Universidad Rey Juan Carlos
´ ´ ´ F´ ISICA BASICA EN INFORMATICA GRAFICA
´ ´ ´ MASTER EN INFORMATICA GRAFICA, JUEGOS Y REALIDAD VIRTUAL
Semana 6. Curso 2008-2009
Opci´n “marine”: Problema con aceleraci´n no constante o o
El tipo de movimiento de una part´ ıcula depende del tipo de aceleraci´n que posee, que a su vez depende de las o fuerzas a las que se encuentra sometida. En general, la aceleraci´n de una part´ o ıcula puede expresarse como funci´n o de una o m´s variables r, v y t, de modo que conocidas las componentes de la aceleraci´n y las condiciones iniciales, a o se puede determinar las ecuaciones de su movimiento. Esto es as´ porque el proceso de c´lculo implica realizar dos ı a integraciones (para obtener la velocidad y la posici´n respectivamente) y son las condiciones iniciales de la velocidad o y posici´n las que determinan las constantes de integraci´n. o o En particular, si suponemos que el movimiento es rectil´ ıneo a lo largo del eje X, el valor de la aceleraci´n se puede o corresponder con los siguientes casos: Aceleraci´n constante: a = cte o Aceleraci´n dependiente del tiempo: a = a(t) o Aceleraci´n funci´n de la posici´n: a = a(x) o o o Aceleraci´n funci´n de la velocidad: a = a(v) o o Se propone resolver num´ricamente el movimiento unidimensional de: e 1. Una masa m unida a un resorte de constante k y coeficiente de amortiguamiento λ, dado por la ecuaci´n o diferencial de segundo orden: ma + λv + kx = 0, donde a= d2 x dt2 v= dx . dt
Se observa que este caso se corresponde con a = a(x) cuando µ = 0 y es una combinaci´n de a = a(x) y a = a(v) o cuando µ = 0. Esta ecuaci´n se puede reescribir como dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas: o dx dt dv dt = v = −λv − kx (1) (2)
Obtener num´ricamente y representar gr´ficamente x(t) y v(t) en incrementos de tiempo discretos, sabiendo que e a x(t = 0) = x0 = 0 4 m y v(t = 0) = v0 = 0 m/s. Considerar los casos λ = 0 kg/s y λ = 0 5 kg/s. Tomar m = 1 kg y k = 20 N/m. 2. Un paracaidista de 70 kg se tira desde un avi´n a una altura de 2000 m. Cuando abre el paraca´ o ıdas, adem´s a de la aceleraci´n de la gravedad, existe una aceleraci´n proporcional al cuadrado de la velocidad a = −kv 2 /m o o ´ ıdas). Calcular la velocidad l´ ımite con k = 0 3 (factor que depende de la densidad del aire y del area del paraca´ que alcanza y representar gr´ficamente c´mo se alcanza esta velocidad l´ a o ımite cuando el paraca´ ıdas se abre a diferentes alturas comenzando desde x0 = 2000 m con v0 = 0 m/s. 1
Opci´n “nightmare”: Simulaci´n del Sistema Solar o o
Escribir un programa que simule el movimiento de los cuerpos del Sistema Solar utilizando el m´todo de Rungee Kutta de orden 4. Para ello basta utilizar un motor est´ndar de movimiento de masas puntuales (del tipo explicado a en clase) en el que las fuerzas entre los cuerpos vengan dadas por la Ley de la Gravitaci´n Universal de Newton: o Fi =
j
G
mi mj rij |rij |3
donde
G = 6 67 · 10−11 Nm2 /kg
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El sistema deber´ incluir al menos el Sol, los 8 planetas y la Luna. Las masas y las condiciones iniciales respecto ıa al centro de masas del Sistema Solar de cada uno de los cuerpos se pueden obtener del sistema HORIZONS de Caltech: http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi. En esta base de datos, para obtener dichos datos en coordenadas cartesianas se deben utilizar las siguientes opciones: Ephemeris Type: Vector table Observer Location: teclear @0 en “Lookup Named Location”. As´ las posiciones y velocidades obtenidas son ı respecto al centro de masas del sistema solar. Time Span: elegir un s´lo d´ (por ejemplo, comienzo el 3 de noviembre de 2008 y final el 4 de noviembre de o ıa 2008). De este modo obtenemos un solo valor de posici´n y velocidad, que sirve como condici´n inicial. o o Target Body: aqu´ se introducir´n sucesivamente los nombres de cada uno de los cuerpos cuya posici´n y ı a o velocidad deseamos obtener. Con objeto de facilitar el ejercicio, se puede descargar el fichero de texto condicion inicial sistema solar.txt de la p´gina de la asignatura con todos los datos necesarios (incluyendo el Sol, los 8 planetas, Plut´n, la Luna y el a o cometa Halley). La simulaci´n debe realizarse preferentemente de forma gr´fica, aunque tambi´n se acepta una simulaci´n purao a e o mente num´rica que d´ las posiciones y velocidades de los cuerpos a lo largo del tiempo en formato texto. e e Detalles a tener en cuenta: El sistema de coordenadas tiene los ejes X e Y en el plano de la ecl´ ıptica (que es el que contiene la ´rbita de la o Tierra), y el eje Z perpendicular a ´l. Aunque los datos son tridimensionales, la mayor´ de los planetas se sit´an e ıa u muy cerca de la ecl´ ıptica, y una representaci´n bidimensional sobre dicho plano permite visualizar perfectamente o la evoluci´n del sistema. o Las unidades por defecto de la base de datos HORIZONS, que son las del fichero de texto que te puedes bajar, y que son las m´s adecuadas para la simulaci´n del sistema solar, son: a o • Longitud: unidades astron´micas, en ingl´s A.U. (1 A.U.≈ 1 49598 · 1011 m). o e • Tiempo: d´ (1 d´ ≈ 86400 s). ıas ıa Por tanto las velocidades vienen dadas en A.U./d´ Las masas pueden darse en kilogramos, pero resulta m´s ıa. a manejable una unidad mayor (por ejemplo, 1020 kg). Se recomienda usar estas unidades, y transformar la constante de gravitaci´n G de manera acorde. o Un paso de integraci´n adecuado es del orden de 0 1 d´ o ıas. Si el paso de integraci´n es excesivamente grano de, se producir´n errores visibles en primer lugar en la trayectoria de la Luna, y posiblemente de Mercurio. a ¡Compruebalo, es muy divertido ver c´mo nos quedamos sin Luna! o Comprobar que los periodos de traslaci´n de los planetas alrededor del Sol obtenidos en la simulaci´n coinciden o o con los reales (f´cilmente disponibles en internet). a
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