31. Modul Matematika - INTEGRAL TAK WAJAR

							                                                  Matematika Dasar



                                          INTEGRAL TAK WAJAR


                               b
         Bentuk integral
                               ∫ f ( x) dx disebut Integral Tak Wajar , jika
                          a
         a. Paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga, atau
         b. Integran f(x) mempunyai titik tak kontinu pada a , b               [     ]

Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga

            b                                 b
      A.    ∫   f (x ) dx =         lim       ∫    f ( x ) dx
           −∞                   a → −∞ a

           ∞                              b
      B.   ∫    f ( x ) dx =       lim    ∫   f ( x ) dx
           a                   b →∞ a
           ∞                                  c                            b
      C.    ∫   f ( x ) dx =        lim       ∫   f ( x ) dx +      lim    ∫   f ( x ) dx
           −∞                   a →−∞ a                           b →∞ c

        Bila limit pada ruas kanan ada dan bernilai hingga, maka integralnya disebut
Konvergen ke nilai limit tersebut. Sedang bila limit tidak ada atau nilainya menuju
tak hingga maka disebut Divergen


Contoh
+∞                             b
      dx                             dx                            x b
 ∫              =    lim       ∫                  =      lim tan−1 
   2                b → +∞ 0 x 2 + 9                               3 0
0 x +9                                                 b →+∞


                   b         0  π
 =     lim  tan−1   − tan−1    =                           ( konvergen).
     b →+∞         3         3   6



Integran mempunyai titik diskontinu pada                        [ a ,b ]




                                                Danang Mursita
                                    Sekolah Tinggi Tenologi Telkom, Bandung
                                                        Matematika Dasar




        a. Jika f(x) tidak kontinu di x = a tetapi kontinu pada ( a , b dan lim f(x)      ]
                                                                            x →a +
                            b                            b
                 = ± ∞ maka
                                      ∫ f (x) dx =                lim
                                                                      +
                                                                 t→ a t
                                                                              ∫
                                                                        f ( x ) dx
                                      a

                                                                                      [
        b. Jika f(x) tidak kontinu di x = b tetapi kontinu pada a ,b ) dan lim f(x) = ±
                                                                           x →b−
                         b                                 t
             ∞ maka
                          ∫ f (x) dx                         =     lim
                                                                  t→b a−          ∫
                                                                         f ( x ) dx
                          a

                                                [        ]
        c. Jika f(x) kontinu pada a , b kecuali di x = c, a < c < b dan

             lim f ( x ) = + ∞ maka :
             x →c
             b                  t                                                     b

             ∫ f (x) dx =              lim
                                           −
                                      t→ c a
                                                    ∫
                                             f ( x ) dx + lim
                                                              +
                                                          s→ c s
                                                                 f ( x ) dx
                                                                                      ∫
             a

Contoh
2       dx
∫                 ( integran tak kontinu di x = 1)
    (
0 x −1       )2
2       dx                    t        dx                        2       dx
∫      2 =
             li m ∫       2 +
                                li m ∫
    (
0 x −1       )
           t →1  − 0 x −1         (
                              t →1+ t x − 1 )
                                            2
                                                                     (        )

Gabungan keduanya

       Misal f ( x ) diskontinu di x = c dengan c ∈ [ a , ∞ ). Maka integral tak wajar
dari f ( x ) atas interval [ a , ∞ ) dituliskan berikut :

          +∞                      c                      +∞
             ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
             a                    a                          c




                                                      Danang Mursita
                                          Sekolah Tinggi Tenologi Telkom, Bandung
                                                   Matematika Dasar



Contoh
+∞                 dx
 ∫    2
                                (Batas atas tak hingga dan f(x) tak kontinu di x = 1)
 1 x x −1

 +∞                   dx                   2       dx                  s      dx
     ∫                           = li m     ∫              +    li m   ∫
     1 x x2 − 1                                  2
                                     t → 1+ t x x − 1          s → +∞ 2 x x 2 − 1



Soal Latihan

( Nomor 1 sd 16 ) Tentukan konvergensi integral tak wajar berikut :
         ∞
                  x dx
1.       ∫      2
         3 9+ x
          0
             − x2
2.           ∫ xe               dx
         −∞
         ∞
                 ln x
3.       ∫        x
                      dx
         1
         ∞
                      dx
4.       ∫
         2 x ln x (        )2
         ∞
5.           ∫ x cosh x dx
         −∞
          ∞             x dx
             ∫
                   ( 1 + x2 ) 2
6.
         −∞
         ∞
7.       ∫       e− x cos x dx
         0
         7
                  dx
8.       ∫        x−3
         3
         1
9. ∫ x ln x dx
         0
          1
                 ln x
10.      ∫         x
                      dx
         0
         3
                  x dx
11.      ∫              2
         0 9−x


                                                       Danang Mursita
                                           Sekolah Tinggi Tenologi Telkom, Bandung
                                        Matematika Dasar



      3
              x dx
12.   ∫
      0       9 − x2
      2
                  3
13.   ∫       2            dx
      0 x + x− 2
      π
          2
14.   ∫       csc x dx
       0
      ∞
15.   ∫        4 x 2 + 1 dx
      0
       0
                      dx
16.       ∫
      −∞ x            x2 + 1

( Nomor 17 sd 19 ) Hitung luas daerah D yang diberikan berikut.
17. Antara kurva y = ( x − 8) − 2 / 3 dan y = 0 untuk 0 ≤ x < 8.
                       1                1
18. Antara kurva y = dan y = 3               untuk 0 < x ≤ 1
                       x              x +x
19. Di kuadran pertama, di bawah kurva y = x −2 / 3 dan di kiri x = 1.




                                            Danang Mursita
                                Sekolah Tinggi Tenologi Telkom, Bandung