tai_lieu_on_thi_toan

Document Sample
tai_lieu_on_thi_toan Powered By Docstoc
					    NGUY N ð C TU N




T   ÔN LUY N THI

MÔN TOÁN

      Hà n i, 1 - 2005
                                 T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

                 Chương 1: Phương trình và b t phương trình
               Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH B C NH T VÀ B C HAI
I. Cách gi i
       1) Phương trình b c nh t:      ax + b = 0, a,b ∈ IR.
                                                                      b
           •    N u a ≠ 0 thì phương trình có nghi m duy nh t x = -     .
                                                                      a
           • N u a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghi m.
           • N u a = b = 0 thì phương trình nghi m ñúng v i m i x ∈ IR.
       2) Phương trình b c hai:      ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
           • N u ∆ = b – 4ac < 0 phương trình vô nghi m.
                         2

                                                                   b
           • N u ∆ = 0 phương trình có nghi m kép x1 = x 2 = -       .
                                                                  2a
                                                                        −b± ∆
           • N u ∆ > 0 phương trình có hai nghi m phân bi t x 1, 2 =             .
                                                                           2a
II. ð nh lí Viét và h qu v d u các nghi m
       1) ð nh lí Viét : N u phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m x1 , x 2 thì
                                                b                 c
                               S = x1 + x 2 = -   và P = x1.x 2 = .
                                                a                 a
       2) H qu : Phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m:
                                                                  ∆ ≥ 0
                                c                                 
                   Trái d u ⇔     <0                Cùng d u ⇔  c
                                a                                 a > 0
                                                                  

                                                             
                                ∆ ≥ 0                        ∆ ≥ 0
                                                             
                                c                            c
                   Cùng dương ⇔  > 0               Cùng âm ⇔  > 0
                                a                            a
                                 b                            b
                                − a > 0
                                                             − a < 0
                                                              

III. ð nh lí v d u c a tam th c b c hai
    Cho tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta có
        1. ð nh lí thu n:
            • N u ∆ = b2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x.
                                                            b
            • N u ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ -            .
                                                          2a
            • N u ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghi m phân bi t x1 < x2 và
                       a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ] .
                       a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2 .
        2. ð nh lí ñ o: N u t n t i s α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam th c có hai nghi m phân bi t
        và s α n m trong kho ng hai nghi m ñó: x1 < α < x 2 .




                       Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                        1
                                  T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

       IV.     ng d ng
             1. ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c không ñ i d u v i m i x
                                    a = b = 0                                a = b = 0
                                                                             
                 f(x) > 0 v i ∀ x ⇔ c > 0                 f(x) ≥ 0 v i ∀ x ⇔ 
                                                                                 c ≥ 0
                                    a > 0                                    a > 0
                                                                             
                                     ∆ < 0
                                                                               ∆ ≤ 0
                                                                               

                                    a = b = 0                             a = b = 0
                                                                          
                 f(x) < 0 v i ∀ x ⇔ c < 0              f(x) ≤ 0 v i ∀ x ⇔ 
                                                                              c ≤ 0
                                    a < 0                                 a < 0
                                                                          
                                     ∆ < 0
                                                                            ∆ ≤ 0
                                                                            
             2. So sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
                 •   ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và x1 < α < x 2 là: a.f( α ) < 0.
                 •   ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và α n m ngoài kho ng hai
                                                         ∆ > 0
                     nghi m:                             
                                                         a.f (α) > 0
                                                                             
                                                                             ∆ > 0
                                                                             
                       - N u α n m bên ph i hai nghi m: x1 < x 2 < α       ⇒ a.f (α ) > 0
                                                                             S        b
                                                                              =−         <a
                                                                             2       2a
                                                                            
                                                                            ∆ > 0
                                                                            
                        - N u α n m bên trái hai nghi m: α < x1 < x 2     ⇒ a.f (α ) > 0
                                                                            S        b
                                                                             =−         >a
                                                                            2       2a
             •   ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và m t nghi m n m trong, m t nghi m
                 n m ngoài ño n [ α; β ] là:  f( α ).f( β ) < 0.

             3. ði u ki n ñ f(x) có nghi m th a mãn x > α :
             • Trư ng h p 1: f(x) có nghi m x1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0.
                                                           
                                                           ∆ ≥ 0
                                                           
           • Trư ng h p 2: f(x) có nghi m α < x1 < x 2 ⇔ a.f (α) > 0
                                                                 S
                                                           α <
                                                                 2
                                                          f (α ) = 0
                                                          
           • Trư ng h p 3: f(x) có nghi m α = x1 < x 2 ⇔        S
                                                          α < 2
                                                          
                   ( Làm tương t v i trư ng h p x < α và khi x y ra d u b ng)
      Ngoài ra ta chú ý thêm ñ nh lí sau: Gi s hàm s y = f(x) liên t c. Khi ñó ñi u ki n ñ
phương trình f(x) = m có nghi m là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x).



                       Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                        2
                                   T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

              B ng tóm t t ñ nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai


           N u ∆<0                             N u ∆=0                                  N u ∆>0


        a.f(x) > 0 v i ∀ x                                      b            a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ]
                                       a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ -
                                                                2a              a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2




           B ng tóm t t so sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
       ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c có hai nghi m phân bi t và

 α n m gi a kho ng hai nghi m                         α n m ngoài kho ng hai nghi m
 x1 < α < x 2
                                                                     ∆ > 0
                                                                     
                                                                     a.f (α ) > 0

                                                x1 < x 2 < α                           x1 < x 2 < α
          a.f( α ) < 0                                                               
                                              ∆ > 0                                  ∆ > 0
                                                                                     
                                              a.f (α ) > 0                           a.f (α ) > 0
                                              S        b                             S        b
                                               =−         <a                          =−         >a
                                              2       2a                             2       2a

Ví d   1. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2( m + 4) x + m 2 + 8 = 0 có 2 nghi m dương.
Ví d   2. Xác ñ nh a ñ bi u th c (a + 1) x 2 − 2(a − 1) x + 3a − 3 luôn dương
Ví d   3. Tìm m ñ b t phương trình x 2 + x − 2 ≥ m nghi m ñúng v i m i x.
Ví d   4. Tìm m ñ phương trình x 2 + mx + 2m = 0 có hai nghi m x1 , x 2 th a mãn
                                      -1< x1 < x 2
Ví d   5. Tìm m ñ phương trình x − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 có nghi m th a mãn
                                  2

                                       − 2 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 4
Ví d   6. Cho phương trình x + ( m + 2) x + 3m − 2 =0
                             2


        Tìm m ñ phương trình có hai nghi m phân bi t nh hơn 2
Ví d   7. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có nghi m l n hơn 1
Ví d   8. Tìm m ñ phương trình x 2 − 6mx + 9m 2 − 2m + 2 = 0 có nghi m x1 ≤ x 2 ≤ 3




                         Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                                  3
                                      T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

                      Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
                      PHƯƠNG TRÌNH CH A GIÁ TR TUY T ð I
I. Phương trình trùng phương              ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0  (1)
       ð t t = x ≥ 0 phương trình (1) tr thành: at + bt + c = 0
                 2                                   2
                                                                      (2)
       • PT (1) có nghi m khi và ch khi (2) có ít nh t m t nghi m không âm.
       • PT (1) có ñúng hai nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có ñúng m t nghi m dương.
       • PT (1) có ñúng 3 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có m t nghi m b ng 0 và m t
           nghi m dương.
       • PT (1) có ñúng 4 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có hai nghi m dương phân
           bi t.

Ví d 1. Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0.
               a)Tìm các giá tr c a m ñ phương trình vô nghi m.
               b)Tìm các giá tr c a m ñ phương trrình có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 2. Tìm m sao cho ñ th hàm s             y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + 8
       c t tr c hoành l n lư t t i 4 ñi m phân bi t A, B, C, D v i AB = BC = CD.
II. Phương trình ch a giá tr tuy t ñ i
       1) Các d ng cơ b n:
                          b ≥ 0
            |a|=b ⇔                                 | a | = | b | ⇔ a = ±b
                          a = ± b
                                                                     b < 0
                            b ≥ 0                                   
               |a| ≤ b     ⇔ 2                          | a | ≥ b ⇔  b ≥ 0
                            a ≤ b
                                   2
                                                                     a 2 ≥ b 2
                                                                     
               | a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2

Ví d   1. Gi   i phương trình           | x2 – 3x + 2 | - 2x = 1.
Ví d   2. Gi   i b t phương trình       x2 - | 4x – 5 | < 0.
Ví d   3. Gi   i và bi n lu n phương trình       | 2x – m | = x.
Ví d   4. Gi   i phương trình           4|sinx| + 2cos2x = 3.
Ví d   5. Gi   i và bi n lu n b t phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m |.

       2)Phương pháp ñ th :
       a) Cách v ñ th hàm s y = | f(x) | khi ñã bi t ñ th hàm s y = f(x).
                - Chia ñ th hàm s f(x) ra 2 ph n: ph n ñ th n m phía trên tr c hoành (1) và
ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành (2).
                - V ph n ñ th ñ i x ng v i ph n ñ th (2) qua tr c hoành ñư c ph n ñ th
       (3).
                - ð th hàm s y = | f(x) | là ñ th g m ph n ñ th (1) và ph n ñ th (3) v a
       v .
       b) ð nh lí: S nghi m c a phương trình g(x) = h(m) là s giao ñi m c a ñư ng th ng
n m ngang y = h(m) v i ñ th hàm s y = g(x). Khi g p phương trình có tham s ta tách riêng
chúng v m t v c a phương trình r i v ñ th hàm s y = g(x) và ñư ng th ng y = h(m) r i áp
d ng ñ nh lí trên ñ bi n lu n.

Ví d 6. Tìm m ñ phương trình | x2 – 1 | = m4 – m2 +1 có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 7. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m.




                          Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i               4
                                         T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

      Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T
I.Các d ng cơ b n
          D ng 1:        2 n +1   f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ ϕ( x ) ]2n+1
                                                         ϕ( x ) ≥ 0
           D ng 2:      2n   f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ 
                                                         f ( x ) = [ϕ( x )]
                                                                             2n


           D ng 3:
                                         f ( x ) ≥ 0                                         f ( x ) ≥ 0
                                                                                             
                      f ( x ) < ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) > 0          ,            f ( x ) ≤ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ 0
                                         f ( x ) < [ϕ( x )]2                                 f ( x ) ≤ [ϕ( x )]2
                                                                                             
           D ng 4:
                                         f ( x ) ≥ 0                                        f ( x ) < 0
                                                                                            
                                           ϕ( x ) < 0                                          ϕ( x ) ≥ 0
                      f ( x ) > ϕ( x ) ⇔ 
                                         ϕ( x ) ≥ 0          ,           f ( x ) ≥ ϕ( x ) ⇔ 
                                                                                              ϕ( x ) ≥ 0
                                                                                            
                                         f ( x ) > [ϕ( x )]2
                                                                                             f ( x ) ≥ [ϕ( x )]2
                                                                                              
Ví d 1. Gi i phương trình                        x 2 − 2x + 3 = 2x + 1
Ví d 2. Gi i b t phương trình                    x 2 − x − 12 < x
Ví d 3. Gi i b t phương trình                    2 x 2 + 5x − 6 > 2 − x
Ví d 4. Tìm m ñ phương trình có nghi m x − m = 2 x 2 + mx − 3
II. Các phương pháp gi i phương trình, b t phương trình vô t không cơ b n
       1) Phương pháp lũy th a hai v :
       - ð t ñi u ki n trư c khi bi n ñ i
       - Ch ñư c bình phương hai v c a m t phương trình ñ ñư c phương trình tương ñương
(hay bình phương hai v c a m t b t phương trình và gi nguyên chi u) n u hai v c a chúng
không âm.
       - Chú ý các phép bi n ñ i căn th c              A2 = A .
Ví d 5. Gi i phương trình     x +1 = 3 − x + 4
Ví d 6. Gi i b t phương trình        x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x
Ví d 7. Gi i b t phương trình      3 x − 5x + 5 > 1
Ví d 8. Gi i b t phương trình        x + 2 − x +1 ≤ x
Ví d 9.Gi i phương trình               2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2
Ví d 10.Gi i b t phương trình x 2 − 4x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1
      2)Phương pháp ñ t n ph :
       - Nh ng bài toán có tham s khi ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
       - Chú ý các h ng ñ ng th c (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , …
Ví d 11.Gi i b t phương trình                    5x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x
Ví d 12.i i phương trình               x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4
Ví d 13.Gi i phương trình              x + 2 + x − 2 = 4 x − 15 + 4 x 2 − 4
                                                 4    3x 2 + 2 x − 2
Ví d 14.Gi i phương trình              9x 2 +      =
                                                x2          x
                                                       5             1
Ví d 15.Gi i b t phương trình                   5 x+       < 2x +      +4
                                                     2 x            2x

                        Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                                              5
                               T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

                   Bài 4: H PHƯƠNG TRÌNH ð I X NG
I. H phương trình ñ i x ng lo i 1
      1)Khái ni m: Là h mà m i phương trình không ñ i khi ta thay x b i y và thay y b i x.
      2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
      3)Cách gi i:
                                                          x + y = S
         Bi n ñ i h phương trình v d ng: H ñã cho ⇔                     (1)
                                                          x.y = P
           Khi ñó x, y là nghi m c a phương trình: t 2 − St + P = 0 (2)
N u ∆ = S – 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghi m t1 ≠ t2 nên h phương trình (1) có hai
          2

nghi m phân bi t (t1, t2), (t2, t1).
N u ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghi m kép t1 = t2 nên h (1) có nghi m duy nh t (t1, t2).
ði u ki n ñ h (1) có ít nh t m t c p nghi m (x, y) th a mãn x ≥ 0, y ≥ 0
                                  ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0
                                  
                                  S ≥ 0
                                  P ≥ 0
                                  
                           x + y = 2     x y + y x = 30
                                                             x − y − xy = 3
Ví d 1.Gi i h phương trình  3                                2
                           x + y = 26    x x + y y = 35     x + y + xy = 1
                                  3                                   2
                                          
                                x + 1 + y −1 = m
                                                    xy( x + 2)( y + 2) = 5m − 6
Ví d 2.Tìm m ñ h sau có nghi m                       2
                               x + y = m 2 − 4m + 6  x + y + 2( x + y ) = 2 m
                                                             2
                               

II. H phương trình ñ i x ng lo i 2
       1)Khái ni m: Là h phương trình mà trong h phương trình ta ñ i vai trò x, y cho nhau
thì phương trình n tr thành phương trình kia.
       2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
       3)Cách gi i:
               Tr v v i v hai phương trình c a h ta ñư c phương trình có d ng:
                     (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho c f(x,y) = 0.
                                                                           2          1
                                                                            2x = y +
                                  x 3 + xy 2 = 40 y
                                                      x 2 y − 4 = y 2 
                                                                                     y
Ví d 3.Gi i các h phương trình  3                      2                
                                   y + x y = 40 x
                                  
                                          2
                                                       xy − 4 = x
                                                       
                                                                       2
                                                                          2 y 2 = x + 1
                                                                          
                                                                                      x
                                      2 x + y − 1 = m
                                                            x = y − y + m
                                                             
                                                                     2

Ví d 4.Tìm m ñ h sau có nghi m:                             
                                      2 y + x − 1 = m
                                                            y = x 2 − x + m
                                                             




                     Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                        6
                                T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

            Bài 5: M T S H PHƯƠNG TRÌNH D NG KHÁC
I. H vô t

                               x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2
                              
Ví d 1. Gi i h phương trình 
                               x+ y =4
                              
                          x + y + xy = a
                          
Ví d 2. Gi i và bi n lu n 
                          x − y = a
                          
                               x+ y + x− y =2
                              
Ví d 3. Gi i h phương trình 
                               y + x − y − x =1
                              
                               x − 2−y = 2
                              
Ví d 4. Gi i h phương trình 
                               2−x + y = 2
                              
                                   x +1 + y = m
                                  
Ví d 5. Tìm m ñ h có nghi m 
                                   y +1 + x = 1
                                  
II. H h u t
                                    3         2y
                               x 2 + y2 −1 + x = 1
                              
Ví d 6. Gi i h phương trình 
                              x 2 + y 2 + 4 x = 22
                              
                                           y
                            x 3 − y 3 = 7
Ví d 7. Gi i h phương trình 
                            xy( x − y) = 2
                            x + 4 y = y + 16 x
                             3            3

Ví d 8. Gi i h phương trình 
                            1 + y 2 = 5(1 + x 2 )
                            
                              x − y = a (1 + xy)
Ví d 9. Tìm a ñ h có nghi m 
                              xy + x + y + 2 = 0
                                2 y ( x 2 − y 2 ) = 3x
                               
Ví d   10. Gi i h phương trình 
                               x ( x 2 + y 2 ) = 10 y
                               
                                                     x + y = m
Ví d   11.Tìm m ñ h có hai nghi m phân bi t:  2
                                                     x − y + 2x = 2
                                                            2


                               x − xy − y = −11
                                2              2

Ví d   12. Gi i h phương trình  2
                               ( x − y 2 ) xy = 180
                               
                                 x 3 − y 3 = 19( x − y)
                                 
Ví d   13. Gi i h phương trình  3
                                 x + y 3 = 7( x + y)
                                 
        ==========================================================




                     Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i   7
                               T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

                   Chương 2: Phương trình lư ng giác, mũ, logarit

                    Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
I. Phương trình lư ng giác cơ b n
       Khi gi i các phương trình lư ng giác cu i cùng d n ñ n phép gi i các phương trình
lư ng giác cơ b n. Ta c n ghi nh b ng sau ñây:

    Phương trình       ði u ki n có nghi m        ðưa v d ng                Nghi m
      sinx = m              −1 ≤ m ≤ 1             sinx = sin α         x = α + k 2π
                                                                         x = π − α + k 2π
                                                                        
     cosx = m               −1 ≤ m ≤ 1            cosx = cos α              ± α + k2 π
      tgx = m                m im                  tgx = tg α                α + kπ
     cotgx = m               m im                cotgx = cotg α              α + kπ

          b ng trên k nh n m i giá tr nguyên ( k ∈ Z ) . ðơn v góc thư ng dùng là radian.
ð thu n l i cho vi c ch n α ta c n nh giá tr c a hàm lư ng giác t i các góc ñ c bi t. ðư ng
tròn lư ng giác s giúp ta nh m t cách rõ ràng hơn.




                     Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                        8
                                  T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

Ví d 1. Gi i phương trình:
                           2                         π
               a) sin3x =    ;         b) sin(2x -     ) = 1;        c) sin( xπ ) = 0.
                          2                          5
Ví d 2. Gi i phương trình:
                             π                       π              π                   π
              a) cos2x = cos ;         b) cos(3x -     ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ).
                             5                       3              2                   4
                                              π          8π
Ví d 3. Gi i phương trình:             cos 2 ( cos x − ) = 0 .
                                              3           3
Ví d 4. Gi i phương trình:             cos(π sin x ) = cos(3π sin x )
Ví d 5. Gi i phương trình:             cos 2 x − sin 2 ( 2 x ) = 1

II. Phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a 2 + b 2 ≠ 0
               Chia hai v c a phương trình (1) cho a 2 + b 2 , ta ñư c:
                                    a                   b                  c
                      (1) ⇔               sin x +           cos x =              (2)
                                 a +b
                                  2     2
                                                    a +b
                                                      2   2
                                                                       a + b2
                                                                         2

                         a                           b
               ð t            = sin ϕ ;                    = cos ϕ .
                     a +b
                       2    2
                                                  a + b2
                                                   2

                                                                                     c
               Khi ñó phương trình lư ng giác có d ng:           cos(x - ϕ ) =            (3)
                                                                                  a + b2
                                                                                   2


                                                                 c
               Phương trình có nghi m khi và ch khi:                   ≤ 1 ⇔ a 2 +b2 ≥ c2
                                                             a +b
                                                               2    2



               Khi ñó t n t i α ∈ [0; π] sao cho cos α =
                                                                  c
                                                                        nên ta có:
                                                              a + b2
                                                                2

                      (1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k 2π ; k ∈ Z

Ví d 6. Gi i phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx.
Ví d 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1
                    a) Gi i phương trình v i m = - 3 .
                    b) Tìm m ñ phương trình vô nghi m.
Ví d 8. Gi i phương trình: cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3 sin 2 x = 1
Ví d 9. Tìm α ñ phương trình sau có nghi m x ∈ IR:
                             3 cos x + sin( x + α) = 2
Ví d 10. Gi i phương trình:          sin 8x − cos 6 x = 3 (sin 6 x + cos 8x ).
                                                         π
Ví d 11. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x ∈ 0;  :
                                                         2
                            cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví d 12. Gi i phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
                                                                  1
Ví d 13. Gi i phương trình: cos 2 4 x − cos x. cos 4 x − sin 2 x + = 0
                                                                  4




                       Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                         9
                                 T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

III. Phương trình ñ ng c p, phương trình ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx

       1) Phương trình ñ ng c p b c cao ñ i v i sinx và cosx:

               Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà t t c các s
       h ng có t ng s mũ c a cosx và c a sinx ho c ñ u là s t nhiên ch n ho c ñ u là s t
       nhiên l thì phương trình ñó ñư c g i là “ ñ ng c p” ñ i v i cosx và sinx. G i k là s l n
       nh t trong các t ng s mũ nói trên ñư c g i là b c c a phương trình.
               Cách gi i: - Xét trư ng h p cosx = 0 th vào phương trình
                          - Khi cos x ≠ 0 chia hai v phương trình cho coskx        sau ñó ñ t
                               n ph t = tgx.

Ví d 14. Gi i phương trình:      2sin3x = cosx
                                             π
Ví d 15. Gi i phương trình:       sin 3 ( x + ) = 2 sin x
                                             4
Ví d 16. Tìm m ñ phương trình có nghi m:
                    msin2x + cos2x + sin2x +m = 0.
                                                                                     π π
Ví d 17: Tìm m ñ phương trình sau có ñúng hai nghi m x n m trong kho ng             − ; :
                                                                                     2 2
               3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 0.

       2) Phương trình ñ i x ng sinx và cosx:

              Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà các s h ng có
       ch a t ng (cosx ± sinx ) ho c ch a tích cosx.sinx ñư c g i là phương trình ñ i x ng ñ i
       v i cosx và sinx. Ví d phương trình: a (cos x ± sin x ) + b cos x. sin x + c = 0 .
                                                                                    t 2 −1
               Cách gi i: ð t t = sinx + cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx =
                                                                                       2
                                                                            1− t2
               N u ñ t t = sinx - cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx =
                                                                              2
Ví d 18. Cho phương trình:            sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).
                    a) Gi i h phương trình v i m = - 1.
                    b) Tìm m ñ phương trình có nghi m.
                                                     3
Ví d 19. Gi i phương trình: 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x
                                                     2
                                                       3
Ví d 20. Gi i phương trình: 1 + sin 3 2 x + cos 3 2x = sin 4x
                                                       2
                                                           π 3π 
Ví d 21. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m             x∈ , :
                                                          4 4 
                             cos x + sin x = m.
                                 3         3




                      Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                        10
                                   T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

IV. Phương trình ñưa v d ng tích
       Các phương trình lư ng giác không có d ng như nh ng phương trình ñã trình bày các
m c trư c, ngư i ta thư ng nghĩ t i phân tích chúng thành nh ng phương trình cơ b n.
       Vi c phân tích thành tích th c ch t là ñi tìm th a s chung c a các s h ng có trong
phương trình. ð làm ñư c ñi u ñó, chúng ta c n ph i thành th o các công th c lư ng giác, các
h ng ñ ng th c ñ i s ñáng nh và cũng c n ph i có kinh nghi m nhìn nh n m i quan h gi a
các s h ng có trong phương trình.
                                                                          1                            1
           • Th các nghi m ñ c bi t như sin x = ±1 , sin x = ± , cos x = ±1 , cos x = ±
                                                                          2                             2
               và phương trình có ch a th a s (cosx ± sinx). S d ng ñ ng th c sin x + cos x   2        2

               = 1.
           • Dùng các công th c bi n ñ i như h b c, bi n ñ i t ng thành tích , bi n ñ i tích
               thành t ng, hàm s lư ng giác c a hai góc có liên quan ñ c bi t. Chú thêm m t
               s bi n ñ i sau ñây:
                                         2                                                          1
                       cot gx + tgx =         , cot gx − tgx = 2 cot g 2 x , cot gx − cot g 2x =
                                      sin 2 x                                                    sin 2 x
            • ð t các nhân t chung (nhân t chung suy ra t nghi m ñã th ñư c).
              Tham kh o thêm b ng h các bi u th c có nhân t chung.

                  f(x)                     Bi u th c ch a th a s f(x)
                  sinx                           sin2x, tgx, tg2x, ...
                  cosx                         sin2x, tg2x, cotgx, ...
                 1+cosx                           x         x
                                           cos 2 , cot g 2 , sin2x, tg2x
                                                  2         2
                 1-cosx                            x      x
                                             sin 2 , tg 2 , sin2x, tg2x
                                                   2      2
                 1+sinx                                     π x            π x
                                    cos2x, cotg2x, cos 2 ( − ) , sin 2 ( + )
                                                            4 2            4 2
                 1-sinx                                     π x            π x
                                    cos2x, cotg2x, cos 2 ( + ) , sin 2 ( − )
                                                            4 2            4 2
               sinx+cosx       cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx
               sinx-cosx       cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx

Ví d 1.Gi i phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 .
                                                    3
Ví d 2.Gi i phương trình: sin2x + sin22x + sin23x =
                                                    2
                                                             1
Ví d 3.Gi i phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x =          ( cos2x + cos4x).
                                                             2
Ví d 4.Gi i phương trình:   2sin3x + cos2x + cosx = 0
Ví d 5.Gi i phương trình:   sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
                            1 + tgx
Ví d 6.Gi i phương trình:             = 1 + sin 2 x
                            1 − tgx
                                                              π x
Ví d 7.Gi i phương trình sin x. cos 4 x − sin 2 2 x = 4 sin 2  −  .
                                                              4 2




                        Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                              11
                                T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

    Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
I. Các k t qu cơ b n
       1) Hàm s mũ:           y = ax, 0 < a ≠ 1.
             • T p xác ñ nh: IR.
             • T p giá tr : IR+. (ñ th luôn n m phía trên tr c hoành)
             • Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
                     Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
            • D ng ñ th :




       2) Hàm s logarit:     y = logax , 0 < a ≠ 1.
             a) Các tính ch t:
           • T p xác ñ nh: IR* (x > 0 ).
           • T p giá tr : IR
           • Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
                     Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
           • D ng ñ th :




                       Chú ý: Trong các b t phương trình mũ, logarit, cơ s a l n hơn hay bé
hơn 1 quy t ñ nh chi u c a b t phương trình. Vì v y ph i chú ý ñ n chi u c a b t phương trình
trong quá trình bi n ñ i.




                     Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                     12
                                           T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

               b)Các công th c chú ý:
                                             b > 0
          •               log a b có nghĩa ⇔ 
                                             0 < a ≠ 1
                            log c b
          •     log a b =                       ( Công th c ñ i cơ s v i b > 0 , 0 < a ≠ 1 , 0 < c ≠ 1 ).
                            log c a

                                m
          •     log a n b m =     log a b ( V i b > 0 và 0 < a ≠ 1 )
                                n
          •     log a b 2 k = 2k. log a | b |             v i k∈Z.

II. Các phương trình, b t phương trình có d ng cơ b n
      1) Phương trình mũ:
          Cho 0 < a ≠ 1.
                                  b > 0
          D ng 1: a f ( x ) = b ⇔ 
                                  f ( x ) = log a b

                                                a > 1
                                                
                                                  f ( x ) < log a b
          D ng 2: a f ( x )   < b (v i b > 0) ⇔ 
                                                0 < a < 1
                                                
                                                f ( x ) > log a b
                                                
          D ng 3: a f ( x ) > b
                    -     N u b ≤ 0 b t phương trình nghi m ñúng v i m i x thu c t p xác ñ nh
                          c a b t phương trình.
                                                                              a > 1
                                                                              
                                                                                f ( x ) > log a b
                    -     N u b > 0, khi ñó b t phương trình tương ñương v i: 
                                                                              0 < a < 1
                                                                              
                                                                              f ( x ) < log a b
                                                                              
                                          a > 1
                                          
                                            f ( x ) < g ( x )
         D ng 4: a f ( x ) < a g ( x )   ⇔
                                          0 < a < 1
                                          
                                          f ( x ) > g ( x )
                                          




                          Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                                  13
                                     T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

       2)Phương trình logarit
              D ng 1: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b .

                                          a > 1
                                          
                                          0 < f ( x ) < a
                                                            b

              D ng 2: log a f ( x ) < b ⇔ 
                                             0 < a <1
                                          
                                          f ( x ) > a b
                                          
                                           a > 1
                                          
                                           f ( x ) > a
                                                         b

              D ng 3: log a f ( x ) > b ⇔ 
                                             0 < a <1
                                          
                                           0 < f ( x ) < a b
                                          
                                                      a > 1
                                                      
                                                        0 < f ( x ) < g ( x )
              D ng 4: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔ 
                                                      0 < a < 1
                                                      
                                                      0 < g ( x ) < f ( x )
                                                      
                                    x 2 −4 x +3
                          1
Ví d 1. Cho phương trình:                       = m4 − m2 + 1
                          5
       a)Gi i phương trình khi m = 1.
       b)Tìm m ñ phương trình có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 2. Gi i b t phương trình:               log x (5x 2 − 8x + 3) > 2

Ví d 3. Tìm m ñ phương trình sau có hai nghi m phân bi t:                        log 2 (9 x + 9m 3 ) = x
Ví d 4. Gi i phương trình:
                       log x (cos x − sin x ) + log 1 (cos x + cos 2 x ) = 0
                                                           x


Ví d 5. Gi i b t phương trình:                         [           ]
                                             log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1

Ví d 6. Gi i b t phương trình:               log 1 ( 5 − x ) < log 1 (3 − x )
                                                   3               3




                       Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                                    14
                                      T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

III. Các phương trình, b t phương trình không cơ b n
                 •   Ph i ñ t ñi u ki n.
                 •   Nh ng bài toán có tham s , ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
                 •   Nh ng bài toán phương trình, b t phương trình mũ, logarit mà n x v a                     s
                     mũ c a lũy th a, v a            h s , thư ng chuy n v vi c phân tích thành th a s ,
                     nh m nghi m và ch ng minh nghi m duy nh t ñ i v i phương trình; xét d u
                     c a tích ñ i v i b t phương trình.
                 •   Khi bài toán ph c t p, có nh ng ph n t gi ng nhau hay nhân t gi ng nhau
                     ta có th ñ t n ph ñ ñưa bài toán tr lên ñơn gi n hơn.
                                                   1                    1
Ví d 7. Gi i phương trình:                  3.4 x + 9 x + 2 = 6.4 x +1 − 9 x +1
                                                   3                    4
Ví d 8. Gi i phương trình:                  8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x
                                             log a (35 − x 3 )
Ví d 9. Gi i b t phương trình:                                 > 3 (v i 0 < a ≠ 1 ).
                                              log a (5 − x )

                                                              x −1
Ví d 10. Gi i phương trình: log 27 ( x 2 − 5x + 6) 3 = log 3       + log 9 ( x − 3)
                                                                                      2

                                                              2 
Ví d 11. Gi i phương trình:                 lg(lg x ) + lg(lg x 3 − 2) = 0
Ví d 12. Gi i phương trình:

                 x 2 . log 6 5x 2 − 2 x − 3 − x. log 1 (5x 2 − 2 x − 3) = x 2 + 2 x
                                                      6

                                                                                           1
Ví d 13. Gi i b t phương trình:             log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 >               log 1 ( x + 3)
                                                                           3               2     3


Ví d 14. Gi i phương trình:                 log 1 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) − log   1    (7 − x ) = 1
                                                 2                2                  2


Ví d 15. Gi i phương trình:                 lg 4 ( x − 1) 2 + lg 2 ( x − 1)3 = 25

Ví d 16. Gi i phương trình:          log 3x + 7 (9 + 12 x + 4 x 2 ) + log 2 x + 3 (6 x 2 + 23x + 21) = 4
Ví d 17. Tìm m ñ phương trình sau ñây có hai nghi m trái d u:
                          (m + 3)16 x + (2m − 4)4 x + m + 1 = 0




                         Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                                     15
                                    T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

        Chương 3: Kh o sát hàm s và các bài toán liên quan
                   Bài 1: KH O SÁT HÀM S
Sơ ñ kh o sát hàm s
      1) Tìm t p xác ñ nh c a hàm s            (Xét tính ch n l , tính tu n hoàn (n u có)).
      2) Kh o sát s bi n thiên hàm s
             a) Xét chi u bi n thiên c a hàm s
                 •   Tính ñ o hàm
                 •   Tìm các ñi m t i h n
                     (ði m t i h n thu c TXð và t i ñó f ′( x ) không xác ñ nh ho c b ng 0)
                 •   Xét d u c a ñ o hàm trong các kho ng xác ñ nh b i các ñi m t i h n.
                     (Gi a hai ñi m t i h n k nhau thì f ′( x ) gi nguyên m t d u)
                 •   Suy ra chi u bi n thiên hàm s trong m i kho ng
                     (ð ng bi n n u f ′( x ) >0, ngh ch bi n n u f ′( x ) <0).
             b) Tính các c c tr (suy ra ngay t ph n xét chi u bi n thiên)
             c) Tìm các gi i h n c a hàm s
                 •   Khi x d n t i vô c c ( x → +∞ và x → −∞ )
                 •   Khi x d n t i bên trái và bên ph i, các giá tr c a x t i ñó hàm s không
                     xác ñ nh ( x → + x o , x → − x o )

                 •   Tìm ti m c n (n u là hàm s phân th c)
                     - N u lim f ( x ) = ∞ thì x = xo là m t ti m c n ñ ng c a hàm s
                             x →∞


                                                                          f (x)
                     - Ti m c n xiên: y = ax + b . Trong ñó a = lim             ; b = lim[f ( x ) − ax ]
                                                                      x →∞ x          x →∞


               (khi x → +∞ ( x → −∞ ), x → + x o ( x → − x o ) thì ñó là ti m c n bên ph i (trái))
             d) Xét tính l i, lõm và tìm ñi m u n c a ñ th hàm s (n u là hàm s ña th c)
                 •   Tính ñ o hàm c p 2
                 •   Xét d u c a ñ o hàm c p 2
                 •   Suy ra tính l i, lõm và ñi m u n c a ñ th (l p b ng l i lõm)
                 ( n u f ′′( x ) < 0 v i ∀x ∈ (a; b) thì ñ th hàm s l i trên kho ng ñó)
             e) L p b ng bi n thiên         (ghi t t c các k t qu tìm ñư c vào b ng bi n thiên)
      3)V ñ th
                 •   Chính xác hóa ñ th (tìm giao ñi m c a ñ th v i các tr c t a ñ và nên
                 l y thêm m t s ñi m c a ñ th , nên v ti p tuy n             m t s ñi m ñ c bi t)
                 •   V ñ th (ñ c l i các ví d m u SGK t trang 80 ñ n trang 97).

                     Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                                      16
                                     T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

  BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N KH O SÁT HÀM S
I. Tìm giao ñi m c a hai ñư ng
       Gi s hàm s         y = f ( x ) có ñ th là (C) và hàm s         y = g ( x ) có ñ th là (C1 ) . Rõ ràng
M o ( x o ; y o ) là giao ñi m c a (C) và (C1 ) khi và ch khi ( x o ; y o ) là nghi m c a h phương trình

                                             y = f (x )
                                             
                                             y = g(x
Do ñó ñ tìm hoành ñ các giao ñi m c a (C) và (C1 ) ta gi i phương trình: f ( x ) = g( x )               (1)
S nghi m c a phương trình chính là s giao ñi m c a hai ñ th (C) và (C1 ) .
       N u x o , x1 ,... là các nghi m c a (1) thì các ñi m M o ( x o ; f ( x o )), M1 ( x1 ; f ( x1 ))... là các

giao ñi m c a (C) và (C1 ) .
Bài toán: Tìm m ñ ñ th hàm s c t ñư ng th ng t i m t s ñi m th a mãn yêu c u bài toán.
Ví d 1. Bi n lu n theo m s giao ñi m c a ñ th các hàm s
                              x 2 − 6x + 3
                         y=                          và     y = x−m
                                  x+2
Ví d 2. Bi n lu n s nghi m c a phương trình                 x 3 + 3x 2 − 2 = m
                                                                                                 x 2 + x −1
Ví d 3. V i giá tr nào c a k thì ñư ng th ng y = kx − k + 2 c t ñ th hàm s y =
                                                                                                    x −1
         t i hai ñi m phân bi t.
                                                                 x 2 + 4x + 3
Ví d 4. Tìm k ñ ñư ng th ng y = kx + 1 c t ñ th y =                           t i hai ñi m phân bi t
                                                                     x+2
                                                                    x2 + x −1
Ví d 5. Tìm m ñ ñư ng th ng y = − x + m c t ñ th y =                          t i hai ñi m phân bi t
                                                                      x −1
                                             mx 2 + x + m
Ví d 6. Tìm m ñ ñ th hàm s y =                            c t tr c hoành t i 2 ñi m phân bi t có hoành
                                                 x −1
        ñ dương.
                                                                      − x 2 + 3x − 3
Ví d 7. Tìm m ñ ñư ng th ng y = m c t ñ th hàm s y =                                 t i hai ñi m A và B
                                                                         2( x − 1)
sao cho ñ dài ño n AB = 1.
Ví d 8. Tìm m ñ ñ th y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 c t ñư ng th ng y = 1 t i 3 ñi m phân bi t.
                         1                    2
Ví d 9 . Tìm m ñ ñ th y = x 3 − mx 2 − x + m + c t tr c hoành t i 3 ñi m phân bi t.
                         3                    3
                                                                                          1
Ví d 10. Tìm a ñ ñư ng th ng y = a ( x + 1) + 1 c t ñ th hàm s y = x + 1 +                   t i hai ñi m
                                                                                         x+2
có hoành ñ trái d u.

                        Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                                      17
                                      T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

II. Vi t phương trình ti p tuy n
        Cho hàm s y = f(x) có ñ th (C)
        a) Phương trình ti p tuy n c a ñư ng cong (C) t i ñi m M o ( x o ; f ( x o ))

                                  y − y o = f ′( x o )( x − x o )

        b) Phương trình ñư ng th ng ñi qua ñi m M1 ( x1 ; y1 ) và ti p xúc v i (C)
ðư ng th ng d ñi qua M1 ( x1 ; y1 ) có d ng y − y1 = k ( x − x1 ) ⇔ y = k ( x − x1 ) + y1
ð cho ñư ng th ng d ti p xúc v i (C), h phương trình sau ph i có nghi m:

                                   y = k ( x − x1 ) + y1
                                  
                                  f ′( x ) = k
H phương trình này cho phép xác ñ nh hoành ñ x o c a ti p ñi m và h s góc k = f ′( x )

        Chú ý: Hai ñ th hàm s y = f ( x ) và y = g ( x ) ti p xúc v i nhau n u và ch n u h
phương trình sau ñây có nghi m:
                                  f ( x ) = g ( x )
                                  
                                  f ′( x ) = g′( x )
        c) Phương trình ñư ng th ng có h s góc k và ti p xúc (C).
Phương trình ñư ng th ng có h s góc k có d ng y = kx + b ti p xúc v i ñ th (C), ta gi i

phương trình f ′( x ) = k tìm ñư c hoành ñ các ti p ñi m x o , x1 , x 2 ,... T ñó suy ra phương
trình các ti p tuy n ph i tìm:
                         y − y i = k ( x − x i ) ( i = 0, 1, ...)
Bài toán : Vi t phương trình ti p tuy n c a hàm s khi bi t phương c a ti p tuy n ho c ñi qua
m t ñi m cho trư c nào ñó.


Ví d 1. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s                   y = (2 − x 2 ) 2 bi t ti p
tuy n ñó ñi qua ñi m A(0 ; 4)
                                                                                         1
Ví d 2. Vi t phương trình các ñư ng th ng vuông góc v i ñư ng th ng y =                    x + 3 và ti p xúc
                                                                                         4
        v i ñ th hàm s            y = f ( x ) = − x 3 + 3x 2 − 4 x + 2

Ví d 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s y = − x 3 + 3x + 1 bi t ti p tuy n
        ñó song song v i ñư ng th ng y = −9 x + 1
Ví d 4. T g c t a ñ có th k ñư c bao nhiêu ti p tuy n c a ñ th hàm s
                         y = x 3 + 3x 2 + 1             Vi t phương trình các ti p tuy n ñó.




                        Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                                   18
                                  T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

                       1            3
Ví d 5. Cho hàm s y = − x 4 − 3x 2 + có ñ th là (C)
                       2            2
       a) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) t i các ñi m u n.
                                                  3
       b) Tìm ti p tuy n c a (C) ñi qua ñi m A (0; )
                                                  2
Ví d 6. Cho hàm s
                                    3x + 2
                               y=          có ñ th là (C).
                                     x+2
Ch ng minh r ng, không có ti p tuy n nào c a ñ th (C) ñi qua giao ñi m c a hai ti m c n c a
ñ th ñó.
Ví d 7. Cho hàm s
                                          1
                               y=x−          có ñ th là (C)
                                        x +1
Ch ng minh r ng trên (C) t n t i nh ng c p ñi m mà ti p tuy n t i ñó song song v i nhau.
Ví d 8. Cho hàm s
                                    x 2 + mx − 2m − 4
                               y=                     có ñ th (C)
                                           x+2
       Gi s ti p tuy n t i M ∈ (C) c t hai ti m c n t i P và Q. Ch ng minh r ng MP=MQ

                                                                 x 2 − 4x + 5
Ví d 9. Vi t phương trình ti p tuy n v i ñ th hàm s y =                       bi t r ng ti p tuy n ñi
                                                                     x−2
qua ñi m A(1;1).
                                                            x 2 − x −1
Ví d 10. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th y =                     bi t ti p tuy n song song v i
                                                               x +1
ñư ng th ng y = − x .
                            x 2 − x −1
Ví d 11. Cho hàm s y =                 có ñ th là (C)
                               x +1
       Tìm t t c các ñi m trên tr c tung mà t ñó có th k ñư c 2 ti p tuy n v i ñ th (C)
                                x 2 + 3x + a
Ví d 12. Tìm a ñ ñ th y =                    có ti p tuy n vông góc v i ñư ng th ng y = x.
                                    x +1
Ví d 13. Tìm m ñ ñ th y = 2mx 3 − ( 4m 2 + 1) x 2 + 4m 2 ti p xúc v i tr c hoành.

                                 mx 2 + 3mx + 2m + 1
Ví d 14. Tìm m ñ ñ th y =                            ti p xúc v i ñư ng th ng y = m.
                                         x+2
Ví d 15. Tìm a ñ ti m c n xiên c a ñ th
                                    2 x 2 + (a + 1) x − 3
                               y=
                                            x+a
       ti p xúc v i parabôn y = x 2 + 5 .

                        Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                          19
                                  T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

III. S ñ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s
       Cho hàm s y = f(x) có ñ o hàm trên kho ng (a;b)
       a) Hàm s f(x) ñ ng bi n trên (a;b) ⇔ f ′( x ) ≥ 0 v i ∀x ∈ (a; b)
       b) Hàm s f(x) ngh ch bi n trên (a;b) ⇔ f ′( x ) ≤ 0 v i ∀x ∈ (a; b)


Bài toán : Yêu c u tìm m ñ cho hàm s ñ ng bi n, ngh ch bi n trong m t kho ng nào ñó
Chú ý: C n n m v ng các ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai


Ví d 1. Cho hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 3( 2m − 1) x + 1
       Xác ñ nh m sao cho hàm s ñ ng bi n trên t p xác ñ nh.
Ví d 2. Cho hàm s y = 2 x 2 + 2mx + m − 1
       Xác ñ nh m sao cho hàm s ñ ng bi n trong kho ng ( −1;+∞)

Ví d 3. Cho hàm s y = x 3 + 3x 2 + ( m + 1) x + 4m
       Tìm m ñ hàm s ngh ch bi n trên (-1,1)
                          x 2 + 2( m + 1) x + 2
Ví d 4. Cho hàm s y =
                                  x +1
       Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trong kho ng (0;+∞)
                     1
Ví d 5. Cho hàm s y = x 3 − mx 2 + (2m − 1) x − m + 2
                     3
       Tìm m ñ hàm s ngh ch bi n trên (-2;0).
                          2 x 2 − 3x + m
Ví d 6. Cho hàm s y =
                                x −1
       Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trên (3,+∞)

Ví d 7. Cho hàm s y = x 3 − 3( m − 1) x 2 + 3m( m − 2) x + 1

       Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trên t p h p các giá tr c a x sao cho 1 ≤ x ≤ 2




                      Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                20
                                   T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

IV.C c ñ i và c c ti u
        Cho hàm s y = f(x) , xo thu c t p xác ñ nh c a hàm s . N u khi x ñi qua xo ñ o hàm ñ i
d u thì xo là m t ñi m c c tr c a hàm s .
                    o N u ñ i d u t + sang – thì xo là ñi m c c ñ i c a hàm s .
                    o N u ñ i d u t - sang + thì xo là ñi m c c ti u c a hàm s .
        ð tìm các ñi m c c tr c a hàm s ta có hai quy t c:
                    o Tìm các ñi m t i h n sau ñó xét d u c a ñ o hàm f ′( x )
                    o Gi i phương trình f ′( x ) = 0. G i x i là các nghi m. Xét d u c a f ′′( x )
Bài toán : Tìm m ñ hàm s y = f(x) có c c tr và các ñi m c c tr th a mãn ñi u ki n nào ñó.
        - Tìm ñi u ki n m ñ cho ñ o hàm c a hàm s có ñ i d u (s l n ñ i d u b ng s c c tr )
        - Tìm t a ñ c a các ñi m c c tr r i ñ t ti p ñi u ki n c a m ñ th a mãn ñi u ki n mà
bài toán yêu c u.


                          x 2 + mx + 1
Ví d 1. Tìm m ñ hàm s y =              ñ t c c ñ i t i x = 2.
                              x+m
Ví d 2. Cho hàm s       y = ( m + 2) x 3 + 3x 2 + mx + m
        V i giá tr nào c a m, hàm s có c c ñ i và c c ti u.
                                          x 2 + 2x + m
Ví d 3. Ch ng minh r ng hàm s y =                      luôn có m t c c ñ i và m t c c ti u.
                                              x2 + 2
Ví d 4. Cho hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 3( 2m − 1) x + 1
        Xác ñ nh m sao cho hàm s có m t c c ñ i và m t c c ti u. Tính t a ñ c a ñi m c c
ti u.
Ví d 5. Cho hàm s y = − x 4 + 2mx 2 − 2m + 1
        Bi n luân theo m s c c tr c a hàm s .
                           x 2 + mx + 2m + 1
Ví d 6. Cho hàm s y =
                                 mx + 1
        Xác ñ nh m sao cho hàm s có c c tr và ti m c n xiên c a ñ th ñi qua g c t a ñ .
                      x 2 + mx − 2m − 4
Ví d 7. Cho hàm s y =
                             x+2
        Xác ñ nh m ñ hàm s có hai c c tr .
Ví d 8. Tìm a và b ñ các c c tr c a hàm s
                           5
                        y = a 2 x 3 + 2ax 2 − 9 x + b
                           3
                                            5
        ñ u là nh ng s dương và x o = −       là ñi m c c ñ i.
                                            9

                       Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                              21
                                 T ôn luy n thi ñ i h c môn toán

Ví d 9. Cho hàm s     y = 2 x 2 + 2mx + m − 1
       Xác ñ nh m sao cho hàm s có c c tr trong kho ng ( −1,+∞)
Ví d 10. Xác ñ nh m sao cho hàm s
                           mx 2 + (2 − 4m) x + 4m − 1
                      y=
                                      x −1
       Có c c tr trong mi n x > 0.
                            mx 2 + x + m
Ví d 11. Cho hàm s y =                   .
                               x+m
       Tìm m ñ hàm s không có c c tr .
Ví d 12. Cho hàm s y = x 3 − 3mx 2 + (m 2 + 2m − 3) x + 4 .
       Tìm m ñ ñ th hàm s có c c ñ i, c c ti u n m         hai phía tr c tung.
                            x2 + x + m
Ví d 13. Cho hàm s y =                 .
                               x +1
       Tìm m ñ ñ th hàm s có c c ñ i, c c ti u n m         hai phía tr c tung
                                                                 x 2 + (2m + 3) x + m 2 +4m
Ví d 14. Tìm t t c các giá tr c a tham s m ñ hàm s            y=                            có hai
                                                                           x+m
c c tr và giá tr c a ñi m c c tr tương ng trái d u nhau.
                            x 2 + (m + 1) x − m + 1
Ví d 15. Cho hàm s y =                              có hai c c tr và giá tr c a ñi m c c tr tương
                                    x−m
 ng cùng d u nhau.




                      Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i                         22
          T ôn luy n thi ñ i h c môn toán




Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i   23

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:160
posted:3/11/2010
language:Vietnamese
pages:24