# 22. Modul Matematika - FUNGSI HIPERBOLIK by eri0518ase

VIEWS: 2,563 PAGES: 3

• pg 1
```									                                             Matematika Dasar

FUNGSI HIPERBOLIK

Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai berikut :

ex − e− x              e x + e− x
sinh x =               dan cosh x =
2                       2

Untuk fungsi hiperbolik yang lain :

sinh x ex − e− x
1. tanh x =           =
cosh x e x + e− x

cosh x e x + e− x
2. coth x =       =
sinh x ex − e− x

1       2
3. sec h x =          = x
cosh x e − e− x
1      2
4. csc h x =          = x
sinh x e + e − x

Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik :

2         2
1. cosh x - sinh x = 1
2             2
2. 1 - tanh x = sech x
2                 2
3. coth x - 1 = csch x
4. sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
5. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
x
6. cosh x + sinh x = e .
-x
7. cosh x - sinh x = e .
8. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
2            2         2              2
9. cosh 2x = cosh x + sinh x = 2 sinh x + 1 = 2 cosh x - 1
10. cosh ( -x ) = cosh x
11. sinh ( -x ) = - sinh x
12. sinh ( x - y ) = sinh x cosh y - cosh x sinh y

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar

13. cosh ( x - y ) = cosh x cosh y - sinh x sinh y
tanh x + tanh y
14. tanh( x + y) =
1 + tanh x tanh y
tanh x − tanh y
15. tanh( x − y) =
1 − tanh x tanh y

2 tanh x
16. tanh 2 x =
1 + tanh x

(cosh x + 1)
1          1
17. cosh x =
2          2

18. sinh
1
2
x=±
1
2
(cosh x − 1)
 x + y      x − y
19. sinh x + sinh y = 2 sinh       cosh      
 2          2 

 x + y       x−        y
20. cosh x + cosh y = 2 cosh       cosh             
 2           2          

Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik

 eu − e− u  e u + e− u
Misal y = sinh u. Maka y ' = Dx 

=
            u' = cosh u u' .
     2           2

Jadi : ∫ cosh u du = sinh u + C

Untuk fungsi hiperbolik yang lain:

1. y = cosh u ⇒ y ' = sinh u u' ⇔        ∫ sinh u du = cosh u + C
2. y = tanh u ⇒ y ' = sec h2 u u' ⇔       ∫ sec h2u   du = tanh u + C

3. y = coth u ⇒ y ' = − csc h2 u u' ⇔ ∫ csc h 2 u du = − coth u + C

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar

4. y = sec h u ⇒ y ' = − sec h u tanh u u ' ⇔         ∫ sec h u tanh u du = − sec h u + C
5. y = csc h u ⇒ y' = − csc h u coth u u' ⇔          ∫ csc h u coth u du = − csc h u + C

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 5 )Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari :
4
1. y = cosh x .
2. y = ln ( tanh 2x )
3. y = cosh ( 1/x )
3
4. y = sinh ( 2x )

5. y =      4 x + cosh 2 ( 5x)

( Nomor 6 sd 10 ) Hitung integral berikut :

6.    ∫ cosh( 2 x − 3) dx
7.    ∫ csc h 2( 3x) dx
8.    ∫ coth2 x csc h 2x dx
9.    ∫ tanh x dx
10.   ∫ sinh 6 x cosh x dx

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

```
To top