De la convexidad de la función de utilidad. Aportaciones de von Neumann y Morgenstern al concepto de utilidad en economía.
Juan Manuel López Zafra Universidad Pontificia Comillas Facultad de CCEE – ICADE Cl Alberto Aguilera 23 28015 Madrid e-mail: juanma_lz@cee.upco.es RESUMEN Durante las últimas jornadas de Asepuma celebradas en la sede de la Universidad San Pablo-CEU, el autor mantuvo una enriquecedora discusión con uno de los participantes en la sesión en la que defendía la presentación del trabajo “Matemáticas y teoría de la utilidad”, del que no era autor. Básicamente, lo que el participante defendía era la inexistencia de toda función de utilidad que no se sometiese a los principios derivados de la economía clásica, esto es, la imposibilidad de una función de utilidad convexa. Durante las próximas líneas efectuaremos un breve repaso por la evolución del concepto de utilidad en economía, desde la aportaciones originales de Bernouilli hasta las quizá revolucionarias de John von Neumann y Oskar Morgenstern, quienes en 1944 plantearon por vez primera una concepción axiomática de la utilidad que permite, tal y como veremos, la convexidad de la función de utilidad. Palabras clave: Teoría de la utilidad esperada, utilidad, convexidad.
I. Introducción. La concepción clásica de la utilidad en economía. Es el de utilidad uno de los conceptos más importantes que el pensamiento económico ha aportado a la ciencia. Surge con la denominada matematización de la economía, a finales del siglo XIX, momento en que muchos economistas tratan de aplicar el método científico a la ciencia económica. Tal y como indica López Cachero (1995), uno de los primeros en tratar la idea fue Bernouilli, cuyas aportaciones fueron recogidas por Laplace, Dupuit, y fundamentalmente las escuelas marginalistas austriaca e inglesa, representadas por Menger y von Mises la primera y Jevons y Clark la segunda; la influencia de Bernouilli es igualmente patente en las obras de Walras y Pareto. La influencia llega a tal extremo que los marginalistas construyeron el principio de equilibrio basándose en el concepto de utilidad (en un sentido ordinal), como a continuación veremos. La definición que ofrecen de utilidad, referida siempre a un bien o servicio, es la capacidad de éste para satisfacer las necesidades humanas; por tanto, la utilidad depende básicamente de factores subjetivos, no susceptibles de cuantificación, de donde el tratamiento de la misma será intensivo y no extensivo. Definen a continuación la idea de utilidad marginal como la satisfacción que aporta cada unidad adicional del bien. En ese sentido, suponiendo una función de utilidad continua y sucesivamente derivable (o, lo que es lo mismo, suponiendo que los bienes que componen la cesta de consumo del individuo fuesen sucesiva e indefinidamente divisibles), la utilidad marginal vendría representada por la primera función derivada de la función de utilidad: De acuerdo con de Paz (2002) podemos señalar lo siguiente. Sea x = x1, x2, …, xi, …, xn una cesta formada por n bienes (y servicios) consumibles por el individuo; si por u representamos la función de utilidad de dichos bienes, u = f(x) la utilidad que aporta el consumoi de una unidad adicional del bien i-ésimo, o utilidad marginal del mismo, viene dada por la derivada parcial de la función respecto de ese bien,
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∂u ' = f x i (x) . ∂ xi Las condiciones que suelen exigirse a la referida función f son las siguientes: 1-. Definida en el campo de los reales positivos; además, la utilidad del consumo de una cantidad nula de un bien es igualmente nula, y la función es estrictamente positivas para consumos de bienes no nulos:
f ( x)⊂R + ; f (0) = 0; f ( x) > 0 ∀xi ≠ 0 . 2-. Debe ser creciente con cantidades crecientes del bien, es decir, f ' ( x) > 0 .
3-. Pero tal crecimiento debe ser menos que proporcional, luego la utilidad marginal es decreciente, f '' ( x ) < 0 .
4-. Y por último, deberá poseer un punto de saturación, m: f ' ( m) = 0 , lo que supone que la utilidad crecerá hasta ese punto, pero a partir de él ya no seguiría creciendo, alcanzando pues un máximo y pudiendo, a continuación, permanecer constante o incluso decrecer. Todo ello lleva a que, necesariamente, la función de utilidad del individuo ha de ser cóncava, como es inmediato deducir de las citadas propiedades. Sin embargo, es posible que el problema de toma de decisiones al que se enfrenta el individuo no se dé en el reseñado ambiente de certeza, sino en el de riesgo, bastante más adecuado a la realidad socio-económica en la que nos encontramos. En tal caso, las anteriormente enunciadas propiedades de la función de utilidad pueden ser modificadas, como consecuencia de la propia actitud que el individuo muestre ante el riesgo inherente al proceso de decisión, como a continuación señalamos. II. La axiomática de la utilidad esperada. En 1944, John von Neumann, uno de los físicos más importantes del pasado siglo, fundador del proyecto Manhattan y padre de la física cuántica, y Oskar Morgenstern, economista austriaco, publican la primera obra acerca de juegos de estrategia desde una perspectiva
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económica y la más importante en lo que se refiere al comportamiento individual en ambiente de riesgo. Su título es “Theory of games and economic behaviour”, y plantea un nuevo paradigma en lo que al concepto de utilidad se refiere, planteamiento que sigue vigente a pesar de los múltiples intentos que desde entonces se han efectuado para desbancarlo (cabe destacar, entre ellos, la feroz crítica de Maurice Allais, quien en 1953 – sólo nueve años después de la publicación del libro de von Neumann y Morgenstern – publica en Econometrica su artículo "Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l'école américaine", que dio lugar a la paradoja que desde entonces se conoce por su nombre; más recientemente, Machina (1989) plantea una serie de críticas aparentemente destructivas del entramado axiomático). Básicamente, lo que ambos autores llevan a cabo es una aproximación metodológica que, para resolver el problema de la decisión en régimen de conflicto, les lleve a plantear la racionalidad del individuo. Una de las mejores interpretaciones que existen de la axiomática de von Neumann y Morgenstern es la que posteriormente sugirieron Luce y Rafia (1957), y que se centra en seis sencillos axiomas que brevemente resumimos a continuación. A todos los efectos, debemos considerar que por perspectiva aleatoria o sencillamente lotería se entiende todo conjunto de resultados con una distribución de probabilidad asociada, es decir, toda alternativa en régimen de riesgo. a. Todo decisor racional puede ordenar los resultados monetarios del mejor al peor; b. Todo decisor racional puede reducir toda perspectiva aleatoria compuesta a otra simple equivalente a ella; c. Todo decisor racional puede libremente determinar la probabilidad de acaecimiento del mejor resultado en la lotería formada sólo por los resultados mejor y peor de forma que tal lotería le sea equivalente a un resultado situado entre el mejor y el peor; tal probabilidad del mejor premio en esa lotería formada sólo por los premios mejor y peor recibe el nombre de utilidad de la lotería; d. De acuerdo con los dos axiomas anteriores, todo decisor racional podrá sustituir cualquier lotería por otra equivalente a ella, formada sólo por los premiso mejor y peor.
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e. Si sobre le conjunto de todas las alternativas se establece una relación de preferencia-indiferencia, la estructura resultante será un preorden completo. f. Dado un conjunto de loterías, formadas sólo por dos premios, los mismos en todas ellas, el decisor preferirá aquélla con mayor probabilidad del mejor premio. A partir de este sencillo pero eficaz conjunto axiomático el decisor se encuentra en condiciones de tomar decisiones en régimen de riesgo, con el único requisito de ser capaz de determinar su función de utilidad; función que en un principio será de tipo discreto y a la que posteriormente se le podrá ajustar, mediante las técnicas estadísticas habituales, una función de tipo continuo en un conjunto determinado. III. De la convexidad de la función de utilidad. Y es aquí precisamente donde surge la cuestión que da origen al planteamiento del presente trabajo. Tal y como hemos recordado en la parte introductoria del trabajo, la economía clásica considera a la función de utilidad como necesariamente cóncava. Sin embargo, el conjunto axiomático de von Neumann y Morgenstern permite derivar cualquier tipo de función de utilidad, desde le momento en que deje total libertad al individuo para asignar y cuantificar sus preferencias. He aquí una de las mayores aportaciones de los autores, algo que sin ser lo que nos ocupa directamente debemos sin embargo considerar: la cuantificación de la utilidad. Sea u una función real, que denominaremos de utilidad. Sea X el conjunto de resultados que el decisor puede obtener en un determinado problema de decisión, todos ellos por él mismo conocidos y valorables económicamente. Obviamente, el decisor podrá ordenarlos del mejor al peor sin ningún tipo de problema. Así pues, la función de utilidad, definida en primer lugar sobre el conjunto de resultados, supondrá u : X →R x i ∈ X u(x i )∈ R xi x j ⇔ u(x i ) > u(x j ) ∀ i ≠ j
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Esto supone que necesariamente, al dar lugar la relación de preferencia-indiferencia a un preorden completo sobre el conjunto de resultados, la función de utilidad así definida será una representación fiel de las preferencias del decisor, tal y como probaron, en su Teorema Fundamental, von Neumann y Morgenstern. La generalización de lo expuesto al conjunto de loterías, esto es, al conjunto de todas las alternativas en régimen de riesgo presentes en un problema de decisión, es inmediata de acuerdo con los axiomas c, d y b expuestos anteriormente. Sea una lotería formada sobre un conjunto de resultados como la siguiente: p l = 1 x 1
p2 x2 pn con p j ∈ [0;1] y xn
∑p
j
=1
Si consideramos, por comodidad, que el subíndice define además el orden de preferencia de los resultados, entonces x1 será el mejor premio y x n el peor. De acuerdo con el axioma de continuidad (el c anterior), cualquier individuo está capacitado para determinar la probabilidad u i en la lotería siguiente:
u 1 − ui , ∀i ∃ u i ∈ [0;1] / xi ∼ i x xn 1 De este modo, sólo la propia actitud del individuo le llevará a asignar unas probabilidades u otras al mejor premio (por definición de los autores, utilidades) según cada uno de los resultados que se le ofrezcan. Conseguimos de este modo generar una función de utilidad que tiene la característica de ser monótona no decreciente en el cerrado [0;1]. De vuelta a la lotería anterior, sólo queda sustituir cada uno de los premios que la componen por la lotería a la que son indiferentes. Así pues, obtenemos ahora una lotería como la siguiente:
p1 l = u1 1 − u1 x xn 1 finalmente la lotería quedará como
u2 x 1
p2 1 − u2 xn
un x 1
pn 1 − un xn
Ahora sólo queda aplicar el axioma b de reducción de loterías compuestas, de manera que p u 1 − ∑ pi u i l = ∑ i i x xn 1
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siendo la probabilidad del mejor premio, de acuerdo con la definición de los autores, la utilidad de la lotería. Y así pues, toda lotería podrá expresarse en función de los premios mejor y peor, y de utilidad la esperanza matemática de las utilidades de los premios que la componen. Con lo que de forma sencilla podemos resolver uno de los problemas clásicos en economía, el de la cuantificación de la utilidad. Entremos, por último, en el problema de la forma de la función de utilidad, directamente relacionado con la actitud del decisor frente al riesgo. Supongamos una lotería como la siguiente, formada por sólo dos premios x e y tal que uno de ellos (por ejemplo, x) es el mejor de ambos. Tengamos presente que tal lotería no supone ninguna simplificación de la realidad, tal y como hemos visto en el axioma cuarto de Luce y Raiffa. p 1− p l = x y Sea µ la esperanza matemática de la lotería, o resultado esperado de la misma. Evidentemente, µ= px + (1-p)y. Definimos como actitud de preferencia por el riesgo aquélla según la cual un individuo preferirá la lotería a su valor probable. Esto es, l
µ.
¿Qué implicaciones tiene esta actitud en el ámbito de la función de utilidad? Considerando por ejemplo un gestor de fondos de inversión altamente especulativo, o un inversor en bonos basura, ¿cómo explica la función de utilidad derivada de los postulados clásicos este comportamiento? La concavidad de la función de utilidad supone, necesariamente, que la combinación lineal de la imágenes de los resultados será menor que la imagen de la combinación lineal de los resultados, pero, de acuerdo con lo expuesto, y tal como observamos en la siguiente relación, la preferencia de la lotería sobre su valor probable supone
l µ ⇔ u(l) > u (µ ) ⇔ pu(x) + (1 - p) u(y) > u[px + (1 - p)y]
Es decir, el comportamiento de un decisor con actitud arriesgada contraviene la forma clásica de la función de utilidad. Sin embargo, este comportamiento es perfectamente
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explicable con la axiomática de Von Neumann y Morgenstern. Queda así, espero, aclarado el problema de la convexidad de la función de utilidad.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Allais, M. (1953). "Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l'école américaine." Econometrica, 21. de Paz Cobo, S. (2002). “Matemáticas y teoría de la utilidad”. X Jornadas Asepuma, Madrid. Ferguson; Gould (1986). Teoría Microeconómica. FCE, Madrid. Howard (1992). "In praise of the old time religion." En W. Edwards (Ed), Utility Theories:
Measurements and applications, KAP, Boston, USA.
López Cachero, M. (1995). “Algunos problemas de las teorías de la adopción de decisiones”. Discurso de ingreso en la Real Academia de Doctores de Madrid, Madrid. Luce, D.; Rafia, H. (1957). Games and decisions. Introduction and critical survey. John Wiley and Sons, New York. Machina, M. (1989) “Dynamic consistency and non-expected utility models of choice under uncertainty”. Journal of Economic Literature, XXVII, Diciembre. Von Neumann, J .; Morgenstern, O. (1944) Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, Princeton.
i Obviamente, también la tenencia o la enajenación de un bien suponen una utilidad; en adelante, por motivos de simplificación, nos referiremos a todas las posibilidades como una única, el consumo.
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