Formulario de M todos Matem ticos e a Tarea Derivaci

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Formulario de M´todos Matem´ticos 1                                        o             o
                                                          Tarea 3, Derivaci´n e Integraci´n de Vectores


                                       e             a
                                     M´todos Matem´ticos 1
                                             Tarea 3
                           o             o                 u
                   Derivaci´n e Integraci´n de Vectores y N´ meros Complejos
                                          Octubre 2005
                     ıcula que se mueve siguiendo la siguiente trayectoria
  1. Muestre que part´
                                                             ı              ˆ
                                          r (t) = a cos (ωt) ˆ + b sen (ωt) 
     con a, ω y b constantes

                            ıcula describe una trayectoria el´
      a) Muestre que la part´                                ıptica con a > b los dos semiejes.
      b) Encuentre su velocidad aerolar
      c) Muestre que la suma de dos vectores complejos
                                  r1 (t) = aeiωt      y     r2 (t) = beiωt         con a > b
                          e                         ıptica
           describen tambi´n la misma trayectoria el´

  2. Dada una fuerza F = (2y + 3x) ˆ + xˆ + (yz − x) ˆ Eval´e la integral del l´
                                   ı                k.    u                   ınea            c
                                                                                                   F · dr a lo largo de
     las siguientes curvas:

      a) x = 2t3 , y = t, z = t3 con t = 0 → t = 1
      b) segmentos de l´  ıneas rectas con el siguiente recorrido
         (0, 0, 0) → (0, 0, 1) seguidamente (0, 0, 1) → (0, 1, 1) para finalizar en (0, 1, 1) → (2, 1, 1)
             ınea recta que una los puntos (0, 0, 0) → (2, 1, 1)
      c) la l´

           u
  3. Dos n´meros complejos a = α + iβ y b = µ + iν pueden ser representados como vectores en el plano
                       ı            ı    
     de forma que a = αˆ + βˆ y b = µˆ + νˆ. Muestre que

                                              a∗ b = a · b + iˆ · a × b
                                                              k

  4. Dado un polinomio de la forma f (z) = z 5 − 6z 4 + 15z 3 − 34z 2 + 36z − 48

                              o                    ıces de la forma z = λi. Identifique λ y factorice f (z) .
      a) Muestre que la ecuaci´n f (z) = 0 tiene ra´
                                                                                      3
                                 u
      b) Muestre que el factor c´bico de f (z) puede ser escrito como (z + a) + b, y utilizando ese hecho,
                         ıces de la ecuaci´n f (z) = 0.
         encuentre las ra´                o

                                                o                a
  5. Aunque no lo parezcan, las funciones hiperb´licas son las an´logas, complejas, de las funciones trigo-
        e
     nom´tricas. Las definimos de la siguiente manera
                          1 x                                    1 x
                   cosh x =  e + e−x ≡ cos (ix) ;      senh x =     e − e−x ≡ −i sen (ix)
                          2                                      2
     donde x ∈ R. Habida cuenta de estas definiciones y si z = x + iy, entonces

      a)
                                                      z        senh x + i sen y
                                               tanh        =
                                                      2         cosh x + cos y
      b)
                                             arc cos z = −i ln z ±        z2 − 1



         u˜
Luis A. N´nez                                             e
                               Universidad de Los Andes, M´rida, Venezuela                                           1