Modul Matematika - kalkulus1 by eri0518ase

VIEWS: 1,837 PAGES: 25

More Info
									                    PENGANTAR KALKULUS

 Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA
                          Jenjang Dasar
                Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004
                      di PPPG Matematika




                            Oleh:
                    Drs. SETIAWAN, M. Pd.
            Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

==============================================================
                              ===
               DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
     DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
   PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN GURU (PPPG) MATEMATIKA
                         YOGYAKARTA
                             2004
                              DAFTAR ISI

                                                            Halaman
Bagian Awal
Kata Pengantar ………………………………………………………………………… i
Dafatar Isi …………………………………………………………………………….… ii
Bagian I Pendahuluan ………………………………………………………………... 1
A. Latar Belakang ……………………………………………………………………… 2
B. Tujuan Penulisan …………………………………………………………………… 2
C. Sasaran ……………………………………………………………………………… 2
D. Ruang Lingkup Penulisan ……………………………………………………………2
E. Pedoman Penggunaan ……………………………………………………………….. 2
Bagian II Limit Fungsi ………………………………………………………………… 3
A. Latar Belakang ……………………………………………………………………….. 3
B. Limit Fungsi Aljabar………………………………………………………………….. 3
  1. Limit Fungsi Secara Intuitif ……………………………………………………….3
  2. Limit Fungsi Secara Formal ……………………………………………………….4
  3. Pengertian Limit di Tak Hingga …………………………………………………10
C. Limit Fungsi Trigonometri …………………………………………………………. 15
D. Limit Fungsi Eksponensial …………………………………………………………. 16
F. Kontinuitas …………………………………………………………………………. 21
Bagian III : Turunan Suatu Fungsi ………………………………………………… 23
A. Turunan Fungsi Aljabar ……………………………………………………………. 23
B. Turunan Fungsi Trigonometri ……………………………………………………… 27
C. Turunan Fungsi Tersusun (Fungsi Komposisi) …………………………………….. 28
D. Turunan Fungsi Logaritma ………………………………………………………….30
E. Turunan Fungsi Eksponensial………………………………………………………..30
F. Turunan Fungsi Implisist ……………………………………………………………31
G. Turunan Jenis Lebih Tinggi …………………………………………………………31
H. Fungsi Naik dan Fungsi Turun ……………………………………………………...35
I. Nilai Stasioner Fungsi ………………………………………………………………36
J. Penentuan Maksimum dan Minimum Dengan Menggunakan Turunan Kedua …….37



                                   ii
K. Penerapan Diferensial dalam Bidang Ekonomi …………………………………… 39
  1. Elastisitas Permintaan …………………………………………………………..39
  2. Analisis Marginal ……………………………………………………………….41


Bagian IV : Kalkulus Integral ………………………………………………………..45
A. Integral Taktentu …………………………………………..……………………….45
  1. Integral sebagai operasi invers dari turunan …………………………..……….45
  2. Pengintegralan Dengan Substitusi……………………………………………...47

  3. Menentukan   ∫   a 2 − x 2 dx dengan substitusi x = a sin t dan y = a cos t ……. 50

  4. Integral Parsial ………………………………………………………………. 54
                          du
  5. Pengintegralan   ∫    u
                             ………………………………………………………….. 58

B. Integral Tertentu ……………………………………………….………………… 61
  1. Pengertian Integral Tertentu (Integral Riemann) …………….……………… 61
                          b
  2. Menentukan nilai ∫ f ( x )dx ………………………………………………….. 62
                          a

  3. Menentukan Volum Benda Putar…………………………………………….. 66
  4. Panjang Busur (Materi Pengayaan) ………………………………………….. 67
  5. Penerapan Integral dalam Bidang Usaha dan Perekonomian …………………70


Bagian Akhir ………………………………………………………………………… 73
Daftar Pustaka …………………………………………………………………………73




                                          iii
                                     BAGIAN I
                                   PENDAHULUAN

A. Latar Belakang.
   Tujuan khusus pengajaran matematika di Sekolah Menengah Umum (SMU) adalah :
   a. Siswa memiliki pengetahuan matematika sebagai bekal untuk melanjutkan ke
      pendidikan tinggi.
   b. Siswa memiliki keterampilan matematika sebagai peningkatan matematika
      Pendidikan Dasar untuk dapat digunakan dalam kehidupan yang lebih luas (di
      dunia kerja) maupun dalam kehdupan sehari-hari.
   c. Siswa mempunyai pandangan yang lebih luas serta memiliki sikap menghargai
      kegunaan matematika, sikap kritis, logis, obyektif, terbuka, kreatif serta inovatif.
   d. Siswa memiliki kemampuan yang dapat dialih gunakan (transferable) melalui
      kegiatan matematika di SMU.
   Memperhatikan butir-butir tujuan khusus tersebut di atas, maka kedudukan kalkulus
   dalam Garis-garis Besar Program Pengajaran SMU akan menjadi cukup sentral,
   sehingga materi ini harus mendapatkan perhatian yang cukup serius menyangkut
   masalah penguasaan materi, pemilihan metoda pembelajaran yang pas dan penentuan
   strategi serta teknik mengajar yang serasi.
   Namun demikian melihat kenyataan di lapangan baik lewat monitoring dan evaluasi
   bagi para alumnus penataran di PPPG Matematika maupun diskusi-diskusi di MGMP,
   ternyata materi ini kadang-kadang masih dijumpai kendala di lapangan. Oleh karena
   itu pembahasan mengenai materi kalkulus ini perlu mendapatkan porsi yang memadai
   pada penataran-penataran guru matematika, terutama yang diselengggarakan oleh
   PPPG Matematika Yogyakarta.
   Di samping itu kalkulus merupakan salah satu materi yang memiliki cakupan aplikasi
   yang sangat luas, baik dalam tubuh matematika itu sendiri, maupun dalam cabang-
   cabang lmu-ilmu yang lain, seperti dalam bidang sains, teknologi, ekonomi dan
   sebagainya. Oleh karena itu para siswa terlebih-lebih guru matematika SMU harus
   mendapat bekal materi kalkulus ini sebaik-baiknya.




                                            1
B. Tujuan Penulisan
   Tulisan ini disusun dengan maksud          untuk memberikan tambahan pengetahuan
   berupa wawasan kepada guru matematika SMU dengan harapan :
   1. lebih memahami materi kalkulus untuk SMU dan beberapa pengembangannya,
        terutama masalah limit fungsi, integral dengan substitusi dan integral parsial
        yang ternyata nasih banyak dijumpai kendala di lapangan.
   2. dapat digunakan sebagai salah satu referensi masalah-masalah pengajaran
       matematika SMU pada pertemuan-pertemuan MGMP Matematika SMU di
       daerah.
   3. memperluas wawasan keilmuan dalam matematika, dan khusunya masalah
       kalkulus SMU, sehingga guru dapat memilih strategi pembelajaran yang sesuai
       dengan kondisi di lapangan, sehingga mudah diterima oleh siswa.
C. Sasaran
   Tulisan ini disusun untuk menjadikan bahan penambah wawasan :
   a. para peserta penataran guru-guru matematika SMU, oleh PPPG Matematika
       Yogyakarta.
   b. para rekan guru matematika SMU pada umunya dan juga para pemerhati
       pengajaran matematika.
D. Ruang Lingkup Penulisan.
   Ruang lingkup bahan penataran ini meliputi
   a. limit fungsi dan kontinuitas.
   b. kalkulus diferensial, dan
   c. integral tak tentu serta integral tertentu beserta aplikasinya.
E. Pedoman Penggunaan.
   Bahan penataran ini merupakan salah satu acuan dalam memahami materi tentang
   kalkulus, untuk memahami isi paket ini dengan baik hendaknya terlebih dulu
   dicermati uraian materi beserta contoh-contohnya dengan seksama, kemudian baru
   mencoba soal-soal latihan yang telah disediakan, sesuai dengan topik yang tengah
   didalaminya.




                                             2
                                 BAGIAN II
                               LIMIT FUNGSI


                                A. Latar Belakang
   Kalkulus adalah salah satu cabang dari matematika yang sangat penting dan
 banyak diterapkan secara luas pada cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain,
 misalnya pada cabang sains dan teknologi, pertanian, kedokteran, perekonomian
dan sebagainya. Pada makalah ini akan dibahas tiga pokok bahasan, pokok utama
dari kalkulus yakni limit fungsi, diferensial fungsi dan integral fungsi. Sebenarnya
ada dua cabang dalam kalkulus itu sendiri, yakni kalkulus diferensial dan kalkulus
 integral, dan jika diperhatikan inti dari pelajaran kalkulus adalah memakai dan
menentukan limit suatu fungsi. Bahkan secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan
sebagai pengkajian tentang limit. Oleh karena itu pemahaman tentang konsep dan
  macam-macam fungsi diberbagai cabang ilmu pengetahuan serta sifat-sifat dan
  operasi limit suatu fungsi merupakan syarat mutlak untuk memahami kalkulus
                          diferensial dan kalkulus integral.

                                B. Limit Fungsi Aljabar
                             1. Limit Fungsi secara Intuitif.
                            Perhatikan contoh di bawah ini
                                                          Pandanglah fungsi
              y                                             x2 − 4
                      o                             f(x) =          dengan domain
                                 2 −4                        x−2
                        f(x) = xx −2           Df = {x | x ∈ R, x ≠ 2} untuk x = 2, jika
              2 •
                                                           dicari nilai fungsi
                                                    0
          •                           x      f(2) = = tidak tentu .
         -2      0    2                             0
                                             Kita cari nilai-nilai f(x) untuk x mendekati
                                             2.
                                             Kita dapat memperhatikan nilai fungsi f(x)
                                             disekitar x = 2 seperti tampak pada tabel.
                 Gb.1.1
   berikut :
    x        1,90   1,99   1,999   1,999    …    2    …    2,001    2,01    2,1
    f(x) 3,90       3,99   3,999   3,999    …         …    4,001    4,01    4,1

   Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik dari kiri
   maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, dan dari sini dikatakan
   bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 4, dan ditulis
                      x2 − 4
    lim f ( x ) = lim        = 4.
   n→2            x→2 x − 2




                                           3
Dari pengertian inilah yang disebut pengertian limit secara intuitif, sehingga :

     Definisi limit secara intuitif, bahwa lim f(x) = L artinya bahwa bilamana x
                                                      n →c
     dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.

2. Limit Fungsi Secara Formal
Secara matematis dapat dimaklumi bahwa banyak yang berkeberatan dengan definisi
limit secara intuitif di atas, yaitu penggunaan istilah “dekat”. Apa sebenarnya makna
dekat itu ?. Seberapa dekat itu dapat dikatakan “dekat” ?.
Untuk mengatasi masalah di atas Augustin-Louis Cauchy berhasil menyusun definisi
tentang limit seperti di bawah ini yang masih kita gunakan sampai sekarang.
Pengertian limit secara intuitif di atas jika diberi definisi formal adalah sebagai
berikut.
Definisi :
     Dikatakan lim f ( x ) = L , adalah bahwa untuk setiap ε > 0 yang diberikan
                   x →1
     berapapun kecilya, terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian hingga
     |f(x) – L | < ε untuk setiap 0 < | x – c| < δ.

Dengan menggunakan definisi limit di atas dapat dibuktikan teorema-teorema pokok
tentang limit suatu fungsi sebagai berikut :
1. lim k = k , jika k suatu konstanta.
     x →c
2.   lim (ax + b) = ac + b
     x →c
3.   lim k f(x) = k lim f(x)
     x →c              x →c
4.   lim f ( x ) ± g ( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x )
     x →c                   x →c          x →c
5.   lim f ( x ).g ( x ) = lim f ( x ). lim g ( x )
     x →c                 x →c        x →c
6. Hukum substitusi :
   Jika lim g(x) = L dan lim f(x) = f(L), maka lim f(g(x)) = f(L)
            x →c                 x →c                        x →c
          1     1
7.   lim      =    jika lim g(x) = L dan L ≠ 0.
   x → c g(x) L         x →c
                 lim f(x)
         f(x) x → c
8. lim        =            , jika lim g(x) ≠ 0.
   x → c g(x)    lim g(x)         x →c
                    x →c
9. Teorema Apit :
   Misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi :
    lim f(x) = lim h(x) = L maka lim g(x) = L.
     x →c          x →c                     x →c




                                                   4
Bukti-bukti dari teorema-teorema limit utama di atas adalah :


1. Buktikan lim k = k.
              k →c
   Bukti : Untuk setiap bilangan positip ε > 0 berapapun kecilnya akan didapat δ > 0
           sedemikian untuk setiap x pada |x – c| < δ dipenuhi |k – k| < ε. Dari |k – k|
           = 0, maka berapapun nilai δ > 0 yang diambil yang menyebabkan |x – c| <
           δ akan berakibat |k – k| < ε.


2. Buktikan lim (ax + b) = ac + b.
              x →c
   Bukti :
   Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu ε > 0 betapapun
   kecilnya, akan ditemukan δ > 0 sedemikian hingga 0 < |x – c| < δ ⇒ |(ax + b) –
   (ac + b)| < ε.
   Sekarang dari |(ax + b) – (ac +b)| = |ax – ac| = |a(x – x)| ≤ |a|x – c|.
                            ε
   Kelihatan bahwa δ =          akan memenuhi persyaratan di atas.
                           |a|
                                                                             ε
   Sehingga jika diberikan ε > 0 betapapun kecilnya dan dipilih δ =             maka
                                                                            |a|
   0 < |x – c| < δ menunjukkan :
                                                                      ε
   |(ax + b) – (ac – b)| = |ax – ac| = |a(x – c)| < |a||x – c| < |a|     =ε
                                                                     |a|
   Dengan demikian terbuktilah teoremanya.

3. Buktikan : lim k f(x) = k lim f(x)
               x →c            x →c
   Bukti :
   Misalkan lim f(x) = L
              x →c
   Misalkan diberikan ε > 0, kita harus mendapatkan δ > 0 sedemikian hingga
                                           ε                 ε
   0 < |x – c| < δ berakibat |f(x) – L| <     (mengingat         > 0 juga).
                                          |k|               |k|
   Sekarang dengan telah ditetapkan δ, kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap x
                                                                                ε
   yang terletak 0 < |x – c| < δ berlaku : |k f(x) – kL| = |k||f(x) – L| < |k|     = ε.
                                                                               |k|
   Ini menunjukkan bahwa :
    lim k f(x) = kL = k lim f(x).
    x →c                x →c




                                         5
4. Buktikan lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
               x →c                  x →c          x →c
   Bukti :
   Andaikan lim f(x) = L dan lim g(x) = M .
                x →c              x →c
                                                       ε
   Jika ε sebarang bilangan positip yang diberikan, maka   adalah positip.
                                                       2
   Karena lim f(x) = L, maka terdapat suatu bilangan positip δ, sedemikian hingga:
              x →c
                                       ε
   0 < |x – c| < δ1 ⇒ |f(x) – L| <       .
                                       2

   Karena      lim g(x) = M, maka terdapat suatu bilangan positip δ2 sedemikian
              x →c
   hingga :
                                                ε
                 0 < |x – c| < δ2 ⇒ |g(x) – M| <  .
                                                2
   Pilih δ = min {δ1, δ2}, yaitu pilih δ sebagai yang terkecil diantara δ1 dan δ2, maka
   0 < |x – c| < δ menunjukkan |(f(x) + g(x)) – (L + M)| = |(f(x) – L) + (g(x) – M)| ≤
                             ε    ε
   |f(x) – L| + |g(x) – M| <   +     = ε.
                             2    2
   Jadi lim (f(x) + g(x)) = L + M = lim f(x) + lim g(x).
        x →c                             x →c           x →c
   Dengan jalan yang sama akan dapat dibuktikan bahwa :
    lim (f(x) - g(x)) = L - M = lim f(x) - lim g(x).
   x →c                         x →c         x →c

5. Buktikan : lim f(x).g(x) = lim f(x) . lim g(x).
                 x →c            x →c            x →c
   Bukti :
   Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M.
          x →c                x →c
                                                  ε                    ε
   Jika diberikan sembarang ε > 0 maka                    > 0 dan             > 0.
                                              2(| L | + 1         2(| M | +1)
   Yang akan kita tunjukkan dengan pembuktian ini adalah jika diberikan ε > 0, kita
   harus mendapatkan bilangan δ > 0 sedemikian hingga untuk :
   0 < |x – a| < δ berakibat |f(x) . g(x) – L . M| < ε.
   Untuk :
   |f(x) . g(x) – L . M| = |f(x) . g(x) – L . g(x) + L . g(x) – L . M| ≤ |g(x)| . |f(x) – L| +
   |L| g(x) – M| … (2).




                                             6
   Dari lim f(x) = L,       berarti terdapat δ1 > 0 sedemikian hingga jika 0 < |x – c| < δ2
          x →c
                            ε
   berakibat |f(x) – L| <          … (3)
                       2(| M | +1)
   Dan dari lim g(x) = M , berarti terdapat δ2 > 0 sedemikian hingga jika 0 < |x – x|
             x →c
                                     ε
   < δ2 berakibat |g(x) – L| <              … (4).
                                 2(| L | +1
   Selanjutnya terdapat bilangan ketiga δ3 > 0 sedemikian hingga jika 0 < |x – c| < δ3
   berakibat |g(x) – M| < 1 yang berarti |g(x)| < |M| + 1 …….(5)
   Sekarang kita pilih δ bilangan terkecil dari ketiga bilangan positip δ1, δ2 dan δ3.
   Dan jika substitusi (3), (4) dan (5) ke dalam (2), akan diperoleh jika |x – c| < δ
   berakibat :
   |f(x) . g(x) – LM ≤ |g(x)| . |f(x0 – L| + |L| . |g(x) – M|
                                          ε                  ε
                       < (|M + 1| .             + | L|.
                                    2(| M | +1)         2(| L | +1)
                          ε ε
                       < + = ε.
                          2 2
   Kenyataan ini berarti terbukti bahwa :
     lim f(x) . g(x) = L.M = lim f(x) . lim g(x)
   x →c                       x →c      x →c

6. Buktikan jika lim g(x) = L dan lim f(x) = f(L), maka lim f(g(x)) = f(L).
                    x →c               x →L                    x →c
   Bukti :
   Misalkan diberikan ε > 0, kita harus mendapatkan suatu bilangan δ > 0
   sedemikian hingga apabila 0 < |x – a| < δ berakibat |f(g(x) – f(L)| < ε.
   Dari lim f(y) =L, terdapat δ1 > 0 sedemikian hingga, untuk 0 < |y – L| < δ1 akan
          y→ L
   berakibat |f(y) – f(L)| < ε ………. (1).
   Dan dari lim g(x) = L, kita dapat memilih δ > 0 sedemikian hingga jika
             x →c
   0 < |x – c| < δ berakibat |g(x) – L| < δ1 atau |y – L| < δ1 dimana y = g(x).
   Dari (1) dapat kita lihat bahwa :
   Jika 0 < |x – c| < δ berakibat |f(g(x)) – f(L)| = |f(y) – f(L)| < ε.
   Kenyataan terakhir ini, menyajikan bukti tersebut.

                                                            1   1
7. Buktikan : Jika lim g(x) = L dan L ≠ 0 maka lim             = .
                     x →c                            x → c g(x) L
   Bukti :
   Misalkan diberikan ε > 0, kita akan menemukan δ > 0 sedemikian hingga, apabila
                                       1   1
   dipenuhi 0 < |x – c| < δ berakibat     − < ε.
                                      g(x) L



                                           7
                 1   1 L − g(x)
   Sekarang         − =          .
                g(x) L  L . g(x)
   Dari lim g(x) = L maka lim h . g(x) = L2 .
         x →c                      x →c
                                             L2
   Dengan definisi limit, jika diambil ε =       . akan diperoleh δ1 sedemikian hingga,
                                              2
   japabila 0 < |x – c| < δ1 dipenuhi | L . g(x) – L2| < ε atau L2 - ε < L . g(x) < L2 + ε
                        L2      L2              3L2
   dan jika diambil ε =    maka    < L . g(x) <     .
                         2       2               2

                                                                       2         1
   Dari sini berarti L . g(x) positip, sehingga kita peroleh               >               untuk
                                                                      L2       L.g ( x )
   0 < |x – c| < δ1.
   Selanjutnya :
    L − g(x) | L − g(x) | 2
               =             < 2 | L − g ( x ) | untuk 0 < | x - c | < δ1 .
     L.g ( x )     L.g ( x )   L
   Terakhir diperoleh δ2, sedemikian hingga untuk setiap x yang memenuhi
                                               εL2
   0 < |x – c| < δ2 berakibat |L – g(x)| <          . Jika diambil δ yang terkecil dari δ1 dan
                                                 2
   δ2 maka untuk setiap x yang memenuhi : 0 < |x – c| < δ berakibat :
    L − g(x)      2                2 εL2
               < 2 | L − g( x ) |< 2 .       = ε.
     L.g( x )    L                L     2
                                              1       1
   Ini menunjukkan bukti bahwa lim                 =     jika L ≠ 0.
                                     x → c f(x)       L

                          lim f(x)
                    f(x)
8. Buktikan : lim        = x →c           jika lim g(x) ≠ 0
              x → c g(x)  lim g(x)             x →c
                                   x →c
   Bukti :
         f(x)               1
   lim        = lim f(x) .
   x → c g(x) x → c        g(x)
                                    1
                = lim f(x) . lim         jika lim g(x) ≠ 0
                  x →c       x → c g(x)       x →c

                                  1
                = lim f(x) .            jika lim g(x) ≠ 0
                  x →c        lim f(x)       x →c
                               x →c
                    lim f(x)
                    x →c
                =
                    lim g(x)
                    x →c




                                           8
9. Buktikan teorema apit, bahwa jika f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pada interval yang memuat c
   dan dipenuhi lim f(x) = lim h(x) = L maka lim g(x) = L.
                  x →c        x →c                  x →c
   Bukti :
   Jika diberikan ε > 0, akan kita dapatkan δ1 > 0 dan δ2 > 0 sedemikian hingga :
   Jika 0 < |x – c| < δ1 berakibat |f(x) – L| < ε, dan jika 0 < |x – c| < δ2 berakibat
   |h(x) – L| ε. Dan jika kita pilih δ > 0 yang terkecil dari dua bilangan δ1 dan δ2
   maka jika dipenuhi 0 < |x – c| < δ berakibat f(x) dan g(x) keduanya terletak pada
   interval terbuka (L - ε, L + ε).
   Sehingga :
                 L - ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε.
   Jadi jika :
               0 < |x – c| < δ berakibat |g(x) – L| < ε.
   Ini menunjukkan bahwa teorema apit telah terbukti.

Contoh 1.
Hitung lim ( x 2 − 3x + 8)
        x →2
Jawab : Dengan menggunakan teorema substitusi
        lim ( x 2 − 3x + 8) = 2 2 − 3.2 + 8 = 6
        x →2
Contoh 2.
                 x 2 + x − 12
Tentukan lim
          x → −4     x+4
                                                                           0
Jawab : Faktorkan dulu sebab jika disubstitusikan langsung diperoleh       0
                                                                               .
       x 2 + x − 12          ( x + 4)( x − 3)
 lim                = lim                     karena x ≠ - 4 maka pecahan dapat disederhana -
x → −4     x+4        x → −4     ( x + 4)
                    = lim x - 3               kan.
                    x → −4
                  = −4 − 3 = −7


Contoh 3.
                       x−4
Tentukan nilai lim
                 x→2   x −2
Penyelesaian :




                                          9
          x−4        ( x )2 − 22
    lim        = lim
   x →4   x − 2 x →4     4 −2
                     ( x + 2)( x − 2)
                = lim                      karen x ≠ 2
                 x→4       x −2
                = lim ( x + 2)
                 x→4
                = 4+2=4

   Cara ii, misalkan √x = y → x = y2
           untuk x → 4 maka y → 2, sehingga soal di atas menjadi
                 x−4         y2 − 4
            lim        = lim
            x →4 x − 2 y→2 y − 2

                             ( y + 2)( y − 2)
                       = lim
                         y→2     ( y − 2)
                       = 2+2 = 4




   Contoh 4 :
                              2 + x − 2x
   Tentukan nilai dari lim
                        x→2      x−2
   Penyelesaian :
         2 + x − 2x         ( 2 + x − 2x ) ( 2 + x + 2x
    lim             = lim                      .
   x →2     x−2       x→2         ( x − 2)       ( 2 + x + 2x )
                                  (2 + x ) − (2x )
                    = lim
                      x → 2 ( x − 2)( 2 + x + 2 x )

                                       2−x
                    = lim
                      x → 2 ( x − 2)( 2 + x + 2 x )

                                    −1
                    = lim
                      x → 2 2 + x + 2x
                          −1           1
                    =              =−
                        4+ 4           4




3. Pengertian Limit di Tak Hingga.


                                            10
                            1
Perhatikan fungsi f(x) =         , x ≠ 0 yang domainnya semua bilangan real yang tidak
                             x2
nol. Jika kita cari nilai-nilai fungsi dekat dengan 0.




         x                 1
                           x2                              y
    1          1
    0,1        100
    0,01       10.000
    0,001      1000 106                                           f(x) =   1
                                                                           x2
    0,0001     10.000 108

     0         besar sekali disebut
               tak hingga
                                                      -1           1            x
    -0,0001    10.000   108
    -0,001     1000     106
    -0,01      100      10.000
    -0,1       10       100
    -1         1



Apabila x suatu bilangan baik positip maupun negatif yang sangat kecil maka nilai
 1 menjadi sangat besar, semakin dekat x dengan nol, maka nilai 1 menjadi
  2                                                                    2
x                                                                          x
semakin besar sekali, sehingga dikatakan   lim 12   =~.
                                           x →0 x


Catatan :
Simbol ~ dibaca “tak hingga” digunakan untuk melambangkan bilangan yang sangat
besar yang tak dapat ditentukan besarnya, tetapi simbol ini tidak menunjuk suatu
bilangan real yang manapun.


Pengertian ketak hinggaan sebagaimana dipaparkan secara intuitif di atas secara
formal didefinisikan sebagai berikut :
Definisi :

    Fungsi f(x) mendekati tak hingga untuk x → c apabila untuk setiap bilangan
    positip M betapapun besarnya, adalah mungkin menemukan bilangan δ > 0



                                       11
  sedemikian hingga untuk setiap x selain c jika dipenuhi |x – c| < δ akan berakibat
  |f(x)| > M dan ditulis lim f(x) = ~ .
                          x →c




      y

      M




                                   y=f(x)



                                                 X
      0                   1

Contoh 1 :                           1
Buktikan bahwa               lim            =+~
                            x →1 (1 - x) 2
Bukti :
Untuk membuktikan itu berarti untuk setiap M > 0 yang diberikan betapapun
besarnya adalah mungkin menemukan δ > 0 sedemikian hingga untuk setiap x yang
                                               1
memenuhi |x – 1| < δ akan diperoleh                   > M.
                                           (1 − x ) 2
         1                              1
Dari          2
                > M. berarti (1- x)2 <      .
     (1 − x )                          M
                      1
Sehingga |1 – x| <      .
                      M
                     1                                           1
Jika diambil δ =       , berarti untuk setiap x pada |x – 1| <     akan dipenuhi
                     M                                           M
                1
⇔ (x – 1)2 <
                M
                1
⇔ (1 – x)2 <
                M
       1
⇔             > M.
   (1 − x ) 2



                                            12
                                                                  1
Dari pertidaksamaan terakhir ini menunjukkan bahwa lim                     =+ ~.
                                                        x →1   (1 - x) 2




Contoh 2.
Tentukan lim x
                    x −1
             x →1
Jawab : Secara intuitif jika x dekat dengan 1 maka x – 1 akan mendekati 0, sehingga
dapat difahami (secara intuitif) bila lim x = ∞
                                             x −1
                                      x →1
Dan jika ingin dibuktikan secara formal berarti untuk setiap bilangan M > 0
betapapun besarnya, adalah mungkin ditemukan δ > 0, sedemikian hingga untuk
                                             x
setiap x pada |x – 1| < δ akan dipenuhi         > M.
                                           x −1
Sedangkan limit fungsi untuk x yang bernilai besar dapat didefinisikan sebagai
berikut :
Definisi :


    Jika f(x) terdefinisi untuk x yang bernilai besar, kita katakan bahwa f(x)
    mendekati L sebagai limit untuk x mendekati tak hingga, dan ditulis :
      lim f ( x ) = L , bahwa apabila diberikan ε > 0 maka akan ditemukan suatu
     x →∞
    bilangan M sedemikian hingga dipenuhi |f(x) – L| < ε apabila x > M.

Ilustrasi geometris dari pengertian di atas adalah sebagai berikut :
     Y

 y=f(x)
          L+ ε

                                                                      y=L
          L- ε


     O                                                                 X
                                                         M

                                          13
Contoh 1.
Pandanglah fungsi f(x) = 2 + sin x
                               x

   Y

    3       Y = 2 + sin x
                       x
                                                           y=2+ ε
    2                                                       y=2
                                                            y=2- ε
    1

                                                              X
   O
Grafiknya beroskilasi terhadap garis y = 2.
Amplitudo dari oskilasinya semakin kecil menuju nol.
Untuk x → ∞ , dan kurvanya terletak di antara y = 2 + ε dan y = 2 - ε jika x > M
Atau dengan kata lain :

Jika x besar, sin x → 0 dan f(x) → L = 2
               x


Contoh 2

Tentukan lim ( x 2 + 2 x − x 2 + 3x )
            x →~

Jawab :




                                       14
                                          ( x 2 + 2 x − x 2 + 3x )( x 2 + 2 x + x 2 + 3x )
lim ( x 2 + 2x − x 2 + 3x ) = lim
x →~                               x →~                   ( x 2 + 2 x + x 2 + 3x )
                                          ( x 2 + 2 x ) − ( x 2 + 3x )
                               = lim
                                   x →~     x 2 + 2 x + x 2 + 3x
                                                     −x
                               = lim
                                   x →~     x 2 + 2x + x 2 + 3x
                                                 −1
                               = lim
                                   x →~       2      3
                                           1+ x + 1+ x
                                      −1
                               =
                                  1+ 0 + 1+ 0
                                  1
                               =−
                                  2

                           C. Limit Fungsi Trigonometri
                                                                                      π
                                       Misalkan x dalam radian, dan 0 < x <           2
                                                                                          , maka
                       B   D                    BC = r sin x dan AD = r tan x.
                                                Untuk mencari luas sektor AOB
        r                                       Luas sektor AOB            x
                                                                       = 2π
                                                Luas seluruh lingkaran
        x                                       Luas sektor AOB            x
  O                  C     A                                 2         =
                                                          πr              2π
            Gb.1.3

                                       x        1
Sehingga luas sektor       AOB =         .πr 2 = r 2 x
                                      2π        2
Dari bangun di atas diperoleh :
Luas ∆ AOB < luas juring AOB < luas ∆ AOD
½ . OA . BC < ½ r2x < ½ . OA . AD
½ . r . r sin x < ½ r2x < ½ . r . r tan x
   ½ r2 sin x < ½ r2x < ½ r2 tan x
    sin x < x < tan x ………………….. (i)




Dari (i) diperoleh :
      x        1
1<         <
    sin x cos x



                                                 15
                  x           1
 lim 1 ≤ lim          ≤ lim
x →0      x → 0 sin x x → 0 cos x
            x       1
1 ≤ lim          ≤ =1
    x → 0 sin x 1
              x
Jadi lim           =1
      x → 0 sin x
Dari sini dapat dikembangkan :
 lim sin x = lim         1      = 1 =1
x →0 x                           1
                          x
                 x →0   sin x

Dan untuk lim tan x = lim sin x
              x →0 x           x →0 x. cos x
                             = lim sin x . 1
                               x →0 x cos x
                             = lim sin x . lim 1
                               x →0 x x →0 cos x
                    = 1.1 = 1
Demikian juga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa             lim    x =1
                                                               x →0 tan x
Kesimpulan :

     1. lim sin x = 1                       3. lim tan x = 1
        x →0 x                                 x →0 x
     2. lim x = 1                           4. lim x = 1
        x →0 sin x                             x →0 tan x


Contoh
Hitunglah :
       sin x                  sin 3x                  tan 3x
a. lim              b. lim                  c. lim
  x → 0 2x               x → 0 5x               x → 0 sin 5x
Penyelesaian :
        sin x         1  sin x 
a.   lim      = lim            
   x → 0 2x     x →0 2  x 
                1       1
              = .1 =
                2       2
        sin 3x          sin 3x  3
b. lim         = lim           .
   x → 0 2x      x → 0  3x  5
                    3 3
               = 1. =
                    5 5




                                           16
              tan 3x           tan 3x  5x  3
   c.    lim         = lim                .
        x → 0 sin 5x   x → 0  3x  sin 5x  5
                              3
                     = 1 .1 .
                              5
                       3
                     = .
                       5

D. Limit Fungsi Eksponensial
   a. Bilangan e
                    n
              1             n 1 n (n − 1) 1 n (n − 1)(n − 1) 1          1 
         lim 1 +  = lim 1 + . +             . 2+            . 3 + ... + n 
        n →~    n     n →~      1 n    2!    n         3!    n         n 
                                    1  1  1  1  2  1  1  2 
                      = lim 1 + 1 + 1 −  + 1 − 1 −  + 1 − 1 − 
                             
                        n → ~       2!  n  3!  n  n  4!  n  n 
                              3          1 
                             1 − + ... + n 
                              n         n 
                                 1 1 1 1
                      = 1 + 1 + + + + + ...
                                 2! 3! 4! 5!
        Jika diambil sampai sepuluh tempat desimal diperoleh
                    n
              1
         lim 1 +  = 2,7182884
        n →~     n
        Nilai limit ini disebut bilangan e atau bilangan Euler (diambil nama sang penemu
        yaitu Leonard Euler matematikawan Austria 1707 – 1783).
        Sehingga :
                                    n
                          1
                     lim 1 +  = e
                    n →~    n
        Limit ini dapat dikembangkan untuk setiap x ∈ R dipenuhi
                                    x
                          1
                    lim 1 +  = e
                    x →~   x

                                    1
        Jika disubstitusikan u =    x
                                        maka diperoleh rumus
                                    1
                     lim (1 + x) x = e
                     x →0

                                          x +3
                              2
        Contoh tentukan lim 1 + 
                        x →~   x

                             x +3                 x         3
                      2                   2  2
        Jawab : lim 1 +           = lim 1 +  . 1 + 
                x →~   x            x →~   x  x



                                                 17
                                                       x .2       3
                                           2 2  2 
                                   = lim 1 +   1 + 
                                     x →~   x   x
                                                              2
                                   x
                              2  2   2 3
                    = lim  1 +   . 1 + 
                      x →~      x   x
                                     
                    = e2 . (1 + 0)3
                    = e2.
Logaritma yang mengambil e sebagai bilangan pokok disebut logaritma naturalis
atau logaritma Napier, dan ditulis dengan notasi “ln”, sehingga ln x = e log x.
                       1                                        1
Dari lim (1 + x) x = e , maka              a
                                               log  lim (1 + x) x  = a log e
                                                    x →0          
      x →0                                                        
                                                                  
                              1
       lim a log (1 + x) x = a log e
       x →0
              a
                  log (1 + x) ln e
       lim                   =
       x →0           x        ln a
              a
             log (1 + x)    1
       lim               =      ……….. (i)
      x →0       x         ln a
Misalkan a log (1 + x) = y
      1 + x = a y → x = ay − 1
Untuk x → 0, maka ay → 1 yang berarti y → 0, sehingga persamaan (i)
                   y
         lim               = 1
        x →0 a −1
                   y        ln a

                  ay −1
Sehingga : lim          = ln a
              y →0 y
                                        a x −1
Atau secara umum :                 lim         = ln a
                                   x →0    x

Jika disubstitusikan a dengan e
     ex − 1                                   ex − 1
 lim        = ln e           atau         lim        =1
x →0 x                                   x →0 x


                       eax − e bx
Contoh : Tentukan lim
                  x →0     x
             e ax − e bx        e ax − 1 − e bx + 1
Jawab : lim              = lim
        x →0      x        x →0          x



                                                  18
                                       a ax − 1 e bx − 1 
                              = lim            -         
                                x →0       x        x 
                                                         
                                       e −1
                                          ax
                                                     e −1 
                                                      bx
                              = lim            .a -        . b
                                x → 0  ax             bx      
                                                              
                              =1.a–1.b
                              =a–b




Latihan 1
Tentukan nilai limitnya
                                                              x −8
1.    lim (x 2 − 7 x + 4)                     14. lim                  (misal : 3 x = y 2 )
     x → −2                                        x → 64 3   x −4
          2                                               2x + 1 − 3
2.   lim  + x                               15. lim
     x →3  x                                     x→4      x−2 − 2
           9 + x2                                      x-2 x
3.   lim                                      16. lim
   x →4 x − 3                                     x →0   x
         x 2 − 2x                                          2x
4. lim 2                                      17. lim
   x→2 x − 4                                      x →0  5 − 5− x
            x5 −1
5. lim 2                                      18. lim ( x + 3 − x + 2 )
   x → −1 x + x + 1                                x →~

          x2 + x − 6                                      x-2 x
6. lim                                        19. lim
   x →2      x−2                                   x →~      x
               3
              x − 27                                      2x 2 − 3x − 4
7.   lim                                      20. lim
     x →3      x −3                                x →~        x4 +1
              x 2 − 3x + 10                               (1 + 2 + 3 + ... + n)
8.    lim                                     21. lim
     x → −2       x+2                              x →~           n2
              x3 + 1                                      (1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1)
9.   lim                                      22. lim
          x2 −1
     x → −1                                        x →~        n2 + 2
         x 2 − 25                                      1 1 1          1 
10. lim                                       23. lim  + + + ... + n 
    x →5    x −5                                  x →~  2 4 8        2 
               2 + x − 2x                               1   4    7        3n − 2 
11. lim                                       24. lim  2 + 2 + 2 + ... +         
     x →2         x−2                             x →~  n  n    n          n2 


                                             19
              2x - 2 − 3x − 5                                               Petunjuk :
12. lim                                25. Hitung x = 2 + 2 + 2 + ...       kuadratkan
    x →3           x −3
              x + 2 − 2x − 1
13. lim                                26. Tentukan limit Un dari barisan
    x →3       2x − 3 − x
                                           0,3 ; 0,33 ; 0,333 ; 0,3333
27. Tentukan limit Un dari barisan
    0,2 , 0,23 , 0,233 , 02333 , …
28. Tentukan limit suku Un dari barisan

     2 , 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2 2 , ...
29. Tentukan limit suku Un dari barisan

     6,       6 6,    6 6 6,    6 6 6 6 , ...


30. Tentukan limit Un dari barisan berikut
    2 4 6           2n
      , , , ... ,        , ...
    1 3 5         2n - 1
          sin x
31. lim
    x → 0 tan x                                 4x − 2x
                                   47. lim
          sin 4x                       x →0        3x
32. lim
    x →0     x                                   2x
                                                e − e 3x
                                   48. lim
          sin 2 x
                3
                                       x →0          x
33. lim
    x →0    x2
                                                 2x
                                                a − b 3x
                                   49. lim
               x                       x →0          x
34. lim
    x → 0 1 - cos x                             e − e − bx
                                                 -ax
                                   50. lim
35. lim x cotg x                       x →0           x
    x →0
          sin x - sin a
36. lim
    x →0       x -a
           cos 2 x
37. lim
    x → 0 1 − sin x
          1 + cos x - sin x
38. lim
    x → π cos x - 1 + sin x
        2

           tan πx
39. lim
    x → −2 x + 2
          sin x - cos x
40. lim
    x→ π     1 - tan x
          4
                     x +5
          1
41. lim 1 + 
    x →~   x


                                      20
                          x
              7
    42. lim 1 + 
        x →~   x
                         x
              3
    43. lim 1 - 
        x →~   x


                             x
              x +3
    44. lim        
        x →~  x -1 
                             1
    45. lim (1 + 2x) x
        x →0
               5x − 4 x
    46. lim
        x →0      x

                                              E. Kontiunitas
                                                  Perhatikan fungsi pada bilangan real f(x) =
               y                                   x2 − 4
                                    2
                                   x −4                    seperti pada grafik di samping.
                     o    f(x) =
                                    x−2
                                                   x−2
                                                                                       0
                                                  Untuk x = 2 diperoleh f(2) =           (tak tentu)
                                                                                       0
               0    2                     x       sehingga grafiknya terputus di x = 2 dalam hal
                                                  ini dikatakan f(x) diskontinu di x = 2.
                                                  Sedangkan untuk interval {x|x < 2, x ∈ R} dan
                                                  interval {x|x > 2, x ∈ R} grafiknya
                                                  berkesinambungan, dalam hal ini dikatakan f(x)
                                                  kontinu di x ≠ 2.
              Gb.1.4

Secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di x = c, jika dipenuhi :
a. lim f(x) ada
    x →c
b. f(c)         ada
c. lim f ( x ) = f (c)
    x →c
Jika pada suatu fungsi f(x) diskontinu di x = c, maka dapat dibuat sedemikian hingga
 lim f(x) = f(c), maka dikatakan diskontuinitas di x = c ini dapat dihapuskan.
x →c
Contoh :
                                                                        x3 − 8
Tentukan diskontuinitas fungsi pada bilangan real f(x) =          .
                                                           x2 − 4
Jawab : fungsi rasional di atas akan diskontinu jika penyebutnya nol atau
        x2 – 4 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) = 0
                   ⇔ x = -2 atau x = 2


                                                     21
Sehingga f(x) diskontinu di x = -2 atau x = 2.
                         x3 − 8        (x - 2)(x 2 + 2 x + 4)
Selanjutnya untuk lim 2         = lim
                   x →2 x − 4 x →2        ( x + 2)( x − 2)
                                   12
                                =     =3
                                    4
Diskontinu di x = 2 dapat dihapuskan dengan menetapkan definisi f(2) = 3.
Selanjutnya untuk x = -2 diperoleh
       x3 − 8         x 2 + 2x + 4
 lim          = lim
x → −2 x 2 − 4 x → −2     x+2
               →4                             (−2) 3 − 8 − 16
             =       = ∞, sedangkan f(-2) =              =    tidak terdefinisi.
               →0                             (−2) 2 − 4   0
Sehingga diskontinu di x = -2 tidak dapat dihapuskan.

Latihan 2
Selidiki kontinuitas fungsi-fungsi berikut
1. f(x) = x2 + x di x = -1
2. f(x) = 4x2 – 2x + 12 di x = 2
              x
3. f(x) =          di x = - 1
            x +1
            x−2
4. f(x) =          di x = 2
              x2
            6t − 9
5. f(x) =           di t = 3
             t −3
                − 3x + 4      untuk x ≤ 2
6. f(x) =                                        di x = 2
                −2           untuk x > 2
                                    5x + 4
7. Di titik mana saja f(x) = 2                diskontinu dan selidiki macam diskon-
                                x − 3x − 10
    tinuitasnya.
                                 x3 −1
8. Di titik mana saja f(x) = 2          diskontinu dan selidiki macam diskontinui-
                                x −1
    tasnya.
9. Dengan grafik di titik mana saja (jika ada) fungsi ini diskontinu
               x         untuk x < 0
   f(x) =    x2       untuk 0 ≤ x ≤ 1
             2−x      untuk x > 1

10. Tentukan a dan b agar fungsi :
             x2 − x + 3    untuk x < - 2
    f(x) =   a             untuk x = 2       kontinu di x = 2
             bx + 1        untuk x > - 2



                                        22

								
To top