CONTINUITÉ - LIMITES
I Continuité - Théorème des valeurs intermédiaires
Notion de continuité
On peut définir mathématiquement la notion de continuité d'une fonction mais cette définition relativement
compliquée n'est pas au programme.
Graphiquement, on peut reconnaître une fonction continue sur un intervalle I par le fait que le tracé de la
courbe représentative de f pour x ∈ I peut se faire sans lever le crayon de la feuille.
Exemple
h(x) = x si x 1 h(x) =
2
Représentation graphique de f Représentation graphique de g Représentation graphique de h
h est continue sur ]-∞ ; -2[
h est continue sur [-2 ; +∞[
f est continue sur IR g est continue sur IR mais h n'est pas continue en -2
On dit que h est continue par
intervalles
Exemple
Considérons la fonction x a E(x) appelée fonction "Partie
entière" et qui, à tout réel x associe le plus grand entier inférieur
ou égal à x.
Ainsi E(2,5) est le plus grand entier inférieur ou égal à 2,5 ,
donc E(2,5) = 2
De même E(-2,4) = -3 ; E(1,9999) = 1 et E(2) = 2
La représentation graphique de la fonction "Partie entière" est
donnée ci-contre.
La fonction "Partie entière" n'est pas continue en n (n ∈ Z ).
Z
Elle est continue sur chaque intervalle [n ; n+1[ (n ∈ Z ).
Z
"Partie entière" est une fonction dite "en escalier".
La courbe fait "un saut" pour chaque valeur entière de x .
Avec une calculatrice ou un tableur, E(x) est notée int(x) ou
ent(x) ou floor(x) ou partEnt(x)
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Propriété (admise)
Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée sont continues sur tout intervalle
sur lequel elles sont définies.
Exemple
• La fonction f définie sur IR par f(x) = 3x3 - x2 + 1 est une fonction polynôme. Elle est continue sur IR
• La fonction g définie sur ]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ par f(x) = 1 est une fonction rationnelle.
x
Elle est continue sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ .
Remarque
Toutes les fonctions qui seront utilisées sont des fonctions continues par intervalles.
Exercice 01 (voir réponses et correction)
Représenter graphiquement la fonction f dans chacun des cas suivants.
À partir du graphique, étudier la continuité de f.
1°) f(x) = -2x - 5 si x 1
3°) f(x) = 2 si x ∈ ]-∞ ; -2] ; f(x) = -x si x ∈ ]-2 ; 2[ et f(x) = -1 si x ∈ [2 ; +∞[
Exercice 02 (voir réponses et correction)
Extrait de la "Fiche de calculs facultatifs". Impôt sur les revenus de 2005.
Dans tout l'exercice on considèrera le revenu d'un célibataire (le nombre N de parts est alors égal à 1).
1°) Un célibataire a un revenu imposable annuel R = 18 000 € . Calculer son impôt I.
2°) Même question pour un revenu imposable annuel R = 6 000 € .
3°) On note f la fonction donnant l'impôt I en fonction de R : I = f(R) .
Reproduire et compléter le tableau suivant :
Si R est dans l'intervalle (« tranche ») Alors l'expression de I en fonction de R est :
[0 ; 4 412] f(R) = ....................................
]4412 ; 8677] f(R) = ....................................
].......... ; ..........] f(R) = ....................................
].......... ; ..........] f(R) = ....................................
].......... ; ..........] f(R) = ....................................
].......... ; ..........] f(R) = ....................................
].......... ; ..........[ f(R) = ....................................
4°) Représenter graphiquement la fonction f . (On choisira comme unité 1cm pour 2 500 euros)
En utilisant le graphique, étudier la continuité et le sens de variation de f .
5°) Une personne a un revenu R de 10 000 € .
Peut-on dire que son impôt se décompose de la façon suivante :
Rien sur les 4 412 premiers euros ; 6,83% sur les 4265 euros suivants ; 19,14% sur le reste
6°) Une personne célibataire dont le revenu R est 15 250 € tient le raisonnement suivant :
Heureusement que je n'ai pas fait d'heures supplémentaires, car alors j'aurais changé de « tranche »,
mon impôt aurait été beaucoup plus élevé et finalement j'aurais perdu de l'argent dans l'opération.
Qu'en pensez-vous ?
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Convention
Il est convenu que, dans un tableau de variation de fonction, les flèches obliques indiquent que la fonction est
continue et strictement monotone.
Exemple
x -∞ 0 +∞
Le tableau de variation de la fonction carré ( f(x) = x2 )
signifie que la fonction carré est continue et strictement +∞ +∞
décroissante sur ]-∞ ; 0] et qu'elle est continue et f
strictement croissante sur [0 ; +∞[. 0
Théorème des valeurs intermédiaires (admis)
Soit f une fonction définie et continue sur un
intervalle I.
Soient a ∈ I et b ∈ I
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au
moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k
Ce que l'on peut aussi exprimer sous la forme :
L'équation f(x) = k a au moins une solution c
comprise entre a et b.
Si de plus la fonction f est strictement monotone sur
l'intervalle I, alors le réel c est unique.
f n'est pas f est
strictement strictement
monotone monotone
Remarque
La continuité de la fonction f est une hypothèse
essentielle du théorème.
Si la fonction f n'est pas continue, il est possible que pour
un réel k compris entre f(a) et f(b), il n'existe aucun réel c
compris entre a et b tel que f(c) = k .
Exemple solution approchée d'une équation
On peut démontrer que la fonction f définie par f(x) = x3 + x est continue et
strictement croissante sur [1 ; 2]. Son tableau de variation est :
x 1 2
10
f
2
Sa représentation graphique est donnée ci-contre.
Donc pour tout k ∈ [2 ; 10], l'équation f(x) = k a une solution unique dans [1 ; 2].
En particulier l'équation f(x) = 5 a une solution unique α dans [1 ; 2].
On peut trouver une valeur approchée de α en faisant un tableau de valeurs de f .
Avec une calculatrice on obtient :
x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
f(x) 2 2,431 2,928 3,497 4,144 4,875 5,696 6,613 7,632 8,759 10
On a f(1,5) x 0 0
x
Exercice 10 (voir réponses et correction)
Déterminer lim x2 1 - 3 - 2 . En déduire lim x2 - 3x - 2
x→+∞ x x2 x→+∞
En utilisant une méthode similaire déterminer lim x3 + 3x2 - 5x + 1 .
x→-∞
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Limite d'un inverse
0 0
Si g a pour limite l' ≠ 0 par valeurs par valeurs +∞ ou - ∞
supérieures inférieures
Alors 1 1
g +∞ -∞ 0
l'
a pour limite
Les résultats deux tableaux précédents permettent de trouver les résultats pour un quotient :
Limite d'un quotient
Si f a pour limite l l l≠0 0 +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ +∞ ou -∞
0 0
par valeurs par valeurs
+∞ ou
Si g a pour limite l' ≠ 0 supérieures
0 supérieures
l' ≠ 0 +∞ ou -∞
-∞ ou ou
par valeurs par valeurs
inférieures inférieures
Alors f l +∞ ou -∞ pas de +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ pas de
g 0 suivant les résultat suivant les suivant les résultat
l'
a pour limite signes général signes signes général
Exercice 11 (voir réponses et correction)
Donner la limite de f en 0 dans chacun des cas suivants. (On distinguera éventuellement deux cas)
f(x) = 1 ; f(x) = 1 ; f(x) = 1 ; f(x) = 1 + 1 ; f(x) = x + 1
x+1 x5 x x x2
f(x) = 1 - 1 ; f(x) = x + 1 ; f(x) = x - 1 x + 1 ; f(x) = 1 - x
x-1 x2 x x x2
Exercice 12 (voir réponses et correction)
Déterminer lim x +x ; lim x(x + 1) ; lim 1 ; lim x
x→4 x→-∞ x→+∞ x2 + 1 x→0 x2 + 1
x>0
Exercice 13 (voir réponses et correction)
Déterminer les limites suivantes. (On distinguera éventuellement deux cas)
lim 1 ; lim 1 ; lim 1 ; lim 2 ; lim 1
x→2 (x - 2)2 x→3 x2 + 1 x→1 x - 1 x→-1 (x + 1)2 x→-1 x+1
x>1
lim x - 1 ; lim x - 1 ; lim -1 ; lim 2x ; lim x - 1
2
x→ 2x + 1 x→ (2x - 1) x→3x-3 x→0 x+3 x→ 2x - 1
1 1 1
2 2 2
Exercice 14 (voir réponses et correction)
Déterminer les limites suivantes. (On distinguera éventuellement deux cas)
lim x ; lim x-5 ; lim x-5 ; lim x-5 ; lim x-5
x→2 2 - x x→0 x2 + x - 2 x→1 x2 + x - 2 x→-2 x2 + x - 2 x→5 x2 + x - 2
1 +1 1 + 1
x x-1 x+1
lim x - 3 ; lim x ; lim 2x + 5 ; lim ; lim
x→1 x2-1 x→+∞ 1 x→2 x 2-x-2 x→0 x + x x→+∞
x0
x+ x
x
Remarque
On peut, avec une calculatrice, confirmer la limite d'une fonction f en cherchant certaines valeurs.
Pour f(x) = x + 1 , le calcul de la limite nous montre que lim f(x) = +∞ .
x2 x→0
En recherchant avec une calculatrice la valeur de f(x) pour une valeur de x "très proche" de zéro, on doit
trouver un nombre très grand positif.
On obtient par exemple f(0,0001) ≈ 100010000 ; f( -2 x 10-10) ≈ 2,5 x 1019
On peut aussi afficher la représentation graphique de f et observer la courbe au voisinage de x = 0.
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Exercice 15 (voir réponses et correction)
1°) Vérifier que lim x3 - x2 se présente sous une forme indéterminée.
x→+∞
Déterminer cette limite en factorisant x3 dans l'expression x3 - x2 .
3
2°) Vérifier que lim x + x se présente sous une forme indéterminée.
x→-∞ x2 + x
Déterminer cette limite en factorisant x3 dans l'expression x3 + x , et x2 dans l'expression x2 + x .
Règles opératoires
La limite en +∞ ou en -∞ d'une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
La limite en +∞ ou en -∞ d'une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est égale à la limite du
quotient de ses termes de plus haut degré.
Exercice 16 (voir réponses et correction)
Déterminer
lim x2 + 2x ; lim x2 - 2x ; lim x3 - x2 - 5 ; lim x3 - x2 - 5 ; lim x3 - x2 - 5
x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→-∞ x→0
lim 2x4 + x2 - 1 ; lim 2x4 + x2 - 1 ; lim - 2x4 - x3 + x ; lim -2x4 - x3 + x ; lim x2 - x - 1
x→+∞ x→-∞ x→+∞ x→-∞ x→+∞ x
Exercice 17 (voir réponses et correction)
Déterminer
2 x2 x2 3 2 3 2
lim x ; lim ; lim ; lim 2x + 3x - x - 1 ; lim 2x + 3x - x - 1
x→+∞ x + 1 x→-∞ x + 1 x→0 x + 1 x→+∞ x 3+x x→-∞ x 3+x
Exercice 18 (voir réponses et correction)
Déterminer
2 3 - x2 2 2
lim x3 + 2x2 + 1 ; lim x + x + 1 ; lim ; lim 2x - 3x - 4 ; lim 2x - 3x - 4
x→-∞ x→+∞ x-2 x→-∞2x2 + x + 5 x→+∞ x3 - 3x + 1 x→0 x3 - 3x + 1
Propriété
a,b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞.
Si lim u(x) = b et lim f(X) = l , alors lim f(u(x)) = l
x→a X→b x→a
On note aussi lim f o u (x) = l
x→a
Exemple
On considère la fonction h définie sur IR par h(x) = 4+ 1
x2 +1
On peut justifier que lim 4 + 1 = 4 et on a lim X =2
x→+∞ x2 + 1 X →4
On en déduit que lim 4+ 1 =2
x→+∞ x2 + 1
Exercice 19 (voir réponses et correction)
Déterminer lim 1 ; lim 1+1 ; lim 3 + x2 lim 1
x→0 2+ 3x2 x→0 x x→-∞ x→-2 x2 - 4
x>0 x -1
f(x) x→+∞ 2 + x2 x→+∞ 2x - 1 x→+∞ f(x) + 3 x→0
x0 xa xa x2
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Exercice 23 (voir réponses et correction)
Soit f définie par f(x) = 3x + 5 .
x-4
Donner l'ensemble de définition de f et déterminer les limites de f aux bornes de cet ensemble.
En déduire l'existence d'asymptotes à la courbe représentative de f.
Vérifier en traçant la courbe avec une calculatrice ou un grapheur.
Définition
Soit a et b deux nombres réels.
Si lim f(x) - (ax + b) = 0 , on dit que la droite d'équation y = ax + b est asymptote (oblique) à la courbe
x→+∞
de f au voisinage de +∞.
Si lim f(x) - (ax + b) = 0 , on dit que la droite d'équation y = ax + b est asymptote (oblique) à la courbe
x→-∞
de f au voisinage de -∞.
Graphiques
y = ax + b
y = ax + b
y = ax + b
lim f(x) - (ax + b) = 0 lim f(x) - (ax + b) = 0 lim f(x) - (ax + b) = 0
x→+∞ x→+∞ x→-∞
Remarque
Dire que la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de +∞
signifie aussi que f(x) = ax + b + ϕ(x) avec lim ϕ(x) = 0 .
x→+∞
Exercice 24 (voir réponses et correction)
2
Soit f définie par f(x) = (x - 1) .
x-2
1°) Donner l'ensemble de définition de f et déterminer les limites de f aux bornes de cet ensemble.
2°) Montrer que pour tout x ≠ 2, on a f(x) = x + 1
x-2
3°) Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de f.
4°) Justifier que f(x) - x > 0 pour tout x > 2 et f(x) - x < 0 pour tout x < 2.
Interpréter graphiquement ces inégalités.
5°) Vérifier en traçant la courbe avec une calculatrice ou un grapheur.
Exercice 25 (voir réponses et correction)
Sur le dessin ci-contre la représentation
graphique d'une fonction f est tracé en bleu.
À l'aide de ce graphique,
• donner les limites de f quand x tend vers
-∞ ; -2 ; -1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; +∞
• indiquer les asymptotes à la courbe.
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