Us nd una ba lnz p a ra m e dr m a s o p e s a o a a i a o
A nge lManz Guz ¶n ur m a De p art m e nt d F³i ,C B I,UA Ma o e ¶ ca s I e - a i am g@xanum . m . x m l : ua m
R e ci d: 1 e novim bre d 2 003. bio 1d e e A ce p t o : 2 8 d novim bre d 2 003. ad e e e Into d ¶ r uccin o C on l re s ucin d p r oblm a sd fsca s bus a ol ¶ e o e e ¶i e ³ ca q ue e le suda nt s a ca p a z d us r corr e ct e nt t i e e e a am e l osconce p t ¶ i osfscosy lshe r ra m int sm a t m ¶ i s ³ a e a e a tca ; q ue i e rp re t l s ucin y l utl p a ra p r e dci nt e a ol ¶ o a ice i e r re s t osy cal a r e le f ct p ro d d e n e lr e s ulad cul e o ucio ul t d cuand s va r¶ n l a o o e ³ osval sd a l a ore e gunosp a r¶ e am t ; y q ue s a ca p a zd ge ne r al a r lscond one s ros e e i a z i ci dlp roblm a p a ra i ui otose f ct n e lr e s t e e ncl r r e ose ula d o.Una ve z q ue e le suda nt ha obt nio l s ut i e e d a ol cin t ¶ i a be e n q u¶ p ar t dlp ro ce s s i roo ¶ e o r ca,s e e e o e nt d ron lsap r oxi a ci so i e a l aci sq ue p e ruje a m one d i one z m iiron l ar una s ucin s ncia y, te ogr ol ¶ e l o l cons cue nt e e m e nt ,cono ce l l e osa cance sy l ia ci sd l s ui t one e a ol m cin e n lsp osblsap l ci s o ¶ a ie i one . ca L q ue s bus no e sl ap l cin d una r e ce t o e ca a i ¶ e ca o a o una f rm ul,sno l com p re ns¶ d l fsca i o ¶ a i a in e a ¶ i no ³ vol ad y e lds rr olo d ha bidds a re s ue s ucr a e a l e l a e .L i p t num ¶ ca a cua luir p r oblm a e n e l ve l lm e na e ri q e e ni e e t lno e st i p ort nt com o l s lsha bidds a an m a e o on a la e i o he rra m int sus dsy l e xp e rinci q ue s a d uie a a a a e a e q e re alt ba ja r e n l b¶s ue d d l s ucin.E li ra a u q a e a ol ¶ o nt r¶ sq ue ca d e sud nt , l p r¶ i d re s e e se a t i e con a a ctca e a ol ve r p roblm a s t nga s m a q ui ri m e nt e ,e u na a albin e ne t na d p a ra q ue p ue d re s ve r l roblm a sq ue re a a ol osp e s l p re s nt n.N ue sr a m e t e sp re p a ra r e sud ne e e e t a t i a t sp a ra t d osp osblsf uros rm ¶ ol e o osl i e ut ,a a nd oscon e lm o d cint¯co d p e ns r. o e ¶ ³ e a Una gu¶ o e sr uct a f a m e nt e c¶ o re s ³ a t ur und ald o m ol ve r p roblm a sayud a l sud nt s p ue slsi i e a ose t i e , a e ndca l a s ri p a ls a s osp osp nci e , ¶ ³com o s a rt sre lva nusp e e t s y e lordn e n q ue dbe n le var s a ca bo; p rop ore , e e l e ci e lm e nt ue sr ve n p a ra ve ri r s osr e ona e osq i ¯ca il s t d nt rm e dosy ¯nalss corre ct .L ula osi e i e on os osp a s ri p a lsd una gu¶ p rop ue sa r e cint m e nosp nci e e ³ a t e e t [1 ] on: e ,2 s ²p lnt a m int y a n¶ ii a e e o a l scua l a tvo s i i t ²an¶ ii a t m ¶ i a l sm e a tco s ²i e rp re t cin fsca d l s ucin. nt a ¶ ¶ i e a ol ¶ o ³ o C ad uno d e sosp as a e t osconsse d va risp a rt s it e a e ; p or e je m p l o,ca s a rtculre s s ¶ ie y a p l osp i a ,ca osl t ³ m i ca ci s p ue dn s r ana l ad e n e l¶li o p as one e e i os z u tm o p ri p al nci . A q u¶ e p re s nt l obt ncin d l s ucin d un ³s e a a e ¶ e a ol ¶ e o o p roblm a d m e c¶ ca e lm e nt ld e s ha n s e e a ni e a ond e e gui o l p a s p ri p a ls p rop ue sos a i e nd os os nci e t .L nt cin e n e se a rtcul e si tar con un e je m p l e l o ¶ t ¶ o ³ l r us o p ro ce s d c¶ o r e s ve r un p roblm a d m e c¶ o e om ol e e a ni ca e lm e nt ly,p r i p a l e nt ,d c¶ o i e rp re e a nci m e e om nt t l s ucin.L cl p a ra re s ve r p roblm a s ar a ol ¶ o a ave ol e nue vosy dfci se s¶ cont nia e n e lconjunt d i l ¶ e ³ t a e d o e habi ddsq ue s ad uir e n alr e s ve r p roblm a s la e i e q e ol e s ncios e l . l Pr o blm a [3] e Una ca j sn t p a s colca s a i a e o obre una ba lnz ,l a a a cua ls a j t p ar a q ue m a rq ue ce ro cua nd l ca e usa o a j e s¶ va c¶ a t a ³ a.De s u¶ e dj n ca e r e n l ca j va ris p e ss e a a a a ca ni se n f m a s sva ds e una a lura h,m e dca or uce i e d t i d ds e e lf o d l ca j ,a ra z n d R cani s a e d ond e a a o ¶ e ca p or s gund a d cani te ne una m a s m .C one o.C a ca i a sdra r q ue l ie ascol i se nte lsca ni sy l ca i one s r a ca a j p ue dn s r t dscom p lt m e nt i lsi so t a e e o a e a e ne ¶ tca a od lsi .Ha l l lct d l ba lnz e n f ase ¶ tcas a l a e ura e a ar a a uncin dlte m p o ds e q ue ls ca ni s com inz o ¶ e i e d a ca e an a cae r. Plnt a m int a e e o E n l ¯gura sguint s i t un conjunt d ca ni a i e e e l ra us o e ca sq ue ava nz n con i a gual l d horiont ls p a ve oci ad z a , e ra d nt s or una dsa nci consa nt e i l a ase re ¶ ³p it a t e gua p ra t d ,d t lm ane ra q ue a lcae r p ro d r ¶ col o as e a ucia n i sone scon l ca ja, ra ns ind i e rval e te m i a t curr e o nt osd i p o con l m im a d cin e nt col i ss sva s a s ura ¶ o re i one uce i . s Sup ond m osq ue e n e l s d l re ca o e ascol i se lsi s i one ¶ tca s a hay un ds ostvo q ue a t p a a lsca ni ip ii ra a case n s u 1 9
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C o nt ct S 52 ,1 { 2 ( 003) a o 9 2 2
z i p uli p rom e d y ¢ t e se lte m p o q ue d a m sva i o i ura l col in. a i¶ so E n e se p r oblm a t ar e m oscom o sse m a d re f t e om it e e re nci l co ordna d ve r tcalY p ostva ha ci a rri a a e a i ii a ba, e dd ds e e lf o d l ca j .L se cua ci s m ia e d ond e a a a one ci m ¶ i ne a tcasq ue ds be n e lm ovi int d una ca e cri m e o e ni q ue s dj ca e r con ve l ci ad rtca l a , e s ca e e a o d ve i nul d d una alura h,s e t on: g y= h ¡ t2 2 p ar a l p oscin m e dd ds e e lf o d l ca ja ,y a i¶ o ia e d ond e a v=¡ gt p ar a l ve l dd lte m p o d ca¶ a s ca l a ha a ocia .E i e ³ e d cul cind y= 0 e n l p ri e ra e cua cin,e se te m p o s e o a m o ¶ t i e s tt e n l s gund e cua cin p a ra obt ne r l ve usiuye a e a o ¶ e a lci a dq ue l ca ni te ne a ll ga r a l ca j ; l o d a ca i l e a a l a m e m osva a l m a gniudd e sa ve lcia d a t e t o d ,con e l s ³ i a s i i s va l j t a nt sd l col ub¶ ce nd e ndca u or uso e e a i s¶ in.Se obte ne q ue l m a gniudd l ve lcia dcon o i a t e a o d q ue l ca ni t ca e lf o d l ca ja e s a ca o ond e a Fi a 1 L sca ni ss i¶ i , ni al e nt te gur : a ca on dntcas i ci m e e i ne n ve lcia dve rtcalnul,y ca e n ds e una aluo d i a e d t ra h. re bot p a ra e via r q ue vue l n a ca e r e n l ca ja,y e t va a q ue e n e lcas d lscol i si lsi shay ot o e a i one ne ¶ tca s a ro ds ostvo q ue e via q ue una ca ni ca i e nci a d ip ii t ca ga m e ot . m e r o s ca l a r¶e l m bi e n e lm p e t q ue ra Pri e cul a ca o ¶ ³ u una cani s re com o r e s t d d s col in con l ca uf ula o e u i¶ so a ca ja .De s u¶ ,s cal a r¶ l lct d l balnz p es e cul a a e ura e a a a t a nd e n consdra cin e ltp o d cols¶ om o ie o ¶ i e iin. o A n¶ ii at m ¶ i a l sm s e a tco R e cordm osq ue a p a rtr d l s gund ly d N e w e i e a e a e e e t e n una d e ns¶ xp re s d com o F = dp ,s on i m in,e o a a dt obte ne i Z va= p 2 gh :
A e se r e s t d t m bin s l ga us nd l cons r t ula o a ¶ e l e e a o a e va cin d l e ne rg¶ m e c¶ ca,p ue sl e ne rg¶ p oo ¶ e a ³ a a ni a ³ a t ncilq ue l ca ni te ne e n l p oscin h e smgh , e a a ca i a i¶ o s s ni l r o s col ca e n e lf o d l ca ja , t i u ve ce e o ond e a y od s convir t gra d m e nt e n cie tca a d uiina e e e ual e n¶ i q re 2 t a o a d e lva l 1mva juso a lha ce r cont ct con l ba o or 2 s d l ca ja . e e a Si a cani r e bot , lm e m osvd a l m a gniudd l l ca a l a a t e a ve lcia di e da t m e nt ds u¶ e l col in.E l o d nm ia e e p e sd a i¶ so ¶ p e t a nt sy ds u¶ e l col in e sp a= ¡ a ³ m u e e p e sd a i¶ so mv y p d = mvd ,re s e ctva m e nt .Por t nt lca m bi p i e a o,e o e n e l³ p e t e s ¶ m u ¢ p = p d ¡p a= mvd + mva : () 1
¢ p =
F dt:
E lp r i e r m im bro d e sa e cua cin r e p re s nt e l m e e t o ¶ e a ca m bi e n e l¶ p e t p r o d d p or l col in.E n o ³ m u uci o a i¶ so e ls gund m im bro l i e gr aldbe e f ct rs e n e o e a nt e e ua e e lte m p o q ue d l col in; l f r z i p uli i ura a i ¶ a ue a m so sva F ,e n ge ne r al e p e nd dlte m p o y te ne una f ,d e e i i orm a com p l a.E n a l i cad gunosca s l l d e sa i ose va or e t nt gr als t a com o F p ¢ t, ond e sa F p e sl f re e om d e t a ue
Si se ca m bi e n e l m p e t s p ro d e n un te m p o e t o ¶ ³ u e uce i e a a t ¢ t,e nt once se lco cint ¢ pt re p r e s nt l m a gniud e e ¢ d l f r z i p uli p rom e d e a ue a m sva i o. E n e se m om e nt dbe m os t a r e n cue nt s a t o e om a il col in e s com p lt e nt i lsi o e lsi i¶ so e am e ne ¶ tca a a ¶ tca.Se har ¶ l s oscin d q ue l ca ja y l ba lnz no s a a up i ¶ e o a a a a e m ue ve n dbio a l col in,y q ue l ba lnz te ne e d a i¶ so a a a i una r e s ue sa t lq ue l ha ce ca p a z d re gitar e l p t a a e sr i p a ct d cad col in. m o e a i¶ so
Us nd una balnz p a ra m e d m a s o p e s a o a a i r a o. A nge lManz Guz ¶ ur m a n.
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Fi a 2 : E n e lcas d col i se lsi ,l s n alq ue r e git l ba l a t nd³ un com p or t m int e n e l gur o e i one s a ¶ tcas a e ~ sra a anz e r¶ a a e o te m p o com o e laq u¶m osra d i ³ t o. C o l in co m p lt e nt i lsi i¶ so e am e ne ¶ tca a E n e se ca s vd = 0,p ue sds u¶ e l col in ca t o e p e sd a i¶ so d ca ni q ue d ad ri a a l ca j ( o dm osp e na ca a he d a a p e s r q ue e n l ba s d l ca ja e xit a lu n tp o d p e a a e e a se g¶ i e gam e nt .C on e ls ³ i i s ha r¶ re f re nci a o) ub¶ ce nd e a e a q ue l col in e scom p lt m e nt i lsi ,d e s a i¶ so e a e ne ¶ tca e a t m a ne ra e lcam bi e n e l³ p e t d o e n l e cua a o ¶ m u ad a cin ( )e s o ¶ 1 p ¢ p i = mva= m 2 gh : () 2 C o l in e lsi i¶ so a ¶ tca A df re nci d l q ue o curre cuand ls col i i e a e o o a i os ne s s com p lt m e nt i lsi , a hor a l ba on e a e ne ¶ tcas a a lnz no dt ct e lp e s d ls cani s p ue s ni a a e e a o e a ca nguna d e l s p e rm a ne ce e n l ca ja ; u ni m e ne l a a ¶ ca t dt ct l f rz i p uli p rom e do d ca d e e e a a ue a m sva i e a col in. E l ca m bi e n e l¶ p e t d cad ca ni i¶ so o ³ m u e a ca ,e xp re s o e n l e cua cin ( ) hora e s 2 mva ad a o ¶ 1 ,a p ue s a nt s y ds u¶ d l col in ls ve l ci a e e p es e a i¶ a so o d dste ne n i lm a gniud lca m bi dl³ p e t e s e i gua t .E o e ¶ m u ¢ p e ( ls ³ i ha ce re f re nci a q ue l col in e ub¶ ce nd e a a i¶ so e se lsi ) a ¶ tca p ¢ p e = 2 m 2 gh : ( 5)
C om o a l ca ja l ga n R ca ni a l e cascad s gund e nt a e o, once se lte m p o q ue tans re e nte d i r cur r oscolsone ss ii u1 a t e a ue a m ce sva se stR = R .L m a gniudd l f rz i i p uli p r om e d e je rcia p or lsca ni salca e r s sva i o d a ca obre l ca ja e s a p F p = mR 2 gh : ( 3)
A n¶ ogam e nt alca s d col i scom p lt m e nt al e o e i one s e a e i lsi s a f rz i p uli p r om e do e s ne ¶ tca ,l ue a m a sva i p F p = 2 mR 2 gh : p () 6
Por ot p a rt ,com o a l ca ja l ga n R cani ra e a l e casca d s gund nt a e o,e once se ln¶m e ro d ca ni sq ue l u e ca l e gan e n e lte m p o t e sn = Rt, e n l ca ja s a cum ui y a e l una m a s M ( a a t)= mn = mRt. l e s d e sa m a E p o e t s acum uld e n e lte m p o t e sM ( g.Sil ba lna a a i t) a a z e s¶ds n ad p ar a r e git r p e s , nt a t ie ~ a a sra os e once sl lca e t ura L P i ( n N ) n f e ,e uncin dlte m p o,e se lp e o ¶ e i s M ( gd l o t) e asca ni sq ue s ha n a cum uld e n e l ca e a o te m p o t m ¶ a f rz q ue p rovine d l tanse i a sl ue a e e a r f re nci dl³ p e t sdci a e ¶ m u,e e r p L p i = M ( g+ F p = mgRt = mR 2 gh : t)
d t lm a ne ra q ue e lp e s q ue re git l ba lnz e s e a o sra a a a L p e = 2 mR 2 gh : () 7
A q u¶ e ha s ue so q ue lscani sr e bot n e n l ³s up t a ca a a ca ja y no vue l n a ca e r e n e l . ve l a Int r p r e t ¶ fsca d l s l ¶ e acin ¶ i e a o ucin o ³ o N ¶ e s q ue l f rm ul ( ) ue re p re s nt l lct ot e a ¶ o a 4,q e a a e ura d l ba lnz cua nd lscolsone ss com p le a a a o a ii on e t e nt i lsi s am e ne ¶ tca ,consse d d ¶ i a it e ost rm nosd l e e os cua lsuno dp e nd e xp l t m e nt dlte m p o y cre e e e ¶ a ³ ci e e i ce lne a l e nt con ¶.E lp ri e r t rm i r e p re s nt i m e el m ¶ no e e a al e s d l m as q ue s ha a cum uld e n l ca ja e n p o e a a e a o a e lte m p o t; e ls gund t rm i r e p re s nt l f rz i e o ¶ no e e a a ue a q ue p rovine d l t nse re nci dl m p e t E n ca m e e a ra f a e ¶ ³ u. bi n l f rm ul ( )q ue re p re s nt e lca s d col o,e a ¶ o a 7 e a o e i sone se lsi ss l a p a re ce e se u li o t rm i p e i a ¶ tca ¶ o o t ¶ tm ¶ no, e ro d m a gniudd e als r com p a ra d con e lca e t obl e o s i lsi o ne ¶ tco. a L s n a lq ue re git l ba l a no va r¶ e n f a a e~ sra a anz ³ a orm contnua e n e lte m p o.E n e se p roblm a s dbe n i i t e e e
() 4
E n cam bi il ba lnz e s¶ ds n ad p a ra m e dr o,s a a a t ie ~ a a i m a s ,l lct L M i ( n kg)e s as a e ura e s 2h : g
LM
i
= mRt+ mR
(0 4)
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C o nt ct S 52 ,1 { 2 ( 003) a o 9 2 2
Fi gura 3: V iua l a cin d l s n a lq ue r e git l ba lnz e n e lca s d col i si lsi s s i ¶ e a e~ z o sra a a a o e i one ne ¶ tca . s a dsi r 2 te m p osca ra ct r¶ tcos e lte m p o e nt itngui i e ³i : s i re d oscol i scons cutva s(R = 1 i one s e i t =R)y e lte m p o i q ue d a ca d col in (C ) Pa ra e lca s d lscol ur a i¶ t . so o e a i so ne se lsi ,e soste m p oss i t n e n l ¯i a ¶ tcas t i e l ra us a gura 2 ,d e t m bin s i t l m a gniudd l ond a ¶ e l ra a e us t e a f rz i p uli p r om e do. ue a m sva i E n ge ne ra l lte m p o tC e sm uy p e q ue n o,dlor,e i ~ e dn d m i s gund .E n ca m bi lte m p o tR p ue e e le i os o,e i d s r com p ar atvam e nt gra nd, e e i e e com o e n e lca s d o e una l l d agua q ue got a.Pa ra cal a r l t ns ave e e cul a ra f re nci dl³ p e t e n cad col in e lsi ,e sri e a e ¶ m u a i ¶ ¶ tca so a t ct m e nt dbe us s tC p ue se se te m p o re p r e s na e e ar e t i e t l d cin dlca m bi dl³ p e t ua nd no e s a a ura ¶ e o o e ¶ m u.C o ne ce s i ha ce r l d tncin e n e soste m p os s op ar o a ii ¶ s o t i ,e t p or i a gnora r e l im p o tC y s us e l im p o tR p a te e a te ra ca l a r e lp rom e d d l f rz q ue re gita l cul i e a ue a o sr a ba lnz a a. E n e lca s d lsco l ine si lsi s a lct o e a io s ne ¶ tca ,l e ua ra d l ba lnz r e p re s nt a p or l f r m ul ( )i e a a a e ad a ¶ o a 4 ndca q ue va r¶ l a l e nt e n e lte m p o.Pe r o s i ³ i m a ne e i a be m osq ue e so no p ue d s r d m a ne r a contnua, t e e e i ya q ue d nt e lte m p o q ue t ns ura e i ra curre e nt col re i sone ss sva sno hay a p ort one salp e s q ue s i uce i aci o e a cum ul nia l tanse re nci dl³ p e t a lct a a r f a e ¶ m u.L e ura q ue l ba lnz r e git ( o r e s ue sa a lscoa a a sra com p t a l i s o d³ viua l a rs com o e n l ¯gura 3. i one )p r¶ s i e s a z a C ad e s ln e n e ld gra m a re p re s nt l cont a ca ¶ o i a e a a ri bucin d l f rz i p uli m ¶ a cont bucin o ¶ e a ue a m sva a sl ri ¶ o dlp e s d una cani .E se e f ct s obs r va cua ne o e ca t e o e e d uno s la y ca e s o at obre una balnz y p e rm a ne a a ce p a ra d s e e l ; i cil e nt l ba lnz r e gio obr l ni a m a e a a a s t un p e s m ayor a lre aly ds u¶ lval d m i ra o e p e se or i s nuye e q ui br¶ os e n e lva l ve r d e ro. l a nd e i or ad B i igr afa bl o ¶ ³ 1 A .Ma nz . ur.Pa s a ra l re s ucin d p roblosp a ol ¶ e o e m a s nt os o.38,4 000. .Co act ,N 5,2 2 . A .Ma nz ur.Pa s a ra l re s ucin d p roblosp a ol ¶ e o e m a s .R e vit Me xi .2 sa cana d F³i e ¶ ca,4 ( ) 7 5, s 7 2 ,1 2 001 . 3. R .R e s ck,D.Ha l d y K .S.K ra ne .F³i ni l ay i ¶ s ca.V ol e n 1 ui a e d ¶ e n i ¶ cuar t um ,q nt i o n ci ngls( e a e dcin e n e s a n ol.C E C SA , e xi 2 002 .E xi¶ o p ~ ) M¶ co, t ns¶ dlp roblm a 6 e in e o e 8.
cs