Programación Matemática para Economistas Una empresa produce dos artículos A by rockman13

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									Programación Matemática para Economistas




17.- Una empresa produce dos artículos A y B obteniendo un beneficio unitario de 7 y 4
u.m. respectivamente por cada uno de ellos. Por necesidades del mercado, se exige que la
producción del artículo B sea al menos de 2 unidades, y que la producción total sea como
máximo 6 unidades. Además, por determinadas características del proceso productivo, se
impone también que el doble de la producción del artículo B no supere la producción del
artículo A en más de 7 unidades.


a)       Halle la producción de los artículos A y B que maximizan el beneficio.
b)       Compruebe gráficamente la solución anterior.
c)       ¿Cambiaría la base óptima si el beneficio del artículo A valiera 4 en lugar de 7? ¿Y la
         solución cambiaría? En caso de cambiar la solución, obtenga la nueva.
d)       Si exigimos que el número de unidades del artículo B sea superior a 3 y que la
         producción total pueda llegar hasta 7, ¿cuál sería ahora la nueva solución?

Solución:


a) Sea x1 la cantidad que produce la empresa el artículo A y x2 la cantidad del B. La
   expresión del beneficio total de la empresa es:
                                       B(x1, x2) = 7x1 +4 x2.
     Por las características del proceso productivo se ha de verificar:
     •     La cantidad producida del bien B debe ser mayor o igual que 2 unidades: x2 ≥ 2.
     •     La producción total no puede superar las 6 unidades: x1 + x2 ≤ 6.
     •     El doble de la producción del bien B (2x2) no debe superar la producción de A en
           más de 7 unidades: 2x2 ≤ x1 + 7.
     Por tanto, el problema resultante es:
                                           Max 7 x1 + 4 x 2
                                           s.a.           x2 ≥ 2
                                                    x1 + x 2 ≤ 6
                                                  − x1 + 2 x 2 ≤ 7
                                                     x1 , x 2 ≥ 0
     Resolviendo este problema con el programa LINDO, con análisis de sensibilidad
     incluido, obtenemos la siguiente solución:




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    Es decir:
         •   La empresa debe producir cuatro unidades del bien A y dos del bien B.
         •   Con ello obtiene un beneficio de 36 u.m.
         •   Las variables de holgura correspondientes a las dos primeras restricciones valen
             cero, con lo cual, estas dos restricciones son activas. La variable de holgura de
             la tercera restricción alcanza un valor de 7.
         •   Los zj –cj de las dos variables no básicas (columna dual prices) son distintos de
             cero. Por tanto, la solución del problema es única.
b) El siguiente gráfico nos muestra que el vértice (x1 = 4, x2 = 2) es la solución óptima del
   problema y que se alcanza en la curva de nivel 36 (k = 36).




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c) El valor actual de ese coeficiente es c1 = 4. A partir del análisis de sensibilidad obtenido
   con el programa LINDO, observamos que la base óptima no cambia si el coeficiente
   asociado a la variable x1 aumenta y si lo reducimos hasta 3 unidades. Por tanto, el
   intervalo de sensibilidad de c1 es [4, ∞). Así pues, para c1 = 7 la base sigue siendo
   óptima, la solución óptima no cambia.
d) Para abordar esta cuestión utilizando el programa LINDO, resolvemos el problema de
   nuevo, modificando los recursos de las dos primeras restricciones. La solución que
   obtenemos es la que aparece en la siguiente ventana. Como podemos observar:
    •   Ahora la empresa debe producir cuatro unidades del primer bien y tres del segundo.
    •   El beneficio máximo es ahora de 40 u.m.
    •   La base óptima no ha cambiado respecto de la del problema original. Las dos
        primeras restricciones siguen siendo activas y la tercera inactiva.




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