24. Modul Matematika - LIMIT BENTUK TAK TENTU

							                                                    Matematika Dasar


                                          LIMIT BENTUK TAK TENTU

                                                      00 ,∞ 0 dan 1∞




            Dalam menentukan turunan dari fungsi berpangkat fungsi dapat digunakan sifat

logaritma natural. Misal y = f ( x ) g ( x) . Maka didapatkan :ln y = g (x ) ln f ( x ) . Oleh
karena itu, turunan dari y, yaitu :

                                         g (x )          
            y ' = g ' ( x ) ln f ( x ) +        f ' ( x ) f ( x ) g ( x)
                                         f (x )          


            Sedangkan limit dari fungsi berpangkat fungsi,                     lim y = lim f ( x ) g ( x) akan
                                                                               x→ a     x →a

memunculkan bentuk tak tentu berikut :                              00 ,∞ 0 dan 1∞ . Untuk menyelesaikannya

                                    [
dihitung: lim ln y = lim g ( x ) ln f ( x)              ]
             x→ a            x→ a

Misal nilai dari lim ln y = A . Maka lim y = e A .
                      x →a                           x →a


Contoh
Hitung limit berikut
                    1
a. lim ( 1 + x ) x
     x→ 0

b.     lim
               −
                    (tan x)cos x
       π
     x→ 
        2

c.    lim x x
     x→ 0+
Jawab :




                                                    Danang Mursita
                                        Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                           Matematika Dasar


                                                                                 ∞                                  1
a.    Limit       mempunyai                 bentuk         tak     tentu        1 .         Misal      y = (1 + x ) x        .   Maka

                             ln (1 + x)                                                                       0
       lim ln y = lim                   dan mempunyai bentuk                                    tak tentu       .       Menggunakan
       x→ 0             x→ 0      x                                                                           0

                                                                   1                          1
      lhospital didapatkan : lim ln y = lim                            = 1 . Jadi lim (1 + x ) x = e
                                           x →0             x →0 1 + x            x →0

                                                                                                    y = ( tan x)
                                                                                 0                                  cos x
b.    Limit       mempunyai                 bentuk        tak      tentu        ∞ .        Misal                             .   Maka


                                                     cos x ln ( tan x ) =
                                                                                       ln tan x                                  1
            lim       ln y =               lim                                   lim            =             lim                       =0
                  −                              −                                    − sec x                      −         2
          π                        π                                          π                          π  sec x tan x
       x →                      x →                                     x →                          x → 
          2                         2                                      2                            2

       Jadi       lim
                            −
                                ( tan x) cos x = 1
                  π
               x → 
                  2
                                                                                       0                                 x
c.    Limit       mempunyai                   bentuk         tak        tentu         0 .      Misal      y     =        x.      Maka

                                                                 ln x                       x
        lim ln y = lim x ln x = lim                           −1 = lim+ − x = 0. Jadi lim+ x = 1
              +                        +                    +
       x→ 0                 x→ 0                       x →0 x     x →0               x →0




Soal Latihan


Hitung limit berikut.
        1
 lim x (1− x )
x→1

2. lim (1 + sin 2 x) x
                            1

     x→ 0
                        2
           2 x
3. lim  cos 
   x→∞     x


           (            )
                            1
      lim e2 x − 1              ln x
4.
     x→ 0+




                                                        Danang Mursita
                                            Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                              Matematika Dasar




         (          )
                        1
5.   lim 1 + x 2            ln x
     x→∞

     lim ( ln x) x
                1
6.
     x→∞


           (            )
                            1
7. lim 3x + 5x                  x
   x→∞

           x + 1 x
8.    lim       
     x→∞  x + 2 




                                                Danang Mursita
                                    Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung