Grafos formas modulares e integraci n de o distribuciones p by rockman16

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									                                    o
Grafos, formas modulares e integraci´n de
                           a
          distribuciones p-´dicas
      Segundas Jornadas de Teor´ de N´meros
                                ia   u
                19 de Julio de 2007

            Luis Garc´ V´
                      ia, ıctor Rotger
                         e
        Universitat Polit`cnica de Catalunya
                  Curvas de Shimura X0 (D, N)

Sea D = p1 · · · · · p2r y N ≥ 1, (D, N) = 1,   N.
    BD = Q + Qi + Qj + Qij, i 2 , j 2 ∈ Q∗ , ij = −ji,
    a
    ´lgebra de cuaterniones de discriminante D.

    BD ⊗ R → M2 (R)

    O = orden de Eichler de nivel N en BD .

    ΓD,N := {γ ∈ O | det(γ) = 1} ⊆ SL2 (R)

    Act´a en el hiperplano de Poincar´ H= {z ∈ C | Im(z) > 0}
       u                              e
    de manera discreta y discontinua.
             Curvas de Shimura X0 (D, N)

Si D = 1, Y0 (N) := Γ1,N \H no es compacto.
                 n
Se compactifica a˜adiendo puntos cuspidales: la curva
          a
modular cl´sica X0 (N).

Si D > 1, X0 (D, N) := ΓD,N \H es compacto: La curva de
Shimura de discriminante D y nivel N.

                                        o
(Shimura) X0 (D, N) admite un modelo can´nico sobre Q.

Si D = 1, z → , z + 1 ∈ ΓD,N y los coeficientes de Fourier de
las formas modulares en los puntos cuspidales nos dan
         o       e            e
informaci´n aritm´tica y geom´trica.
Si D > 1, no hay puntos cuspidales, las formas no son
    o
peri´dicas.
Ejemplo: Dominio fundamental de X0 (6, 1)




    (M. Alsina, D. Kohel, H. Verril, ...)
                                  o    a
                      Uniformizaci´n p-´dica

    Sea p|D,    D := D/p. Ahora BD ⊗ Qp            M2 (Qp ).
            1
    O un Z[ p ]-orden de Eichler de nivel N en BD .
      (p)
    ΓD,N := {γ ∈ O | det(γ) = 1} → SL2 (Qp ).

    Semiplano de Poincar´ p-´dico: Hp = P1 (Cp ) − P1 (Qp ).
                        e a
    ´
    Arbol de Bruhat-Tits de grado p + 1: T p .

                    Teorema (Cerednik-Drinfeld).
                       (p)
a) X0 (D, N)(Cp )     ΓD,N \Hp , una curva de Mumford.
                             (p)
b) X0 (D, N) mod p ↔ ΓD,N \T p , un grafo finito.
          ´              o
          Arbol y reducci´n de X0 (210, 1) en p = 3




                                    e
Cuatro componentes irreducibles de g´nero 0. Cada una corta a la
                   siguiente en dos puntos.
                                  a
               Formas modulares p-´dicas

Dado Γ ⊆ SL2 (Qp ) discontinuo y finitamente generado,
XΓ := Γ\Hp es una curva r´igida anal´
                                    itica sobre Qp .

                                                 o
Una forma modular de peso 2 sobre XΓ es una funci´n
   ´       ´
analitica rigida f : Hp −→ Cp tal que

                                            a b
       f (γz) = (cz + d)2 f (z),     ∀γ =         ∈ Γ.
                                            c d


S2 (Γ) → H 0 (Ω1 Γ ), f (z) → f (z)dz.
               X
                      a                 o
            Medidas p-´dicas e integraci´n

             a                 o
Una medida p-´dica es una funci´n finitamente aditiva
acotada

         µ : { U compacto abierto en P1 (Qp )}→Qp

tal que µ(P1 (Qp )) = 0.

Dada µ ∈ Meas(P1 (Qp ), Qp ), definimos

                                1                      µ(Uα )
       fµ (z) :=                   dµ = lim{Uα }
                   P1 (Qp )   z −t                 α
                                                       z − tα


Si µ es Γ-invariante ⇒ fµ ∈ S2 (Γ).
                                          a
             Formas modulares y medidas p-´dicas

Teorema (Schneider-Teitelbaum) La aplicaci´n µ → fµ da un
                                          o
isomorfismo:
                Meas(P1 (Qp ), Qp )Γ → S2 (Γ)

              a
    Existe un ´lgebra T = T : primo Q commutativa que
       u                     a
    act´a en ambos lados: el ´lgebra de Hecke.
    T     K1 × ... × Kt , Ki cuerpos de n´meros totalmente reales.
                                         u
    S2 (Γ) = f1 , ..., fg con T (fk ) = ak ( )fk .
    El isomorfismo µ → fµ es Hecke-equivariante.
                                  o
                     Cociclos harm´nicos

Aristas(Tp ) := { aristas orientadas de Tp }.
Un cociclo harm´nico es c : Aristas(Tp ) → Qp tal que
               o

            (i) c(e) = −c(e),            ∀e ∈ Aristas(T ),


            (ii)            c(e) = 0 ,     ∀v ∈ Vert(Tp ).
                   s(e)=v

 Γ                  Γ
Char (T p , Qp ) = Char (Tp , Z) ⊗ Qp tiene dimensi´n finita.
                                                   o
   ´
   Arbol de Bruhat-Tits y la topolog´ de P1 (Qp )
                                    ıa

T e = m´ximo sub´rbol conexo de T p que surge de
        a       a
e = {v1 → v2 }.

Ue := ∂Te , abierto de P1 (Qp ).
                  a                     o
        Medidas p-´dicas y cociclos harm´nicos

A un cociclo c le asociamos una medida µc :

                         µc (Ue ) := c(e)

 Γ                1−1                         1−1
Char (Tp , Qp )   ↔     Meas(P1 (Qp , Qp )Γ   ↔     S2 (Γ).



       ⇒ Las medidas son f´cilmente computables.
                          a
          ´
     DE QUE SIRVE TODO ESTO?

Desarrollo en serie de Fourier de las formas modulares
  a
cl´sicas, gracias a un teorema de Jacquet-Langlands:
S2 (ΓD,N )    S2 (Γ0 (DN))new .
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: resultados de
Bertolini-Darmon.
Estudio de los automorfismos de las curvas X0 (D, N):
resultados de Kontogeorgis-Rotger.
          o                    ıcitas de curvas de Shimura.
Construcci´n de ecuaciones expl´
                     Trabajos de Bertolini-Darmon

                     ıptica de conductor DN y sea p | D.
Sea E /Q una curva el´

    Wiles
E               fE ∈ S2 (Γ0 (DN))new
J−L                         J−L            Γ
                                         D,N
        gE ∈ S2 (ΓD,N )           cE ∈ Char (Tp , Z)

       D,N  Γ
πE : Char (Tp , Z) −→ Z = Z · cE

Jac(X0 (D, N)) es totalmente degenerada en p:
    Γ                                  Φ
Char (Tp , Z) ⊗ C∗
  D,N
                 p           (C∗ )g −→ Jac (X0 (D, N)) (Cp )
                               p
                                     CD
Teorema (Bertolini-Darmon)

             Γ                    Φ
           Char (Tp , Z) ⊗ C∗
             D,N
                            p
                                  CD
                                 −→ Jac (X0 (D, N)) (Cp )
                 ↓ πE                         ↓
                                 ΦTate
                    C∗
                     p           −→             E (Cp )

              √
    Sea K = Q( −d) con ( K ) = −1 si         | D, ( K ) = 1 si   | N.
        Lp (E /K , 1) = 0.

        Si Lp (E /K , 1) = 0, rank E (K ) = 1 y |TS (E /K )| < ∞.

        Un generador PK de E (K ) se construye explicitamente con
                                     a          ınea.
        integrales multiplicativas p-´dicas de l´
Ejemplo: E : y 2 + xy + y = x 3 + 4x − 6 de conductor 14.

Sea D = 14,      N = 1,   p = 7.

                                        →
El grafo de X0 (14, 1) mod 7:      v1     v .
                                        → 2
  Γ
  D,N
Char (Tp , Z) = Z · c, a3 = −2, a5 = 0, a11 = 0, a13 = −4.
          √                                   √
                                            1+ −11
Sea K = Q( −11), RK = Z + Zω, ω =              2

z, z ∈ Hp puntos de Heegner por RK .

L :=    t−z
        t−z   · dµc ∈ C∗ satisface que PK = ΦTate (L).
                       p

L = 13149 + 2287ω mod 75 y PK = ( 11 , −41−116ω ) mod 75 .
                                   7
                                          121
                                     e
 Ecuaciones de curvas de Shimura de g´neros 0, 1 y 2.
D N g                      X0 (D, N)
6 1 0                  x 2 + y2 + 3 = 0                Ihara
10 1 0                 x2 + y2 + 2 = 0                 Ihara
22 1 0                x 2 + y 2 + 11 = 0             Kurihara
14 1 1          (x  2 − 13)2 + 73 + 2y 2 = 0         Kurihara
15 1 1         (x 2 + 35 )(x 2 + 3) + 3y 2 = 0        Jordan
21 1 1          x 4 − 658x 2 + 76 + 7y 2 = 0         Kurihara
33 1 1           x 4 + 30x 2 + 38 + 3y 2 = 0         Kurihara
34 1 1 3x  4 − 26x 3 + 53x 2 + 26x + 3 + y 2 = 0         a
                                                    Gonz´lez-R.
46 1 1          (x 2 − 45)2 + 23 + 2y 2 = 0          Kurihara
6 5 1            y 2 = −x 4 + 61 x 2 − 1024              a
                                                    Gonz´lez-R.
6 7 1           y 2 = −3 x 4 − 34 x 2 − 2187             a
                                                    Gonz´lez-R.
6 13 1          y 2 = −x 4 − 115 x 2 − 4096              a
                                                    Gonz´lez-R.
10 3 1            y 2 = −2 x 4 − 11 x 2 − 32             a
                                                    Gonz´lez-R.
10 7 1 y 2 = −27 x 4 − 40 x 3 + 6 x 2 + 40 x − 27        a
                                                    Gonz´lez-R.
26 1 2      y 2 = −2x 6 + 19x 4 − 24x 2 − 169            a
                                                    Gonz´lez-R.
38 1 2      y 2 = −16x 6 − 59x 4 − 82x 2 − 19            a
                                                    Gonz´lez-R.
58 1 2     2y 2 = −x 6 − 39x 4 − 431x 2 − 841            a
                                                    Gonz´lez-R.
   Por qu´ X26 : y 2 = −2x 6 + 19x 4 − 24x 2 − 169 ?
         e
                        a
                  (Gonz´lez-Rotger)

Existen involuciones u, u ∈ Aut(X26 ) con E = X26 / u ,
E = X26 / u curvas el´  ıpticas.
Calculando el grafo de X26 mod 2 y mod 13:

                             E E
                      mod 2 I1 I7
                      mod 13 I3 I3

Jacquet-Langlands: El conductor de E y E es 26.
Tablas de Cremona: E = 26B2 ,     E = 26A1 .
                                            a
X26 es un recubrimiento doble de E y E : est´ determinada.
                                  e
      Ecuaciones de X0 (D, N) de g´nero superior

  Γ
  D,N
Char (Tp , Z) = c1 , ..., cg       S2 (ΓD,N ) = f1 , ..., fg .

Φcan : X0 (D, N) −→ Pg −1
                                           dµ1                      dµg
z → (f1 (z) : ... : fg (z)) = (   P1 (Qp ) z−t   : ... :   P1 (Qp ) z−t   )

                          ıptica: Φcan es un embedding.
Si X0 (D, N) no es hiperel´
      Φcan (X0 (D, N)) ⊂ Pg −1 tiene grado 2g − 2.
      (Petri) Si g ≥ 4, dada por {Pi = 0}, deg(Pi ) = 2 o 3.

                                                           2:1
                       ıptica: Φcan : X0 (D, N) → P1 ⊆ Pg −1 .
Si X0 (D, N) es hiperel´

								
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