NUEVAS TENDENCIAS Y TRUCOS EN LA TEOR ESPECTRAL IA Lyonell

NUEVAS TENDENCIAS Y TRUCOS EN LA TEOR´ ESPECTRAL IA Lyonell Boulton y Michael Levitin Heriot-Watt University, Edimburgo, Escocia L.Boulton@ma.hw.ac.uk M.Levitin@ma.hw.ac.uk ´ 1. Descripcion del Curso El estudio del espectro de los operadores lineales es de fundamental importancia en diversas areas de la matem´tica y sus aplicaciones. Esto incluye el an´lisis ´ a a funcional, la teor´ de operadores, las ecuaciones en derivadas parciales y la f´ ıa ısica matem´tica. El objeto de este curso es proporcionarle a los estudiantes una base a s´lida en las t´cnicas modernas de la teor´ espectral a trav´s de un an´lisis detallao e ıa e a do del uso de estas t´cnicas en diversos casos modelo. Al final del curso, se espera e que los estudiantes hayan desarrollado destrezas para atacar problemas concretos, un amplio conocimiento de la teor´ as´ como de la relevancia de estas t´cnicas en ıa, ı e diversas aplicaciones. Nuestra estrategia principal para este curso ser´ la de introducir de manera genea ral las ideas y las herramientas m´s importantes de la teor´ espectral moderna, con a ıa el objeto de enfocar luego la mayor parte de nuestro esfuerzo en ense˜ arle a los estun diantes c´mo aplicar estas t´cnicas en la soluci´n de problemas concretos. Nuestras o e o lecciones ciertamente no carecer´n del necesario rigor matem´tico, sin embargo, en a a lugar de saturar a los estudiantes con conceptos abstractos, deliberadamente hemos escogido casos modelo que son representativos de los principales focos de actividad de investigaci´n en la actualidad y de sus aplicaciones m´s relevantes. o a 2. Prerrequisitos Un conocimiento b´sico en los siguientes temas ser´ suficiente para aprovechar a a al m´ximo este curso: a ´ • Algebra Lineal. • An´lisis Funcional. a • Ecuaciones en Derivadas Parciales. Tambi´n ser´ de utilidad una base en m´todos computacionales. Sin embargo, ´sta e a e e no ha de ser imprescindible, ya que todos los conceptos necesarios sobre este tema ser´n discutidos en el curso. a ´ 3. Discusiones Topicas y Casos Modelo (lista tentativa) • Preliminares: teor´ espectral en espacios de Hilbert, espectro esencial, ıa discreto y puntual, problemas con valores de frontera, espacios de Sobolev, la propiedad de ser autoadjunto vs la propiedad de ser no-autoadjunto, m´todos variacionales y ecuaciones el´ e ıpticas en derivadas parciales, m´todos e num´ricos, descomposici´n de Floquet. e o 1 2 NUEVAS TENDENCIAS Y TRUCOS EN LA TEOR´ ESPECTRAL IA • Discusi´n t´pica: aproximaci´n variacional de autovalores, cotas espectrales o o o y contaminaci´n espectral. o (1) Operadores de Sturm-Liouville. (2) Operadores de multiplicaci´n y matrices de Toeplitz. o (3) Operadores de Schr¨dinger peri´dicos. o o • Discuci´n t´pica: desigualdades universales e isoperim´tricas, resultados o o e principales y problemas abiertos. (1) Identidades de conmutante y de traza para el Laplaciano. • Discusi´n t´pica: simetr´ el par´ntesis de Dirichlet a Neumann, isoespeco o ıas, e tralismo. (1) Existencia de autovalores y problemas tipo gu´ ıa-onda. (2) Simetr´ en variedades de genus 2. ıas (3) Isoespectralismo de Dirichlet/Neumann. • Discusi´n t´pica: teor´ espectral de operadores no autoadjuntos, estabilio o ıa dad y pseudoespectro. (1) Una cornucopia de ejemplos de matrices con espectro altamente sensible a perturbaciones. (2) Operadores de Toeplitz. (3) Pseudoespectros de operadores diferenciales. • Discusi´n t´pica: as´ o o ıntotas espectrales para el Laplaciano. (1) As´ ıntotas cl´sicas de Weyl. a (2) Dominios con frontera (fractal) irregular. Nota: cuando sean de nuestro conocimiento los temas a tratar en los otros cursos, podr´ ıamos acomodar algunos t´picos que permitan una intersecci´n con ´stos. o o e 4. Bibliograf´ ıa [1] M. Ashbaugh, “Isoperimetric and universal inequalities for eigenvalues.” Spectral theory and geometry (Edinburgh, 1998), 95–139, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 273, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999. [2] E.B. Davies, Spectral Theory and Differential Operators, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. [3] T. Kato, Perturbation theory for linear operators, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin, 1980. [4] M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Volume 1: Functional Analysis, Academic Press, New York, 1972. [5] M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Volume 2: Selfadjointness, Academic Press, New York, 1975. [6] M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Volume 4: Analysis of Operators, Academic Press, New York, 1978. Esta lista s´lo cubre los temas b´sicos; una lista de lecturas mas completa ser´ o a a incluida para cada estudio de caso por separado.