Docstoc

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Document Sample
PERSAMAAN DIFFERENSIAL Powered By Docstoc
					PERSAMAAN
DIFFERENSIAL
DEFINISI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
 Persamaan      diferensial     (PD)     adalah
 persamaan yang melibatkan turunan (derivatif)
 dari suatu fungsi yang tak diketahui dan juga
 fungsi itu sendiri. Jika fungsi yang terlibat
 dalam PD hanya memiliki 1 variabel saja, maka
 persamaan tersebut disebut sebagai Persamaan
 Diferensial Biasa (PDB); jika fungsi tersebut
 memiliki > 1 variabel bebas maka disebut
 Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
BEBERAPA CONTOH PERSAMAAN DIFERENSIAL
ADALAH :

   dy/dt = y {fungsi yang tak diketahui adalah y(t)}.

   x2y” – 3x(y’)2 + 4y = sin x { fungsi yang tak
    diketahui adalah y(x)}

   xy”’ – exy’ + (sin x)y = 0 {fungsi yang tidak
    diketahui adalah y(x)}

   ∂2V/∂x2 + ∂2V/∂y2 = 0 {fungsi yang tidak
    diketahui adalah V(x,y)}
Formulasi matematik dari definisi Persamaan
Diferensial Biasa dimana PDB tingkat n untuk
y(x) adalah :



    F (x, y, y’, y”, y”’,……….,y(n)) = 0
ORDO PD…???

Ordo dari suatu PD adalah tingkat turunan
tertinggi dari fungsi yang terlibat dalam PD
tersebut.

Contoh :
 x2y” – 3x(y’)2 + 4y = sin x {PDB tingkat 2 atau
  berordo 2}

   xy”’ – exy’ + (sin x)y = 0 {PDB tingkat 3}.
SOLUSI UMUM DAN KHUSUS

Jika diketahui suatu PDB y’ – 3x2 + 2x – 1 = 0
  maka solusinya dapat dicari dengan menuliskan
  kembali PDB tersebut menjadi ;
 dy/dx = 3x2 - 2x + 1, yang berarti



   dy = ( 3x2 - 2x + 1) dx,

sehingga jika diintegralkan ruas kiri dan kanan
menjadi :
             
    dy   3 x  2 x  1 dx
                      2
                                  
  y  c1  x  x  x  c2
                  3       2


  y  x  x  x  (c2  c1 )
          3       2


  y  x x  xc
          3       2


# y = x 3- x2 +x +c ? merupakan solusi dari PDB, dimana c
                      adalah konstanta sembarang.
Jika didalam solusi masih terdapat konstanta
 sembarang yang nilainya belum spesifik/khusus,
 maka solusi tersebut disebut sebagai solusi
 umum,    sehingga   penyelesaiannya   pun    tak
 terhingga. Tujuan dari penyelesaian PDB adalah
 untuk   mendapatkan     solusi   umum       atau
 Penyelesaian Umum (PU).
Solusi umum dari suatu PD dapat dikonversi ke dalam
 solusi khusus/spesifik dengan memanfaatkan kondisi
 tambahan (auxiliary condition) yang menyatakan
 nilai fungsi yang terlibat dalam suatu PD atau nilai
 turunannya pada satu atau lebih nilai dari variabel
 bebasnya. Sebagai contoh jika PDB y’ – 3x2 + 2x – 1 =
 0 yang memiliki solusi umum y = x 3- x2 +x +c;
 diketahui memiliki kondisi tambahan y(0) = 2
 (artinya nilai fungsi y=2 pada nilai x=0);
maka dengan mensubstitusikan kondisi tambahan
 pada solusi umum sebagai berikut :

y(0) =03 – 02 + 0 + c

  2 = c; sehingga solusi spesifiknya adalah :

              # y = x 3- x2 +x +2
Apabila PDB memiliki ordo sampai tingkat n,
  maka kondisi tambahan yang diperlukan juga
  sebanyak n buah.

Contoh : y” = x2 – y3,

       maka kondisi tambahannya :

       y(1) =2,          dan        y’(1) = -1
 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER (PDL)
 Bentuk umum PDL adalah sebagai berikut :
                                 ( n 1)
a0 ( x) y   ( n)
                    a1 ( x) y              ..... an1 ( x) y'an ( x) y  f ( x)

Dimana                              a
               a0 ( x), a1 ( x),..... n1 ( x), an ( x)     adalah      sembarang
fungsi yang didefinisikan pada suatu interval tertentu. Suatu PD
tingkat ke n dikatakan linier jika fungsi F merupakan polinom
tingkat pertama dalam bentuk y, y’, y”,…..,y(n-1),y(n). Jika
persamaannya tidak memenuhi bentuk linier, maka disebut sebagai
PD Non-Linier.
Contoh :

   y’ +(cos x) y = ex

   xy” + y’ = x2

   xy”’ – exy’ + (sin x) y = 0

   y’ + y2 = 1

   y” + (cos x)yy’ = sin x

   y”’ – x(y’)3 + y =0

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:10068
posted:3/9/2010
language:Indonesian
pages:13