Aljabar Linier - PowerPoint

							Aljabar Linier

     Pertemuan 1
 Jadwal          Kuliah
   Hari : Rabo    jam : 15.30


 Sistem          Penilaian
   UTS 30 %
   UAS 30 %
   Tugas 40 %
Silabus
•   Bab I Matriks dan Operasinya
•   Bab II Determinan Matriks
•   Bab III Invers Matriks
•   Bab IV Sistem Persamaan Linear
•   Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen
•   Bab VI Matlab (SPL)
•   Bab VII Vektor
•   Bab VIII Perkalian Vektor
•   Bab IX Ruang Vektor
•   Bab X Proses Gram Schmidt
•   Bab XI Transformasi Linier Kernel
•   Bab XII Nilai Eigen ,Vektor Eigen
•   Bab XIII MATLAB
Sub Pokok Bahasan 1
1. Matriks dan Operasinya
  Sub Pokok Bahasan
      – Matriks dan Jenisnya
      – OperasiMatriks
      – Operasi Baris Elementer
       –Sifat OperasiMatriks
  Beberapa Aplikasi Matriks
      – Representasi image (citra)
      – Chanel/Frequency assignment
      – Operation Research
      dan lain-lain.
Pengertian Matrix
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau
   dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun
   dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.


Notasi yang digunakan

                             Atau                         Atau
Matriks
   Notasi Matriks

     A =  a11
         
                    a12    ..... a1n 
                                     
                                          Baris ke -1
             a21   a22    .... a2 n 
             :      :       :    : 
                                    
            a             .... amn 
             m1    am 2                  Unsur / entri /elemen ke-
                                           mn (baris m kolom n)

               Kolom ke -2

    Matrix A berukuran (ordo) m x n

       Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan
       sama (notasi A = B)
       Jika aij  bij untuk setiap i dan j
Jenis Matriks

(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
    A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
    A*0=0, begitu juga 0*A=0.
(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris
   dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33,
   ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A
   tersebut.
 Contoh : Matriks berukuran 2x2

          1 4
          2 3
      A=     
             
Jenis Matriks

(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang
    semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Contoh :       2 0 0
                      
                 0 5 0
                 0 0 3
                      
(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang
   semua elemen diagonalnya adalah 1.
 Contoh :  1 0 0 
                    
               0 1 0
               0 0 1
                    
   Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A
Jenis Matriks
(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua
  elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.
    Contoh :
         A=  4 0 0 
                   
            0 4 0
                   
              SEGITIGA
(vi) MATRIKS 0 0 4  ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah
  matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal
  elemennya = 0.

     A = 3 2 1
              
           0 4 5
           0 0 4
                
(Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR),
  adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas
  diagonal elemennya = 0.
                                  3 0 0
                            A=  1 4 0 
                                       
                                  6 9 4
                                       
(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang
   elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan
   bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama
   dengan dirinya sendiri.      A  AT
 Contoh :            1 2 0                    1 2 0
                                                      
               A =  2 3 1             A =  2 3 1
                                         T

                   0 1 1                   0 1 1
                                                
(ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya
   adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij,
   elemen diagonal utamanya = 0
Contoh :

            0   1 3 0                    0 1 3    0 
     A                              A  
                                        T
                                                         
             1 0  4 2                    1  0  4  2
             3  4 0  1                 3 4   0   1 
                                                      
            0        0                    0  2 1 0 
                2  1                                  
TRANSPOSE MATRIKS


   Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka
    transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A
    dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

   Beberapa Sifat Matriks Transpose :
     (A+B)T = AT + BT
     (AT) T = A
     k(AT) = (kA)T
     (AB)T = BT AT
Operasi Matrix
• Penjumlahan Matriks
  Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan
Contoh =

a.
         a b   e       f  ae b f 
         
         c d g
                           c  g d  h
                                       
                       h             
b.
              1 6   3 1  4 7 
              3 5    4 1   7 6 
                                 
                                 
Operasi Matrix
• Pengurangan Matriks
  Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan
Contoh =

 a.
        a b   e       f  ae b f 
        
        c d g
                          c  g d  h
                                      
                      h             
 b.
            1 6   3 1   2 5 
            3 5    4 1    1 4 
                                 
                                 
Operasi Matrix
Perkalian Matriks
  • Perkalian Skalar dengan Matriks
                          Contoh :
                                                  p q   kp kq
                                                  r s    kr ks 
                                                k               
• Perkalian Matriks dengan Matriks                              
  Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn
    Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn

                                 p q
   a     b   d                    
 A
   e           
                          ,B   r s
         f   g  ( 2 x 3)       t u
                                    (3 x 2)

                                     p q
           a    b     d                          ap  br  dt   aq  bs  du 
      A.B 
           e            ( 2 x 3) . r s                                      
                f     g
                                    t u
                                                     ep  fr  gt
                                                                    eq  fs  gu  ( 2 x 2 )
                                                                                  
                                         (3 x 2)
Hukum Perkalian Matriks :

   Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
   Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
   Tidak Komutatif, A*B  B*A
   Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
       (i) A=0 dan B=0
       (ii) A=0 atau B=0
       (iii) A0 dan B0
   Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2)
    dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1

                       3  2  1        1    2  3
                                                    
                   A 1    2  3 b1  b2   3  2  1
                      0       4          0       4
                           2                  2     
            OBE2

                           4  4 0  4       1  1 0  1
                                                        
                      A  0 2 1 7      1 b1  0 2 1 7 
                                          4
                           2 1 1 3    2 1 1 3 
                                          
                                                        
OBE3

            1  1 0  1          1  1 0  1
                        b1 b3             
       A   0 2 1 7   0 2 1 7 
            2 1 1 3            0 1 1 5 
                                            
Definisi yang perlu diketahui :

      1 1 1 3
              
 B  0 0 3 1
     0 0 0 0
              

– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2
dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan
satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris
ke-3 adalah nol.
OBE
   Sifat matriks hasil OBE :
    1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).
    2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke
    kanan.
    3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris
    paling bawah.
    4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.



Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi
  Gauss)
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses
  Eliminasi Gauss-Jordan)