirâmide.




436
   Os prismas podem ser: rômbicos, trigonais, ditrigonais, tetragonais, ditetragonais, hexagonais e di-
hexagonais.


                                                                                                  423
       13.1.3 – Grupamentos Regulares de Cristais

        Os grupamentos em que as faces homólogas dos cristais apresentam-se paralelas
são denominados paralelos. Eles possuem, muitas vezes, simetria de translação ou de
translação-dilatação.
        As figuras a seguir ilustram exemplos de crescimentos paralelos no octaedro e
na hematita.




        O agrupamento de dois ou mais cristais conforme planos reticulares bem
definidos é chamado macla, ou geminação. O artifício geométrico que se usa para
definir a posição relativa dos dois cristais é chamado lei de macla.
        As maclas se classificam em maclas de justaposição ou contato e maclas de
interpenetração. As primeiras são aquelas em que há apenas o encontro de um cristal
com outro. As segundas são aquelas em que os dois cristais são intercrescidos.
        Uma macla é chamada complementar quando os dois cristais que estão
mesclados são hemiédricos e, juntos, dão à macla a simetria da classe holoédrica do
sistema a que pertencem.
        Uma macla é chamada mimética quando dois ou mais cristais se mesclam, dando
ao conjunto uma simetria de um sistema ao qual não pertencem.
        A macla é simples quando é formada por somente dois cristais.
        A macla é múltipla quando há mais de dois indivíduos cristalizados. Nesta, se os
planos são paralelos, tem-se as maclas polissintéticas. Se os planos de macla não são
paralelos, tem-se as maclas cíclicas.


                                                                                    424
                                              Capítulo XIV

                      Computação Gráfica. Hardware e Software


        14.1 – Hardware

        14.1.1 – Tecnologia de Imagem e Cores 2D e 3D

       Pixel (Picture element – elemento de imagem, sendo pix a abreviatura em inglês
para picture): é o menor elemento em um equipamento de exibição de imagens
coloridas, ao qual é possivel atribuir-se uma cor437
       Em um monitor colorido, cada pixel é formado por um conjunto de três cores:
verde, vermelho e azul.438




        A tecnologia moderna, e principalmente a tecnologia eletrônica possibilitaram
criar uma quantidade de cores que antigamente seria inimaginável. Por exemplo, a
tecnologia dos TRC439 e das modernas telas de LCD ou plasma, usadas em monitores de
computadores e aparelhos de televisão comercial, permitem uma imensa gama de cores,
a partir dessas três cores primárias.
        Em geral, cada um dos pixels é capaz de exibir no mínimo 256 tonalidades
diferentes (o equivalente a 8 bits); combinando tonalidades dos três pontos é possível
exibir cerca de 16,7 milhões de cores diferentes.
        A quantidade de cores que pode ser exibida depende da capacidade de
processamento envolvida, bem como da quantidade de bits.440 A tabela seguinte mostra
a quantidade de cores para 8, 16, 18 e 24 bits:

                             Número de bits     Quantidade de cores
                                  8                   256
                                  16                 65536
                                  18                262144
                                  24               16777216

        A qualidade final da imagem depende de outro parâmetro, chamado resolução
(ou definição) de imagem. A resolução é a quantidade de pixels totais produzidos sobre
a tela. As resoluções mais comuns são: 640x480, 800x600, 1024x768, 1280x1024 e


437
    De uma forma mais simples, um pixel é a menor unidade de imagem, ou seja, é o menor ponto que
forma uma imagem digital, sendo que o conjunto de milhares de pixels formam uma imagem inteira.
438
    A imagem em preto e branco (B&W – Black and White) geralmente mostra 256 tons de cinza,
variando entre o preto e o branco.
439
    TRC: tubo de raios catódicos. É também conhecido como cinescópio ou tubo de televisão.
440
    Todos os modernos monitores de imagem são capazes de exibir até 16,7 milhões de cores em suas
telas (ou ecrãs).


                                                                                            425
1600x1200.441 (sempre em telas retangulares). Caso a resolução seja, por exemplo,
800x600, significa que a tela possui 800 pixels na vertical e 600 na horizontal. Quanto
maior for a resolução, maior será o espaço visível na tela, pois o tamanho dos pontos
diminui.
        Em uma resolução de 640x480 há 307,2 mil pixels; de 800x600, tem-se 480 mil
pixels; de 1024x768, tem-se 786,432 mil pixels.

      Cada ponto no monitor é denominado Dot Pitch; ele pode representar somente
uma cor a cada instante. Cada conjunto de três pontos, sendo um vermelho, um verde e
um azul, é denominado tríade. O Dot Pitch é, basicamente, a distância entre dois pontos
da mesma cor. Quanto menor esta distância, melhor a imagem.




                          Formatos ou padrões atuais de vídeo digital:

                          DVD NTSC: 720 x 480 pixels
                          DVD PAL: 720 x 576 pixels
                          HDTV 720p: 1280 x 720 pixels
                          HDTV 1080p: 1920 x 1080 pixels
                          Digital Cinema 2K: 2048 x 1080 pixels
                          Digital Cinema 4K: 4096 x 2160 pixels
                          UHD: 7680 x 4320 pixels

       Voxel: representa uma evolução sobre o conceito de pixel. Ao contrário deste,
que se resume a um ponto, cada voxel é capaz de projetar vários feixes de luz em
diferentes cores e intensidades, de um modo simultâneo, sendo por essa razão capaz de
construir uma imagem que se pode ver em diferentes perspectivas, o que dá uma ilusão
tridimensional.
       O voxel é um elemento de volume capaz de representar um valor contido em
uma tri-grade regular no espaço em três dimensões (célula cúbica ou volumétrica). Os
voxels podem conter múltiplos valores escalares e vetoriais. Um conjunto de voxels tem
uma resolução limitada, sendo que os dados mais precisos estão no centro da célula
volumétrica. Uma aproximação visual aceitável é obtida através de interpolação
polinomial (p. ex., a interpolação tri-cúbica).
       Os voxels podem ser:

           Bitmapas: é um tipo capaz de representar objetos volumétricos como bitmapas


441
      Existem outras resoluções, que em alguns monitores podem ser mudadas à vontade.


                                                                                        426
em 3D (assim como objetos poligonais são feitos de vetores, as figuras 3D são feitas de
voxels).

       Voxel terrain:442 é muito usado em games e simulações, por permitir representar
características côncavas de um terreno 3D tais como saliências, cavernas, arcos, etc. As
concavidades não podem ser reproduzidas em um heightmap (ou heighfield)443 porque
somente a camada do topo é renderizada, deixando a camada do fundo sem ser
mostrada.

       14.1.2 – Dispositivos de Saída de Dados

       Scaner e Impressora: no escaneamento ou impressão de imagens, aumentando as
dimensões desta imagem, os pixels vão-se distribuir por uma área maior, tornando-a
mais indefinida. A qualidade de uma imagem digital resulta de dois aspectos, a
quantidade de pixel por polegada (resolução da imagem), e o número de pixels na
horizontal e na vertical (tamanho da imagem em centímetros). Assim, se uma imagem
possui 1.000 pixels x 1.000 pixels, significa dizer que possui um milhão de pixels, ou
1M. Isso não significa que essa imagem é de alta qualidade, porque ainda falta a relação
com a quantidade de pixels por polegada (DPIs) da imagem. Para uma boa definição, é
necessário que a imagem tenha 300 DPIs (dots per inch, ou, pontos por polegada); isso
permite que se faça uma cópia de alta qualidade em papel fotográfico. O tamanho desta
cópia (10x15 - 15x18) vai depender de quantos pixels a imagem possui na vertical e na
horizontal.

       Há basicamente dois tipos de impressoras:

       Impressora matricial: cujos caracteres são impressos pelo uso de um conjunto de
agulhas, as quais batem seletivamente sobre uma fita de tinta, pressionando-a sobre o
papel.
       Impressora gráfica: pode ser de jato de tinta ou a laser.
       Na primeira, um cabeçote carrega a tinta que é expelida por um bico, em um jato
curto e fino sobre uma superfície de papel, produzindo um ponto. Com densidades
variáveis e cores diversas, consegue-se cópias de boa qualidade de impressão.
       Na segunda, o processo de impressão é semelhante ao da copiadora eletrostática.
Neste caso, uma tinta ( o toner) adere eletrostaticamente ao papel (após uma leitura
prévia da imagem de origem), produzindo uma cópia fiel desta imagem, que pode ser
B&W ou colorida.

       Plotter (ou Traçador Digital): é um dispositivo eletromecânico que produz o
desenho ou gráfico pelo movimento de uma caneta ou pena sobre uma superfície de
papel. Há dois tipos de traçadores, o de mesa e o de rolo.

       Dispositivo de Vídeo Vetorial (Vector Refresh Display Tubes): antigo monitor de
vídeo usado em saídas de imagens gráficas, que usava um tubo de raios catódicos
semelhante ao osciloscópio. Atualmente, usa-se um terminal gráfico chamado
Dispositivo de Vídeo de Varredura (Raster Scanning VDUs).


442
   Voxel de terreno.
443
   Heightmap ou heightfield é uma imagem raster usada para armazenar valores, tais como uma
superfície elevada, para ser exibida em 3D.


                                                                                       427
           14.1.3 – Dispositivos de Entrada de Dados

        Os dispositivos mais comuns de entrada de dados são o teclado, o mouse e o
joystick. Outros dispositivos menos comuns são:

       Light Pen: é uma caneta provida de uma célula fotoelétrica e um interruptor de
pressão em sua ponta, e capaz de detetar luz. Pressionada contra uma tela de vídeo, a
célula deteta um ponto de luz, o qual, através do controlador de vídeo, registra os
valores X e Y que determinam as coordenadas do pixel apontado pela caneta.

        Mesa digitalizadora (tablet): é uma superfície plana provida de um cursor que
pode ser posicionado sobre ela. Através de indução eletromagnética, a posição do
cursor, em relação a um referencial fixo à mesa, é detetada e transmitida para a tela ou
para um dispositivo de rastreamento.

        Data glove: é uma luva dotada de sensores que detetam o movimento e a força
dos dedos. Além disso, a própria posição da mão no espaço é detetada, podendo
interagir com objetos virtuais mostrados em uma tela.

           14.1.4 – Monitores e Aparelhos de TV

        O tamanho da tela de um monitor ou televisão é dado em polegadas. Em
monitores, o tamanho pode ser de 14", 15", 17", 19", 20”, 21”, 24”, 30” (o símbolo – "
– significa “polegadas”). Em televisões, essa medida pode variar de 5 até 64 polegadas,
ou mais.444 Essa medida indica o tamanho da tela na diagonal, como mostra a figura a
seguir:




      Nos monitores ou telas mais simples há uma curvatura ou proeminência na tela
(quando vista de lado), que é minimizada na chamada tela plana.

        Em monitores, nem sempre é necessário usar alta resolução de imagem. Na
figura a seguir, por exemplo, o monitor à esquerda tem alta resolução (1600x1200), de


444
      Tamanhos maiores podem ser produzidos em escala não comercial.


                                                                                    428
modo que a página aparece pequena e cobre apenas uma porção do desktop.445 Isto torna
difícil a leitura, apesar de deixar espaço na tela para outras janelas. Já o monitor à direita
tem resolução mais baixa (1024x768). Isto permite que a página tome toda a área do
desktop.




        TRC (Tubo de Raios Catódicos, ou CRT, Cathode Ray Tube): os monitores de
vídeo e as televisões mais antigas usam o cinescópio, também conhecido como Tubo de
Raios Catódicos. O TRC é constituído por uma peça chamada canhão, que fica na parte
posterior, e a tela de vídeo, na parte anterior ou frontal.
        O canhão é assim chamado porque dispara internamente sobre a tela um feixe de
elétrons, de uma maneira controlada, que, ao atingirem a tela, esta é iluminada, ponto
por ponto. A iluminação se deve ao fato de que a tela é revestida internamente por
fósforo, que brilha ao ser atingido por elétrons.
        Os TRCs mais antigos eram monocromáticos, produzindo uma imagem em preto
e branco (B&W – Black and White), com contrastes de cinza. Posteriormente, foram
produzidas telas revestidas por células em três cores, e com canhões com três feixes de
cores: um feixe verde, um feixe vermelho e um feixe azul, sendo que a combinação
destas cores gera as outras.




445
      O nome desktop indica genericamente um computador de mesa.


                                                                                         429
        O feixe de elétrons está associado a um conjunto de bits que determina a
intensidade de cada um dos feixes. Assim, variando a intensidade de cada feixe, varia-se
a intensidade do brilho de cada fósforo, obtendo-se cores diferentes. Com um bit
associado a cada feixe, ou seja, com três bits, pode-se obter oito (23) cores distintas. O
número de bits associado a cada pixel é denominado pixel depth (profundidade do
pixel).




        Para gerar as imagens, o feixe de elétrons percorre internamente toda a extensão
da tela, linha por linha (em monitores monocromáticos), ou ponto por ponto446 (pixel)
nos monitores coloridos. Esse processo é conhecido como varredura.




        Tela de Plasma (PDP, ou Plasma Display Panel): é um dispositivo baseado na
tecnologia de painéis de plasma, e que foi desenvolvida tendo em vista o mercado da
televisão de alta definição – HDTV.447 Os displays de plasma são totalmente planos,

446
   Seguindo, igualmente, uma linha.
447
   A Fugitsu foi a primeira empresa a comercializar telas de plasma em 1997. Elas foram desenvolvidas a
partir de uma tecnologia criada pela IBM em 1972.


                                                                                                  430
com alta resolução e excepcional reprodução de cores. Normalmente, são fabricados em
proporções de tela diferentes das encontradas em CRTs, geralmente 16:9 (widescreen),
proporção esta definida como padrão para HDTV.




        Ao telas de plasma possuem um ângulo de visão maior do que o dos CRTs (160
graus), bem maior do que as telas LCD. Um dos motivos é devido ao fato de cada célula
ser iluminada individualmente (no LCD existe uma iluminação geral traseira). Isso dá
grande brilho à imagem e facilita a confecção de telas planas com dimensões maiores do
que as de LCD. Com relação à qualidade da imagem, esta bem próxima à dos melhores
aparelhos do tipo CRT.

         LCD (Liquid Crystal Display – Monitores de Cristal Líquido): são os mais
usados, atualmente, com computadores. Isso porque, além de ocuparem menos espaço,
consomem menos energia e são mais confortáveis aos olhos. Esta tecnologia também é
empregada em dispositivos portáteis tais como consoles móveis de games, telefones
celulares, calculadoras, câmeras digitais, handhelds, etc. Os atributos mais negativos
dos monitores LCD, quando comparados com o CRT, são o ângulo de visão reduzido e
a incapacidade de alguns modelos de exibir corretamente movimentos rápidos.
         As telas de LCD são formadas por um material denominado cristal líquido. As
moléculas desse material são distribuídas entre duas lâminas transparentes polarizadas.
A polarização é orientada de maneira diferente nas duas lâminas, de forma que estas
formem eixos polarizadores perpendiculares entre si.
         Estas moléculas de cristal líquido são capazes de orientar a luz. Quando uma
imagem é exibida em um monitor LCD, elementos elétricos presentes nas lâminas
geram campos magnéticos que induzem o cristal líquido a "guiar" a luz que entra da
fonte luminosa para formar a imagem. Tensões diferentes podem ser aplicadas, fazendo
com que as moléculas de cristal líquido se alterem de modo a impedir a passagem da
luz.
         Em telas monocromáticas, as moléculas podem ter dois estados: transparentes (a
luz passa), opaco (a luz não passa). Para telas que exibem cores, diferentes tensões e
filtros que trabalham sobre a luz branca são aplicados às moléculas.
         A tecnologia LCD é dividida em tipos:

       TN (Twisted Nematic): é um tipo encontrado nos monitores LCD mais baratos.
Nesse tipo, as moléculas de cristal líquido trabalham em ângulos de 90º. Monitores que
usam TN podem ter a exibição da imagem prejudicada, se a animação for muito rápida.
       STN (Super Twisted Nematic): é uma evolução do padrão TN. Pode trabalhar


                                                                                   431
com imagens que mudam de estado rapidamente. Além disso, suas moléculas têm
movimentação melhorada, e a imagem do monitor pode ser vista satisfatoriamente em
ângulos superiores a 160º.
       GH (Guest Host): o GH é uma espécie de pigmento contido no cristal líquido
que absorve luz. Esse processo ocorre de acordo com o nível do campo elétrico
aplicado. Com isso, é possível trabalhar com várias cores.
       TFT (Thin Film Transistor ou Matriz Ativa): é um tipo de tela muito encontrado
no mercado, sendo muito usado em notebooks. Tem como principal característica a
aplicação de transistores em cada pixel. Assim, cada unidade pode receber uma tensão
diferente, permitindo, entre outras vantagens, a utilização de resoluções altas.
       Essa tecnologia é muito utilizada com cristal líquido, sendo comum o nome
TFT-LCD (ou Active Matrix LCD) para diferenciar esse equipamentos.
       DSTN (Double Super Twist Nematic, também conhecido como Matriz Passiva):
é um tipo de display muito usado em dispositivos portáteis. Este tipo de tela tem ângulo
de visão mais limitado e tempo de resposta maior.

        Os monitores LCD estão comumente disponíveis em dois formatos: tradicional
(4:3) e widescreen (16:9 ou 16:10). O monitor widescreen imita o formato de tela da
HDTV, sendo a melhor escolha para visualizar e editar vídeos. Os widescreeen também
podem facilmente exibir múltiplos documentos um ao lado do outro, de modo que se
possa trabalhar em duas ou mais aplicações simultaneamente.

       Os monitores LCD trabalham com taxas satisfatórias de resolução, mas é
recomendável que o monitor trabalhe com a resolução que recebe de fábrica. Isso
porque a exibição da imagem será prejudicada, caso uma taxa diferente seja usada.




       HoloVizio: este é um tipo de display que foi inventado com base no Voxel. Ele
tem a capacidade de exibir imagens em 3D, as quais podem ser observadas de diversos
ângulos, com os ícones parecendo flutuar para fora da tela. E isto sem a necessidade de
usar óculos especiais.448




448
      Pela teconologia atual empregada, um display pode mostrar 512×512×512 voxels.


                                                                                      432
       OLED (Organic Light-Emitting Diode ou Diodo Orgânico Emissor de Luz):449 é
uma tecnologia de display criada pela Kodak, em 1980, que está sendo usada para a
produção industrial de telas planas finas, leves e baratas, as quais podem vir a substituir
as atuais telas de LCD. A idéia é usar diodos orgânicos, compostos por moléculas de
carbono que emitem luz ao receberem uma carga elétrica. A vantagem é que ao
contrário dos diodos tradicionais, essas moléculas podem ser diretamente aplicadas
sobre a superfície da tela, usando um método de impressão.

        Uma das principais características da tela orgânica é que ela possui luz própria, e
por isto não necessita de luz de fundo ou luz lateral, (backlight ou sidelight), além de
ocupar menos espaço. Outra importante característica é que, por emitir luz própria, cada
OLED, quando não polarizado torna-se escuro, obtendo-se assim uma cor "preto real",
diferentemente do que ocorre com LCDs, que não conseguem obstruir completamente a
luz de fundo.

        Além destas vantagens, as telas OLED possuem baixos tempos de resposta (uma
das principais desvantagens do LCD), podem ser visualizadas de diversos ângulos (até
180º), têm contraste muito melhor (de 1000:1 contra 100:1 das telas LCD no escuro),
suportam melhor o calor e o frio, são produzidas de forma mais simplificada e usam
menos materiais do que os LCDs.




449
      Alguns fabricantes preferem chamar a tecnologia OLED de OEL (Organic Eletro-Luminescence).


                                                                                                   433
       FOLED: são displays OLED flexíveis. Entretanto, a maioria dos FOLEDS é
monocromático, sendo que alguns modelos mais avançados apresentam um padrão de
cores de 18 bits, com um número máximo de 262 mil cores.450




       14.2 – Software

       14.2.1 – Formatos de Arquivos de Imagem

        JPEG (Joint Photographic Experts Group): em DOS, a extensão é JPG. É o
formato mais utilizado e conhecido atualmente. Quase todas as câmaras dão esta opção
para guardar as imagens. É um arquivo bastante utilizado na Internet e em multimidia,
por ter uma compactação excelente, e por suportar até 16.777.216 cores distintas.
        TIFF (Tagged Image File Format): é o arquivo padrão para impressão industrial
(offset, rotogravura, flexogravura), sendo também muito usado como opção nas câmaras
fotográficas. Seu formato é aceito por praticamente todos os programas de imagem. Foi


450
  A empresa japonesa Sony conseguiu aprimorar esta tecnologia e apresentou o primeiro display
FOLED com um padrão True Color 24 bits, com 16,7 milhões de cores.


                                                                                         434
desenvolvido em 1986 pela Aldus e pela Microsoft, em uma tentativa de criar um
padrão para imagens geradas por equipamentos digital. É capaz de armazenar imagens
true color (24 ou 32 bits) e é um formato muito popular para transporte de imagens.
Permite que imagens sejam comprimidas usando o método LZW, além de permitir
salvar campos informativos (caption) dentro do arquivo.
        GIF (Graphics Interchange Format): foi criado para ser usado na Internet.
Suporta imagens animadas e 256 cores por frame. Foi substituído pelo PNG.
        BMP (Windows Bitmap): usado em programas Windows. Não utiliza algoritmo
de compressão, por este motivo, as imagens ocupam muito espaço.
        SVG (Scalable Vector Graphics): é um formato vetorial, criado e desenvolvido
pelo Consórcio World Wide Web.
        PNG (Portable Network Graphics): é um formato livre utilizado para imagens,
que surgiu em 1996 como substituto para o formato GIF, porque este utilizava
algoritmos patenteados. Permite comprimir as imagens sem perda de qualidade, ao
contrário de outros formatos, como o JPG.
        PCD (Kodak Photo CD): é um formato proprietário lançado pela Kodak em
1992. Foi descontinuado pela Kodak. O formato, porém ainda é lido e aceito pelos
principais programas de edição de imagens.

           14.2.2 – Geometria Computacional

       O objetivo da Geometria Computacional é estudar problemas geométricos sob o
ponto de vista algorítmico. É uma parte da Ciência da Computação, servindo à
Computação Gráfica, SIG (Sistema de Informações Geográficas), Robótica,
Processamento de Imagens, Visão Computacional, etc.
       Ao contrário do Desenho Geométrico, que se baseia em figuras geométricas, a
Geometria Computacional baseia-se em estruturas de dados e algoritmos. O objetivo de
ambas é, entretanto, o mesmo, ou seja, obter novos elementos geométricos a partir da
construção geométrica com o menor número possível de operações elementares.

       As operações básicas de um algoritmo são chamadas primitivas. O número de
chamadas às funções primitivas define a eficiência do algoritmo. A análise do número
de primitivas executadas pelo algoritmo permite obter a sua complexidade.
       Algumas das operações primitivas são:451

        Esquerda-Direita: consiste em saber a posição de um ponto em relação a um
vetor (segmento orientado). Por exemplo, para a direita. Sendo dados três pontos A, B e
C tal que AB é um segmento orientado, a primitiva Direita(A,B,C) é verdadeira se o
ponto C está à direita da reta formada ao se estender o segmento AB nos dois sentidos.
A primitiva é falsa no caso contrário.

       In-Circle: permite saber a posição de um ponto em relação a uma circunferência
no plano. Dados quatro pontos A, B, C e D, em que A, B e C representam uma única
circunferência. A primitiva In-Circle(A,B,C,D) é verdadeira se o ponto D é interno à
circunferência dada, isto é, a distância(D,M) < R. Esta primitiva é falsa no caso
contrário.

           Intersecção entre dois segmentos: permite dizer se um segmento de reta

451
      Para mais informações, veja-se: http://www.ime.usp.br/~freitas/gc/par.html.


                                                                                    435
intercepta outro segmento. Dado o segmento AB e o segmento CD, existe intersecção
entre AB e CD se A estiver de um lado de CD e B do outro, e C estiver de um lado de
AB e D do outro. Isso é equivalente a:

XOR(esquerda(C,D,A),          esquerda(C,D,B))        AND        XOR(esquerda(A,B,C),
esquerda(A,B,D)).452

        Detecção de intersecção em um conjunto de segmentos: permite descobrir, dado
um conjunto de segmentos de reta no plano, se em pelo menos um par desses segmentos
há intersecção.

       Teste interior/exterior de um ponto em relação a um polígono: permite verificar,
dado um polígono e um ponto, se o ponto está dentro da área compreendida pelo
polígono ou fora dela.

       Par de pontos mais próximo: consiste em, dado um conjunto de n pontos,
encontrar o par de pontos cuja distância entre eles é a menor possível dentro daquele
conjunto.

       Além dessas, existem também outras operações primitivas, tais como:
computação do fecho convexo de um conjunto de pontos no plano; triangularização de
polígonos; etc.

       14.2.3 – Síntese de Imagem Gráfica

        A computação gráfica (computer graphics) é a área da ciência da computação
que estuda os processos de síntese matemática de imagens usadas no desenho industrial,
arquitetura, cartografia, processos de fabricação industrial, animação, etc.

        Modelos geométricos dos objetos de interesse são indispensáveis para aplicações
como Computação Gráfica, Projeto Assistido por Computador (CAD), Manufatura
assistida por Computador (CAM), Sistemas de Informações Geográficas (GIS) e Visão
Computacional. Modelagem Geométrica inclui a construção, a representação, a
modificação e o processamento das propriedades geométricas desses objetos. Tais
procedimentos são essenciais tanto para a síntese de imagens desses objetos como para
a recontrução deles a partir das imagens.

       Conforme o artigo Computação Gráfica, da WIKIPÉDIA,

       “ (...) Toda a computação gráfica é embasada em pixels, que são pontos que
fazem com que a imagem seja sintetizada visualmente em um monitor. Seja em 3D por
modelagem tridimensional ou 2D, o profissional em computação gráfica trabalha direta
ou indiretamente com pixels e suas compressões. Isso porque todo o nosso formato de
vídeo, tanto monitores, televisores, celulares, cinema ou qualquer tipo de emissor de
imagens atualmente são interligados por uma série de algoritmos e ferramentas padrões
de construção e edição de imagens. Levando em conta que a maioria de criações e
edições passam por um computador para um resultado melhor ou mais atraente.

452
    Relembrando a Lógica: AND, OR, NO, XOR são operações lógicas equivalentes à conjunção,
disjunção, negação e disjunção exclusiva.


                                                                                      436
Atualmente, as ferramentas para a construção de imagens (os softwares) lidam
praticamente sozinhos com toda a parte algorítmica do hardware; quanto mais
específico for o resultado de uma determinada ferramenta, mais real o objeto criado
será. No entanto os programas mais poderosos são bastante flexíveis em relação a isso,
ou seja, é possível em muitos softwares que novas ferramentas sejam criadas por
usuários que tenham um mínimo de conhecimento em programação. É possível criar
verdadeiros programas dentro desses programas, como é o caso do 3D Studio Max,
software para criação de imagens em 3D da Autodesk, ou do Software livre Gimp para
desenhos em 2D. Desta maneira, o usuário pode tanto criar algo que seja mais próximo
a seu interesse como também diminuir em muito seu tempo de trabalho”. 453

       14.2.4 – Tipos de Computação Gráfica

       CAD: Computer Aidded Design, ou Desenho Assistido por Computador. São
programas (softwares) para computador específico para geração de desenhos e projetos
de grande porte.
       CAE: Computer Aidded Enginner, ou Engenharia Assistida por Computador. È
a etapa em que se realizam nos protótipos ou desenhos virtuais as cargas e os esforços
que seriam sofridos pela peça real em seu trabalho ou uso final.
       CAM: Computer Aidded Manufacturing, ou Fabricação Assistida por
Computador. É o passo seguinte ao CAD, (na Mecânica), caracterizado pela geração
dos códigos específicos que serão interpretados pelas máquinas operatrizes utilizadas na
fabricação das peças projetadas.
       GIS: Geografic Information Sistem, Sistema de Informações Geográficas ou
Sistema de Geoprocessamento. É um sistema usado para processar e gerar imagens
cartográficas, mapeamento e elaboração de bases

       14.2.5 – Objetos e Imagens Gráficas

       Em computação gráfica há duas formas distintas para se classificar uma imagem,
em relação à sua origem:

       Raster (ou imagem de rastreio): é a descrição da cor de cada pixel. Neste caso,
as imagens (chamadas mapa de bits, ou bitmaps) são geradas a partir de pontos
minúsculos diferenciados por suas cores. Em um trecho de desenho sólido, de uma cor
apenas, um programa vetorial apenas repete o padrão, não tendo que armazenar dados
para cada pixel. A ampliação de um bitmap (ou parte dele) distorce os pixels,
provocando o efeito aliasing.

        Imagem vetorial: utiliza vetores matemáticos para a sua descrição. É um tipo de
imagem gerada a partir de descrições geométricas de formas, composta por curvas,
elipses, polígonos, texto, entre outros elementos. Ou seja, ela tenta traduzir a imagem
recorrendo a vetores e elementos do desenho, tais como retas, pontos, curvas, polígonos
simples, etc., tudo isto associado a uma proporcionalidade de posição que permite que,
mesmo que se estenda a área de imagem, ela não perde definição.
        A imagem vetorial tem a vantagem adicional de ocupar menos espaço em termos

453
    WIKIPÉDIA. Desenvolvido pela Wikimedia Foundation. Apresenta conteúdo enciclopédico.
Disponível                                                                           em:
<http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Computa%C3%A7%C3%A3o_gr%C3%A1fica&oldid=13816
326>. Acesso em: 17 Jan 2009.


                                                                                    437
de memória. Além disso, não perdem qualidade ao serem ampliados, já que as funções
matemáticas adequam-se facilmente à escala, o que não ocorre com os gráficos raster,
que utilizam métodos de interpolação para tentar preservar a qualidade.454
        Outra vantagem do desenho vetorial é a possibilidade de isolar objetos e zonas,
tratando-as independentemente.455

Alguns padrões da indústria para gráficos vetoriais:

SVG: é o padrão para gráficos vetoriais recomendado pela W3C.
CDR: é o formato proprietário da Corel.
AI:  é o formato do programa Adobe Illustrator.
WMF ou Windows Meta File: é o meta-arquivo do Windows.

        14.2.6 – Primitivas de Software para Dispositivos Vetoriais

       Primitiva de Software: é uma rotina ou comando escrito que executa uma função
básica de um aplicativo, ou seja, que implementa uma única função. Pode-se construir
um sistema complexo de software através de chamadas hierárquicas para as suas
funções primitivas. Os dispositivos de saída vetoriais costumam trabalhar com duas
funções primitivas de software, as rotinas genéricas move_to e draw_to.
       Uma primitiva básica é capaz de traçar pontos ou linhas em uma determinada
posição do retângulo de visualização; através da primitiva inversa, é possível ler dados
de um dispositivo.
       Todos os comandos gráficos em um sistema que envolva dispositivos matriciais
podem ser construídos a partir das quatro primitivas dadas a seguir:

        int write_CLUT(int pixel_value,int R, int G, int B)
        read_CLUT(int pixel_value, int *R, int *G, int*B)

       Em um sistema básico com um dispositivo de visualização monocromático,
podem ser usadas duas rotinas básicas (elas “acendem” ou “apagam” o ponto definido
pelas coordenadas (dcx, dcy):

        dot_on(int dcx, int dcy)
        dot_off(int dcx, int dcy)

        14.2.7 – Softwares de Computação Gráfica456

        Entre os mais usados softwares de computação gráfica está o AutoCAD. O
AutoCAD é um programa que se enquadra no conceito de tecnologia CAD, sendo
utilizado para a criação de projetos em computador.

454
    Veja-se: http://pt.wikipedia.org/wiki/Desenho_vetorial.
455
    Existe um tipo especial de imagem, gerada por computador, que abrange os dois conceitos, o cálculo
matemático e a imagem raster: são as imagens fractais.
456
    Os principais softwares de manipulação de imagens gráficas são: Softimage XSI; After Effects;
Autocad; 3D Studio MAX; Blender (ou Blender 3D); Cinema 4D; GIMP; Inkscape; POV-Ray; Rhino3d;
Scribus; Silo; Wings 3D; Hexagon; Maya; Photoshop; Dreamweaver; Illustrator; Freehand; Inkscape;
CorelDraw; XnView; Lightwave. 3ds Max.




                                                                                                 438
        Existem outros softwares de CAD como MicroStation, VectorWorks,
IntelligentCad, BRL-CAD, etc.
        Também existem programas para modelagem tridimensional e paramétricos, tais
como: Catia, Pro Engineer, Solid Works, Solid Edges, etc. Existem também os
programas que atualmente são muito corriqueiros, do tipo de transformação de formas
(Morph).

       AutoCAD:

        O AutoCAD é um software do tipo CAD, criado e comercializado pela
Autodesk, Inc. desde 1982. É utilizado principalmente para a elaboração de peças de
desenho técnico em duas dimensões (2D) e para criação de modelos tridimensionais
(3D). Além dos desenhos técnicos, o software tem disponibilizado, em versões mais
recentes, recursos para visualização em diversos formatos. É amplamente utilizado em
arquitetura, projeto de interiores, engenharia mecânica e em vários outros ramos da
indústria.

       A figura a seguir mostra a tela de abertura do AutoCAD.




        Nesta tela, o usuário é solicitado a escolher o sistema de medidas a ser
trabalhado no AutoCAD. No Brasil, é obrigatório o uso do sistema métrico.
        Após esta escolha, o programa fica disponível para as entradas de comando via
teclas ou comandos digitados.

       A qualquer momento, pode-se clicar com o botão direito em qualquer espaço da
barra de ferramentas, para selecionar “Object snap”. Esta paleta permite desenhar com
referências.




       Alguns comandos:



                                                                                 439
    Line:
    Acesso por menu: Draw > Line
    Via teclado: Line ou, no modo abreviado, L

•   Surge em seguida a mensagem: Specify first point (Especifique primeiro ponto).
    O ponto inicial na área gráfica pode ser escolhido clicando o botão esquerdo do
    mouse no ponto desejado, ou então através da digitação das coordenadas desse
    ponto. Este ponto designa o início da linha.
•   O programa vai em seguida solicitar outros pontos, até que seja pressionada a
    tecla que finaliza a operação.

    Orto
    É um comando que serve para desenhar ângulos de 90º e seus derivados.
    A tecla F8 faz ativar / desativar o ORTO.

  Circle
  Acesso por menu: Draw > Circle
  Via teclado: Circle ou, no modo abreviado, C
• Este comando, acionado, é pedido um ponto que é o centro do circulo, que pode
  ser aleatório ou um centro determinado. Basta, em seguida, digitar o valor do
  raio do circulo.

    Opções de Circle:
    3P – Desenha círculo através de 3 pontos.
    2P – Desenha círculo através de 2 pontos
    TTR – Desenha um círculo tangente a dois objetos selecionados.

    Offset
    Acesso por menu: Modify > Offset
    Via teclado: Offset ou, no modo abreviado, O

•   É um comando que permite que se faça um objeto similar a um outro,
    especificando apenas a distância entre eles e em qual lado do objeto (ou interna
    ou externamente, no caso de objetos fechados) que se deseja a cópia.

    Extend
    Acesso por menu: Modify > Extend
    Via teclado: Extend ou, no modo abreviado, Ex

    Este comando permite extender uma linha até encontrar um objeto especificado.

    Rectangle
    Acesso por menu: Draw > Rectangle
    Via teclado: Rectangle ou, no modo abreviado, Rec

•   Inicialmente o comando pede um ponto, que pode ser aleatório ou um ponto
    determinado. A partir desse ponto pode-se gerar um retângulo por uma diagonal
    imaginária, onde se pode clicar um ponto para gerar um retângulo aleatório ou
    inserir uma coordenada.



                                                                                440
           Opções de Rectangle:
           CHAMFER – Opção de chanfrar todos os cantos do retângulo com medidas
           definidas.
           ELEVATION – Opção de criação de retângulo elevado a uma medida ao plano
           0(zero) 3D.
           FILLET – Opção de arredondar todos os cantos definindo um raio.
           THIKENESS – Opção que especifica uma “extrusão” do retângulo em 3D.
           WIDTH – Opção de definir espessuras de linhas do retângulo.

           Arc
           Acesso por menu: Draw > Arc
           Via teclado: Arc ou, no modo abreviado, A

       •   Este comando permite desenhar arcos, a partir de três pontos ou do centro.

           Hatch
           Acesso por menu: Draw > Hatch
           Via teclado: Hatch ou, no modo abreviado, H

       •   Permite criar hachuras (sombreados) nas figuras. No modo “user defined”, pode-
           se especificar o tipo de hachura, o ângulo de sua inclinação e o espaçamento
           entre as linhas de hachuras.

           BRL-CAD:457

       O BRL-CAD é um sistema feito para modelar imagens geométricas. Foi
projetado e desenvolvido pelo exército dos EUA em parceria com algumas empresas, e
levou cerca de 20 anos para ser concluído e aprimorado.
       Possui um editor interativo de imagens que faz com o que seu desenho se
aproxime muito da realidade. Ele é muito usado para o projeto de armamentos de
grande sofisticação tecnológica.

       O BRL-CAD é um programa muito parecido com o AutoCAD. Ele pode fazer
desenhos em 2D ou 3D, do tipo eletroeletrônicos, peças em geral, ferramentas,
vestuário, peças automobilísticas, casas completas ou apenas uma parte, planta de uma
superfície, enfim, os mais detalhados desenhos que na hora de fazer um projeto
precisam de uma exatidão e perfeição. O programa pode também aproveitar imagens
prontas, e fazer fundos muito mais consistentes, com um maior aperfeiçoamento.
       Pode fazer também diagramas e modelagens complexas.
       Aplicações:

        Arquitetura:
        Com o BRL-CAD é possível construir modelos completos de uma construção,
inclusive é possível visualizar como ficará o projeto depois de pronto. Permite
arredondar cantos ou estender um pedaço escolhido até conseguir a área desejada.

           Engenharia:
           Com essa ferramenta os engenheiros podem estudar a Geometria Computacional

457
      O BRL-CAD é um open-source que pode ser conseguido em: http://brlcad.org/.


                                                                                        441
(que envolve estudo de algoritmos e estrutura de dados em polígonos) de uma forma
muito mais aplicada.

        Geologia:
        Com o BRL-CAD pode-se realizar medidas para poços de petróleo, fazer
esquemas hidrológicos ou que mostrem as camadas de terra e rocha de determinada
região, etc.

      Além dessas aplicações, é possível também realizar projetos de Design e
Desenho Industrial, Administração e Sistemas de Informação, Programação de
Fluxogramas, etc.

       Morph:

        Este é um tipo de software que se vulgarizou a partir de seu uso inicial em um
clip musical famoso. Com ele, é possível fazer uma transição de imagens de forma tal
que se pode transformar uma imagem em outra. As figuras a seguir ilustram essa
transição (em suas várias fases), de um rosto para outro.




       Os programas deste tipo são relativamente fáceis de serem usados, e não
necessitam de maiores explicações.

       As figuras a seguir ilustram as diferenças de resultados, entre um software



                                                                                  442
simples (geralmente freewarew) de criação de imagens, e o que se pode conseguir, no
mínimo, de um software sofisticado do tipo CAD, ou de um software de computação
gráfica (por exemplo, o Blender).


      KickDraw:




      AutoCAD:




                                                                               443
        Blender:




        14.2.7.1 – Estado da Arte da Tecnologia de Imagens

        Atualmente, existem dois tipos de animações que devem ser consideradas: as
produzidas para filmes comerciais (Estúdio Pixar, p. ex.) e as produzidas para jogos de
vídeogame (Square-Enix, p. ex.). As imagens animadas em games são produzidas de
duas maneiras: as CGs e as imagens ingame nos jogos eletrônicos.
        CGs458 são animações altamente trabalhadas, tanto de filmes quanto de diversos
games (que, neste caso, não usam os gráficos do jogo). O nome correto, usado pela
indústria de jogos, é cinematic: animação não-interativa.
        Ingame são os gráficos gerados pelo próprio jogo. Até bem pouco tempo,
possuíam menor definição do que os gráficos CGs. Vejam-se as imagens abaixo, como
exemplo. À esquerda, uma screenshot de uma das CGs de Final Fantasy VIII (1999)
para o Playstation, e à direita uma imagem ingame (do próprio jogo).




458
   CGs ou Computer graphics: são gráficos criados por computadores; ou, de um modo mais geral, são a
representação e a manipulação de dados gráficos por um computador. As CGs usam bastante memória.


                                                                                               444
      A evolução do estado da arte em geração de imagens tem mudado isto.459 É o
que se pode ver, por exemplo, no mesmo jogo, na versão Final Fantasy X, como
mostrado a seguir:




       À esquerda pode-se ver uma screenshot de uma CG do jogo. E ao lado, os
gráficos do jogo (ingame).

       Nos games atuais as CGs altamente trabalhadas estão sendo deixadas de lado,
porque já é possível criar ótimas cenas de ação com os gráficos do próprio jogo (ou seja,
ingame). No jogo Final Fantasy XIII (Playstation 3 e Xbox 360), por exemplo, já não é
possível perceber qualquer diferença entre um e outro tipo de imagem (à esquerda está a
screenshot, e à direita, o gráfico do jogo):




       A seguir, são dados exemplos de imagens gráficas geradas tanto para jogos
quanto para filmes animados.




459
      E, concomitantemente, a evolução do hardware, ou plataformas de jogos.


                                                                                     445
 Imagem em real-time (tempo real), gerada pelo Playstation 3




Imagem gerada no jogo Mirror’s Edge (EA Digital Illusions CE)




                                                                446
Imagens do personagem do filme Kung-fu Panda




                                               447
448
                                               Capítulo XV

               Transformações Geométricas e Modelagem de Sólidos460

        15.1 – Transformação de Objetos

       As transformações geométricas461 mais comuns (2D e 3D) são a translação, a
rotação, a simetrização, a dilatação, etc.

        Qualquer transformação geométrica exige os seguintes parâmetros:

        A descrição geométrica do objeto (forma, posição);
        Os atributos visuais do objeto (cores, linhas, padrões);
        Outros atributos (que dependem da aplicação desejada);
        O sistema de coordenadas, que diz onde estão os objetos.462

        As transformações podem alterar ou não as coordenadas que descrevem o
objeto. Geralmente, na translação, buscam transformações lineares que preservam as
linhas. De todo modo, as coordenadas após a transformação devem ser conhecidas.

        15.1.1 – Transformações em 2D

       Pode-se efetuar a Translação de pontos no plano (x,y) adicionando-se
quantidades inteiras as suas coordenadas. Assim, cada ponto P(x,y) pode ser movido por
dx unidades em relação ao eixo x, e por dy unidades em relação ao eixo y. Logo, o
ponto P'(x',y'), pode ser escrito como:

x'= x + dx e y' = y + dy          (1)

        E se forem definidos os vetores colunas:




460
    Este capítulo pretende dar uma noção geral acerca das aplicações da Computação Gráfica. Deve-se
notar que há dois aspectos, no que se refere à Computação Gráfica. De um lado, o conhecimento
matemático e informático geral, capaz de permitir a elaboração de softwares específicos para aplicação
gráfica (conhecimento este que geralmente é auferido em cursos de graduação em Ciência da
Computação). De outro lado, existe o conhecimento específico de uso de softwares gerais (Maya,
Blender, Adobe, etc.), programas estes que são aplicações concretas do conhecimento anterior. Um ótimo
texto     de    introdução     à    Computação      Gráfica    pode     ser   encontrado     no     site:
http://gbdi.icmc.sc.usp.br/documentacao/apostilas/cg/downloads/apostilas.pdf. Veja-se também em:
http://www.allanbrito.com/2008/06/02/tutorial-completo-de-introducao-a-modelagem-3d-e-computacao-
grafica/. Em inglês, veja-se Short Course in computer Modeling (um tutorial animado) em:
http://www.et.byu.edu/~csharp2/. Para uma introdução ao programa Blender, veja-se:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Blender.     Para       realizar      download        deste      programa:
http://www.baixaki.com.br/download/Blender.htm.
461
    Transformação geométrica: é uma aplicação bijetora entre duas figuras geométricas, no mesmo plano
ou em planos diferentes, de forma que, a partir de uma figura geométrica original, se forma outra figura
geometricamente igual ou semelhante.
462
    Geralmente, os objetos 3D formam figuras poliédricas ou malhas de polígonos.


                                                                                                    449
,



então (1) pode ser expressa como:

P' = P + T




        Um objeto poderia ser transladado movendo todos os seus pontos, o que é um
processo ineficiente. Ao invés disso, translada-se uma linha apenas pelos seus pontos
limites, redesenhando a linha sobre eles.
        Isso vale também para alterações de escala e rotação.463

       Outras transformações 2D comuns são: espelhamento ou reflexão (mirror) e
distorção ou cisalhamento (shearing).

       Espelhamento: é a transformação que produz um objeto que é o espelho do
original. No caso de uma reflexão 2D, o espelho é gerado relativamente a um eixo de
reflexão, rotacionando o objeto de 180o em torno do eixo de reflexão.
       Esta transformação mantém as coordenadas x do objeto inalteradas, mas
"inverte" os valores das coordenadas Y, alterando a orientação espacial do objeto.
       Analogamente, pode-se definir uma reflexão em torno do eixo Y, que "inverte"
as coordenadas x do objeto.




463
   Uma sequência arbitrária de rotações, translações e escalas é chamada de Transformações Afins. As
Transformações Afins preservam paralelismo de linhas, mas não comprimentos e ângulos.


                                                                                               450
       Pode-se também definir uma reflexão em torno de um eixo perpendicular ao
plano XY e passando (por exemplo) pela origem do sistema de coordenadas, invertendo,
nesse caso ambas as coordenadas X e Y.




        Shearing: é uma transformação que distorce o formato de um objeto. Em geral, é
aplicado um deslocamento aos valores das coordenadas X ou das coordenadas Y do
objeto. As coordenadas do objeto são transformadas da seguinte maneira:

x' = x + shx • y, y' = y.

       Qualquer número real pode ser usado como parâmetro. O resultado é que as
coordenadas (x,y) são deslocadas horizontalmente, de acordo com um valor
proporcional à sua distância do eixo X.

        15.1.2 – Transformações em 3D

       A representação e visualização de um objeto em três dimensões é fundamental
para a percepção de sua forma. Entretanto, muitas vezes deseja-se manusear o objeto,
movimentando-o      através     de    rotações,    translações,    dilatações,  etc.
Assim, generalizando o que foi visto em 2D, as transformações em 3D serão
representadas por matrizes 4x4 também em coordenadas homogêneas.
Assim, um ponto P com coordenadas (x,y,z) será representado por (x,y,z,W).
       Para a translação, escala e rotação, as matrizes de transformação são
respectivamente:



        P' = T + P
        P' = S · P
        P' = R · P

        15.1.3 – Representação de Polígonos

        Os polígonos podem ser representados por seus vértices ou pelos seus lados. Um
polígono é convexo se está totalmente contido em um dos dois semiplanos delimitados
pela reta contendo qualquer lado. O semiplano contendo o polígono é dito interior, e o
outro, exterior.



                                                                                  451
        Preencher um polígono significa associar aos seus pontos interiores um nível
específico de cinza ou uma cor prefixada.464 Para isto, é necessário saber se um ponto
qualquer é interior ou exterior a um polígono. No caso dos polígonos convexos, isso é
feito se se sabe reconhecer a posição de um ponto em relação a uma reta orientada.

        Um poliedro é convexo se está totalmente contido num dos dois semiespaços
delimitados pelo plano contendo qualquer face. O semiespaço contendo o poliedro é
dito interior, e o outro, exterior.

       As figuras 3D em computação gráfica geralmente são formadas por malhas de
polígonos. Para uma boa representação, a malha deve ser suficientemente fina. A figura
formada por polígonos é denominada wireframe:




        15.1.4 – Modelagem de Superfícies e de Sólidos

       Uma maneira eficiente de gerar uma malha de polígonos que represente uma
superfície curva (chamada modelagem de superfícies) consiste em representar essa
superfície através da justaposição de porções de superfícies cúbicas chamadas retalhos
(patches) cúbicos paramétricos. O processo é chamado representação por superfícies
paramétricas.

       Existem vários processos (ou representações) para se realizar a modelagem de
superfícies. Entretanto, nenhum deles pode ser considerado ideal; cada um possui suas
vantagens e desvantagens.
       As representações com armazenamento redundante de dados exigem algoritmos
rápidos e grande capacidade de processamento e de armazenamento de memória pelos
computadores.
       As representações compactas, por outro lado, têm a vantagem da economia de
espaço de armazenamento.

       A modelagem de sólidos tem várias técnicas de representação: representação
por tiras de polígonos; representação por malhas de superfícies paramétricas; CSG
(Constructive Solid Geometry); técnicas de subdivisão espacial; representação por
funções implícitas.465

464
    Oreencher um polígono implica em: 1) decidir quais pixels devem ser pintados; decidir o valor com o
qual pintar o pixel.
465
    Vejam-se as apostilas da dra. Shin-Ting Wu, IA841, Introdução à Modelagem de Sólidos, Unicamp.
Veja-se também Modelagem de Sólidos 3D no AutoCAD R14. Conceitos Básicos, em:
http://www.arcad.com.br/conteudo/artigos/Artigo%20-%20Solidos%20-%20conceitos%20basicos.pdf.


                                                                                                  452
       A representação por tiras de polígonos é muito usada, mas, quando se trata de
objetos não planos com muitas curvas ela se torna trabalhosa. A razão disto é porque,
para se dar uma impressão de curva, deve-se diminuir o tamanho dos polígonos. Isso
aumenta a sua quantidade na representação, mas não evita erros quando se aproxima da
superfície, e estes erros podem se tornar evidentes.

       A representação por superfícies paramétricas é similar à representação por tiras
de polígonos, porém trata cada "polígono" como uma superfície curva. Ela é muito
usada quando se precisa modelar objetos com curvas e o objetivo seja aumentar ao
máximo o nível de definição da figura.




       As malhas de superfícies paramétricas são formadas por retalhos (os patches).
Cada patch é formado por quatro pontos, ligados por quatro arestas, que são curvas
cúbicas. O interior do patch é uma superfície curva cúbica.

        Neste tipo de representação cada patch é definido por fórmulas matemáticas que
indicam a posição e o formato do patch em um espaço tridimensional, e o seu formato e
a sua curvatura podem ser modificados editando os parâmetros das fórmulas. Deste
modo, as modificações nos parâmetros acarretam mudanças no patch.
        Para um objeto formado por uma rede de patches, mudar apenas um deles pode
causar problemas na sua modelagem. Assim, para se manter a integridade da
representação, deve-se cuidar para que os patches possuam continuidade entre si, dando
a impressão de uma superfície homogênea. Eis alguns exemplos de objetos gerados
nesta representação:




                                                                                   453
       A utilização de patches cúbicos paramétricos pode resultar em uma modelagem
exata ou aproximada. A modelagem só é considerada exata se o formato do patch
corresponder exatamente ao formato do objeto real.

        Para um maior realismo virtual, a interação dos polígonos entre si exige a
eliminação dos segmentos ocultos e o sombreamento das superfícies visíveis.
        A aparência de uma superfície depende das fontes de luz que a iluminam, bem
como de outras propriedades, tais como textura, cor, reflectância, de sua orientação em
relação ao observador e das fontes de luz em relação a outras superfícies. As fontes de
luz determinam as reflexões desejadas e as sombras projetadas.

       O modelo de reflexão depende se a superfície é iluminada por uma fonte
pontual.466 Se é fosca, então a luz refletida é difusa.467 Duas superfícies de mesma
natureza, paralelas, recebendo raios de luz paralelos, refletem a mesma intensidade e
são vistas de forma idêntica. Se estiverem afastadas uma da outra, a intensidade
recebida depende da distância entre a superfície e o observador (note-se, na imagem
abaixo, além das sombras distribuidas, a reflexão da luz e a sombra do esqueleto na
superfície curva).




466
      Ou punctual, de “ponto”.
467
      A iluminação pode ser: iluminação constante (flat shading); iluminação suavizada (smooth sheding).


                                                                                                     454
          15.1.5 – Curvas Paramétricas468

       Uma superfície paramétrica pode ser definida por vários tipos de curvas. Entre
elas destacam-se: Curvas de Hermite, Curvas de Bézier,469 Curvas B-Spline e Curvas
Catmull-Rom. 470

      •   Hermite: interpola o primeiro e o terceiro ponto de controle. Os outros dois
          pontos são vetores, com comprimento e direção, que determinam a tangente da
          curva nos pontos interpolados.471 O comprimento destes vetores define a
          curvatura nos pontos extremos.




      •   Bézier: estas são uma variação das curvas Hermite. São especificadas por quatro
          pontos. Ela interpola o primeiro e o último ponto de controle, sendo que os dois
          restantes dão a direção da curva nos pontos extremos. Esta curva permite grande
          controle sobre sua forma, por parte do usuário.472




468
    Veja-se: http://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html.
469
    As formas de Hermite e Bézier (que são modelos cúbicos) são as formas usadas quando se deseja
especificar as equações das porções de curvas de modo a garantir as seguintes propriedades: polinomial
com ordem menor e que, na junção de dois segmentos de curvas cúbicas, as tangentes possam ter a
mesma direção (a primeira derivada contínua) e que as extremidades dos segmentos passem por pontos
predeterminados.
470
    As curvas paramétricas geralmente são computadas por modelos analíticos ou por algoritmos.
471
    As curvas Hermite são definidas por dois pontos e dois vetores tangentes.
472
    As Curvas de Bézier são usadas para a manipulação dos pontos de um desenho. Cada linha descrita em
um desenho vetorial possui nós, e cada nó possui alças para manipular o segmento de reta ligado a ele.


                                                                                                 455
                                         :

      •   B-Spline: a curva na qual se baseia a superfície B-spline é uma curva mais difícil
          de ser controlada, porque é totalmente aproximada. Entretanto, ela resulta em
          uma aparência mais suave.473

       As splines são formas matemáticas de representar uma curva, pela especificação
de uma série de pontos a intervalos ao longo da curva,474 e definindo uma função que
permita pontos adicionais dentro de um intervalo a ser calculado.




      •   Catmull-Rom: 475 a curva base interpola o segundo e o terceiro ponto de controle.
          A tangente nestes pontos é paralela à linha que liga o ponto anterior (ao segundo
          ou terceiro ponto) ao ponto seguinte.

       As curvas Catmull-Rom são uma família de curvas spline de interpolação,
formuladas de modo que a tangente de cada ponto pi é calculada usando os pontos
prévio e posterior da spline,        . A matriz geométrica é dada por:




       Os pontos que definem a spline são conhecidos como pontos de controle. Uma
das características dessas curvas é que a curva especificada passará por todos os pontos
de controle (o que não acontece com as demais splines).

        Para calcular um ponto desejado na curva, são necessários dois outros pontos, de
cada lado da mesma. O ponto é especificado por um valor t que determina a distância
entre os dois pontos de controle mais próximos.




473
    A forma B-Spline é a forma usada para especificar as equações das porções das curvas.
474
    Os pontos de controle que ficam na curva são chamados de nós.
475
    Edwin Catmull (1945- ) é um cientista da computação gráfica norte-americano, e um dos diretores da
Pixar e Walt Disney Animations Studios. Ele fez muitas descobertas na área computação gráfica. É
considerado o inventor da técnica Z-Buffer.


                                                                                                 456
       Dados os pontos de controle P0, P1, P2, P3 e o valor t, e assumindo que há um
espaçamento uniforme entre os pontos de controle, a localização do ponto pode ser
calculada como:

q(t) = 0.5 *( (2 * P1) + (-P0 + P2) * t + (2*P0 - 5*P1 + 4*P2 - P3) * t2 +(-P0 + 3*P1-

3*P2 + P3) * t3)

        Esta equação garante que a spline é contínua (C1).




       Um segmento spline é definido por quatro pontos de controle, mas pode ter
também qualquer número de pontos de controle adicionais. Isto resulta em uma cadeia
contínua de segmentos, cada um dos quais definidos pelos pontos nas extremidades de
cada segmento, mais um ponto adicional de controle de cada lado.

        15.1.6 – Deformação de Objetos

        A deformação de objetos pode ser limitada (permanente) ou contínua (como se
faz, por exemplo, em animações).
        A deformação limitada é muito utilizada na transformação de linhas ou
polígonos.
        A deformação contínua pode ser realizada:

        1. Por representações poligonais ou por translação, em que os vértices dos
polígonos são movidos sem que estes percam suas características (convexidade,
intersecção, etc.).
        2. Por representações paramétricas, ou pelo movimento de pontos de controle.476
        3. Pela deformação do próprio espaço de coordenadas em que o objeto está
inserido (independente de representações).477

        Há dois processos para a redefinição do espaço:


476
  Mover um ponto de controle altera a forma dos retalhos que o partilham.
477
  A maioria dos objetos, quando são animados, mostra que são deformáveis (por exemplo o impacto de
uma bola no chão).


                                                                                             457
          1. Escolher o método de deformação da representação do modelo.
          2. Escolher um método que anime a deformação, em função do tempo.

       A deformação limitada de objetos planos é uma operação que exige uma
redefinição do espaço, porque as suas coordenadas deixam de ser ortogonais.




          Na deformação da forma do espaço, seguem-se os seguintes preceitos:

      1. Determina-se a posição dos vértices do objeto no espaço paramétrico inicial.
      2. Deforma-se o objeto através da aplicação da transformação motivada pela
mudança dos pontos de controle.
      3. Determinam-se as coordenadas cartesianas do vértice.

       A zona a ser deformada é a menor superfície que satisfaz as seguintes
condições:478

        1. O movimento de um ponto de controle produz deformações só na superfície.
        2. Qualquer que seja o movimento do ponto de controle, as derivadas na sua
fronteira mantêm-se inalteráveis.

          De um modo geral, a escala da deformação só depende da dimensão do retalho.

          Vantagens da deformação de retalhos B-Spline:

      •   Continuidade C2 garantida automaticamente (não existem restrições de
          continuidade).
      •   As deformações podem ser locais, ficando indeformável a forma restante da
          paramétrica.

          Vantagens da deformação de retalhos Bézier:

      •   Os patches podem ser deformados localmente, mas existem restrições entre eles
          que devem ser mantidas. Além disso, os pontos de controle devem ser movidos
          em grupos de 3x3.

          A deformação independente da representação pode ser:

          1. Deformação não linear global: altera a transformação à medida que ela é


478
   Não é possível efetuar uma deformação localizada que, por definição, afete só uma parte da curva
paramétrica, uma vez que a restrição de continuidade irá se propagar.


                                                                                              458
aplicada ao corpo (Barr)479. São usadas curvas para definir as escalas e os ângulos de
rotação.
       2. Deformação baseada em formas livres: deforma-se um espaço através da
mudança dos pontos de controle de um volume tri-cúbico de Bezier.

       Se se admite o corte durante a transformação, outras variáveis devem ser
consideradas. Por exemplo, a noção de volume. Assim, dois sólidos geométricos
separados possuem o mesmo volume que o sólido original.

        Uma deformação pode ser animada de dois modos:

       1. Pelo conjunto de transformações que definem a deformação.
       2. Pelo conjunto de curvas que definem o modo como os parâmetros devem ser
modificados.

     Na deformação de estruturas articuladas animadas, define-se unicamente o
movimento do objeto. O sistema controla uma hierarquia com três camadas:

       1. Estrutura articulada básica.
       2. Camada intermediária, modelada através de deformações de formas livres,
que estão ligadas à estrutura do objeto.
       3. Camada externa, ou estrutura poligonal que é atuada pela camada
intermediária.

        15.2 – Processamentos Digitais de Imagens

       Renderização:480 é o processo pelo qual pode-se obter o resultado de um
processamento digital qualquer. Este processo aplica-se essencialmente em programas
de modelagem 2D e 3D.
       Como o processo de tratamento digital de imagens consome muitos recursos dos
processadores, sua realização em tempo real pode ficar inviável. Neste caso, os
softwares trabalham em um modo de baixa resolução para poder mostrar uma “prévia”
do resultado. Quando o projeto está concluído, ou em qualquer momento que se queira
fazer uma aferição de qual será o resultado final, faz-se a renderização do trabalho.481

       Renderização aplicada a Modelagem 3D: a renderização é muito aplicada para
objetos 3D, fazendo a conversão de um 3D para uma representação em 2D, seja para
obter uma imagem estática, seja para obter imagens foto-realísticas em vídeo (animação
3D).
       Para renderizar uma cena é necessário, entre outras coisas, definir um tipo de
textura para os objetos existentes, sua cor, transparência e reflexão, localizar um ou
mais pontos de iluminação e um ponto de vista sob o qual os objetos serão visualizados.
Ao renderizar, o programa calcula a perspectiva do plano, as sombras e a luz dos
objetos.

479
    Algumas deformações são conhecidas como Transformações de Barr. Elas podem ser: adelgaçar
(tapering); torcer (twisting); encurvar (bending).
480
    O termo renderizar (do inglês to render, traduzir, representar) é usado com o significado de converter
uma série de símbolos gráficos num arquivo visual, ou seja, "fixar" as imagens em um vídeo,
convertendo-as de um tipo de arquivo para outro, ou ainda, "traduzir" de uma linguagem para outra.
481
    Após obter o resultado desejado pode-se então renderizar o trabalho, ou seja, torná-lo permanente.


                                                                                                     459
      A figura abaixo (uma paisagem) é um exemplo de renderização executada pelo
programa Terragen482.




        A representação acurada e realista de um modelo tridimensional complexo, em
uma cena que contenha vários objetos diferentes, exige que as superfícies normalmente
invisíveis de um determinado ângulo ou ponto no mundo sejam também “renderizadas
invisíveis” no computador.
        Este problema se divide em dois: 1) o problema de superfície visível (visible-
surface problem), quando o objetivo é determinar quais superfícies de um objeto são
visíveis de um determinado ângulo; 2) o problema de superfície oculta (hidden-surface
problem), quando o objetivo é determinar quais superfícies estão invisíveis neste
momento.

        O princípio de funcionamento de um algoritmo deste tipo envolve: para todos os
pixéis na Viewport, mantem-se um registro da profundidade (em termos de coordenada
Z) do objeto na cena em que estiver mais próximo, além de registros da intensidade, cor,
etc, usados para mostrar esse ponto na tela do computador.
        Assim que um novo polígono é processado, valores de Z e de intensidade são
calculados para cada pixel que estiver dentro dos limites do polígono. Se o valor de
coordenada Z obtido para aquele polígono for inferior ao valor armazenado para aquele
pixel no buffer, então esse objeto está mais próximo do que algum outro anteriormente
renderizado naquela posição e vai ocultá-lo. Neste caso, substitui-se o valor armazenado
naquela posição do buffer por este novo valor.

        15.2.1 – O Buffer de Profundidade, ou Z-Buffer

       De todos os algoritmos para determinação de superfície visível, o Buffer de
Profundidade, ou Z-Buffer, é talvez o método mais simples e mais utilizado.
       Z-buffer é uma parte da computação gráfica que consiste em usar a memória de
um adaptador de vídeo, o qual é encarregado de gerir as coordenadas de profundidade
das imagens nos gráficos en três dimensões (3D), normalmente calculados por hardware
(algumas vezes por softwarew).483
       O algoritmo Z-Buffer trabalha em Coordenadas de Vídeo ou Viewport (espaço

482
    O Terragen, um excelente software gerador de terrenos e cenários 3D, pode ser encontrado em:
http://superdownloads.uol.com.br/download/93/terragen/.
483
    O Z-Buffer ou Buffer de Profundidade é uma matriz [n x n] na qual o elemento (i,j) corresponde ao
pixel (i,j). Esta matriz contém o valor de z em Coordenadas do Mundo (espaço de imagem) do objeto
correntemente visível naquele pixel. Além disso, existe outra matriz [n x n] cujos elementos
correspondem à cor ou intensidade luminosa que é para ser atribuída àquele pixel.


                                                                                                460
de dispositivo), e pode ser implementado facilmente como uma extensão/modificação
de um algoritmo de conversão por varredura.
       A matriz de cores ou intensidades luminosas (para renderizações em preto e
branco) é inicializada atribuindo-se a todos os seus pixéis a cor preta.
       Em seguida mapeia-se pixel a pixel a profundidade de cada objeto da cena.
Toma-se cada um dos polígonos, executa-se a conversão por varredura e, durante esta
conversão, executam-se os seguintes passos:

        1. Verificação de intersecção. Para cada píxel, determinam-se os polígonos da
cena cuja conversão de varredura resultou num elemento com as coordenadas XY deste
pixel.
        2 - Determinação da ordem de ocultação. Para todos os polígonos da cena,
determina-se para cada pixel (i,j) que intercepta o polígono, se o valor Z em
Coordenadas do Mundo deste polígono na posição do pixel é maior do que o valor Z
armazenado no Z-Buffer. Se for maior, calcula-se a cor e outros valores associados a
este pixel e insere-se na entrada (i,j) da matriz de cor, e insere-se o valor Z do polígono
naquele ponto na posição (i,j) do z-Buffer. Se for menor, nada se faz.




       Mapeamento de textura (ou texturização): é a parte da computação gráfica que
se ocupa do estudo da simulação de materiais e texturas sobre planos. Trata-se de um
método gráfico computacional aplicado para 3D, tendo sido desenvolvido por Edwin
Catmull, em 1974.
       Um mapa de textura é aplicado (ou mapeado) para um lado de um polígono.

       Multitexturização: é o uso de mais de uma textura ao mesmo tempo, em um
polígono.

        Bump-mapping: em imagens digitais, significa o efeito que cria a ilusão de
relevo por cima de uma determinada textura. Desse modo, as superfícies ficam mais
realistas quando iluminadas por uma fonte de luz na cena.



                                                                                       461
        Normal map (ou Normal mapping): é uma variante da técnica anterior. É
utilizada para simular o relevo em uma superfície, calculando o ângulo das sombras
numa textura e, conseqüentemente, propiciando a impressão de maior profundidade.




       Parallax mapping484 (ou offset mapping ou virtual displacement mapping): é um
aperfeiçoamento das técnicas de renderização 3D aplicadas a texturas (tais como as
apresentadas em vídeo-game). Para o usuário final, isto significa que um muro de
pedras, por exemplo, terá mais profundidade e realismo.




484
      Termo introduzido por Tomomichi Kaneko et al.


                                                                                462
       Displacement mapping: é uma técnica de computação gráfica alternativa ao uso
do bump mapping, normal mapping ou parallax mapping. Ela permite, em uma textura,
manipular a posição de vértices de uma geometria renderizada. Ao contrário do Normal
ou Bump mapping, em que se distorce as sombras para dar a ilusão de uma mossa ou
cavidade (bump), esta técnica permite criar mossas reais, rugas (creases), sulcos
(ridges), em uma estrutura real. Daí, as deformações desta estrutura podem lançar
sombras, ocultar objetos ou realizar qualquer mudança possível na geometria real.




      Texture filtering (ou texture moothing): em computação gráfica, é o método
usado para determinar a cor da textura para um pixel de textura mapeado (texture
mapped pixel), usando as cores dos texels485 próximos (pixels da textura). Há muitos
métodos de filtragem de textura, os quais fazem diferentes ajustes entre complexidade
computacional e qualidade de imagem.

        Texture splatting: é um método de combinar diferentes texturas.




        15.3 - Reconhecimento de Movimento Humano. Método GMM486

        O reconhecimento de movimento humano através de sistemas de visão

485
    Um texel, ou elemento de textura (ou pixel de textura – texture pixel) é a unidade fundamental do
espaço de textura, usado em computação gráfica. Texturas são representadas por listas (arrays) de texels,
assim como as imagens são representadas por listas de pixels.
486
    Adaptado de: C. Gonçalves; L. A. Pereira; J. C. Pizolato, Jr.; A. Gonzaga: Reconhecimento de Tipos
de       Movimento        Humano       baseados    no    Método       GMM.           Disponível      em:
http://iris.sel.eesc.usp.br/lavi/pdf/wvc2006_0011.pdf.


                                                                                                    463
computacional geralmente utiliza métodos bidimendionais ou tridimensionais, ou então
métodos baseados na aparência.
        A maioria destes métodos é baseada em modelos, e propõe uma estimativa ou
sobreposição de posturas humanas. Entretanto, o custo computacional é elevado.
        O método baseado na aparência para reconhecimento de movimento humano
não usa estimativa da pose. Neste caso, o reconhecimento de movimento pertence a um
tipo de problema de reconhecimento padrão. A técnica HMM (Hidden Markov Model) é
uma delas.

       Outra técnica utilizada é a identificação do movimento humano através do
cálculo do centro de massa da imagem das pessoas, utilizando o algoritmo GMM
(Gaussian Mixture Model).
       O GMM é utilizado para modelar diferentes classes ou gêneros de movimento,
como uma função de probabilidade (FDP), utilizando uma combinação de FDPs
moderadas, ou seja, uma mistura. Os parâmetros do conjunto são ajustados e este
processo é iterativo. Após este processo, os GMMs resultantes são usados para
determinar as probabilidades de um movimento pertencer a uma das classes. Pelo
cálculo do deslocamento do centro de massa da pessoa que está se movendo e sua
velocidade, pode-se determinar o tipo de movimento analisado.




                                                                                464
APÊNDICES




            465
                     APÊNDICE I

        Lista de Letras Gregas, Com Pronúncia


a   α     А       alfa    x        ξ       Ξ       ksi
b   β     В       beta    o        σ       Ο    ômicron
g   γ     Г      gama      p       π       Π        pi
d   δ     ∆       delta    r       ρ       Ρ        rô
e   ε     Е     épsilon    s       ς       Σ     sigma
z   ζ     Ζ      dzeta     t       τ       Τ       tau
ê   η     Η        eta     u       υ       Υ    úpsilon
t   θ     Θ       teta     f       φ       Φ        fi
j   ι     І       iota    qu       χ       Χ       qui
k   κ     К       kapa    ps       ψ       Ψ       psi
l   λ     Λ     lambda     ô       ω             ômega
m   µ     Μ        mü
n   ν     Ν        nü




                                                    466
                                                  APÊNDICE II

                         Demonstração sobre a Pavimentação do Plano
       Esta é uma simples demonstração geométrica (por absurdo) da impossibilidade
de pavimentar o plano com eixo de simetria de ordem cinco.

        Suponha-se que, em um meio cristalino, exista um eixo de simetria de ordem
cinco. Toma-se o nó da rede a1 mais próximo ao eixo de simetria. Perpendicularmente
ao eixo de simetria, deve existir uma rede plana que contenha o ponto a1.
        Realizando a operação correspondente ao eixo de ordem cinco, faz-se girar o
ponto a1, repetindo a cada 72º. Obtém-se assim os ponto a2 a3 a4 a5. Unindo os pontos
a1 e a4, eles definem um segmento de reta que é paralelo ao lado a2a3 do pentágono
regular.
        Como todas as filas da rede cristalina possuem intervalos iguais entre os nós, se
for marcada na reta a1a4 um segmento igual ao lado a2a3, obtém-se, dentro do
pentágono, o nó K, que está mais próximo de a5 do que qualquer outro ponto. Chega-se
assim a uma configuração que contradiz a condição preestabelecida de que o ponto a1
era o mais próximo do eixo.
        Portanto, não podem existir eixos de simetria cinco nos cristais.487




487
      Para eixos maiores do seis (senário), a demonstração é análoga.


                                                                                     467
       APÊNDICE III

Alguns Exemplos de Mapas-Múndi




                                 468
469
470
471
                                           APÊNDICE IV

                          Os Problemas Geométricos de Delos

        O conceito de número foi laboriosamente construído ao longo de séculos de
evolução do pensamento matemático. Em seus primórdios, principalmente na Grécia, o
raciocínio matemático se baseava quase que unicamente nas formas e figuras
geométricas.488
        Os pitagóricos consideravam a geometria mais como um conhecimento
iniciático e religioso do que propriamente científico, e pode-se imaginar o seu desalento
ao descobrirem a existência dos números irracionais, ou razões geométricas que não
podiam ser colocadas como relações entre números inteiros (por exemplo, a diagonal de
um quadrado expressa um número que é igual à raiz quadrada de dois, e não pode ser
medida, em números inteiros, com a mesma unidade de medida de cada lado do
quadrado).

       Eudóxio, matemático grego, apresentou um método geométrico através do qual
se podia descrever razões de comprimentos (dadas em números reais) em termos de
números inteiros. Este método, também chamado teorema de Ptolomeu, relaciona as
distâncias entre quatro pontos em um círculo, em termos de somas e produtos:




                          AB.CD + AD.BC = AC.BD

       Este teorema introduziu o conceito geométrico de número real, tão importante na
moderna análise matemática.489
       De acordo com E. T. Bell, “os geômetras gregos deixaram sem elucidar quatro
problemas elementares,490 que desafiaram a inventividade dos matemáticos por mais de
dois mil anos. Nenhum dos quatro tem importância matemática, hoje em dia.
Historicamente, nunca se colocaram problemas mais prolíficos, com a possível exceção


488
    Entretanto, Lakatos afirma que originalmente os pitagóricos davam mais valor à prova aritmética.
Quando se descobriu que a raiz quadrada de dois era um número irracional, os critérios de prova
mudaram, dando lugar à intuição geométrica (e dando origem à teoria das proporções). A crescente
insatisfação com o método e a geometria de Euclides fizeram retornar, no século XIX, a intuição
aritmética, tendo por base a teoria dos números reais. (LAKATOS, 1978, p. 75, nota 74).
489
    Este conceito de número real, entrevisto por Eudóxio, só veio a ter uma teorização final satisfatória no
século XIX, principalmente com os matemáticos Dedekind e Weierstrass.
490
    Nesta citação, o autor retirou a parte referente ao quarto problema, vinculada ao quinto postulado de
Euclides. As tentativas infrutíferas que se fizeram durante uns 2300 anos para resolvê-lo deram origem,
finalmente, a um grande progresso na metodologia matemática que hoje em dia parece evidente, mas que
escapou a alguns dos mais perspicazes cérebros da história.


                                                                                                       472
do de Zenão491. Os repetidos fracassos para resolver os três primeiros revelaram
dificuldades fundamentais que os antigos não suspeitavam, e tornaram necessário
melhorar o conceito de número.
        (,,,)
         “Os problemas são os seguintes. Em cada um dos três primeiros, e como uma
deferência a Platão, a construção deverá ser feita inteiramente por meio de um número
finito de linhas retas e de circunferências (estes problemas são chamados também de
problemas de Delos, e sua resolução platônica deveria ser realizada apenas com a
utilização de régua e compasso.

           •    Problema um: trissectar um ângulo qualquer.
           •    Problema dois: construir o lado de um cubo cujo volume seja o dobro do
                volume de outro cubo dado.
           •    Problema três: construir um quadrado de área igual à de um círculo dado.

        (...)
         “O problema dois é equivalente a pedir uma construção geométrica, pelos meios
indicados para a raiz real de x3 - 2 = 0; o problema um é semelhante. Nenhum dos dois
foi resolvido, até que P. L. Wantzel (francês, 1814-1848) em 1837 obteve as condições
necessárias e suficientes para resolver uma equação algébrica de coeficientes racionais
pelos meios geométricos acima especificados. Nenhuma das duas equações de terceiro
grau satisfaz as condições, e portanto ficou demonstrado que os problemas eram
impossíveis.
        “Se se prescinde da restrição de permitir unicamente um número finito de linhas
e de circunferências, é fácil resolver os problemas um e dois, por exemplo, pelas
cônicas, como o fizeram os gregos, ou por um sistema articulado.
        “A importância histórica destes dois problemas é devido ao impulso que deram,
muito posteriormente aos gregos, à investigação da natureza aritmética das raízes das
equações algébricas com coeficientes inteiros. A estas raízes se dá o nome de números
algébricos; os números que não são algébricos, são chamados transcendentes.
        “O terceiro problema é mais profundo. Em virtude do teorema de Wantzel, se o
problema três é solúvel, seu equivalente algébrico há de ser um número finito de
equações que satisfaçam suas condições. O problema seria possível se pi (= 3,14...) é
transcendente. Em 1882, Lindemann (alemão, 1852-1939) demonstrou que pi é
transcendente. Sua demonstração, com sua curiosa dependência da aritmética racional,
haveria deleitado a Pitágoras.
        “O problema três, assim como o um e o dois, é solúvel se se o modifica,
permitindo o uso de outras curvas, que não a circunferência. A quadratriz (µ, ß equação
polar piµ = 2rß cosec ß) inventada por Hípias no século IV a.C., para o problema da
trissecção, é suficiente. No entanto, isto tem muito pouco interesse; a importância da
quadratura do círculo reside em suas relações com os números transcendentes.
        “A quadratura do círculo implica uma irracionalidade de natureza radicalmente
distinta àquela que ensinou aos pitagóricos que nem todos os números são racionais; V2
é algébrico, pi não é. Alguém que explorasse o sistema dos números pela primeira vez,
iria lhe parecer razoável supor que todos os números reais são algébricos, ou pelo
menos que os transcendentes seriam extraordinariamente raros. Cantor demonstrou em
1872 que os números algébricos são em realidade as exceções; os transcendentes são
infinitamente (à potência do contínuo) mais numerosos. Um exercício muito

491
      E o último teorema de Fermat, recentemente resolvido (nota do autor).


                                                                                    473
interessante é o de averiguar o que pressupõe a restrição a um número finito de linhas
retas e de circunferências nas condições dos três problemas”. (E. T. BELL, História de
las Matematicas, p. 86-87).

       Como é dito no texto de Bell, tais problemas geométricos possuem apenas uma
importância relativa, nos dias atuais. Sua resolução, entretanto, interessaria à área da
geometria, desenho geométrico, geometria analítica, desenho arquitetônico e
construções geométricas em geral.

                                       Os Problemas em Detalhes

           Trissecção:

       O matemático grego Hipócrates, que estudou estes problemas, apresentou a
seguinte solução para a trissecção:

       Dado um ângulo CAB, levanta-se CD perpendicular a AB, que determina o
ponto D. Completa-se o retângulo CDAF. Extende-se FC até E, e interligam-se os
pontos A-E, encontrando o ponto H. A distância HE deve ser igual a 2AC.492 Desse
modo, o ângulo EAB é igual a 1/3 do ângulo CAB.




      Com relação a este problema, Gauss havia declarado que a sua resolução (bem
como a da duplicação do cubo) com régua e compasso era impossível, mas não deu
nenhuma prova disso.
      Em 1837, Wantzel foi o primeiro a dar esta prova, também realizada mais tarde
por Charles Sturm, que, no entanto, não a publicou.

           Duplicação do Cubo:

       O problema da duplicação do cubo talvez seja o mais famoso desses problemas
geométricos. Segundo alguns relatos, ele aparece pela primeira vez em um relato de
Théon de Smirna, que cita por sua vez um trabalho de Eratóstenes, intitulado
Platonicus.
       Eratótenes afirma que, assolados por uma praga, os moradores de Delos teriam
consultado o oráculo, que disse que a praga seria contida se eles construissem um altar
cuja forma cúbica deveria ser o dobro do altar preexistente. Eles ficaram confusos e
perplexos quando perceberam a dificuldade de realização prática do que fora pedido, e
foram até Platão pedir sua ajuda. Este, contudo, respondeu que o que o deus queria não
era um altar dobrado, e sim mostrar aos gregos a sua negligência quanto à matemática e

492
      O ponto G deve estar na metade de HE, de modo que HG = GE = AC.


                                                                                    474
geometria.493
       De acordo com antigos relatos igualmente atribuídos a Eratóstenes, Platão ou
algum de seus discípulos da Academia, teria inventado uma máquina capaz de resolver
o problema da duplicação do cubo. 494

          Quadratura do Círculo:

       O terceiro problema era, dado um círculo, construir geometricamente um
quadrado de área igual a ele (ou: problema da quadratura do círculo).
       A fascinação com este problema era devido a que, por trás dele, residia um
conceito geométrico já conhecido desde as mais remotas eras:495 a relação entre o
perímetro e o diâmetro de uma circunferência, dado por um número: π.

       Um antigo papiro egípcio, o Papiro Rhind, fornecia uma regra para construir um
quadrado de área igual à de um círculo dado. A regra era construir um quadrado sobre o
diâmetro, após cortar 1/9 deste. Isto dava uma boa aproximação, que correspondia a um
valor para π de 3,1605.

      Pappus, em sua obra Mathematical Collection, escrita ao fim do período clássico
de desenvolvimento grego da geometria, escreveu que os problemas geométricos
podiam ser:

        Planos, ou aqueles que se resolviam pelo uso de linhas retas e círculos, porque
as linhas que os resolviam tinham sua origem no plano.
        Sólidos, ou aqueles que se resolviam pelo uso de uma ou mais seções cônicas.
        Lineares: eram os que exigiam a construção de outros tipos de curvas, com faces
irregulares e movimentos complexos.

        Mas os gregos,496 de um modo geral, não se restringiam a nenhum forma em
especial de resolução. Eles desenvolveram uma grande variedade de métodos, usando
vários tipos de curvas especialmente inventadas para este objetivo, ou criaram métodos
mecânicos para fazer esta construção.

        Arquimedes já tinha dado uma solução ao problema de quadrar o círculo, a qual
será vista em seguida.

      •   Seja P o ponto da espiral quando é completada uma volta.
      •   Traça-se a tangente a P, cortando a linha perpendicular a OP em T.

      Ele provou, em sua Proposição 19 da obra Sobre as Espirais, que OT é o
comprimento da circunferência do círculo de raio igual a OP. Como ele já havia
provado (em sua Primeira Proposição da obra Medida do Círculo) que a área de um

493
    Esta praga teria acontecido por volta do ano 430 a.C., e chegou a matar um quarto da população.
494
    Parece que Leonardo da Vinci apresentou também um método mecânico para dobrar o cubo. Várias
soluções acerca do problema da duplicação do cubo podem ser encontradas no site: http://www-
history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html.
495
    O Papiro Rhind, um documento de 1850 a.C. que o menciona, segundo alguns especialistas se basearia
em outros documentos escritos cerca de 3400 a.C. De acordo com suas regras de quadratura, o valor de π
seria de 3,1605, o que seria uma aproximação razoável.
496
    O primeiro matemático que tentou realizar a quadratura do círculo foi o grego Anaxágoras.


                                                                                                 475
círculo é igual ao triângulo retângulo que tem o lado mais curto igual ao raio do círculo,
então, a área do círculo com raio OP é igual à área do triângulo OPT.
        É bem fácil encontrar um quadrado equivalente a um triângulo retângulo.




        Uma das primeiras provas matemáticas que demonstravam a impossibilidade de
resolver este problema usando apenas régua e compasso foi dada por Lambert, em 1761,
quando provou que o número π era irracional. Em 1880 o matemático Lindemann foi
mais além, provando que π era um número transcendental.497 Isto mostrou
definitivamente que o círculo não podia ser quadrado usando apenas régua e compasso.

        Nada disso impediu, contudo, o prosseguimento das tentativas de solução
geométrica, tanto por amadores quanto por matemáticos do mais alto calibre, como o
indiano Ramanujão.498 Este, em 1914, mostrou que uma solução geométrica podia ser
realizada tomando para valor de π o resultado de (92 + 192/22)1/4. 499




497
    Ou seja, não podia ser a raiz de uma equação polinomial qualquer com coeficientes racionais.
498
    Ou Ramanuja (1887-1919), um dos mais extraordinários matemáticos intuitivos de todos os tempos.
Nascido na Índia, aprendeu sozinho matemática, e quando se tornou conhecido ao transferir-se para a
Inglaterra, não cansava de surpreender os maiores matemáticos de sua época.
499
    Cujo resultado, 3,1415926525826461253.... , difere do valor de π somente na nona decimal (com
dezenove decimais, π = 3,1415926535897932385...).


                                                                                              476
                                        Soluções Pessoais

       Admite-se, no desenho geométrico, a possibilidade de encontrar um segmento
representativo de um número irracional (como, p. ex., √2). Assim, ainda que a equação
x = √2 não possua solução analítica, ou seja, não há uma representação racional para x),
admite-se que uma projeção geométrica possa representar tal número:500




        A semi-reta AD’ equivale à raiz quadrada de (AB)2 + (BD)2.

       Esta possibilidade de representar geometricamente um número irracional
permitiria, então, construir soluções platônicas para os três problemas gregos.

       Com base nessa premissa, serão oferecidas as soluções com régua e compasso
para os problemas501 da trissecção, dobragem do cubo e quadratura do círculo.




500
    Esta solução resulta da teoria dos números reais. Sendo a linha reta um contínuo, haverá sempre um
ponto D’ que representa a imagem de √2.
501
    O problema da trissecção é demonstrado; já as construções seguintes são intuitivas.



                                                                                                 477
                                    I – Trissecção do Ângulo


        O que se deseja, aqui, é dividir um ângulo dado qualquer, em três partes, ou
ângulos (internos) iguais. Como já se viu, apesar de parecer simples, os maiores
geômetras de todos os tempos perceberam que este era um problema de difícil solução,
utilizando apenas régua e compasso.
        Em ângulos retos, não há nenhuma dificuldade, e a solução é trivial. A
dificuldade real começa a aparecer quando se trata de ângulos agudos.

          Antes de entrar no tema, entretanto, serão verificadas algumas propriedades.

          Seja a seguinte propriedade:

        O segmento de reta que trissecta o ângulo mantém uma distância
proporcionalmente constante do segmento de reta que o divide (ao ângulo) em sua
quarta parte. Em outras palavras, o segmento que o trissecta está sempre a um terço da
distância que separa o segmento de reta que divide o ângulo em quatro partes, da
bissetriz do ângulo.

        Por exemplo, um ângulo de 60º, dividido em quatro partes, separa-se em
distâncias iguais de 15º cada, e sua trissecção está a uma distância de 5º de sua quarta
parte, ou seja, a 20º (um terço de 15º é igual a 5º).

        Para se encontrar esta terça parte do ângulo, será utilizada também a propriedade
dos triângulos retângulos explanada a seguir.502

          Em qualquer triângulo retângulo, tem-se a seguinte relação, definida pela figura
abaixo:

B/(A+B) = C/A ou (A+B)/A = B/C (1)




          De onde:


502
    Esta propriedade baseia-se na média harmônica entre vários números. A média harmônica de n
números reais positivos x1, x2,... , xn é o número real positivo H, definido pela seguinte relação: n/H =
1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn. No exemplo mostrado, o valor de C é igual à metade do valor de H.



                                                                                                    478
AB/(A+B) = C , e C = A/2 = B/2 para A = B. Para B = A/2, C = A/3:




        A medida C é de um terço da medida do segmento A, e foi encontrada
interligando-se os extremos dos segmentos A e B (a distância entre eles não influi no
resultado).

       A relação (1) é uma relação exata, e deduz-se da proporção dos segmentos do
triângulo retângulo.

       Para ângulos agudos, a mesma proporção será utilizada, a partir de uma outra
construção geométrica.




          O ângulo dado é O.PP.QQ.

      1. Com raio qualquer, a partir do centro O, traçam-se os pontos P’ e Q’.
      2. Com raio maior, traçam-se os pontos P" e Q".
      3. Pelo método já visto, encontra-se a terça parte do ângulo dado (segmento OR,
         que, prolongado, passa pelo ponto P).503

      Demonstração:

OQ = OP’ = OP = OQ’                 Por construção => p = r = a ; q = s = b

a’ + b’ = 2b            (1)         Por construção => (ângulo externo a um triângulo)

a’ = 2a                 (3)         Por construção => (ângulo externo a um triângulo)


503
   Simetricamente, encontra-se o outro segmento que, traçado, completa a divisão do ângulo em três
partes iguais.


                                                                                             479
        Tem-se, então:

b’ = (a’+ b’)/3 (Hipótese - H)

b’ = a’/2 (Tese - T)

De (1) e H:

3b’ = 2b => b’ = 2b/3 (2)

De (1) e (2):

2b - a’ = 2b/3

6b - 3a’ = 2b

4b = 3a’

b = 3a’/4

        De (1) e (3):

b’ = 2b - 2a = 2.(b - a) = 2.( 3a’ /4 - a’/2) = 2.(3a’ - 2a’)/4 = a’/2

        Ou seja:

b’ = a’/2

        C.Q.D




                                                                         480
                                 II – Duplicação do Cubo

       Já há quase 2500 anos o matemático grego Hipócrates de Chios notou que a
solução deste problema envolveria a seguinte proporção aumentada:

a/x = x/y = y/b , sendo:

b = 2a , e:

x^2 = ay => y = ( x^2)/a

ab = xy => 2a^2 = xy e y = (2a^2)/x

x^2 = (a.2a^2)/x

x^3 = 2a^3

x = a.2^1/3 , sendo x a aresta do cubo originado, e a a aresta do cubo original.

       A resolução deste problema somente por régua e compasso (solução platônica)
será aqui realizada através de artifícios, como se mostrará a seguir.

       Através de relações de equivalência (que é um conceito mais amplo do que o de
igualdade), um volume poderia ser representado por meio de uma superfície (método de
redução dimensional. Note-se que a equivalência permite relacionar áreas com volumes,
o que não é o caso da igualdade). Por exemplo, o cubo seria assim representado:




   a^3 (cubo) (p. ex.: 23 = 8)

        O dobro do cubo será assim representado:




   2a^3 (dobro do cubo) (2.23 = 16 = 2.8)

       Para encontrar uma equivalência do dobro do cubo, usa-se o artifício de
multiplicar o cubo por 4 e procurar em seguida uma área equivalente, a qual, para os
fins em vista, será o retângulo (o que é o mesmo que encontrar um retângulo
equivalente a um quadrado):




   4a^3 (4.23 = 32)


                                                                                   481
       Deste modo, a metade da área do retângulo a ser encontrado será equivalente ao
cubo dobrado:

xy/2      (4a^3)/2       2a^3 (1)

(16 = 2.8 ; mas : 2.a3 = 4.a2

=> 16 = 4.4 ;

         e também:

4.a2 = (2.a)2

         Note-se que xy       4a^3 , e pelas relações anteriores encontradas, xy = 2a^2.

         Na figura anterior, pode-se fazer a seguinte equivalência:

b/x     y/a

         Usam-se a seguir as relações de Hipócrates de Chios, y = x^2/a e b = 2a:

ba       xy

2a.a        (x.x^2)/a

2a^3          x^3 , e:

x      a.(2^1/3)

         Note-se também que é uma premissa que

xy/2      x^3, o que dá:

y/2     x^2 , e:

x      ((2y)^1/2)/2. Por comparação,

a.(2^1/3)       ((2y)^1/2))/2.

         Portanto:



                                                                                           482
2a.(2^1/3)       (2y)^1/2

(2a.(2^1/3))^1/3         ((2y)^1/2))^1/3

2^3.a^3.2        ((2y)^1/2))^1/3

(2^4.a^3)^2           2^3.y^3

2^8.a^6        2^3.y^3

2^5.a^6        y3

          Elevando a 1/3:

2^(5/3).a^2         y

          Ou seja:

y      a^2.((32)^1/3)          2.a^2.4^1/3

          Multiplicando x por y, vem:

x.y       a.(2^1/3).2.a^2.4^1/3        (2a^3).2   4.a^3

x.y       4a^3 , e:

(x.y)/2      2.a^3       (1)

                    C.Q.D.

          A realização geométrica do problema exige certas considerações adicionais.

          Sabe-se que é fácil construir um quadrado equivalente a um retângulo:




      1. Projeta-se o lado do retângulo, AC, achando-se o segmento prolongado ED.
         Com centro em O (no meio de ED), traça-se uma semi-circunferência.
      2. Prolonga-se AC, até encontrar o ponto C’, sendo CC’ o lado do quadrado
         procurado.

    O problema inverso, achar o retângulo equivalente ao quadrado, só é possível se não
restituir os números inteiros equivalentes aos lados do retângulo (o que seria o mesmo
que encontrar duas variáveis a partir de uma única equação).



                                                                                       483
         Com lados irracionais, a solução é simples:




      1. No quadrado ABCD, com centro em B, traça-se a circunferência que passa por
         A e D.
      2. Traça-se a bissetriz CB.
      3. Tangente à circunferência, traça-se FF’, até encontrar a bissetriz.
      4. Com centro em F, traça-se a circunferência que passa por B.
      5. O ponto E, arbitrário, deve tocar a circunferência, e o lado EE’ é o lado do
         retângulo procurado (qualquer ponto na circunferência, entre B e G, também é
         solução).504
      6. A aresta original é AC/2, e a aresta do cubo duplicado é EE’.

       No caso em pauta, entretanto, procura-se um lado que seja proporcional à raiz
cúbica de 2 (y = a.2^1/3, cujo valor aproximado é 1,26).

         A solução geométrica é a seguinte:




      1. Traçada a circunferência com centro em F, prolonga-se a semi-reta AB até
         encontrar FF’ (ponto E).
      2. Traça-se uma semi-reta interligando os pontos D e E. Onde esta cruzar a
         circunferência, encontra-se o ponto E’, sendo o lado E’E” a aresta procurada.
      3. Sendo AC/2 o lado que é conhecido, e se AC/2 é igual a 2, E’E” é igual a 2,52,
         aproximadamente (2 x 1,26), e é igual ao lado x procurado.

       Se a aresta original vale 2 (com um volume: 23 = 8), o cubo duplicado vale 8 x 2
= 16. Com aresta igual a 2,52, tem-se: 2,523 ≈ 16.


504
   A semicircunferência que passa pelos pontos A e B, bem como o retângulo A”CE”E, são mostrados
para melhor compreensão.


                                                                                           484
                                  III – Quadratura do Círculo

                              (e Retificação da Circunferência)505


       A solução apresentada a seguir não só permite encontrar o lado do quadrado,
como também permite encontrar o segmento de reta equivalente à quarta parte da
circunferência retificada.506
       Esta última solução, como conduz à solução da quadratura, será vista primeiro.




      Construção:

      1. Traça-se a circunferência, com dois diâmetros prolongados.
      2. Unem-se os pontos A e B, e traça-se a bissetriz OT.
      3. Paralelamente a AB, tangente à circunferência, traça-se CD.
      4. Paralelo a CD, com a mesma distância entre a tangente e AB (BD=DF), traça-se
         EF.
      5. No meio do segmento EC (ponto O’), traça-se, paralelamente a B’F, o segmento
         O’O", que intercepta a bissetriz OT.
      6. Unem-se os pontos O" e B’. Este segmento corta o raio OA em duas partes, r’ e
         r. Passando pelo ponto de interseção, traça-se o segmento MN, paralelamente a
         B’B.

        MN é o segmento equivalente a um quarto do segmento encontrado na
retificação da circunferência :

MN = 2.π.R/4.                     =>       4MN = 2.π.R

           Fórmulas relacionadas:507

MN divide o segmento OA em duas partes, r e r’, cuja razão é: r/r’ = π/2

r/r’ = π/2               =>       r = π.r’/2                        (1)


505
    Veja-se: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Squaring_the_circle.html.
506
    Problema da Retificação da Circunferência.
507
    Não é uma demonstração.


                                                                                            485
R = r + r’              =>      r = R - r’

π/2 = (R - r’)/r’

π.r’ = 2R - 2r’

π.r’ + 2r’ = 2R

r’(π + 2) = 2R          =>      r’ = 2R/( π + 2)

De (1):

r = π.r’/2              =>      r = π.R/(π + 2)




          Para a solução da quadratura, faz-se o seguinte:

    1. No mesmo círculo anterior, unem-se os pontos BO’.
    2. Onde este segmento corta a circunferência, traça-se, paralelamente ao diâmetro
       AA’, o segmento GG’ (deve-se notar que, unindo os pontos O"G e prolongando
       até o segmento encontrar o raio OA, a distância do ponto interceptado ao ponto
       O’ é igual ao raio R).

        GG’ é o segmento igual ao lado do quadrado de área equivalente à área do
círculo de raio OA : (GG’)2 = π.R2 = π.(OA)2.




                                                                                 486
.




    487
                                             APÊNDICE V

                  Relações Matemáticas nas Proporções Geométricas


       Na construção geométrica da média e extrema razão, se AB é o segmento dado e
X o ponto de divisão, tem-se então:


        (AX)2 = AX.XB

        Seja AB = d e XB = (d – x).508 Daí:

        x2 = d(d – x)

        x2 = d2 – dx

        x2 + dx – d2 = 0

        Esta equação tem as soluções:

        x1 =       √(d2 + d2) – d
                     4          2

        x2 = – { √(d2 + d2) + d }
                   4          2


       Independente do sinal, os segmentos AX1 = x1 e AX2 = x2 são obtidos pela soma
ou subtração do segmento d/2 à hipotenusa do triângulo retângulo que tem por catetos
os segmentos d509 e d/2:510




        De acordo com as raízes reais e de sinais contrários, a construção a seguir mostra
que existem dois pontos X e X’ que dividem o segmento AB em média e extrema razão,
de modo que a soma de suas distâncias a A é igual a: – AB, e o produto das distâncias é
igual a: – AB2:

508
    Considera-se o segmento orientado no sentido AB.
509
    Que é igual a √(d2/4 + d2).
510
    Na figura, os segmentos AX1 e AX2 foram tomados de acordo com os seus sentidos.


                                                                                      488
        Tem-se também:

x1 = d { √(5 – 1) }
     2


x2 = d { √(5 + 1) }
     2


        E ainda, o valor absoluto (módulo) de x2:

| x2 | – x1 = d

| x 2 | . x 1 = d2

        Desta forma, | x2 | e x1 determinam dois segmentos cuja diferença e produto
surgem da interpretação gráfica da equação do segundo grau x2 ± SX ± p = 0, no caso
particular em que p = d2.
        Na figura anterior, o segmento AX é o maior dos segmentos aditivos, e AX’ o
menor dos segmentos subtrativos (que dividem AB em média e extrema razão).




                                                                               489
                                          APÊNDICE VI

           Considerações Sobre o Problema do Caixeiro-Viajante511
       O problema é o seguinte: suponha-se que um caixeiro-viajante deva visitar n
cidades diferentes, iniciando e encerrando sua viagem na primeira cidade.512 Não
importa a ordem com que as cidades são visitadas, desde que sejam visitadas uma única
vez; de cada uma delas, pode-se ir diretamente a qualquer outra.
       Se o caixeiro inicia de um ponto, e se as distâncias entre cada par de pontos são
conhecidas, deve-se descobrir qual é o menor caminho que visita todos os pontos e
retorna ao ponto inicial (ou seja, descobrir a rota – ou ciclo hamiltoniano – que torna
mínima a viagem total).

        Eis um exemplo de problema TSP, sugerido pelo autor Keith Devlin513
(distâncias em milhas):

                        Springfield            Oldtown              Mildtown              Newtown
Springfield                  0                    54                   17                    79
Oldtown                     54                    0                    49                   104
Mildtown                    17                   49                     0                   91
Newtown                     79                   109                   91                    0


                  Rota                       Milhas totais
              S-O-M-N-S           54 + 49 + 91 + 79 = 273
              S-O-N-M-S           54 + 104 + 91 + 17 = 266
              S-M-O-N-S           17 + 49 + 104 + 79 = 249
              S-N-O-M-S           79 + 109 + 49 + 17 = 254 (249)
              S-M-N-O-S           17 + 91 + 109 + 54 = 271 (266)
              S-N-M-O-S           79 + 91 + 49 + 54 = 273

                  (O quadro acima foi modificado em sua ordem).514

        No exemplo de Devlin levam-se em conta as distâncias percorridas dentro das
cidades, o que leva às diferenças de ida e volta entre as cidades de Newton e Oldtown.
Se isto não for considerado, a tabela fica com as distâncias entre parênteses (vide nota).
        Nas rotas, nota-se uma combinação entre as cidades (O, M e N). Sendo três
cidades, haverá 3x2 ou 6 possibilidades diferentes (3!). Para quatro cidades, 4x3x2, ou
24 possibilidades (4!).
        Entretanto, nota-se que, com a modificação feita na tabela (considerando-se os
valores entre parênteses), cada rota possui uma rota simétrica. Isto leva a 6/2 ou apenas
três possibilidades, sendo a rota S-M-O-N-S a menor (como também a sua simétrica, S-

511
    Problema do Caixeiro Viajante – PCV, ou Traveling Salesman Problem – TSP. Este é um problema
de otimização combinatória, para o qual ainda não existe um método polinomial eficiente que o resolva.
Está contido também na teoria dos grafos, circuitos hamiltonianos, etc. Pode ter duas variantes: a STSP e
a ATSP (se for simétrico ou assimétrico).
512
    Em algumas variantes do problema, a cidade inicial não precisa coincidir com a cidade final.
513
    DEVLIN, 2004 (2), p. 152.
514
    A modificação foi feita para mostrar uma simetria oculta (não perceptível no quadro original), com
relação aos valores totais.


                                                                                                    490
N-O-M-S).515
        A solução mais simples parece ser reduzir o problema de otimização a um
problema de enumeração: achadas todas as rotas possíveis e calculados os
comprimentos de cada uma, bastaria ver qual a menor. Com poucas cidades, como no
exemplo, a solução seria fácil.
        Com muitas cidades, a idéia que surge é que, se for usado um computador
potente, a resposta viria rápido. Para n cidades, a combinação total de rotas dá um total
de n!/2 ou (n-1)!/2 possibilidades, se existir uma simetria.516
        Chama-se tempo polinomial ao tempo de computação empregado para obter
todos os resultado possíveis. Significa que, existindo uma solução polinomial, esta
poderia ser encontrada em um tempo razoável de computação. Entretanto, o tempo
polinomial cresce extraordinariamente com o valor de n; deste modo, mesmo com
computadores de alto desempenho, um valor simples como n = 20 levaria várias
décadas para ser calculado. Conclui-se que a solução pela enumeração não resolve o
problema.517
        Para os problemas considerados não-polinomiais (NP), ou seja, para os quais não
existe uma solução polinomial, soluções aceitáveis, ainda que não as melhores, podem
ser encontradas através dos chamados algoritmos heurísticos, que compensam sua
inexatidão com um menor tempo de computação.

       Tendo-se em conta a limitada capacidade de processamento na base binária
(usando os bits 0 e 1), vários pesquisadores tem procurado oferecer novos paradigmas
computacionais. Uma dessas propostas é a dos computadores genéticos, em base
quaternária,518 que, pelo menos teoricamente, ofereceria uma capacidade computacional
elevadíssima.
       Em 1994, o pesquisador Leonard Adleman propôs que o problema TSP fosse
resolvido através de computação genética. Em sua formulação, haveria apenas sete
cidades (com a cidade final distinta da cidade inicial) e 14 caminhos, passando uma
única vez em cada cidade.
       Inicialmente, ele fez uma representação biológica para os dados do problema (as
cidades e os caminhos entre elas), associando as cidades envolvidas às sequências com
número fixo de nucleotídeos.
       Para representar cada caminho da cidade X até a cidade Y, ele conseguiu em
laboratório o acoplamento da segunda metade da sequência de nucleotídeos da cidade X
com a primeira metade da sequência de Y, de onde seria obtida a sequência
complementar.

       Por exemplo: se X = ACGAGTTG e Y = AGCTCAGG então o caminho de X
para Y fica: GTTG + AGCT = GTTGAGCT ===> CAACTCGA.


515
    A dificuldade de otimização para uma grande quantidade de cidades seria assustadora; por exemplo,
para dez cidades, mesmo com a simetrização, ainda assim as possibilidades seriam iguais a (10!)/2 =
1814400.
516
    A notação “ ! ” é uma operação matemática chamada fatorial, onde se multiplica: n x (n -1) x (n - 2) x
... x 2 x 1. A solução n! ou (n-1)! depende do retorno ou não à origem.
517
     Foi demonstrado que, se houver uma solução em tempo polinomial para este problema, haverá
também soluções em tempo polinomial para outros problemas incluídos na categoria NP – completos.
518
     A seqüência de nucleotídios contida nas moléculas de DNA possui informação codificada na base 4,
correspondente aos componentes: adenina, citosina, guanina e timina (ACGT). Os nucleotídeos unem-se
apenas em pares complementares, GC e AT, sendo que estes acoplamentos duplos formam a hélice dupla
do DNA.


                                                                                                     491
       As atrações de pares complementares justificam o uso da sequência
CAACTCGA para representar o caminho da cidade X para a cidade Y. A seqüência de
X para Y (ou seqüência complementar) é chamada de seqüência hibridizante.




        Cada sequência hibridizante representa uma rota entre duas cidades. A seqüência
final deve então incluir todas as cidades, separando as rotas legítimas519 e determinando
a rota mínima.
        Entretanto, para garantir que as DNA hibridizantes fossem capazes de gerar
todos os possíveis caminhos, Adleman precisou usar cerca de um trilhão de cópias da
sequência de cada cidade e da sequência de cada caminho entre pares de cidades (e isso
apenas com sete cidades). Com um número muito elevado de n, o procedimento torna-
se, então, absolutamente inviável.

       Os melhores resultados atuais (não necessariamente soluções ótimas) são
conseguidos através de algoritmos heurísticos tais como o Lin-Kernighan (LK) e suas
variantes (como o LKH); algoritmo k-opt (de melhoria de roteiro); algoritmo genético
híbrido paralelo; algoritmo PSO Discreto,520 etc.

       O quadro abaixo mostra a evolução do total de cidades que já se conseguiu
calcular, no problema TSP, com rotas mínimas provadas. O maior valor atual
compreende todas as 24.978 cidades da Suécia.




519
      As que iniciam na primeira cidade e terminam na última, e passando uma única vez em cada cidade.
520
      Particle Swarm Optimization, ou Otimização por Nuvem de Partículas.


                                                                                                    492
        Em maio de 2004, o problema TSP de visitar todas as 24.978 cidades da Suécia
foi resolvido, e foi provado ser o menor caminho possível. O caminho total atingiu
aproximadamente 72.500 km (855.597 unidades TSPLIB). O recorde anterior era de
15.112 cidades alemãs (conseguido em abril de 2001).521




        Para a China, o problema TSP envolve um total de 71.009 cidades, para o qual
só existe uma solução heurística, não otimizada.




521
  A lista de cidades suecas (inclusive pequenas vilas e povoados) foi criada em julho de 2001 a partir de
um banco de dados da National Geospatial-Intelligence Agency (Agência Nacional de Inteligência-
Geoespacial). Para maiores informações, veja-se o site: http://www.tsp.gatech.edu/world/countries.html.


                                                                                                    493
        Para Djibouti, com apenas 89 cidades, a rota TSP encontrada é mostrada na
figura a seguir.




        Uma das melhores soluções heurísticas para o problema TSP a nível mundial foi
encontrada por Keld Helsgaun. Sua rota de 7.515.948.301 km de extensão foi
apresentada em 14 de julho de 2008. Ela é somente 0,04987% maior que a extensão
ideal, calculada em 7.512.218.268 km.



                                                                                 494
______________________________________________________________________

        Os métodos heurísticos empregados para a solução do problema TSP empregam,
invariavelmente, a técnica de medir as distâncias (para conseguir a distância total). O
método que aqui será descrito pretende empregar uma variante: além da medida de
distância, considera-se a medida da área total fechada (quando o perímetro se completa
pelo retorno à origem).
        Para uma otimização geométrica que encontre a rota ideal, se oferecerão as
seguintes considerações.

            Sejam as figuras abaixo:




        Na primeira figura, seguindo-se as rotas cruzadas AC-CD-DB-BA, percebe-se
que a área total fechada coberta por elas é mínima, enquanto que a distância total
percorrida atinge o máximo em comprimento (1,4 + 1 + 1,4 +1 = 4,8 u.d.).522
        Na segunda figura, as rotas AB-BC-CD-DA fecham o máximo de área, e o
comprimento total percorrido é mínimo (1 + 1 + 1 + 1 = 4 u.d.).
        Assim também na figura abaixo, contra qualquer outra variação, o caminho
percorrido na rota AA´- A´B - BB´- B´C - CC´- C´D - DD´- D´A corresponde à maior
área, e portanto, à menor distância a percorrer.




522
      4,8 u.d., ou seja, 4,8 unidades de distância.


                                                                                   495
       E nas rotas entre as cidades ABCD (conforme figura a seguir), nota-se o
seguinte:

                  A rota ACBDA523 totaliza 52 u.d.
                  A rota ADBCA totaliza 57 u.d.
                  A rota ACDBA totaliza 46 u.d.
                  A rota ADBCA totaliza 52 u.d.
                  A rota ABCDA totaliza 40 u.d. (é a rota que fecha a maior área)




       Nas figuras a seguir são colocados pontos aleatórios, com as rotas que fecham a
maior área, e conseqüentemente, correspondem ao menor caminho a ser percorrido.




                           ABEDCA                                   ABEDCFA

       Em qualquer um dos casos, a área mostrada é maior do que a soma das áreas de
qualquer outra composição de rotas.

523
      Ou seja, a rota AC-CB-BD-DA.


                                                                                    496
      Quando as curvas poligonais fechadas não são simples, o cruzamento de rotas
faz com que a área total diminua (área maior menos área menor), aumentando o
caminho a percorrer. Neste caso, surgem várias possibilidades. Veja-se o exemplo:




      Com cruzamento de rotas:




      No caso da rota alternativa abaixo, como as rotas não se cruzam, elas fecham
uma área maior, e, portanto, o caminho a ser percorrido é menor:




      Mas a rota ainda pode ser otimizada pelas escolhas alternativas abaixo, que
aumentam sucessivamente a área total, com o conseqüente menor caminho.




                                                                              497
        Note-se que a última figura possui (em relação à anterior) a área a a menos, e a
área b a mais e nenhuma delas possui a área c (ver a próxima figura). Isto torna a última
figura a maior, em área (isto porque a área a é menor do que a área b).




                                                                                     498
______________________________________________________________________


           Em casos reais, podem ser encontradas as seguintes condições:

       •   nem todas as cidades são interligadas;524
       •   a distribuição de cidades pode ser tal que algumas possuam um único acesso,
           que deve ser percorrido em dobro (ida e volta);
       •   algumas cidades são maiores do que outras, tomando maior tempo em percorrê-
           las internamente;
       •   podem existir algumas cidades pelas quais se deve passar mais de uma vez, ou;
       •   pode existir um grupo de cidades que deve ser acessada em anel, mas com uma
           única estrada de acesso
       •   A última cidade não é a mesma que a inicial.

           Uma esquematização poderia facilitar o problema:




524
      Vilas e povoados muitas vezes possuem um único acesso.


                                                                                    499
         O conjunto de pontos plotado na figura a seguir tenta mostrar tais dificuldades.
Neste exemplo, bastante esquemático, o caixeiro-viajante tem a sua base em W e deve
visitar todas as outras cidades, percorrendo o menor caminho.

       Há várias possibilidades para se fechar a menor área, mas algumas idas-e-voltas
não podem ser evitadas.525




        Na otimização mostrada a seguir o início se dá em azul (a partir de W), com
outra parte complementar em vermelho. As rotas duplas indicam as idas-e-voltas (uma
outra simplificação seria não levar em consideração as distâncias interiores).




525
    Em todos os casos, no entanto, continua valendo a regra: a rota total que o caixeiro-viajante deve
percorrer é aquela constituída de caminhos sucessivos que fechem a maior área e evitem o cruzamento de
rotas.



                                                                                                 500
        O exemplo a seguir é menos esquemático, com pontos aleatoriamente
distribuídos e simulando um mapa real (com 14 cidades, sendo que W corresponde ao
início e fim da viagem).




                                                                             501
        A otimização supõe que existam, os acessos realizados:526




        Note-se que a área total pode ser conseguida através de uma soma de triângulos
irregulares (doze triângulos, no exemplo):




        Outra simulação, desta vez com 22 cidades:


526
   Pois poderia ser o caso, por exemplo, de que não exista uma estrada entre dois pontos, ou de que ela
seja intransitável.


                                                                                                  502
        Otimização:




        A otimização seguinte, bem mais complexa, foi feita sobre uma porção (um
recorte) do território da China:527




527
   A otimização foi feita supondo que existam os acessos (estradas) entre as cidades mostradas. Uma
otimização com base na realidade poderia ser bem diferente. O exemplo serve apenas para justificar o
método geométrico proposto.


                                                                                               503
Porção do território:




Otimização:




                        504
        Otimização opcional:




______________________________________________________________________

       O método geométrico aqui proposto não é, em si mesmo, uma solução final para
o problema TSP. É tão somente mais um método heurístico que se agrega às várias
soluções propostas para este tipo de problema.528




528
   Nota-se que a solução para Djibouti seguiu esta premissa, apesar de que, aparentemente, seus autores
não perceberam a perspectiva geométrica envolvida na solução do problema.


                                                                                                  505
                   REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


1. ADAMS, James L. Idéias Criativas. Como Vencer seus Bloqueios Mentais.
    Rio de Janeiro: Ediouro, 1994.
2. ASCENSI, Fernando Izquierdo. Geometria Descriptiva Superior y Aplicada.
    Madri: Editorial Dossat SA, 1980.
3. BANON, Gerald Jean Francis. Bases da Computação Gráfica. Rio de
    Janeiro: Editora Campus, 1989.
4. BARBER, Paul J.; LEGGE, David. Percepção e Informação. Rio de Janeiro:
    Zahar Editores, 1976.
5. BARKER, Stephen F. Filosofia da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar
    Editores, 1964.
6. BELL, E. T. História de las Matemáticas. Cidade do México: Fondo de
    Cultura Econômica, 1985.
7. BERGAMINI, David et all. As Matemáticas. Rio de Janeiro: Biblioteca
    Científica LIFE/Livraria José Olympio Editora, 1964.
8. BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
9. BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo: Ícone, 1997.
10. CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: Ao
    Livro Técnico S/A. 1989.
11. DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática. Rio de Janeiro: Editora Record,
    2004.
12. _____________. Os Problemas do Milênio. Rio de Janeiro: Editora Record,
    2004.
13. FEDERAL ELECTRIC CORP. Uma Introdução Programada ao PERT. São
    Paulo: Livraria Pioneira Editora/Edusp, 1963.
14. FRENCH, Thomas E. Desenho Técnico. Porto Alegre: Ed. Globo, 1969.
15. GENARI, Breno. Introdução ao PERT Básico. Rio de Janeiro: FGV, 1967.
16. GIONGO, Alfonso Rocha. Curso de Desenho Geométrico. São Paulo:
    Livraria Nobel, 1966. 14ª. Ed.
17. GREGORY, R. L. A Psicologia da Visão (O Olho e o Cérebro). Porto,
    Portugal: Editorial Inova Limitada, 1968.
18. HANKINSON, Bob; HERMIDA, Alfonso. Imagens Ocultas: Criando
    Estereogramas no PC. Rio de Janeiro: Axcel Books do Brasil Editora, 1994.
19. HESS, Geraldo. Neopert. Custo, tempo e nivelamento de recursos. Rio de
    Janeiro: Fórum Editora Ltda, 1968.
20. HIGGINS, R. a. Propriedades e Estruturas dos Materiais em Engenharia.
    São Paulo: DIFEL, 1982.
21. HOELSCHER, Randolph P.; SPRINGER, Clifford H.; DOBROVOLNY,
    Jerry S. Expressão Gráfica. Desenho Técnico. Rio de Janeiro: Livros
    Técnicos e Científicos Editora S.A. 1978.
22. JOHNSON, George. Fogo na Mente. Ciência, Fé e a Busca da Ordem. Rio
    de Janeiro: Campus, 1997.
23. LAKATOS, Imre. A Lógica do Descobrimento Científico. Provas e
    Refutações. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1978.
24. MARMO, Carlos M. B. Curso de Desenho. Construções Fundamentais. São
    Paulo: Gráfica Editora Hamburg. 1964. Livros 1 e 2.
25. MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar.
    São Paulo: Livraria Francisco Alves, 1951.


                                                                         506
26. MICELI, Maria Teresa; FERREIRA, Patricia. Desenho Técnico Básico. Rio
    de Janeiro: Ed. Ao livro técnico, 2001.
27. OLIVEIRA, C. Curso de cartografia moderna. Rio de Janeiro: Ed. IBGE.
    1988.
28. OSSERMAN, Robert. A Magia dos Números no Universo. São Paulo:
    Editora Mercuryo Ltda., 1997.
29. PEDROSA, Israel. Da Cor à Cor Inexistente. Rio de Janeiro: Leo Christiano
    Editorial Ltda./FENAME, 1982.
30. PENROSE, Roger. A Mente Nova do Rei. Rio de Janeiro: Editora Campus
    Ltda., 1991.
31. PENTEADO, José de Arruda. Curso de Desenho. São Paulo: Companhia
    Editora Nacional, 1975.
32. PUIG, Adam. Curso de Geometria Métrica, 4ª ed. Madrid: Nuevas Gráficas,
    1954. Tomos I e II.
33. RAISZ, Erwin. Cartografia Geral. Rio de Janeiro: Editora Científica, 1969.
34. ROHDE, Geraldo M. Simetria. São Paulo: Hemus Editora, 1982.
35. SANGIORGI, Osvaldo. MATEMÁTICA. Curso Moderno. São Paulo:
    Companhia Editora Nacional, 1967. 4 v.
36. SLATER, A. Cownley. Minerais e Minérios. São Paulo: Editora LEP, 1958,
    2 ed.
37. SPEEK, Hederson José; PEIXOTO, Virgílio Vieira. Manual Básico de
    Desenho Técnico, 3ª ed. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2004.
38. TATON, R.; FLOCON. A. A Perspectiva. São Paulo: Difusão Européia do
    Livro, 1967.




                                                                          507

								
To top