cal int by aminesoul

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									                Université Mohammed V - Agdal
                      Faculté des Sciences
         Département de Mathématiques et Informatique
                 Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014
                         Rabat, Maroc




                             Filière :
                            SMI - SM
                                &
                           SMP - SMC
                           Module : M 6



                    NOTES de cours d’Analyse II


           Partie A : CALCUL INTEGRAL :




                               Par


Ali ALAMI-IDRISSI          Saïd EL HAJJI     et   Samir HAKAM


          Groupe d’Analyse Numérique et Optimisation




                         Année 2005-2006
                                                     Calcul Intégral
Objectifs :
         1) Calculer l’aire d’une région à partir de limite
         2) Définir l’intégrale de Riemann.
         3) Calcul des sommes de Riemann
         4) Connaitre et utiliser quelques méthodes (techniques) d’intégrations
         5) Etudier les intégrales impropres
         6) Déterminer la convergence de certaines séries.

Plan :
                   I : Intégrale de (ou au sens) de Riemann
                   II : Fonction définie par une Intégrale
                   III : Calcul des intégrales.
                   IV : Calcul de primitives : Techniques de Base
                   V : Intégrales Impropres


I - Intégrale de Riemann
1) Calcul d’aires à l’aide de limite
Dans toute la suite, on considère l’intervalle fermé borné a, b avec a et b réels et a  b.
Définition 1:
     On appelle subdivision ou partition de a, b , une suite strictement croissante de nombres
réels x 0 , x 1 , . . . , x n tel que x 0  a  x 1 . . .  x n 1  x n  b.
     On note P  x i i0,n ou P  x 0  a, x 1 , . . . , x n 1 , x n  b .
     Chaque sous-intervalle de a, b , x i , x i1 i  0, n 1 , est de longueur x i  x i1 x i .
     Une partition est dite régulière lorsque x 0  x 1 . . .  x n . On dit aussi que la partition est
à pas constant.
Exemple 1:
     Soit f une fonction continue, décroissante, positive sur l’intervalle fermé borné 0, 1 et soit
C f sa courbe représentative.
              y       1                                         y       1



                  0.875                                             0.875



                   0.75                                              0.75



                  0.625                                             0.625



                    0.5                                               0.5



                  0.375                                             0.375
                          0      0.25   0.5   0.75        1                 0   0.25   0.5   0.75       1

                                                      x                                             x




                              y  exp x , I et S 4              y  exp x , I et s 4
                                              Figure 1
    Soit n un entier supérieur à 1 (n 1), (n  4 sur la figure).
    L’intervalle 0, 1 étant partagé en n intervalles de longueur égale.
    On désigne par S n l’aire des rectangles circonscrits, s n l’aire des rectangles inscrits et I l’aire
limitée par la courbe C f (f x  exp x sur la figure), l’axe ox et les droites x  0 et x  1.
    Tous les rectangles de la figure ont pour longueur 1 et pour hauteur:
                                                         n
        i) Pour les rectangles inscrits:
    f 0 , f 1 , f 2 , , f nn1
             n      n
         ii) Pour les rectangles circonscrits :
     f 1 , f 2 , , f nn1 , f 1
       n       n
     D’où les expressions de S n et s n :
                                                                                                    n 1
                      Sn  1 f 0  1 f 1    1 f n n 1
                           n       n n         n                                             1
                                                                                              n
                                                                                                             k
                                                                                                           f n
                                                                                                     k0
                                                                                               n
                      sn  1 f 1  1 f 2    1 f 1
                           n n     n n         n n                                       1
                                                                                          n
                                                                                                          k
                                                                                                        f n
                                                                                               k1
     Desquelles, on déduit que
                                                Sn        sn  1 f 1
                                                               n                  f0 .
     Par construction, on a:
                                                                    0    I    sn       Sn     sn
                               sn       I       Sn Í
                                                                    0    Sn       sn     Sn    sn

                                    0       I        sn     1
                                                            n   f1           f0        Î 0n Î Ý
                         Í
                                    0       Sn        sn        1
                                                                n   f1        f0        Î 0n Î Ý
     Ce qui nous améne à la conclusion
                                      lim s  nlim S n  I.
                                      n Ý n     Ý
Exemple 2:
     Soient f une fonction bornée sur l’intervalle fermé borné a, b et C f sa courbe représentative.
     Considérons l’aire limitée par C f , l’axe ox et les droites x  a et x  b.
     Pour calculer approximativement cette aire, on partage l’intervalle a, b en n parties égales
(n 1) et on a :
   x 0  a, x 1  a  b n a , x 2  a  2 b n a , , x k  a  k b n a , , x n  a  n b n a  b
     On désigne par S n l’aire des rectangles circonscrits, s n l’aire des rectangles inscrits et I l’aire
limitée par la courbe C f , l’axe ox et les droites x  a et x  b.
     Tous les rectangles de la figure ont pour longueur bna et pour hauteur:
          i) Pour les rectangles inscrits:
     M 1 , M 2 , , M n où M k  sup f x /x k x x k1
          ii) Pour les rectangles circonscrits:
     m 1 , m 2 , , m n où m k  inf f x /x k x x k1
     D’où
                                                                                                   n
                          sn  b n a m1  m2    mn  b n a                                            mk
                                                                                                   k1
et
                                                                                                    n
                         Sn  b n a M1  M2    Mn  b n a                                             Mk
                                                                                                   k1
On a:
                                                           sn       I    Sn
2) Intégrale de Riemann
Définition 2:
    On dit qu’une fonction f est intégrable sur l’intervalle fermé borné a, b si
                                          lim s  nlim S n
                                          n Ý n       Ý
                            b
Cette limite est notée: I  Þ f x dx
                             a
a et b sont appelées les bornes de l’intégrale définie.
I ne dépend que de f et de l’intervalle fermé borné a, b .
Définition 3:
     On appelle aire algébrique limitée par la courbe C f , l’axe ox et les doites x  a et x  b
l’intégrale définie (ou intégrale) de f sur l’intervalle fermé borné a, b .
Remarque 1: Cette intégrale peut être positive ( 0), négative ( 0) ou nulle ( 0).
Définition 4:
     Soit P une partition quelconque de l’intervalle fermé borné a, b :
                               P  x0  a  x1    xn 1  xn  b
     et
                            c1     x0, x1 , c2     x 1 , x 2 , c n xn 1, xn
     Si l’on considére la somme
                                                                                           n
         n  x1     x0 f c1  x2          x2 f c2    xn             xn   1   f cn          xk   xk   1   f ck
                                                                                          k1
    On dit que f est intégrable au sens de Riemann, si lim  n existe et est finie.
                                                                 n Ý
                              b
       Cette limite est notée Þ f x dx , elle est indépendante du choix de la subdivision (partition)
                                    a
P et est appelée intégrale de Riemann de f dans l’intervalle fermé borné a, b .
        n est appelé somme de Riemann de f sur l’intervalle fermé borné a, b .
       D’où l’intégrale de f est la limite des sommes de Riemann.
Remarques fondamentales :
       i) les points c i   x i 1 , x i et ne sont pas donnés explicitement.
       ii) Dans la section précédente, s n et S n sont également des sommes de Riemann. Dans le cas
S n , par exemple, chaque c i etait choisi tel que f c i donnait le maximum de la fonction dans le
sous intervalle x i , x i1 . De plus, les x i étaient égaux
Exemple 3:
       Soit f la fonction constante sur l’intervalle fermé borné a, b :c’est à dire
                                           f x  C pour tout x     a, b .
       On considère une partition régulière de a, b (on a n parties égales de longueur bna
     x 0  a, x 1  a  b n a , x 2  a  2 b n a , , x k  a  k b n a , , x n  a  n b n a  b
       On a
                                      n                         n
                 sn  Sn  b n a           f xk    bna               C  b n a nC  b               aC
                                     k1                        k1
    Donc
                                             Þ a C dx 
                                              b
                                                            b         aC
Définition 5:
       i) Une fonction f : a, b      IR est dite une fonction en escalier s’il existe une subdivision
P  x 0  a, x 1 , . . . , x n  b de a, b telle que f soit constante sur chaque intervalle x i , x i1 .
       ii) Une fonction f : a, b      IR est dite une fonction continue par morceaux s’il existe une
subdivision P  x 0  a, x 1 , . . . , x n  b de a, b telle que f soit continue sur chaque intervalle
 x i , x i1 et admette une limite à gauche et à droite en tout point x i .
Exemple 4:
       Soit f : 0, 1 Î la fonction définie par:
                                                   1 si x           0, . 5
                                     fx 
                                                   2 si x           . 5, 1
    On a f est une fonction en escalier.
    Par définition de l’intégrale de Riemann, on a :
                                      Þa f x
                                       b
                                                 dx  1 . 5  2 . 5  1. 5.
Théorème 1:( à admettre)
    1) Soit P  x 0  a, x 1 , . . . , x n  b une partition de a, b , Si f est une fonction en escalier
sur a, b et f x  A i x         x i , x i1 alors
                                                        n 1
                                      Þa f x
                                       b
                                                 dx          A i x i1   xi
                                                        i0
    2) Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné a, b est intégrable sur cet
intervalle.
                                        f : a, b Î
                                                                Í f a, b
                                        f a, b
                  b
    c’est à dire Þ f x dx existe, est finie et de plus , si on note par P  x 0  a, x 1 , . . . , x n  b
                  a
                                b
une partition de a, b alors Þ f x dx  i1 x i x i 1 f c i où c i
                                                  n
                                                                        x i 1 , xi .
                               a
Remarque 2:
     i) La démonstration se fait pour les fonctions en escaliers puis pour les fonctions continues
par morceaux et par passage à la limite pour le cas général.
     ii) Une fonction bornée sur l’intervalle fermé borné a, b qui n’admet qu’un ensemble fini ou
dénombrable de points de discontinuités est intégrable sur a, b .
Exemple 5:
1) Soit f : 0, 1 Î la fonction définie par f x  x pour tout x         0, 1
     En considérant le partage de a, b en n parties égales de longueur bna
   x 0  a, x 1  a  b n a , x 2  a  2 b n a , , x k  a  k b n a , , x n  a  n b n a  b
on a :
           Sn  x1 x0 f x1  x2 x2 f x2    xn xn 1 f xn
               b n a a  b n a  a  2 b n a ,  a  n 1 b n a  a  n b n a

               b n a na  b n a 1  2    n 1  n
                            b a 2 n n1
               b a a
                               n2         2
                              b a n n1
                                     2                            2              2    2
                                                                                          a2
               ba a 2                          Î ba a 2  b         ba  a  b
                                 2        n 2                    2              2    2    2
           sn  x1 x0 f x0  x2 x2 f x1    xn xn 1 f xn 1
               b n a a  a  b n a ,  a  n 2 b n a  a  n 1 b n a

               b n a na  b n a 1  2    n 1
                           b a 2 nn 1
               b a a
                             n2       2
                                 2
                            b a nn 1                     2        2     2
                                                                                                a2
               ba a 2                     Î ba a 2  b    ba  a  b
                              2       n 2              2         2     2                        2
    D’où
                                                             2
                                      lim S n  nlim s n  b              a2
                                      n Ý         Ý      2              2
    Donc
                                                        Þ a x dx 
                                                            b
                                                    b2     a2
                                                    2      2
2) Soit f : 0, 1 Î la fonction définie par f x  x pour tout x
                                                     2
                                                                       0, 1
     En considérant le partage de a, b en n parties égales de longueur bna
   x 0  a, x 1  a  b n a , x 2  a  2 b n a , , x k  a  k b n a , , x n  a  n b n a  b
on a :
                                       n 1                                n 1
                                                                                            n n  1 2n  1
           Þ 0 x 2 dx  nlim 1
             1
                           Ý n
                                                 k
                                                 n
                                                        2
                                                             nlim 13
                                                                 Ý n
                                                                                k 2 nlim
                                                                                       Ý
                                                                                                                          1.
                                       k0                                k0
                                                                                                  6n 3                     3
Remarque 3:
    Dans nos différents exemples, nous nous sommes limités à calculer les intégrales de
fonctions polynomiales. Cependant lorsque il s’agit d’évaluer des intégrales de fonctions telles
que x , sin x , e x , etc..., la méthode décrite plus haut est impraticable. Avant de décrire
quelques méthodes de base pour évaluer une intégrale définie, nous allons énoncer les propriétés
de cette dernière.
3) Propriétés de l’intégrale
Théorème 2:
    Lorsque l’intervalle d’intégration a, b est fixé, l’intégrale de Riemann est une forme linéaire
c’est à dire pour f et g intégrable sur l’intervalle fermé borné a, b et pour tout     on a:
                                       b                              b                 b
                                     Þ a f  g x dx  Þ a f x dx  Þ a g x dx
                                       b                             b
                                     Þ a f x dx   Þ a f x dx
Preuve:
   Soient P  x 0 , x 1 , , x n                une partition régulière de a, b (x k  a  k bna ).
       i) Notons,
     m k f  inf f x /x           x k , x k1                        , M k f  sup f x /x                  x k , x k1
     m k g  inf g x /x            x k , x k1                       , M k g  sup g x /x                   x k , x k1
     m k f  g  inf f  g x /x                       x k , x k1    , M k f  g  sup f  g x /x                         x k , x k1
                                                            n                                 n
                           sn f  b n a                         mk f , Sn f  b n a                Mk f
                                                        k1                                  k1
                                                        n                                      n
                          sn g  b n a                          mk g , Sn g  b n a                Mk g
                                                       k1                                   k1
                                                  n                                                 n
                  sn f  g  b n a                      mk f  g , Sn f  g  b n a                      Mk f  g .
                                                k1                                                k1
    On a
                                                 mk f  mk g               mk f  g
car pour tout x     x k , x k1
           m k f  inf f x /x              x k , x k1              fx
                                                                                 Í mk f  mk g                  f x g x
           m k g  inf g x /x                   x k , x k1          gx
donc m k f  m k g est un minorant de l’ensemble f  g x /x        x k , x k1                                 et m k f  g est le
plus grand des minorants de l’ensemble f  g x /x    x k , x k1 . d’où
                                  mk f  mk g    mk f  g .
    De même on a
                                                Mk f  Mk g                  Mk f  g
car pour tout x      x k , x k1
           M k f  inf f x /x                x k , x k1              fx
                                                                                  Í Mk f  Mk g                f x g x
           M k g  inf g x /x                 x k , x k1             gx
donc M k f  M k g est un majorant de l’ensemble f  g x /x           x k , x k1 et M k f  g est le
plus petit des majorants de l’ensemble f  g x /x     x k , x k1 . d’où
                                   Mk f  Mk g    Mk f  g .
    D’où
                     mk f  mk g     mk f  g   Mk f  g          Mk f  Mk g
et
                       sn f  sn g    sn f  g  Sn f  g         Sn f  Sn g
           Í nlim s n f  s n g
                Ý
                                                  lim s
                                                  n Ý n
                                                                 fg         lim S n f  g
                                                                             n Ý
                                                                                                    lim S n f  S n g
                                                                                                    n Ý
f et g intégrable implique
                  lim n   Ý s n   f  lim n       Ý S n    f
                                                                           Í nlim s n f  g  nlim S n f  g
                                                                                Ý               Ý
                  lim n   Ý s n   g  lim n        Ý S n      g
d’où f  g est intégrable et on a
                    Þa f x    dx  Þ g x dx                     Þa f  g                   Þa f x   dx  Þ g x dx
                     b                   b                        b                         b              b
                Í                                                            x dx
                                         a                                                                 a
d’où
                                    Þa f x       dx  Þ g x dx                  Þa f  g
                                     b                      b                     b
                                                                                                x dx
                                                            a
    ii)
                                                                             n
                                                s n f  b n a                    m k f
                                                                            k1
                                                                             n
                                                S n f  b n a                    M k f
                                                                            k1

                                      m k f  inf f x , x                           x k , x k1
                                                                 m k f      si        0
                                                    
                                                                 M k f      si        0

                                     M k f  sup f x , x                            x k , x k1
                                                                 M k f      si        0
                                                    
                                                                 m k f      si        0
    d’où si      0 on a
                                                           s n f  s n f
                                                           S n f  S n f
                 lim n   Ý s n       f   lim n                Ý s n   f
                                                                                                  Þ a f           x dx   Þ f x dx
                                                                                                      b                       b
           Í                                                                                 Í
                 lim n     Ý S n      f   lim n                   Ý S n   f                                             a

de même si      0 on a
                                                                  s n f  S n f
                                                                  S n f  s n f

                 lim n   Ý s n       f   lim n                Ý S n   f
                                                                                                  Þ a f       x dx   Þ f x dx
                                                                                                      b                       b
           Í                                                                              Í
                  lim n    Ý S n      f   lim n                   Ý s n   f                                             a

d’où
                                        Þ a f         x dx   Þ f x dx ,
                                            b                                   b
                                                                                                           
                                                                                a
Propriété 1: Pour toute fonction f intégrable dans a, b , on a:
   i)
                                                      Þa f x
                                                          a
                                                                       dx  0 , a                 IR
   ii) Relation de Chasles
                             Þa f x                       Þa f x           dx  Þ f x dx , c
                                  b                           c                     b
                                                dx                                                                    a, b
                                                                                    c
   iii)
                                                      Þa f x                        Þb f x
                                                          b                          a
                                                                       dx                       dx
Preuve:
   i) sur l’intervalle a, a  a f est une constante et est égale à f a .
                          Þa f a                                                         Þ a C dx 
                            a                                                                b
                                         dx  a                   a f a  0.                                       b     aC
   ii) Soient un partage de a, c en n intervalles par les points x i i : x 0  a  x 1    x n  c
   et un partage de c, b en n intervalles par les points y i i : y 0  c  y 1    y n  b.
   Et soient  1 ,  2 , ,  n telle que  k  x k , x k1 et  1 ,  2 , ,  n telle que  k y k , y k1 .
                                                                          n
   Notons  a,c  x 1 x 0 f  1    x n x n 1 f  n  k1 x k x k 1 f  k
             n
                                                                   n
   et  b,c  y 1 y 0 f  1    y n y n 1 f  n  k1 y k y k 1 f  k .
        n
   D’autre part soit le partage de a, b en 2n  1 intervalles par les points x i i et y i i :
                        x 0  a  x 1    x n  c  y 0  y 1    y n  b.
   Et notons
                              a,b  x 1 x 0 f  1    x n x n 1 f  n
                               n

                                          y1                y0 f 1    yn                        yn   1   f n
                                                n                                        n
                                                     yk          yk   1   f k                 xk       xk   1   f k
                                                k1                                      k1

                                            a,c
                                              n           c,b
                                                            n

                                                 Í nlim  a,c   c,b  nlim  a,b
                                                      Ý n        n        Ý n
et d’après la remarque 1 on a:
                                    c
            lim n   Ý  n
                         a,c
                                Þ f x dx
                                    a
                                    b
            lim n Ý  c,b
                       n        Þ f x dx
                                    c
                                                                                             Þa f x                       Þa f x    dx  Þ f x dx
                                                                                                 b                            c           b
            lim n Ý  a,b
                                    b
                                Þ f x dx                                           Í                            dx 
                       n                                                                                                                  c
                                    a

            lim n Ý  a,c
                       n           c,b
                                     n           lim n Ý  a,b
                                                             n



     iii) d’après ii)
                                                Þa f x                  Þa f x        dx  Þ f x dx
                                                  c                        b                             c
                                                              dx 
                                                                                                         b
pour c  a on a d’après i)
                                                  Þa f x                   Þa f x            dx  Þ f x dx
                                                      a                        b                             a
                                           0                     dx 
                                                                                                             b


                                                              Þa f x                     Þb f x
                                                                  b                              a
                                                      Í                    dx                                   dx
Propriété 2 : Pour toute fonction f et g intégrables dans a, b , on a:
   i)
                                                                                     Þa f x
                                                                                         b
                                                a  bf  0 a, b Í                                        dx  0.
     ii)
                                                                               Þa f x                        Þa g x
                                                                                b                                b
                                     a  bf               g a, b Í                               dx                           dx
     iii) pour a  b on a:
                                                          |Þ f x dx|                Þ b |f x | dx
                                                              b                      a

                                                              a
Preuve:
   i)
                                        n
                        Sn f                   Mk f              0M k f  sup f x /x                                 x k , x k1     0
                                        k1


                                                                                         Þa f x
                                                                                             b
                                                Í nlim S n f
                                                     Ý
                                                                               0Í                            dx           0
     ii)
                                                          f       gÍhg                          f       0.
Or
                                           Þa h x                     Þa g x                     Þa f x
                                            b                          b                             b
                                                          dx                       dx                               dx       0

                                                              Þa f x                  Þa g x
                                                                  b                          b
                                                          Í                dx                                dx
     iii) On a
                                                      |f x | f x                |f x |               x           a, b
et d’après ii) on a
                                                Þ a |f x | dx Þ a f x                                    Þ a |f x | dx
                                                  b                        b                                 b
                                                                                         dx

                                                              Þa f x                     Þ a |f x | dx
                                                                  b                              b
                                                      Í                    dx
Théorème 3:
    Soit f une fonction bornée sur l’intervalle fermé borné a, b .
    i) Si les réels m et M sont telque:
                                     m fx        M,    x    a, b
alors
                                                                    Þa f x
                                                                        b
                                       mb           a                             dx              Mb        a
    ii) Si
                                                |f x | M,                        x               a, b
alors
                                                    Þa f x
                                                        b
                                                                        dx           Mb             a

Preuve:
   i)
                                      m                     fx              M            x         a, b
alors on a d’après ii) de la propriété 2
                                           Þ a m dx Þ a f x                                       Þ a M dx
                                            b                           b                           b
                                                                                  dx
    Or on a
                              Þ a m dx  m b                                     Þ a M dx  M b
                                  b                                                  b
                                                                        a ,                                             a
d’où
                                                                    Þa f x
                                                                        b
                                       mb           a                             dx              Mb        a
    ii)
                                          |f x | M                               x               a, b
alors on a d’après ii) et iii) de la propriété 2
                          Þa f x                        Þ a |f x | dx Þ a M dx  M b
                              b                             b                                b
                                           dx                                                                                   a

                                                        Þa f x
                                                            b
                                                Í                           dx               Mb         a

Théorème 4: (Théorème de la moyenne)
   Si f est continue sur l’intervalle fermé borné a, b , a  b, alors il existe c                                                        a, b telque
                                                                    Þa f x
                                                                        b
                                                        1                         dx  f c
                                                    b           a
Preuve:
   Si f est continue sur a, b fermé borné Í il existe m et M telque
                        f a, b  m, M Ê m f x             M x       a, b

                                      Þa f x                                                                            Þa f x
                                       b                                                                                    b
               Ímb        a                     dx                  Mb           a Êm                           1                   dx    M
                                                                                                            b       a
donc
                                                                Þa f x
                                                                    b
                                                    1                            dx              m, M
                                                b           a
                           b
                 1
                b a
                       Þ a f x dx              m, M

                                                                                                                                       Þa f x
                                                                                                                                        b
                f a, b                                           Í                   c           a, b f c                     1                dx
                f a, b                m, M                                                                                b       a


Autre démonstration:
   Si f est continue sur l’intervalle fermé borné a, b Í il existe m et M telque
                       f a, b  m, M Ê m f x              M, x          a, b

                                                                x0           a, b f x 0  m
                                               Í
                                                                x1           a, b f x 0  M
   Soit
                                                                                                 Þa f x
                                                                                                     b
                                               gx fx                            1                                dx
                                                                             b           a
On a g est continue sur a, b et
                                                                                     Þa f x
                                                                                          b
                                            g x0  m                     1                                   dx        0
                                                                 b               a
                                                                                         Þa f x
                                                                                             b
                                            g x1  M                     1                                   dx        0
                                                                     b           a
                                      g a, b
                                      g x0 g x1             0                Í                c              a, b g c  0



                                                                                          Þa f x
                                                                                                 b
                                                Ífc                         1                                 dx
                                                                         b           a
Exemple 6:
   Trouver la limite suivante:
                                                                             n
                                                     lim 2
                                                     n Ý n
                                                                                     cos k
                                                                                         2n
                                                                         k0
                                                
   On a f x  cos x , a, b  0,                 2
   (car pour k  0 on a a  02n  0 et pour k  n on a b                                                        n 
                                                                                                                   2n
                                                                                                                              
                                                                                                                               2
                                                                                                                                   )
   et x k  a  k bna  k .
                        2n
                               n                       n                                                                                       
               b
                   n
                       a             f xk    
                                              2n
                                                            cos k
                                                                2n
                                                                                         Î           Þ0  2
                                                                                                              cos x dx  sin x                  2
                                                                                                                                                0   1
                               k0                    k0
                                                n                                                                      n
                                   2
                           Í nlim n                 cos k                   42 nlim                                    cos k
                                Ý
                                               k0
                                                         2n                         Ý 2n
                                                                                                                    k0
                                                                                                                               2n
                                                                                                         

                                                                              42 Þ cos x dx
                                                                                                         2

                                                                                0
                                                                                         
                                                                              42 sin x 02
                                                                               
                                                                              42
                                                                               
II Fonction définie par une Intégrale.
    Soit f une fonction bornée sur l’intervalle fermé borné a, b .
    Si f est intégrable sur a, b , alors on peut définir une nouvelle fonction sur a, b par:
                                              Þa f t
                                               x
                                 Fx                     dt, pour tout x              a, b
Théorème 5:
                                                                      x
     Si f est intégrable sur a, b , alors la fonction F : x a, b Ì Þ f t dt est continue sur
                                                                      a
 a, b .
Preuve:
     Comme f est bornée sur l’intervalle fermé borné a, b , alors il existe M  0 telque pour tout
 x      a, b |f x | M. Soit x 0      a, b , on a:
                                                Þa f t             Þa                     Þx
                                                    x               x0                     x
                         Fx      F x0                        dt         f t dt                   f t dt
                                                                                               0

d’après la propriété 2 iii) et le théorème 3 ii) on a:
                                 Þx                      Þ x |f t | dt
                                   x                       x
                                           f t dt                             M|x         x0|
                                       0                       0


                                    Í |F x F x 0 |                       M|x        x0|
D’où       0         M
                            0    x  a, b vérifiant
                                 |x x 0 |  Í |F x F x 0 |  .
Ce qui montre que F est continue en x 0 , x 0     a, b .
Donc F est continue sur a, b .
Théorème 6:
   Soit f une fonction intégrable sur a, b et à valeurs réelles.
                                                         x
   Si f est continue sur a, b , alors F : x   a, b Ì Þ f t dt est différentiable sur a, b et on a:
                                                                         a
                                            F x fx,                x        a, b
Preuve:
   Soit x 0   a, b , montrons que F est différentiable sur a, b .
   Cherchons la limite lorsque h tend vers 0 de
                                        F x0  h f x0
                                                 h
   On a :
                   F x0  h f x0
                                      1 Þ f t dt Þ f t dt  1                                          Þx
                                              x           x0                                                x
                                                                                                                    f t dt
                          h             h a               a             h                                       0

   D’après le théorème de la moyenne, il existe c x 0 , x 0  h tel que:
                            F x0  h f x0
                                                 1 Þ f t dt  f c
                                                       x

                                    h              h x0
                                              f Í lim f c  f x 0
                                                        h 0
(car x 0   c    x 0  h qui tend vers x 0 quand h tend vers 0 d’où c tend vers x 0 quand h tend vers 0)
                                             F x0  h f x0
                                   Í lim                        f x0
                                         h 0        h
    Ce qui montre que F est différentiable en x 0 , x 0       a, b .
    Donc F est différentiable sur a, b .
Définition 6:
    Une fonction F telleque
                                       F x fx,         x     a, b
est dite primitive de f sur a, b . La fonction F est définie à une constante additive près.
Corollaire 1:
   Soient f : a, b Î continue, g et h deux fonctions différentiables sur a, b , alors:
                  gx
       i) F x  Þ f t dt est différentiable sur a, b et on a
                       a
                                   F x f gx g x ,              x    a, b
                  hx
    ii) F x  Þ        f t dt est différentiable sur a, b et on a
                  gx

                            F x f hx h x              f gx g x ,      x      a, b
Preuve:
                                        gx
   i) Posons F x  H g x           Þ        f t dt.
                                        a

                                     yÎHy
                                                        ÍyÎH gy
                                     yÎgy
    On a d’après le théorème dérivation des fonctions composées que
                             F x  H g x H gx g x.
                           y
    De plus on a H y  Þ f t dt Í H y  f y .
                           a
    D’où F x  f g x g x .
                         gx                    hx
    ii) Posons F 1 x  Þ f t dt et F 2 x  Þ f t dt.
                         a                     a
    On a F x  F 1 x F 2 x .
    D’après i) on a
                                  x Î F1 x
                                                       Í x Î F2 x    F1 x
                                  x Î F2 x
comme différence de deux fonctions différentiables.
                                        Þa
                                            gx
                              F1 x              f t dt Í F 1 x  f g x g x

                                        Þa
                                            hx
                              F2 x              f t dt Í F 2 x  f h x h x
et par la suite
                           Í F x  F2 x           F1 x  f h x h x     fgx g x
III - Calcul des intégrales
1) Calcul au moyen d’une primitive
Théorème 7:
    Deux primitives d’une même fonction f différent d’une constante.
    i.e. si F et G sont deux primitives de f alors F  G  C, où C est une constante.
Preuve :
    Soit H x  F x G x Í H x  F x G x  f x f x  0
    car F x  G x  f x
                                  Í H x  C  F x  G x C
Théorème 8:
    Si F est une primitive de f sur a, b c’est à dire F x  f x ,      x    a, b , alors
                                         Þa f t
                                          b
                                                      dt  F b                Fa
Preuve :
                                              x
   Soit G la primitive de f sur a, x , G x  Þ f t dt. on a
                                                              a

                                                              Þa f t
                                                                  a
                                          Ga                             dt  0
    D’après le théorème 7 on a G x  F x  C Í 0  G a  F a  C Í C  F a .
                                              Þa f t
                                                  x
                                  Gx                             dt  F x         Fa
    Pour x  b, on a
                                              Þa f t
                                                  b
                                 Gb                              dt  F b         Fa
2) Calcul au moyen d’un changement de variable
Théorème 9: (un changement de variable est bijectif)
    Soit  : ,  Î une fonction continûment différentiable ( on dit de classe C 1 ) et soit f une
fonction continue sur a, b avec a    et b    . Alors
                                                               
                                   Þa f t                 Þ f  x
                                    b
                                              dt                             x dx
Preuve :
   On a f continue sur a, b , donc f est intégrable sur a, b .
   On considére la fonction
                                                  Þa f t
                                                      x
                                    Fx                               dt , F a  0
    Si on pose G t  F  t , on a G est différentiable sur ,  (car c’est la composée de deux
fonctions différentiables F et ) et
                               G t F t  t ft  t
                                     
                               Í   Þ G       t dt  G                      G
                                                                      
                                                                  Þ f  t       t dt

                                                           F                    F
                                                          Fb                Fa Fb

                                                                   Þa f t
                                                                      b
                                                                           dt
Exemple 7:
                                                          1                              1
   1) Calculons l’intégrale de la fonction                            sur l’intervalle   2
                                                                                             ,1 .
                                                      1 t2
    Posons  x  cos x Í  x                 sin x .
    cos x  1 Ê x  0 et cos x  1 Ê x   .
                                  2          3

       ft     1    Ífx              1                                                                                    1                              1        1
              1 t2                  1 cos 2 x                                                                              sin 2 x                       |sin x |   sin x
                                           
car sin x         0 pour x            0,   3

                                                    Þ                                                  Þ
                                                        1                                                  0         sin x
                                                                        1               dt                                            dx
                                                        1
                                                        2           1       t   2                          
                                                                                                           3
                                                                                                                    sin x
                                                                                                           

                                                                                                      Þ0  3
                                                                                                                   dx

                                                                                               
                                                                                                 3
                                                                                    t                                                   3
    2) Calculons l’intégrale de la fonction 1t 2                                            sur l’intervalle                           3
                                                                                                                                               ,1 .
    i) Posons  x  x Í  x  1  2 x .
     x  1 Ê x   et  x  3 Ê x   .
                                       3
                       4                          6
                                         t                                                                                         x
                              ft            Ífx                                                                      
                                      1  t2                                                                               1       2
                                                                                                                                           x
                                                                                          

                                       Þ                                             Þ
                                           1          t
                                                           dt 
                                                                                          4                x               1      2
                                                                                                                                        x          dx
                                               3
                                                3
                                                    1  t2                                
                                                                                          6
                                                                                                  1           2
                                                                                                                   x
                                                                                          

                                                                                    Þ0   3
                                                                                                  x dx
                                                                                                           

                                                                                         x2               4

                                                                                          2                
                                                                                                           6


                                               
                                                    2
                                                        1    1
                                                   2 16     36
                                               
                                                    2
                                                       1  1
                                                   8 4    9
                                                 5 2
                                                  288
    ii) Il est plu simple cependant de remarquer que arctan t                                                                                   1
                                                                                                                                                1t 2
                                                                                                                                                         .
    Comme Þ f t f t dt  1 f 2 t  Þ 1t 2 dt  1 arctan 2 t.
                                         arctan t
                             2                         2
                                                                                                                                                1
    3) Calculons l’intégrale de la fonction t 2 sur l’intervalle 0,                                                                             2
                                                                                                                                                     .
                                                                                    1 t
    Posons  x              1        x2       Í x                                 x
                                                                                              .
                                                                                    1 x2
                                                                                                  3
     x  0 Ê x  1 et  x                                 1
                                                            2
                                                                    Ê x                         2
                                                                                                       .
                             t                                                                    1            x2                              1        x2       1       x2
            ft                            Ífx                                                                                                                   x
                        1        t2                                                  1                 1           x2      2                        x2
              1
car x    0,   2
                                           1                                                  3
                                                                                                                    x2
                                      Þ0   2            t
                                                                2
                                                                        dt             Þ1   2             1
                                                                                                               x
                                                                                                                                       x            dx
                                                    1       t                                                                  1           x2
                                                                                                   3

                                                                                         Þ1      2
                                                                                                           dx

                                                   3
                                                                                1
                                                   2
3) Calcul au moyen d’une intégration par parties
Théorème 10:
    Soit f et g deux fonctions continûment dérivable sur a, b .
    Alors
                            Þa f                                       Þa f t g
                              b                                             b
                                    t g t dt  f t g t         b
                                                               a                              t dt
Preuve :
   On a la relation
                                        ftgt        f t g t f t g t

                            Þa f t g t               Þa f t g t        dt  Þ f t g t dt
                             b                        b                                 b
                        Í                   dt 
                                                                                        a

                                                    ftgt          b
                                                                   a
d’où
                            Þa f                                       Þa f t g
                              b                                             b
                                    t g t dt  f t g t         b
                                                               a                              t dt
Exemples 8:
   1) Calculons l’intégrale de la fonction t log t sur l’intervalle 1, 3 .
                                                2
                                      ft  t Íf t t
                                               2
                                   g t  log t Í g t  1
                                                               t

                            Þ1 f                                       Þ1 f t g
                             3                                             3
                                   t g t dt  f t g t         3
                                                              1                               t dt
                                                                       3
                                                                                   Þ1
                                                                                    3
                                                    t 2 log t                              t 2 1 dt
                                                     2                 1                    2 t
                                                                                    3
                                            9 log 3        t2
                                             2              4                       1

                                            9 log 3      9                        1
                                             2            4                         4
                                            9 log 3 2
                                             2
    2) Calculons l’intégrale de la fonction t sur l’intervalle                      0, 1 .
                                     ft tÍf t 1
                                  gt  t Íg t                1
                                                            1                       t2

                                   Þ0                         Þ0
                                    1                          1
                                        t dt  t t        1                    t             dt
                                                          0
                                                                       1           t2
                                                                                    1
                                                1               1         t2
                                                                                    0
                                                        1
                                                 2
Corollaire 2:
   Soit f : a, b Î    n  1 fois continûment dérivable. Alors
                                       b a 2                b a                                   n
            f b  f a  b af a               f a                                                  f   n
                                                                                                              a  R n a, b
                          1!            2!                    n!
avec
                                                      Þa b
                                                          b
                                   R n a, b  1                t nf        n1
                                                                                    t dt
                                              n!
Preuve :
   Démonstration par récurrence.
   Pour n  1 on a
                              f a  1 Þ b t 0 f t dt  Þ f t dt
                                            b               b
                          fb
                                       1! a                 a
   Supposons que la relation soit vraie jusqu’à l’ordre n 1
                                    b a 2                b a n1 n1
      f b  f a  b af a                   f a             f   a  Rn                                                           1    a, b
                      1!              2!                  n 1!
avec
                                                                   Þa b
                                                                       b
                               Rn   1   a, b      1    t n 1 f n t dt
                                            n 1!
   Par intégration par parties de R n 1 a, b , on a :
                                         b t n
                              ft           n     Íf t  b t n1
                                  g t  f n t Í g t  f n1 t
                                                               n                  b                                 n
                                                                                              Þa
                                                  b        t                                      b     b       t
           Í Rn   1   a, b             1                          f   n
                                                                            t                                           f   n1
                                                                                                                                  t dt
                                n           1!         n                                                    n
                                                                                  a
                                                                                      n
                           1 b a nf n a  Þ
                                                b    b t                                      n1
                                                      n                                   f           t dt
                            n!                  a
                                  n
                             b a
                                   f n a  R n a, b
                               n!
d’où
                                                       2                                                n
          fb fa  b            af a  b           a
                                                           f a 
                                                                                              b     a
                                                                                                            f   n
                                                                                                                    a  R n a, b
                           1!                    2!                                               n!
avec
                                                       Þa b
                                                           b
                                    R n a, b  1                           t nf   n1
                                                                                              t dt
                                               n!
Propriété 3 :
   1) Périodicité :
   Soit f une fonction continue sur , T périodique, Alors
                                                 Þa
                                                   aT
                                                           f t dt a
     2) Parité :
     Soit f une fonction continue sur . Pour tout a                                    on a:
                                                        Þ af t            dt  2 Þ f t dt
                                                            a                               a
                                                   i
                                                                                            0

                                                        Þ af t
                                                             a
                                                   ii                        dt  0
Preuve :
                    x
   1) Posons F x  Þ f t dt
                          a

                                                                                       Þx
                                                                                           xT
                                               F xT                 Fx                         f t dt

                                              F xT                  F x  f xT                           fx 0
                                                   Í F xT                           Fx C
d’où
                                                       Þx                             Þa
                                                        xT                            aT
                                                                 f t dt                        f t dt
     2) i)
                                              Þ af t                 Þ af t            dt  Þ f t dt
                                               a                         0                        a
                                                            dt 
                                                                                                  0

                                                                          Þ0         f t dt  Þ f t dt
                                                                                 a                     a
                                                                 
                                                                                                       0

                                                                  2 Þ f t dt
                                                                             a

                                                                             0
 0                 a
Þ a f t dt  Þ 0 f t dt (changement de variables u  t Í u  dt et f t  f t car f est
paire).
    2) ii)
                                              Þ af t                 Þ af t            dt  Þ f t dt
                                               a                         0                        a
                                                            dt 
                                                                                                  0

                                                                          Þ0         f t dt  Þ f t dt
                                                                                 a                     a
                                                                 
                                                                                                       0

                                                                          Þ0 f t        dt  Þ f t dt
                                                                             a                        a
                                                                 
                                                                                                   0
                                                                 0
Exemple 9:
   1)
                                                             Þ1
                                                                 1
                                                                       t    dt  0
                                                                     1  t2
     2)
                                                                                                            
                              Þ   2

                                      
                                          cos t dt  2 Þ cos t dt  2 sin t
                                                                     0
                                                                      2                                       2
                                                                                                              0   2
                                      2

     3) t Î cos 2t est périodique de période  et paire.
                                                                                                                                

  Þa                           Þ                                     dt  2 Þ
     a                                                                                                                 sin 2t   2
           1  cos 2t   dt                   1  cos 2t                                     1  cos 2t       dt  2 t               
                                      2                                                2

                                          
                                          2
                                                                                       0                                    2     0
IV -Calcul des Primitives : Techniques de base
Définition 7: D’une primitive d’une fonction.
    Soit f une fonction continue. Une primitive de f est une fonction F dont f est la dérivée.
    Connaissant une primitive F de f, on obtient toutes les autres primitives de f par la relation:
G x  F x  C où C est une constante.
    Une primitive de f est appelée encore l’intégrale indéfinie de f et est notée Þ f t dt. Elle est
définie à une constante additive près.
1) Tableau des primitives
                   Þ a dt  at, a                                   Þ t dt                 t2
                                                                                            2

                   Þ    dt
                       2 t
                                       t                           Þ   dt
                                                                        t2
                                                                                  dt            1
                                                                                                 t

                   Þ cos t dt  sin t                               Þ sin t dt  cos t
                   Þ     dt
                       cos 2 t
                                      dt  t                        Þ 1  2 t dt  t
                   Þ        dt
                                       arcsin t                    Þ             dt
                                                                                              arccos t
                           1 t2                                               1 t2

                   Þ    dt
                       1t 2
                                      t                            Þ t dt  t
                   Þ t dt  t                                       Þ1             2
                                                                                        t        dt  t
                   Þ   2
                        dt
                         t
                                   t                               Þ        dt
                                                                                        dt  t
                                                                         t2 1

                   Þ        dt
                                       t                           Þ    dt
                                                                        1 t2
                                                                                       dt  t
                           1 t2

                   Þ        dt
                                      dt  log x  x 2       1      Þ        dt
                                                                                         log x  x 2  1
                           t2 1                                          1 t2

                   Þ    dt
                       1 t2
                                     dt    1
                                            2
                                                log   x1
                                                      1 x
                                                                    Þ t  dt                  1 1
                                                                                              1
                                                                                                  t
                   Þ   dt
                       t
                                      1   1
                                      1  t 1
                                                 , 



2) Intégration par parties
    Soient u et v deux fonctions continûment dérivables, alors on a:
                                                       Þ u dv  uv Þ v du
Exemple 10 :
   I  Þ t 2 e t dt
                            u  t 2 Í du  2t dt
                                                                               Í    Þ t 2 e t dt  t 2 e t   2 Þ te t dt
                            ve      t
                                          Í dv  e dt        t


    Calculons J  Þ te t dt
                  ut           Í du  t dt
                                                                     Í       Þ te t dt  te t Þ e t dt  te t           et  C1
                  ve       t
                                Í dv  e t dt
d’où
                                              I    Þ t 2 e t dt  t 2 e t           2te t  2e t  C
3) Changement de variables
    On calcule une intégrale indéfinie avec la méthode de changement de variables suivant :
    Si t   x avec  une fonction continument dérivable, alors on a
                                                    Þf t         dt      Þf  x           x dx
Exemple 11:
   I  Þ t 1  3t 2 dt posons x                     1  3t 2 Ê x 2  1  3t 2 Ê t 2                            x2 1
                                                                                                                   3
    Í 2t dt  3 Í t dt  3
                                I   Þt       1  3t 2 dt               Þx 3
                                                                            x      dx    Þ   x 2 dx  x 3  C
                                                                                              3        9
d’où l’on a:
                                               Þt
                                                                   3
                                     1  3t 2 dt  1
                                          I             1  3t 2    C
                                                    9
4) Intégration des fonctions rationnelles réelles.
                 Pt
    Soit F t  Q t une fraction rationnelle réelle, où P et Q sont des polynômes.
    Pour calculer une primitive de F, on décompose la fraction rationnelle en éléments simples
dans et on intégre chaque terme de cette décomposition.
Exemple 12:
    Calculons la primitive de la fraction rationnelle F t  t 2 14 2
    On cherche les racines du dénominateur t 2 4 2 .
     t 2 4 2  t 2 2 t  2 2 Í t  2 et t  2 sont des racines du dénominateur.
                 Ft  2 1 2            A        B     C          D
                           t 4        t 2       t 2  2    t2       t2 2
                                                                                                         2
                                                 1                                            Ct 2               Dt 2 2
                      t    2 2F t                               At            2 B                        
                                                t2      2                                     t2                t2 2
    Pour t  2 on a B               1
                                     16
                                                   1                     A t2        2
                                                                                              B t2 2
                          t  2 2F t                        2
                                                                                                    C t2 D
                                                 t 2                       t 2                 t 2 2
    Pour t  2 on a D                   1
                                         16

               F t Ft ÍF t                                         A B      C       D
                                                                 t   t 2 2
                                                                         2     t2      t2                                   2


                                                              A    B       C       D
                                                             t2   t2 2    t 2    t 2 2
                                                             A     B    C         D
                                                             t 2   t 2 2    t2    t2 2
Í A  C et B  D                    1
                                    16
                                         .
  Pour t  0 , on a
                        F 0  1  A  B  C  D  C                                                         B  C 1
                              16   2    4   2  4                                                             2      32
                                 ÍC 1     1  1 A                                                           1
                                     16   32   32                                                            32
d’où
               Ft                  1                            1                   1                   1         1
                            t2          4    2        32 t            2        16 t        2   2        32 t  2   16 t  2   2


         Í     Þ   t2
                        1
                            4   2
                                    dt          Þ  dt
                                                32 t 2
                                                         Þ      dt
                                                             16 t 2 2
                                                                       Þ     dt
                                                                          32 t  2
                                                                                    Þ       dt
                                                                                         16 t  2                                 2


                                              1 log|t 2|      1     1 log|t  2|     1
                                               32          16 t 2      32          16 t  2
                                              1 log t  2     1    2t
                                               32      t 2    16 t 2 4
                                              1 log t  2        t
                                               32      t 2    8 t2 4
Exemple 13:
   Calculons la primitive de la fraction rationnelle F t                                                  1
                                                                                                       t2 t3 1
   On cherche les racines du dénominateur t 2 t 3 1 .
   t 2 t 3 1  t 2 t 1 t 2  t  1 Í t  0 et t  1 sont des racines du dénominateur.
   F t  t 2 t1 1  A  tB  t C1  tDtE
              3      t     2          2 t1


                                                                                            Ct 2  t Dt  E
                                                                                                    2
                                t2F t                    1            At  B 
                                                     t3       1                            t 1      t2  t  1
   Pour t  0 on a B  1
                                           1                              At       1           Bt 1     t 1 Dt  E
           t       1Ft                                                                           C
                                    t2 t2  t  1             2                t                 t2       t2  t  1
   Pour t  1 on a C               1
                                    3

               Ft                   1
                                t2 t3 1
                                           1  Ct 2 t 2  t  1  t 2 t 1 Dt  E
                                At t 3 1  B t 3
                        
                                                t2 t3 1
                         At At  Bt B  Ct  2Ct3  Ct  Dt Dt  Et Et
                             4       3        4       3      2     4     3   3   2

                                                  t t 1
                          t A  C  D  t B  C D  E  t 2 C E At B
                           4             3
                        
                                              t2 t 1
d’où le systéme
                                    B1                                   Í B 1
                                    A0                                   Í A0
                                C        E0                              Í CE                   1
                                                                                                   3
                                BC              D  E  0 Í D  B  2C  1                                     2
                                                                                                                 3
                                                                                                                        1
                                                                                                                         3
                                ACD  0                                 Í D C                        1
                                                                                                         3

d’où
                                Ft                   1                    1    1   1 21 t
                                                 t2 t3 1                   t2   3t 1   3 t t1
                  Í   Þ        1
                          t2 t3 1
                                     dt    Þ    dt  Þ
                                                t2
                                                          dt
                                                        3t 1
                                                              1
                                                               3
                                                                                       Þ      1 t
                                                                                           t2  t  1
                                                                                                      dt

   Calculons I  Þ t 2 t1 dt.
                      1 t

    t 2  t  1  2t  1 et 1 t  1 2t  1  3 d’où
                                        2           2

                  IÞ 2                       1 Þ 2t  1 dt  3 Þ
                             1 t                                         dt
                                       dt 
                           t t1             2 t2  t  1         2 t2  t  1
                                           1 log|t 2  t  1| 3 Þ 2 dt
                                              2                 2 t t1
                              t2  t  1  t2  2 t  1  3
                                                  2   4     4
                                                    2
                                          t 1        3
                                                 2       4
                                                                               2
                                          3                2 t 1                 1
                                           4                3    2
                                                                                                           3
   En faisant le chagement de variables x              2
                                                             t   1
                                                                  2
                                                                       Í dx               2
                                                                                               dt Í dt    2
                                                                                                               dx, on a
                                                        3                                  3

                            Þ   t t1
                                2
                                   dt   4
                                         3
                                                    Þ                  dt
                                                                                   2
                                                              2
                                                                      t   1
                                                                           2
                                                                                       1
                                                              3


                                            
                                               3 4
                                                   Þ dx
                                               2 3 x2  1
                                              2 3
                                                 x  C1
                                               3
                                              2 3   2 t 1
                                                                                       C1
                                               3    3     2
d’où
                            1 log|t 2  t  1| 3           2 3        2 t 1
                    J                                                                          C1
                            2                   2            3         3    2

                           1 log|t 2  t  1| 3            2 t 1                C
                            2                                3    2
   Par suite
                                                             3
                I  1  1 log|t       1| 1 log|t 2  t  1|                       2 t 1             C
                    t   3                6                   3                     3    2
5) Intégrale se ramenant à des fractions rationnelles
5.1) Fractions rationnelles en sin et cos
    Si I  Þ F sin t , cos t dt où F est une fraction rationnelle.
    Une méthode pour calculer I consiste à faire le changement de variables
                              x  tg 2  tan 2 Ê t  2 arctan x
                                      t         t

    ce qui nous donne
                                2 dx                    2
                         dt            , cos t  1 x 2 , sin t  2x 2
                               1x  2
                                                  1x                  1x
    Et on a
                    I  Þ F sin t , cos t dt  2 Þ F      2x , 1 x 2         dx
                                                        1  x2 1  x2     1  x2
    Ainsi le calcul de laprimitive d’une fraction rationnelle en sin et cos se raméne à celui d’une
fraction rationnelle de polynomes.
Exemple 14:
                                                    1sin t
   Calculons la primitive de la fonction             cos t

                                   1  sin t                  1      2x
                                                                    1x 2           2 dx
                                                 dt 
                                     cos t                        1 x2             1  x2
                                                                  1x 2

                                                                     2 dx
                                                       1  x 2 2x
                                                             2

                                                          1 x       1  x2
                                                            1x   2    2 dx
                                                      
                                                         1 x 1  x 1  x2
                                                           2 1x
                                                                       dx
                                                         1 x 1  x2
                                   1  sin t                                      1x
                               Þ     cos t
                                                    dt  2 Þ
                                                                          1       x 1  x2
                                                                                                 dx

                                             1x
                                                                         A         Bx  C
                                     1       x 1  x2                 1       x      1  x2
                                     1x                 1 x BxC
                                     1x 2
                                               A         1x 2
                                                                                       ÍA1
                                   x1
                               1x                       1 Bx  C
                                                                 
                           1   x 1  x2              1     1  x2
                                                              x
                                                 1  x  Bx  C Bx Cx
                                                       2            2

                                                         1 x 1x  2

                                                   1 B x2  B C x  C  1
                                                
                                                          1 x 1  x2

                                                 1       B0 Í B1
                                       Í         B       C1 Í C0
                                                 C1  1 Í C  0
                                             1x                          1               x
                                                                                  
                                     1       x 1  x2                 1        x        1  x2
                                    1x
                      2Þ                             dx  2 Þ dx  Þ 2x 2 dx
                               1    x 1  x2                 1 x    1x
                                                           2 log|1                    x| log|x 2  1|C
et
                           1  sin t
                       Þ     cos t
                                             dt  2 log|1                     t | log| t
                                                                              2         2
                                                                                                 2
                                                                                                      1|C

Remarque 4:
    i)Le changement de variable x  tan 2 n’est pas unique.
                                          t

    On peut utiliser tout autre changement de variables qui soit plus simple.
    ii) Le changement de variables x  tan 2 serait maladroit si l’intégrale I est l’un des types
                                            t

suivants:
                               aI   Þ F sin t cos t dt u  sin t
                               b I  Þ F cos t sin t dt u  cos t

                               c I  ÞF t       dt    dt u  t
                                              cos 2 t
Exemple 15:
                                                               sin t
   1) Calculons la primitive de la fonction               cos 2 t cos t
     Effectuons le changement de variables u  cos t Í du  sin t dt d’où
                               Þ cos 2 sin tcos t dt  Þ u 2 duu
                                       t
                            GU              1                       1         A  B
                                         u       u2            u1          u     u  1 u

                                    uG u  A                   Bu
                                                                1 u
                                                                               ÍA1
                                    u0

                                                           A1 u
                                1       uGu                u             B
                                                                                   ÍB1
                               u1

                                        Í             1           1  1
                                                 u1        u       u  1 u

                               Þ    u
                                        1
                                            u2
                                                  du       Þ
                                                          1 du  Þ 1 du
                                                          u         1 u
                                                       log|u| log|u 1|C
et
                        Þ       sin t
                            cos t cos t
                                                   dt  log|cos t | log|cos t                   1|C

                                                                       cos t
                                                           log                      C
                                                                      1 cos t
                                                           cos t
     2) Calculons la primitive de la fonction             acos 2 t
                                                                          ,a   


                   I   Þ cos t
                        a  cos t
                               2
                                    dt 
                                                cos t
                                          a  1 cos t 1
                                                     2
                                                              
                                                                     cos t
                                                                a  1 sin 2 t
     Effectuons le changement de variable u  sin t Í du  cos t dt d’où
                        IÞ                   dt  Þ
                                  cos t                    du
                              a  1 sin 2 t            a  1 u2
                                                  1 Þ           du
                                                    a1 1          u    2
                                                                                          a1




                                    v            u  Í du                     a  1 du
                                                 a1
                       Í    Þ        du
                                 a  1 u2
                                           1
                                           a1
                                                                        Þ   1
                                                                                  du
                                                                                    u    2
                                                                                   a1

                                                       1   Þ 1 dvv 2
                                                       a1
                                                       1   v C
                                                       a1
                                                        1   log v  1  C
                                                      2 a1       1 v

                                                             1       u a1
                                                                log                                  C
                                                           2 a1     u  a1
et
                                                                     sin t  a  1
                  I   Þ     cos t
                           a  cos 2 t
                                               dt           1   log                                       C
                                                           2 a1     sin t   a1
5.2) Fractions rationnelles en t
    Si I  Þ F t dt où F est une fraction rationnelle.
    Une méthode pour calculer I consiste à faire le changement de variable
    x  t Ê t  log x ce qui nous donne dt  dx et on a
                                                  x

                                    I  Þ F dt  Þ F x dx
                                             t
                                                           x
Exemple 16 :
                                                      t    1
   Calculons la primitive de la fonction              t 1         
                                x  e t Í dx  e t dt  x dt Í dt  dx
                                                                     x
                                         t
                                            1 dt  x 1 dx
                                         t
                                           1        x1 x
                                                       x 1
                                                             dx
                                                     x x1
                                                x 1
                                                                    A  B
                                                                     x
                                               x x1                    x1
                                     x 1        x 1
                              x x x1                       A  x x1
                                                                     B
                                                x1
                                                                                       ÍA 1
                              x0

                                        x 1               x 1           A x1
                            x1                           x              x    B
                                       x x1
                                                                                           ÍB2
                           x 1
                                                x 1                        1  2
                                                                          x
                                               x x1                          x1

                           I    Þ     x 1
                                      x x1
                                                    dx                Þ    1 dx  2 Þ 1 dx
                                                                            x         x1
                                                                 2 log|1  x| log|x|C
                                                                        1x 2
                                                                 log           C
                                                                          |x|
                                                                                  1  et     2
                             Þ                      Þ
                                 t
                                      1 dt                    t       dt  log                  C
                                 t
                                     1                        2                    et
.5.3 Fractions rationnelles en ch et sh
    Si I  Þ F t , t dt où F est une fraction rationnelle.
    Une méthode pour calculer I consiste à faire le changement de variable x  e t Í dt                               dx
                                                                                                                        x
                                                             e t e   t          e 2t 1       x 2 1
                                                     t          2
                                                                                 2e t
                                                                                                2x
                                                             et e     t          e 2t 1        x2 1
                               x  et Í              t        2
                                                                                 2e t
                                                                                               2x
                                                             et e     t          e 2t 1        x2 1
                                                     t      e t e   t         e 2t 1
                                                                                              x 2 1

et on a
                         I     ÞF       t, t    dt       ÞF         x2 1 , x2  1
                                                                        2x     2x
                                                                                                        dx
                                                                                                         x
Exemple 17:
                                                    1 t
   Calculons la primitive de la fonction            1 t
                                                                          x2 1
                                         1 t                1                    dx
                                                     dt                    2x
                                                                           x1      x
                                         1 t                1             2x

                                                            x  2x 21 dx
                                                              2

                                                              x 1x
                                          1 t
                                     Þ    1 t
                                                     dt    Þ    x 2  2x 1 dx
                                                                  x 1x 2
                           x 2  2x 1  A  B           C
                            x 1x   2   x    1x       1x 2
                                        A x  1 2  Bx x  1  Cx
                                      
                                                 x x1 2
                                       Ax  2Ax  A  Bx2  Bx  Cx
                                          2                2

                                                   x x1
                                         A  B x  2A  B  C x  A
                                                2
                                      
                                                   x x1 2

                                 AB  1
                                                                                                        B2
                       Í         2A  B  C  2                                            Í
                                                                                                        C2
                                 A 1                       Í A 1

                                x 2  2x 1                1  2   2
                                 x 1x 2                   x  1x  1x                            2


                  Þ   x 2  2x 1 dx 
                       x 1x 2
                                                Þ
                                               dx  2 Þ dx dx  2 Þ
                                                x        1x
                                                                       dx
                                                                      1x                                     2
                                                                                                                  dx

                                           log|x|2 log|x  1|  1 C
                                                                1x
                               1 t                   1  et 2
                           Þ   1 t
                                          dt  log
                                                        et
                                                                    1 C
                                                                  1x
Remarque 5 :
  Le changement de variable x  e t sera maladroit si l’intégrale I est l’un des types suivants:
                             aI   ÞF   t   t dt u  t

                             b I  ÞF   t   t dt u  t

                             c I  ÞF   t   dt
                                            2
                                                 dt u  t
                                             t
Exemple 18:
                                           t
   Calculons la primitive de la fonction 1 t
   Effectuons le changement de variable u  t Í du  t dt d’où
                                 Þ tt dt  Þ 1  2u
                                                du

                                           1 log|1  2u|C
                                              2
                                           1 log|1  2 t |C
                                              2
                                           1 log 1  2 t  C
                                              2
V : Intégrales Impropres
    Dans ce chapitre (section) nous allons étendre la notion d’intégrales définies à des fonctions
qui tendent vers l’infinie pour une ou plusieurs valeurs d’un intervalle I quelconque et à des
fonctions continues sur des intervalles infinis.
Définition 8:
                  b
    L’intégrale Þ f x dx est dite une intégrale impropre si
                  a
    i) f tend vers l’infinie ( Ý) pour un ou plusieurs valeurs de l’intervalle a, b
ou
    ii) au moins une des bornes d’intégration est infinie (a ou b  Ý).
Exemple 19:
          1
    1) Þ 1 dx est une intégrale impropre, car 1 tend vers Ý quand x 0  et 0
            x                                    x                                    0, 1 .
        0
        3
    2) Þ x12 dx est une intégrale impropre, car x12 tend vers Ý quand x 2  et 2          1, 3 .
        1
        Ý
    3) Þ xdx est une intégrale impropre, car une des bornes d’intégration est infinie.
        0
V-1) Intégrale Impropre sur un ouvert borné
1) Définitions et Notations
Définition 9:
    Soit f une fonction définie sur l’intervalle borné a, b , on suppose que f est intégrable sur tout
intervalle fermé a  , b      a, b ,     0 (par exemple f continue).
    Considérons la fonction:
                                           Þ a
                                             b
                                 I               f t dt , 0          b   a
   Si la fonction I admet une limite finie quand                   0  , on dit que l’intégrale impropre
converge ( on note C.V. ou CV) et on pose
                                     Þa                     Þ a
                                      b                      b

                                          
                                            f t dt  lim
                                                                   f t dt
                                                        0

    Si la fonction I n’a pas de limite (la limite d’existe pas) quand      0  ou que cette limite
                                                          b
tend vers l’infinie Ý , on dit que l’intégrale impropre Þ  f t dt diverge ( on note D.V. ou DV).
                                                                   a
Remarque 6:
    i) La convergence de l’intégrale impropre sur l’intervalle borné a, b , dépend de l’existence
de la limite
                                                                Þx f t
                                                                  b
                                                      lim
                                                                                   dt
                                                      x a

  ii) Si l’intégrale existe au sens usuel alors elle existe au sens de la nouvelle définition et a la
même valeur.
  iii) De façon analogue, on peut définir (si elle existe)
                                          Þa                                   Þa
                                              b                                    b
                                                   f t dt  lim
                                                                                            f t dt
                                                                       0

    De même on définit:
                                  Þa                                               Þ a
                                          b                                            b    2

                                              
                                                f t dt  lim                                   f t dt
                                                                1, 2       0                1

Exemples 21:
                                              2
   1) On considére l’intégrale impropre I  Þ                   1
                                                                           dx
                                                              0 x

                                          Þ
                                               2
                                                   1 dx  log 2                        log ,
                                                   x

                                           Þ0                                  Þ
                                               2                                   2
                                 Í                 1 dx  lim                          1 dx  Ý
                                                   x        0                         x
                                                            Í I est divergente
                                                              1
    2) On considére l’intégrale impropre I  Þ log x dx
                                              0
    Par intégration parties, on a
                                  Þ                                                             Þ
                                      1                                                             1
                                          log x dx  x log x                       1
                                                                                                            dx

                                                                      log                                 1

                                                                           Þ 0 log x
                                                                               1
                                                          ÍI                                               dx

                                                                           Þ
                                                                               1
                                                           lim
                                                                                   log x dx
                                                                  0

                                                           lim
                                                                                   log                          1
                                                                  0

                                                                           Þ 0 log x
                                                                               1
                                                          ÍI                                               dx  1

                                                          Í I est convergente.
                                                      b
    3) On considére l’intégrale impropre Þ                  dx
                                                           x a    
                                                      a

                                                           1             1                              1
                                                                                                                        1
                       Þ a
                         b
                               dx                        1           b a            1             1
                                      
                              x a
                                                          log     b a
                                                                                                                     1
             b
L’intégrale Þ x dx  converge pour   1 et diverge pour 
                 a
                                                                                                            1.
             a
    En particulier on a :

                                      Þ 0 xdx Ê   1
                                        b
                                            

Remarque : Critère de Cauchy :
    Considérons la fonction:
                                                                Þ ax f t
                                                                  b
                                                    Ix                                    dt
   La fonction I admet une limite finie en 0, si l’on a :
         0 ,   0 : 0  x 1  0  x 2  
                                  Í |I x 1 I x 2 |

                                         |Þ                            Þ ax
                                                 b                      b
                                                         f t dt                    f t dt|
                                                 ax 1                         2


                                         |Þ
                                                 ax 2
                                                         f t dt|
                                                 ax 1

Exemple 22:
   On considére l’intégrale impropre :
                                                              Þ 0 cos
                                                               b
                                                    1 dt I
                                                    t
                     1
    La fonction cos x est continue et bornée sur l’intervalle 0, b                            b   et est majorée par 1
(|cos 1 | 1 x) donc I est convergente.
       x
2) Résultats de base sur les intégrales convergentes
Propriétés 4:
         b                       b            b
    i) Þ  f t  g t dt   Þ  f t dt   Þ  g t dt
           a                             a                         a
                         b
   ii) f           0 Í Þ  f t dt   0.
                         a
               b             c               b
   iii) Þ  f t dt  Þ  f t dt  Þ f t dt , a  c  b
               a             a               c
    iv) Intégration par parties :
    Soient g et h deux fonctions dérivables sur a, b et telque g et h soient continues sur a, b .
Supposons que l’on ait :
    ) lim x a  g x h x existe et est finie.
                                           b               b
    ) L’une des intégrales impropres Þ  g t h t dt , Þ  g t h t dt est convergente. Alors
                                           a               a
on a:
                         Þa                                                             Þa
                           b                                                                b
                               
                                 g t h t dt  lim g x h x
                                                 
                                                                                  b
                                                                                  x             
                                                                                                    g t h t dt
                                                          x a

    v) Changement de variables :
    Soient f une fonction continue sur A, B et g une fonction continue sur a, b qui admet une
dérivée continue g sur a, b . On suppose que g a, b        A, B .
    Dans ces conditions, on a la formule de changement de variable dans tout intervalle x, b
telque a  x  b:
                                          Þg x                   Þx f g t
                                               gb                 b
                                                      f s ds                         g t dt

  Si l’une des intégrales précédentes admet une limite finie pour x tendant vers a  , il en est de
même de l’autre, et on obtient:
                                               Þg x               Þa
                                                 gb                   b
                                        lim
                                                       f s ds            
                                                                              f g t g t dt
                                        x a

Preuve :
     Les proprietés i) et ii) découlent directement des proprietés de l’intégrale usuelle.
     Pour iii) on a: pour x a, b , on applique la formule d’intégration par parties sur l’intervalle
 x, b
                               Þx g t                                                 Þx g
                                   b                                                    b
                                         h t dt  g x h x                     b
                                                                              x                     t h t dt
   Il suffit alors de faire tendre x vers a  .
Exemple 23:
   1) On considére l’intégrale impropre :
                                                    Þ0
                                                      b
                                            1 sin 1 dt, b  0 .
                                              I
                                             t      t
    Etudions la convergence de l’integrale impropre de la fonction                                        1
                                                                                                          t    sin   1
                                                                                                                     t   sur 0, b , (b  0).
    Soit x     0, b , par intégration par parties, on a:
                           Þx                                                            Þ x cos
                               b                                                  b         b
                              1 sin 1 dt  t cos 1                                                        1     dt
                              t     t              t                              x                       t
         i) lim x 0  x cos x  0
                            1
             b
        ii) Þ cos 1 dt converge car la fonction cos
                     t
                                                                              1
                                                                              t       est continue sur 0, b et est bornée par
             x
1. Par conséquent on a:
                                Þx                                                     Þ x cos
                                    b                                                   b
                              1 sin 1 dt  b cos 1                                                    1        dt
                               t     t           b                                                    t
    2) On considére l’intégrale impropre :
                                                          Þ0
                                                           1
                                             1 arccos t dt
                                              t
                                                                                                          1
    Etudions la convergence de l’intégrale impropre de la fonction                                              arccos t sur l’intervalle
                                                                                                           t
0, 1 . Soit x    0, 1 et considérons l’intégrale:
                                           Þ x 1t arccos t dt
                                             1



                               dt
posons s       t Í ds 
                            2 t
                                  1 arccos t  Þ 1 2 arccos s 2 ds
                                 Þx
                                  1

                                    t                 x

    La fonction arccos s 2 est continue sur l’intervalle fermé borné 0, 1 , donc son intégrale est
parfaitement définie d’où l’on a:
                                 Þ0       1 arccos t  2 Þ 1 arccos s 2 ds
                                  1
                                      
                                           t               0

Théorème 11:
   Soient f et g deux fonctions continues sur a, b et telles que:
                                         f 0f g a, b
                                                         b
   Alors la convergence de l’intégrale impropre Þ g t dt implique la convergence de
                                                         a
            b
l’intégrale Þ f t dt.
            a
                             b                                                    b
    Si l’intégrale impropre Þ f t dt diverge, il en est de même de l’intégrale Þ g t dt.
                             a                                                  a
Remarque 7:
    Le théorème s’applique encore si les mêmes conditions sont vérifiées relativement à un
intervalle a, b .
Preuve :
   Considérons les fonctions
                                              Þa f t                             Þa g t
                                                x                                 x
                                 Fx                         dtG x                        dt
    D’aprés les hypothèses du Théorème on a:
         - G est dérivable et a pour dérivée g  0 car (0  f  g) donc G est croissante.
         -F x      Gx.
                    b
    Si l’intégrale Þ g t dt converge, cela entraine que G est majorée d’où F l’est aussi, ce qui
                   a
                                          b
donne la convergence de l’integrale Þ f t dt.
                                     a
   Pour le cas de l’intervalle a, b on considére les fonctions:
                                              Þx f t                              Þx g t
                                                b                                     b
                                F1 x                        dtG 1 x                       dt
    Les fonctions F 1 et G 1 sont décroissantes et F 1 x      G 1 x . Si G 1 est majorée, il en est de
même de F 1 .
Corollaire 3:
    Soient f et g deux fonctions définies sur l’intervalle a, b et intégrables sur l’intervalle a, c ,
pour tout c     a, b , telles que f et g soient strictement positives (f  0 , g  0) sur a, b et
         fx
lim x b g x  k, fini (k 0). Alors

                                                Þa      f t dt Þ g t dt
                                                    b                  b

                                                                       a
    On dit que les deux intégrales sont de même nature.
Preuve :
    Soit     0, k , il existe   0 tel que pour x vérifiant
                                                          fx
                                   0b x Í |                k|
                                                          gx
donc on a
                                     k     g x  f x  k g x
    Notons c  b  et appliquons le théorème précédent dans l’intervalle c, b pour avoir le
résultat.
    Le résultat s’étend aux intégrales impropres relatives à a, b .
Exemples 24:
    1) Etudions la convergence de l’intégrale f t  1 4 sur 0, 1 .
                                                                           1 t
    f est continue et strictement positive (f  0).
    Considérons la fonction g t  1 . on a
                                          1 t


                                                            Þ0
                                     fx                      1        dt
                               lim               1                       1 1
                              x 1    gx           2                  1 t    2
    D’où
                                                    Þ0
                                                        1
                                                                  dt
                                                                 1     t4
    On peut aussi procéder de la façon suivante:
                      0      1                1           1                                     1
                             1 t 4
                                         1 t 1t
                                               2    2
                                                           1 t2                                  1 t
et utiliser le théorème précédent.
                                                      t
    2) Etudions la convergence de l’intégrale f t  et sur 0, 1 .
    f est continue et strictement positive (f  0).
    Considérons la fonction g t  1 . on a
                                      t
                                                              1Þ
                                           fx                          1    dt
                                    lim                                        1
                                    x 0
                                           gx                          0   t
D’où
                                                         Þ0
                                                              1
                                                                  e t dt
                                                                   t
    On peut aussi procéder de la façon suivante:
                                                      t
                                         0 1  e
                                                t   t
                                                     t                      cos t
    3) Etudions la convergence de l’intégrale f t                           5       sur 0, 1 .
                                                                            t2
    f est continue et strictement positive (f  0).
    Le développement Taylor des fonctions t et cos t
                                             2     3
                                 t  1  t  t 1t 0  1  1
                                            2    3!
                             cos t  1     t 2  t 3 sin  2 t 0   2  1
                                            2    3!
ce qui nous donne
                                           t3
                                   t2                  1t        sin  2 t           1  t
                           ft             3!
                                                             5
                                                         t   2                          t

                                           Þ0
                                            1
                                                        t dt  1                1
                                                               2
d’où
                                           Þ0
                                                1        t         cos t
                                                                  5           dt
                                                                  t2
3) Intégrales absolument convergentes
Définition 10:
                                                                                         b
    Soit f une fonction définie sur l’intervalle a, b . on dit que l’intégrale impropre Þ f t dt est
                                                                                                                    a
                                                                            b
absolument convergente, si l’integrale impropre Þ |f t | dt est convergente.
                                                   a
   On a la même définition pour un intervalle de la forme a, b .
Propriété 5:
   La convergence absolue implique la convergence simple.
                                                                        b
   Soit f une fonction définie sur a, b telle que l’intégrale impropre Þ f t dt est absolument
                                                                                                              a
                          b
convergente c’est à dire Þ |f t | dt est convergente. Alors l’intégrale impropre
                          a

                                                          Þa
                                                            b
                                                                    f t dt
Preuve:
                  x
   On pose F x  Þ f t dt . Pour |x 1                 x 2 | , on a
                      a

                                            F x 2 | |Þ f t dt                              Þa
                                                                    x1                         x2
                              |F x 1                                                                f t dt|
                                                                    a

                                                           |Þ f t dt|
                                                                        x1

                                                                     x2

                                                                Þ x |f t | dt 
                                                                    x1

                                                                        2

Remarque 8: La convergence simple n’implique pas la convergence absolue
                                            Þa                               Þ a |f t | dt
                                                b                                b
                                                     f t dt 
En effet : Si l’on considére la fonction f t                   1
                                                                t   sin          1
                                                                                 t      on a :
                                 Þ0  1 sin 1 dt Þ | 1 sin 1 | dt
                                   1                                         1

                                      t     t       0 t      t
V-2) Intégrale Impropre sur un ouvert non borné
1) Définitions et notations
Définition 11:
    Soit f une fonction définie sur un intervalle a, Ý , on suppose que f est intégrable sur tout
intervalle fermé a, x      a, Ý (par exemple f continue).
    Considérons la fonction:
                                                     Þa f t
                                                      x
                                   Ix                              dt , a  x  Ý
    Si la fonction I x admet une limite finie quand x                                     Ý, on dit que f admet sur a, Ý une
intégrale impropre convergente égale à cette limite.
                                            Ý
                                           Þa                                        Þa f t
                                                                                      x
                                                    f t dt  xlim
                                                                Ý
                                                                                               dt
   Si la fonction I x n’a pas de limite quand x Ý ou que cette limite est infinie                                      Ý , on dit
                          Ý
que l’intégrale impropre Þ f t dt diverge.
                          a
   La convergence de l’intégrale impropre dépend de l’existence de la limite
                                                                Þa f t
                                                                    x
                                                      lim
                                                      x Ý
                                                                                     dt
    De façon analogue, on peut définir (si elle existe)
                                           Þ Ýf t                                    Þx f t
                                            a                                         a
                                                          dt  xlimÝ
                                                                                               dt
    De même on définit:
                                       Ý
                                  Þ Ýf t                                                  Þx f t
                                                                                           y
                                                     dt                lim                          dt
                                                                x,y              Ý,Ý
Exemple 25 :
                                   Ý
   Etudions l’intégrale impropre Þ              dx
                                               x 1   
                                      2

                                                          1            1
                                                                                       1          1
                         Þ2
                            y
                                 dx                     1          y 1        1
                                      
                                x 1
                                                         log y           1                     1
                 y
  L’intégrale Þ x dx  converge pour   1 et diverge pour  1.
                    a
               2
  En particulier on a pour a  0
                             Ý
                           Þ a xdx Ê   1 Þ Ý xdx Ê   1
                                                 a
                                                    

Remarque 9: Critére de Cauchy
  Considérons la fonction:
                                                               Þa f t
                                                                 x
                                                Ix                              dt
   La fonction I admet une limite finie lorsque x Ý, si l’on a :
         0 , A  0 : x 1  Ax 2  A
                                    Í |I x 1 I x 2 |
                                      |Þ f t dt                Þa
                                          x1                        x2
                                                                         f t dt|
                                          a

                                      |Þ f t dt|
                                          x2

                                          x1

Exemple 26:
   Soit a un réel strictement positif (a  0), on considére la fonction
                                           ft  1 m
                                                    tm
 pour m 1
                                Þ a tdt  Þ a t m dt
                                  x         x
                                      m
                                                        x
                                              t m1
                                               m1 a
                                             1        1       1
                                           1 m xm 1          am 1

                                                1                    0                m1
                                  lim          m 1
                                                         
                                  xÎÝ     x                         Ý               m1
donc
                                                Þa
                                                    x
                                       lim               dt                     1
                                      xÎÝ               tm          1           m am      1

   pour m  1
                                          Þa
                                           x
                                                dt  log t                   x
                                                t                            a

                                                          log x                 log a
                                                lim log x  Ý
                                                xÎÝ

                                                             Þa
                                                                x
                                           Í xÎÝ
                                              lim                    dt  Ý
                                                                      t
donc l’intégrale impropre
                                         Ý                      Ê m1
                                        Þa        dt 
                                                  tm             Ê m               1
2) Résultats de base sur les intégrales convergentes :
Propriétés 6:
         Ý                         Ý           Ý
    i) Þ f t  g t dt   Þ f t dt   Þ g t dt,  IR et  IR
         a        Ý                a            a
    ii) f 0 Í Þ f t dt 0.
           Ý     a    c            Ý
    iii) Þ f t dt  Þ f t dt  Þ f t dt , c : a  c  Ý
           a           a            c
Preuve :
    Les proprietés i) et ii) découlent directement des proprietés de l’intégrale usuelle.
    Pour iii) pour x a, Ý , on applique la formule d’intégration par partie sur l’intervalle a, x
                           Þa g t                                             Þa g
                             x                                                 x
                                    h t dt  g x h x                  x
                                                                      a                 t h t dt
il suffit alors de faire tendre x vers Ý.
Théorème 12:
     i) Intégration par parties
     Soient g et h deux fonctions de classe C 1 sur a, Ý .
     Supposons que l’on ait:
     ) lim x Ý g x h x existe et est finie.
                                           Ý               Ý
     ) L’une des intégrales impropres Þ g t h t dt , Þ g t h t dt est convergente.
                                           a                a
     Alors on a:
                        Ý                                                         Ý
                      Þa     g t h t dt  xlim g x h x
                                             Ý
                                                                          x
                                                                          a    Þa       g t h t dt
   ii) Changement de variables
   Soient f une fonction continue sur un intervalle I et g une fonction de classe C 1 sur a, Ý .
   On suppose que g a, Ý          I.
   Dans ces conditions on a la formule de changement de variables dans tout intervalle a, x tel
que a  x  Ý:
                                    Þg a                   Þa f g t
                                        gx                   x
                                              f s ds                     g t dt

  Si l’une des intégrales précédentes admet une limite finie pour x tendant vers Ý, il en est de
même de l’autre, et on obtient:
                                                                 Ý
                                        Þg x                 Þa
                                             gb
                                 lim
                                 x Ý
                                                  f s ds             f g t g t dt

Exemple 27 :
                                                                         log t
   1) Etudions la convergence de l’integrale impropre de la fonction t 2 sur 1, Ý .
   Pour x  1, utilisons une intégration par parties pour calculer l’intégrale
                                                          x
                             Þ 1 log2 t dt  logt t           Þ 1 t12 dt
                               x                                x

                                   t                      1
                                                log x
                                                  x    1 1  x
                             Ý log t
                           Þ 1 t 2 dt  xlim   Ý
                                                      log x
                                                        x    1 1    x
                                           1
                                                          log x
                                                   lim     x         0
                                                   x 0
                                                                                         sin t
   2) Etudions la convergence de l’intégrale impropre de f t                               t    sur l’intervalle 1, Ý .
   Soit x   1, Ý et considérons l’intégrale:
                                                            Þ1
                                                             x       sin t
                                                                                   dt
                                                                        t
                                 dt
    Posons s    1
                 t   Í ds       t2
                                                                              1

                                      Þ1                                 Þ1
                                       x   sin t
                                                            dt 
                                                                              x
                                                                                       1 sin 1                  ds
                                              t                                        s     s
                                       Ý
                                      Þ1                                 Þ0
                                                sin t                     1
                                                             dt                   1 sin 1                      ds
                                                   t                              s     s
Exercice:
               Ý log t m
   Calculer Þ        t    dt
               a
Théorème 13:
   Soient f et g deux fonctions continues sur a, Ý et telles que:
                                        f 0f g a, Ý
                                                                              Ý
     Alors la convergence de l’intégrale impropre Þ g t dt implique la convergence de
              Ý                                    a
l’intégrale Þ f t dt.
              a               Ý                                                 Ý
     Si l’intégrale impropre Þ f t dt diverge, il en est de même de l’intégrale Þ g t dt.
                              a                                                  a
Remarque 10:
     Le Théorème s’applique encore si les mêmes conditions sont vérifiées relativement à un
intervalle      Ý, a .
Preuve:
     Considérons les fonctions
                                                  Þa f t                                    Þa g t
                                                    x                                           x
                                      Fx                            dtG x                                     dt
   D’aprés les hypothèses du théorème on a :
        - G est dérivable et a pour dérivée g  0 car (0  f  g) donc G est croissante.
        -F x      Gx.
                   Ý
   Si l’intégrale Þ g t dt converge, cela entraine que G est majorée d’où F l’est aussi, ce qui
                   a                  Ý
donne la convergence de l’integrale Þ f t dt.
                                      a
   Pour le cas de l’intervalle     Ý, a on considére les fonctions:
                                                  Þx f t                                        Þx g t
                                                    a                                               a
                                 F1 x                               dtG 1 x                                    dt
   Les fonctions F 1 et G 1 sont décroissantes et F 1 x                                         G 1 x . Si G 1 est majorée, il en est de
même de F 1 .
Exemple 28 :
   Etudions l’intégrale impropre de la fonction e t t12 e                             t
                                                                                           sur                  Ý, Ý
   On a :
                      Ý                                                                                    Ý
                     ÞÝ                             ÞÝ                                      dt  Þ
                                                        0
                              1             dt                     1                                                1           dt
                           e  t2 e
                            t          t
                                                                 e  t2 e
                                                                     t                 t
                                                                                                            0    et  t2 e   t
          Ý
         Þ0                                Þ0                                                    Þ0
                                            x                                                           x
                  1      dt  xlim                   1                   dt            lim                  1 dt  lim 1              1    1
             et  t2 e t         Ý              et  t2 e           t                 x Ý                 et     x Ý               ex
donc l’intégrale impropre
                                                        Ý
                                                   Þ01
                                                et  t2 e t
                                                            dt
                      0
    Pour l’intégrale Þ e t t12 e t dt on considére les deux cas :
                        Ý
      1 t 0, la fonction t Î e t t12 e t est continue ce qui implique que l’intégrale

                                                   Þ1
                                                        0
                                                                1                          dt
                                                             e  t2 e
                                                                 t                 t
   t       1, on a
                                                     1                   1            et
                                                 et  t2 e      t
                                                                       t2 e     t


                        ÞÝ                          Þ Ý e t dt  xlim e t
                         1                                  1
                    Í           1           dt                                            1
                                                                                               xlim e   1
                                                                                                             ex  e   1
                             e  t2 e
                              t         t                            Ý                x             Ý

       Par suite,
                                                    ÞÝ
                                                        0
                                                                    1           dt
                                                                et  t2 e   t

d’où l’intégrale impropre
                                                        Ý
                                                    ÞÝ              1
                                                                et  t2 e   t
                                                                                dt
Corollaire 4:
     Soient f et g deux fonctions définies sur l’intervalle a, Ý et intégrables sur l’intervalle
 a, c , pour tout c    a, Ý , telles que f et g sont strictement positives (f  0 , g  0) sur a, Ý
             fx
et lim x Ý g x  k, fini (k 0).
     Alors
                                                    Ý                 Ý
                                                   Þa       f t dt Þ
                                                                       a
                                                                            g t dt
       On dit que les deux intégrales sont de même nature.
Preuve :
   Soit      0, k , il existe A  0 tel que pour x vérifiant
                                                     fx
                                       xA Í |               k|
                                                    gx
donc on a
                                   k     g x  f x  k g x
    En appliquant le théorème précédent dans l’intervalle A, Ý on a le résultat énnoncé.
Remarque 11:
    Le résultat s’étend aux intégrales impropres relatives à   Ý, a .
Exemple 29 :
                                                        2
    1) Etudions la convergence de l’intégrale f t  e t sur 1, Ý . f est continue et strictement
positive (f  0). Considérons la fonction g t  e t .
                       2
    Pour t 1 on a e t      e t
                 Ý
                Þ1                         Þ 1 e t dt  xlim
                                            x
                      e   t
                              dt  xlim
                                      Ý                   Ý
                                                                      e   t x
                                                                                1        xlim e
                                                                                             Ý
                                                                                                   1
                                                                                                       e   x
                                                                                                               e   1


     D’où
                                                         Ý
                                                        Þ1    e   t
                                                                      dt
                                                                                    1
     2) Etudions la convergence de l’intégrale f t                       1
                                                                          t     et           1 sur 1, Ý . f est continue et
strictement positive (f  0).
     Considérons la fonction g t  t12 . on a
                                                   fx                          1
                                            lim           lim t e t                     1
                                            t Ý   gx         t Ý
                                                                               1
                                                                              et         1
                                                          lim
                                                              t Ý                  1
                                                                                    t
                                                                          ey        1
                                                          lim                 y
                                                              y 0

                                                         1
Or
                                                         Ý
                                                  dt dt
                                                  t2
                                                        Þ1
d’où, par application du résultat précédent, la convergence de l’intégrale
                                          Ý
                                        Þ 1 1 e 1t 1 dt
                                              t
Exercice:
    Etudier la convergence de l’intégrale f t  e tdt sur l’intervalle
                                                     |t|
                                                                             Ý, Ý .
3) Intégrales absolument convergentes
1) Définition 12:
                                                                                          Ý
    Soit f une fonction définie sur l’intervalle a, Ý . on dit que l’intégrale impropre Þ f t dt
                                                          Ý                              a
est absolument convergente, si l’integrale impropre Þ |f t | dt est convergente.
                                                          a
    On a la même définition pour un intervalle de la forme        Ý, a .
Propriété 7:
    La convergence absolue implique la convergence simple.
                                                                             Ý
    Soit f une fonction définie sur a, Ý telle que l’intégrale impropre Þ f t dt est absolument
                           Ý                                                a
convergente c’est à dire Þ |f t | dt est convergente.
                           a
    Alors l’intégrale impropre
                                               Ý
                                              Þa    f t dt
Preuve :
                                                x
   Utilisons le critère de Cauchy: Notos F x  Þ f t dt et pour x 1  A et x 2  A, on a:
                                                             a

                                      F x 2 | |Þ f t dt                   Þa
                                                    x1                       x2
                             |F x 1                                               f t dt|
                                                    a

                                                |Þ f t dt|
                                                        x1

                                                     x2

                                                   Þ x |f t | dt 
                                                    x1

                                                        2




Remarque 12:
  La convergence simple n’implique pas la convergence absolue
                                       Ý                        Ý
                                      Þa    f t dt          Þa       |f t | dt
En effet, si on considére la fonction f t  t sin 1 , on a :
                                                  t
                                     Ý
                                             1 dt Þ Ý|t sin 1 | dt
                                   Þ  t sin t              t
4) Complément sur les intégrales impropres:
Théorème 14:
     Soit f et g deux fonctions définies et strictement positives sur l’intervalle a, b , b peut être
fini ou infini.
                                       b                           b
          i) Si lim x b g x  0 et si Þ g t dt converge alors Þ f t dt converge.
                        fx
                                       a                           a
                                           b                           b
                                Ý et si Þ g t dt diverge alors Þ f t dt diverge.
                       fx
        ii) Si lim x b gx                  a                       a
Corollaire 5:
   Soit f une fonction définies et strictement positives sur l’intervalle a, Ý .
                                                      Ý
        i) Si lim x Ý x  f x  0 et si   1 alors Þ f t dt converge.
                                                      a Ý
        ii) Si lim x Ý x  f x  Ý et si   1 alors Þ f t dt diverge.
                                                         a




    Ali ALAMI-IDRISSI            Saïd EL HAJJI        et  Samir HAKAM
                            Université Mohammed V - Agdal
                                   Faculté des Sciences
                     Département de Mathématiques et Informatique
                       Groupe d’Analyse Numérique et Optimisation
                             Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014
                                      Rabat, Maroc
                                  Tel et fax (37)775471
           Pages web :
                               http://www.fsr.ac.ma/ANO/


Email : alidal@fsr.ac.ma              elhajji@fsr.ac.ma      s-hakam@fsr.ac.ma
                                http://www.fsr.ac.ma/ANO/elhajji/

								
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