Modelagem Matemática no Ensino Fundamental

Document Sample
Modelagem Matemática no Ensino Fundamental Powered By Docstoc
					                                       Modelagem Matemática:
O Processo de Construção dos Modelos pelos Alunos



                                                                     Marcelo Leon Caffé de Oliveira
                                                                  Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa
                  Programa de Pós-Graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências
                                                           Universidade Federal da Bahia – UFBA
                                             Universidade Estadual de Feira de Santana – UEFS


1. INTRODUÇÃO



        Neste artigo exponho minhas intenções de pesquisa, descrevendo inicialmente como
me envolvi com Modelagem Matemática. Descrevo ainda o processo de construção da
questão a ser investigada, bem como os caminhos que já trilhei na literatura e as opções
metodológicas adotadas. Por fim, aponto as metas a serem cumpridas nos próximos 18 meses.

1.1 TRAJETÓRIA PESSOAL



        Como reflexo da minha trajetória de estudante, a minha prática como professor de
Matemática foi marcada por atividades baseadas mais freqüentemente na semi-realidade1 e na
matemática pura.

        Creio que a primeira vez que ouvi falar de problemas matemáticos com referência na
realidade foi quando ouvi falar do trabalho realizado pela professora Dra. Maria Salett
Biembengut (Fundação Universidade Regional de Blumenau – FURB) com Modelagem e/ou
Modelação Matemática.

        Fiquei entusiasmado em saber que era possível matematizar situações do cotidiano.
Mas, rapidamente esse entusiasmo deu lugar ao medo e a insegurança de nunca ter trabalhado
com Modelagem Matemática2.



1
  A semi-realidade “não se trata de uma realidade que ‘de fato’ observamos, mas uma realidade construída, por
exemplo, por um autor de um livro didático de matemática” (Skovsmose, 2000, p.74)
2
  A partir de agora me referirei a Modelagem Matemática apenas como Modelagem.
                                                                                            2

       O medo e a insegurança associados à ausência de conhecimentos teóricos de
Modelagem foram maiores que o entusiasmo sentido ao descobrir uma estratégia que
favorecesse o ensino-aprendizagem de Matemática.

       Um outro aspecto que devo considerar é que minha formação e experiência como
professor não favorecia a problematização de situações do dia-a-dia. Essas limitações me
fizeram esquecer a Modelagem por um tempo relativamente longo.

       Passados alguns anos, já no segundo semestre de 2004, me reencontrei com a
Modelagem como aluno especial do Programa de Pós-Graduação em Ensino, Filosofia e
História das Ciências (PPGEFHC) da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e da
Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS), na disciplina Tendências em Educação
Matemática, ministrada pelo professor Dr. Jonei Cerqueira Barbosa. Durante as aulas da
disciplina, houve um primeiro contato teórico com Modelagem.

       Depois, durante a apresentação de um seminário sobre Tecnologias Informáticas e
Educação Matemática, descobri, meio acidentalmente, que já desenvolvia atividades de
Modelagem com meus alunos. Nesse momento, descobri que a Modelagem não estava tão
distante de mim e que era possível implementá-la nas aulas, bastando para tanto que tivesse
acesso a discussões teóricas e a implementação de atividades práticas de Modelagem.

       Quando descobri que o professor Jonei iria ministrar a disciplina Modelagem
Matemática, também no PPGEFHC, resolvi me inscrever como aluno especial na referida
disciplina. No primeiro semestre de 2005, estava envolvido com atividades teóricas e práticas
de Modelagem.

       Enquanto escrevia um dos trabalhos da disciplina, surgiram as idéias que utilizei para
escrever o plano de trabalho para seleção de aluno regular no PPGEFHC. Durante os meses
de outubro a dezembro dediquei-me a escrever este plano, registrando nele algumas
inquietações que poderiam dar origem a minha questão de pesquisa.

       Em fevereiro, já como aluno regular do PPGEFHC, após conversas com o professor
Jonei, meu orientador, tentava formular meu projeto de pesquisa, para que depois pudesse
organizar o cronograma de estudo e direcionar as pesquisas para montagem de um referencial
teórico. A partir de algumas das inquietações registradas no plano de trabalho e das conversas
                                                                                            3

com Jonei redigi a seguinte questão: Como o entendimento das Idéias Matemáticas aparece
nas discussões dos estudantes no ambiente de Modelagem Matemática?

       Também em fevereiro tornei-me membro do Núcleo de Pesquisas sobre Modelagem
Matemática (NUPEMM), grupo de pesquisa lotado na UEFS, que tem como foco o estudo da
Modelagem na Educação Matemática.

       No final de março, apresentei, numa das reuniões do NUPEMM, a primeira versão do
primeiro capítulo da minha dissertação. Recebi as críticas dos integrantes do grupo e a partir
das mesmas comecei a rever o que havia escrito. Contudo, por causa da minha trajetória
pessoal, fui questionado se realmente desejava pesquisar o entendimento das Idéias
Matemáticas dos alunos ou se queria retomar a discussão sobre o processo de construção dos
modelos matemáticos. Depois de algum tempo incomodado com este questionamento o
problema a ser investigado foi reformulado, sendo escrito como descrito a seguir.

1.2 O PROBLEMA



       De que maneira os alunos constroem os modelos matemáticos, abandonando ou
reformulando suas estratégias, na abordagem de situações de Modelagem Matemática?

       Como um desdobramento da pergunta acima, tendo a intenção de favorecer a
condução desta pesquisa enuncio as seguintes questões auxiliares:

       1. Quais fatores influenciam a elaboração das estratégias dos alunos?

       2. Quais fatores influenciam a reformulação e/ou mudança das estratégias dos alunos
na construção do modelo matemático?

1.3 OS OBJETIVOS


       O objetivo geral desta pesquisa é compreender de que maneira estudantes do ensino
fundamental constituem modelos matemáticos, abandonando ou reformulando suas
estratégias, na abordagem de situações de Modelagem Matemática.
                                                                                             4

       Para tanto, estabeleci como objetivos específicos identificar, analisar e compreender os
fatores que influenciam a elaboração das estratégias dos alunos e os fatores que influenciam a
reformulação e/ou mudança dessas estratégias durante a construção dos modelos matemáticos.

1.4 JUSTIFICATIVA DE PESQUISA



       O meu interesse por esta investigação está diretamente ligado ao fato dela estar em
consonância com meus interesses pessoais e minhas experiências mais recentes como
professor e estudante, além das contribuições que ela pode trazer em virtude da lacuna
existente na literatura.

       Este projeto foi sendo elaborado à medida que fui construindo minha identidade como
educador matemático, preocupando-me com questões relativas ao ensino e a aprendizagem.
Estas preocupações me fizeram buscar referências que ajudassem a encontrar respostas para
essas questões. Nesse contexto, redigi a pergunta que vai direcionar esta pesquisa e creio que
ela contribuirá substancialmente na continuidade do processo de construção da minha
identidade como educador matemático.

       Na literatura, a análise do processo de construção de modelos matemáticos, durante a
abordagem de situações de Modelagem, costuma se concentrar na comparação dos
procedimentos adotados pelos estudantes com esquemas, normalmente herdados da
Matemática Aplicada, que tentam normatizar o trabalho com Modelagem. Contudo, não tenho
percebido na literatura a preocupação de investigar este processo de construção analisando
como os estudantes constroem esses modelos, quais as estratégias adotadas durante a
construção e quais os critérios utilizados para abandonar ou reformular essas estratégias.

       Assim, a minha expectativa é que a presente investigação traga considerações
relevantes sobre este processo, levando em consideração as discussões que levam os alunos a
abandonar ou reformular as estratégias adotadas para a construção dos referidos modelos e
favoreça a compreensão do professor de Matemática sobre como o ambiente de Modelagem
interfere na construção do conhecimento.

2. A PESQUISA E A LITERATURA
                                                                                                        5

        Nesta seção dialogo com alguns autores, explicitando o referencial teórico que tem
guiado esta pesquisa até o presente momento.

2.1 CONCEPÇÃO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E MODELAGEM



        Como educador matemático, concordo com Barbosa (2001, p.22) quando afirma que
“mais do que informar matematicamente as pessoas, é preciso educar criticamente através da
matemática. Essa dimensão ultrapassa os limites intrínsecos da matemática e volta-se para a
preocupação do ser-sujeito pela matemática”.

        Educar criticamente através da matemática é despertar no educando o desejo de
desafiar características antidemocráticas da sociedade e isto acontece quando a Educação
Matemática assume uma função social e política. Isto é, quando o conhecimento matemático
adquirido pelo educando, associado a uma visão crítica da sociedade em que está inserido
promove uma ação reflexiva e transformadora.

        Esta associação entre conhecimento matemático e visão crítica da sociedade,
defendida pela Educação Matemática Crítica, contribui para a formação de cidadãos mais
conscientes, incentivando o desenvolvimento do senso crítico. A partir daí, o educando
começa a pensar em questões como: O que estudar? Quais as aplicações do que estamos
estudando? Estas aplicações promovem o bem estar da comunidade? Etc. (ALMEIDA &
DIAS, 2004; BARBOSA, 2001; SKOVSMOSE, 1996).

        Nesta pesquisa, a partir das considerações feitas acima, concebo Modelagem como um
ambiente de aprendizagem3 em que os estudantes abordam situações problemáticas com
referencia na realidade, enfatizando, na organização e condução das atividades de
Modelagem, a reflexão dos alunos sobre a presença da Matemática na sociedade.

        Para tanto, adoto a perspectiva sócio-crítica onde são enfatizados o conhecimento
reflexivo e as discussões reflexivas e os estudantes são convidados a discutir, a partir da
solução dos problemas com referencia na realidade, as implicações dos resultados
matemáticos na sociedade. (BARBOSA, 2003)

2.3 AS DISCUSSÕES DOS ALUNOS E A CONSTRUÇÃO DOS MODELOS
3
  Ambiente de aprendizagem “refere-se ao modo como as atividades são organizadas e os alunos estimulados a
realizá-las” (Skovsmose, 2000)
                                                                                          6




       O processo de construção dos modelos e os critérios utilizados para escolher,
transformar ou abandonar estratégias durante esta construção serão investigados a partir da
observação e análise das discussões dos alunos durante a realização de atividades de
Modelagem. Essas discussões podem ser, segundo Barbosa (2006a, 2006b), matemáticas,
técnicas ou reflexivas. Essa classificação foi inspirada na idéia de que em atividades de
Modelagem utilizamos conhecimentos matemáticos, técnicos e reflexivos (SKOVSMOSE,
1990, apud BARBOSA, 2006b).

       Os conhecimentos matemáticos, técnicos e reflexivos aparecem com mais ou menos
ênfase em atividades de Modelagem no âmbito da Educação Matemática dependendo da
perspectiva em que estas estão sendo desenvolvidas. A perspectiva científico-humanista, por
exemplo, enfatizará o conhecimento matemático, a pragmática, o conhecimento técnico e a
sócio-crítica, o conhecimento reflexivo (BARBOSA, 2001, 2003).

       Pesquisas recentes (ARAÚJO, 2002; BARBOSA, 2006b) indicam que as discussões
matemáticas e/ou técnicas costumam ser privilegiadas pelos alunos durante a execução de
atividades de Modelagem, contudo, discussões reflexivas sobre o papel social da Matemática
podem ser favorecidas através de intervenções do professor.

       Essas intervenções podem gerar o que Barbosa (2006b) denomina “Impasses”. Estes
acontecem quando existem obstáculos que favorecem a transição entre as discussões
matemáticas, técnicas e reflexivas. Como a noção de impasse pode favorecer o surgimento de
discussões reflexivas a partir de intervenções do professor ou dos próprios alunos creio que
ela pode contribuir com o processo de construção dos modelos na perspectiva de Modelagem
adotada nesta investigação.

       A partir das conversas com o prof. Jonei e das leituras que tenho feito com relação à
análise do processo de construção de modelos matemáticos tenho percebido uma tendência a
comparar os procedimentos adotados pelos estudantes com esquemas, normalmente herdados
da Matemática Aplicada, que prescrevem as etapas que devem ser seguidas na abordagem de
situações de Modelagem. Um desses esquemas e a descrição de cada uma de suas etapas pode
ser encontrado em Bassanezi (2002).
                                                                                            7

          Não é meu interesse nessa investigação classificar em bom ou ruim o “fazer
Modelagem” de estudantes através da comparação com esquemas prescritivos previamente
concebidos, mas compreender como eles constroem os modelos a partir da análise dos fatores
que influenciam a elaboração, reformulação ou abandono das estratégias adotadas,
evidenciando as potencialidades do trabalho com Modelagem no que se refere às concepções
de Educação matemática expostas anteriormente. Contudo, ainda é necessário me aprofundar
na leitura de textos que contemplem a análise do processo de construção dos modelos pelos
alunos.

3. METODOLOGIA



          Nesta seção explicitarei os fundamentos filosóficos e o método que adotarei nesta
investigação e descreverei o contexto em que ela acontecerá e os instrumentos que serão
utilizados para a coleta de dados.

3.1 Fundamentos Filosóficos e o Método



          O empirismo lógico, também chamado positivismo, método científico que conduziu
hegemonicamente as investigações na ciência moderna, construído a partir da revolução
científica do século XVI e desenvolvido nos domínios das ciências naturais, se constituiu,
com a sua extensão às ciências sociais a partir do século XIX, como um modelo global de
racionalidade científica, negando o caráter racional a todas as formas de conhecimento
pautadas em princípios epistemológicos e regras metodológicas diferentes.

          A partir daí assume-se como pressupostos a distinção entre conhecimento científico e
conhecimento do senso comum e a separação entre natureza e o ser humano, fazendo nascer a
idéia de que o conhecimento científico é construído indutivamente através da observação
descomprometida, livre, sistemática e na medida do possível rigorosa dos fenômenos naturais.

          As ciências sociais, como todo ramo do conhecimento que almejasse o status de
ciência, deveriam adotar o empirismo lógico como método de pesquisa. Para tanto, seria
“necessário reduzir os fatos sociais às suas dimensões externas, observáveis e mensuráveis”.
(SANTOS, 2005, p. 35)
                                                                                                           8

       Essa necessidade de decompor problemas complexos em aspectos singulares é uma
das críticas a adoção do empirismo lógico como método científico das ciências sociais. A
“Escola de Frankfurt” critica o fato da ciência tradicional, por adotar o modelo positivista, ter
“se tornado abstrata e afastada da realidade, não se ocupando da gênese social dos problemas
nem das situações concretas nas quais os conhecimentos da ciência são aplicados”. (ALVES-
MAZZOTTI & GEWANDSZNADJER, 2004, p. 117) Outra crítica feita ao positivismo diz
respeito à idéia de objetividade da observação, rejeitando a “observação pura” pretendida
pelos positivistas através da afirmação de que toda observação está impregnada de teoria.

       O avanço no conhecimento que este paradigma propiciou expondo os limites, as
insuficiências estruturais em que o próprio paradigma estava fundado; as investigações de
Gödel sobre a impossibilidade da prova da consistência de um sistema formal ser encontrada
dentro do próprio sistema e os avanços dos conhecimentos propiciados pela microfísica, pela
química e pela biologia nas últimas décadas do século passado são algumas das condições que
desencadearam esta crise. (SANTOS, 2005)

       As críticas apontadas acima, dentre outras, afetaram tanto a maneira de conceber a
ciência como o seu método, contribuindo decisivamente na ampliação da crise do modelo de
racionalidade científica baseado no paradigma positivista de pesquisa.

       É em meio ao acirramento da crise do paradigma positivista que se intensifica a
utilização de metodologias qualitativas em áreas que até então eram dominadas por técnicas
quantitativas identificadas com o positivismo. Agora, era possível estudar outros problemas
que estavam além dos limites do paradigma positivista. Contudo, algumas pesquisas
produziram resultados pouco confiáveis por causa da falta de rigor metodológico com que
foram realizadas. Esta falta de rigor metodológico trouxe novamente à tona a discussão sobre
quais os critérios a serem adotados para distinguir o conhecimento científico dos demais.

       Assim, percebemos nos dias atuais uma tentativa de instituir alguns princípios básicos
que sejam comuns para o trabalho científico.

       Um dos critérios que é compartilhado pela comunidade científica é a

                         [...] preocupação com a clareza do discurso científico, de modo a permitir a crítica
                         fundamentada [...] Essa posição é dificilmente contestável, uma vez que não há
                         como negar que o desenvolvimento da ciência não é tarefa de um pesquisador
                         solitário e sim uma criação coletiva da comunidade científica. (ALVES-
                         MAZZOTTI & GEWANDSZNADJER, 2004, p. 126)
                                                                                             9



          Outro critério comum “é a afirmação de que a ciência tem por objetivo explicar os
fenômenos e não apenas descrevê-los, e que esta característica, considerada essencial nas
ciências naturais, é encontrada também nas ciências sociais”. (idem, p. 127)

          Então é a partir do acirramento da crise do paradigma dominante nas ciências e em
meio a busca de princípios básicos comuns ao trabalho científico que muitos cientistas
sociais, motivados pelas críticas da “Escola de Frankfurt” à ciência tradicional, se envolveram
no compromisso de desenvolver uma ciência mais comprometida com a transformação social.
Nesse momento as ciências sociais buscaram modelos científicos que fossem alternativos ao
positivismo. Esses modelos foram reconhecidos posteriormente como “paradigma
qualitativo”. E sob este rótulo, durante a década de 1980, várias tradições de pesquisa se
reuniram, por se definirem por oposição ao positivismo. Essa reunião proporcionada pela
negação ao positivismo “por levar a uma falsa oposição qualitativo-quantitativo, bem como a
uma ilusão de homogeneidade interna do paradigma, deu margem a muitos equívocos”. (idem,
p. 129)

          Nesta pesquisa considero, assim como Guba e Lincoln (1994), que o termo qualitativo
deve ser reservado à descrição de tipos de métodos e que estes devem ser usados com um
paradigma de pesquisa apropriado e que paradigma é um sistema básico de crenças que guia o
investigador, não uma possibilidade de método, mas um caminho fundamental ontológica e
epistemologicamente.

          Essas crenças básicas, ainda segundo Guba e Lincoln (1994), podem ser resumidas
pelas respostas dadas pelos proponentes de qualquer paradigma para três questões
fundamentais: a questão ontológica (Qual é forma e a natureza da realidade e, portanto, o que
pode ser sabido sobre ela?), a questão epistemológica (Qual a natureza da relação entre o
conhecedor ou o que quer conhecer e o que pode ser conhecido?) e a questão metodológica
(Como pode o pesquisador conhecer aquilo que ele acredita ser possível conhecer?).

          Dentre as várias tentativas de caracterizar a metodologia qualitativa disponíveis na
literatura temos a de Bogdan e Biklen (1994) onde são apresentadas cinco características que
servem como parâmetros para regularmos o pesquisar qualitativo, mesmo que, segundo os
próprios autores, nem todos os estudos considerados qualitativos tenham, com mesma
                                                                                            10

intensidade, todas essas características e que, as vezes, alguns desses estudos sejam
desprovidos de uma ou mais das seguintes características:

       A fonte direta de dados é o ambiente natural e o investigador é o principal instrumento
de coleta; a descrição é adequada como método de coleta de dados; os investigadores
qualitativos interessam-se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou
produtos; os dados são analisados de forma indutiva, pois a coleta de dados não é feita com o
objetivo de comprovar hipóteses previamente estabelecidas e o investigador qualitativo está
interessado em apreender as perspectivas dos participantes da pesquisa, em perceber os
significados que estes atribuem às suas experiências.

       Para responder de forma satisfatória a pergunta dessa pesquisa a utilização de uma
metodologia qualitativa (estudo de caso) é mais indicada, considerando a caracterização feita
por Bogdan e Biklen (1994) da investigação qualitativa e considerando também que, para
compreender de que maneira os estudantes constituem seus modelos matemáticos será
necessário observá-los na sala de aula durante a execução dos projetos de Modelagem,
analisando os registros e as transcrições dos dados filmados e/ou gravados, observando o
processo de construção dos modelos e analisando as discussões dos alunos durante este
processo.

       Com o objetivo de investigar a questão proposta nesta pesquisa e levando em
consideração as três questões levantadas acima não será adotado um único paradigma de
pesquisa nesta investigação. Acredito que a ontologia relativista do construtivismo seja mais
indicada para atingir o objetivo de analisar e compreender como estudantes do ensino
fundamental constroem modelos matemáticos, abandonando ou reformulando suas
estratégias, na abordagem de situações de Modelagem, contudo penso ser a epistemologia
subjetivista da teoria crítica mais adequada a uma investigação qualitativa. Mas com relação à
metodologia creio que tanto a visão dialógica e dialética da teoria crítica como a visão
hermenêutica e dialética do construtivismo trarão contribuições significativas a esta pesquisa.

3.2 CONTEXTO DA PESQUISA



       Esta pesquisa será desenvolvida com dois grupos de estudantes da 8ª série do Ensino
Fundamental do Colégio Estadual Ieda Barradas Carneiro, situada à Rua da Liberdade, s/n,
Conceição da Feira – Bahia. Estes dois grupos estarão desenvolvendo um projeto de
                                                                                             11

Modelagem sob orientação do professor Raimundo Santos Costa e com minha colaboração, e
serão escolhidos a partir do interesse demonstrado em desenvolver o projeto de Modelagem e
em participar da pesquisa, a partir do convite que será feito a todos os grupos de estudantes.

       O professor Raimundo está cursando a disciplina Metodologia e Estágio
Supervisionado II do curso de Licenciatura em Matemática para Professores da Rede Pública
Estadual da Universidade Estadual de Feira de Santana - UEFS. As aulas desta disciplina, que
acontecem às terças-feiras à noite e são ministradas pela professora Andréia Maria Pereira de
Oliveira, iniciaram no mês de maio e encerrarão no mês de agosto de 2006, tendo por objetivo
principal introduzir uma discussão teórica sobre Modelagem e a partir dessa discussão
elaborar e implementar trabalhos com projetos de Modelagem.

       Raimundo foi escolhido levando-se em consideração o perfil traçado pela professora
Andréia. Ao ser convidado, Raimundo aceitou, demonstrando grande interesse em participar
da pesquisa e em elaborar e aplicar com minha colaboração o projeto de Modelagem com uma
de suas turmas do ensino fundamental.

3.3 PROCEDIMENTOS E INSTRUMENTOS DE COLETA DE DADOS



       O principal procedimento de coleta de dados será a observação não-estruturada, “na
qual os comportamentos a serem observados não são predeterminados, eles são observados e
relatados da forma como ocorrem, visando descrever e compreender o que está ocorrendo
numa dada situação”. (ALVES-MAZZOTTI & GEWANDSZNADJER, 2004, p. 166). Os
dados coletados através das observações serão registrados sob as forma de notas de campo e
gravações de áudio e/ou vídeo.

       A entrevista semi-estruturada com os integrantes dos dois grupos de alunos que
participarão da pesquisa será utilizada como procedimento secundário de coleta dados com o
propósito de complementar os dados coletados através da observação e/ou esclarecer
possíveis dúvidas surgidas a partir da transcrição e da análise desses mesmos dados.

       Um outro procedimento secundário de coleta de dados será a análise dos relatórios dos
trabalhos elaborados pelos grupos de alunos para confrontar os dados apresentados nos
relatórios com os dados obtidos através das observações e das entrevistas.
                                                                                       12

4. PRÓXIMOS PASSOS



       As próximas metas a serem cumpridas envolvem uma maior imersão na literatura
disponível que faça referência aos alunos fazendo Modelagem, em particular ao processo de
construção dos modelos pelos alunos, e às discussões que surgem enquanto eles fazem
Modelagem, a ida ao campo para coletar os dados, que deve acontecer em agosto próximo, e a
posterior transcrição e análise dos mesmos.

5. REFERÊNCIAS



ALMEIDA, L. M. W. de & DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso de modelagem matemática
como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio
Claro, n. 22, p. 19-35, 2004.

ALVES-MAZZOTTI, A. J.; GEWANDSZNADJER, F. O método nas ciências naturais e
sociais: pesquisa quantitativa e qualitativa. São Paulo: Pioneira, 1998. 203 p.


ARAÚJO, J. L. Cálculo, tecnologias e modelagem matemática: as discussões dos alunos.
2002. 173 f. Tese (Doutorado) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade
Estadual Paulista, Rio Claro, 2002.


BARBOSA, J. C. Modelagem matemática: concepções e experiências de futuros professores.
2001. 253 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade
Estadual Paulista, Rio Claro, 2001.

BARBOSA, J. C. Modelagem matemática e a perspectiva sócio-crítica. In: SEMINÁRIO
INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2003, Santos.
Anais... São Paulo: SBEM, 2003.1 CD-ROM.

BARBOSA, J. C. Teacher-student interactions in mathematical modelling. In C. Haines, P.
Galbraith, W. Blum & S. Khan (Eds.) Mathematical modelling: education, engineering and
economics. Chischeter: Horwood Publishing, 2006a. In press.
                                                                                        13

BARBOSA, J. C. Students’ discussions in mathematical modelling. Paper to be presented at
3th International Conference on the Teaching of Mathematics, Istanbul, Turkey. 2006b.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto,
2002.
BOGDAN, R. C. ; BIKLEN, S. K. Investigação qualitativa em educação: uma introdução à
teoria e aos métodos. Porto: Porto Editora, 1994. 336 p.

GUBA, E. G.; LINCOLN, Y. S. Competing paradigms in qualitative research. In: DENZIN,
N. K.; LINCOLN, Y. S. Handbook of qualitative research. Thousand Oaks: Sage, 1994. cap
6, p. 105-117.

SANTOS, B. S. Um discurso sobre as ciências. São Paulo: Cortez, 2005. 92 p.

SKOVSMOSE, O. Critical mathematics education – some philosophical remarks. In:
INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICS EDUCATION, 8., 1996, Sevilla.
Selected lectures... Sevilla: S.A.E.M. ‘THALES’, 1996. p. 413-425.