Titel des Referats - PowerPoint by pengtt

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									Methoden der Politikwissenschaft


        Faktorenanalyse



          Siegfried Schumann
Organisatorische Vorbemerkungen:




•   Für Sozialwissenschaften meist irrelevant:
     – Vorgeschaltete Mittelwertbildung (Hausfrauen-Urteile)



•   Nicht behandelt:
     – Eignung der Korrelationsmatrix
     – Graphische Interpretation der Faktoren




                                                               2
Übersicht zur Faktorenanalyse (FA)

                              1
1. Korrelationsmatrix: R          Z  Z
                             K 1
2. Grundgleichung der FA:  A  P
                          Z                   Beobachteter Wert ↔
                          Ladung · Score      Linearkombination mehrerer
                                              (errechneter) Faktoren
3. Durch Einsetzen:  1  A  P  A  P 
                  R
                      K 1
                            1
                   R  A       P  P  A   A  C  A 
                          K 1
                   Korrelationsmatrix der Faktoren „C“

  Falls Faktoren unkorreliert: C = Einheitsmatrix: A  A
                                              R
   (Fundamentaltheorem d. FA)
              R  A  A  U
4. Erweiterung:                    (spez. Varianz + Messfehler; wird festgelegt;
    Ladungen
                                   werden so gewählt, dass 1. Faktor max. Varianz
   erklärt)                       Z AP    P  A1  Z

5. Berechnung der Faktorwerte:                                                      3
Vorarbeiten: Berechnung der Standardabweichung


Anteil unges. Fettsäuren:   AM = 2,83333   (S. 193)       SD = 1,47196     (S. 199)
Kaloriengehalt:             AM = 4,16667   (S. 193)       SD = 1,94079     (S. 199)
Vitamingehalt:              AM = 3,66667   (S. 193)       SD = 1,36626     (Tabelle)
Haltbarkeit:                AM = 3,50000   (S. 193)       SD = 1,87083     (Tabelle)
Preis:                      AM = 4,66667   (S. 193)       SD = 2,06559     (Tabelle)


     Vitamingehalt                Haltbarkeit                      Preis

(x-AM)        (x-AM)2       (x-AM)        (x-AM)2       (x-AM)        (x-AM)2
-1,66667          2,77779    -2,50000         6,25000   -2,66667          7,11113
-0,66667          0,44445    -0,50000         0,25000   -0,66667          0,44445
 0,33333          0,11111     0,50000         0,25000    0,33333          0,11111
 2.33333          5,44443    -1,50000         2,25000   -1,66667          2,77779
-0,66667          0,44445     1,50000         2,25000    2,33333          5,44443
 0,33333          0,11111     2,50000         6,25000    2,33333          5,44443
            SAQ: 9,33334                SAQ: 17,50000               SAQ: 21,33334
             SD: 1,36626                  SD: 1,87083                 SD: 2,06559
                                                                                       4
Errechnung der Korrelationsmatrix aus z-Werten


                 z-standardisierte Ausgangswerte                                 transponierte Matrix
        Rama      Sanella   BecelDu      Holl. Weihn.      AF       Ka       Vi       Ha       Pr
                               darfst Butter Butter
  AF -1,24550 -0,56614 0,79260 1,47196 -0,56614 0,11323 -1,24550 -1,63164 -1,21988 -1,33631 -1,29100
  Ka -1,63164 0,94463 0,42938 0,94463 -0,60113 -0,08588 -0,56614 0,94463 -0,48795 -0,26726 -0,32275
   Vi -1,21988 -0,48795 0,24397 1,70782 -0,48795 0,24397 0,79260 0,42938 0,24397 0,26726 0,16137
  Ha -1,33631 -0,26726 0,26726 -0,80178 0,80178 1,33631 1,47196 0,94463 1,70782 -0,80178 -0,80687
  Pr -1,29100 -0,32275 0,16137 -0,80687 1,12962 1,12962 -0,56614 -0,60113 -0,48795 0,80178 1,12962
                                                                      0,11323 -0,08588 0,24397 1,33631 1,12962
            1
        R       Z  Z
           K 1                                                 Korrelationsmatrix

                                                                 AF         Ka         Vi        Ha       Pr
Zur Erinnerung:                     AF (Anteil unges. Fetts.)   1,00000   0,71176    0,96134   0,10894   0,04385
         s xy
rxy 
                                        Ka (Kaloriengehalt)     0,71176   1,00000    0,70397   0,13771   0,06652

        sx sy                           Vi (Vitamingehalt)     0,96134   0,70397    1,00000   0,07825   0,02362
                                           Ha (Haltbarkeit)     0,10894   0,13771    0,07825   1,00000   0,98334
       SAP
s xy 
       n 1
                                                   Pr (Preis)   0,04385   0,06652    0,02362   0,98334   1,00000

                                                                                                               5
Konstellation (Demonstrationsbeispiel nach Bortz):

•   Untersucht werden 6 „Objekte“ (Personen):
     – Karin, Heinz, Sonja, Kurt, Eva, Karl

•   Die „Objekte“ haben Ausprägungen bei den „Merkmalen“ (Testergebnisse):
     – Bi: Bilderrätsel
     – Ma: Mathematikaufgabe
     – Pu: Puzzle
     – Re: Reproduktions (Gedächtnis-) Aufgabe
     – Kr: Kreuzworträtsel

•   Es ergeben sich folgende korrelative Zusammenhänge (schematisch):
                F1: praktische Intelligenz F2: theoret. Intelligenz   + F3 + F4 + F5


                   Bi       Pu        Re        Ma        Kr


•   Vermutung:
     – Scheinkorrelation! Nur wenn diese Vermutung zutrifft, ist eine FA sinnvoll!
                                                                                       6
Zur Grundgleichung der FA (Bortz-Beispiel)

•   Bildung von 5 neuen orthogonalen Variablen (bei n = 5 „Merkmalen“)
     – F1 + F2 + F3 + F4 + F5                                    Nutzen der
     – Schritt für Schritt nacheinander – rein rechnerisch!    „Umrechnung“?
     – Restriktion: jeweils maximale (Rest-)Varianzerklärung
     – bei n = 5 Faktoren: gesamte Ausgangsvarianz erklärt!  Abbruchmöglichkeit!

•   Korrelation der neuen Variablen (Faktoren) mit den ursprünglichen Variablen
     – F1 F2 F3 F4 F5 ∙ Bi Ma Pu Re Kr
     – Ladungen: a

•   Für die neuen Variablen (Faktoren) gilt:
     – Für jedes „Objekt“ wird eine Ausprägung auf jedem Faktor errechnet.
     – Faktorscore: p

•   Beispiele zum Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse (S. 207 / 208)
     – X(Bilderrätsel, Eva) = a(Bilderrätsel, F1) ∙ p(F1, Eva) + a(Bilderrätsel, F2) ∙ p(F2, Eva) + …
                                                               + a(Bilderrätsel, F5) ∙ p(F5, Eva)
     – X(Puzzle, Heinz)     = a(Puzzle, F1) ∙ p(F1, Heinz)    + a(Puzzle, F2) ∙ p(F2, Heinz) + …
                                                              + a(Puzzle, F5) ∙ p(F5, Heinz)
                                                                                                        7
          Beobachteter Wert ↔ Linearkombination mehrerer (errechneter) Faktoren
Konstellation (Backhaus u.a.):

•   Untersucht werden 6 „Objekte“:
     – Rama, Sanella, Becel, Du darfst, Holländische Butter, Weihnachtsbutter

•   Die „Objekte“ haben Ausprägungen bei den „Merkmalen“ (Variablen):
     – AF: Anteil ungesättigter Fettsäuren
     – Ka: Kaloriengehalt
     – Vi: Vitamingehalt
     – Ha: Haltbarkeit
     – Pr: Preis

•   Es ergeben sich folgende korrelative Zusammenhänge (schematisch):
                        F1: Gesundheit        F2: Wirtschaftlichkeit   + F3 + F4 + F5


                   AF        Ka          Vi       Ha        Pr


•   Vermutung:
     – Scheinkorrelation! Nur wenn diese Vermutung zutrifft, ist eine FA sinnvoll!
                                                                                        8
Zur Grundgleichung der FA (Backhaus u.a.)

•   Bildung von 5 neuen orthogonalen Variablen (bei n = 5 „Merkmalen“)
     – F1 + F2 + F3 + F4 + F5                                    Nutzen der
     – Schritt für Schritt nacheinander – rein rechnerisch!    „Umrechnung“?
     – Restriktion: jeweils maximale (Rest-)Varianzerklärung
     – bei n = 5 Faktoren: gesamte Ausgangsvarianz erklärt!  Abbruchmöglichkeit!

•   Korrelation der neuen Variablen (Faktoren) mit den ursprünglichen Variablen
     – F1 F2 F3 F4 F5 ∙ AF Ka Vi Ha Pr
     – Ladungen: a

•   Für die neuen Variablen (Faktoren) gilt:
     – Für jedes „Objekt“ wird eine Ausprägung auf jedem Faktor errechnet.
     – Faktorscore: p

•   Beispiele zum Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse (S. 207 / 208)
     – X(Kalorien, Becel) = a(Kalorien, F1) ∙ p(F1, Becel) + a(Kalorien, F2) ∙ p(F2, Becel) + …
                                                           + a(Kalorien, F5) ∙ p(F5, Becel)
     – X(Preis, Du darfst) = a(Preis, F1) ∙ p(F1, Du darfst) + a(Preis, F2) ∙ p(F2, Du darfst) + …
                                                             + a(Preis, F5) ∙ p(F5, Du darfst)
                                                                                                     9
Weitere Schritte der Faktorenanalyse I


•   Kommunalitätenproblem
     – R = A ∙ A´ + U
     – Explizite Unterscheidung in gemeinsame Faktoren: A – spezifische Faktoren: U
     – U beschreibt spezifische Varianz einer Variablen + Meßfehler
     – Der Teil der Gesamtvarianz einer Variablen, der durch die Faktoren erklärt
       werden soll, muss festgelegt werden (Kommunalität)

                                             Items: keine Einzelrestvarianz!
•   Schätzung der Kommunalitäten             (spez. Varianz + Fehlervarianz)
     – Gesamte Varianz soll erklärt werden → Hauptkomponentenanalyse (PC)
     – Schätzung nach inhaltlichen Vorgaben → Hauptachsenanalyse (PAF)
          Kriterium oft: r2max mit anderer Variablen; multiples Bestimmtheitsmaß SPSS
     – Bestimmung durch Iterationsprozeß → Hauptachsenanalyse (PAF)
          keine Eingriffsmöglichkeit;
          Kriterium: Konvergenz der Iterationen;
          Startwert oft: Multiples Bestimmtheitsmaß
                                                                                      10
Weitere Schritte der Faktorenanalyse II

                                                                                             Screeplot




•
                                                                     6

    Festlegung der Zahl der zu extrahierenden Faktoren
                                                                     5


     – Kaiser-Kriterium                                              4




                                                         Eigenwert
     – Scree-Test                                                    3



                                                                     2



                                                                     1



                                                                     0

                                                                         1   2   3   4   5     6   7     8   9   10   11   12   13
                                                                                             Faktornummer



•   Meist (oblique/rechtwinklige) Rotation der Faktoren (Varimax)
     – „gleichwertige Lösungen“
     – Ziel meist: möglichst gute Annäherung an Einfachstruktur
     – Gelegentlich: schiefwinklige Rotation
          eigentlich wäre jetzt neue FA nötig!

•   Interpretation der Faktoren!
     – erster Schritt: Ladungen!

                                                                                                                                     11
Weitere Schritte der Faktorenanalyse III


•   Bestimmung der Faktorwerte (Scores)
     – Z=A∙P         (Grundgleichung der FA; Z ist bekannt; A wurde bestimmt)


     – Auflösung nach P:          Z=A∙P           │mult. von links mit inverser Matrix
                            A-1 ∙ Z = A-1 ∙ A ∙ P │ A-1 ∙ A = E (Einheitsmatrix)
                            A-1 ∙ Z = E ∙ P       │E∙P=P
                            A-1 ∙ Z = P
     – Problem:
           i.d.R. nicht quadratische Faktorenmuster A
           (Ziel: weniger Faktoren als Variablen!)
           → Matrix-Inversion nicht möglich!

     – Lösung:
          Schätzverfahren (s. S. 232)

                                                                                         12
Beispiel: SPSS-Kommando



FACTOR
/VARIABLES fr10_1 fr10_2 fr10_3 fr10_4 fr10_5 fr10_6 fr10_7 fr10_8 fr10_9
            fr10_10 fr10_11 z11.1 z11.3
 /MISSING LISTWISE
 /ANALYSIS fr10_1 fr10_2 fr10_3 fr10_4 fr10_5 fr10_6 fr10_7 fr10_8 fr10_9
            fr10_10 fr10_11 z11.1 z11.3
 /PRINT UNIVARIATE CORRELATION EXTRACTION ROTATION
 /FORMAT SORT
 /PLOT EIGEN
 /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25)
 /EXTRACTION PAF
 /CRITERIA ITERATE(25)
 /ROTATION VARIMAX
 /METHOD=CORRELATION .


                                                                            13
Deskriptive Statistiken


                                                                       Standardabw
                                                          Mittelwert       eichung   Analyse N
fr10_1 Institutionenvertrauen: Bundestag                        4,85         2,397       1239
fr10_2 Institutionenvertrauen: Bundesverfassungsgericht         6,35         2,475       1239
fr10_3 Institutionenvertrauen: Verwaltung                       4,80         2,286       1239
fr10_4 Institutionenvertrauen: Bundesregierung                  4,31         2,529       1239
fr10_5 Institutionenvertrauen: Gerichte                         5,92         2,371       1239
fr10_6 Institutionenvertrauen: Parteien                         3,77         2,202       1239
fr10_7 Institutionenvertrauen: Polizei                          6,40         2,240       1239
fr10_8 Institutionenvertrauen: Bundeswehr                       6,04         2,264       1239
fr10_9 Institutionenvertrauen: katholische Kirche               4,37         2,741       1239
fr10_10 Institutionenvertrauen: evangelische Kirche             4,82         2,483       1239
fr10_11 Institutionenvertrauen Gewerkschaften                   4,26         2,327       1239
z11.1 Vertrauen - Kirchen                                       4,61         2,875       1239
z11.3 Vertrauen - Wirtschafts-/Arbeitgeberverbände              3,94         2,370       1239

                                                                                             14
Screeplot


                                                Screeplot


                        6



                        5



                        4
            Eigenwert




                        3



                        2



                        1



                        0

                            1   2   3   4   5     6   7     8   9   10   11   12   13
                                                Faktornummer

                                                                                        15
Faktormatrix (unrotiert!)

                                                             Faktor
                                                             1           2          3
 fr10_1 Institutionenvertrauen: Bundestag                         ,769   -,303          ,186
 fr10_3 Institutionenvertrauen: Verwaltung                        ,752   -,125          ,015
 fr10_5 Institutionenvertrauen: Gerichte                          ,738   -,162      -,221
 fr10_2 Institutionenvertrauen: Bundesverfassungsgericht          ,709   -,214      -,178
 fr10_6 Institutionenvertrauen: Parteien                          ,705   -,204          ,277
 fr10_7 Institutionenvertrauen: Polizei                           ,703       ,007   -,536
 fr10_4 Institutionenvertrauen: Bundesregierung                   ,688   -,342          ,360
 fr10_10 Institutionenvertrauen: evangelische Kirche              ,647       ,501       ,113
 fr10_9 Institutionenvertrauen: katholische Kirche                ,624       ,593       ,142
 fr10_8 Institutionenvertrauen: Bundeswehr                        ,584       ,044   -,401
 z11.1 Vertrauen - Kirchen                                        ,498       ,496       ,115
 fr10_11 Institutionenvertrauen: Gewerkschaften                   ,469   -,083          ,171
 z11.3 Vertrauen - Wirtschafts-/Arbeitgeberverbände               ,372       ,119       ,010
 Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse.
 3 Faktoren extrahiert. Es werden 12 Iterationen benötigt.

                                                                                           16
Kommunalitäten


                                                                Extraktion
      fr10_1 Institutionenvertrauen: Bundestag                         ,717
      fr10_2 Institutionenvertrauen: Bundesverfassungsgericht          ,581
      fr10_3 Institutionenvertrauen: Verwaltung                        ,581
      fr10_4 Institutionenvertrauen: Bundesregierung                   ,719
      fr10_5 Institutionenvertrauen: Gerichte                          ,619
      fr10_6 Institutionenvertrauen: Parteien                          ,616
      fr10_7 Institutionenvertrauen: Polizei                           ,781
      fr10_8 Institutionenvertrauen: Bundeswehr                        ,504
      fr10_9 Institutionenvertrauen: katholische Kirche                ,761
      fr10_10 Institutionenvertrauen: evangelische Kirche              ,683
      fr10_11 Institutionenvertrauen: Gewerkschaften                   ,256
      z11.1 Vertrauen - Kirchen                                        ,508
      z11.3 Vertrauen - Wirtschafts-/Arbeitgeberverbände               ,153
      Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse.
                                                                              17
Erklärte Gesamtvarianz – unrotiert / rotiert




            Summen von quadrierten Faktorladungen            Rotierte Summe der quadrierten Ladungen
                         für Extraktion

  Faktor Gesamt          % der Varianz Kumulierte %           Gesamt     % der Varianz Kumulierte %
  1
                5,424            41,726             41,726       2,973         22,871         22,871

  2
                1,210             9,305             51,031       2,311         17,777         40,648

  3
                  ,845            6,501             57,532       2,195         16,884         57,532

 Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse.




                                 Eigenwerte
                                                                                                       18
Rotierte Faktorenmatrix

                                                          Faktor
                                                          1               2          3
fr10_4 Institutionenvertrauen: Bundesregierung                     ,828       ,132       ,127
fr10_1 Institutionenvertrauen: Bundestag                           ,769       ,315       ,161
fr10_6 Institutionenvertrauen: Parteien                            ,723       ,194       ,234
fr10_3 Institutionenvertrauen: Verwaltung                          ,574       ,426       ,265
fr10_11 Institutionenvertrauen: Gewerkschaften                     ,447       ,134       ,197
fr10_7 Institutionenvertrauen: Polizei                             ,180       ,835       ,228
fr10_8 Institutionenvertrauen: Bundeswehr                          ,153       ,653       ,232
fr10_5 Institutionenvertrauen: Gerichte                            ,459       ,615       ,173
fr10_2 Institutionenvertrauen: Bundesverfassungsgericht            ,490       ,570       ,126
fr10_9 Institutionenvertrauen: katholische Kirche                  ,179       ,172       ,837
fr10_10 Institutionenvertrauen: evangelische Kirche                ,228       ,218       ,764
z11.1 Vertrauen - Kirchen                                          ,131       ,133       ,688
z11.3 Vertrauen - Wirtschafts-/Arbeitgeberverbände                 ,190       ,189       ,284
Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse.
Rotationsmethode: Varimax mit Kaiser-Normalisierung.
a Die Rotation ist in 5 Iterationen konvergiert.
                                                                                            19
                                            erkl. Varianz = Eigenwerte : 13
Zusammenfassung der Ergebnisse
                                                   Eigenwerte

               Ladung (unrotierte Lösung)   Kommu-       Ladung (rotierte Lösung)      Kommu-
                 1        2         3         nalität      1         2          3        nalität
      fr10_4     ,688     -,342      ,360       ,719        ,828     ,132       ,127       ,719
      fr10_1     ,769     -,303      ,186        ,717      ,769      ,315       ,161       ,717
      fr10_6     ,705     -,204      ,277        ,616      ,723      ,194       ,234       ,616
      fr10_3     ,752     -,125      ,015        ,581      ,574      ,426       ,265       ,581
    fr10_11      ,469     -,083      ,171        ,256      ,447      ,134       ,197       ,256
      fr10_7     ,703      ,007     -,536        ,781      ,180      ,835       ,228       ,781
      fr10_8     ,584      ,044     -,401        ,504      ,153      ,653       ,232       ,504
      fr10_5     ,738     -,162     -,221        ,619      ,459      ,615       ,173       ,619
      fr10_2     ,709     -,214     -,178        ,581      ,490      ,570       ,126       ,581
      fr10_9     ,624      ,593      ,142        ,761      ,179      ,172       ,837       ,761
    fr10_10      ,647      ,501      ,113        ,683      ,228      ,218       ,764       ,683
       z11.1     ,498      ,496      ,115        ,508      ,131      ,133       ,688       ,508
       z11.3     ,372      ,119      ,010        ,153      ,190      ,189       ,284       ,153
 Σ Ladung2     5.424    1.210     0.845       Σ 7.479    2.973     2.311      2.195     Σ 7.479
%erkl. Var.    41.726   9.305     6.501     Σ 57.532    22.871     17.777     16.884   Σ 57.532
                                   erklärte Varianz insgesamt: 57.532%                             20
SPSS-Ergebnis für: PC, NFACTORS = 13



                                                                         Erklärte Ge samtv arianz

                                                                      Summen von quadrierten Faktorladungen
                    Kommunalitäte n
                                                             Kompo-               für Extraktion
                                                Extraktion   nente     Gesamt  % der Varianz Kumulierte %
fr10_1 Inst.vertrauen: Bundestag                    1,000    1           5,806         44,664        44,664
fr10_2 Inst.vertrauen: Bundesverfassungsgericht     1,000    2           1,567         12,052        56,717
fr10_3 Inst.vertrauen: Verwaltung                   1,000    3           1,210          9,307        66,024
fr10_4 Inst.vertrauen: Bundesregierung              1,000    4            ,915          7,041        73,065
fr10_5 Inst.vertrauen: Gerichte                     1,000    5            ,724          5,566        78,631
fr10_6 Inst.vertrauen: Parteien                     1,000    6            ,609          4,683        83,314
fr10_7 Inst.vertrauen: Polizei                      1,000    7            ,431          3,318        86,632
fr10_8 Inst.vertrauen: Bundeswehr                   1,000    8            ,377          2,897        89,530
fr10_9 Inst.vertrauen: katholische Kirche           1,000    9            ,360          2,773        92,302
fr10_10 Inst.vertrauen: evangelische Kirche         1,000    10           ,302          2,323        94,625
fr10_11 Inst.vertrauen: Gewerkschaften              1,000    11           ,257          1,976        96,601
z11.1 Vertrauen - Kirchen                           1,000    12           ,241          1,850        98,451
z11.3 Vertrauen - Wirtschafts-/Arbeitgeberverb.     1,000    13           ,201          1,549       100,000
Extraktionsmethode: Hauptkomponentenanalyse.                 Extraktionsmethode: Hauptkomponentenanalyse.
                                                     !

                                                                                                            21
Vielen Dank für Ihre

 Aufmerksamkeit!

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