Marcelo Escobar Berna Profesor de matemática GUÍA SECCIÓN 1.2 Productos notables
Al realizar cursos de álgebra, aprendemos, entre otras cosas, a calcular productos entre binomios, como por ejemplo:
Hay ocasiones en que los binomios cumplen ciertas reglas que nos permiten utilizar fórmulas para realizar la multiplicación en forma directa, o sea, sin realizar el producto completo. Dichas fórmulas reciben el nombre de productos notables o identidades algebraicas. Estudiaremos las más utilizadas a continuación:
Cuadrado de binomio. Por lo aprendido anteriormente, sabemos que al multiplicar un número por sí mismo, es lo mismo que elevar el número al cuadrado, es decir . La misma lógica se utiliza al multiplicar dos binomios iguales:
Ahora bien, podemos resolver el producto de estos binomios de la manera tradicional:
O también podemos utilizar la identidad conocida como binomio al cuadrado.
Podemos utilizar esta fórmula para resolver nuestro binomio al cuadrado. Para ello debemos primero identificar cada término de la fórmula con los elementos del binomio: a corresponde al término y b corresponde al término 5. Si nos fijamos, encontramos un nuevo signo: . Este elemento significa que si tenemos un signo + en el binomio original, al aplicar la fórmula debemos colocar un signo +. De lo contrario, si en el binomio tenemos un signo – como es el caso del ejemplo, colocamos entonces un signo –. Finalmente hacemos los cálculos:
Suma por su diferencia. Esta identidad nos sirve cuando tenemos un producto de binomios que son iguales, salvo que tienen distinto signo, es decir:
Si resolvemos este producto de manera tradicional, obtendríamos:
El producto notable que nos permite resolver de manera más sencilla la multiplicación de estos dos binomios se denomina suma por su diferencia.
Fácilmente podemos percatarnos que Así, aplicamos la fórmula y resolvemos:
corresponde al término
y
corresponde al término
.
Cubo de un binomio Tal como vimos anteriormente, si multiplicamos tres veces el mismo binomio, es igual a elevarlo al cubo, es decir:
Pues bien, también existe una fórmula o producto notable para resolver un binomio al cubo.
En nuestro ejemplo podemos notar que corresponde al término y corresponde al término . La utilización del signo es igual a como se explicó en el binomio al cuadrado. Aplicamos la identidad y obtenemos:
Suma y diferencia de cubos. Este producto notable se identifica por que existen dos términos que están elevados al cubo y ellos se están sumando o restando, como por ejemplo:
El primer término está claramente al cubo y 27 se puede escribir como están restando. La suma o diferencia de cubos es la expresión
y ambos términos se
Ahora bien, hay que tener cuidado al identificar que valores toman y . En el binomio , toma el valor , pero no es sino que , pues . Además, debemos fijarnos en los signos y . Si los términos del binomio se están restando, entonces en el primer paréntesis debemos colocar un signo –, pero en el segundo paréntesis debemos colocar y signo +. Así en nuestro ejemplo obtenemos: