33. Modul Matematika - DERET TAK HINGGA

Document Sample
33. Modul Matematika - DERET TAK HINGGA Powered By Docstoc
					                                                 Matematika Dasar


                                            DERET TAK HINGGA


           Bentuk deret tak hingga dinyatakan dengan notasi sigma sebagai berikut :
             ∞
            ∑      ak = a1 + a 2 +...+ ak +...           ak disebut suku-suku deret.
            k =1


Jumlah Deret
                                                                                 ∞
           Misal Sn menyatakan jumlah parsial n suku pertama deret               ∑     a k . Maka
                                                                                 k=1
S1 = a1
S2 = a1 + a2
....................
.....................
....................
                                 n
Sn = a1 + a2 +...+ an =         ∑      ak
                               k =1
                                                                     ∞
           ∞
Barisan Sn  { }
           n=1
               disebut barisan jumlah parsial deret                 ∑     ak .
                                                                    k=1

                                                                                            ∞
                           ∞
           Misal        { }
                        Sn
                           n=1
                               merupakan barisan jumlah parsial deret                      ∑     ak   dan barisan
                                                                                           k=1
                                                      ∞
{Sn} ∞ 1
     n=
               konvergen ke S. Maka deret             ∑    a k dikatakan deret konvergen ke S dan S
                                                     k=1
                                       ∞                                               ∞
disebut jumlah dari deret              ∑    a k , dinotasikan dengan :       S=      ∑ ak .       Sedangkan bila
                                      k=1                                            k =1
                                                     ∞
barisan     {Sn} ∞ 1
                 n=
                          divergen maka deret ∑ a k dikatakan deret divergen dan tidak ada
                                                    k=1
jumlah.




                                                 Danang Mursita
                                     Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                    Matematika Dasar


Deret Geometri

                                                         ∞
       Bentuk deret geometri yaitu : ∑ a r k −1 = a + a r + ...+ a r k −1 +...                  dengan a ≠ 0
                                                      k =1
dan r merupakan rasio. Pandang jumlah parsial n suku deret geometri berikut :
        Sn = a + a r +...+ a r n −1
        r Sn =                 a r + ... + a r n −1 + a r n
        .............................................................. −

        Sn =
                    (
                 a 1 − rn      )
                        1− r

Bila r =1 maka Sn tidak terdefinisi. Sedang untuk | r | > 1 maka                         lim r n = ∞ , sehingga
                                                                                         n→∞
                                                                                                    ∞
 lim Sn = ∞             atau barisan          {Sn} ∞ 1
                                                   n=
                                                               divergen. Oleh karena itu, deret ∑ a r k −1
n →∞                                                                                               k =1
                                                               a
divergen.. Untuk | r | < 1 maka lim r n = 0 sehingga lim Sn =      atau barisan
                                n →∞                 n →∞     1− r
                                                                                  ∞
{Sn} ∞ 1
     n=
             konvergen             ke
                                            a
                                           1− r
                                                ( a ≠ 0)           . Jadi deret   ∑ a r k −1    konvergen ke
                                                                                  k =1
                           ∞
     ( a ≠ 0) atau ∑ a r k −1 =
 a                               a
                                     ( a ≠ 0) .
1− r                            1− r
                   k =1



Deret Harmonis

                                                     ∞
                                         1        1     1
       Bentuk deret harmonis yaitu :
                                         k
                                                    ∑
                                             = 1 + +...+ +...
                                                  2     k
                                    k =1
Pandang jumlah parsial n suku pertama deret :

                  1  1 1   1 1 1 1        1
        Sn = 1 +   +  +  +  + + +  + ...+
                  2  3 4   5 6 7 8        n
                  1  1 1   1 1 1 1        1
             > 1 + +  +  +  + + +  +...+
                  2  4 4   8 8 8 8        n
                  1 1 1        1
             = 1 + + + +....+
                  2 2 2        n


                                                Danang Mursita
                                    Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                   Matematika Dasar



Untuk n → ∞ maka ( 1+                   ½ + ½ + … + 1/n )    → ∞, sehingga lim Sn = ∞ . Oleh karena
                                                                             n →∞
                           ∞
                               1
itu, deret harmonis        ∑   k
                                 divergen.
                           k=1



Tes Konvergensi

                   ∞
          Misal   ∑        a k merupakan deret positif ( ak ≥ 0 ). Maka lim a k = 0 bila deret
                  k=1                                                            k→∞
 ∞                                                                                           ∞
∑     a k konvergen . Hal ini menunjukkan bahwa bila lim a k ≠ 0 maka deret ∑ a k
k=1                                                                   k→∞                   k=1
divergen.
        Untuk mengetahui lebih jauh tentang konvergensi suatu deret dilakukan tes
konvergensi sebagai berikut :


1. Tes Integral
                  ∞
          Misal   ∑     a k merupakan deret positif. Maka :
                  k=1
                                 ∞
(i) Deret konvergen bila          ∫ ak    dk konvergen
                                  1
                                 ∞
(ii) Deret divergen bila         ∫ ak    dk divergen
                                 1

Contoh :
                                         ∞     k
Selidiki kekonvergenan deret             ∑       2
                                         k =1 ek
Jawab :
∞                      b                                 
                        −1   k  − k 2 b = − 1 lim  1 − 1  = 1
∫ ak dk = lim ∫ k 2 dk = 2 lim e 1 2
1        b →∞ 1 a          b→∞               b →∞ eb 2 e  2e
                                                         




                                                  Danang Mursita
                                      Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                              Matematika Dasar


                                                              ∞    k
                                                  maka deret ∑
                                               1
Karena integral tak wajar di atas konvergen ke                       2
                                                                       konvergen ke
                                               2e            k =1 ek
        ∞    k
   dan ∑
1                 1
               2
                 = .
2e                2e
       k =1 ek


2. Tes Deret-p
                                                             ∞
                                                                  1
        Bentuk deret-p atau deret hiperharmonis :           ∑     p
                                                                      dengan p > 0.
                                                            k=1 k
Menggunakan tes integral didapatkan :
        ∞
             1                1            1         
        ∫ kp
             dk =        lim        − 1
                  1 − p b →∞  b p −1 
        1
                                                             ∞
                                      1                   1       1
Bila p > 1 maka              lim        = 0 , sehingga ∫ p dk =      ( konvergen ). Oleh
                             b→∞ b p −1                1 k      p −1
                         ∞                                1
                              1
karena itu, deret ∑            untuk p > 1 konvergen ke      . Untuk 0 < p < 1 maka
                             p                          p −1
                       k=1 k
                                     ∞
         1                 1
 lim       = ∞ sehingga ∫ p dk divergen. Sedang untuk p = 1 didapatkan deret
b→∞ b p −1              1 k
                                          ∞
                                                1
harmonis. Oleh karena itu, deret ∑                  untuk 0 < p ≤ 1 divergen.
                                                p
                                          k=1 k


3. Tes Perbandingan

                     ∞               ∞
        Misal        ∑   a k dan     ∑ bk merupakan        deret positif dan berlaku ak ≤ bk , ∀k .
                  k=1               k=1
Maka:
                 ∞                                     ∞
(i) Bila deret ∑ bk konvergen maka deret ∑ a k konvergen
             k=1                                     k=1
              ∞                                      ∞
(ii) Bila deret ∑ bk divergen maka deret ∑ a k divergen
                 k=1                                k=1

Contoh :
Tentukan konvergensi deret berikut

                                               Danang Mursita
                                   Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                 Matematika Dasar


       ∞    1
a.    ∑
     k =2 k − 1
      ∞     k
b.    ∑    3
     k =1 k + 1
Jawab :
                      1   1                             ∞ 1
a. Pandang :            <    dan karena deret harmonis ∑                        divergen maka deret
                      k k −1                           k=1 k
      ∞   1
     ∑        juga divergen.
   k =2 k − 1
                   k       1                                        ∞    1
b. Pandang :      3 +1 < k2              dan karena deret-p         ∑     2   konvergen maka deret
                k                                                   k=1 k
     ∞        k
     ∑             juga konvergen.
     k =1   k3 + 1


4. Tes Ratio

                    ∞
                                                      a k +1
            Misal   ∑     a k deret positif dan lim          = r . Maka :
                    k=1                           k →∞ ak
                                 ∞
(i) Bila r < 1 maka deret       ∑     a k konvergen
                                k=1
                                 ∞
(ii) Bila r > 1 maka deret       ∑     a k divergen
                                 k=1
(iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ).

Contoh :
                                       ∞
                                            1
Selidiki kekonvergenan deret           ∑    k!
                                       k =1

Jawab :
                                                         ∞
Misal ak = . Maka lim k +1 = lim
          1           a            1                         1
                                       = 0 . Jadi deret ∑       konvergen
          k!      k →∞ a k  k →∞ k + 1                  k =1
                                                             k!




                                              Danang Mursita
                                  Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                      Matematika Dasar


5. Tes Akar

                      ∞
          Misal   ∑       a k deret positif dan lim k ak = a . Maka :
                  k=1                                    k →∞
                                    ∞
(i) Bila a < 1 maka deret       ∑        a k konvergen
                                k=1
                                                         ∞
(ii) Bila a > 1 atau a = ∞ maka deret                 ∑      a k divergen
                                                      k=1
(iii) Bila a = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ).

Contoh :
                                                ∞
                                                     3k + 2  k
Tentukan kekonvergenan deret                    ∑           
                                                     2k − 1 
                                            k =1
Jawab :
                   3k + 2  k                                                3k + 2 3
Misal        ak =          .                  Maka           lim k ak = lim       = .        Jadi   deret
                   2k − 1                                   k →∞       k →∞ 2k − 1 2
 ∞
        3k + 2  k
 ∑  2k − 1 
           
                      konvergen.
k =1


6. Tes Limit Perbandingan

                      ∞                 ∞
                                                                        ak
          Misal       ∑   a k dan    ∑ bk merupakan deret positif dan      = l . Maka kedua
                                                                                       lim
              k=1          k=1                                  k →∞ bk
deret konvergen atau divergen secara bersama-sama bila l < ∞ dan l ≠ 0.


Contoh :
                                        ∞            1
Tentukan konvergensi deret              ∑     2
                                        k =2 k − 1
Jawab :
                               ∞            1                                      1           1
Pandang deret-p ,              ∑                    konvergen. Misal        ak =      dan bk = 2   . Maka
                              k= 2       k2                                        k2         k −1
     ak       k2 −1                  ∞      1
 lim    = lim       = 1. Jadi deret ∑           konvergen.
k →∞ bk k →∞ k 2                    k =2 k 2 −1



                                                Danang Mursita
                                    Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                     Matematika Dasar


Soal Latihan

( Nomor 1 sd 23 ) Tentukan konvergensi deret berikut
      ∞                                                 ∞
              1                                                     k ( k + 3)
1.    ∑     k
                                                  13.   ∑    ( k + 1)( k + 2 )( k + 5)
      k =1 3 + 5                                        k =1
       ∞                                                ∞
               1                                                      1
2.    ∑      2
                                                  14.   ∑
      k =1 5k − k
                                                               3 8k 2 − 3k
                                                        k =1
       ∞     k                                           ∞
             2 −1
3.    ∑     k                                     15.   ∑
                                                                     1
      k =1 3 + 2 k                                      k =1 ( 2 k + 3)
                                                                       17
       ∞      2                                          ∞
          5 sin k
4.    ∑      k!                                   16.   ∑     3
                                                                      1
      k=1                                               k =1 k + 2 k + 1
      ∞                                                  ∞
               2
5.    ∑                                           17.   ∑
                                                               1
      k =1   k4+ k                                           9k − 2
                                                        k =1
       ∞                                                ∞
              3
6.    ∑                                           18.   ∑
                                                                 k
      k =1 k − 4
                1                                             3
                                                        k =1 k + 1
      ∞                                                  ∞
               9
7.    ∑       k +1                                19.   ∑
                                                                     1
                                                        k =1 ( 3 + k )
      k =1                                                                2 /5
       ∞
             k +1                                        ∞
8.    ∑     2                                     20.   ∑
                                                            ln k
      k =1 k − k                                        k=1
                                                             k
      ∞                                                 ∞
               1
9.    ∑       k+8                                 21.   ∑
                                                                  4
      k =1                                                        k
                                                        k =1 2 + 3 k
        ∞                                                ∞
                      k
10.    ∑          2                               22.   ∑
                                                                     1
      k =1 2 + sin k                                    k =1 k ( k + 1)
       ∞          2
             4k − 2k + 6                                 ∞ k
11.    ∑      7                                   23.   ∑
                                                             5 +k
      k =1 8 k + k − 8                                  k =1
                                                             k! + 3
       ∞
               5
12.    ∑    k
      k =1 3 + 1




                                       Danang Mursita
                           Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:181
posted:3/26/2010
language:Indonesian
pages:7
Description: MATERI MATEMATIKA SMA