CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE

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CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE Powered By Docstoc
					                   Universidad Nacional de Río Cuarto
                         Facultad de Ingeniería
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               Mediciones Eléctricas. Código 425                         Sistemas Eléctricos de
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  CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE
  La incertidumbre de una medida es una estimación de la parte del resultado
  completo que caracteriza el intervalo de valores dentro del cual se encuentra el
  valor verdadero de cantidad medida (o mesurando). Todo ello, una vez efectuadas
  todas las correcciones correspondientes a los errores sistemáticos conocidos.

  Esto da lugar al conocido formato en que se debe expresar cualquier medida:

                                                x=x±I

  Esto quiere decir que el valor verdadero de la medida efectuada (x) se encontrará,
  con una alta probabilidad, en el intervalo:

                                          (x − I ) < x < (x + I )
  “Donde x es el estimador más probable de la medida, generalmente la media si
  se realizan varias mediciones.”

  A continuación veremos la relación (práctica) existente entre la incertidumbre (I),
  la tolerancia de fabricación (T) y la división de escala (E).



  Tolerancias e incertidumbre

  Cualquiera sea la característica de magnitud a medir está acompañada de unos
  valores mínimos y máximos denominados tolerancia del valor.

  Sea por ejemplo piezas fabricadas.




  Dado que cualquier medida va afectada de un error, nos encontraremos con la
  siguiente condición:




  Si aplicamos criterios de control de calidad sobre estas piezas, debemos aceptar
  como buenos los componentes que sin lugar a dudas están dentro del intervalo de
  piezas buenas, aún a costa de que se rechacen componentes que siendo buenos,
  estén dentro del intervalo de piezas dudosas. A nivel práctico esto se traduce en
  una reducción de la tolerancia de verificación:

                                              Tv = T − 2 I
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  Para reducir lo menos posible la eliminación de piezas, las mediciones se deben
  realizar con la menor incertidumbre posibles, pero esto da lugar a la utilización de
  instrumentos de gran exactitud, y por lo tanto más costosos.

  Por el contrario si trabajamos con incertidumbre grandes aumentarán el número
  de piezas que rechacemos, aún siendo buenas. Lo cual, también es
  antieconómico.

  En la práctica se recomienda la siguiente relación entre tolerancia (T) e
  incertidumbre (I):

                                               T
                                                  = 3L10
                                               2I


  Incertidumbre y división de escala

  En condiciones normales y suponiendo que no existe ningún otro factor que
  determine la incertidumbre del instrumento, el valor mínimo de incertidumbre que
  podemos obtener del instrumento es:

                                                       E
                                                  I=
                                                       2
  Éste sería el límite inferior, pues por mucho que nos esforcemos no podremos
  discernir ningún valor que quede en medio de la división de la escala. Como
  sabemos esto es una simplificación,      ya que la incertidumbre de medición
  comprende mucho mas que la mínima división de la escala.

  El límite superior se establece de forma práctica en:

                                                 I
                                                   ≤ 10
                                                 E


  Cálculo de la incertidumbre

  Antes de continuar indicaremos una serie de ideas que no hay que olvidar
  relacionadas con el cálculo de la incertidumbre:

          No existen recetas mágicas para el cálculo de la incertidumbre. Su cálculo
       dependerá en cada momento del tipo de medida, el equipo de medida, el
       método de medida, la forma de realizar la medida, del operador, etc..

          Aunque no existe unanimidad en como calcular la incertidumbre para casos
       concretos, está generalmente aceptado que la incertidumbre de una medida
       vendrá afectada por la incertidumbre de los diferentes factores que intervienen
       para realizar la medida.

  La magnitud que se mide (mesurando) Y, en general depende de un cierto
  número de magnitudes de entrada Xi (i = 1,2, ...k), a través de una función G.

                                          Y = G (X1, X2, ....Xv)

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  Las magnitudes de entrada incluyen, tanto las procedentes de los certificados de
  calibración de los patrones empleados, como las propias del proceso de medición
  y las magnitudes de influencia. Como normalmente no se conocen los valores
  verdaderos de las magnitudes Xi, para los cálculos se usan los valores estimados,
  xi como datos de entrada para la evaluación de la incertidumbre total del
  resultado de la medida.

  Sobre cada una de las magnitudes de entrada Xi tenemos una componente de
  incertidumbre que afectará al cálculo de la incertidumbre total.

  Estas componentes de incertidumbre se pueden clasificar en dos grandes grupos:

       GRUPO A: Las que se evalúan por métodos estadísticos.

       GRUPO B: Las que se evalúan por otros métodos.

  Se puede decir que esta clasificación es arbitraria, pues una misma componente
  de la incertidumbre puede pertenecer unas veces al grupo A y otras al grupo B.
  Por ejemplo: la incertidumbre con que el laboratorio emisor ha calculado por
  métodos estadísticos, o sea de tipo A. En cambio, el usuario del certificado conoce
  el valor de la incertidumbre sin emplear ningún método estadístico; le basta con
  leerla. Para él es de tipo B:



  Evaluación de las incertidumbre tipo A

  Cuando una medida se repite en las mismas condiciones, puede observarse una
  dispersión o fluctuación, siempre que el procedimiento de medida disponga de la
  resolución suficiente. Para una serie de medidas, efectuadas en condiciones de
  repetibilidad, compuesta de n medidas (n > 1) independientes, el valor estimado
   x , del valor verdadero de la magnitud X, viene dado por la media aritmética de
  los valores individuales medidos x i (i = 1,.....n ) :

                    n
                        xi
           x=∑                                                                  (1)
                i =1    n

  Una estimación de la desviación típica de la distribución de los valores de la serie
  de medidas, está dada por:

                          1 n
           S xi =            ∑ ( xi − x )                                       (2)
                                          2

                        n − 1 i =1

  El valor estimado de la varianza (experimental) de x está dado por:

                    1 2
           S x2 =    Sx                                                         (3)
                    n i
  Si el número de repeticiones de medidas es menor que 10, la ecuación de la
  desviación típica puede proporcionar un valor subestimado de la contribución de la
  incertidumbre; en este caso conviene estimar el valor S x basándose en la
                                                               2


  experiencia (por ejemplo, mediante los resultados de medidas anteriores
  similares). Si esto no fuese posible o se considerase inaceptable, entonces debe
  aplicarse la siguiente corrección:
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           S x (Corregida) = w. S x (obtenida)
           (4)

  Donde:
                         Número de          w           w       w
                          medidas.        (K=1)       (K=2)   (K=3)
                                2          1,8         7,0    78,6

                                3          1,3         2,3     6,4

                                4          1,2         1,7     3,0

                                5          1,1         1,4     2,2

                                6          1,1         1,3     1,8

                                7          1,1         1,3     1,6

                                8          1,1         1,2     1,5

                                9          1           1,2     1,4

  Nota: El parámetro K se explicará en una sección posterior.



  Evaluación de las incertidumbre tipo B

  Una evaluación del tipo B de la incertidumbre se efectúa por un criterio científico
  fundado sobre todas las informaciones disponibles que puede incluir:

           Resultados de medidas anteriores.

          La experiencia o el conocimiento general del comportamiento y las
       propiedades de los materiales e instrumentos utilizados.

           Las especificaciones del fabricante.

           Los datos suministrados por certificados de calibración u otros documentos.

          La incertidumbre asignada a valores de referencia obtenidos de la literatura
       técnica y los manuales.

  Los métodos de tipo B se fundamentan en la forma de la distribución de
  probabilidad y/o en los límites de variación de las variables de entrada (Xi).

  Ejemplo 1
  Utilización de la incertidumbre de un certificado de calibración de un patrón:
  Incertidumbre indicada en el certificado: I = 2µm
  Factor de cobertura empleado K = 2
                                           I   2 µm
  Desviación típica de patrón: S p =         =
                                           K     2
  Ejemplo 2

  Consideremos una magnitud de entrada Xi cuya probabilidad de que el valor
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  verdadero esté comprendido entre –a y +a es igual a 1 y 0 fuera de este
                                             a
  intervalo.La desviación típica será: S =
                                              3


  Varianza compuesta. Ley de propagación de errores

  El resultado de una medida y, (como estimador del valor verdadero de las
  magnitudes de salida Y), se obtiene introduciendo los datos de entrada xi, en
  sustitución de los valores Xi:

           Y = G (x1, x2, ....xv)                                                (5)

  Cuando las magnitudes de partida son independientes, la varianza del resultado
  viene dada por:
                                2
                      ⎛ ∂G ⎞
                         k
           S = S ∑⎜
             2      2
                      ⎜     ⎟
                            ⎟                                                    (6)
                 i =1 ⎝ ∂xi ⎠
             Y      xi



  Si G es una función lineal de todas las variables Xi, como ocurre a menudo con
  medidas directas, todas las derivadas parciales son igual a 1, en este caso:
                   k
           S Y = ∑ S x2i
             2
                                                                                 (7)
                  i =1


  Nota: En el caso menos frecuente de utilizar magnitudes relacionadas, la fórmula
  de relación de varianzas es algo más compleja.

  La ley de propagación se aplica de forma general, cualquiera que sea la
  distribución de las variables de entrada, y es el método básico de cálculo de
  incertidumbre de medida a partir de sus componentes.



  Incertidumbre global de la medida

  La ley de propagación de errores permite obtener la varianza de la medición de
  una magnitud a partir de las varianzas de las magnitudes de las que depende.

  La función de distribución de la variable de salida y es, en general, desconocida.

  En muchos casos, en virtud del teorema central del límite, la distribución de salida
  se puede aproximar por una distribución normal.

  En este caso se recomienda especificar un intervalo de incertidumbre ±I, obtenido
  multiplicando la desviación típica Sy por un factor K.

           I = k ⋅ sy                                                            (8)

  Este factor, es común que sea tomado igual a 2 en la mayoría de los estudios. En
  el caso de distribución normal, el factor k = 2 significa que los límites de la
  incertidumbre total corresponden a un nivel de confianza de aproximadamente,
  95%.

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  Procedimiento paso a paso para el cálculo de la incertidumbre

  A continuación se expone un procedimiento de cálculo de incertidumbre.

       a) Exprese, si es posible, matemáticamente la dependencia del mesurando,
       con las magnitudes de entrada.

       b) Identifique todas las correcciones que han de aplicarse y efectúe las
       correcciones de todos los errores conocidos.

       c) Relacione las causas de incertidumbre relacionadas con las repeticiones de
       las medidas (Evaluación tipo A) y calcule sus varianzas. Si el número de
       medidas es menor que 10 efectúe la corrección indicada en (4).

       d) Relacione las causas de incertidumbre que pueden evaluarse mediante el
       tipo B. Para aquellas que se conoce o puede suponerse una función de
       distribución, calcúlese la varianza a partir de dicha distribución.

       e) Refiera las varianzas S 2 de todas las magnitudes de entrada a la magnitud
                                  xi
       de salida y súmelas de acuerdo con la ecuación (6) ó (7), a fin de obtener la
       varianza S 2 .
                  y


       f) Calcule la incertidumbre total, multiplicando la desviación típica S y por el
       factor k = 2.



  Aplicación del cálculo de incertidumbres a diferentes equipos de medida

  En el presente apartado se pretende dar una guía del cálculo de la incertidumbre
  para diferentes tipos de equipos de medida. Estos equipos se agruparán por el
  tipo de medida que realicen.

  Como ya se ha mencionado, no existe una receta mágica para realizar el cálculo
  de incertidumbre, aún a sí la presente exposición puede proporcionar al lector una
  gran ayuda, a la hora de realizar el cálculo de incertidumbres.



  Equipos de medida directos y lineales

  Consideraremos equipos de medida directos y lineales, a aquellos que nos
  proporcionan, sin ninguna otra operación, el valor de la magnitud que se busca.
  Dicha medida se realizará sobre una escala analógica o digital, y el valor de la
  magnitud medida será independiente del sentido en que se realizó la medida
  (creciente o decreciente), es decir, no existe ningún factor de incertidumbre
  provocada por la histéresis del equipo de medida (en realidad para los equipos
  analógicos, los errores debidos a la histéresis ya están incluidos en la clase y algo
  parecido sucede con los digitales).

  Son equipos de medida de este tipo: pies de rey, micrómetros, medidores de
  coordenadas horizontal y vertical, reglas, voltímetros, amperímetros, etc.

  Para este tipo de equipos de medida solemos encontrar en los procedimientos
  sobre cálculo de incertidumbre la formula general:

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                                          2
                                  ⎛ K ⎞ 2         2 2 ⎛ 1     1⎞ ⎛k⎞
                                                                          2

                                  ⎜ K ⎟ I 0i + w K s ci ⎜ n + n ⎟ + ⎜ δ ⎟ ∆ x ci
                               I =⎜
                                 2              2                             2
                                i     ⎟                 ⎜       ⎟ ⎝ ⎠
                                  ⎝ 0⎠                  ⎝ ci    ⎠

  Donde:
     Ii    =          incertidumbre obtenida en el punto i de la escala.
     K =              factor de confianza del cálculo de la incertidumbre.
     I0i =            valor de la incertidumbre del patrón en el punto i.
     K0 =             factor de confianza con que se calculó la incertidumbre del patrón.
     w =              factor de corrección de Sci si se emplearon menos de 10 muestras.
     Sci =            desviación típica de la calibración en el punto i.
     nci =            número de muestras utilizado para el cálculo de Sci
     n =              número de muestras con que se realizará la medida. Normalmente
     este valor       es 1.
     ∆ x ci =         Es la corrección de la medida en el punto i de la escala. Su valor es:
                                                ∆ x ci = x 0i − x i

  Donde:
       x 0i =         valor nominal del patrón en el punto i.
       xi =     valor de la medida de los datos en el punto i.
       δ =      Es un factor de ponderación del efecto que provoca la corrección
       dentro de la fórmula de la siguiente manera:
       2
     I 0i
          =           Es la componente de la varianza debida a la incertidumbre del patrón.
     K 02

  Su estimación se realiza mediante el método B de evaluación de la incertidumbre.
           2
         s ci
       w 2
                      =     Es la componente de la varianza debida a la dispersión de
         n ci
       valores durante la calibración cuando se toman nci muestras. su estimación se
       realiza mediante el método A de evaluación de la incertidumbre.
               2
             s ci
       w2             =     Es la componente de la varianza debida a la dispersión de
             n
       valores durante la medición cuando se utiliza un equipo para realizar medidas
       en proceso. Su estimación se realiza mediante el método B de evaluación de la
       incertidumbre.

       ∆ x ci
             2

              =Es la componente de la varianza debida a la corrección del instrumento.
        δ2
       Su estimación se realiza mediante el método B de evaluación de la
       incertidumbre.

  Nota: Este factor de corrección se podría eliminar del cálculo de la incertidumbre
  siempre y cuando se pueda proporcionar una curva que indique la corrección a
  efectuar a la medida en cada punto de la escala. Como esto normalmente es difícil
  de obtener se penaliza la incertidumbre con este valor.

  La incertidumbre Ii obtenida corresponde a cada punto i de la escala donde se han
  efectuado las medidas. La incertidumbre total del equipo puede determinarse
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                    Universidad Nacional de Río Cuarto
                          Facultad de Ingeniería
                                                                        Instituto de Protecciones de
                Mediciones Eléctricas. Código 425                          Sistemas Eléctricos de
                                                                                  Potencia


  mediante:

                                          I = (I i ) max .



  Equipos de medida de doble sentido

  Son equipos de doble sentido aquellos que pueden realizar mediciones en
  cualquiera de los dos sentidos posibles de su escala, creciente y decreciente, y
  pueden tener valores significativos diferentes dependiendo del sentido de
  realización de la medida. Esta diferencia de valores puede ser debida al efecto de
  histéresis inherente a alguno de los materiales utilizados en el equipo de medida
  (muelles, células de carga,...)

  Son equipos de este tipo los comparadores mecánicos (y algunos eléctricos),
  algunas balanzas que funcionan con célula de carga, los manómetros tipo
  Bourdon, torquimetros, etc.

  Para estos equipos se puede utilizar el cálculo de incertidumbres expuesto en el
  apartado de equipos de medida directa, con la salvedad que deberán asignarse
  dos incertidumbre, una para cada sentido de la medida.

  Sin embargo, existen fórmulas (fundamentadas básicamente en la experiencia)
  que además de introducir la incertidumbre del patrón se introduce un término
  referido a la repetibilidad del equipo y otro término que se refiere a las diferencias
  producidas por el efecto de la histéresis.

  Normalmente la utilización de este tipo de formulación viene condicionada al uso
  de tablas que nos clasifican el instrumento dentro de una clase (o calidad).

  Nota: La nueva tendencia es abandonar esta formulación y realizan el cálculo de
  la incertidumbre según lo expuesto en el apartado de equipos de medida directa
  lineales, pero realizando el cálculo de la incertidumbre en sentido creciente y
  decreciente. Como incertidumbre global del equipo se asigna la mayor de las dos.



  Equipos o mediciones de medida indirecta

  Estas medidas se obtienen a través de una función matemática que relaciona las
  magnitudes de entrada con las de salida.

  Por ejemplo, la medición de una corriente i (se pone en minúsculas para no
  confundirla con la incertidumbre) mediante medida de la caída de tensión U
  desarrollada en una resistencia de valor R.

  Para realizar la medida se utilizará un voltímetro digital.

  La ecuación que relaciona las dos magnitudes de partida o de entrada, con la de
  salida es:

                U
           i=                                                                     (9)
                R
  En este caso se debe aplicar la formulación general para el cálculo de

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                                 Facultad de Ingeniería
                                                                                                                       Instituto de Protecciones de
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  incertidumbre:

        ⎛ (∂ (U / R )) ⎞ 2
                         (s x1 + s 2x 2 ) + ⎛ ∂(URR ) ⎞ (s 2x 3 + s 2x 4 ) = R 2 (s 2x1 + s 2x 2 ) + U 4 (s 2x 3 + s 2x 4 )
                             2                               2                                         2
                                                 /                            1
   s2 = ⎜              ⎟                    ⎜         ⎟                                                                         (10)
        ⎝ ∂U ⎠                              ⎝ ∂
    y
                                                      ⎠                                              R


  Donde:
   (s   2
        x1   + s22
                x    )     Son componentes de la varianza debidas a la utilización del
  voltímetro.

   (s   2
        x3   + s24
                x    )     Son componentes de la varianza debidas a la utilización de la
  resistencia.
  La incertidumbre de la medida para k = 2 será:

                                                                 I (K = 2 ) = 2s y

  Otros equipos de medida

  Si bien los equipos generales expuestos en los apartados anteriores pueden
  representar la mayoría de equipos que se encuentran en cualquier laboratorio de
  metrología, no hay que olvidar que no existen recetas mágicas para el cálculo de
  incertidumbres. Por este motivo nos podemos encontrar diferentes procedimientos
  que modifiquen y/o amplíen la formulación utilizada en los párrafos anteriores.




  Autores:
  Ing. Marcos Felici
  Ing. Germán Zamanillo
  Referencias:

  Anselmo Araolaza “Introducción a la Incertidumbre de las mediciones” de
  la Secretaría Nacional de Ciencia y tecnología de Panamá. 1999.

  W. Schmid y R. Lazos, Guía para Estimar la Incertidumbre de la Medición,
  Centro Nacional de Metrología. <http:// www.cenam.mx> México, mayo
  2000.




Fecha de la ultima revisión: 2007-03-19                                                                                       Página 9 de 9