Get documents about "Filtering Projection in Image Processing
Document Sample
Проекционная фильтрация в обработке изображений
Данил Н. Корчагин и Андрей С. Крылов
Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики, Московский Государственный Университет
Москва, Россия
Они также могут быть определены следующими
Предисловие рекуррентными формулами:
В этой статье мы рассмотрим новую проекционную схему 1
0 e x
2
/2
локальной обработки изображений. Она основана на
разложении по собственным функциям преобразования
4
Фурье. Эта схема может использоваться для компрессии
2x
изображений и других типов медиаданных, их фильтрации,
1 e x
2
/2
трассировки контуров, определении структур и свойств
объектов.
4
Ключевые слова: преобразование Фурье, функции Эрмита, 2 n 1
обработка изображений.
n x n 1 n 2 , n 2
n n
1. ВВЕДЕНИЕ Более того, функции Эрмита являются собственными
функциями преобразования Фурье:
Фурье анализ играет очень важную роль в обработке и
анализе изображений и сигналов. В то же время, F ( n ) i n n ,
параметризация изображений при помощи кодирования их где F обозначает оператор преобразования Фурье.
некоторыми математическими формулами позволяет
осуществлять множество процедур обработки изображений Графики функций Эрмита выглядят следующим образом:
более эффективно. Цель данной работы показать
эффективность использования объединенного подхода.
Предложенный метод базируется на свойствах функций
Эрмита. Разложение данных сигнала в ряды этих функций
позволяет производить анализ сигнала и его преобразование
Фурье одновременно, потому что функции Эрмита являются
собственными функциями преобразования Фурье. Также
необходимо подчеркнуть, что совмещенная локализация
функций Эрмита в обоих пространствах делает этот метод
очень устойчивым к информационным ошибкам.
Эти функции широко используются в чистой математике, где
разложение по функциям Эрмита также называют рядами
Грам-Чарли [1],[2]. Они также используются в обработке
изображений [3],[4], где они называются преобразованиями
Эрмита. Однако, эти ряды часто “ограничены первыми
несколькими членами”. Та же ситуация типична для
использования функций Эрмита в физике, т.д. [5].
Эта работа иллюстрирует некоторые возможности, дающие
преимущества использования данного метода проекционной
Фурье фильтрации, математически определенной в [5].
2. ФУНКЦИИ ЭРМИТА
Функции Эрмита удовлетворяют необходимым условиям для
обработки изображений, так как они образуют полную
ортонормированную в L2 ( , ) систему функций.
Функции Эрмита определяются как:
(1) n e x d n (e x )
2 2
/2
n ( x)
2 n n! dx n
Рисунок 1: Функции Эрмита
3. АЛГОРИТМ 3.2 Аппроксимированные линии
Алгоритм, представленный ниже, работает на полноцветных На этом этапе, во-первых, мы должны выбрать число
(true color) изображениях, но для простоты мы рассмотрим функций Эрмита для фильтрации. Далее мы растягиваем наш
изображения в градациях серого (grayscale), так как любое отрезок аппроксимации [-A0, A0] до отрезка [-A1, A1],
полноцветное изображение может быть представлено как определенного по следующему критерию:
совокупность трех изображений в градациях одного цвета. A1
( x)dx 0.99 ,
2
3.1 Базовые линии n
A1
Во-первых, мы должны убрать базовые линии, потому что
где n – число функций Эрмита, используемых для
n ( x) 0, | x | аппроксимации.
Таким образом, если мы имеем изображение I[j,i], i=0..width, Потом мы раскладываем функцию f(x), полученную при
j=0..height, то тогда базовые линии можно определить как: вычитании базовой линии из j уровня исходного
изображения, в ряд Фурье:
I [ j, width] I [ j,0]
baseline j (i) I [ j,0] i n 1
width value( x) ci i ( x)
Далее для каждой линии исходного изображения (рис. 2) мы i 0
вычитаем вычисленную базовую линию из исходных данных A1
и центруем результат относительно оси градаций. ci f ( x)
A1
i ( x)dx
Так как функции Эрмита являются собственными функциями
преобразования Фурье, то мы получаем и аппроксимацию
преобразования Фурье для j уровня (рис. 5) исходного
изображения.
Рисунок 2: Исходное изображение
Рисунок 5: Аппроксимированная линия (толстая линия)
и исходная линия (тонкая линия) для j=30
для 20 функций Эрмита
Рисунок 6: Аппроксимированная линия (толстая линия)
Рисунок 3: Базовые линии и исходная линия (тонкая линия) для j=30
для 80 функций Эрмита
3.3 1D проход
Аппроксимируя каждую линию нашего изображения, мы
получим изображение с одномерной фильтрацией. Число
функций для всех линий берется одинаковое. Поэтому
полученный шаблон определяется базовыми линиями и
Рисунок 4: Базовая линия (толстая линия) коэффициентами разложения для каждой линии.
и исходная линия (тонкая линия) для j=30
Результаты одномерной фильтрации с помощью этого
Теперь полученное изображение готово для дальнейшей алгоритма для исходного изображения (рис.2)
обработки. проиллюстрированы на рисунках 7-10.
Рисунок 7: Декодированное изображение
по 20 функциям Эрмита
Рисунок 8: Изображение разности по 20 функциям Эрмита
(+50% интенсивности)
Рисунок 11: Исходное изображение,
декодированное изображение по 40 функциям Эрмита
и изображение разности по 40 функциям Эрмита
(+50% интенсивности)
Рисунок 9: Декодированное изображение 3.4 2D проход
по 80 функциям Эрмита
Если мы рассмотрим полученный шаблон исходного
изображения как новое изображение, повернутое на 90 o, и
проведем для него все предыдущие вычисления, мы получим
изображение с двумерной фильтрацией (рис. 12). Число
функций для второго прохода может быть отличным от числа
функций, используемых на первом проходе. Следовательно,
полученный двумерный шаблон определяется только
базовыми линиями и коэффициентами разложения для
каждого столбца одномерного отфильтрованного шаблона.
В случае одномерного прохода обработка изображения
осуществляется по принципу линия за линией. Поэтому для
задач, непосредственно связанных с трассировкой объектов,
фильтрацией и компрессией, лучше использовать двумерный
Рисунок 10: Изображение разности по 80 функциям Эрмита проход.
(+50% интенсивности)
[4] Jean-Bernard Martens. “The Hermite Transform –
Applications”. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and
Signal Processing, vol. 38 (1990) p. 1607-1618.
[5] Andrey Krylov and Anton Liakishev. “Numerical Projection
Method For Inverse Fourier Transform and its Application”.
Numerical Functional Analysis and optimization, vol. 21 (2000)
p. 205-216.
Об авторах
Данил Н. Корчагин, студент Московского Государственного
Университета.
Рисунок 12: 2D декодированное изображение по 80 E-mail: dan_msu@euro.ru
функциям Эрмита на первом проходе и 60 функциям Эрмита Андрей С. Крылов, ведущий научный сотрудник
на втором проходе Московского Государственного Университета.
E-mail: kryl@cs.msu.su
Адрес:
Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики,
Московский Государственный Университет, Воробьевы
Горы, 119899, Москва, Россия.
Figure 13: Изображение 2D разности по 80 функциям Эрмита
на первом проходе и 60 функциям Эрмита на втором проходе
(+50% интенсивности)
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Функции Эрмита использовались в этой работе для
фильтрации изображений. Эти функции позволяют нам
разделить “декодированное изображение” (низкочастотная
часть) и “изображение разности” (высокочастотная часть).
Здесь, концепция частоты соотносится с выполнением
операции преобразования Фурье и основана на рядах
функций Эрмита. Эти ряды являются аналогом
тригонометрических рядов Фурье, но функции Эрмита могут
использоваться в случае бесконечного интервала, когда как
тригонометрический ряд Фурье использует конечный
интервал.
Аппроксимация, основанная на этой концепции частоты,
выглядит многообещающей при использовании в различных
областях обработки изображений и сигналов.
5. ССЫЛКИ
[1] Gabor Szego “Orthogonal Polynomials”. American
Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 23, NY,
1959.
[2] Dunham Jeckson, “Fourier Series and Orthogonal
Polynomials”. Carus Mathematical Monographs, No. 6, Chicago,
1941.
[3] Jean-Bernard Martens. “The Hermite Transform – Theory”.
IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing,
vol. 38 (1990) p. 1595-1606.
