Tratamiento de la incertidumbre en modelado y control borrosos.
Antonio Sala, Jes
s Pic
, Jorge Bondia u o
Dept. de Ing. de Sistemas y Autom
tica. a Universidad Polit
cnica de Valencia e Apdo. 22012, E-46071 Valencia
fasala,
jpico, jbondia @isa.upv.es
g
Resumen
En este art
culo se discute la necesidad de integrar el tratamiento de la incertidumbre en los sistemas
borrosos para no perder parte del signi cado original que dio lugar al uso de dichos sistemas. Se plantean dos l
neas al respecto en modelado y estabilidad de sistemas de control.
1 Introducci
n. o
Una de las principales metas en control inteligente de procesos industriales es la construcci
n de sistemas borrosos que controlen con gao rant
a sistemas complejos de alta dimensionali
dad, mediante implementaciones generales, robustas y f
cilmente entendibles por el usuario. a En la pr
ctica actual en un entorno industrial a complejo, la aplicaci
n de t
cnicas de control o e inteligente basadas en redes neuronales con capacidades de aprendizaje est
en un estadio inia cial. Sin embargo, los usuarios aceptan con relativa facilidad e inter
s las aplicaciones basae das en l
gica borrosa, por el paralelismo con o su propio razonamiento y por la capacidad de explicaci
n de las conclusiones. El
xito en cono e trol de la aplicaci
n de la l
gica borrosa se debe o o a la capacidad de la misma de utilizar modelos de conceptos ambiguos para reducir la complejidad intuitiva de un proceso, de manera que permite realizar operaciones de control, planicaci
n y supervisi
n, aunque sea de un modo o o aproximado o heur
stico, sobre plantas no linea
les o y variantes en el tiempo. 1
La integraci
n de t
cnicas borrosas y neuronao e les da lugar a estructuras neuroborrosas que en bastantes casos combinan la interpretaci
n o lingu
stica con una estructura regresiva lineal
en los par
metros que permite resultados fora males sobre aprendizaje 15, 9, 1 . El concepto base del enfoque es la granularidad o localidad. El aprendizaje realiza dos tipos de modi caciones: param
tricas y estructurales adici
n y elie o minaci
n de reglas, recon guraci
n , producio o das por detecci
n de contradicciones, funcionao miento poco satisfactorio, fallos, etc. Pese a la fama y aceptaci
n que los sistemas o borrosos de control est
n ganando, muchos dia se~os te
ricos actuales est
n pensados para pron o a cesos de baja dimensionalidad, o en procesos multivariables poco acoplados. Asimismo, el control borroso, originado a partir de una l
gica o de conceptos vagos" e imprecisos", se utiliza en la mayor
a de los casos para aproximaci
n de
o funciones precisas, deterministas, contradiciendo con ello parte de los pretextos arguidos para fundamentar la utilidad de la l
gica borrosa en o control. En ese contexto, pues, se ha perdido parte del esp
ritu inicial de la l
gica borro
o sa como computaci
n con palabras y concepo
tos". Se trata de un esquema de procesamiento num
rico o una interfaz sencilla para interpolae ci
n. Una lista de par
metros i en una suma o a de funciones es un modelo en algunos casos util,
pero relativamente pobre, de la complejidad del conocimiento humano sobre un proceso. Lo que los sistemas industriales complejos tienen en com
n es la presencia de una elevada inu certidumbre que hace que las estrategias usuales basadas en modelos y principio de equivalencia cierta no sean t
cnicamente aplicables. La e presencia de elevada incertidumbre suele requerir reguladores cautos", de baja ganancia. En muchas ocasiones, cuando reguladores borrosos son usados en este tipo de entornos las capacidades de los mismos son a veces exageradas, sin comparaci
n adecuada con otros reguladoo res por ej. PID , o son resultado de un ajuste no por m
todos manuales de ensayo y error, e con lo cual el m
todo no es generalizable y ree petible a otras plantas. Existen dos fuentes de incertidumbre que deben ser tratadas por parte del control inteligente. La primera es la incertidumbre del modelo del proceso: la variabilidad o escaso conocimiento sobre el mismo hace que, en muchos casos, s
lo se disponga de un modelo intuitivo o que describe comportamientos de orden bajo, a escalas de tiempo grandes. En otras ocasiones, la incertidumbre del modelo recae, a
n conou ciendo bien las ecuaciones que lo describen, en los par
metros del mismo, que son conocidos de a forma aproximada. La segunda fuente de incertidumbre es la presente en las especi caciones de control: los
ndices de optimizaci
n relati
o vos a calidad nal y coste de producci
n son o expresados de forma cualitativa ambigua. En la pr
ctica, la experiencia del operador humaa no se usa para jar referencias para reguladores jer
rquicamente inferiores. a Todas estas cuestiones obligan a argumentar que el conocimiento realmente inteligente" deber
a incluir informaci
n sobre su propia validez
o en t
rminos de cantidad y calidad del conocie miento. As
, se plantea la idea de que la vali
daci
n y el tratamiento de la incertidumbre en o sistemas de control inteligente son facetas que deben ser incorporadas en futuros desarrollos para aumentar el grado de autonom
a de dichos
sistemas y mejorar los sistemas de aprendizaje. Esta contribuci
n introducir
dos posibilidades o a
para tratar con la incertidumbre en modelos borrosos. Primero se presentar
un esquema a de identi caci
n de modelos ambiguos mediante o una reinterpretaci
n del signi cado de las reglas o borrosas. Estos modelos podr
n ser usados paa ra estrategias de control. Una visi
n diferente o se presentar
en las ultimas secciones en las que a
se tratar
de analizar la estabilidad de sistemas a de ecuaciones conocidas pero de alguno de cuyos par
metros f
sicos la informaci
n disponible a
o es de tipo lingu
stico un conjunto borroso .
2 Modelado de funciones ambiguas.
A continuaci
n se plantear
una rede nici
n del o a o concepto de inferencia y su aplicaci
n a modeo lado de funciones ambiguas 12, 13 . La base es plantear una equivalencia entre una regla y una ecuaci
n o inecuaci
n del siguiente modo: o o
De nici
n 1 Sean u e y dos variables o
num
ricas pertenecientes a dos universos de e discurso de entrada U y salida Y , respectivamente , y sean A U y B Y dos conjuntos borrosos de nidos por las funciones de pertenencia A : U ! 0; 1 y B : Y ! 0; 1 . Entonces, la regla Si u es A, entonces y es B " se de ne equivalente a la inecuaci
n: o
A u B y 1 y la regla Si y s
lo si u es A, entonces y es B " o se de ne equivalente a A u = B y .
De nici
n 2 Dada una base de reglas, se de o
ne como conclusi
n ideal de la misma al conjuno to de soluciones del sistema de ecuaciones equivalente, supuestas conocidas el valor de ciertas variables premisas .
Ejemplo. La base de reglas: 1- u es Bajo y es No Bajo Y z es Bajo 2- u es Medio , y es Bajo 3- u es Alto y es Alto O z es Alto
se de ne equivalente al sistema de ecuaciones: Bajo u min 1 , Bajo y ; Bajo z ,
Med u = Bajo y , Alto u max Alto y ; Alto z . La inferencia consiste en, para un particular u, calcular qu
valores de y y z veri can las ecuae ciones e inecuaciones, dadas las funciones de pertenencia. En el caso, por ejemplo, en el que Bajo u =0.5 y Medio u =0.6, no existir
a solu
ci
n: en ese caso, se dice que existe contradico ci
n entre las reglas 1 y 2 . o N
tese que la deborrosi caci
n no existe en este o o esquema como ente te
rico b
sico. La presencia o a de deborrosi cadores en un esquema pr
ctico a supone, simplemente, un algoritmo r
pido de a obtener, en determinadas circunstancias, una soluci
n a los sistemas de ecuaciones para detero minadas con guraciones v
lidas" de conjuntos a borrosos.
As
, la inferencia ideal def. 2 se generaliza
de niendo la conclusi
n ideal como los valores o de y que minimizan u; y . De este modo, la inferencia se convierte en la minimizaci
n de un o
ndice de coste de contradicci
n.
o
De nici
n 4 f u es una o
funci
n gen
rica o e que se pretende modelar con la base de reglas usada como aproximador funcional , entonces se dir
que la base de reglas modela coherentea mente a la funci
n si u; f u = 0 para todo o u 2 U.
En ese caso, puede probarse que los antecedentes Ai y consecuentes Bi de las reglas veri can Ai f ,1 Bi , donde f ,1 se de ne seg
n el u principio de extensi
n f ,1 B u = B f u . o
i i
De nici
n 3 Si el sistema de ecuaciones equio
valente a una base de reglas no tiene soluci
n o se dir
que la base es contradictoria. Si la tiene a se dir
que es coherente. Si tiene m
s de una a a soluci
n, se dir
que es incompleta y si la soluo a ci
n es la misma tras eliminar una ecuaci
n se o o dir
que la regla correspondiente es redundana te.
Esta interpretaci
n funcional basada en el prino cipio de extensi
n permite explicar determinao dos procedimientos intuitivos para la construcci
n de bases de reglas que aseguren la coheo rencia, as
como algoritmos de aprendizaje de
m
nima contradicci
n como el que se detalla a
o continuaci
n. o
Para posibilitar la inferencia ante bases de reglas contradictorias se de nir
un
ndice de cona
tradicci
n asociado a cada regla denominado o error de inferencia. Este error de inferencia : U Y ! 0; 1 tiene la expresi
n: o 0 A u B y A u , B y A u B y 2 El error de inferencia es nulo si y es una conclusi
n ideal de la regla ante u. El error es 1 si o y contradice totalmente a la regla ante la premisa u. Con el error de inferencia de cada regla se construye una funci
n de error de inferencia o acumulada de una base de N reglas:
IF u; y =
2.1 Selecci
n
ptima de conseo o cuentes.
Sea una base de antecedentes A, y un conjunto de datos experimentales uk ; yk . Se desea dise~ar una base de reglas coherente con los n mismos, lo menos ambigua posible seg
n las u de niciones anteriores . Para ello, para cada antecedente, con cada punto u; y experimental se trazar
una marca en a la gr
ca de los consecuentes por determinar en a el punto y; A u donde A es la funci
n de o pertenencia del antecedente. Dado que la de nici
n 4, seg
n 2 requiere pao u ra coherencia que el consecuente tenga pertenencia mayor que la de los antecedentes, cualquier consecuente que incluya bajo
l a todas e las marcas ser
un consecuente coherente. Se a escoger
al m
s peque~o de entre los que tena a n gan una forma pre jada por el dise~ador por n ejemplo, trapezoidal .
u; y =
X N
i=1
i u; y i u; y p
!1
p
3
donde p es un par
metro decidible por el usuaa rio con valor de referencia unidad. Las funciones i son ponderaciones interpretables como coe cientes de con anza, de nidos por el dise~ador de la base de reglas. n
Ejemplo. La gr
ca 1 presenta datos obtea
nidos de una v
lvula con ruido. Mediante el a
Figura 1: Datos de una v
lvula. a Figura 3: Ambiguedad vs. contradicci
n. o fallos. En el caso del control, una forma sencilla de abordar el problema es la inversi
n de o modelos borrosos del proceso bas
ndose en las a ecuaciones equivalentes si la din
mica invera sa es estable : las ecuaciones del regulador son las mismas que las del proceso, pero se trata de inferir u suponiendo conocida una referencia yref . Si el modelo es ambiguo base de reglas incompleta este resultado produce las acciones de control que posiblemente dan yref . Para manejar la ambiguedad en el modelo, se deber
calcular el conjunto de acciones de cona trol que necesariamente produzcan una salida en yref , ; yref + como el complementario de las que produzcan posiblemente una salida fuera del intervalo objetivo. En 12, 14 se detallan ejemplos de aplicaci
n a control por linealizao ci
n por realimentaci
n y control deslizante. o o
Figura 2: Consecuentes
ptimos. o m
todo descrito se obtienen para una partie ci
n triangular de antecedentes sobre el intervao lo 0:1; 0:9 los consecuentes trapezoidales m
s a peque~os coherentes con los datos gura 2 . n Los antecedentes son una partici
n de suma 1. o Si los datos hubieran sido deterministas sin incertidumbre , los consecuentes tambi
n hubiee ran sido una partici
n de suma 1. Si el nivel o de ruido en los datos experimentales aumenta, la superposici
n de los consecuentes obtenidos o tambi
n lo hace. e Una vez se dispone de este modelo, la interpretaci
n de las reglas como inecuaciones hace que o la conclusi
n para inferencia ideal de cada reo gla sea un intervalo, y la conclusi
n global sea o la intersecci
n de todos los correspondientes a o cada regla. Con ello se consigue replicar aproximadamente el tipo de funciones inciertas que originaron los datos de partida. Obviamente, el coste de una incertidumbre excesiva se traduce en modelos demasiado gen
ricos que no permitir
an dise~ar buenos ree
n guladores. El algoritmo propuesto genera una base de reglas coherente con todos los datos experimentales. Quiz
s alguno de ellos no sea a v
lido outliers . Existe un compromiso entre a la p
rdida de utilidad de un modelo demasiae do vago y la contradicci
n con algunos de los o datos experimentales gura 3 . Esto se implementa con modi caciones del algoritmo que lo convierten en una optimizaci
n. o
3 Incertidumbre param
trica borrosa. e
El marco tradicional de la l
gica borrosa es el o modelado intuitivo de sistemas, basados en una colecci
n de reglas si-entonces donde se expreo sa el conocimiento sobre el sistema dado por el operador experto. Sin embargo, en muchas ocasiones s
que se conoce un modelo cuanti
tativo del sistema, quedando a expensas del operador la determinaci
n del valor de ciertos o par
metros del mismo p.e. el factor de crecia miento est
entorno de 0.3" . Se ha empleado a el control adaptativo y el control robusto para tratar este tipo de incertidumbre par
metrica. a El control adaptativo es bueno cuando hay variaciones lentas en los par
metros. El control a robusto permite abordar este tipo de incertidumbre, sin embargo, los resultados derivados del mismo son cautos, ya que se basan en el
Control. El objetivo de estos modelos es que
se usen en predicci
n, control o detecci
n de o o
peor caso. En la presente secci
n se presenta o un nuevo enfoque del problema de la incertidumbre param
trica, basado en el modelado de e los par
metros inciertos mediante n
meros boa u rrosos. Efectivamente, el concepto el factor de crecimiento est
entorno de 0.3" puede describirse a mediante una funci
n de pertenencia determio nando qu
es para el operador 0.3 0:3 x : e R ! 0; 1 . Mediante el empleo de n
meros u borrosos para los coe cientes inciertos, el modelo de un sistema lineal puede expresarse mediante la funci
n de transferencia: o bm ~ sm + bm,1 ~ sm,1 + + b0 ~ 4 q q q sn + an,1 ~ sn,1 + + a0 ~ q q ~ donde q = ~1; : : :; qr , qi 2 P R , i = 1 : : :r, ~ q ~ es un vector de coe cientes inciertos y ai ~ y q bi ~ son funciones borrosas. q El empleo de n
meros borrosos permite introu ducir conceptos como la con anza" de que el sistema cumpla determinada propiedad p.e. estabilidad . En el caso de que no podamos asegurar completamente una determinada propiedad, podemos saber qu
riesgo estamos toe mando mediante el actual sistema de control, pudiendo sintonizar par
metros del controlador a en el caso de que el riesgo no sea tolerable.
del coste computacional. El segundo enfoque puede encontrarse en 5 y 16 . Contrariamente a la discretizaci
n del universo de discurso, o la discretizaci
n del nivel de pertenencia no imo plica imprecisi
n, obteni
ndose el resultado coo e rrecto en los puntos en los que se eval
a. Este u caso resulta ser equivalente a la aplicaci
n del o a
lgebra intervalar a cada uno de los -cortes de los operandos, por lo que se puede considerar el
lgebra borrosa como una generalizaci
n del a o a
lgebra intervalar. Es bien sabido que el
lgebra borrosa presena ta los siguientes inconvenientes, heredados del a
lgebra intervalar de la que deriva: la suma extendida y el producto extendido no tienen estructura de grupo, y no se cumple la distributividad de sobre . Como se comenta en 11 , esto se debe a la naturaleza de tipo convolutivo del
lgebra intervalar. Si x es un par
metro a ~ a f
sico incierto, quiz
s no sepamos con exactitud
a su valor, pero ser
el mismo en cada instancia a de x en la expresi
n a evaluar. La evaluaci
n ~ o o de funciones teniendo en cuenta esta consideraci
n conlleva a un problema de optimizaci
n o o que a veces no es f
cil de resolver. En este caso, a no queda m
s remedio que recurrir a la evaluaa ci
n mediante funciones inclusivas, resultando o en sobreacotamiento 2 .
3.1 Algebra borrosa.
El concepto de n
mero borroso no es algo nuevo u y ha sido objeto de estudio desde hace tiempo 5, 6 , sin embargo, ha suscitado poca atenci
n o por parte de la comunidad de control. Una posible justi caci
n de este hecho es el gran coso te computacional que conlleva la evaluaci
n de o funciones borrosas. La extensi
n del
lgebra real en el
lgebra boo a a rrosa se de ne mediante el principio de extensi
n de Zadeh, introducido en 1965. Si la funo ci
n a extender es bijectiva, entonces la evao luaci
n es trivial. En otro caso, es necesario o recurrir a la discretizaci
n, bien del universo de o discurso, bien del nivel de pertenencia. El primer enfoque puede encontrarse en 8 y 7 . La discretizaci
n del universo de discurso presenta o el problema de la imprecisi
n. Aunque puede o disminuirse reduciendo el grado de discretizaci
n, esto conlleva un incremento importante o
3.2 Representaci
n mediante ino tervalos funcionales.
Ya que el algebra borrosa es una generaliza
ci
n del
lgebra intervalar, emple
ndose las o a a mismas herramientas, podemos representar un par
metro borroso q mediante el t
rmino genea ~ e ral de sus -cortes: q def q, ; q+ = 5 donde q, es una funci
n creciente y q+ o decreciente, tal que q, 0 = q, 6 + + q 0 = q 7 q, 1 = q+ 1 = q0 8 Denotamos por q0 el valor nominal del coe ciente, es decir, q~ q0 = 1, y por q, y q+ los l
mites del soporte de q.
~ Con la representaci
n de n
meros borrosos meo u diante intervalos funcionales, la aplicaci
n de o
las reglas de la aritm
tica intervalar son direce tas.
Dado el polinomio caracter
stico
Ejemplo. Sea el sistema con polinomio caracter
stico
p s = a, n ; a+ n sn + : : : n n , 0 ; a+ 0 + a0 9 n
donde i es el nivel de con anza en el coe ciente i-
simo, el problema de an
lisis de estae a bilidad se reduce a obtener el m
nimo i, para
i = 0::n, que mantiene al sistema estable. Para ello es necesario obtener condiciones de estabilidad parametrizadas por el nivel de con anza
= 0; 1; : : :; n . Estas pueden obtenerse mediante cualquier m
todo de an
lisis de ese a tabilidad de polinomios intervalares, como por ejemplo, el teorema de Kharitonov 10 , que determina que es su ciente demostrar la estabilidad de cuatro polinomios bien de nidos, formados a partir de los puntos extremos de los coe cientes, para demostrar la estabilidad del polinomio intervalar. Para obtener el m
nimo
o i, i = 0::n que cumple la condici
n anterior, ser
necesario recurrir a m
todos num
ricos. a e e Adem
s, no pueden obtenerse relaciones claras a sobre c
mo afectan cada uno de los coe cientes o inciertos a la estabilidad. En 3 , Argoun introduce un m
todo para estue diar el grado de estabilidad de polinomios perturbados que resulta ser una interpretaci
n en o el dominio de la frecuencia del teorema de Kharitonov. Se demuestra que un polinomio nominal estable sometido a perturbaciones acotadas en sus coe cientes se mantiene estable si las bandas de frecuencia que contienen las ra
ces de
la parte real e imaginaria del polinomio perturbado no se solapan. Aplicado al caso borroso, las bandas de frecuencia depender
n de los nia veles de con anza i, obteniendo f
cilmente la a condici
n de estabilidad 4 . o El m
todo implica la resoluci
n algebraica de e o polinomios de orden mayor a dos cuando el orden del sistema es superior a cinco, obteniendo resultados poco pr
cticos. A continuaci
n a o se muestra la condici
n de estabilidad obtenida o para n = 5, a modo de ejemplo.
1
p s; q = s3 + 2~1 , q2 s2 + ~3 + 2 s + q4 ~ q ~ q2 ~ q1 = tri 1; 3; 4 q2 = tri 1:5; 2; 2:5 ~ ~ q3 = tri 1; 2; 3 q4 = tri 2; 4; 6 ~ ~
donde tri p1; p2; p3 corresponde a un conjunto borroso triangular con puntos caracter
sticos
p1 ; p2; p3 . El polinomio nominal del sistema es
p0 s; q = s3 + 4s2 + 6s + 4 ~
Podemos representar los par
metros inciertos a mediante sus -cortes: = 2 1 + 1; , 1 + 4 = 0:5 2 + 1:5; ,0:5 2 + 2:5 = 3 + 1; , 3 + 3 = 2 4 + 2; ,2 4 + 6
q1 ~ q2 ~ q3 ~ q4 ~
y aplicando aritm
tica intervalar1 obtenemos e los siguientes coe cientes del polinomio caracter
stico incierto:
a2 ~ q
a1 ~ q a0 ~ q donde los niveles de pertenencia i se interpretan como el grado de con anza en el par
metro a qi. ~
= 4 1 + 0:5 2 , 0:5; ,2 1 , 0:5 2 + 6:5 = 2 + 2 3 + 3; 2 , 6 3 + 11 3 3 = 2 4 + 2; ,2 4 + 6
3.3 An
lisis de estabilidad. a
Dado el sistema extendido 4 , surgen varias cuestiones acerca de su estabilidad: es el sistema estable suponiendo que la con anza en el modelo es m
nima? En caso negativo, cual
es la m
nima con anza que debemos tener en
el sistema para asegurar estabilidad? Entendemos con anza en el modelo como la con anza en cada uno de sus coe cientes.
, a; b = ,b; ,a ,
1 a; b +
c; d
2
= a + c; b + d ; a; b = a; b 2 = a2; b2 ; a 0.
a; b ;
0;
a+ 2 , a+ 2 2 , 4a, 0 a, 4 0 2 q 2+ 2 0, 4, a+ 3 , a3 3 , 4a1 1 a5 5 3 , q , 2a5 2 5 + + a, 2 , a2 2 , 4a0 0 a4 4 2 + 2a4 4
q
3
4
a, 2 + a, 2 2 , 4a+ 2 0 2 + 4 q 2a4 , 3 , a, 3 2 , 4a+ a3 3 1 + 2a5 5 q a, 3 + a, 3 2 , 4a+ 3 3 1 + 2a5 5 q a+ 2 + a+ 2 2 , 4a, 2 2 0 , 4 2a4
q
0 a+ 4 4 1 a+ 5 5 1 a+ 5 5 0 a, 4 4
con
donde a, i y a+ i corresponden a los puni i tos extremos inferior y superior, respectivamente, del coe ciente ai i . Agrupando los niveles de con anza en coe cientes pares en un nivel de con anza com
n e y u por otra parte los niveles de con anza impares en o , las condiciones de estabilidad anteriores son f
cilmente representables gr
camente, oba a teniendo de forma inmediata el m
nimo nivel
de con anza par-impar que mantiene el sistema estable. Denotando
ste como y , poe e o demos repartir" dicha incertidumbre entre los diferentes coe cientes seg
n las relaciones2 : u
a+ 4 a, 4 a+ 5 a, 5
4 a, 4 4 a+ 4 5 a, 5 5 a+ 5
a0 = 15 + 5 0; 25 , 5 0 a1 = 4 + 1:6106 1; 6 , 0:3894 1 a2 = 20 + 10 2; 40 , 10 2 a3 = 5 + 1:7221 3; 7 , 0:2779 , 3 a4 = 6 + 0:12 4; 6:2 , 0:08 4 a5 = 0:5 + 0:5 5; 1:5 , 0:5 5 Aplicando la extensi
n del m
todo de Argoun, o e se obtiene que
se permite una m
xima incertidumbre en a los coe cientes impares de o ' 0:68, considerando m
xima con anza en coe ciena tes pares e = 1 . se permite una m
xima incertidumbre en a los coe cientes pares de e ' 0:77, considerando m
xima con anza en coe cientes a impares o = 1 . se permite una m
xima incertidumbre de a = 0:85, considerando con anza com
n u para todos los par
metros. a Dependiendo de consideraciones pr
cticas, elea gimos un valor para e and o . Si queremos, por ejemplo, distribuir la incertidumbre entre par
metros pares e impares de igual forma, toa mamos e = o = 0:85. Supongamos que la incertidumbre requerida para los coe cientes impares se puede absorber", pero no ocurre as
con los coe cientes pares, debido, por ejemplo a restricciones en la instrumentaci
n, o a inforo maci
n demasiado vaga por parte del operador. o Se cumplen las siguientes relaciones entre los coe cientes pares: ,19950 + 22371:7 2 4 = ,1020:08 , 92:664 2 352537 , 235200 2 0 = 175087 + 5250 En la gura 4 podemos ver una representaci
n o gr
ca de la misma. Como se puede observar, a siendo un poco m
s preciso en a2, podemos rea lajar la con anza exigida sobre a0 , siendo capaces adem
s de garantizar estabilidad aun a a pesar de tener m
xima descon anza en el coea ciente a4 . En particular, los l
mites obtenidos
son 4 = 0, 2 = 0:8918 and 0 = 0:7943. Por otra parte, podemos permitir m
xima ina certidumbre en a2 considerando 4 = 1. Si no es su ciente, deber
amos exigir m
s precisi
n a
a o los coe cientes impares.
2
e e o o
= =
a, 2 a+ 2 a, 3 a+ 3
2 a+ 2 2 a, 2 3 a+ 3 3 a, 3
e e o o
= =
a+ 0 a, 0 a+ 1 a, 1
0 a, 0 0 a+ 0 1 a, 1 1 a+ 1
e e o o
Representando 0 frente a 2 y 4 y 1 frente a 3 y 5, puede analizarse la in uencia de cada par
metro en la estabilidad. Esto permite a resolver cuestiones como, en el caso de que no se pueda garantizar un grado de estabilidad determinado, decidir qu
par
metro debo obtener e a con mayor precisi
n para mejorar la estabilidad o del sistema.
Ejemplo. Sea el sistema con polinomio caracter
stico
p s = a5 s5 + a4s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1s + a0
donde ai , i = 0::5 son coe cientes inciertos representados mediante n
meros borrosos trianu gulares:
p s = a5 s5 + a4 s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0
2 Se considera orden m
ximo 5. a
Relationship for alpha_e=0.85 1 0.9 0.8 0.7 alpha4 − alpha0 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 alpha4 alpha0
5 6 7
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 alpha2 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figura 4: Relaci
n coe cientes pares. o
4 Conclusiones
En este art
culo se ha planteado la necesidad
de tratar con informaci
n ambigua o incierta o en los desarrollos de l
gica borrosa. En ese o sentido, se ha revisado el tratamiento en modelado y control de la incertidumbre en sistemas cuando
sta es expresada en t
rminos de e e l
gica borrosa, bien con bases de reglas incomo pletas, bien con informaci
n lingu
stica sobre o
par
metros del proceso. En la primera parte a se presenta la generaci
n y utilizaci
n de bases o o incompletas para modelado y control borrosos. Un an
lisis de estabilidad de sistemas lineales a cuyos coe cientes sean n
meros borrosos ha siu do detallado en la segunda parte.
8 9 10
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