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Formule de Pascal et triangle de Pascal
Rappelons ici que l’on définit les coefficients binomiaux de la façon suivante :
���� ����!
∀���� ∈ ℕ, ∀���� ∈ 0, ���� , =
���� ����! ���� − ���� !
On a alors la formule dite de Pascal
���� ���� − 1 ���� − 1
∀���� ∈ ℕ, ∀���� ∈ 1, ���� − 1 , = +
���� ���� ���� − 1
Démontrons cette formule
���� − 1 ���� − 1 ���� − 1 ! ���� − 1 !
+ = +
���� ���� − 1 ����! ���� − 1 − ���� ! ���� − 1 ! ���� − 1 − (���� − 1 !
���� − 1 ! ���� − 1 !
= +
����! ���� − ���� − 1 ! ���� − 1 ! ���� − ���� !
���� − 1 ! 1 1 On utilise la formule :
= + ����! = ���� − 1 ! × ����
���� − 1 ! ���� − ���� − 1 ! ���� ���� − ����
���� − 1 ! ����
=
���� − 1 ! ���� − ���� − 1 ! ���� ���� − ����
����!
= Même formule à l’envers
����! ���� − ���� !
����
=
����
Quelle est la signification pratique de ce résultat ?
On a par convention 0! = 1 .
Donc
���� ����!
∀���� ∈ ℕ, = =1
0 0! ����!
On pose également
����
∀���� > ����, =0
����
On a donc
0
=1
0
1
=1
0
Et donc en utilisant la formule de Pascal.
1 0 0
= +
1 1 0
=0+1
=1
On aura également
2
=1
0
On aura en utilisant la formule de Pascal
2 1 1
= +
1 1 0
=1+1
=2
Et
2 1 1
= +
2 2 1
=0+1
=1
On présente habituellement ces résultats sous la forme d’un triangle appelé « triangle de
Pascal ».
1
11
121
La ligne suivante sera évidemment
1331
Et la suivante encore
14641
Le calcul devient vite fastidieux.
On peut alors confier à Excel le soin de nous retourner les lignes suivantes.
Si l’on écrit dans un tableau les cinq premières lignes que nous avons calculé mentalement,
nous obtenons ceci :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
La première colonne est composée de 1. Nous mettrons cette valeur dans la colonne A du
tableur.
Pour les autres éléments, deux cas se présentent.
Certains sont en bout de ligne et sont égaux à 1 :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Remarquons que cela signifie que dans la même colonne, la ligne du dessus ne contient aucun
élément.
La plupart sont à l’intérieur d’une ligne : ils ont été alors obtenu par la somme des deux
éléments de la ligne précédente situés sur la même colonne et sur la colonne précédente. Ce
résultat est bien entendu l’application de la formule de Pascal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Sur Excel, cela se traduit par une expression conditionnelle obtenue par la fonction SI.
Bien entendu sur chaque ligne, le « 1 » clôt les valeurs. Comment l’indiquer au logiciel ?
Comment faire pour que l’on puisse appliquer une même formule à toutes les cellules, même
quand elles resteront vides ?
Le moyen le plus simple est de prévoir une deuxième condition : quand sait-on qu’une cellule
restera vide ? si la cellule située à l’intersection de la ligne précédente et de la colonne à
gauche de la cellule est également vide :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
On peut donc élaborer les conditions sous la forme hiérarchique suivante dans le passage de la
ligne X à la ligne Y, et dans l’élaboration de l’élément d’indice (i+1) de la ligne Y.
SI �������� = ∅ ALORS ��������+1 = ∅
SINON SI ��������+1 = ∅ ALORS ��������+1 = 1
SINON ��������+1 = �������� + ��������−1
Il ne reste plus qu’à transcrire cela sous Excel par des « SI » emboîtés.
Cela se fera de la façon suivante :
SI(Xi="" ;"" ;SI(Xi="" ;1 ;Xi + Xi+1))
On place cette formule dans Yi+1.
En pratique, avec les principes de recopie, on mettra des « 1 » dans la colonne A. La formule
précédente est alors écrire en B2, où elle devient :
SI(A1="" ;"" ;SI(B1="" ;1 ;A1+B1)
Sur le tableur cela devient :
Si l’on recopie la formule jusqu’à la cellule D2, on a :
En recopiant la formule sur la plage B2 :D4, on obtient
En étendant la formule sur une plage plus importante et en utilisant les nouveaux outils de
coloration d’Excel, on aura
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
Rappelons que cela permettra d’écrire par exemple que :
14
���� + ���� = ����14 + 14����13 ���� + 91����12 ���� 2 + 364����11 ���� 3 + 1001����10 ���� 4 + 2002����9 ���� 7
+ 3003����8 ���� 6 + 3432����7 ���� 7 + 3003����6 ���� 8 + 2002����5 ���� 9 + 1001����4 ����10
+ 364����3 ����11 + 91����2 ����12 + 14��������13 + ����14
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