www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _______________________________________________________________________________
ì cosx ³ 0 ï C©u I. §iÒu kiÖn ï í ï1+ tgx ³ 0 î ï 1) §Æt t = tgx, phû¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh ì ï ï ït = - 1 ï ï 2 1 + t = 1 - t Û ït = 0 í ï ï ï ït = 1 - 5 ï ï 2 î p 1 - 5 Tõ ®ã x = - + kp, x = kp, x = a + kp (k Î Z) trong ®ã tga = 4 2 pù é 2) §Æt t = tgx th× x Î ê 0 ; ú 3û ë f(t) = 1 - t2 1 + t = m -3t 2 - 4t - 1 2(t + 1) 1 + t -2 1 + 3 t Î [0; 3 ] khi ®ã phû¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh
Ta cã f'(t) =
< 0 víi t Î [0 ;
3]
Suy ra f(3) £ m £ f(0)
£ m £ 1
C©u II. Trûíc hÕt ta chøng minh |4x3 + bx| £ 1víi x Î [-1 ; 1] Û b = -3. x Î [-1 ; 1]. Þ b £ -3
ThËt vËy : Víi b = -3 th× 4x3 - 3x = x(4x2 - 3) £ 1 víi Ngûîc l¹i, |4x3 + bx| £ 1 víi x=
x Î [-1 ; 1]: x = 1 : |4 + b| £ 1
1 1 b : | + | £ 1 Û b ³ -3 2 2 2 j(-x) = -4x3 + ax2 - bx + c,
B©y giê víi |4x3 + ax2 + bx + c| £1 víi x Î [-1 ; 1], ta xÐt j( x ) = 4x3 + ax2 + bx + c, j( x ) - j(-x ) = 4x 3 + bx ; (*) 2
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _______________________________________________________________________________
mµ |j(x)| £ 1 |4x3 + bx| = x Î [-1 ; 1] Þ |j(-x)| £ 1 víi x Î [-1 ; 1]. Nhû vËy tõ (*) suy ra
j( x ) - j(-x ) j( x ) + j(-x ) £ £1 2 2 x Î [-1 ; 1].
víi
x Î [-1 ; 1] Û b = -3. Tõ ®ã ta cã : -1 £ 4x3 + ax2 - 3x+ c £ 1 víi
Víi x = 1 : -1 £ 4 + a - 3 + c £ 1 Þ a + c £ 0 Víi x = -1 : -1 £ -4 +a + 3 + c £ 1 Þ a + c ³ 0 1 a Víi x = ± ta còng suy ra : + c = 0. 2 4 Tõ hÖ (1) vµ (2) suy ra a = c = 0. VËy ®Ó |4x3 + ax2 + bx + c| £ 1 víi C©u III. 1) x Î [-1; 1] ta ph¶i cã a = c = 0, b = -3. (2) Þ a + c =0. (1)
A + B + C = p 4A = 2B = C p 2p . §Þnh lÝ hµm sin cho : a = 2Rsin , b = 2Rsin 7 7 ö æ ÷ ç ÷ ç 1 4p 1 1 1 ç 1 ÷ ÷ == ç ÷ c = 2Rsin Û + = ç 2p + 4p ÷ ÷ 7 b c 2R ç ç sin sin ÷ ç ø è 7 7 ÷ 3p p 2sin . cos 1 1 1 7 7 = . . == p p p 3p a 2R 2Rsin 2sin . cos sin(p ) 7 7 7 7 1 + 1 + cos2B 2 2 2 2 ++ 2) cos A + cos B + cos C = cos A + 2 Còng dïng ®Þnh lÝ hµm sin : 2p 4p + sin 1 7 7 = . 2p 4p 2R sin . sin 7 7 sin
cos2C = 1 - 2cosAcosBcosC . (*) 2
a b a b b = Û = Û cosA = . sinA sinB sinA sin2A 2a
Tû¬ng tù:
cosB =
æ aö b c a c ÷ = - 1 ÷ , cosC = . . ç. Nhû vËy: cosAcosBcosC = ç ç ÷ ø 2a 2b è 2c ÷ 8 2c 2b 1 5 = . 4 4
Thay vµo (*) : cos2A+ cos2B + cos2C =1 +
www.khoabang.com.vn
C©u IVa.
I k = ln kdx − ln xdx = (e − 1) ln k − x ln x 1 + dx = (e − 1) ln k − 1
1 1 1
LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________________
∫
e
∫
e
e
∫
e
Ph¶i cã (e − 1)lnk − 1 < e − 2 ⇒ (e − 1)(lnk − 1) < 0. V× e > 1, nªn suy ra lnk < 1 = lne ⇒ k < e. Do k lµ sè nguyªn d−¬ng, nªn chØ cã thÓ chän k = 1 hoÆc k = 2. C©u Va. Gi¶ sö M, N, P lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BC, CA, AB V× NP//BC, nªn ®−êng trung trùc ( d M ) vu«ng gãc víi NP. Ta cã NP = (8 ; − 8), mµ vect¬ chØ ph−¬ng uM cña ( dM ) vu«ng gãc víi NP , suy ra cã thÓ lÊy uM = (1 ; 1), tøc ( d M ) cã hÖ sè gãc k = 1, thµnh thö ( d M ) cã ph−¬ng tr×nh y = (x + 1) − 1 = x LËp luËn t−¬ng tù ta ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng trung trùc ( d N ) : y = − 5x + 14 vµ ph−¬ng tr×nh ®−êng trung trùc (d P ) : y = − +
C©u IVB.
x 14 . 5 5
1) Gäi I lµ t©m cÇu ngo¹i tiÕp cña h×nh chãp ®Òu. Ch©n H cña ®−êng cao SH lµ t©m cÇu ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c ®Òu ABC vµ I n»m trªn SH. Ta cã :
R2 = IS 2 = IA2 + AH 2 + HI 2 =
a2 a 2 + 3h 2 + (h − R)2 , tõ ®ã suy ra : R = . 3 6h
Gäi J lµ t©m cÇu néi tiÕp cña h×nh chãp, J còng n»m trªn SH ; h×nh cÇu néi tiÕp tiÕp xóc víi ®¸y t¹i H vµ tiÕp xóc víi ®¸y t¹i H vµ tiÕp xóc víi mÆt bªn SBC t¹i ®iÓm T n»m trªn SA', víi A' lµ trung ®iÓm cña BC, ta cã r = JH = JT. C¸c tam gi¸c vu«ng SJT vµ AHA' lµ ®ång d¹ng suy ra
JT SJ r h−r h = = = hay ⇒ 2 2 2 2 HA ' SA ' a 3/6 h + a /12 a 3 / 6 + h + a /12
⇒ r= 2)
ah a + a 2 + 12h 2
r 6ah 2 = R (a 2 + 3h 2 )(a + a 2 + 12h 2 )
Gäi α lµ gãc nhän víi tg2 α = 12
k= =
2
h2 a
2
; tøc lµ tgα =
2 3h a 3tgα , hay h = . ThÕ th× a 6
r 2tg α = = R (4 + tg2 α)(1 + 1 + tg2 α ) 2sin 2 α cos α (1 + cos α)(1 + 3cos α)
2
=
2 cos α(1 − cos2 α ) (1 + cos α)(1 + 3cos α )
2
= =
2 cos α(1 − cos α) 1 + 3cos2 α
;
tõ ®©y ta suy ra ph−¬ng tr×nh ®èi víi cosα (2 + 3k) cos2 α − 2cosα + k = 0 §Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm, tr−íc hÕt ph¶i cã
(1)
www.khoabang.com.vn
∆' = 1 − k(2 + 3k) = − 3 k 2 − 2k + 1 ≥ 0 1 hay 3 k 2 + 2k − 1 ≤ 0 ⇔ − 1 ≤ k ≤ . 3 1 Nh−ng k > 0, vËy 0 < k ≤ . 3 r 1 Thµnh thö k = chØ cã thÓ lÊy gi¸ trÞ lín nhÊt k = . R 3 1 Víi gi¸ trÞ nµy (1) trë thµnh 3 cos2 α − 2cosα + = 0 3 1 a 3tgα a 6 = ⇒ cosα = (chÊp nhËn ®−îc). Khi ®ã tgα = 2 2 , h = . 6 3 3 r 1 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng . §Ó ý r»ng khi ®ã Tãm l¹i víi gi¸ trÞ trªn cña h th× tØ sè R 3 2 2 a 2a + = a2 SA 2 = AH 2 + SH 2 = 3 3
LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________________
⇒ SA = a, S.ABC lµ h×nh chãp ®Òu.
C©u Vb.
KÕt qu¶ ph¶i chøng minh, suy ra tõ bÊt ®¼ng thøc kÐp sau ®©y :
a n + b n a + b a n + b n a n +1 + b n +1 ≤ . ≤ . 2 2 2 2
Chøng minh. 1) Vai trß a, b nh− nhau, nªn cã thÓ coi r»ng a ≥ b. Cïng víi a + b ≥ 2 ⇒ a + b > 0 ⇒ a > −b ; suy ra
n a ≥ b ⇒ a n ≥ b ≥ −bn ⇒ a n + bn ≥ 0 .
V× 1 ≤
a+b a n + bn , nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc nµy víi ≥0 2 2
ta ®−îc
a n + bn a + b a n + bn ≤ . . 2 2 2
2) BÊt ®¼ng thøc
a + b a n + b n a n +1 + b n +1 . ≤ 2 2 2
t−¬ng ®−¬ng víi
(a + b) (a n + b n ) ≤ 2(a n +1 + b n +1 )
hay suy ra tõ gi¶ thiÕt ë trªn v× a ≥ b, a n ≥ b n .
0 ≤ (a − b)( a n − b n ) ;