Docstoc

logaritma - Download as PowerPoint

Document Sample
logaritma - Download as PowerPoint Powered By Docstoc
					LOGARĠTMA
ÖZGE
AġIROĞLU
11-B 72
            LOGARĠTMA
(Yunanca: λόγος (logos) = anlayıĢ, ἀριθμός (aritmos) =
 sayı)
    17. yüzyılın baĢında hesapları hızlandırmak için yapılan
 bir buluĢ. 300 yıldan daha uzun bir zaman, temel bir hesap
 metodu olmuĢtur. 19. yüzyılda masa hesap makinelerinin
 doğuĢu ve yirminci yüzyılda elektronik hesap
 makinelerinin ortaya çıkıĢı, logaritmaya olan ihtiyacı
 azaltmıĢtır. Ancak logaritmik fonksiyonların teorik ve
 uygulamalı matematikte özel bir yeri vardır.
     Logaritma, birbirinden habersiz çalıĢan iki kiĢi
 tarafından keĢfedilmiĢtir. Bunlar; 1614′te Ġskoçyalı John
 Napier ve 1620′de Ġsviçreli Joost Bürgi‘dir.
      Logaritma üzerinde önemli çalıĢmaları olan bir
Türk bilgini de Gelenbevi Ġsmail Efendidir. Kendisi
büyük bir matematikçi olup, mantıkla da uğraĢmıĢtır.
1730-1790 yıllarında yaĢayan bu büyük alimin
Logaritma Risalesi isimli çok açık, anlaĢılır yazılmıĢ
bir eseri mevcuttur.
     Logaritmayı açıklamak için 2·2·2= 8 ifadesine
bakalım. Bu 2³ = 8 olarak kısaca yazılabilir. Bu örnekte
3, 8′in 2 tabanına göre logaritması denir. BaĢka bir
örnek, 2·2·2·2 = 16 ve 24= 16 yazılırsa, burada 4, 16′nın
2 tabanına göre logaritmasıdır. Genel olarak bx= N
ifadesinde N’nin b tabanına göre logaritması, x’tir.
Her ne kadar her pozitif sayı taban olarak kullanılırsa
da genel olarak logaritma 10 ve e (yaklaĢık,
2,718281828) tabanına göre hesaplanır.
Tabii Logaritma
     Eğer taban olarak yaklaĢık 2,718281828 olan e sayısı
 alınırsa, bu logaritma tabii logaritma veya keĢfeden
 John Napier‘e itafen Napier logaritması olarak da
 isimlendirilir. logeN yerine ln N ifadesi kullanılır.
 Mesela, ln 2= 0,6932′dir. Tabii logaritma genel olarak,
 ilmi kanunların ifadesinde sık sık ortaya çıkar.
     Adi ve tabii logaritmalar birbirleri ile alakalı olup,
 tabii logaritma, adi logaritmaya 0,4343 sayısı ile
 çarparak çevrilebilir.
     Adi ve tabii logaritmaların dıĢında herhangi pozitif
 bir reel sayı tabanına göre de logaritma kullanılır.
 Ancak negatif sayıların hiçbir tabana göre
 logaritmasının olmayacağı açıktır.
Denklemler
Logaritmanın Tarihçesi
 Üslü olarak verilen bazı ifadelerin
 gerçek değerlerini, doğrudan doğruya
 bulmak, matematik yönünden
 yapılması zor bir iĢlemdir. Kaynaklar,
 bu tür, birtakım hesaplamaları,
 kolaylıkla yapılmasını sağlayan,
 logaritmayı ilk kullananı, John Napier
 (1550 - 1617) olduğunu göstermekte.
      John Napier tarafından, bu konuda
"Minifici Logaritmorum Canonis Descripto"
(bir logaritma cetveli tanımı ve iki ayrı
trigonometri ile bütün matematik hesaplarında
kolay ve çabuk kullanılmasına genel
açıklaması) adlı, zamanın bilim dili olan
Latince olarak kaleme alınmıĢ eser, ilk kez 1614
yılında Edinburg Ģehrinde yayınlandı. Böylece
logaritma adını da John Napier koymuĢtur.
Bir logaritma çizelgesinin hazırlanmasında, taban olarak 1
den büyük sayı seçilebilir. Napier, çizelgesini (e) tabanına
göre hazırlamıĢtır. Fakat çizelgeyi tamamladıktan sonra, (e)
sayısını almakla, zor bir sistem ortaya koyduğunu,
uygulaması sırasında farkına vardı. Daha sonraki yıllarda,
10 tabanlı, yeni bir logaritma sisteminin hesaplama iĢlerinde
büyük kolaylıklar sağlayabileceğini düĢündü. Fakat, bu yeni
sisteme ait, düĢündüğü temel ilkeleri, bizzat ortaya
koyamadan öldü. Ömrünün son günlerinde, arkadaĢı olan,
Ġngiliz matematikçi ve astronom Henri Briggs'ten (1551 -
1630) düĢüncelerinin tamamlanmasını istedi.
    Henri Biggs, bu isteğe uyarak, 10 tabanına göre,
bir logaritma cetveli hazırlayarak, 1617 yılında
yayımlamıĢtır. Bu eser, 1'den 1000'e kadar olan
sayıların 14 ondalıklı logaritmalarını gösterir. Henri
Briggs, ilk logaritma cetvellerinin yayımından 7 yıl
sonra, yani 1624 yılında; önceleri, 1'den 20.000'e daha
sonra da, 90.000'den 100.000'e kadar olan sayıların 14
ondalıklı logaritmalarını kapsayan Logaritmik
Aritmetik adlı bir eser daha yayımladı.
   Daha sonra, Hollandalı matematikçi Adrien
Vlacq, Henry Briggs'ten eksik kalan, 20.000'den
90.000'a kadar olan sayıların logaritmik değerlerini
hesap etti ve cetvellerini 1626 yılında, Briggs' in adı
altında, Goude'de yayımladı. Bu yeni çizelgeler, 10
ondalıklı olup, 1'den 1.000.000'a kadar sayılan , ve 0
dereceden 90 dereceye kadar olan açıların, 1'er açı
dakikası aralıklı olarak, için sinüs, tanjant ve
sekantın logaritma değerlerini kapsıyordu. Ayrıca,
her biri 10" için, sinüs ve tanjantın logaritmalarına
iliĢkin bir çizelge yayımlandı. Logaritma cetvelleri
üzerine eser hazırlayanlar, Adrien Vlacq' ın bu
eserini temel kabul ederler.
  “ Ġki parmağının ucunu gözüne koy.
Bir Ģey görebiliyor musun dünyadan?
Sen göremiyorsun diye bu alem yok
değildir. Görememek ayıbı,
göstermemek kusuru, uğursuz nefsin
parmağına ait iĢte. “
                        HZ. MEVLANA
a Є R+ \ (1), b ЄR+ ve x Є R için ax =b
  eĢitliğinde görüldüğü gibi üç sayı vardır.
 ax =b eĢitliğinde
a:Taban
b:Kuvvet iĢleminin sonucu
x:Üs konumundadır.Bu üç sayıdan her
  birini bulmak için ayrı bir matematiksel
  iĢlem uygulanır.
   b nin değerini bulmak için, a
    nın x inci kuvveti alınmalıdır.
    (Kuvvet alma iĢlemi)

      b=ax =a.a.a…..a (x tane a)
    a nın değerini bulmak
    için, kök alma iĢlemi
    uygulanmalıdır.
      a x =b ise a=x√b
 x in değerini bulmak için yeni
  bir iĢlem tanımlamalıyız. "üs
  olarak verilen değeri bulmaya
  logaritma iĢlemi " adını
  vermekteyiz.
    ax=b ise x =logab dir.
  (x sayısı b nin a tabanına göre
  logaritmasıdır.)
                ÖRNEKLER
1. log3 x = 4    ise x = 34 = 81

2. log3 1/243 =x ise 3x = 1/35
                    3x = 3-5
                     x = -5

3. Log 0,01 10000 = x ise (0,001) x =10000
                        ( 1/ 10 2) x =10000
                            10 - 2x =104
                                -2x =4
                                   x = -2
LOGARĠTMA FONKSĠYONUNUN
        GRAFĠĞĠ


         Üstel fonksiyon bire bir
ve örten olduğu için ters
fonksiyonu vardır ve bu
fonksiyona logaritma
fonksiyonu denir.
  Y = loga x fonksiyonunun grafiği a
     nın durumuna göre çizilirse,

1. a > 1 için
2. 0 < a < 1 için




grafikleri elde edilir.
y = loga (mx + n)fonksiyonunun grafiği,
  aĢağıdaki iĢlemler yapılarak çizilir.
1) Logaritmanın tanımından, f(x) in
  grafiği, mx + n > 0 Ģartının sağlandığı
  bölgededir.
2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x0 ve x1
  değerleri bulunur. Grafik, (x0,0) ve (x1,1)
  noktalarından geçer.
f(x) = log2 (x-1)
fonksiyonunun grafiğini
çizelim.
f(x) fonksiyonu, x-1>0  x>1 için tanımlıdır.
y = 0 için, log2 (x-1) = 0  x = 2 ve
y = 1 için, log2 (x-1) = 1  x = 3
olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından
  geçer.
Taban 1 den büyük olduğundan, verilen
fonksiyonun grafiği,
1. Logaritma fonksiyonu 1 – 1 dir.
2. Logaritma fonksiyonu örtendir.
3. loga a = 1 dir. (logaritması alınan
  sayı ve logaritma tabanı aynı ise
  sonuç 1 dir. )
4. loga1 = 0 dır. ( 1 in logaritması 0
  dır. )
5.     loga 0
       loga b     ► TANIMSIZDIR
       b є R-
     a > 1 ise loga0 = -∞
      0 < a < 1 ise loga0 = + ∞dur
     (0 ve negatif reel sayıların logaritması
     tanımsızdır.)
6. a>1 ve x>1 ise logax > 0
   a>i ve 0 < x <1 ise logax < 0
   dır.
7. 0<a<1 ve 0<x<1 ise logax > 0
   0<a<1 ve x>1 ise logax < 0
   dır
 AĢağıda verilen fonksiyonların
   terslerinin kuralını bulunuz.
A) f(x)= log2 (2x-3)      B) f(x)=2 log5 x-3
C) f(x)= 3 √7x-1          D) f(x9= 5x2x+1
A)   f(x)= log2 (2x-3)
         y = log2 (2x-3) ise 2x-3 = 2y
                                2x = (2y + 3) /2
                                 x = 2y-1 + 3/2
                                 y = 2x-1 + 3/2
       f(x) = log2 (2x-3) ise
          f-1 = 2x-1 + 3/2 bulunur.
B) f(x)= 2 log5 x-3
      y = 2 log5 x-3 ise 2 log5 x = y + 3
                           log5 x = (y+3)/2
                                x = 5(y+3)/2
                                x = √5y+3
                                x = 5 √5y+1
                                y = 5 √5x+1
f(x) = 2log5x – 3 ise f-1 (x) = 5 √5x+1 bulunur.
C) f(x) = 3 √7x-1
      y = 3 √7x-1     ise y = 7 (x-1)/3
                    ( x-1)/3 = log7 y
                          x -1 = 3 log7y
                             x = 3 log7x + 1
                             y = 3 log7x +1
f(x) = 3 √7x-1   ise f-1(x) = 3 log7 x+1 bulunur.
D) f(x) = 5x2x+1
       y = 5x2x+1 ise 2x + 1 = log5y
                         2x = log5y-1
                           x = ½ (log5 x-1)
                           y = ½ ( log5x-1)
f(x) = 5x2x+1 ise f-1(x) = ½ (log5x-1)
bulunur.
   “O beden testisi ab-ı hayatla
dopdolu, bu beden testisi ise ölüm
zehiri ile.
Ġçindekine bakarsan padiĢahsın,
kabına bakarsan yolu yitirdin.“
                  HZ. MEVLANA
 LOGARĠTMA FONKSĠYONUNUN
        ÖZELLĠKLERĠ
a Є R+ \ {1} ve p,q Є R+ için
1. loga(p.d)= loga p + loga q
    Çarpımın logaritması, çarpanların
   logaritmalarının toplamına eşittir.
2. loga ( p/q) = loga p – loga q
   Bölümünün logaritması, payın logaritması ile
   paydanın logaritmasının farkına eşittir.
   loga (p ± q) ≠ loga p ± logaq
   loga p / loga q ≠ loga p/q dur.
3) loga 1 = 0
4) 1 sayısının her tabandaki logaritması 0
   dır.
5) Negatif sayıların logaritmaları yoktur.
i. Sıfırın logaritması tanımsızdır.
ii. a >1 → loga 0 = -∞0<1 → loga 0 =+∞
6) loga a =1
    Tabanın logaritması 1 dir.
7) loga pn = n.loga p
8) loga an = n. loga a = n
9) loga an = m/n . loga p
10.   TABAN DEĞĠġTĠRME KURALI
      loga b = logc p : logc a   c Є R+ \ {1}
11. a logap = p
12. loga p = t ise (t Є R) ve (p Є R+\ {1})
   Bir logaritma iĢleminde, logaritması alınan
   sayı ve logaritma tabanı aralarında yer
   değiĢtirirse sonucun çarpma iĢlemine göre
   tersi oluĢur.
13. loga p = t olsun (t Є R)
    log1/a 1/p = loga-1 p-1 = loga p = t dir.
    Bir logaritma iĢleminde, logaritması alınan
   sayı ile tabanın çarpma iĢlemine göre tersi
   alınırsa sonuç değiĢmez.
14. log an p =loga n√p
15. loga p. logp q. logq r. logr t = loga t
16. loga p. logp q. logq a = loga a = 1
17. a logbc = c logba dır.
ÖRNEK:
2 = 3a ve 5= 3b olduğuna göre,
log3 150
ifadesinin a ve b cinsinden
değeri nedir?
Çözüm:
         150 = 2. 3. 52 olur. 2 =3a ve
              5 =3b değerleri
            de göz önüne alınırsa;
           = log3 150 = log3(2.3.52)
           = log3 ( 3a. 3. (3b)2 )
           = log3 ( 3a+2b+1)
           = (a+2b+1) . log33
           = a+2b+1 bulunur
ÖRNEK
log23 = a , log35 = b ve log56 =
c olduğuna göre, a,b,c
arasındaki bağıntı nedir?
Çözüm:
a =log2 3 eĢitliklerini taraf tarafa
 çarpalım.
        b = log3 5
        c = log5 6
a.b.c = log2 3. log3 5. log5 6
a.b.c = log2 6
a.b.c = log2 2 + log2 3
a.b.c = 1+a
a.b.c-a =1 ise a(bc- 1) = 1 elde edilir.
ÖRNEK:
3n = a ve loga 812 = n2
olabilmesi için n nin değeri
 kaç
olmalıdır?
ÇÖZÜM:
3n = a ise 3 = n√a dır.
loga 812 = n2
n2 = loga (34)2
n2 = loga 38
n2 = loga (n√a)8
n2 = loga a 8/n
n2 = 8/ n → n3 = 8 → n = 2 bulunur
ÖRNEK:
log (x-y) = logx + logy
  olduğuna göre, y nin x
  cinsinden ifadesi hangisidir?
ÇÖZÜM:
log(x-y) = logx + logy
log(x-y) = log (x.y)
     x-y = x.y
  xy + y = x
 y (x+1) = x ise y = x / x+1 bulunur.
“ Sevgide güneĢ gibi ol, dostluk ve
kardeĢlikte akarsu gibi ol, hataları örtmede
gece gibi
ol, tevazuda toprak gibi ol, öfkede ölü gibi
ol, her ne olursan ol, ya olduğun gibi görün,
ya göründüğün gibi ol. “
                            HZ. MEVLANA
         ÖRNEKLER
       1  10
            5
 X           3
      2  10
sayısının değerini logaritma
kurallarından yararlanarak hesaplayınız.
Çözüm :
              1  10 5
 log X  log
              2  10 3
           log 1  log 10 5
       
          log 2  log 10 3
         log 1  log 10 5  log 2  log 10 3
         log1  5log10 - log2  3log10
         0  5  1 - 0.30103  3  1
         7.69897
 X  5.00  10 7
Soru 2 :
log26=a ise log1224
 kaçtır?
Çözüm :
Soru 3:
log5 = 0,69897 olduğuna
 göre log625 nedir?
Çözüm: log625 = log252
            = log(52)2
            = 4log5
            = 4.0,69897
            = 2,79588
SORU 4 :
log2x + 4logx2 = 4 denklemini
 sağlayan x değeri nedir?
Çözüm:         log2x + logx2 =4
     log2x + 4 log22/log2x = 4
            log2x + 4/log2x = 4
    (log2x)2 – 4 log2x + 4 = 0
                      log2x = t
       t2 – 4t +4 = 0(t-2)2 = 0
                          t=2
               log2x = 2  x = 22
                         x = 4 bulunur.
Soru 5: log3(x2 + 2) < 3
 eşitsizliğinin çözüm kümesi
 hangisidir?
Çözüm:   log3(x2 + 2) < log333 x2 + 2< 33
                           x2<27 – 2
                           x2< 25
                           x<5
                         -5 < x < 5
- SON -

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:3272
posted:3/13/2010
language:Turkish
pages:59