Docstoc

Filtering Projection in Image Processing

Document Sample
Filtering Projection in Image Processing Powered By Docstoc
					               Проекционная фильтрация в обработке изображений
                                              Данил Н. Корчагин и Андрей С. Крылов
        Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики, Московский Государственный Университет
                                             Москва, Россия

                                                                  Они также могут быть                        определены    следующими
Предисловие                                                       рекуррентными формулами:
В этой статье мы рассмотрим новую проекционную схему                                1
                                                                         0             e x
                                                                                                 2
                                                                                                     /2
локальной обработки изображений. Она основана на
разложении по собственным функциям преобразования
                                                                                4
                                                                                    
Фурье. Эта схема может использоваться для компрессии
                                                                                    2x
изображений и других типов медиаданных, их фильтрации,
                                                                         1              e x
                                                                                                     2
                                                                                                         /2
трассировки контуров, определении структур и свойств
объектов.
                                                                                4
                                                                                    
Ключевые слова: преобразование Фурье, функции Эрмита,                                   2           n 1
обработка изображений.
                                                                         n  x            n 1        n 2 , n  2
                                                                                        n             n
1. ВВЕДЕНИЕ                                                       Более того, функции Эрмита являются                      собственными
                                                                  функциями преобразования Фурье:
Фурье анализ играет очень важную роль в обработке и
анализе изображений и сигналов. В то же время,                                             F ( n )  i n n ,
параметризация изображений при помощи кодирования их              где F обозначает оператор преобразования Фурье.
некоторыми    математическими    формулами     позволяет
осуществлять множество процедур обработки изображений             Графики функций Эрмита выглядят следующим образом:
более эффективно. Цель данной работы показать
эффективность использования объединенного подхода.
Предложенный метод базируется на свойствах функций
Эрмита. Разложение данных сигнала в ряды этих функций
позволяет производить анализ сигнала и его преобразование
Фурье одновременно, потому что функции Эрмита являются
собственными функциями преобразования Фурье. Также
необходимо подчеркнуть, что совмещенная локализация
функций Эрмита в обоих пространствах делает этот метод
очень устойчивым к информационным ошибкам.
Эти функции широко используются в чистой математике, где
разложение по функциям Эрмита также называют рядами
Грам-Чарли [1],[2]. Они также используются в обработке
изображений [3],[4], где они называются преобразованиями
Эрмита. Однако, эти ряды часто “ограничены первыми
несколькими членами”. Та же ситуация типична для
использования функций Эрмита в физике, т.д. [5].
Эта работа иллюстрирует некоторые возможности, дающие
преимущества использования данного метода проекционной
Фурье фильтрации, математически определенной в [5].

2. ФУНКЦИИ ЭРМИТА
Функции Эрмита удовлетворяют необходимым условиям для
обработки изображений, так как они образуют полную
ортонормированную в     L2 ( , ) систему функций.
Функции Эрмита определяются как:

                        (1) n e x   d n (e  x )
                                     2           2
                                         /2
            n ( x)               
                          2 n n!       dx n
                                                                                    Рисунок 1: Функции Эрмита
3. АЛГОРИТМ                                                    3.2 Аппроксимированные линии
Алгоритм, представленный ниже, работает на полноцветных        На этом этапе, во-первых, мы должны выбрать число
(true color) изображениях, но для простоты мы рассмотрим       функций Эрмита для фильтрации. Далее мы растягиваем наш
изображения в градациях серого (grayscale), так как любое      отрезок аппроксимации [-A0, A0] до отрезка [-A1, A1],
полноцветное изображение может быть представлено как           определенного по следующему критерию:
совокупность трех изображений в градациях одного цвета.                         A1

                                                                                              ( x)dx  0.99 ,
                                                                                            2
3.1 Базовые линии                                                                       n
                                                                                 A1
Во-первых, мы должны убрать базовые линии, потому что
                                                               где n – число      функций           Эрмита,         используемых для
                  n ( x)  0, | x |                         аппроксимации.
Таким образом, если мы имеем изображение I[j,i], i=0..width,   Потом мы раскладываем функцию f(x), полученную при
j=0..height, то тогда базовые линии можно определить как:      вычитании базовой линии из j уровня исходного
                                                               изображения, в ряд Фурье:
                                 I [ j, width]  I [ j,0]
   baseline j (i)  I [ j,0]                             i                                        n 1
                                          width                               value( x)   ci i ( x)
Далее для каждой линии исходного изображения (рис. 2) мы                                            i 0
вычитаем вычисленную базовую линию из исходных данных                                   A1
и центруем результат относительно оси градаций.                               ci        f ( x)
                                                                                        A1
                                                                                                       i   ( x)dx

                                                               Так как функции Эрмита являются собственными функциями
                                                               преобразования Фурье, то мы получаем и аппроксимацию
                                                               преобразования Фурье для j уровня (рис. 5) исходного
                                                               изображения.




             Рисунок 2: Исходное изображение
                                                                 Рисунок 5: Аппроксимированная линия (толстая линия)
                                                                       и исходная линия (тонкая линия) для j=30
                                                                               для 20 функций Эрмита




                                                                 Рисунок 6: Аппроксимированная линия (толстая линия)
                 Рисунок 3: Базовые линии                              и исходная линия (тонкая линия) для j=30
                                                                               для 80 функций Эрмита


                                                               3.3 1D проход
                                                               Аппроксимируя каждую линию нашего изображения, мы
                                                               получим изображение с одномерной фильтрацией. Число
                                                               функций для всех линий берется одинаковое. Поэтому
                                                               полученный шаблон определяется базовыми линиями и
         Рисунок 4: Базовая линия (толстая линия)              коэффициентами разложения для каждой линии.
         и исходная линия (тонкая линия) для j=30
                                                               Результаты одномерной фильтрации с помощью этого
Теперь полученное изображение готово для дальнейшей            алгоритма   для    исходного      изображения (рис.2)
обработки.                                                     проиллюстрированы на рисунках 7-10.
        Рисунок 7: Декодированное изображение
               по 20 функциям Эрмита




Рисунок 8: Изображение разности по 20 функциям Эрмита
                (+50% интенсивности)




                                                                    Рисунок 11: Исходное изображение,
                                                            декодированное изображение по 40 функциям Эрмита
                                                              и изображение разности по 40 функциям Эрмита
                                                                          (+50% интенсивности)


        Рисунок 9: Декодированное изображение            3.4 2D проход
               по 80 функциям Эрмита
                                                         Если мы рассмотрим полученный шаблон исходного
                                                         изображения как новое изображение, повернутое на 90 o, и
                                                         проведем для него все предыдущие вычисления, мы получим
                                                         изображение с двумерной фильтрацией (рис. 12). Число
                                                         функций для второго прохода может быть отличным от числа
                                                         функций, используемых на первом проходе. Следовательно,
                                                         полученный двумерный шаблон определяется только
                                                         базовыми линиями и коэффициентами разложения для
                                                         каждого столбца одномерного отфильтрованного шаблона.
                                                         В случае одномерного прохода обработка изображения
                                                         осуществляется по принципу линия за линией. Поэтому для
                                                         задач, непосредственно связанных с трассировкой объектов,
                                                         фильтрацией и компрессией, лучше использовать двумерный
Рисунок 10: Изображение разности по 80 функциям Эрмита   проход.
                 (+50% интенсивности)
                                                                [4] Jean-Bernard Martens. “The Hermite Transform –
                                                                Applications”. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and
                                                                Signal Processing, vol. 38 (1990) p. 1607-1618.
                                                                [5] Andrey Krylov and Anton Liakishev. “Numerical Projection
                                                                Method For Inverse Fourier Transform and its Application”.
                                                                Numerical Functional Analysis and optimization, vol. 21 (2000)
                                                                p. 205-216.

                                                                Об авторах
                                                                Данил Н. Корчагин, студент Московского Государственного
                                                                Университета.
    Рисунок 12: 2D декодированное изображение по 80             E-mail: dan_msu@euro.ru
функциям Эрмита на первом проходе и 60 функциям Эрмита          Андрей С. Крылов, ведущий научный сотрудник
                   на втором проходе                            Московского Государственного Университета.
                                                                E-mail: kryl@cs.msu.su
                                                                Адрес:
                                                                Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики,
                                                                Московский Государственный Университет, Воробьевы
                                                                Горы, 119899, Москва, Россия.




Figure 13: Изображение 2D разности по 80 функциям Эрмита
на первом проходе и 60 функциям Эрмита на втором проходе
                  (+50% интенсивности)

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Функции Эрмита использовались в этой работе для
фильтрации изображений. Эти функции позволяют нам
разделить “декодированное изображение” (низкочастотная
часть) и “изображение разности” (высокочастотная часть).
Здесь, концепция частоты соотносится с выполнением
операции преобразования Фурье и основана на рядах
функций    Эрмита.    Эти    ряды   являются     аналогом
тригонометрических рядов Фурье, но функции Эрмита могут
использоваться в случае бесконечного интервала, когда как
тригонометрический ряд Фурье использует конечный
интервал.
Аппроксимация, основанная на этой концепции частоты,
выглядит многообещающей при использовании в различных
областях обработки изображений и сигналов.

5. ССЫЛКИ
[1] Gabor Szego “Orthogonal Polynomials”. American
Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 23, NY,
1959.
[2] Dunham Jeckson, “Fourier Series and Orthogonal
Polynomials”. Carus Mathematical Monographs, No. 6, Chicago,
1941.
[3] Jean-Bernard Martens. “The Hermite Transform – Theory”.
IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing,
vol. 38 (1990) p. 1595-1606.

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:19
posted:3/16/2010
language:
pages:4