matematika3_2

					                                  Bilangan Majemuk
                                Sumber: www.matkita.com

Kalau suatu bilangan tidak prima, maka bilangan itu dapat diuraikan menjadi perkalian dua
bilangan atau lebih. Misalnya:


                                          4 = 2x2
                                          6 = 2x3
                                     20 = 4x5 = 2x2x5
                                  30 = 2x3x5 = 6x5 =2x15

Pada umumnya dapat dikatakan bahwa apabila

                                        c = axb = ab

adalah perkalian perkalian dua bilangan a dan b, maka a dan b disebut faktor atau pembagi
bilangan c. Setiap bilangan c senantiasa dapat difaktorkan manjadi

                                       c = 1xc = cx1

Faktorisasi ini disebut faktorisasi trivial. Dengan demikian juga dapat dikatakan bahwa
bilangan prima hanya dapat difaktorkan secara trivial.

Definisi: Setiap bilangan asli c>1 yang memiliki sedikitnya satu faktorisasi nontrivial
dinamakan bilangan majemuk.
Sekurang-kurangnya salah satu faktorisasi nontrivial itu terdiri atas perkalian bilangan-
bilangan prima yang khas kecuali urutannya. Misalnya:4 = 2x2, 6 = 2x3 = 3x2, 8 = 2x2x2,
1932 = 2x2x3x7x23 = 23x2x3x2x23x7

Sekarang apa yang dibahas diatas dapat dirangkum menjadi:
Teorema 1:
Teorema Dasar Aritmatika Setiap bilangan asli n>1 adalah hasil kali bilangan-bilangan prima
yang khas

                              n = Ppi = p1xp2xp3x ... xr , r>1


Kekhasan ini tidak menyangkut urutan perkaliannya. Kemudian juga dapat disinpulkan
teorema berikut:
Teorema 2:
Bilangan prima p pembagi bilangan majemuk ab adalah pembagi a atau pembagi b.

Dengan perkataan lain, p|ab D p|a atau p|b Teorema 1 dinamakan juga Teorema Faktorisasi
Khas dan inti maknanya ialah bahwa setiap bilangan asli yang lebih besar dari 1 kalau bukan
bilangan prima adalah bilangan majemuk yang terbentuk dari hasil kali bilangan-bilangan
prima tertentu.
Akibat dari teorema ini setiap bilangan dicirikan oleh bilangan-bilangan prima khas yang
menjadi faktornya. Kalau bilangan itu genap, maka salah satu faktornya pasti adalah
bilangan 2. Yang ingin diketahui sekarang ialah bagaimana cara menemukan faktorisasi
suatu bilangan asli. Sebagai contoh ambillah bilangan:

                                    1932 = 2x2x3x7x23

Untuk menemukan faktorisasi ini harus diketemukan pembagi-pembagi primanya.

Suatu algoritma yang telah diplajari di sekolah dasar ialah sebagai berikut. Bilangan 1932
adalah genap sehingga faktor terkecilnya adalah 2. Bagilah 1932 oleh 2 untuk menghasilkan
966. Maka 1932 = 2x96. Kemudian bagilah lagi 96 yang genap oleh 2 untuk mendapatkan
483. Maka 1932 = 2x2x483. Faktor 483 habis dibagi 3, karena itu bagilah 483 oleh 3 untuk
mendapatkan 161. Maka 1932 = 2x2x3x161. Karena 161 kelipatan 7, bagilah 161 oleh 7
untuk mendapatkan 23. Maka 1932 = 2x2x3x7x23. Faktor 23 adalah bilangan prima
sehingga faktorisasi selesai. Pola faktorisasi itu biasanya dipolakan penguraiannya sebagai
berikut:

                                     1932
                                                    :2
                                     966
                                                    :2
                                     483
                                                    :3
                                     161
                                                    :7
                                     23
                                                    :13
                                     1

Maka 1932 = 2x2x3x7x23

Ada dua masalah dalam faktorisasi bilangan asli. Masalah pertama adalah berapa agaknya
bilangan prima terbesar yang menjadi faktor bilangan itu. Masalah kedua adalah apa ciri-ciri
suati bilangan asli agar habis dibagi oleh bilangan prima tertentu. Masalah pertama
dijawaboleh teorema berikut yang sebelum ini pernah dibahas.

Teorema Tapis Eratosthenes: Untuk setiap bilangan majemuk n ada bilangan prima p
sehingga p|n dan p<xn

Jadi kalau ada suatu bilanga asli ndan ingi diketahui apakah bilangan itu majemuk, periksa
saja apakah bilangan itu habis dibagi oleh salah satu bilangan prima p tidak melebihi xn .
Kalau bilangan itu majemuk, salah satu bilangan prima yang tidak melebihi xn adalah salah
satu faktornya.

Seperi kata pepatah Karo "se sura-sura tanggel sinanggel" selesai suatu masalah akan
muncul masalah lain, muncullah sekarang masalah kedua. Bagaimana menemukan bahwa
bilangan n merupakan kelipatan salah satu bilangan prima yang kecil?

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:51
posted:4/18/2010
language:Indonesian
pages:2