22. Modul Matematika - FUNGSI HIPERBOLIK by eri0518ase

VIEWS: 2,563 PAGES: 3

More Info
									                                             Matematika Dasar


                                         FUNGSI HIPERBOLIK


        Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai berikut :

                      ex − e− x              e x + e− x
         sinh x =               dan cosh x =
                          2                       2


Untuk fungsi hiperbolik yang lain :

                sinh x ex − e− x
1. tanh x =           =
                cosh x e x + e− x

            cosh x e x + e− x
2. coth x =       =
            sinh x ex − e− x

                  1       2
3. sec h x =          = x
                cosh x e − e− x
                   1      2
4. csc h x =          = x
                sinh x e + e − x


Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik :


        2         2
1. cosh x - sinh x = 1
            2             2
2. 1 - tanh x = sech x
        2                 2
3. coth x - 1 = csch x
4. sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
5. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
                              x
6. cosh x + sinh x = e .
                              -x
7. cosh x - sinh x = e .
8. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
                      2            2         2              2
9. cosh 2x = cosh x + sinh x = 2 sinh x + 1 = 2 cosh x - 1
10. cosh ( -x ) = cosh x
11. sinh ( -x ) = - sinh x
12. sinh ( x - y ) = sinh x cosh y - cosh x sinh y

                                               Danang Mursita
                                   Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                         Matematika Dasar


13. cosh ( x - y ) = cosh x cosh y - sinh x sinh y
                      tanh x + tanh y
14. tanh( x + y) =
                     1 + tanh x tanh y
                      tanh x − tanh y
15. tanh( x − y) =
                     1 − tanh x tanh y

                  2 tanh x
16. tanh 2 x =
                 1 + tanh x

                     (cosh x + 1)
        1          1
17. cosh x =
        2          2

18. sinh
           1
           2
             x=±
                 1
                 2
                   (cosh x − 1)
                             x + y      x − y
19. sinh x + sinh y = 2 sinh       cosh      
                             2          2 

                             x + y       x−        y
20. cosh x + cosh y = 2 cosh       cosh             
                             2           2          




Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik


                                         eu − e− u  e u + e− u
        Misal y = sinh u. Maka y ' = Dx 
                                        
                                                    =
                                                                u' = cosh u u' .
                                             2           2

Jadi : ∫ cosh u du = sinh u + C


Untuk fungsi hiperbolik yang lain:


1. y = cosh u ⇒ y ' = sinh u u' ⇔        ∫ sinh u du = cosh u + C
2. y = tanh u ⇒ y ' = sec h2 u u' ⇔       ∫ sec h2u   du = tanh u + C

3. y = coth u ⇒ y ' = − csc h2 u u' ⇔ ∫ csc h 2 u du = − coth u + C



                                          Danang Mursita
                              Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                           Matematika Dasar



4. y = sec h u ⇒ y ' = − sec h u tanh u u ' ⇔         ∫ sec h u tanh u du = − sec h u + C
5. y = csc h u ⇒ y' = − csc h u coth u u' ⇔          ∫ csc h u coth u du = − csc h u + C

Soal Latihan


( Nomor 1 sd 5 )Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari :
                 4
1. y = cosh x .
2. y = ln ( tanh 2x )
3. y = cosh ( 1/x )
             3
4. y = sinh ( 2x )

5. y =      4 x + cosh 2 ( 5x)


( Nomor 6 sd 10 ) Hitung integral berikut :

6.    ∫ cosh( 2 x − 3) dx
7.    ∫ csc h 2( 3x) dx
8.    ∫ coth2 x csc h 2x dx
9.    ∫ tanh x dx
10.   ∫ sinh 6 x cosh x dx




                                             Danang Mursita
                                 Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

								
To top