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Operacion optima de una planta de cogeneracion

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Operacion optima de una planta de cogeneracion Powered By Docstoc
					Información Tecnológica, Vol. 8, No. 4, 1997, pp. 11-18.



                                          Miguel Ángel Lozano
                                    Departamento de Ingeniería Mecánica
                                          Universidad de Zaragoza
                                              María de Luna, 3
                                       50015 ZARAGOZA (España)



            OPERACIÓN ÓPTIMA DE UNA PLANTA DE COGENERACIÓN
            RESUMEN
            Las demandas de energía eléctrica, calefacción y refrigeración de las plantas de
            cogeneración en el sector residencial–comercial se caracterizan por su variabilidad
            temporal. Para determinar sus condiciones óptimas de operación resulta necesario
            conocer la demanda de servicios, la configuración de la planta y las tarifas de precios
            para combustible y electricidad. Se ha desarrollado un método para describir el
            comportamiento de los equipos que componen la planta mediante la técnica de
            linealización por tramos. Esto nos permite expresar las relaciones existentes entre los
            flujos energéticos que entran y salen de cada equipo. El problema de optimización de
            la operación se resuelve entonces como uno de programación lineal–entera. El
            método propuesto se aplica a una planta concreta verificándose su validez y eficacia.
            Finalmente, se comparan los resultados económicos obtenidos para políticas
            alternativas de operación de la planta.

            PALABRAS CLAVE
            Planta de cogeneración
            Operación óptima
            Programación lineal–entera
            Planteamiento óptimo



            OPTIMAL OPERATION OF A COGENERATION PLANT

            ABSTRACT
            The cogeneration plants for commercial and district applications provide electric
            power, heating and cooling whose demands are variable through time. To calculate
            theirs optimal operation it is necessary to effectively determine the energy demand
            together with the configuration of the plant’s equipment and the tariff of fuel. A method
            which approximates the part load component behavior with piece wise linear functions
            is developed. All the components are represented by sets of input and output energy
            flow rate relationships. The optimal operation problem is then formulated as a mixed
            integer linear program. Using a numerical example, the validity and effectiveness of
            the method proposed here is ascertained. Lastly the economical comparison of same
            alternative operational policies is made based on the obtained results.

            KEY WORDS
            Co–generation plant
            Optimal operation
            Mixed–integer linear programming
            Optimal planning
INTRODUCCIÓN                                                 eficaces, por el momento, en cuanto a velocidad
                                                             de cálculo y robustez numérica.
       Los sistemas energéticos reales son a
veces de estructura compleja. Además los                           Un procedimiento que permite superar los
equipos que los componen no suelen tener un                  inconvenientes señalados consiste en linealizar
comportamiento lineal con la carga, por lo menos             las ecuaciones que describen el comportamiento
para grandes variaciones de ésta. Por otro lado              de los equipos por intervalos de carga asociando
es frecuente la disposición de varios equipos                estos a variables binarias enteras (0/1), transfor-
compitiendo internamente y/o con fuentes de                  mando así el programa no lineal a uno de
recursos externos para proveer el mismo servicio,            programación lineal–entera, técnica para la que
lo cual implica que algunos deban estar parados              se dispone de abundante software comercial
en ciertas condiciones de operación y/o de                   (Schrage, 1991).
precios de mercado de los recursos externos. En
particular, todas estas circunstancias suelen                       Una discusión más detallada de los funda-
presentarse en el caso de sistemas de                        mentos matemáticos de la programación lineal–
cogeneración que atienden las necesidades de                 entera puede encontrarse en de la Fuente (1993).
electricidad, calor y refrigeración en el sector             Su aplicación al diseño y operación óptima de los
residencial–comercial. Una instalación típica que            sistemas energéticos incluyendo sistemas de
será analizada aquí se muestra en la Fig. 1.                 cogeneración puede verse en Halasz y
                                                             Chandrashekar (1985), Grossmann (1985), Horii
      Las circunstancias mencionadas provocan                et al. (1987 a, b) y Yokohama et al. (1994).
que los modelos lineales (tan útiles y sencillos de
aplicar en otras ocasiones) resulten incapaces de                     En este artículo se muestra un ejemplo
representar el dominio real de condiciones de                práctico de aplicación de la programación lineal–
operación accesible a estos sistemas e ineficien-            entera a la determinación de la política óptima de
tes para determinar con la sensibilidad requerida            operación de una planta de cogeneración calor–
la influencia económica de cambios en las                    frío–trabajo de un hospital. Se analizan los
mismas. Por otro lado las técnicas de                        resultados obtenidos y se explica como podría
programación no lineal con restricciones de                  abordarse la optimización estructural de este tipo
desigualdad, si bien resultan apropiadas desde un            de plantas.
punto de vista conceptual, se muestran poco
                    CG                       CE


                                      PEA                  CEA
                                             •                                    PFA
                 CGA




                         •            PQA                  CQA                             •
                                MA                    •                  FA


                                      PEB                  CEB
                                             •                                     PFB
                 C GB




                         •            PQB                   CQB                            •
                                MB                    •                  FB


                                      PEC
                                             •
                 CGC




                         •            PQC
                                MC                    •
                                                           CEAUX                 PFAUX
                                             •                                             •
                 CGAUX




                                                                      FAUX
                                     PQAUX
                         •
                             CAUX            •

                                        DE   VE       DQ                                  DF

                               Fig. 1. Estructura de la planta de cogeneración
MODELADO DE EQUIPOS
                                                                            Procediendo así, el conjunto de los estados
       Podemos representar un componente de un                        de operación accesibles al equipo puede expre-
sistema energético como muestra la Fig. 2 donde                       sarse mediante el siguiente modelo matemático:
las variables representadas se refieren a las
                                                                             K
                                                                             ∑ Xk = 0
magnitudes extensivas seleccionadas para definir
los flujos del sistema.                                               X–                                                 (1)
                                                                             k =1
           F1                                          P1              K
                                                                      ∑ Sk ≤ 1


                                                            OUTPUTS
  INPUTS




                                                                                                                         (2)
           Fi                EQUIPO
                                                       Pj             k =1
                                                                              K
           Fn                                          Pm
                                                                      Yi –   ∑ ( aik X k + bik Sk ) = 0   (i = 1,…, I)   (3)
                                                                             k =1
       Fig. 2. Componente genérico del sistema
                                                                        k                 k
                                                                      X min S k ≤ X k ≤ X max Sk          (k = 1,…, K)   (4)
       En general existen limitaciones en cuanto a
la flexibilidad de operación de un equipo. Por                        donde las variables binarias Sk son enteras (tipo
ejemplo la carga estará comprendida entre un                          0/1) y nos indican en que intervalo k se desarrolla
mínimo y un máximo. En muchas ocasiones sólo                          la operación del equipo. La segunda restricción
podrá modificarse libremente la magnitud de uno                       corresponde al hecho de que el componente
de los flujos que corresponderá al producto                           opera en un solo intervalo o en ninguno (está
principal del equipo. Para facilitar la descripción                   fuera de servicio).
matemática en estas circunstancias se denomina
ahora a dicho producto como X y al resto de los                              A modo de ejemplo considérese el motor de
flujos, independientemente de que sean de                             gas DEUTZ MWM 440 BL8 que lleva
entrada o salida, como Yi.                                            incorporados intercambiadores recuperativos de
                                                                      calor para producir agua caliente y cuyos datos de
      Sea conocido el estado de operación del                         catálogo se muestran en cursiva en la Tabla 1.
equipo para las distintas cargas entre Xmin y                         Este equipo es el denominado como MA en el
Xmax, lo que implica disponer de las funciones Yi                     diagrama de flujos (Fig. 1) de la instalación de
(X) para todos los flujos o al menos de suficientes                   cogeneración analizada. La variable X seleccio-
estados concretos Yi (Xj) para que quede bien                         nada para referir la carga a la que opera el motor
representada la dependencia funcional entre X e                       es la potencia eléctrica PEA. Las variables Y1 e
Yi. En el segundo caso los valores de Xj                              Y2 serán por tanto el consumo de gas natural
incluyendo los extremos definirán los posibles                        CGA y la producción de calor PQA. Los
intervalos de operación. En el primero la selección                   coeficientes aik y bik calculados se indican en la
de los estados concretos que habrán de definir                        tabla. El conjunto de ecuaciones que describe la
dichos intervalos deberá realizarla el analista. En                   operación del equipo puede verse en la Fig. 4.
cualquier caso la operación del equipo podrá                          Como ejercicio de comprobación de que se ha
describirse mediante funciones lineales, una por                      comprendido la metodología descrita el lector
cada intervalo k y flujo i, como la mostrada en la                    podría reconstruir tablas similares para los otros
Fig. 3.                                                               dos motores de gas (MB y MC) y las dos
                                                                      máquinas de refrigeración por absorción (FA y
   Yi                                                                 FB) a partir de las ecuaciones correspondientes a
                                                   •                  estos equipos en la Fig. 4. Obsérvese que cuando
                                 •     •                              operan las máquinas de refrigeración por
                                                                      absorción presentan un consumo de energía
                         •       tg α = a ik                          eléctrica que se ha supuesto constante.

                     •                                                     Tabla 1. Datos y modelo de un motor de gas
                                                                             X:          Y1:                Y2:
b ik            •1           k                 K                      carga PEA         CGA                PQA
                                                                       (%) (kW)         (kW)    a    b     (kW)     a    b
                          k    k                                       50% 400          1205                512
                Xmin     Xmin Xmax                 X max
                                                                                               2,12 357           0,72 224
                                                                       75%        600   1629               656
 Fig. 3. Descripción matemática de la operación                                                2,32 237           0,74 212
               de un componente                                       100%        800   2093               804
! Operacion optima de un sistema de cogeneracion
! Resuelto con MacLINDO 5.0.
! Precios compra gas natural = 3.7 pts/kWh
!      compra electricidad = 14.0 pts/kWh
!      venta electricidad = 13.7 pts/kWh
!                         ( x 0.57 en horas valle)
!                         ( x 1.70 en horas punta)
! Aplicacion a dia tipico de verano a las 11 horas
!          i) facturacion horas punta      ii) posible despilfarro de calor
! Minimizar el coste de operacion en pts/h
           MIN 3.7CG+23.8CE-23.3VE
           SUBJECT TO
! Consumo de gas natural (kW)
BG)        CG-CGA-CGB-CGC-CGAUX>=0
! Demanda de electricidad (kW)
BE)        CE+PEA+PEB+PEC-CEAUX-CEA-CEB-VE>=650
! Demanda de calor (kW)
BQ)        PQA+PQB+PQC+PQAUX-CQA-CQB>=750
! Demanda de frio (kW)
BF)        PFAUX+PFA+PFB>=3000
DAPE)      PEA1+PEA2-PEA=0                        ! Grupo motor A
DACG) CGA-2.12PEA1-357SDA1-2.32PEA2-237SDA2=0
DAPQ) PQA-0.72PEA1-224SDA1-0.74PEA2-212SDA2=0
DA11)      -400SDA1+PEA1>=0                       DA12) -600SDA1+PEA1<=0
DA21)      -600SDA2+PEA2>=0                       DA22) -800SDA2+PEA2<=0
DAS)       SDA1+SDA2<=1
DBPE)      PEB1+PEB2-PEB=0                        ! Grupo motor B
DBCG) CGB-2.10PEB1-529SDB1-2.32PEB2-331SDB2=0
DBPQ) PQB-0.70PEB1-330SDB1-0.72PEB2-312SDB2=0
DB11)      -600SDB1+PEB1>=0                       DB12) -900SDB1+PEB1<=0
DB21)      -900SDB2+PEB2>=0                       DB22) -1200SDB2+PEB2<=0
DBS)       SDB1+SDB2<=1
DCPE)      PEC1+PEC2-PEC=0                        ! Grupo motor C
DCCG) CGC-2.11PEC1-694SDC1-2.30PEC2-466SDC2=0
DCPQ) PQC-0.71PEC1-429SDC1-0.70PEC2-441SDC2=0
DC11)      -800SDC1+PEC1>=0                       DC12) -1200SDC1+PEC1<=0
DC21)      -1200SDC2+PEC2>=0                      DC22) -1600SDC2+PEC2<=0
DCS)       SDC1+SDC2<=1
CGAUX) 0.85CGAUX-PQAUX=0                          ! Caldera auxiliar
CEAUX) 3.50CEAUX-PFAUX=0                          ! Refrig. mecanica
RAPF)      PFA1+PFA2+PFA3-PFA=0                   ! Refrig. absor. A
RACQ) CQA-1.50PFA1-75SRA1-2.20PFA2+135SRA2
           -2.90PFA3+450SRA3=0
RACE)      CEA-7.5SRA1-7.5SRA2-7.5SRA3=0
RA11)      -150SRA1+PFA1>=0                       RA12) -300SRA1+PFA1<=0
RA21)      -300SRA2+PFA2>=0                       RA22) -450SRA2+PFA2<=0
RA31)      -450SRA3+PFA3>=0                       RA32) -600SRA3+PFA3<=0
RAS)       SRA1+SRA2+SRA3<=1
RBPF)      PFB1+PFB2+PFB3-PFB=0                   ! Refrig. absor. B
RBCQ) CQB-1.50PFB1-100SRB1-2.20PFB2+180SRB2
           -2.90PFB3+600SRB3=0
RBCE)      CEB-8.5SRB1-8.5SRB2-8.5SRB3=0
RB11)      -200SRB1+PFB1>=0                       RB12) -400SRB1+PFB1<=0
RB21)      -400SRB2+PFB2>=0                       RB22) -600SRB2+PFB2<=0
RB31)      -600SRB3+PFB3>=0                       RB32) -800SRB3+PFB3<=0
RBS)       SRB1+SRB2+SRB3<=1
           END
INTEGER SDA1,SDA2,SDB1, SDB2,SDC1,SDC2, SRA1,SRA2,SRA3,SRB1,SRB2,SRB3

        Fig. 4. Programa de optimización de la operación con LINDO
OPERACIÓN ÓPTIMA                                                                                de energía se emplea el criterio de desigualdad
                                                                                                (compras + producción – ventas ≥ demanda) por
       Las Figs. 5 y 6 muestran la demanda de                                                   ser más flexible. De hecho se ha comprobado que
energía eléctrica (DE), agua caliente (DQ) y                                                    para determinadas condiciones de demanda (bajo
refrigeración (DF) de un hospital para un día típico                                            consumo de calor) y precios (horas llano y punta
de verano y otro de invierno.                                                                   de facturación eléctrica) convendrá operar los
                                                                                                motores de gas a máxima potencia aunque no se
       La estructura del sistema de cogeneración                                                aproveche totalmente la energía térmica de los
empleado junto con la nomenclatura utilizada para                                               gases de escape para producir calor por falta de
los flujos de energía se presentan en la Fig. 1.                                                consumo. Los modelos correspondientes a la
Los motores de gas dotados de intercambiadores                                                  operación de los equipos auxiliares de producción
recuperativos cogeneran calor (agua caliente) y                                                 de calor y frío quedan constituidos por una única
trabajo (energía eléctrica). Si es necesario puede                                              ecuación lineal que relaciona consumo y produc-
utilizarse una caldera auxiliar (CAUX) para                                                     ción a través de un consumo específico
producir calor. También existe una instalación                                                  constante: 1/η [kW (gas natural)/kW (calor)] para
auxiliar para la producción de agua fría por
                                                                                                la caldera (donde η = 0,85 es el rendimiento
compresión mecánica (FAUX). Se supone que
                                                                                                térmico) y1/COP [kW (electricidad)/ kW (frío)] para
estos dispositivos auxiliares, que proceden del
                                                                                                la refrigeración mecánica (donde COP = 3,50 es
sistema antiguo, no tienen limitación de carga. El
                                                                                                el coeficiente de operación). Los modelos corres-
sistema está conectado a la red eléctrica
                                                                                                pondientes a la operación de los motores de gas y
pudiendo comprar y vender energía sin limitación
                                                                                                máquinas de refrigeración por absorción se
de cantidad a los precios indicados en el
                                                                                                linealizan por intervalos de carga según la técnica
encabezamiento de la Fig. 4. Esta figura consti-
                                                                                                descrita en el apartado anterior.
tuye el programa correspondiente a la política
óptima de operación. Puede verse que el criterio                                                       Las Figs. 7 y 8 muestran los resultados
empleado es minimizar los costes variables CT                                                   económicos del sistema de cogeneración para un
asociados a los intercambios de energía con el                                                  día típico de verano y otro de invierno, comparán-
exterior (CG: gas natural, CE: compra de energía                                                dolos con los de un sistema convencional (para
eléctrica, VE: venta de energía eléctrica).                                                     calcular los resultados correspondientes al
Las ecuaciones correspondientes al modelo de                                                    sistema convencional basta con igualar a cero
operación de la planta en estado estacionario son                                               todas las variables enteras en el programa de la
los balances de energía para los cuatro servicios                                               Fig. 4) constituido por calderas para la producción
presentes (gas natural, electricidad, calor y frío) y                                           de calor y máquinas frigoríficas por compresión
los modelos que describen las prestaciones de los                                               mecánica de vapor para la producción de frío.
equipos individuales. Con respecto a los balances

                             5000                                                                        5000
                                            DE                                                                          DE
                                            DQ                                                                          DQ
 Demandas energéticas (kW)




                             4000                                                                        4000
                                                                             Demandas energéticas (kW)




                                                                                                                        DF


                             3000                                                                        3000



                             2000                                                                        2000



                             1000                                                                        1000



                                0                                                                           0
                                    0   4        8   12    16     20    24                                      0   4        8   12   16   20   24
                             Fig. 5. Demanda de electricidad (DE) y calor     Fig. 6. Demanda de electricidad (DE), calor (DQ)
                                    (DQ) en un día típico de invierno            y frío (DF) en un día típico de verano (kW)
                         50000                                                                                                50000
                                                       Con pérdida de calor

                                                       Sin pérdida de calor
                                                       Convencional
                         25000                                                                                                25000
Coste (ptas./h)




                                                                                                                  Coste (ptas./h)
                                 0                                                                                                     0




                  -25000                                                                                              -25000                                                                 Con pérdida de calor

                                                                                                                                                                                             Sin pérdida de calor

                                                                                                                                                                                             Convencional
                                     --------valle------                              --punta------                                            --------valle---------       ----punta----
                  -50000                                                                                              -50000
                                     0             4           8       12       16      20            24                                    0              4          8          12          16        20           24
                                                                   Tiempo (h)                                                                                                Tiempo (h)
                             Fig. 7. Coste de operación en un día típico                                                            Fig. 8. Coste de operación en un día típico
                                             de invierno                                                                                            de verano
                         12500                                                                                                  12500
                                                       Con pérdida de calor                   (a)                                                                                                             (a)
                                                       Sin pérdida de calor
                                                       Convencional
                         10000                                                                                                  10000
Gas natural (kW)




                                                                                                             Gas natural (kW)




                          7500                                                                                                      7500



                          5000                                                                                                      5000
                                                                                                                                                                                       Con pérdida de calor
                                                                                                                                                                                       Sin pérdida de calor
                          2500                                                                                                      2500
                                                                                                                                                                                       Convencional


                             0                                                                                                         0
                                     0            4            8      12        16      20          24                                         0            4           8         12         16         20          24
                                                                   Tiempo (h)                                                                                               Tiempo (h)
                          2000                                                                                                      2000
                                                                                              (b)                                                                                                             (b)

                          1000                                                                                                      1000
                                                                                                           Energía eléctrica (kW)
Energía eléctrica (kW)




                                                                       Con pérdida de calor
                             0                                                                                                             0
                                                                       Sin pérdida de calor
                                                                                                                                                                                        Con pérdida de calor
                                                                       Convencional
                         -1000                                                                                                      -1000                                               Sin pérdida de calor
                                                                                                                                                                                        Convencional

                         -2000                                                                                                      -2000



                         -3000                                                                                                      -3000

                                         --------valle------                          --punta------                                                --------valle---------    ----punta----
                         -4000                                                                                                      -4000
                                     0            4            8      12        16      20          24                                          0           4           8         12         16         20          24
                                                                   Tiempo (h)                                                                                               Tiempo (h)

Fig. 9. Consumo de gas natural (a) e intercambio                                                           Fig. 10. Consumo de gas natural (a) e intercambio
        de energía eléctrica con la red (b)                                                                         de energía eléctrica con la red (b)
            en un día típico de verano                                                                                 en un día típico de invierno
       La posibilidad de vender (o no comprar) la                El objetivo consistirá en minimizar los costes
electricidad producida por los motores de gas en            anuales en ptas./año:
horas llano y punta es lo que determina la acusada
                                                                                                ⎡                     ⎤
                                                            ∑ ξ i Z i + ∑ H k ⎢∑ (c kj C kj − v kj Vkk )⎥
disminución de costes observada con respecto al              I                    K                 J

sistema convencional. Se puede ver que el sistema                                                                             (5)
puede operarse incluso con un beneficio neto                i =1                  k =1          ⎣   j =1              ⎦
(costes variables negativos). Por otra parte debe
                                                            y las restricciones podrán presentarse de modo
resaltarse que la introducción de máquinas de               similar a lo establecido en la Fig. 4, pero extendién-
refrigeración por absorción en el sistema permite           dose a los K períodos de operación considerados.
dar utilidad al calor cogenerado por los motores de         Por ejemplo, para cada servicio deberán plantearse
gas en verano, ampliando su período de operación            K balances del tipo:
efectiva, lo cual resulta clave para la viabilidad
económica de todo proyecto de cogeneración. La                        I                   I
elevada diferencia entre el precio de venta de              Cj +
                                                                 k
                                                                     ∑        k
                                                                            P ij –       ∑ F ijk – V kj ≥ D k
                                                                                                            j   ( k = 1,…, K ) (6)
electricidad y su coste de producción en los                         i =1                i =1
motores de gas permite obtener un beneficio eco-
nómico adicional por no consumir todo el calor              donde Fijk [kW] y Pijk [kW] expresan el consumo y
cogenerado. Si se impone la restricción de que los
                                                            producción del equipo i de la correspondiente utili-
servicios producidos deben ser consumidos (basta
con sustituir el criterio ≥ por = en las ecuaciones         dad j en el período k. Probaremos estructuras de
que formulan la demanda en el modelo de la Fig. 4)          composición diferente en tipo, número y tamaño de
la política de operación correspondería al criterio de
                                                            equipos, seleccionando aquélla que presente los
máxima eficiencia energética.
                                                            menores costes anuales de operación.
       Las Figs. 9 y 10 muestran el consumo de gas
natural del sistema y el intercambio neto de energía
eléctrica con la red.                                       REFERENCIAS

                                                            De la Fuente, J.L., Tecnologías computacionales
OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL                                    para sistemas de ecuaciones, optimización lineal y
                                                            entera. Editorial Reverté, Barcelona (1993).
      El problema de decidir el tipo, número y ta-
maño de los equipos a emplear en el diseño óptimo           Grossmann, I.E., Mixed–Integer Programming
de un sistema de cogeneración es francamente                approach for the Synthesis of Integrated Process
complicado. Más aún cuando el sistema produce               Flowsheets. Computers and Chemical Engineering,
varios servicios cuya demanda es variable en el             Vol. 9, No. 5, pp. 463–482 (1985).
tiempo y consume recursos de precios diferencia-
                                                            Halasz, M.S. y M. Chandrashekar, Optimization of
dos por tipo (distintos combustibles alternativos) o        Industrial Energy Systems. Analysis of Energy
por período de facturación (energía eléctrica). Una         Systems–Design and Optimization, pp. 1–9, R.A.
forma cabal de resolver este problema y que hace            Gaggioli (Ed.), ASME, New York (1985).
uso de las técnicas de programación lineal–entera
es la propuesta por Horii et al (1987 a, b).                Horii, S., K. Ito y Y. Suzuki, A Computer–Aided
                                                            Planning (CAP) System for the Gas Engine Co–
      Sea la estructura formada por los equipos             generation Plant. International Journal of Energy
                                                            Research, Vol. 11, pp. 491–505 (1987a).
(i = 1, … I) con inversión inicial Zi [ptas.] y factor de
amortización y mantenimiento ξi [año–1]. Los inter-         Horii, S., K. Ito, P.S. Pak y Y. Suzuki, Optimal
                                                            Planning of Gas Turbine Co–generation Plants
cambios de servicios (j = 1,…, J) del sistema de            based on Mixed–Integer Lineal Programming.
cogeneración con su entorno se denotan como C k j
                                                            International Journal of Energy Research, Vol. 11,
(compra), V k (venta), D k (demanda interna) y se
                                                            pp. 507–518 (1987b).
            j            j
expresan en kW, siendo k = 1,…, K los períodos de           Schrage, L., LINDO User’s Manual (Release 5.0).
                                                            The Scientific Press, San Francisco (1991).
duración Hk [horas/año] en que se discretiza la ope-
ración anual del sistema. Lógicamente en estos              Yokohama, R., K. Ito, K. Kamimuru y F. Miyasakce,
períodos los precios de compra c k y venta v k de
                                 j           j
                                                            Development of a General–Purpose Optimal
                                                            Operational Planning System for Energy Supply
las utilidades [ptas./kWh] serán constantes y las           Plants. Journal of Energy Resources Technology,
           k                                                Vol. 116, pp. 290–296 (1994).
demandas D j regulares.

				
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