27. Modul Matematika - INTEGRAL BAGIAN

							                                                Matematika Dasar


                                             INTEGRAL BAGIAN


       Misal f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan. Maka dengan
teorema rantai dapat diperoleh turunan dari hasilkali kedua fungsi, yaitu :


             [ f (x )g (x )] = f (x ) ( dx ) + g (x ) ( dx )
          d                          d g (x )        d f (x )
          dx

Bila dilakukan integrasi pada kedua ruas maka didapatkan :

                                           d ( g (x ))                d ( f ( x ))
          ∫ dx [ f ( x )g ( x )] = ∫ f ( x )
              d
                                                       dx + ∫ g ( x )              dx
                                               dx                         dx
                                       d ( g (x ))                d ( f ( x) )
          f ( x) g( x ) + C = ∫ f ( x)             dx + ∫ g ( x)                dx
                                           dx                         dx
atau
          ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = f ( x ) g (x ) − ∫ g ( x ) f ' ( x ) dx + C .

Karena integral pada kedua ruas juga akan menghasilkan konstanta C, maka dapat
dituliskan sebagai berikut :

              ∫ f ( x ) g '( x) dx = f ( x ) g ( x ) − ∫ g( x ) f '( x ) dx

Misal u = f(x)                  du = f’(x) dx
         v = g(x)               dv = g’(x) dx
Substitusi ke dalam rumus integral di atas didapatkan rumus integral bagian untuk
integral tak tentu adalah :

          ∫ u dv = uv − ∫ v du

         Bila f(x) dan g(x) integrabel pada [ a,b ] maka rumus integral bagian untuk
integral tentu dapat dituliskan :

          b                 b b
          ∫ u dv = uv        − ∫ v du
                            a a
          a


Contoh
Hitung integral berikut
a.   ∫ x ex dx = ∫ x d ( e x ) = x ex − ∫ e x dx = x ex − e x + C
     e                  e
                     e
                                         (     e
                                               1
                                                ) [
b. ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x d ln x = x ln x − x = 1
                     1
                                                                    ]
   1                    1




                                             Danang Mursita
                                 Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                         Matematika Dasar



c.    ∫ ex sin x dx = −∫ ex d (cos x) = − ex cos x + ∫ ex cos x dx = − e x cos x + ∫ e x d (sin x )
      = − ex cos x + ex sin x − ∫ ex sin x dx
     Bila suku paling kanan dipindah ke ruas kiri maka didapatkan :

     ∫ e x sinx = 2 ex (− cos x + sin x) + C.
                  1



Soal Latihan

( Nomor 1 sd 13 ) Gunakan metode integral bagian untuk menyelesaikan integral
berikut:
1.   ∫ x e− x dx
2.     ∫ x e 3x dx
3.     ∫ ln( 2 x + 3) dx
4.     ∫ x sec 2 x dx
5.     ∫ x 2 cos x dx
6.     ∫ sin−1 x dx
7.     ∫ tan −1 x dx
8.     ∫ x tan −1 x dx
9.     ∫ e − x cos x dx
       2
10.    ∫ ln( x 2 + 1) dx
       0
        e
               ln x
11.    ∫       2
                      dx
           e x
      π /2
12.     ∫ x sin 4x dx
        0
      π
           2
13.    ∫        x csc 2 x dx
      π
           6




                                           Danang Mursita
                               Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung