MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA

CURSOS DE VERANO 2007 UNIVERSIDAD DE CANTABRIA APLICACIONES EN ESTIMACIÓN DE DEMANDA Y MARKETING MODERNO MODELOS AVANZADOS DE PREFERENCIAS: MODELOS AGREGADOS/DESAGREGADOS Modelos agregados de demanda se basan en relaciones observadas para grupos de viajeros, o en relaciones promedio determinadas a nivel de zonas. • Consideran las proporciones que elige cada alternativa Modelos desagregados de demanda se basan en las elecciones observadas de viajeros individuales • Consideran las probabilidades de elección individual El uso de este segundo enfoque debiera posibilitar el desarrollo de modelos más realistas. En general se postula que: La probabilidad de elección individual depende de las características socioeconómicas de cada persona y de la atractividad relativa de cada una de las alternativas MODELOS AGREGADOS/DESAGREGADOS  Para representar la atractividad se utiliza el concepto de utilidad, (tautológicamente definida como aquello que el individuo busca maximizar):  La utilidad sistemática o representativa, se especifica usualmente como una combinación lineal de variables, por ejemplo: Vauto = 0,25 – 1,2 TVauto – 2,5 Accauto – 0,3 (C/I)auto + 1,1 Naut En este caso un cambio unitario en el Tiempo de acceso (Acc) tiene un impacto de aproximadamente el doble que el Tiempo de viaje en el vehículo (TV), y de más de siete veces el de un cambio unitario en la variable Coste dividido por ingreso (C/I) Naut es el número de autos en el hogar del individuo modelado La constante específica (0,25) representa la influencia neta de todas las características no observadas, o no incluidas en forma explicita, del individuo o de la alternativa en su función de utilidad.    MODELOS AGREGADOS/DESAGREGADOS MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA exponen el paradigma teórico más utilizado para representar las elecciones entre alternativas discretas. HIPOTESIS BASICAS 1. Cada individuo, pertenece a una clase de individuos homogéneos desde un punto de vista conductual 2. Cada individuo, efectúa sus elecciones de forma racional o bien maximizando su propia utilidad a través de las diferentes posibilidades de elección. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA HIPOTESIS a) Los individuos pertenecen a una cierta población homogénea Q, actúan en forma racional y tienen información perfecta; (eleccion que maximiza su utilidad personal neta) «homo economicus», sujeto a sus restricciones ambientales. Estas pueden ser legales, sociales, físicas o presupuestarias (en tiempo y dinero). b) Un individuo genérico q que efectúa una elección, considera Ai (alternativa1, alternativa 2 ….etc) alternativas disponibles y constituyen su conjunto de elecciones A. El conjunto de elección A puede ser diferente para individuos diferentes, es decir, existe un cierto conjunto A = {m1. . ., mi. . ., mN) de alternativas disponibles de forma que el conjunto disponible para un individuo en particular, q, es A(q) Є A. Restricciones conjunto de alternativas disponibles = choice set MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA HIPOTESIS c) Cada alternativa Ai tiene asociada una función de utilidad Uiq para el individuo q . El individuo q asocia, a cada alternativa i de su conjunto de elecciones posibles, una función de utilidad percibida Uiq, y elige, de las alternativas que posee, aquella que le proporciona una mayor utilidad es decir que efectuará su elección en función de la maximización de su utilidad. d) La utilidad asociada a cada alternativa de elección, depende de una serie de características medibles o atributos Viq (renta, coste, confort, etc) , propios de la alternativa misma, Uiq = Ui (Viq) dónde Viq, es el vector de los atributos relativos al alternativa i y al individuo que decide q. En otras palabras el usuario elige una alternativa en base a los atributos propios de aquella alternativa confrontándolos con los de las otras alternativas disponibles. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA HIPOTESIS El modelador, como observador del sistema, no posee información completa acerca de todos los elementos que cada individuo considera al realizar su elección y por lo tanto supone que Uiq se puede representar por dos componentes: Una parte medible, sistemática o representativa, que es función de los atributos medidos V. Una porción aleatoria que refleja la idiosincrasia y gustos particulares de cada individuo, además de errores de medición y observación por parte del modelador. Uiq = Viq + εiq Viq    ik xikq k 1 K MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA ATRIBUTOS Uiq = Viq + εiq Viq    ik xikq k 1 K Por cuánto concierne la tipología, los atributos pueden ser clasificados de diferentes modos. Atributos de nivel de servicio aquellos propios del servicio ofrecido por el sistema de transporte (tiempos, costes, frecuencia de los servicios, confort etc) Atributos del sistema de actividades aquellos dependientes de los usos del territorio del área de estudio (número de comercios o número de escuelas de una zona etc), Atributos socio económicos aquellos propios del usuario o de su núcleo familiar (posesión de permiso de conducción, número de automóviles en familia, etc). MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Uiq = Viq + εiq Viq    ik xikq k 1 K Va pie = b1 tp Vauto = b1 tpa+ b2 tba + b3 ca + b4 DISP + b4 RENTA + b6 AUTO Vbus = b1 tpb+ b2 tbb + b3 cb + b7 twb + b8 BUS ATRIBUTOS ESPECIFICOS DE LA ALTERNATIVA ATRIBUTOS DE NIVEL DE SERVICIO ATRIBUTOS SOCIOECONOMICOS AUTO tb= Tiempo a bordo DISP= Nº autos/Nº personas que tienen carnet RENTA = 1 si renta > 35000€ BUS tw= Tiempo de espera en la parada tp= Tiempo a pié c= coste MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA HIPOTESIS Uiq = Viq + εiq La componente aleatoria permite resolver dos problemas del modelador: 1. Individuos aparentemente idénticos escogen alternativas diferentes. 2. Un individuo no escoge la alternativa aparentemente mas conveniente. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA En resumen: desde el punto de vista del técnico analista o modelador, no le es en general posible prever con certeza cual alternativa será elegida por un individuo genérico. Sin embargo es posible expresar la probabilidad que dicho individuo elija el alternativa i condicionada por su conjunto de alternativas disponibles Ai como la probabilidad de que tal alternativa tenga una utilidad percibida mayor de todas las otras alternativas disponibles: U iq  U jq  A j  A(q) MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA U iq  U jq El analista no conoce dicha cantidad con certeza  A j  A(q) Viq   iq  V jq   jq Viq  V jq   jq   iq  Piq  Pr ob jq   iq  Viq  V jq    A j  A(q)  Es necesario hacer hipótesis sobre la distribución de los errores MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Una clase importante de estos modelos se genera al suponer funciones de utilidad con residuos que distribuyen en forma independiente e idéntica (IID). Notar que este requisito implica que las alternativas serán consideradas efectivamente independientes. Así opciones combinadas (por ejemplo, auto-tren), usualmente violarán esta condición. De hecho, cada vez que dos opciones puedan ser consideradas más similares entre sí que otra(s), por ejemplo, bus y tren vs auto, se sospecha la presencia de correlación. Aún si los residuos no distribuyen IID es posible generar modelos de utilidad aleatoria, como el Probit, pero éstos son más difíciles de especificar y estimar. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Como no se conoce la distribución de los errores, no se puede tener una expresión analítica para modelo Suponemos que los errores tienen media 0 La distribución de los U es Idéntica, pero con media V Piq   f ( )d  RN     iq  Viq  V jq RN   jq Viq   iq  0   A j  A(q) El Logit Simple (MNL), GUMBEL, IID MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA  El modelo MNL se genera si: 0 . . . . . . . . . .  0  2  0  0   iid Gumbel   .  ,    .  .   .  0  0     Pjq  exp  V jq   2 . . 0  0  . ,    .  2    0  6 Ai  A q   exp  Viq  MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Logit Multinomial Viq    ik xikq k 1 K Pi  eVi A j A( q ) e e Vi Vj Además la independencia de los restos o residuos aleatorios implica que la covarianza entre una cualquiera pareja de restos o residuos aleatorios sea cero: Pi  A j A( q ) e V j El parámetro “λ” es inestimable por separado de los θ presentes en V. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Logit Multinomial Gráfica de las hipótesis hechas sobre la distribución de los residuos aleatorios del modelo Logit Multinomial, asi como el árbol de elección y la matriz de Varianza-Covarianza en el caso de cuatro alternativas de elección. Este tipo de gráfica varia sustancialmente en los árboles de elección relativos a los modelos Logit Jerarquizados. La variable de Gumbel goza de una importante propiedad: la propiedad de estabilidad con respecto de la maximización o bien el máximo de varias variables de Gumbel independientes y de igual parámetro, es también una variable de Gumbel de parámetro θ MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA  Las variables explicativas pueden ser de tres tipos:  Genéricas: comparten el mismo coeficiente en todas las alternativas  Específicas: aparecen en sólo una alternativa o tienen un parámetro diferente en cada una de ellas  Constantes específicas (ASC): toman el valor 1 para una alternativa determinada y 0 para las restantes  Ejemplo: Vauto = 1 tauto + 2 Cauto + 3 sex + 4 Vbus = 1 tbus + 2 Cbus + 3 sex + 5 Notar que en este caso no se podría estimar la variable sex; tampoco sería posible estimar ambas ASC. Esto sucede porque el modelo trabaja en base a diferencias como se muestra a continuación.  MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA  Para ver lo anterior consideremos un logit binario: Pauto exp  Vauto  1   exp  Vauto   exp  Vbus  1  exp   Vbus  Vauto    Vbus  Vauto   1  tbus  tauto    2  cbus  cauto     3  sex  sex     5   4  MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA     Como  no puede ser identificado, se hace igual a uno. Esta normalización es inocua ya que la escala absoluta de la utilidad es irrelevante (si todas las utilidades se multiplican por  el ranking de mejor a peor no se ve alterado) 3 no se puede estimar, sex debe ser específica 4 y 5 no pueden estimarse separadamente, sólo  su diferencia … por lo tanto: Sólo se debe estimar N-1 constantes; por ende, una se hace 0 sin pérdida de generalidad … esto exige escoger una alternativa de referencia Finalmente, como el nivel absoluto de utilidad no importa, añadir una constante a cada alternativa tampoco modifica el ranking entre ellas. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA   Su estructura de error no permite tratar correlación entre alternativas. Solución parcial es usar el modelo Logit Jerárquico, que es adecuado para estructuras del tipo:          0   0 2    0 0 2    2 0 0 0 0  0 0 0 0  2   2          MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA  El MNL no permite variaciones en los gustos (esto es, que cada individuo tenga diferentes parámetros ), ni tratar correctamente el caso de disponer más de una observación proveniente de la misma persona El MNL no permite tratar la heteroscedasticidad  MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA • Los modelos Probit y Logit Mixto permiten estructuras de error más flexibles, incluyendo variaciones aleatorias en los gustos. El primero se basa en la distribución Normal Multivariada • El Logit Mixto, en cambio, permite combinar errores Gumbel tipo ruido blanco como el MNL, con errores provenientes de otras distribuciones. Si bien hoy es el estándar, su estimación, y sobre todo la interpretación de sus resultados, es mucho más compleja. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Propiedades del Logit Multinomial a.- Dependencia de las diferencias de utilidades medibles o sistemáticas Logit Binomial Logit Multinomial El modelo Logit Multinomial, tal como por todos los modelos aditivos, es posible añadir o sustraer una constante a las utilidades sistemáticas de todas las alternativas sin hacer variar las relativas probabilidades de elección. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Propiedades del Logit Multinomial b.- Influencia de la varianza de los restos o residuos aleatorios: a una menor varianza de los restos o residuos aleatorios corresponde una mayor probabilidad de elección de la alternativa de máxima utilidad sistemática A un incremento de la varianza las diferentes alternativas tienden a ser equiprobables MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Propiedades del Logit Multinomial c.- Independencia de las Alternativas Irrelevantes deriva de las hipótesis hechas sobre la independencia de los residuos aleatorios (iid). ejemplo elección entre dos alternativos A y B de igual utilidad sistemática o medible. La probabilidad de elegir cada alternativa es igual a 0.50 y a la relación entre las probabilidades de elegir A y B es constante e igual a 1. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Estimación estadística del Modelo Logit multinomial o multiple (MNL) P j   e (kVk) e k (jVj) Hay varios métodos, pero por ahora nos concentrarémos en el de Máxima Verosimilitud (MV) Por lo tanto, los estimadores «máximo verosímiles» son el conjunto de parámetros que generarán más a menudo la muestra observada. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Estimación estadística del Modelo Logit multinomial o multiple (MNL) Para ilustrar esta idea, consideremos una muestra de n observaciones de álguna variable Z = (Z1, ..., Zn), provenientes de una población caracterizada para un parámetro desconocido θ (media, varianza, etc.). Puesto que Z es una variable aleatoria, tiene una función densidad asociada f(Z/θ), que depende de los valores de θ. Como todos los valores de Z en la muestra son independientes, podemos escribir la función de densidad conjunta como: f(Z1, ..., Zn)/ θ) = f(Z1/θ) f(Z2/θ).... f(Zn/θ) La interpretación que se da normalmente en estadística a esta función conjunta, es que los Z son variables y θ es fijo. Si invertimos el proceso y suponemos que los Z son conocidos y fijos, y que θ es una variable, se puede interpretar la ecuación anterior como una función de verosimilitud L(θ) y no de densidad conjunta. MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Estimación estadística del Modelo Logit multinomial o multiple (MNL) Ejemplo 1: Sea una muestra con tres observaciones, cada una de las cuales tiene solo dos alternativas (las mismas); además supongamos que existe solamente un atributo X de modo que: P 1 i e X e i X  i 1 1 e X i 2 P2i = 1 – P1i y también supongamos que las observaciones fueron las siguientes: Observación (i) 1 Opción elegida 1 X1i 5 X2q 3 2 3 1 2 1 3 2 4 MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Estimación estadística del Modelo Logit multinomial o multiple (MNL) Observación (i) 1 Opción elegida 1 X1i 5 X2q 3 2 3 1 2 1 3 2 4 La función de verosimilitud de la muestra L(θ) para un θ cualquiera es L(θ) = P11.P12.P23 e L( )  5e 3 .  e 2 . 4 3 e e e e e e Por lo tanto lnL(θ) viene dado por: lnL(θ) = 5θ – ln(e5θ + e3θ) + θ – ln(eθ+ e2θ) + 4θ - ln(e4θ + e3θ) 5  4 Derivando e igualando a cero se obtiene θ MODELOS DE UTILIDAD ALEATORIA Estimación estadística del Modelo Logit multinomial o multiple (MNL) lnL(θ) = 5θ – ln(e5θ + e3θ) + θ – ln(eθ+ e2θ) + 4θ - ln(e4θ + e3θ)