Modelo de Evoluci n de la curva de tipos BGM

Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Riesgo de tipos de inter´s e Modelos de evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Gerardo Oleaga 17 de mayo de 2006 Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Contenidos Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Objetivo Desarrollar un modelo de evoluci´n de la curva de tipos que: o utiliza s´lo tipos simples. o se implementa mediante simulaci´n Montecarlo. o Incorpora: ajuste a la curva cero de partida volatilidades de tipos correlaciones entre tipos variabilidad de volatilidades y correlaciones es calibrable a precios de mercado (puede utilizarse para valoraci´n). o Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Notaci´n o P(t, s) = factor de descuento de tiempo t para tiempo s. Rs (t, s) = tipo anual simple spot de tiempo t con vencimiento en tiempo s. Fs (u, t, s) = tipo forward simple en tiempo u para el per´ ıodo de tiempo desde t hasta s. BGM son las siglas de Brace-Gatarek-Musiela, quienes introdujeron el modelo en 1997 (Mathematical Finance). Tambi´n conocido como LMM (Libor Market Model). e Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Riesgos Mediante la curva cup´n cero de hoy podemos calcular el valor de o hoy de los flujos de la cartera. Nos interesa determinar el riesgo de la cartera. Para calcular los posibles valores dentro de un cierto intervalo de tiempo ∆t tenemos que generar las posibles curvas cup´n cero de ese instante de tiempo. o Un modelo de riesgos es un modelo probabil´ ıstico que genera curvas cup´n cero para un tiempo futuro. Cada simulaci´n nos da o o una curva cup´n cero del tiempo t + ∆t, y cada una de las curvas o nos da un valor de los flujos de la cartera en ese momento. El resultado de la simulaci´n es un histograma que recoge las o probabilidades de los posibles valores actualizados a tiempo t + ∆t. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Tipos forward Expresaremos la curva cup´n cero en funci´n de los tipos simples o o forward a 3 meses, o a 6 meses. Fijamos de una vez por todas el intervalo de tiempo ∆t que ser´ a a 3 o 6 meses; s´lo en algunos casos de instrumentos a muy largo o plazo se usar´ ∆t como un a˜o. Todos los tipos son anuales. a n Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Caracter´ ısticas t´cnicas e P(0, t) tiene que cumplir: P(0, 0) = 1 P(0, t) ha de ser decreciente como funci´n de t. o P(0, t) ha de ser positivo. Traducido en t´rminos de los tipos simples: e Rs (0, t)t ha de ser creciente. Rs (0, t) ha de ser positivo. En t´rminos de los forwards, el unico requisito es: e ´ F (0, t, s) debe ser positivo. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Recordamos las f´rmulas: o P(0, t) = F (0, t, s) = 1 1 + Rs (0, t)t sRs (0, s) − tRs (0, t) (s − t)(1 + tRs (0, t)) Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Especificaci´n de Forwards o Fijamos el intervalo de tiempo ∆t, por ejemplo 3 meses. Este ∆t desempe˜a dos papeles: n es el plazo de todos los forwards que se van a considerar es el salto de tiempo en la simulaci´n y en el modelo o Obtenemos la curva de tipos forward (con plazos ∆t) de tiempo (n + 1)∆t mediante sorteo aleatorio de la curva de tiempo n∆t. El tiempo s´lo lo miramos en m´ltiplos de ∆t. Como este n´mero o u u est´ fijo, diremos tiempo j para referirnos a tiempo j∆t. a Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Fi (j) es el tipo forward simple de tiempo i∆t para el per´ ıodo de tiempo que va desde j∆t hasta tiempo (j + 1)∆t Obs´rvese que e S´lo est´n definidos cuando j ≥ i o a F0 (j)j≥0 es la curva de hoy de tipos forward Fi (i)i≥i es el tipo spot a plazo ∆t de tiempo i∆t. Los tipos Fi (j) con j ≥ i ≥ 1 son variables aleatorias; no son conocidos hoy. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Modelo preliminar Para el primer salto, que va de tiempo 0 a tiempo 1: √ ∆t Z1 F1 (j) = F0 (j) + σ Para todos los tipos Unica normal para este salto Los saltos sucesivos requieren sorteos de normales independientes, una por cada salto: √ Fi (j) = Fi−1 (j) + σ ∆t Zi , para j ≥ i, i = 1, 2, . . . Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Estad´ ısticos Medias: Obs´rvese que E (F1 (j)) = F0 (j). De este modo, el tipo e spot simulado en el modelo para tiempo 1 (es decir F1 (1)) coincide en media con el tipo forward que tenemos hoy para ese per´ ıodo de tiempo. Desviaciones t´ ıpicas: V (F1 (j)) = σ 2 ∆t y por tanto la volatilidad anualizada absoluta (no porcentual) de cada tipo forward en cada tiempo es σ. La simulaci´n y el modelo son consistentes con que los tipos o forward son estimaciones del mercado sobre los tipos spot que tendremos en el futuro. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Los saltos son independientes. El modelo se ajusta a la hip´tesis de camino aleatorio. Supone o que en cada tiempo (en m´ltiplos de ∆t) llega al mercado un u shock que altera la expectativa forward de mercado. El shock afecta por igual a todos los tipos. Adem´s, supone un modelo de Markov. Es decir, supone que a la evoluci´n futura de la curva de tipos s´lo depende de la o o situaci´n actual, que recoge toda la informaci´n pertinente. o o ´ Ilustracion: realizar la evoluci´n en dos saltos. Los datos son la o curva spot de tipos simples y el dato unico de volatilidad σ. ∆t es ´ de 6 meses, y la curva inicial es a 5 a˜os. Obtener un n´mero n u amplio de simulaciones y gr´ficos. a Datos para las ilustraciones: F0 (0) 3% F0 (1) 3, 05 % F0 (2) 3, 08 % F0 (3) 3, 12 % F0 (4) 3, 10 % F0 (5) 3, 08 % F0 (6) 3, 05 % F0 (7) 3, 05 % F0 (8) 3, 05 % F0 (9) 3, 05 % σ = 20 % Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Defectos del modelo Permite tipos negativos, puesto que los tipos forward que se simulan son variables normales. La volatilidad que se cotiza en el mercado es una volatilidad porcentual, es decir, mide desviaci´n t´ o ıpica de variaciones porcentuales (rendimientos) de los tipos y no volatilidad absoluta. Estos dos defectos se resuelven con una sola observaci´n: no o queremos tipos normales, sino lognormales. De esta manera cotiza el mercado. Estos tipos son siempre positivos. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Modelo base Es un modelo b´sico porque la estructura de volatilidades que a imputamos a los tipos forward es plana y la estructura de correlaciones entre las variaciones de los tipos forward es plena. La diferencia con el modelo que hemos llamado preliminar es que modelizamos los rendimientos de los tipos forward, es decir, sus variaciones porcentuales, y no las variaciones absolutas. De manera que los tipos ser´n lognormales y no normales. a Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Postulamos, para los saltos sucesivos √ Fi (j) = Fi−1 (j) exp −σ 2 /2 ∆t + σ ∆tZi , j ≥ i, i = 1, 2 . . . Las variables normales Zi son independientes. Una simulaci´n o completa requiere la generaci´n de N normales, una por cada salto. o tiempo 0 F0 (0) F0 (1) F0 (2) F0 (3) σ σ σ σ tiempo 1 F1 (1) F1 (2) F1 (3) σ σ tiempo 2 F2 (2) F2 (3) σ tiempo 3 F3 (3) ... ... ... ... ... ... ... F0 (j) σ F1 (j) σ F2 (j) σ F3 (j) ... ... ... ... ... ... ... Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base T´rmino de correcci´n e o El t´rmino de correcci´n hace que, condicionado sobre el tiempo e o anterior (i − 1)∆t, el valor esperado de Fi (j) es justamente Fi−1 (j). Recu´rdese que si X es variable normal de media µ y desviaci´n e o X es: t´ ıpica σ, entonces la media de la variable lognormal e E eX = e µ+ σ2 2 Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Estad´ ısticos medias E (Fi (j)) = F0 (j). Por lo tanto, en media, en cada tiempo simulado los tipos se sit´an en la referencia del forward de partida. u Fi (j) varianzas V ln F0 (j) = V (lnFi (j)) = σ 2 [i∆t]. Es decir la varianza anualizada del rendimiento del tipo F• (j) es σ 2 , o, en otros t´rminos la volatilidad (porcentual) del tipo F• (j) es σ. e correlaciones La correlaci´n entre las variaciones de los tipos o forward es plena. La raz´n es la siguiente: si conocemos el valor o simulado de F1 (3), a partir de F0 (3) podemos deducir qu´ normal e Z1 se ha empleado, y de ah´ podemos averiguar el valor de F1 (j) ı para cualquier j. En otras palabras, cada tipo de la curva 1 determina todos los dem´s, a partir de la curva 0. a Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base ´ Ilustracion: realizar la evoluci´n en dos saltos. Los datos son la o curva spot de tipos simples y la volatilidad unica σ. ∆t es 6 meses, ´ y la curva inicial es la de la ilustraci´n anterior. Obtener o simulaciones, gr´ficos. a Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Cuenta bancaria La cuenta bantaria es la cantidad que se acumula en un dep´sito o que en cada per´ ıodo sucesivo ∆t se capitaliza con el tipo spot a ese plazo ∆t. El monto acumulado hasta tiempo j∆t lo denotamos por β(j). β(0) = 1 β(1) = (1 + F0 (0)∆t) (hasta aqu´ no hay incertidumbre) ı β(2) = (1 + F0 (0)∆t)(1 + F1 (1)∆t) = β(1)(1 + F1 (1)∆t) . . . j−1 β(j) = i=1 (1 + Fi (i)∆t) = β(j − 1)(1 + Fj−1 (j − 1)∆t) ´ Ilustracion: Obtener simulaci´n de β(3). o Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o Modelo de Evoluci´n de la curva de tipos: BGM o Generalidades Modelo preliminar Modelo base Ejercicio Calcular el histograma de valores de una cartera dentro de un a˜o n con un bono sin riesgo de cr´dito que paga semestralmente e cupones anuales del 4 % y vence en 5 a˜os. Nominal 10 mil euros. n Los cupones son reinvertidos en cuenta bancaria. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de inter´s Modelos de evoluci´n de la curva de e o