Docstoc

48. Modul Matematika - KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA

Document Sample
48. Modul Matematika - KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA Powered By Docstoc
					                                         Matematika Dasar


                      KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA

        Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas
bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu,
dilakukan tarsnformasi dari kordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat
bola. Hubungan antara koordinat cartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola
dijelaskan dari gambar berikut.
                  Z                                                   Z

              z                                                   z

                               (r,θ,z)                                                (ρ,θ,φ)
                                                                          φ   ρ
                                     y                        O                           y     Y
             O                               Y
                                                                      θ           r
                  θ       r                             x
    x                                               X
X
                                                                      Koordinat Bola
                  Koordinat Tabung

       Bila dalam koordinat cartesius        P( x,y,z ) dan dalam koordinat tabung P( r,θ,z )
maka diperoleh hubungan berikut :

         2    2       2
        x +y =r
        x = r cos θ
        y = r sin θ
        z=z

       Bila dalam koordinat cartesius P ( x,y,z ) dan dalam koordinat bola P ( ρ,θ,φ )
maka didapatkan hubungan berikut :

        ρ2 = x 2 + y 2 + z 2
        x = ρ sinφ cosθ
        y = ρ sinφ sin θ
        z = ρ cos φ

       Untuk mentransformasikan integral dari koordinat cartesius ke dalam koordinat
tabung atau koordinat bola digunakan metode determinan jacobi.




                                          Danang Mursita
                              Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                     Matematika Dasar




Koordinat Tabung

               ∂x      ∂x ∂x
               ∂r      ∂θ ∂z   cos θ − r sinθ 0
               ∂y      ∂y ∂z
J (r ,θ, z ) =               = sin θ r cos θ 0 = r
               ∂r      ∂θ ∂z
               ∂z      ∂z ∂z     0       0    1
               ∂r      ∂θ ∂z

                             θ2 r2 (θ ) v2 (r ,θ )
∫∫∫   f ( x , y , z ) dV =    ∫     ∫         ∫      f (r cosθ, r sinθ, z) r dz dr dθ
 G                           θ1 r1 (θ ) v1 (r ,θ )

Koordinat Bola

             ∂x ∂x                ∂x
             ∂ρ ∂θ                ∂φ sinφ cos θ − ρsin φ sinθ ρcos φ cosθ
             ∂y ∂y                ∂z
J ( ρ,θ,φ) =                         = sin φ sinθ ρsin φ cos θ ρ cos φ sin θ = ρ2 sinφ
             ∂ρ ∂θ                ∂φ
             ∂z ∂z                ∂z     cos φ         0         − ρ sin φ
             ∂ρ ∂θ                ∂φ


                             θ2 ρ (θ) v2 ( ρθ)
                                            ,
                                                  F (ρ,θ, φ ) ρ2 sin φ dφ dρdθ
                                 2
∫∫∫ f ( x, y , z) dV = ∫           ∫         ∫
 G                           θ ρ (θ) v1( ρθ)
                              1 1         ,


       Dalam penerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis )
maka digunakan koordinat tabung. Sedangkan koordinat bola digunakan bila bangun
ruang G simetri terhadap suatu titik.


Contoh 10
                                                                   3   9− x 2 2
Gunakan koordinat tabung untuk menghitung integral ∫                    ∫ ∫ x 2 + y 2 dz dy dx
                                                                   0    0    0
Jawab :
                                                           8− y
Misal G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 x 2 , 0 ≤ z ≤     .
                                                            4 
                                           π              
Maka G = ( r ,θ, z ) 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ z ≤ 2 
                                           2              


                                                    Danang Mursita
                                        Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                                   Matematika Dasar


Jadi,
3   9− x 2 2                                               3 π/2 2                      3     π /2           2  
∫        ∫ ∫             x 2 + y 2 dz dy dx = ∫                    ∫   ∫ r 2 dz dθ dr = ∫ r 2  ∫              ∫ dz dθ dr = 9π
                                                                                                                   
0        0       0                                         0       0   0                0      0
                                                                                                             0      


Contoh 11
                                                                           2   4− x2   4− x 2 − y 2
Gunakan koordinat bola untuk menghitung ∫                                       ∫          ∫z         dz dy dx
                                                                           0    0          0
Jawab :
                                                                         
Misal G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 − x 2 , 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y2  .
                                                                         
                                          π            π
Maka G = ( ρ,θ,φ) 0 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ φ ≤ 
                                          2            2
2   4− x2            4− x 2 − y 2                      2 π/2 π/2
∫        ∫                 ∫z          dz dy dx = ∫            ∫       ∫ ρ cos φρ sinφ dφ dθ dρ
                                                                                 2

0        0                 0                           0       0       0
                                                       2    π / 2  π /2           
                                                     = ∫ ρ3  ∫  ∫ cosφ sinφ dφ dθ  dρ
                                                                               
                                                       0     0  0
                                                                                   
                                                                                     
                                                     =π

Soal latihan

                      3         9 − x2 9 − x2 − y 2
1. Hitung             ∫            ∫             ∫         x 2 dz dy dx
                     − 3 − 9− x 2                0
2. Tentukan besar volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh :
                                                                                                                   2    2
    a. Bagian atas : z =                       25 − x 2 − y 2 , bagian bawah : z = 0 dan selimut : x + y = 25
                                                       2           2       2                          2   2
    b. Bagian atas dan bawah : x + y + z = 9 dan selimut : x + y = 4
                     2         2
    c. z = x + y dan z = 9

3. Gunakan koordinat Bola untuk menghitung integral berikut:
             2           4− x 2        4 − x 2 − y2
    a.       ∫            ∫                ∫          z 2 x 2 + y 2 + z 2 dz dy dx
             − 2 − 4 − x2                  0




                                                            Danang Mursita
                                                Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                   Matematika Dasar



       3        9− x 2       9− x2 − z 2
                                           (                )
                                                                3
  b.   ∫         ∫              ∫              x 2 + y 2 + z 2 2 dy dz dx
       − 3 − 9− x2 − 9 − x 2 − z 2

       2   4− x2     4 − x 2 − y2
  c. ∫      ∫            ∫          z 4 − x 2 − y 2 dz dy dx
       0    0            0

                                                                               2   2   2
4. Hitung volume bangun ruang G yang dibatasi di atas oleh x + y + z = 16 dan di
  bawah oleh : z =           x2 + y2




                                                Danang Mursita
                                    Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:2333
posted:3/26/2010
language:Indonesian
pages:4
Description: MATERI MATEMATIKA SMA