Aula 3 Divisibilidade e números primos

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Divisibilidade e números primos

 Nesta aula estudaremos os critérios de divisibilidade dos números
      naturais por 2, 3, 5, 9 e 10. Estudaremos também os números
                       primos e a decomposição em fatores primos.

       Um número é divisível por outro quando a divisão pode ser realizada sem
deixar resto, ou melhor, deixando resto igual a zero.
       Ex: 21 é divisível por 7, pois 3 x 7 = 21.

3.1 – Critérios de divisibilidade: Chama-se critério de divisibilidade a um conjunto de
regras que possibilitam a verificação da divisibilidade de um número por outro, sem
efetuar a divisão propriamente dita. No caso contrário, quando o resto é diferente de
zero, o critério também permite que se encontre o valor do resto sem realizar a
operação de divisão diretamente.

       3.1.1 – Divisibilidade por 10: Todos número terminado em 0 é divisível por 10.
Os restos da divisão por 10 poderão ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9, sendo 9 o maior
deles. Os números não divisíveis por 10, deixam como resto, exatamente o valor do
último algarismo.
       Ex:    240, 1.030 e 97.100 são divisíveis por 10.
              33 e 474 deixam respectivamente restos 3 e 4 quando divididos por 10.

       3.1.2 – Divisibilidade por 5: Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por
5. O resto da divisão por 5 poderá ser 1, 2, 3 ou 4, sendo 4 o maior deles. Os
números não divisíveis por 5, deixam resto 1, 2, 3 ou 4, respectivamente, quando,
terminados em 1 ou 6, 2 ou 7, 3 ou 8 e 4 ou 9.
       Ex:    Os números 75, 325 e 1.980 são divisíveis por 5.
              Os números 43, 968 e 14.518 deixam resto 3 quando divididos por 5.

      3.1.3 – Divisibilidade por 2: Todos os números pares são divisíveis por 2. São
chamados de números pares os terminados em 0, 2, 4, 6 ou 8. O único resto
possível na divisão por 2 é 1. Ele ocorre no caso dos números ímpares, ou seja, os
números terminados em 1, 3, 5, 7 ou 9.
      Ex:    Os números 48 e 7.376 são divisíveis por 2.
             Os números 83 e 8.407 não são divisíveis por 2 e deixam resto 1
quando divididos por 2.

       3.1.4 – Divisibilidade por 3: Os números cuja soma dos valores absolutos dos
algarismos resulta em um número divisível por 3, são divisíveis por 3. Ou seja, para
analisar a divisibilidade por 3 basta somar os algarismos que compõem o número
original. O resto da soma destes algarismos é o mesmo resto do número original.
       Ex:    O número 417 é divisível por 3 pois a soma 4 + 1 + 7 = 12 é um
múltiplo de 3, 4 x 3 = 12.


Professor André Marques                                                             1
Aula 3 – Divisibilidade e Números primos

              O número 781 não é divisível por 3, pois a soma 7 + 8 + 1 = 16 não é
múltiplo de 3. O resto de 16 por 3 é 1, então o resto de 781 por 3 também é 1.

       3.1.5 – Divisibilidade por 9: Semelhantemente ao caso anterior, mas utilizando
o 9 como referência.
       Ex:    O número 4.536 é divisível por 9, pois a soma 4 + 5 + 3 + 6 = 18 é
múltiplo de 9.
              17.812 não é divisível por 9, pois a soma 1 + 7 + 8 + 1 + 3 = 20 não é
múltiplo de 9. O resto de 20 por 9 é 2, logo a divisão de 17.812 por 9 deixa resto 2.

3.2 – Número primo: Todo número que só admitir para divisor ele mesmo e a
unidade é chamado número primo.
       Ex:  O número 71 é um número primo, pois só é divisível por ele mesmo e a
unidade.

3.3 – Regra para saber se um número é primo: Divide-se o número pelos primos
conhecidos desde o início até obter-se para quociente um número igual ou menor
que o divisor.
        Ex:    Série dos 10 primeiros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.
               Verificar se o número 53 é primo. Para realizar a verificação deve-se
realizar as divisões sucessivas por 2, 3, 5, 7, assim por diante. Os critérios de
divisibilidade estudados informam que o número não é divisível nem por 2, nem por
3 ou por 5. Na divisão por 7, encontra-se para quociente 7 e resto 4. O quociente é
igual ao divisor. Logo conclui-se que 53 é primo.

3.4 – Números primos entre si: Dois ou mais números são primos entres si, quando
admitem para divisor comum somente a unidade.
       Ex:  15 e 16, 24 e 49, ou 7 e 64.

3.5 – Decomposição em fatores primos: Decompor em fatores primos é realizar
todas as possíveis divisão em fatores crescentes de primos.
       Ex:   Decompor o número 120 em fatores primos.
                                       120 2
                                         60 2
                                         30 2
                                         15 3
                                          5 5
                                          1
             120 = 23 x 3 x 5
       Neste processo calcula-se sucessivamente todos os possíveis valores para a
divisão, em ordem crescente.

                                                                        Exercícios Resolvidos

R12) Qual o resto da divisão de 8.315 por 2?
O resto é 1, pois o número é ímpar.

R13) Qual o resto da divisão de 4.743 por 5?
O resto 1 + 2 + 6 = 9, 135/9 = 15, 1 x 15 = 15, 2 x 15 = 30 e 6 x 15 = 90, logo os números são 15, 30
e 90.


Professore André Marques                                                                         2
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R14) Qual o resto da divisão de 832 por 9?
Somando 8 + 3 + 2 = 13, o qual dividido por 9 deixa para resto 4, de onde conclui-se que o resto da
divisão de 832 por 9 é 4.

R15) Quantos divisores tem o número 60?
                                                 60   2
                                                 30   2
                                                 15   3
                                                  5   5
                                                  1
60 = 22 x 3 x 5.
Número de divisores: (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 x 2 x 2 = 12

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P61) Escreva 5 números de 3 algarismos, todos divisíveis por 10.

P62) Escreva 5 números de 4 algarismos divisíveis por 2.

P63) Escreva 5 números, divisíveis por 3, todos de 3 algarismos.

P64) Escreva um número de 6 algarismos diferentes que seja divisível, ao mesmo
tempo, por 2, 3, 4, 9 e 10.

P65) Decomponha em fatores primos os seguintes números:
a) 80
b) 208
c) 420
d) 165
e) 10800
f) 18420
g) 20000
h) 180000

P66) Escreva os números primos até 187.

P67) Verificar, pela decomposição em fatores primos, se o número 1620 é divisível
por 108.

P68) Quantos divisores tem o número 1980?

P69) Quais os divisores do número 1980?

P70) Calcule a soma dos números primos compreendidos entre 10 e 50/

P71) (CPII)
a) Decompor 2964 em fatores primos.
b) Decompor 5544 em fatores primos e somar os expoentes dos fatores primos
encontrados.

P72) (CPII) Dado o número 3a7a, substituir as letras "a" por algarismos de modo a
se obter um número divisível por 2, 3, 5, 9 e 10.
Professore André Marques                                                                       3
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P73) (CPII) Escreva um número de 5 algarismos diferentes que seja divisível por 9 e
10.

P74) (CPII) Calcular, aplicando os critérios de divisibilidade, o resto da divisão de
438.972 por 9 e o resto de 894.753 por 5. Dividir o segundo resto pelo primeiro,
dando o resultado em decimal.

P75) (CPII) Encontre o menor número que se deve somar a 3854, para se obter um
múltiplo de 9, e o menor número que se deve subtrair para se obter um múltiplo de
3?

P76) (CPII) Escrever o menor número de cinco algarismos que seja divisível, ao
mesmo tempo, por 5, 9 e 10.

P77) (IE) Qual o menor número primo que não é divisor de 2730?

P78) (IE) Que valor deve ser atribuído ao algarismos representado pela letra "a"para
que o número 738a seja divisível, ao mesmo tempo, por 2 e por 9?

P79) (CMRJ) Sem efetuar o produto indicado, decomponha em fatores primos o
número 352 x 363 x 100.000.

P80) (CMRJ) Quantos divisores tem o no correspondente ao produto 74x11x132x19.

P81) (CMRJ) Quais são os divisores primos do número 3150?

P82) (CMRJ) Quantos são os múltiplos de 317, compreendidos entre 3177 e 6343?

P83) (CMRJ) 3 e 5 são os fatores primos de 2 números que admitem cada um, oito
divisores. Determine esses números.

P84) (CMRJ) Substitua em 38a2a as letras "a" de maneira que o número resultante
seja ao mesmo tempo, divisível por 2, 5 e 9.

P85) Calcular os valores de "a"e "b"no número 12ab, de modo a torná-lo múltiplo de
3 e 5, ao mesmo tempo.

P86) (CD) Qual é o maior número de 3 algarismos diferentes que seja divisível pó 9.

P87) Substitua o * de modo a tornar o número 5*6 múltiplo de 9.

P88) Indicar, entre os números seguintes, aqueles que são divisíveis por 2 e por 5
ao mesmo tempo: 234, 680, 725 e 430.

P89) Escreva um número de 8 algarismos diferentes que seja ao mesmo tempo
divisível por 2, 3, 5, 9 e 10 ao mesmo tempo.

P90) Escreva um número, somente com algarismos 1, que seja divisível por 9.



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