Numerical Analysis - Exercise #3

Document Sample
Numerical Analysis - Exercise #3 Powered By Docstoc
					                                                        ‫אנליזה נומרית 1 )701432( . סמסטר חורף 5002-4002‬




                                      ‫אנליזה נומרית 1 )701432(‬
                                         ‫בית 3‬          ‫תרגיל‬

                   ‫תאריך הגשה: עד 4002.11.82 שעה 00:21 בצהריים.‬



       ‫1. רוצים לחשב את ערך הביטוי )1 ‪ ln( x  x 2 ‬עבור 03=‪ .x‬אם ערכי השורש מתקבלים‬
     ‫מטבלה בעלת 6 ספרות משמעותיות מהו ערך בשגיאה בלוגריתם ? תנו ביטוי שקול מתמטית‬
                ‫לביטוי הקודם אבל טוב יותר מבחינה נומרית , וחשבו את השגיאה בלוגריתם .‬

                                                                                   ‫2. מעוניינים לחשב את:‬
                                                 ‫1 ‪cosh( x) ‬‬
                                       ‫)1(‬   ‫‪f ( x) ‬‬
                                                 ‫1 ‪cosh( x) ‬‬
                                         ‫(הגדרות ותכונות של פונקציות היפרבוליות בסוף התרגיל).‬
 ‫א. עבור הקלט 000.1=‪( x‬המעוגל לספרות הנתונות ) מהו חסם השגיאה ‪ f‬בהנחה שהמחשב אידיאלי‬
                                     ‫(מבצע את כל החישובים בדיוק אינסופי)? תנו תשובה מספרית.‬
                        ‫ב. בהנחה שכל שלבי החישוב מבוצעים בדיוק של 4 ספרות משמעותיות בהעגלה.‬
   ‫עבור 1‪ x1  0.6324  10 ‬מתקבל 200.1 ‪( cosh( x1 ) ‬מעוגל). העריכו כמה ספרות משמעותיות‬
  ‫מדויקות יתקבלו ב- ) 1‪ f ( x‬המחושב לפי הנוסחה (1). הסבירו את הבעיה והציעו שתי דרכים לשיפור‬
                                                                           ‫הדיוק של חישוב זה.‬
‫ג. קבלו חסם מקורב לשגיאת האלגוריתם מהצורה ‪ f / f  Al  mu‬תחת ההנחה ש- ‪ u‬קטן, ו- ‪ x‬לא‬
 ‫קרוב לאפס (ציינו היכן השתמשתם בהנחה זו ), ‪ u‬היא יחידת ההעגלה , ו- ‪ m‬הוא הערך אותו עליכם‬
                                                                                         ‫לחשב.‬
                                                               ‫‪x‬‬                      ‫‪x‬‬
                                                        ‫‪e e‬‬
                                                         ‫‪x‬‬
                                                                                ‫‪e e‬‬
                                                                                  ‫‪x‬‬
                                           ‫‪cosh( x) ‬‬             ‫‪; sinh( x) ‬‬
                                                           ‫2‬                        ‫2‬
                                           ‫1 ‪cosh ( x)  sinh ( x) ‬‬
                                                ‫2‬            ‫2‬


                                           ‫1 ‪sinh( 0)  0 ; cosh(0) ‬‬
                                           ‫)‪(sinh( x))'  cosh( x) ; (cosh( x))'  sinh( x‬‬

                                                                 ‫‪ 1 a  x   1 ‬‬
                                                               ‫‪.‬‬‫3. נתונה המערכת ‪ a 1  y    0 ‬‬
                                                                        ‫‪   ‬‬
                                                                 ‫‪‬‬      ‫‪   ‬‬
                     ‫א. רשמו ביטוי מפורש עבור ‪( x, y‬כפונקציה של ‪) a‬‬
 ‫ב. נניח שיחידת הדיוק היא ‪ u‬ואנו מחשבים את ‪ f (a )  x  y‬באופן הבא‬
                                                 ‫- מוצאים את ) ‪. fl ( x ), fl ( y‬‬
                           ‫- מחשבים את ) ‪ fl ( f‬על סמך ) ‪. fl ( x ), fl ( y‬‬
                                                             ‫‪f‬‬
                              ‫עבור 1 ‪ . a ‬מהי הבעיה ?‬                 ‫- מצאו את‬
                                                              ‫‪f‬‬   ‫‪Al‬‬

                            ‫‪f‬‬
         ‫החדש )1 ‪. ( a ‬‬              ‫ג. כיצד ניתן להפטר מן הבעיה ? חשבו את‬
                             ‫‪f‬‬   ‫‪Al‬‬



                                                   ‫1-‬                                                   ‫-‬
                                                      ‫אנליזה נומרית 1 )701432( . סמסטר חורף 5002-4002‬
‫ד. האם לכל ‪ a‬ניתן להשיג דיוק טוב בחישוב ) ‪ ? f (a‬הדגימו באמצעות ‪. C p‬‬
                                              ‫‪1  cosx ‬‬
                 ‫(1.3)‬                  ‫‪. f x  ‬‬        ‫4. נתונה הפונ קציה ‪, 0  x  ‬‬
                                                   ‫‪x‬‬
         ‫א. מצא הגדרה תקינה עבור ‪ f 0‬כך שהפונקציה ‪ f x ‬תהיה רציפה בנקודה 0 ‪. x ‬‬
 ‫ב. עבור אילו ערכים של ‪ x‬צפוי איבוד ספרות משמעותי ות, תוך כדי שימוש בנוסחא (1.3). תן‬
                                                                                 ‫דוגמה.‬
  ‫ג. כיצד ניתן להתגבר על איבוד ספרות זה ? הצע 2 שיטות שונות והסבר מהו השיפור שהושג .‬
   ‫ד. ציין את התחום של ‪ x‬שעבורו ניתן לקבל דיוק של 4 ספרות משמעותיות לפחות באמצעות‬
 ‫שימוש בנוסחאות המשופרות שפיתחת (ניתן להניח ש-‪ x‬מדויק ותוצאות חישוב אריתמטי ,‬
                                     ‫כולל חישוב פונקציות טריגונומטריות , גם מדויקות).‬
     ‫ה. חשב את רגישות החישוב של ‪ f x ‬לשגיאה ב-‪ .x‬כמה ספרות משמעותיות ב- ‪ x‬נדרשות‬
‫כדי להבטיח שהשגיאה ב- ‪( x‬ורק היא) לא תגרום לשגיאה יותר גדולה מ- %2.0 ב-‪( ? f‬כדאי‬
                                                                 ‫להיעזר בגרף איכותי .)‬


                                                    ‫5. מעוניינים לחשב ‪. x  0 y  xe x‬‬
                                                                             ‫2‬



             ‫א. משתמשים במחשב אידיאלי. חשב חסם לשגיאה ‪ y / y‬ב- ‪ x‬נתון שעברו‬
                                          ‫עלולה להיות שגיאה ‪ x‬החסומה ע"י ‪. X‬‬
               ‫ב. משתמשים במחשב בעל יחידת דיוק ‪ . u‬הערך את חסם השגיאה ‪y / y‬‬
                                                            ‫עבור ‪ x‬נתון (ללא שגיאה ).‬
              ‫ג. עבור 2750.0 ‪( x ‬מעוגל), איזה ‪ u‬דרוש כדי להבטיח שגיאה כוללת (קלט‬
                   ‫וחישוב) "מאוזנת" כלומר הקלט והחישוב תורמים באופן שווה . מהו‬
                                                                ‫החסם לשגיאה הזאת ?‬
            ‫ד. מעוניינים בחישוב של ‪ u‬כמו בסעיף ג’, עבור 01 ‪( x  694. ‬מעוגל). עצלני‬
                                        ‫3‬

             ‫טוען שהתוצאה של הסעיף הקודם נשארת בתוקף (לגבי ערך ‪ ;)u‬ספקני טוען‬
                     ‫שצריך לחזור על החישוב של סעיף ג ’ , ואילו נודניקי טוען שתוצאות‬
                   ‫הסעיפים א’ ו-ב’ לא נכונות במקרה זה, וצריך לפתור הכל מחדש . מה‬
                                                   ‫לדעתך הדרך לחישוב ‪ ? u‬נמק היטב!‬

     ‫6. נתונות שתי נקודות במישור ‪ x0 , y 0 ‬ו- ‪ . x1 , y1 ‬הקו הישר העובר דרכן חותך את ציר ‪x‬‬
                                                                   ‫‪‬‬      ‫‪x y x y ‬‬
                   ‫בנקודה ‪ .  x  0 1 1 0 ,0 ‬ניתן לחשב את החיתוך ע "י הנוסחה השקולה‬
                                                                   ‫‪‬‬                     ‫‪‬‬
                                                                   ‫‪‬‬        ‫0 ‪y1  y‬‬     ‫‪‬‬
                                                                       ‫‪‬‬          ‫‪x  x0  y 0 ‬‬
 ‫1 ‪ .  x  x0 ‬בהינתן ‪ x0 , y 0   1.31,3.24‬ו- ‪ x1 , y1   1.93,4.76‬ובהנחה‬
                                                                       ‫‪‬‬                       ‫‪,0 ‬‬
                                                                                                  ‫‪‬‬
                                                                       ‫‪‬‬             ‫0 ‪y1  y‬‬     ‫‪‬‬
                 ‫שעובדים עם 3 ספרות משמעותיות, מהי הנוסחה העדיפה לחישוב ? נמקו היטב.‬

‫7(בונוס). נתונה סדרת המספרים החיוביים הבאה: ‪ . x0 , x1 ,, xn‬יחידת הדיוק של המחשב הינו‬
                                                         ‫‪‬‬
                   ‫.‬   ‫‪1  u n  1  nu‬‬   ‫חסומה ע"י‬   ‫‪x‬‬     ‫‪i‬‬   ‫‪ . u‬הוכיחו שהשגיאה היחסית בחישוב‬
                                                        ‫0‪i ‬‬




                                              ‫בהצלחה!‬




                                                 ‫2-‬                                                ‫-‬

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Stats:
views:7
posted:3/11/2010
language:
pages:2