Docstoc

29. Modul Matematika - INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

Document Sample
29. Modul Matematika - INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI Powered By Docstoc
					                                             Matematika Dasar



                                INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI


Substitusi Trigonometri

           Metode substitusi Trigonometri dapat digunakan untuk menghitung integral
dengan bentuk integran adalah : a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , x 2 − a 2 . Substitusi yang
digunakan berturut-turut : x = a sin t , x = a tan t dan x = a sec t. Didapatkan
                                                      2
diferensiasinya :          dx = a cos t dt, dx = a sec t dt dan dx = a sec t tan t dt. Oleh
karena itu diperoleh :


                 a 2 − x 2 = a cos t dengan -π/2 ≤ t ≤ π/2

                a 2 + x 2 = a tan t dengan − π / 2 < t < π / 2

                x 2 − a 2 = a sec t dengan 0 ≤ t < π / 2 atau π ≤ t < 3π / 2

Contoh.
             dx
a.   ∫
         x2 4 − x2
           Misal x = 2 sin t dan dx = 2 cos t dt. Maka :
                 dx               2 cos t dt        1              1
            ∫             =    ∫                  =
                               (2 sin t )2 2 cos t 4     ∫
                                                      sec2 t dt = − cot t + C
                                                                   4
             x2 4 − x2

                                    1 4 − x2
                              =−             +C
                                    4   x
           dx
b.   ∫
          1 + x2
                                       2
           Misal x = tan t dan dx = sec t dt. Maka :
                      sec 2 t dt
                                 = ∫ sec t dt = ln(sec t + tan t ) + C
                  dx
        ∫          =∫
           1 + x2       sec t

= ln  1 + x 2 + x + C
                 
                 


          x 2 − 25
c.   ∫       x
                   dx
            Misal x = 5 sec t dan dx = sec t tan t dt. Maka :
                  x 2 − 25
            ∫        x
                           dx =∫
                                 5 tan t
                                 5 sec t
                                         (5 sec t tan t) dt = 5 tan2 t dt = 5 tant − 5t + C
                                                              ∫
                                                         x
                                = x 2 − 25 − 5 sec −1   + C
                                                         5



                                               Danang Mursita
                                   Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                   Matematika Dasar



Substitusi bentuk Akar

          Bila       integran       memuat         faktor        berbentuk   n ax + b ,    maka     kita     dapat
menyelesaikan integral dengan menggunakan substitusi : u =                                   n ax + b      sehingga
                                                   n−1
                 n                            nu           du
didapatkan u = ax + b dan             = dx . Kadang-kadang kita jumpai juga suatu
                                 a
integral dengan integran dalam bentuk akar namun bukan merupakan suatu suku
                                                                                      n
banyak akan tetapi merupakan fungsi eksponen, misal integran                              1 + e x . Maka seperti
                                                                                                    n u n−1
diatas juga kita ambil substitusi un = 1 + ex atau x = ln u n − 1 dan dx =    (
                                                                          un − 1
                                                                                 du . )
Sedang untuk integran yang terdiri dari beberapa bentuk akar yang pangkatnya berbeda
namun dengan fungsi dasar sama, kita dapat melakukakan substitusi dengan
memisalkan dengan u berpangkat KPK dari akar pangkatnya. Bentuk integral setelah
dilakukan substitusi akan lebih mudah untuk diselesaikan menggunakan metode yang
dikenal sebelumnya.

Contoh.
       dx
a.   ∫
    2+2 x
               . Misal u2 = x dan              2u du = dx . Maka :

             dx          2u                                    1 
        ∫ 2 + 2 x = ∫ 2 + 2u du =              ∫  1 − 1 + u  du = u − ln( 1 + u) + C
                                                            
                          =               (
                                x − ln 1 + x + C       )
b.   ∫   1+ ex dx . Misal u2 = 1 + ex ⇔ x = ln u 2 − 1 dan dx = 2(2u
                                                                 u −1
                                                                       )
                                                                      du . Maka :

                             2u                  1     1 
          ∫                     ∫
             1 + ex dx = u 2  du =  2 +
                             u − 1        
                                                       −   ∫  du
                                                  u − 1 u + 1
                                                                          x    
                                        u − 1              x + ln 1 + e − 1 + C
                              = 2u + ln       + C = 2 1+ e
                                        u + 1                                
                                                                    1 + e x + 1
          x
c.   ∫ 1 + 3 x dx . Misal u6 = x dan 6 u5 du = dx . Maka :
                 x                   u8                              1 
          ∫   1+ 3 x
                     dx = 6     ∫
                              1 + u2
                                                       ∫
                                     du = 6  u6 − u 4 + u 2 − 1 +
                                            
                                                                           du
                                                                   1 + u2 
                         = u 7 − u5 + 2 u 3 − 6u + 6 tan−1 u + C
                            6       6
                            7       5
                         = x
                            7
                                    − x + 2x1/ 2 − 6x1/ 6 + 6 tan−1 x1/ 6 + C
                            6 7 / 6 6 5/ 6
                                      5
                                                                                     ( )


                                                Danang Mursita
                                    Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                        Matematika Dasar



Substitusi bentuk Kuadrat.
                                                                      2
        Integral dengan integran memuat bentuk kuadrat ax + bx + c dengan b ≠ 0
dapat juga dikerjakan dengan menggunakan substitusi sebagai berikut :
                               b 2       b2
         ax 2 + bx + c = a x +  + c −
                               2a        4a
                              b
Bila disubstitusikan u = x +     ke bentuk kuadrat di atas didapatkan bentuk :
                             2a
             2             b2
          au + d ; d = c −    .
                           4a
Contoh.
            x
a.   ∫ x 2 − 4 x + 8 dx
     Misal u = x - 2 dan du = dx. Maka :

     ∫
            x
      x 2 − 4x + 8
                    dx =  ∫
                            u+2
                           u2 + 4
                                  du = ln u2 + 4 + tan−1  + C
                                       1
                                       2      (           )   u
                                                              2

                                    [                 ]   x − 2
                             = ln ( x − 2) 2 + 4 + tan−1 
                               1
                               2                          2 
                                                                +C

             dx
b.   ∫
        5 − 4x − 2 x 2
                                                 2               2
     Misal u = x + 1, didapatkan dari 5 - 4x - 2x = 7 - 2 ( x+1 ) . Maka :

     ∫
              dx
                        = ∫
                               du
                                       =
                                           1
                                                  ∫
                                                      du
                                                               =
                                                                 1
                                                                          (      )
                                                                    sin−1 u 2 / 7 + C
         5 − 4x − 2 x 2      7 − 2 u2       2    ( 7 / 2) − u2    2

                              =
                                  1
                                   2
                                     sin−1[                   ]
                                              2 / 7 ( x + 1) + C


Soal Latihan

( Nomor 1 sd 12 ) Pilihlah substitusi yang tepat untuk mencari solusi dari :
1.
   x 2 dx                                           5. ∫
                                                               dx
 ∫
    9 − x2                                                x2 + 9  (   )
                                                                   3/ 2

       2x − 3
2. ∫           dx                                   6. ∫ x 3 x + 4 dx
        4−x  2
                                                         x2 + 2x
3. ∫
          dx                                        7. ∫           dx
       2 x2 − 1                                             x +1
      x
                                                            t
          dx                                        8. ∫        dt
4. ∫                                                     t+1
      x x2 + 9                                                3x dx
                                                    9. ∫
                                                           x2 + 2x + 5



                                          Danang Mursita
                              Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                      Matematika Dasar



                                                              2x − 1
10.   ∫   5 − 4x − x 2 dx                          12.   ∫ x 2 − 6x + 18 dx
           2x + 1
11.   ∫ x 2 + 2 x + 2 dx




                                        Danang Mursita
                            Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:5949
posted:3/26/2010
language:Indonesian
pages:4
Description: MATERI MATEMATIKA SMA