EXPLORANDO TÓPICOS DE MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO by qwx12869

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									     EXPLORANDO TÓPICOS DE MATEMÁTICA DO ENSINO
        FUNDAMENTAL E MÉDIO ATRAVÉS DO GEOGEBRA

                          Luís Cláudio Lopes de Araújo – UniCEUB – DF

                      Jorge Cássio Costa Nóbriga - FAJESU–DF e FAST–DF

Nos últimos anos vêm se destacando um tipo de ferramenta de ensino e aprendizagem que pode
agilizar e, de certa forma, otimizar o aprendizado em matemática, desde que trabalhado de
maneira adequada. A proposta deste trabalho é mostrar aos professores do Ensino Básico como
usar, em particular, uma destas ferramentas: o GeoGebra. Trata-se de um software livre de fácil
uso e muito intuitivo que permite fazer o que um software de Geometria Dinâmica faz, além de
trabalhar com a parte algébrica e também com assuntos relacionados ao cálculo diferencial. O que
se pretende é apresentar o software aos cursistas num laboratório de informática, dando instruções
de uso de ferramentas acessadas via botões e comando escrito e também discutindo sobre o uso
desta ferramenta associados aos textos especialmente escritos para o desenvolvimento das
atividades.

JUSTIFICATIVA

       É comum ver professores que defendem a idéia que tudo deve ser feito a mão, sem uso de
recurso nenhum. Uma discussão antiga é a questão do uso de calculadoras em escolas. Acredita-se
que depois do aluno dominar as operações aritméticas com números inteiros e com frações
ordinárias e decimais não há motivo para inibir o uso de tal ferramenta.

       O surgimento das calculadoras eletrônicas representa um enorme progresso na direção da
       eficiência, precisão e rapidez nas contas, em quase todos os segmentos da sociedade
       moderna. Seria impossível negar, ou mesmo tentar diminuir a ênfase desta afirmação, pois o
       sucesso comercial de tais máquinas prova eloqüentemente sua utilidade. (LIMA 1985)
       Tal afirmação foi feita há mais de 17 anos em resposta a um outro professor que perguntara
sobre o uso de calculadoras em cursos de Ensino Fundamental e Médio. De lá para cá muito se fez
no que diz respeito ao desenvolvimento de ferramentas que poderiam ser usadas por professores em
sala de aula. As próprias calculadoras evoluíram com relação à simplicidade de uso. Os softwares
também evoluíram em diversos aspectos, inclusive quanto à facilidade de uso.
       Dentre os diversos softwares que podem ser utilizados no ensino de matemática, destacamos
os de Geometria Dinâmica. Bellemain (2001) afirma que “A Geometria Dinâmica permite
considerar e conceber uma representação de objetos matemáticos abstratos em várias configurações,


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podendo modificar suas posições relativas” (p.1314). Assim, os programas de Geometria Dinâmica
podem contribuir em diversos aspectos:
          •   A Geometria Dinâmica permite construir. Como observa Brandão e Isotani (2003,
              p.1487), num antigo ditado atribuído a Confúsio: “O aluno ouve e esquece, vê e se
              lembra, mas só compreende quando faz”;
          •   A partir da construção, o aluno pode visualizar e manipular: a Geometria Dinâmica
              possibilita visualizar uma mesma construção de diversas formas, e dessa maneira,
              facilita a compreensão do comportamento geométrico dos elementos envolvidos
              (Rodrigues 2002). Isso faz ressaltar aos olhos as propriedades variantes e as
              invariantes a partir dos movimentos rotacionais e translacionais dos objetos
              geométricos;
          •   O aluno pode experimentar e conjecturar: a Geometria Dinâmica evidencia uma
              nova abordagem ao aprendizado geométrico, onde conjecturas são feitas a partir da
              experimentação e criação de objetos geométricos. Desse modo, podemos introduzir o
              conceito matemático dos objetos a partir do retorno gráfico oferecido pelo programa
              de Geometria Dinâmica, surgindo naturalmente daí o processo de argumentação e
              dedução (Gravina 1996);
          •   Auxilia na elaboração de idéias mudando a função do desenho de representante de
              objetos materiais para representação de noções abstratas;
          •   Possibilita registrar os procedimentos para serem revisitados tanto pelo próprio
              aluno/autor como pelo professor/pesquisador.
       No caso do software GeoGebra, ressalta-se que é um programa que vai além da Geometria
Dinâmica e é classificado como um software de Matemática Dinâmica. Em particular, se pode
evidenciar o seguinte fato: é que ele mostra tanto a representação geométrica, como um software de
Geometria Dinâmica, quanto a representação algébrica mostrando as equações de retas,
circunferências, e qualquer objeto que esteja em sua Janela de Visualização (Veja a
Figura 1). Um professor preparado para usar estas ferramentas poderá explorar diversos conceitos,
desde os mais simples até os mais complexos.




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                Figura 1: Uma tela do GeoGebra com uma circunferência e sua equação



Por que usar softwares como o GeoGebra em sala ou laboratórios?
       De um modo geral, um software de Geometria Dinâmica permite movimentos interativos
que possibilitam ao professor fazer coisas que seria muito difícil apenas com quadro e giz.
Poderíamos exemplificar isso através da seguinte situação: Para ensinar alguns conceitos de
trigonometria, um professor desenha no quadro algo parecido com o que esta na Figura 2.




                           Figura 2: Desenho feito pelo professor: estático.
       Após isso, pede-se para os alunos imaginarem o ponto P se movendo sobre a circunferência
e observarem a abscissa e a ordenada desse ponto. O que ele queria era que os alunos percebessem
algumas propriedades do seno e co-seno no ciclo-trigonométrico. No entanto, ele pode não alcançar
seu objetivo se seus alunos não conseguirem imaginar o movimento. O GeoGebra permite criar este
ambiente sem dificuldades (vide figura 3).




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            Figura 3: Informações dinâmicas que podem ser usadas no GeoGebra Acesse em
                 http://www.luisclaudio.mat.br/coloquio2008/ciclotrigonometrico.html


       Além de trigonometria, há diversas situações onde o uso de um software como o GeoGebra
poderia facilitar o aprendizado dos alunos. O trabalho para o professor pode ser bem menor. Não é
difícil construir um ambiente em que se mostrem propriedades envolvendo o estudo da função afim,
por   exemplo,    zeros,   inclinação,    estudo    de    sinal   e   interseções    com    os    eixos
(Figura 4). Com as funções quadráticas é possível ilustrar sem dificuldades a relação entre
existência de raízes e o sinal do discriminante delta ( ∆ = b 2 − 4ac para f : ℜ → ℜ onde

f ( x) = ax 2 + bx + c com a, b, c ∈ ℜ , a ≠ 0 ) e a existência ou não de raízes reais. Na Figura 3 está
um exemplo de ambiente dinâmico criado com o GeoGebra .




       Figura 4: Ambiente dinâmico criado com o GeoGebra para estudo de funções afins. Acesse
                 em http://www.luisclaudio.mat.br/coloquio2008/funcaoafimsinal.html


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       É possível ilustrar com relativa facilidade, por exemplo, a lei dos senos, dos co-senos, e
praticamente qualquer um dos tópicos de Geometria Analítica (veja Figura 5).




                          Figura 5: Ilustração sobre a Lei dos Senos. Acesse em
                      http://www.luisclaudio.mat.br/coloquio2008/leidossenos.html


       Além das contribuições cognitivas, existem também as que estão associadas às
motivacionais, principalmente para os alunos. No entanto, é preciso que o professor esteja bem
preparado para desenvolver aulas com este recurso. De acordo com Saint (1995),

       Assim como um bom livro-texto não é, por si só, garantia de um bom curso, também um
       bom software precisa ser bem explorado por mestre e alunos para dar bons resultados. Ao
       contrário do que esperam muitos administradores educacionais, o computador não faz
       milagres.
       É possível explorar diversos outros assuntos, ganhando-se tempo e aumentando-se o nível
de compreensão dos alunos. No entanto, apenas os softwares de Geometria Dinâmica não podem
ensinar coisa alguma. Para que o ensino com esse recurso possa ser efetivo é preciso que o
professor esteja preparado para usar tais programas. Além disso, é preciso que haja material
didático de apoio a essas aulas.

OBJETIVOS

   1. Explorar, utilizando o Geogebra, alguns assuntos do Ensino Fundamental e Médio, tais
       como Funções, Geometria Plana e Trigonometria;
   2. Apresentar algumas possibilidades de aulas de matemática através do GeoGebra;
   3. Preparar os professores cursistas para explorar algumas possibilidades do GeoGebra.




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CONTEÚDO

       O minicurso proposto será dividido em três módulos, cada um ministrado em duas horas.



Módulo 1: Explorando a BARRA DE FERRAMENTAS do GeoGebra .

   1) Discussão sobre ambiente propício para aprendizado.
   2) Conhecimento do ambiente
   3) Principais funções acessadas por meio da Barra de Ferramentas.
   4) Modificando as propriedades de objetos
   5) Atividades com triângulos
   6) Atividades diversas.



Módulo 2: Explorando o CAMPO ENTRADA do GeoGebra.

   1) Como acessar as principais funções vistas no Módulo 1 via comando escrito.
   2) Conhecimento do ambiente
   3) Principais funções acessadas por meio do Campo Entrada.
   4) Atividades com funções diversas e trigonometria.



Módulo 3: Resolvendo problemas interessantes usando o GeoGebra

Os enunciados dos problemas foram retirados das referidas revistas sem alterações.


Problema 1 (proposto por Sanches e Carneiro - RPM 47)
       Era uma vez dois irmãos aventureiros que encontraram, no baú das lembranças de seu
bisavô, o mapa de um tesouro, juntamente com as instruções para localizá-lo. O tesouro estava
numa ilha, cuja localização estava descrita de forma clara; encontrada a ilha, deveriam procurar
um campo aberto com um grande espaço arenoso, perfeitamente circular. No exterior do dito
círculo encontrariam numerosas palmeiras alinhadas ao longo de uma reta. Deveriam, então,
procurar a palmeira com um desenho geométrico no seu tronco e, partindo de sua base, traçar as
tangentes à pista circular, chamando de       e     os pontos de tangência. A seguir, deveriam
traçar também o diâmetro,      , da circunferência fronteira da clareira, perpendicular à reta das
palmeiras. Encontrariam o tesouro enterrado exatamente no ponto de intersecção de            com
   .


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Problema 2 (proposto por Sanches e Carneiro (2001) - RPM 47)

       Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha. Escolhem como pontos de
referência, uma árvore e duas pedras. Começando na árvore, medem o número de passos até a
primeira pedra. Em seguida, dobram segundo um ângulo de 90o, à direita e caminha o mesmo
número de passos até alcançar um ponto, onde fazem uma marca. Voltam à árvore, medem o
número de passos desde a árvore até a segunda pedra, dobram à esquerda, segundo um ângulo de
90o, e caminha o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem outra marca.
Finalmente, enterram o tesouro exatamente no ponto médio entre as duas marcas.
       Anos mais tarde, os dois piratas voltam à ilha e decidem desenterrar o tesouro, mas, para
sua decepção, constatam que a árvore não existe mais (o vento, a chuva e os depredadores a
haviam arrancado). Então um dos piratas decide arriscar. Escolhe ao acaso um ponto da ilha e
diz: “Vamos imaginar que a árvore estivesse aqui.” Repete então os mesmos procedimentos de
quando havia enterrado o tesouro: conta os passos até a primeira pedra, dobra à direita, etc., e
encontra o tesouro. A pergunta é: esse pirata era sortudo ou um matemático?
Problema 3 (proposto por Reínaldo Gen Hishiro Arakaki - RPM 51)

Em um triângulo qualquer, ABC:

1. P é o ponto de encontro da bissetriz do ângulo BAC com a mediatriz do lado BC; Q é o ponto de
encontro dessa mediatriz com o lado BC.

2. R é o ponto de encontro, com o lado AB, da perpendicular a esse lado
traçada por P; a perpendicular ao lado AC, a partir do ponto P, cruza
esse lado no ponto S. A figura ilustra a construção.

A partir desse desenho simples, é possível obter um resultado
matemático surpreendente: o triângulo é isósceles e finalmente o
triângulo é eqüilátero. Onde está o erro?

Problema 4 (por Lenimar Nunes de Andrade - RPM 53)
Na RPM 53 Andrade (2002) mostra como se pode estudar Geometria Analítica com o Maple, um
software proprietário excelente. A proposta aqui será resolver os exercícios lá contidos usando o
GeoGebra.

MÉTODO DE ESTUDO E RECURSOS DIDÁTICOS

       O mini-curso será oferecido para 20 cursistas em laboratório equipado com, pelo menos, 10
computadores. O software usado será o GeoGebra. Pede-se que o laboratório esteja equipado com

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um projetor multimídia (canhão, data-show). Os cursistas receberão material impresso com objetivo
de auxiliá-los durante o desenvolvimento das atividades. Estas serão feitas em duplas e com auxílio
de um dos ministrantes.

AVALIAÇÃO

       Os cursistas serão avaliados no decorrer do mini-curso. Serão levados em consideração o
comprometimento na realização das atividades e a criatividade na elaboração de situações para a
sala de aula. Ao final, será distribuída uma ficha para identificar os conhecimentos construídos e
coletar impressões sobre o mini-curso.



Referências

Andrade, L. (2002) Usando o Maple em Geomegria Analítica, RPM 53 , pp.40–45.
Bellemain F. (2001) Geometria Dinâmica: diferentes implementações, papel da manipulação direta
    e usos na aprendizagem. In: International Conference on Graphics Engineering for Arts and
    Design. 4., 2001, São Paulo: Anais...São Paulo: Usp, pp. 1314-1329.

Brandão, L.O.; Isotani, S. (2003) Uma ferramenta para ensino de geometria dinâmica na internet:
    iGeom. In: Workshop de informática na educação, 9., 2003, Campinas: Anais
    Campinas:UNICAMP, pp.1476-1487.

Gravina, M. A. (1996) Geometria Dinâmica: Uma Nova Abordagem para o Aprendizado da
    Geometria. In : Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 7., Belo Horizonte: Anais
    Belo Horizonte: SBC, pp. 1-13.

Lima E. (1985) Conceitos e Controvérsias – Deve-se usar máquina calculadora na escola?,
    RPM07, pp.20–22.
Saint, J O “Cabri Geomètre”, RPM 29 (1995), pp.36–40.
Sánchez, J. e Carneiro, (2001) A Ilha do Tesouro: Dois Problemas e Duas Soluções, RPM 47,
    pp.1– 4.

Rodrigues, D. W. L. (2002) Uma Avaliação Comparativa de Interfaces Homem-Computador em Programas
    de Geometria Dinâmica. Dissertação (Dissertação de Mestrado em Ergonomia) - Universidade Federal
    de Santa Catarina, Santa Catarina..




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