6. Modelos de Utilidad Aleatoria.
6.1. Introducción
Este es un modelo de elección múltiple (Logit Multinomial). Con el modelo de valoración contingente, elegimos entre dos alternativas ahora suponemos que existen m alternativas (ejemplo; varios lugares para ir de pesca en un río, varios parques, etc). La decisión se basa en la utilidad que proporciona cada alternativa. Una aplicación muy común en este tipo de modelos es para estimar la demanda por medios de transporte. La decisión se basa en las características que tiene cada una de las alternativas. Por ejemplo, un parque está caracterizado por las especies de aves, los sitios para acampar, las playas, la calidad del agua, etc.
6.2. Planteamiento del Modelo
A cada una de las m alternativas se asocia una utilidad U1, U2, ......., Um. El individuo escoge el bien j* siempre que: U2 U1 > U3 U1 > U4 U1 > . . . . Uj=j* Uj* > Para todo j ≠ j*. La decisión esta basada en la comparación entre sustitutos. Se termina yendo a aquel lugar que reporta una utilidad mayor que todos los otros bienes o lugares disponibles. Se calcula una función de utilidad donde esta tiene un componente aleatorio y un componente determinístico. Es decir: Uij =V(Sij) + εij
132
Donde Uij es la función de utilidad del individuo i por visitar el sitio o lugar j, Sij son los bienes o sitios que entran como alternativas para el individuo y εij es la parte aleatoria (no cuantificable) de la función de utilidad del individuo i. La opción de qué bien comprar o que sitio visitar viene dada por Vij* + εij* > Vij + εij , para todo j ≠ j*. Es decir, siempre que la utilidad sistemática sea mayor que la diferencia en la utilidad aleatoria. Es decir:
P(Vij* ‐ Vij ≠j* >εij≠j* ‐ εij* ) = P(ΔV > εi)
Donde, εij≠j* ‐ εij* es la parte aleatoria y Vij* ‐ Vij ≠j* es la parte determinística de la función de utilidad del individuo. Con ε idéntica e independientemente distribuido. La probabilidad de elegir j* esta dada por:
P ( j*) = exp(V j* )
∑ exp(v
j =1
m
= )
ΔVi
j
−∞
∫
f (ε )dε =
1 1 + ∑ exp(V j − V j* )
j = j*
Ahora, ¿como se define una función de utilidad para un lugar específico con atributos 1,2,3, ...., n. Se tiene un vector Si = (Si1, Si2, ....... , Si3),donde este vector puede ser diferente para cada individuo. Los atributos entre las personas pueden ser subjetivos. Ejemplo: el ir de pesca, depende del tipo de equipo, experiencia en pesca, método de pesca, etc. Donde los atributos son los que determinan el nivel de utilidad de cada uno de los bienes, la decisión está determinada por el hecho de que P(j) sea máxima. El siguiente paso es definir una función de cambio en utilidad (ΔVj) para P(j), suponiendo un cambio en utilidad para el individuo i tenemos:
Vi = α0 + α1Si1 + α2Si2 + α3Si3
Este modelo es estimado por medio de métodos de máxima verosimilitud. La función de Verosimilitud en este caso estaría dada como:
L=∏
i =1 n
∏ P (V (S
j i =1
m
ij
;α ))
yij
133
Donde, yij es 1 si el individuo elige j y 0 si no elige j, y elige cualquier otro sitio. Maximizar L es igual a maximizar:
ln L =
∑ ∑y
i =1 i =1
n
m
ij
ln P (V ( Sij ;α ))
Los coeficientes α´s son los parámetros de la función de utilidad. En otro formato se debe repetir cada observación las veces cuantas alternativas se tengan, esto lo hace LIMDEP WIN 7.02. Ahora retomando el modelo, se tiene que: P ( j*) = P (U j * > U j ≠ j * ) = P (V j * ( Sij ) + ε j * > V j ≠ j *,i + ε j ≠ j *,i )
i
Donde, Sij son los atributos del recurso valorado por el individuo i, εj≠j*,i es la parte aleatoria de la utilidad del conjunto de alternativas.
V j * −V j ≠ j *
P ( j*) = P (V j * ( S ji ) − V j ≠ j * ( S j ≠ j *,i ) > ε j ≠ j *,i − ε ji ) =
−∞
∫ f (ε )dε con ε
P ( j*) = 1 1 + ∑ exp(V j * − V j ≠ j * )
j ≠ j*
Con ε ∼(0,1), idéntica e independientemente distribuido. Por ejemplo, la utilidad de elegir el recurso j esta dado por: $ V = β 0 + β 1 ( y − cj ) + β 2 S j Donde, y es el ingreso disponible del entrevistado (su familia), cj son los gastos incurridos en practicar un deporte, Sj es el atributo de calidad del sitio. Suponga que existen tres alternativas, la probabilidad de aceptar la alternativa 1 estará dada como:
P (1) = 1 1+ e
V2 −V1
− eV3 −V1
P (1) =
{1 + e
[β 0 + β1 ( y −c1 ) + β 2 S1 −( β 0 + β1 ( y −c2 ) + β 2 S 2 ]
1
+ e [β 0 + β1 ( y −c1 )+ β 2 S1 −( β 0 + β1 ( y −c3 )+ β 2 S3 ]
}
134
Esta ecuación se deduce reduce a:
P (1) = 1
⎧ β (c − c ) + β (S − S ) ⎪ 2 1 2 ⎨1 + e 1 2 1 ⎪ ⎩
[
] [
+e
β (c − c ) + β (S − S ) ⎫ 1 3 1 2 1 3 ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
]
Donde, β1 es la utilidad marginal del ingreso y el cambio en utilidad 1 y 2 respectivamente son: ΔV1 = β 1 ( c2 − c1 ) + β 2 ( S2 − S1 ) y ΔV2 = β 1 ( c3 − c1 ) + β 2 ( S1 − S3 ) Tenemos que el cambio en utilidad producto de la eliminación de un atributo queda expresada como:
⎤ ⎡ m−1 V j * ⎥ ⎢∑ e 1 ⎢ j =1 ⎥ CV = − ln 0 > 0 m β1 ⎢ Vj ⎥ ∑e ⎥ ⎢ j =1 ⎦ ⎣
Donde, Vj*, se refiere a la utilidad en la situación nueva con el cambio, y Vj0 a la situación inicial de utilidad. La situación nueva es: V j* = β 0 + β 1 ( y − c j ) + β 2 Si* Entonces la variación compensada es igual a:
CV = − ⎡V * ⎤ ln ⎢ j 0 ⎥ β 1 ⎣ Vj ⎦ 1
Donde:
V* =
∑e
j =1
m
V j*
y V0 = ∑e
j =1
m
V j0 *
6.3. Medidas de Bienestar Estimadas.
Se puede hablar de dos medidas de cambio en el bienestar:
135
Valor de acceso al sitio o recurso natural: Se presenta cuando se elimina una de las alternativas posibles.
⎡ m−1 V j e 1 ⎢∑ j =1 CV = − ln ⎢ β1 ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ > 0 m Vj ⎥ ∑e ⎥ j =1 ⎦
Es decir eliminado una de las m alternativas, quedando m‐1 alternativas disponibles. Si se elimina una de las alternativas del conjunto, tiene que dar un número mayor que cero, llegando a la siguiente expresión.
CV = −
m 1 ⎡ m−1 V j 1 Vj ⎤ ⎢ ln ∑ e − ln ∑ e ⎥ = − ln(1 − π r ) β 1 ⎣ j =1 β1 j =1 ⎦
Donde, CV es equivalente al monto de dinero que hace a la persona indiferente al cambio. Se supone πr (probabilidad de haber elegido la alternativa r), es el recurso r que se eliminó. Valor de un Cambio en un atributo (ejemplo, un cambio en calidad): Donde, ∑ eV
j =1 m
* j
⎡ m−1 V j * ⎤ e ⎥ 1 ⎢∑ 1 0 ⎥=− CV = − ln ⎢ j =1 ln(1 − π * ) − ln(1 − π r ) m r Vj ⎥ β1 ⎢ β1 ∑e ⎥ ⎢ j =1 ⎣ ⎦
[
]
es el cambio en utilidad debido al cambio en el atributo.
∑e
j =1
m
Vj
es la utilidad original con el estado inicial del atributo. Por otra
parte, (1‐πr*) es la probabilidad nueva una vez que cambia la alternativa y (1‐πr0) es la probabilidad antigua de visita al sitio r con el estado inicial del atributo. Para el presente ejemplo, con m = 3 alternativas; el ΔS1 en la primera alternativa, el cual puede ser un incremento en la tasa promedio de captura del sitio 1, se expresaría como. Probabilidad vieja, después del cambio:
136
* π1 =
⎡1 + e[ ⎢ ⎣
1
* β 1 ( c2 − c1 ) + β 2 ( S1 − S 2 )
] + e[ β
1 ( c3 − c1 ) + β 2
* ( S1 − S 3 )
]⎤
⎥ ⎦
Probabilidad nueva, antes del cambio:
0 π1 =
⎡1 + e[ ⎢ ⎣
1
0 β 1 ( c2 − c1 ) + β 2 ( S1 − S 2 )
] + e[ β
1 ( c3 − c1 ) + β 2
0 ( S1 − S 3 )
]⎤
⎥ ⎦
Esto debe medir los cambios en calidad de los atributos, también puede servir para medir cambios de precios a los lugares escogidos:
CV = − ⎛ 1 ln⎜ 1 − [ β 1 ( c2 − c1 ) + β 2 ( S1 − S 2 ) ] ⎜ β1 ⎝ + e[ β 1 ( c3 − c1 ) + β 2 ( S1 − S3 ) ] 1+ e 1
CV = −
1
β1
ln(1 − π 1 )
[
]
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Para realizar esta estimación, sólo se necesita saber los valores de las variables independientes(gasto y nivel de calidad de atributos) y de los coeficientes β´s.
6.4. Conclusiones
Los modelos de utilidad aleatoria son muy convenientes a la hora de estimar medidas de bienestar ex – ante relacionadas con la valoración de atributos o de cambios en atributos de un sitio dada la existencia de un conjunto de estos. Este método considerado como una expansión del método de elección discreta utilizado en el método de Valoración Contingente (modelo de
137
referéndum) necesita de información sobre los atributos específicos de cada sitio. El conjunto de sitio o de recursos naturales debe estar definido por el conjunto de alternativas potenciales de consumo del individuo. Para que el modelo Multinomial Logit logre dar resultados consistentes a partir de coeficientes estimados se necesita de información de buena calidad sobre las elecciones que hacen los individuos entre un conjunto de alternativas disponibles. Para la obtención de información de buena calidad es importante incluir atributos que puedan ser medibles y obviamente que las mediciones sean confiables. La obtención de la información acerca del individuo debe ser levantada a partir de encuestas las cuales pueden ser realizadas considerando las técnicas aprendidas en el capítulo de valoración contingente. Al final podemos decir que esta metodología representa una buena alternativa de medición para el caso de medición de bienestar social derivados de mejoras en recursos naturales destinados para recreación. Representa una oportunidad excelente de hacer evaluación ex – antes (versus medición ex – post a través del método del costo de viaje) muy valiosa para el diseño de políticas de mejoras de recursos naturales destinados para la recreación. No obstante, esta metodología puede ser aplicada para evaluar impactos en bienestar en otros campos, como por ejemplo la valoración de los impactos en bienestar derivados de políticas de transporte.
138