פיסיקה (3) - מכאניקה קוונטית שימושית קורס 10.0382.9050
מרצים: אשל בן יעקב, ביה"ס לפיסיקה אלי פיסצקי, ביה"ס לפיסיקה מתרגל: דובי פוזננסקי, ביה"ס לפיסיקה עורכת הרשימות: לירון מנדלסון, הפקולטה להנדסה אוניברסיטת תל אביב הקורס בפיסיקה (3) הוא קורס הניתן במסגרת הפקולטה להנדסה באוניברסיטת תל אביב לסטודנטים הלומדים הנדסת חשמל ומחשבים. מטרת הקורס הינה להקנות לסטודנטים ידע בסיס פיסיקלי הקשור בעקרונות הפעולה של רכיבים והתקנים אלקטרונים. רשימות אלו נרשמו ונערכו על ידי לירון מנדלסון, בעקבות קורס אשר ניתן בשנת הלימודים תשס"ו.
עיקרי חומר הלימוד
מפיסיקה קלאסית לקוונטית. יסודות תורת הקוונטים . פתרונות משוואת שרדינגר למצבים קשורים . פתרונות משוואת שרדינגר לפיזור ותופעת המנהור . פתרונות משוואת שרדינגר בשלושה מימדים . מתכת כגז פרמיונים חופשיים. פוטנציאל מחזורי, מודל קרונינג פני, מתכות, מוליכים, ומוליכים למחצה. אטום המימן, מספרים קוונטיים והטבלה המחזורית. א.
ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח.
תוכן עניינים
פרק 1: תורת הגלים על קצה המזלג פרק 2: תורת היחסות על קצה המזלג פרק 3: יסודות ומושגים בתורת הקוונטים פרק 4: משוואת שרדינגר עבור מצבים קשורים בפוטנציאל חד מימדי פרק 5: משוואת שרדינגר עבור מצבי פיזור פרק 6: גז אלקטרונים כמודל פשוט למתכת פרק 7: מגע מתכת עם חומרים שונים ומנהור פרק 8: פוטנציאל מחזורי ופסי אנרגיה פרק 9: מודל האטום של בוהר פרק 01: תיאור אטום המימן באמצעות משוואת שרדינגר תלת מימדית פרק 11: עקרון האיסור של פאולי והטבלה המחזורית פרק 21: תרגילים ופתרונותיהם נספח 1 : יחידות פיסיקאליות, קבועים ונוסחאות מתמטיות שונות נספח 2: מדוע איינשטיין קיבל פרס נובל? נספח 3: ספקטרום הקרינה האלמ"ג נספח 4: מושגי יסוד במכאניקה סטטיסטית נספח 5: ביוגרפיות של האישים המוזכרים בחוברת
2
פרק 1: תורת הגלים
1.1 מהו גל?
גל הינו הפרעה בתווך הנעה במהירות קבועה ושומרת על צורתה (בתנאים אידיאלים). בגל עצמו עוברים אנרגיה ותנע וכן צורת ההפרעה, כלומר המידע. חשוב להדגיש כי מרכיבי התווך מתנדנדים באופן מקומי אולם אינם נעים עם הגל, לא במהירות הגל ולעיתים אף לא בכיוון הגל. y
0T
y
T t x v t
0x
x
x0 x
x
)1.1( )2.1(
) y ( x vt ) y ( x vt
הגל מתואר ע"י הקשר הבא: גל הנע בכיוון , x כלומר : x 0 גל הנע בכיוון , x כלומר : x 0
אם נתבונן על השרטוט לעיל הרי שמתקיים: )0 ( x, t t ) ( x vt , t גל רוחבי: גל אשר כיוון ההפרעה בו ניצב לכיוון ההתקדמות של הגל. גל אורכי: גל אשר כיוון ההפרעה בו זהה לכיוון תנועת הגל
2.1 סימנים וגדלים בסיסיים
- Tזמן מחזור - פאזת הגל - תדירות זוויתית - fתדירות - אורך הגל - kמספר הגל - C, vמהירות הגל - Aאמפליטודת הגל
vt
A
x
t
T
3
ניתן לקשור בין הגדלים ע"י: 2 (1.3) k C (1.4) 2f
(1.5) C f 1 (1.6) f T (1.7) v
T k כאשר משוואה (7.1) ידועה בשם "יחס הנפיצה".
3.1 סוגי גלים
1.2.1 גלים מחזוריים
גל מחזורי הינו גל שתלותו בציר Xהינה בעלת אופי מחזורי, בעל קבוע זמן .T את הגל ניתן לתאר באמצעות פונקציה מחזורית סינוסיאודלית: ) y A sin(kx t )8.1( y exp j (kx t ) סימן חיובי מתאר גל הנע בכיוון השלילי של ציר ה- Xואילו סימן שלילי מתאר תנועה בכיוון החיובי של ציר .X גל עומד הינו גל הנובע למעשה מחיבור של שני גלים הפוכים:
ג
1.2.1 גלים עומדים
נקודת צומת
נקודת מקסימום
4
2
L
נקודות צומת התנאי לקבלת נקודת צומת ( ) X nהינו:
sin(kx) 0
2
X n n
)01.1(
Xn
2
n
התנאי לקבלת נקודת מקסימום בגל ( ) X m axהינו:
)11.1( X max X n
4
4
אופני תנודה אופני התנודה האפשריים של גל עומד כלשהו הינם מספר שלם של חצי גל בלבד. 2L (1.12) n n האם יתכנו גלים עומדים בכל התדרים ?
v
n
Tn
Tn
n
v
2L nv
1 nv Tn 2 L מכאן, שלא יתכן גל עומד בכל התדרים, אלא בתדרים העונים לקשר המוצג בנוסחא ( 31.1). תדרים אלו אף נקראים תדרים עצמיים. יש לשים לב שככל שהתדירות גדולה יותר כך גם התנודות מהירות יותר והאנרגיה גבוהה יותר. מסקנה נוספת מן הכתוב לעיל הינה שבכדי ליצור אורך גל קצר יותר נזדקק לתדר גבוה יותר, כלומר ישנו קשר ישיר בין התדר לאורך הגל. )31.1( fn
4.1 משוואת הגלים
נפתח את המשוואה מתוך התבוננות בקפיץ (מיתר). נתון מיתר עם צפיפות מסה 0 . המיתר מוחזק כך שהמתיחות הינה 0 Tבמצב מנוחה. משיקולים גיאומטרים נקבל: df )y f (x tan( ) 0dx x x ואם מדובר בגלים, הרי שהנוסחה תהיה מן הצורה:
x
)(a
tan( )
d dx
0x
. ay
d 2 אם נתבונן בקטע אינטיפיסימלי xהתאוצה בכיוון , a y , yנתונה על ידי: 2 dt מתוך חוק הראשון של ניוטון נקבל את , הכוח הפועל על הקטע xבכיוון : y
2T
)(b ) (c
2
1
1T
d 2 2 dt ) 1Fy T2 sin( 2 ) T1 sin( Fy 0 x
כיוון שאין תנועה בכיוון Xהרי שנקבל:
) (d
0T2 cos( 2 ) T1 cos(1 ) const T
אם נכתוב כעת מחדש את משוואה ): (c
1x
x
2x
T sin( 2 ) T1 sin(1 ) 2 Fy T0 0T 0 T
5
ונשתמש במידע הנתון לנו ממשוואה ) : (d
d T sin( 2 ) T1 sin(1 ) 2 Fy T0 T0 tan( 2 ) tan(1 ) T0 dx T2 cos( 2 ) T1 cos( 1 ) (e) Fy T0 x d 2 2 dx
2x x
d dx
x x x1 x
כעת נחבר את משוואות ) (e) , (bונקבל:
)(f
.
0
d d 2 0 T0 2 2 dt dx
2
נקשר עם מושג המהירות: עבור פתרון של גל נע קיבלנו קודם לכן כי ) Asin(kx t
d 2 0 2 2 dt d 2 T0 2 T0 k 2 dx בכדי שתתקיים משוואה ) ( fנדרוש את השוויון:
0
2 T0 k 2 0
2
k
2
0T
0
v
0T
0
וכך למעשה נקבל את משוואת הגלים הקלאסית:
) 41.1( d 2 d 2 2 2 v 2 dt dx
משוואת הגלים הקלאסית הינה למעשה כללית יותר ומתאימה גם לגלים אחרים פרט למיתר, 0T v אלא גודל אחר. לדוגמה, כאשר ההבדל היחידי יהיה הביטוי למהירות, אשר אינו
0
vc
1
0 0
בגלים אלקטרומגנטיים שנלמדו בקורס פיסיקה ( 2) , נקבל
5.1 התאבכות
מאחר ומשוואת הגלים היא משוואה ליניארית והומוגנית, הרי שאם 1 2 ,פתרונותיה אזי גם צירוף ליניארי שלהם מהווה פתרון שלה, כלומר 2 . 1 בפרט ראינו כדוגמא התאבכות
של שני גלים בעלי kו- הנעים במהירויות שוות בכיוונים הפוכים:
1 A sin(kx t ) ) 1 2 2 A sin(kx) cos(t 2 A sin(kx t )
הפתרון (גל עומד) גם הוא פתרון של משוואת הגלים הקלאסית.
6
עבור שני גלים הנעים באותו הכיוון בעלי הפרש פאזה נגדיר: התאבכות בונה: באם הפרש הפאזה הינו 2אזי הגלים למעשה מסונכרנים ועל כן חיבור של שני הגלים יכפיל את האמפליטודה. למעשה נדרוש עבור התאבכות בונה כי (1.15) d sin( ) n התאבכות הורסת: באם הפרש הפאזה בין שני הגלים הינו מחצית אורך גל, אז תתקיים התאבכות הורסת וחיבור שני הגלים יהיה 0. למעשה נדרוש עבור התאבכות הורסת כי: 1 ) 61.1( d sin( ) n 2 יתכנו מצבי ביניים בהם תהיינה התאבכות הורסת חלקית והתאבכות בונה חלקית.
d
ניסוי יאנג (3081) ניסוי יאנג הבהיר את מושג ההתאבכות, תהליך המתרחש בפגישת שני גלים כלליים. גל אור שודר דרך שני סדקים צרים במרחק קטן זה מזה על גבי מסך הנמצא במרחק גדול מהסדקים ( ) d L במסגרת הניסוי הופיעו על המסך אורות בצבעים שונים ובעוצמות שונות. תוצאת הניסוי נובעת מהתאבכויות של הגלים אשר מהווים אותו אור רק בעל הפרשי פאזה (בשל מרחק שונה של כל נקודה על המסך משני הסדקים).
L
6.1 אנרגיה ותנע של גל
באופן כללי התנע של גל (על פני אורך גל יחיד) pנתון על ידי E (1.17 ) p 0v כאשר Eהיא אנרגיית הגל (על פני אורך גל יחיד) ואילו 0 vהינה מהירותו. נציג כאן את הפיתוח למקרה הפרטי של גל במיתר, בעל צפיפות מסה 0 ומתיחות במצב מנוחה בגודל 0. T
1.6.1 חישוב האנרגיה
נתבונן ראשית בגל: ) A sin(kx t נחשב את האנרגיה הקינטית ליחידת אורך : dx 2 1 1 d 2 2 2 )(b Ek 0 dx ) 0 dxA cos (kx t 2 2 dt נחשב את האנרגיה לאורך גל אחד: 1 ) (c Ek 0 A2 2 cos2 (kx t )dx 2 0 מאחר והאנרגיה נשמרת, ניתן לשם פשטות להציב 0 . t ניתן כמו כן לבדוק את ההנחה על ידי ביצוע אינטגרל לפי הזמן על פני זמן מחזור לכל מקטע dxואז אינטגרל לכל אורכו של . x
)(a
7
) (d
Ek
1 2 0 A2 2 cos2 (kx)dx 0 A2 2 2k 0
k
מתוך הקשרים הבאים:
)(e
k
2 2
0T
0
0 v
2
)(f
E k 0 A 2 v0 2
נקבל כי האנרגיה הקינטית הינה:
units of EnergyTim e
האנרגיה הפוטנציאלית E pברת חישוב באופן הבא:
l
x
1 2 dl 1 x dx 2 ולכן מידת ההתארכות של אלמנט האורך : dx x x 2 1 dl dx x dx 2 ומכאן והאנרגיה הפוטנציאלית הינה: 1 2 E p T0 x dx 2 אם נבצע אינטגרל, בדומה לחישוב האנרגיה הקינטית, הרי שנקבל כי: 1 1 2 )(g Ek T0 x dx T0 A2 k 2 cos2 (kx)dx 0 2 2 0 ובאופן דומה, נשתמש בקשרים המתוארים בנוסחא ) (eונקבל:
)( h
E p k T0 A 2 0 A 2 v0 Ek 2 2
)81.1(
ולכן אנרגית הגל הכוללת תהיה: 0E Ek E p k T0 A 0 A2v
2
ראשית עולה השאלה – כיצד יתכן ולגל ישנו תנע, כאשר אין העברת מסה כלל? מהי משמעות התנע? התנע עבור גלים הינו הכוח שיש להפעיל בכיוון xבכדי לעצור את התקדמות הגל. נשתמש בקשר:
dp F dt בכדי לחשב את הכוח נחשב את השינוי באורך dl dxוכן נגדיר את הכוח להיות: T 2 1 T F 0 (dl dx) 0 x dx 2 T חשוב לשים לב כי הביטוי 0 מייצג למעשה את קבוע הקפיץ האפקטיבי של המיתר. )91.1(
2.6.1 חישוב התנע
עבור זמן מחזור אחד התנע יוגדר להיות:
8
) 02.1(
p TF
0
T
T
2 1 E x dx 2 0v 0
0 E
דרך נוספת להתבונן על חישוב התנע הינה באמצעות העברת אנרגיה, כלומר מהו התנע אשר יועבר בכיוון xלגוף אשר ינסה לעצור את תנועת הגל בכיוון מעלה. התנע בכיוון yשל אלמנט dxהינו p y 0 dx t p x 0 dx t x ) ( t cos אם נבחן אורך גל אחד, תוך התייחסות לקשר : t v x x E 2 x (1.20) p 0 v x dx ... 0v 0 אנקדוטה חשובה: העובדה כי התנע של הגל פרופורציוני לאנרגיה או הקשר E v0 pלגלים כאשר לחלקיק מתקיים הקשר p 1 E הובילה לפיתוח הפיסיקה החדשה בתחילת המאה 2m הקודמת. פרטים נוספים על כך בפרק 3.
9
פרק 2: תורת היחסות הפרטית על קצה המזלג
שמה נובע מכך שהיא מציגה את האופן בו מתארים צופים שונים, הנעים זה יחסית לזה, תנועת גוף אחר.
1.2 היחסות הקלאסית / ניוטונית / גלילאו
היחסות הקלאסית טענה כי בכל המערכות האינרציאליו ת חוקי המכאניקה הם אותם החוקים. הדבר נבע מתוך ההשקפה כי קיימת מערכת נייחת עולמית וזמן הזורם באופן אבסולוטי ונמדד באותו האופן בכל מערכת. התיאור המתמטי הינו באמצעות טרנספורמציית גלילאו המעבירה ממערכת אחת אל השנייה. הבעיה בגישה הינה שהחוקים המתארים את התופעות האלקטרומגנטיות אינם אינווריאנטים תחת טרנספורמציית גלילאו.
2.2 תורת היחסות הפרטית
תוכנן על ידי מייקלסון ומורלי ניסוי לזהות תנועה במערכת המנוחה המוחלטת (האתר) אולם הניסוי נכשל. הסברים שונים הוצעו אולם היחיד שנותר מקובל כיום הינו ההסבר שנתן איינשטיין – תורת היחסות הפרטית. הנחות התורה הינן: 1. חוקי הטבע הם אותם חוקים בכל מערכת ייחוס אינרציאלית. 2. לאור מהירות זהה בכל מערכת יחסות אינרציאלית. השקפת התורה הינה שניתן כעת לוותר על מערכת ייחוס נייחת עולמית ועל האתר. מסקנות אשר נובעות מהנחות תורת היחסות הפרטית הינן: 1. שעון הנע במהירות קבועה ביחס לצופה נראה לצופה איטי יותר משעון נייח, "התארכות הזמן". 2. גוף הנע במהירות קבועה ביחס לצופה נראה לצופה קצר יותר מגוף נייח, "התקצרות המרחק".
v C 1
1 1
0L
2 1 L
כאשר 0 T0 , Lהם האורך העצמי והזמן העצמי, זמן ואורך הנמדדים במערכת במנוחה של הגוף.
T T0
01
מאורע: דבר הקורה במקום ובזמן מסוים . x, t
טרנספורמציית לורנץ: הטרנספורמציה מעבירה מאורע ממערכת אינרציאלית אחת אל השניה בהתאם להנחות תורת היחסות
'
v
x
x x' vt' 'y y 'z z v t t ' 2 x' c
x' x vt y' y z' z v t' t 2 x c
'x
טרנספורמציית לורנץ שואפת לטרנספורמציית גלילאו.
v הערה: בגבול 1 c תוך חיבור מהירויות הנובע מטרנספורמציית לורנץ:
vu 1 uv c
v
v'u '1 uv
v' c
מסקנות מתורת היחסות הפרטית: 1. בכל המערכות מהירות האור הינה .c 2. , u ' c v' c, u cכלומר גוף בעל מהירות הקטנה ממהירות האור במערכת אחת יהיה כזה גם בכל מערכת אינרציאלית אחרת. 3. התקצרות באורך ובזמן נובעים מטרנספורמציית לורנץ. 4. שעונים מסונכרנים במערכת אחת לא נראים כך במערכת אחרת (אם אינם באותו מקום).
3.2 דינאמיקה יחסותית
לגוף במנוחה ישנה אנרגיה עצמית:
E0 mc
2
לגוף בתנועה ישנה אנרגיה:
2 1 כאשר mהינה מסת הגוף המאפיינת אותו. האנרגיה נשמרת אולם ניתן להפוך מסה לאנרגיה ואנרגיה למסה. יחס ההתמרה הינו: 2 E m c E mc
2
11
קיימים תהליכים בטבע בהם הדבר קורה, כדוגמת: אנילציה של חלקיק ואנטי חלקיק . e e Energy התפרקות של חלקיק לקרינה . 0 2 פירוק והיתוך גרעינים
התנע הקווי היחסותי נתון על ידי: p mu כאשר uהינה מהירות הגוף ו- mמסתו. התנע הקווי היחסותי נשמר ווקטורית ובגבול של 1 v שואף לתנע הקלאסי, הנתון על ידי . p mu c קיים קשר בין האנרגיה, המסה והתנע של גוף:
2 E m2 p
רוצים לדעת יותר? פרק אחד תמציתי, בעברית, בספר "מכאניקה קלאסית ויחסותית" מאת דוד אגמון וכמובן בספרות נוספת רבה.
21
פרק 3: יסודות ומושגים בתורת הקוונטים
1.3 קווים שחורים
בשנת 0681 לערך קירכוב מסביר את קיום הקווים השחורים בקרינת השמש באמצעות הטענה כי חומרים שונים פולטים וקולטים קרינה אלקטרומגנטית בתדירויות מסוימות בלבד . הטכנולוגיה שימשה בזמנו לזיהוי חומרים ללא כל הבנה של מהות התופעה.
2.3 קרינת גוף שחור - נוסחת פלנק
הניסוי עסק במדידת אנרגיה אלמ"ג הנפלטת מגוף שחור בו חומר כלשהו.
U J V cm 3
2T
גז מד אנרגיה
1T 1T2 T
בניסוי עצמו נתגלה כי מתקיים הקשר . Tempm ax const כמו כן, עולה מן הניסוי כי רמת האנרגיה הנמדדת מושפעת ישירות מגודל הקופסא ולכן אנו מודדים את האנרגיה ליחידת נפח. מבדיקה עבור גופים שונים נתקבלה אותה פליטת אנרגיה ליחידת נפח ללא תלות בחומר! נוסחת פלנק:
)1.3( U ( f , Temp) 8h 3 hf 3 f exp 1 K BTemp V c כאשר הקבועים המופיעים בנוסחה הינם: קבוע פלנק: h 6.63 10 34 j sec 4.135 10 15 eV sec
K B 1.38 10 23 J
1
קבוע בולצמן: k 8.617 10 eV k
5 o o
C 3 108 m
sec
מהירות האור:
כמו כן יש לציין כי עבור גלים אלמ"ג מתקבלות נוסחאות מעט שונות עבור האנרגיה והתנע:
)2.3( )3.3( E h hf ck 2 h pk k 2
כאשר דנים בקרינה אלמ"ג למעשה דנים בפוטונים, יחידת האנרגיה הבסיסית (קוונטה של אנרגיה). ככל שהתדירות גבוהה יותר כך היחידה הבסיסית גדולה יותר.
31
3.3 האפקט הפוטו - אלקטרי
פוטונים פוגעים במתכת וגורמים לפליטת אלקטרונים.
h
e
metal
מאפייני התהליך: פליטת האלקטרונים ממתכת מסוימת דורשת תדירות סף. קרינה בתדירות נמוכה מתדירות הסף לא פולטת אלקטרונים מבלי תלות בעוצמתה. האנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים הנפלטים תלויה בתדירות ואינה תלויה כלל בעוצמת הקרינה. פליטת האלקטרונים מיידית עם ההקרנה. איינשטיין הסביר את התופעה בכך שהקרינה האלקטרומגנטית מגיעה בחבילות (קוואנטות) של אנרגיה ומתנהגת כחלקיק שהאנרגיה שלו הינה . E hf חלקיק זה נקרא מאוחר יותר "פוטון". אלקטרון אחד הוא המבצע את האינטראקציה עם פוטון בודד ובמידה ונמסרת לו מספיק אנרגיה, הוא נפלט מן המתכת. איננו רואים פוטונים בודדים משום שעין האדם מסוגלת לראות לא פחות מ- 01 פוטונים. פונקצית עבודה: האנרגיה המינימלית הנדרשת על מנת לשחר אלקטרון מן המתכת. פונקצית העבודה תמדד תמיד יחסית לרמת פרמי. כפי שהוסבר לעיל, בפגיעת הפוטונים, האלקטרונים יפלטו רק אם תדירות הקרינה תהיה מעבר לתדר מסוים. בכדי שאלקטרון יוכל לצאת מרמת פרמי (ובכך מן המתכת) נדרש כי: (3.4) E min אם לפוטון הפוגע אנרגיה גדולה יותר min אזי ישתחרר אלקטרון עם אנרגיה קינטית (3.5) E k E הערה: אם מספיק גדול, נוכל להוציא אלקטרונים מרמות נמוכות יותר מרמת פרמי. דוגמה: אור באורך גל של 6000נופל על משטח מתכת. האלקטרונים העוזבים את המשטח עוברים דרך מחסום פוטנציאל VS 0.5Volt המאט אותם וכאשר VS 0.5Volt הם אינם מגיעים אל האנודה. א. מהי המהירות המקסימלית של האלקטרון בהיעדר מתח עצירה? ב. מהי פונקצית העבודה של המתכת? ג. מהו אורך הגל המקסימלי לפליטת אלקטרון במערכת? פתרון:
0
2eVS 5.0 2 1.6 10 19 m vmax 4.2 105 13 m 019.1 sec
mvmax א. eVS 2
2
41
ב. מתוך משוואת האנרגיות: hc 01 6.63 10 3 hc eVS 1.6 10 19 0.5 2.5 10 19 J 1.56eV eVS 01 01 6000 ניתן כמו כן לכתוב את כל משוואות האנרגיות ב- : eV
43 8
E ph Eelctrical
03421 0.5 1.56eV 0006 hc
ג. אורך הגל המקסימלי נובע מן האנרגיה המינימלית, על פי הקשר:
EK
0 eVS hf hf m in hc
האנרגיה המינימלית הינה לכאורה 0:
m ax
m ax
0 03421 03421 7968 65.1 eV
4.3 פיזור קומפטון
בהתנגשות פוטון ואלקטרון, בשל שימור תנע ואנרגיה הפוטון חייב לשנות את האנרגיה שלו. מהירותו קבועה ולכן הוא משנה את התדירות שלו (ובעקבותיה גם את אורך הגל).
אור e אור מוחזר
p ph
p ph h 1hf c
2 hf c
אור נבלע
pe
משוואות שימור התנע הינן:
1hf hf בציר pe cos 2 cos : x c c 2 hf בציר sin pe sin : y c
משוואת שימור האנרגיה הינה:
hf1 me c hf 2 E e
2
ממשוואות שימור התנע בשני הצירים יחד נקבל:
2 hf 2 2 sin 2 p e sin 2 2 c h 2 2 p e f 2 sin 2 f 1 f 2 cos 2 c 2 h 2 2 p e cos c f 1 f 2 cos
הפיזור של פוטון על האלקטרון גורם למעשה להחזרתו באנרגיה נמוכה יותר (כלומר גדול יותר). הגלים שהתפזרו באותה התדירות כמו המקור f 1 התפזרו על גרעינים או יונים כבדים.
קומפטון (3291) גילה כי קרני Xהמתפזרות מרדיד פחמן מופיעות בתדירות המקורית f 1 ובתדירות נמוכה יותר f 2 התלויה בזוית הפיזור .
51
ועל כן:
עוצמת האור המוחזר עוצמת האור המוחזר
f
2f
1f
1
2
2 1
h 1 cos( ) me c
אורך גל קומפטון מוגדר כ:
h (3.6) C 2.426 10 12 m me c
2 1 c 1 cos( )
ובאמצעותו ניתן לרשום
5.3 דואליות גל / חלקיק של הקרינה האלקטרומגנטית
מצד אחד, הקרינה האלקטרומגנטית מקיימת את משוואת הגלים הקלאסית, הנובעת ממשוואות מקסוול בריק ומתנהגת כגל קלאסי. ניסוי יאנג, המופיע בפרק הראשון, מדגים את ההתנהגות הגלית בצורה בולטת. מצד שני, קרינת גוף שחור, האפקט הפוטואלקטרי ופיזור קומפטון ניתנים להסבר רק אם מניחים כי האור מקוונטט, כלומר חבילות בעלות אנרגיה נתונה התלויה בתדירות (אורך הגל). התנהגות האור כחלקיק, פוטון, מתבטאת בתכונות הבאות: מסת הפוטון במצב מנוחה: 0 m 0 מהירות החלקיק: c אנרגית החלקיק: E hf
p E hf h התנע הקווי: k c c
האור (הקרינה האלקטרומגנטית) מתנהג בנסיבות מסוימות כגל ובאחרות כחלקיק. בהמשך נראה כי גם חלקיקים (כגון אלקטרונים) מתנהגים גם כן כגלים וכחלקיקים. ההבדל הברור בין גל וחלקיק העולם המאקרוסקופי נעלם בעולם המיקרוסקופי. כאשר קרינה אלקטרומגנטית מבצעת אינטראקציה עם חומר / חלקיקים, בדרך כלל מתבלט האופי החלקיקי של הקרינה. נבדיל בין שני מונחים: עוצמת הקרינה - תתבטא במספר הפוטונים, שטף הפוטונים ואמפליטודת הגל. אנרגית הקרינה - תתבטא באנרגית הפוטון ובתדירות הגל.
61
6.3 גל דה-ברולי
דה-ברולי היה הראשון אשר קישר בין חלקיק כאלקטרון, לו מסה, מהירות ותנע, לבין אורך הגל שלו.
(3.7) h p
התנע של חלקיק מוגדר על ידי האנרגיה שלו ומסתו:
(3.8) E K 2p p 2me E K 2me
ועל כן אורך הגל של אלקטרון יהיה :
(3.9) h 2me E K
p k F
כמו כן, אורך גל דה-ברולי של אלקטרון אשר יצא ממתכת בעלת רמת פרמי E fיחושב באמצעות
) 01.3(
בכדי לראות את תמונת ההתאבכות של אלקטרונים נדרש מרחק טיפוסי בין מקורות הגלים בסדר גודל של . 1מרחק זה הינו גם המרחק הטיפוסי בין משטחים אטומים בגבישים. אם נתבונן על גביש כללי:
קרן אלקטרונים נכנסת קרן אלקטרונים יוצאת
0
משטחים גבישיים
מהתבוננות קרובה יותר על זויות הפגיעה:
l
l
d
) 2l 2d sin( התנאי להתאבכות בונה של הגל המייצג את האלקטרונים, הידוע בשם "תנאי בראג", הינו: ) (3.10 ) n 2d sin( ...,2,1n
זאת כאשר , hהוא אורך גל דה-ברולי של האלקטרון.
pe
71
מערך הניסוי שהתבצע היה:
אלומת אלקטרונים בתנע נתון
לוח צילום או מערכת אחרת לגילוי האלקטרוים המפוזרים
גביש שניתן לסובב על צירו
בזויות המתאימות לתנאי בראג, כלומר: , arcsinn h מתקבלת עוצמה גבוהה של 2dp
e
אלקטרונים. דוגמה: חשבו את אורך הגל של החלקיקים הבאים: א. אלקטרון מואץ במתח של . V 220V
E electron 220eV 220 1.6 10 19 3.52 10 17 J E 2 me v 2 h p v h 2m e E 2E me p m e v 2m e E 8.2 10 11 m 0.82
0
436.63 10 712 9.1 10 31 3.52 10
ב. פרוטון מואץ במתח של . V 220V
m p 1.67 10 27 kg 2000me
p
1 0002
e 0.02
0
. 1 cm
m d 10 5 gr 10 8 kg v 1 cm
sec
01 ומהירות של
5
גרגר אבק בעל מסה של gr
ג.
0.01 m sec sec 0 h h 436.63 10 d 8 6.63 10 24 m 6.63 10 14 10.0 P m d v 10
81
פרק 4: משוואת שרדינגר עבור מצבים קשורים בפוטנציאל חד מימדי
x
d ' dx מעט על סימונים: מעתה נסמן גזירה על פי xועל פי tבאופן הבא: d t dt
1.4 משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן (סטציונרית)
לאחר שראינו את הנחתו של דה-ברולי, ננסה להבין למעשה את המשמעות של גל של אלקטרון. אם נתבונן בנוסחאות המוכרות ממכאניקה עבור תנע ואנרגיה הרי שנקבל עבור אלקטרונים כי:
p me v 2m v EK e 2 אם נזכר בנוסחא (9.3), בה תואר הקשר בין אורך הגל לבין מסתו והאנרגיה של חלקיק, הרי שקל לראות כי בגופים מאקרוסקופים הגל יהיה בעל אורך הקטן מגודלו ועל כן השפעתו תהיה קטנה מאוד. עם זאת, בגופים מיקרוסקופים אורכו של הגל יהיה משמעותי ביחס לגודלו הפיסי של הגוף ועל כן השפעתו תהיה רבה. )1.4(
שרדינגר טען, כי אם לאלקטרון התנהגות הדומה להתנהגות גל, הרי שניתן לפתח לו משוואת גלים. אם נסתכל על אלקטרון במצבים הסטציונרים שלו:
Aeikx ' ' k 2
p 2 2m k 2 2 EK
2
)2.4(
2 E K '' x 2m
ובאופן כללי יותר:
'' x 2m נשים לב שמדובר במשוואה שאינה תלויה בזמן, סטציונרית. נניח למעשה כי מדובר בגל עומד, ללא מהירות. כיוון שמדובר במשוואה דיפרנציאלית מסדר שני הרי שידרשו לצורך פתרונה שני תנאי שפה: 0 (0) (4.4) 0 ( L) כאשר נפתור את המשוואה נקבל משפחת פתרונות מן הצורה: n n A sin L x A sin k n x (4.5) 2 2 2 E n n 2mL )3.4(
E K V ( x)
2
91
אם נתבונן במספר האיברים הראשונים בסדרה זו נקבל: 2 2 k1 E1 L 2mL 2 2 4 2 k2 E2 1 4 E L 2mL
1En n 2 E
1.1.4 משמעות
מייצג למעשה את פונקצית הגל כאשר ) 0 ( xמייצג את אמפליטודת הסיכויים.
(2.6) ( x) dx ( x) * ( x)dx נוסחא (6.2) מצביעה על צפיפות ההסתברות. אינטגרל עליה בתחום מסוים הינו הסיכוי למצוא (פיסית) את החלקיק בתחום הנבדק. a b the partical is 2 P between a and a b ( x) dx a כלומר, אם נתבונן על רמות אנרגיה שונות בבור פוטנציאל חד מימדי נקבל את התמונה הבאה: *
2
3E
2E
1E
L
0 V ( x) V ( x) 0 x , x L
נדגיש עבור בור הפוטנציאל האינסופי: 0 x L
מכאן ואילך נכנה את " n ( x) A sin k n x המצב הקוונטי של החלקיק ". חלקיק הנמצא בבור פוטנציאל יכול להימצא רק באחד המצבים הקוונטים המותרים בבור. בנוסף על תנאי השפה של שרדינגר נוסיף את תנאי הנרמול הסטטיסטי של אמפליטודת הסיכויים: L L 2 2 2 n )7.2( 1 ( x) dx A sin L x 0 0
sin
0
L
2
n L
x
L 2
)8.2(
A
2 L
02
1 . מכאן, למעשה נקבל את במימד אחד ביחידות של length חשוב להדגיש כי כאשר חלקיק נמצא ברמת אנרגיה מסוימת, לא ניתן לדעת היכן הוא נמצא אבל ניתן לדעת מהי ההסתברות שהוא נמצא במקום מסוים. כמו כן, אין באמת משמעות למיקום הספציפי של האלקטרון ברוחב הבור אלא לרמת האנרגיה שלו.
2.1.4 שינוי רמת אנרגיה של אלקטרון חשוב להדגיש כי לא יתכן בתוך בור הפוטנציאל חלקיק בעל אנרגיה 0. הדבר נובע מעיקרון אי הוודאות עליו יפורט בהמשך. ניתן לשלוט על רמת האנרגיה של האלקטרונים בעזרת הקטנת בור הפוטנציאל. אם נצר את הבור מרוחב 1 Lאל רוחב 2 , Lכפי שמתואר בשרטוט להלן, הרי שלמערכת תוכנס אנרגיה בשל העבודה שבוצעה על שפתה. הוספת האנרגיה תוביל להעברת אנרגיה לאלקטרון אשר יעלה ברמת האנרגיה.
2L
1L
יש לשים לב כי הצרת הבור אמנם תעלה את הרמות האנרגיה אולם לא ביחס 1 ישר אלא ביחס ריבועי הפוך - 2 . L
ניוון: לכל מצב קוונטי ישנה אנרגיה ויתכנו 2 או יותר מצבים קוונטים עם אותה רמת אנרגיה. הניוון הינו מספר המצבים הקוונטים שיש לרמת אנרגיה. נגדיר לצורך כך את פונקצית החלוקה :
n E (3.9) Z ( ) M l exp l K T 1l B כאשר M lמייצג את מספר המצבים הקוונטית לרמה אנרגטית מסוימת.
דוגמה:
0
א. נתון אלקטרון בבור אינסופי ברוחב . 10מה הסיכוי למצוא את האלקטרון בתחום , 0 x 5 אם ידוע כי הוא נמצא במצב היסוד? ב. כיצד תשתנה התשובה אם החלקיק מעורר לרמה הראשונה? ג. אם אלקטרון נמצא בהסתברות שווה ב- 2 הרמות המעוררות הראשונות, מה הסיכוי למצוא אותו בשליש המרכזי של הבור. 1. פתרון: א. משיקולי סימטריה של צורת הבור, הסיכוי למצוא את האלקטרון בתחום זה הוא ב. גם במקרה זה, ישנה סימטריה בשל צורת הבור, ולכן הסיכוי זהה, 1 . 2 נשים לב שהסימטריה היא סימטריה של פונקצית הגל סביב מרכז הבור. ג. מנתוני השאלה עולה כי ישנו סיכוי זהה להיות ברמה הראשונה או השנייה, ולכן החישוב יהיה:
0
2
12
3 P l x 2l Pn 2 P l x 2l | n 2 Pn 3 P l x 2l | n 3 3 3 3 3 3 1 Pn 2 Pn 3 2
3 2x 2l 2l sin 2 x 3 3 2 2 2x 2 x 2 5591.0 l P l x 2l | n 2 dx sin dx 3 3 2l 2x l l l l 4 3 3 l 3 l
2l
3 P l x 2l n P l x 2l | n 2 n P l x 2l | n 2 P P 3 3 3 3 3 3 3
1 2 5591.0 1 2 1 3
%55.62 1 0.1955 1 1 0.2655 2 3 2
2.4 פוטנציאלים מצורות שונות
1.2.4 פוטנציאל הרמוני נניח כי על גוף פועל כח הפרופורציוני אל המרחק: 1 1 2 F ( x) kx U ( x) kx2 m 2 x 2 2 k 1 E n n m 2
מבחינה קלאסית, חלקיק בעל אנרגיה Eשכלוא בבור פוטנציאל הרמוני ומתנודד בתנועה 1 הרמונית פשוטה , Aכאשר Aתלוי באנרגיה שיש לגוף 2: E kA 2
EK
E
U
A
A
0 | x | A E K
כאשר מתקיים:
ננתח עתה את שקורה מבחינה קוונטית . במצב זה, צפוי כי פונקצית הגל תהיה ממורכזת סביב 0 x ונופלת מחוץ ל- .Aכמו כן צפוי כי ייווצרו רמות אנרגיה בדידות, מצבים אנרגטיי ם מסוימים בהם יכול החלקיק להימצ א. 22
ראשית, נכתוב את משוואת שרדינגר המתאימה למערכת: d 2m 0 E U ( x) 2 dx 2 נציב את הפוטנציאל ההרמוני במשוואת שרדינגר ונקבל: 2 2 d 2mE m 2 0 x 2 dx 2 כעת ננחש פתרון עבור המשוואה הדיפרנציאלית שקיבלנו. הניחוש נובע מהידע המתמטי והפיסיקלי של התנהגות פונקצית הגל: 2 c exp x אם נתבונן מתמטית על הפתרון, הרי שנגזרת שנייה שלו תיתן איברים מן הצורה: 2 x exp x 2 , x 2 exp x 2 , exp xוניתן לקוות כי באמצעות מקדמים מתאימים נוכל להתאים את הפתרון למשוואה הרצויה. פיסיקלית, כאמור, אנו מחפשים פונקציה הממורכזת סביב 0 x בעיקר באזור Aונופלת לצדדים, בשל קיום הכוח המחזיר. אם נתבונן על הפתרון שבחרנו: 2 c exp x
2
' c 2x exp x 2
' ' c 2 4 2 x 2 exp x 2
נציב זאת במשוואה המקורית ונקבל: 2 2mE m 2 2 2 2 c exp x 2 4 x 2 0 x בכדי שיתקיים פתרון לכל xנקבל שתי משוואות: 2mE 0 2 2
m m 4 2 0 2
2
ואם כעת נציב את מסקנת המשוואה הראשונה בשנייה נקבל: m 2mE 2 0 2 2 1 E 2 ולכן m 2 c exp x 2
32
)U (x
) (x
תחומים אסורים במקרה הקלאסי
פונקציה זו היא פונקציה בעלת האנרגיה הנמוכה ביותר באוסילטור ההרמוני, מצב היסוד של גוף הנמצא בבור פוטנציאל הרמוני. יתכנו גם פונקציות נוספות (ניחושים אחרים) שיתנו מצבים מעוררים בעלי אנרגיה גבוהה יותר. במקרה הקלאסי, תנועה של חלקיק בעל אנרגיה Eמוגבלת למרחק Aמהמרכז, כאשר Aנתון על ידי האנרגיה. נשים לב כי בקצה Aמתקבל כי 0 , E U , E K ואילו בנקודות | x | A מתקבל כי 0 E K ולכן החלקיק אינו נמצא שם. נזכר בפתרון שמצאנו לעיל: 1 2 1 E kA U 2 2 A m ואם נכתוב את פונקצית הגל באמצעות : A 1 x 2 c exp 2 A עוד מן השרטוט ניתן לראשות את החדירה של פונקצית הגל הדועכת מחוץ לתחום המותר הקלאסי. פונקצית הגל קטנה ודועכת אך שונה מ- 0 באזורים האסורים קלאסית. 1 הפתרונות האחרים אותם לא בדקנו יוצרים ספקטרום של אנרגיה הנתון ע"י . E n n 2 ספקטרום האנרגיה הזה מאופיין בהפרשים שווים בין רמות האנרגיה, מרחק השווה ל- (הכפולות האי זוגיות של חצאי .)
42
שוני חשוב בין אוסילטור הרמוני קלאסי לקוונטי הוא שבמצב הקלאסי, הסבירות הגבוהה ביותר למצוא את הגוף (למשל קצה מטוטלת) הוא בקצות התנועה, כאשר מהירותה 0 ולה אנרגיה פוטנציאלית בלבד. במצב הקוונטי, המקום הסביר ביותר למציאת החלקיק, על פי פונקצית צפיפות ההסתברות, שונה עבור כל רמת אנרגיה.
בור רגיל
הבור החדש
2.2.4 פוטנציאל כללי מקרה I במצב זה הגדלנו את Lככל שעולים ברמות האנרגיה. מכאן, והמרחק בין רמות האנרגיה הולך וקטן. כמו כן, מתוך פונקצית הסיכוי, ישנה הסתברות לכך שהאלקטרון יהיה מחוץ לבור הפוטנציאל. הבור החדש יהיה אינסופי רק כאשר . x מקרה II ברמת האנרגיה הנמוכה, במקרה זה, הבור אינו אינסופי אלא מגיע עד פוטנציאל של 0 Vולכן קיימת המאפשרות כי האלקטרון יהיה מחוץ לבור. כלומר נקבל : V ( x) x 0 , 2 L x 0 xL 0 V ( x) V ( x) V L x 2L 0
0V
L 2L
52
פרק 5: משוואת שרדינגר עבור מצבי פיזור בפוטנציאל חד מימדי
1.5 משוואת שרדינגר במימד אחד
משוואה זו הינה המשוואה הבסיסית המתארת את הדינאמיקה של הגופים בעולם המיקרוסקופי. משוואת שרדינגר התלויה בזמן (במימד אחד) הינה: 2 d (5.1) ' 'V ( x) i 2m dt פתרונות המייצגים חלקיק בעל אנרגיה קבועה E הם מן הצורה: (5.2) ( x, t ) ( x) exp it והם פתרונות של משוואת שרדינגר הבלתי תלוי בזמן: 2d (5.3) ) 2 V ( x) ( x) E ( x 2m dx
2
התכונות המתמטיות של פונקצית הגל ): (x 1. פונקציה מרוכבת. 2. פונקציה רציפה. d . 3. בעלת נגזרות ראשונה רציפה dx היא צפיפות ההסתברות למצוא
2
את החלקיק במקום ובזמן נתונים. כלומר: הסיכוי למצוא חלקיק בתחום x1 , x2 הינו: . dx
2 1x 2x
המשמעות הפיסיקלית של פונקצית הגל ) * : (x
שפתרונותיה הם פונקציות עצמיות n וערכים עצמיים E n המייצגים חלקיק הנמצא ברמת אנרגיה נתונה . E nרמות האנרגיה הן דיסקרטיות ורק בהן יכול להימצא חלקיק. הפתרונות בהם טיפלנו בפרק הקודם היו עבור מצבים קשורים, חלקיקים כלואים . E 0 בפרק זה נעסוק במקרים בהם 0 , E כלומר חלקיקים חופשיים המתפזרים מפוטנציאל חד מימדי.
משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן היא משוואה של ערכים עצמיים: 2 2 d (5.4) 2 V ( x) n En n 2m dx
62
2.5 בעיות פיזור
ישנו חלקיק חופשי אשר עובר באזור בו פועלים עליו כוחות המשנים לו את התנע, ואז הוא עוזב את האזור.
חלקיק חופשי יוצא (אזור ללא פוטנציאל) חלקיק חופשי נכנס (אזור ללא פוטנציאל) מטרה מפזרת (פוטנציאל)
אפקט קומפטון, עליו דובר בפרק 3, הינו למעשה דוגמה לפיזור פוטונים על מטרה שהיא אלקטרון. בפרק זה נעסוק רק בפיזורים בהם נשמרת האנרגיה (כלומר בעיות שפתרונן מוביל למשוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן) . 1.2.5 פונקצית הגל של חלקיק חופשי
h לחלקיק ישנו תנע חד מימדי, ועל פי דה-ברולי, כפי שמוסבר בפרק 3 נקבל: p נבחר לצורך כך פתרון מתנדנד מן הצורה ( x, t ) A exp i(kx wt )כאשר נגדיר את המשתנים להיות: 2 2 2 2p p p k k E EK h 2m 2m השוני המרכזי בין חלקיק חופשי לחלקיק בבור הינו תנאי הנרמול אשר עבור חלקיק חופשי יהיה:
)5.5(
a
b
2
dx
ba
עם עד עתה טיפלנו בחלקיק בודד, הרי שמעתה נטפל בפיזור של אלומת חלקיקים. נשנה כעת את משמעות של פונקצית הגל מ"סיכוי למצוא חלקיק" ל"מספר החלקיקים" באופן הבא: 2 dx dN
)6.5(
2x
2
dx N
1x
כאשר Nהינו מספר החלקיקים בתחום . x1 , x2
# elec 10 6 תתואר דוגמה: אלומת אלקטרונים הנעה בתנע 0 pבכיוון ציר xבעלת צפיפות של cm על ידי פונקציה בגודל: , 10 3 exp ik o x 0 t כאשר: p 0 k0 2 2 p 0 2 k 0 0 2m 2m # elec * 10 6 cm
72
אלגוריתם הפתרון לבעיות מסוג זה : 1. כתוב את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן לכל אזור. 2. מצא פתרון מתאים ל- . 3. תפור את השפות (רציפות ' ,בקצות התחום). 4. נרמל את הפונקציה. 5. הצב את ומצא את . E דוגמה - מחסום פוטנציאל סופי: נתון מחסום פוטנציאל סופי כפי שמתואר בשרטוט:
V
0V
a x
0V 0
0 xa .o.w
0V
אם נדמה את הבעיה לבעיה קלאסית הרי שניתן להקביל את המצב לכדור הבא עם תנע ואנרגיה לעבר גבעה: והיה והאנרגיה של הכדור גבוהה מן האנרגיה הפוטנציאלית הנדרשת על מנת לעבור את הגבעה, הלה יצליח לעבור אותה. במידה ואנרגית הכדור נמוכה מהאנרגיה הפוטנציאלית הנדרשת, הכדור יחזור לאחור. והיה והאנרגיה זהה לאנרגיה הנדרשת, הכדור יתקע במצב של יציבות גבולית בראש הגבעה.
בעולם הקוונטי החלקיקים יתנהגו שונה. אם נתייחס אל הפוטנציאל כאנרגיה של V0 eV הרי שנקבל את המצבים הבאים: 0 - E Vחלק מן החלקיקים יעברו וחלקם יוחזרו 0 - E Vכיוון שהבור סופי חלק מן החלקיקים יעברו במנהור, חלקם יוחזרו. כלומר תמונת המצב עבור חלקיקים קוונטים תהיה:
Aeix
Beix Ce x Dex
Feix
לפונקצית הגל היוצאת, , outאותה תדירות (אנרגיה) כמו לפונקצית הגל הנכנסת , inאולם . out
2
in
2
האמפליטודה קטנה יותר
82
2.2.5 פתרון בעיית פיזור למחסום פוטנציאל 0 V0 ו- 0E V
1 2 Vo 3
נבדוק פתרונות כלליים מתמטיים עבור כל תחום בבעיה:
ix i x ( x) Ae Be i x i x ( x) Ce De i x i x ( x) Fe Ge 2mE 2 ) 02m( E V 2
0
0
0x 0 xa xa
a
אם נכניס כעת את השיקולים הפיסיקליי ם: 0 - x ננרמל את המקדם של האקספוננט החיובי - x aלא תתכן החזרה, שכן אין מה שיחזיר חלק מהחלקיקים החופשיים ולכן נקבל: ix ix 1e Be 0x i x i x (5.7) ( x) Ce De 0 xa Fe ix xa מתקיימות 4 דרישות עבור תנאי השפה בין האזורים, מהן נחלץ את המקדמים: 1. רציפה ב- 0 1 B C D x 2. ' רציפה ב- x 0 (1 B) (C D)
x a Ce ia De ia Fe ia x a (Ce ia De ia ) Fe ia
i
3. רציפה ב- 4. ' רציפה ב-
ולאחר חישוב המשוואות נקבל:
e i sin( a) cos(a) 2 2 i ik B sin( a)1 e F 2 2 F
נחשב את הסיכוי למעבר והחזרת האלקטרונים ביחס למחסום:
F (5.8) T A 1
2
1 0V )sin 2 (a ) 04 E(E V
מקדם המעבר:
2 2 0 V 1 B (5.9) R sin 2 ( a) מקדם ההחזרה: E(E V ) T 4 A 0 כאשר בהכרח מתקיים משיקולים סטטיסטיים: 1 R T
תופעות מיוחדות עבור מקרה זה : 1. 0 : E Vמתקיים מעבר רזוננסי, מצב בו כל החלקיקים למעשה עוברים את המחסום ולא מוחזרים. במצב זה מתקיים: 0 . T 1, R נחשב את אורכי הגל ואנרגיות הרזוננסים:
0 sin 2 ( a) a n 2
a n
92
)01.5( )11.5(
n
2a n
2 n 2 2 h E n V0 2 2ma
אנרגיית הרזוננס הינה האנרגיה בה תתבצע אותה העברה מלאה, בדומה למצב הקלאסי. למעשה בצידו השמאלי של מחסום הפוטנציאל מתבצעת התאבכות הורסת אשר מבטלת את החלקיקים החוזרים, דבר הגורר ישירות מעבר של כל השאר. 2. העברה מינימאלית: 2 sin 2 ( a) 1 a n 1 2 a n 1 2 2a (5.12) n 1 n 2 4 (5.13) Tm in 2
1
2 Vo
3
3.2.5 פתרון בעיית פיזור למחסום פוטנציאל 0 V0 ו- 0E V
באופן דומה נקבל עבור מקרה זה:
0 0 a
2mE i x i x 0x ( x) Ae Be 2 ) 2m(V0 E (5.14) ( x) Ce x De x 0 xa 2 ( x) Feix xa לאחר שנפתור באופן דומה את המשוואות נקבל: ik e F i sinh(a) cosh(a) 2 ולכן מקדם ההעברה יהיה: 2 1 F T 2 0V A 1 ) sinh 2 (β (5.15) )4 E(V0 E 2 R B 1 T A
מקדם ההעברה שונה מ-0, מכאן שהחלקיקים עברו דרך מחסום, תופעה הנקראת "מנהור". 03
תופעות מיוחדות במקרה זה: 1. 0 : E Vבמצב זה מתקיים
2 2 ) sin ( a) 0 a (a 0E V ולכן מקדם ההעברה יהיה: 1 T 2 ) 1 ( a במצב הקלאסי של מקרה זה, הכדור נעצר במצב שיווי משקל בראש המחסום.
2 2 2
2. 0 : E Vבמצב הקוואנטי, בגבול זה מתקיים 1 (a ) ולכן יתקבל מקדם העברה מן הצורה:
a 1 1 1 1 T 2 2 2 2 a 0V 0V 0V e e 2 a sinh( x) 1 e x 1 1 ) sinh 2 (β )4 E(V0 E 4 )4 E(V0 E 61 )E(V0 E 2 16E(V0 E) 2 a (5.16) T e 0V
נגדיר מקדם חדירה, הרכיב אשר קובע בפועל את אחוז החלקיקים שיעברו כביטוי: 2m (5.17) e 2a exp 2a [V0 E ] 2
4.2.5 פתרון בעיית פיזור עבור בור פוטנציאל 0 V0 בחוץ ו- V0 E נפתור באופן מפורט, בהתאם לסכמת הפתרון שפורטה לעיל.
1 E
2 Vo
3
-a
שלב א' - רשימת משוואות שרדינגר ופתרונן לכל אזור: 1. לפני הבור ( :) x aהפוטנציאל הינו 0 V Vולכן משוואת שרדינגר תהיה: 2 ) ( x ) E V0 ( x 2 2m x הפתרון למשוואה דיפרנציאלית מסדר שני בצורה זו הינו: ) 2m(V0 E ( x) Ge x De x 2 אבל נשים לב כי לא יתכן ש- Ge xיקיים את התנאים משום שנרצה פתרון אשר דועך ב- ומכאן בהכרח 0 G ויישאר: ) 2m(V0 E ( x) De x 2 2. בתוך הבור ( :) | x | aהפוטנציאל הינו 0 V ולכן משוואת שרדינגר תראה בצורה:
0 a
) 2 ( x ) E ( x 2 2m x
13
:הפתרון למשוואה דיפרנציאלית מסדר שני בצורה זו הינו 2mE ( x) A sin x B cosx 2 :) x a ( 3. מעבר לבור 2 ( x) E V0 ( x) 2m x 2 :הפתרון למשוואה דיפרנציאלית מסדר שני בצורה זו הינו 2m(V0 E ) ( x) Ce x Fe x 2 x יקיים את התנאים משום שכך צפיפות ההסתברות תהיהFe -אבל נשים לב כי לא יתכן ש : ונקבלF 0 אינסופית כאשר נתקרב אל אינסוף. מכאן ובהכרח 2m(V0 E ) ( x) Ce x 2 :ולכן נקבל כי הפתרון הכללי של הבעיה יהיה
1) (5.18) ( x) 2) 3) Dex A sin( x) B cos(x) Ce x
2m(V0 E ) 2 2mE 2
:שלב ב' - קישור גבולות האזורים
(1) (2) (3) (4) A sin a B cosa Ce a A sin a B cosa De a (1) (2) (5) 2 A sin a C D e a (1) (2) (6) 2 B cosa C D e a
A cosa B sin a De a
A sin a B cosa Ce a
(3) (4) (7) 2 A cosa C D e a (3) (4) (8) 2 A sin a C D e a
:)6( ניתן לחלק את משוואה (8) במשוואהC D וכןA 0 עבור (9) cota :)5( ניתן לחלק את משוואה (7) במשוואהC D וכןB 0 ועבור (10 ) tana . cotx - וtanx משוואות 9 ו-01 אינן יכולות להתקיים בו זמנית בגלל הקשר בין :עקב כך נקבל שתי משפחות פתרונות אפשריים tana : C D , A 0 .1 cota : C D וכןB 0 .2 : אזי נקבל a , a :אם נגדיר מעבר משתנים באופן הבא tan tana .1 cot cota .2 :אם נתבונן על הביטוי הבא
32
a
2 2 2 2
2
2 0 2m(V0 E ) 2mE 2ma V a 2 2 2 2
המתואר על ידי קבועי הבעיה.
02ma 2V נתקבל מעגל ברדיוס של 2 ציור גרפי של משפחות הפתרון ייתן:
הפתרון הגרפי מייצג את פתרונות האנרגיה המותרים, אשר הם נקודות המפגש של הגרף הטריגונומטרי עם המעגל. 2 V0 יש פתרון רק מן הפתרון הגרפי המתואר לעיל קל לראות כי עבור הפוטנציאל 2 2ma 2 4 V0 ישנו פתרון משתי המשפחות. ממשפחת tan בעוד שעבור 2 2ma
33
5.2.5 פתרון בעיית פיזור עבור 0 E 0 ,V0
1 2 0 3
0
-Vo a
2mE Ae jx Be jx )1 2 ) 2m(V0 E (5.19) ( x) 2) C sin( x) D cos(x) 2 j x Ge )3 במקרה זה נקבל מקדם העברה של :
G (5.20) T A
2
1 1 0V ) sin 2 (β ) 04 E(E V
2
J
צפיפות זרם: היחס בין מספר החלקיקים שעוברים ליחידת זמן וליחידת שטח. יסומן באות # ובעל יחידות של sec m 2
J
V N vtA # olume v 2 tA tA tA sec m
במקרה הקלאסי נקבל:
ואילו במקרה הקוונטי: עבור Ae ixהרי ש:
2 A
2
v
2EK m
EK 2mv 2
2 2 E A (5.21) J m m m
6.2.5 פתרון בעיית פיזור עבור מדרגה 0 V0 ו- 0E V
1 2 Vo
0
)1 (5.22) ( x) )2
Ae jx Be jx De x
2mE 2 ) 02m( E V 2
במקרה זה ישנה החזרה מלאה של החלקיקים כיוון שהמדרגה אינסופית, כלומר המחסום אינו נגמר. למעשה כל חלקיק אשר יחדור אל תוך המחסום, האנרגיה שלו תדעך ל- 0 אקספוננציאלית.
43
7.2.5 פתרון בעיית פיזור עבור מדרגה 0 V0 ו- 0E V
1 2 Vo
0
2mE jx jx 1) Ae Be 2 (5.23) ( x) ) 02m( E V )2 De jx 2 אם נתבונן על מקדם ההעברה ומקדם ההחזרה עבור מקרה זה: V 0 1 E
C (5.24) T A
2
2 1
4
2
1 2 B (5.25) R 2 A 1
תופעות מיוחדות במקרה זה: 0 : E Vבדומה למחסום הסופי שתואר לעיל, גם במקרה זה מתקיים מעבר רזוננסי, כלומר כל החלקיקים עוברים ולא חוזרים. 0 1 T 1, R כאשר מחפשים את הרזוננס הראשון, כלומר המקרה הראשון בו 1 , T אזי נתבונן באנרגיה הנמוכה ביותר )1 (n וה- aעבורו הדבר יקרה הינו:
0 sin 2 (a) a n
2m E V0 2
a
2mE R V0
n
53
3.5 מעבר דרך מחסום פוטנציאל
1.3.5 פתרון בעיית מנהור עבור מחסום פוטנציאל כללי
2x (5.26) T exp 2mV ( x) E dx 0
0
x
2.3.5 זמן אופייני למעבר מחסום
E
- זמן החיים, הזמן עד אשר ייווצר מנהור והאלקטרון יצא מבין המחסומים - tהזמן בין התנגשויות - fמספר הפגיעות ביחידת זמן
L
- Lרוחב המחסום - Pמספר המעברים דרך מהמחסום בשנייה אחת - Tהסיכוי לעבור את המחסום מתוך הגדרות אלו נבנה את הקשרים הבאים:
2 mv v 2 L t v 1 v f t L P fT E 2E m
(5.27)
1 L m fT T 2E
3.3.5 פונקצית העבודה ישנן 3 שיטות לשליפה אלקטרונים ממתכת: 1. הארה על המתכת: פוטונים בעלי אנרגיה פוגעים באלקטרונים שבמתכת ומעבירים להם אנרגיה. 2. חימום המתכת: בטמפ' 0 כל האלקטרונים ממוקמים תחת רמת פרמי. החימום משמעותו העלאת האנרגיה במערכת ובכך גם העלאת אנרגית האלקטרונים. 3. שליפה קרה: באמצעות תהליך מנהור. האלקטרונים בדרכם אל מחוץ למתכת יעברו דרך אזור אסור. הדבר יתבצע באמצעות שדות חשמליים, הנוצרים על ידי השמת פוטנציאל חשמלי חיצוני (השמת קתודה במרחק אנגסטרמים ספורים מן המתכת) . להלן תיאור גרפי של תהליך השליפה הקרה:
+ + + +
מתכת
63
פונקצית העבודה הינה כמות האנרגיה המינימאלית הנדרשת לשליפת אלקטרון מן המתכת.
)V (x
x W
e
W
EF
x
עבור 0 : x V ( x) W ex נחשב את הסיכוי של אלקטרון בודד ברמת פרמי לעבור את מחסום הפוטנציאל. 2 x W e 2 2m x W e T exp 2mV ( x) E dx exp W ex dx 0 0 3 W 3 2m W 2 2 2m 2W ex e exp exp 3e 4 e 0 3 3 2m W 2 (5.28) T exp 4 e בפועל נקבל מקדם העברה מאוד קטן אולם מספר האלקטרונים יהיה מאוד גדול. משוואה (82.5) ידועה גם בשם . Flower Nordheim equation נשים לב כי הזנחנו את השינוי בפוטנציאל החשמלי כתוצאה ממשיכה בין האלקטרונים שיצאו מהמתכת ומטעני הדמות החיוביים. במרחקים קטנים בין האלקטרודה והמתכת אין אפשרות להזניח את אי האחידות של פני המתכת.
4.5 מנהור רזוננטי
J
0E V
d זרם הסתברות: יוגדר על ידי * dt
1T
0E V
0V
T R
73
ישנן רמות האנרגיה ספציפיות עבורן 1 . T בתופעה זו משתמשים בבניית התקנים אלקטרונים.
1E
0V
T
R
1 | T |
1E
E
אם נחפש את אותן אנרגיות אשר יתאימו להעברה מלאה דרך שני המחסומים T 1, R 0נקבל גרף מן הצורה: ככל ש- 0 Vיותר גדול כך נקבל עקומה צרה יותר. נרצה בתכנון הנדסי לקבל מערכת שתעביר מספיק זרם אולם ללא מימדים גדולים. נשאף מצד אחד למרווח צר בין שני המחסומים בכדי לא לאבד את ה"כיוון" הקוונטי ומן הצד השני אם נעשה אותו צר מידי נאבד את הדיוק. דוגמה ממבחן - מועד א' 0002
E
0V
נתון מחסום פוטנציאל שגובהו . V0 10 eVלאלומת אלקטרונים הנעה משמאל לימין עם אנרגיה E 12eVישנו רזוננס ראשון במקדם העברה ( Tברזוננס 1 .) T א. חשב את מקדם ההעברה כאשר האנרגיה היא . E 8eV
פתרון: למעשה חסר לנו רוחב המחסום לצורך הצבה במשוואה. את רוחב המחסום נחלץ מהשוואת הביטוי של מקדם המעבר ל- 1, כאשר נדרוש רזוננס ראשון, כלומר פעם ראשונה שזה קורה. 1 T 1 sin (a) 0 a n 0V 2 1 ) sin (β ) 04 E(E V
2mE V0 2
a
12mE V0 n
n
4.3 10 10 m 4.3
0
כעת ניתן להציב גודל זה עבור האנרגיה הנתונה:
500.0 0V 2 1 )sin (a 0 ) 04 E(E V a 4.3 , E 8 eV נשים לב שהגודל של מקדם ההעברה מאוד גדול, כמקדם העברה. לרוב נקבל מסדר J 6 . 01 T 1
83
ב. אם מחסום הפוטנציאל יהיה בור פוטנציאל שעומקו כגובה המחסום ורוחבו כרוחב המחסום, באיזו אנרגיה יהיה רזוננס ראשון במקדם ההעברה? פתרון: בהתאם לחישובים שחושבו לעיל הרי שמקדם ההעברה בבור פרופורציוני לגודל: ) 02m( E V 1 T 2 )1 sin (a 2 2 2 2 n E V0 3.2 10 19 [ J ] n 2 2[eV ] n 2 18 eV E 8eV 2 2ma 3n
מוסיפים מחסום פוטנציאל הזהה למחסום של סעיף א', במרחק של d 10 מהמחסום הראשון. הערך את הזמן שאלקטרון עם אנרגיה של E 8eVישהה בין המחסומים לפני שיצליח לצאת החוצה.
0
ג.
פתרון: T נחשב את הזמן בצורה פשטנית. כאשר החלקיק נמצא ליד אחד המחסומים, ישנו סיכוי שהוא יעבור את המחסום. למעשה עלינו לחשב כמה פעמים בשנייה אחת הוא מבצע "זיגזג" בין המחסומים. - Pמספר המעברים בשנייה, כאשר fיוגדר להיות מספר "ההגעות" בשנייה אל נגדיר המחסום: P f T , כאשר : הזמן האופייני למעבר יהיה 1 1 P f T d 10בין המחסומים (מרחק התנועה שיש לחלקיק ביניהם) ומהירות
E EK 2 mv 2 v 2E m
0
עבור מרחק vנקבל:
2E v 2E f m d d 2 md 1104 sec כיוון שמלכתחילה היה לנו מקדם העברה גבוה, הרי שקיבלנו זמן קצר (יחס הפוך ביניהם).
93
שימושי תופעת המנהור בחלק זה יוצגו בקצרה מספר שימושים לתופעת המנהור. הנושא יובא באופן מפורט בפרקים הבאים. 1.4.5 מולקולת 3 ( NHאמוניה) אטום החנקן יכול להמצא באחד משני קודקודי הפירמידה המשולשת ומבצע מנהור ממצב אחד למשנהו. התהליך מתבצע הלוך ושוב בתדירות אופיינית של . 2.38 10 10 Hz
N
)V (x
H
H
E
N
H
2.4.5 התפרקות של גרעינים רדיואקטיבים חלקיק מוגדר כחלקיק לו , 2 p2nכאשר A, Z A 4, Z 2 על חלקיקי פועלים שני כוחות עיקריים: 1. כוח חזק מושך בעל טווח קצר (רדיוס הגרעין) 1 2. כוח חשמלי דוחה חלש, אבל בעל טווח אינסופי V r הגרעינים אינם יציבים וההתפרקות מתבצעת באמצעות מנהור דרך מחסום הפוטנציאל. זמן מחצית ההחיים של גרעין נקבע על ידי הסיכוי למנהור: 2 a 2m Z Z e 1 2 E dx T exp 2 2 R x 2 Z1 Z
2 Z2
5.5 חבילת גלים ועיקרון אי הוודאות
העיקרון מתאר את העובדה שלא ניתן לדעת בוודאות מלאה היכן נמצא חלקיק ובו בזמן לדעת בוודאות מלאה את התנע/אנרגיה שלו. כלומר, מתקיים קשר הפוך בין ידיעת מיקומו x לידיעת התנע שלו . p 1.5.5 שימוש בחבילת גלים נתבונן בפתרון משוואת שרדינגר עבור חלקיק חופשי כאשר 0 : V ( x)
( x, t ) A expikx t A exp
i p x x Et אולם, בהתאם לנכתב בפרקים קודמים עולות שתי בעיות:
04
1. ישנה בעיית נרמול, שכן האינטגרל ( x, t ) dxמתבדר.
2
2. הביטוי מתאר חלקיק בעל תנע נתון , pאולם מיקומו אינו ידוע כלל (הסיכוי להימצא בכל xשווה). בכדי לתאר חלקיק שמיקומו "ידוע" ויש לו תנע "ידוע" ניצור חבילת גלים. מאחר ומשוואת שרדינגר ליניארית, הרי שגם הביטוי הבא מהווה פתרון עבור חלקיק חופשי: i p x Et (5.29) ( x, t ) A exp x p x dpx נשמיט תחילה את התלות בזמן (נדרוש 0 :) t
( x) ( x, t 0) A expikxg (k )dk
g (k ) exp k k0 שהרוחב שלה הינו
2
אם נבחר את ) g (kלהיות פונקציה גיאוסיאנית
k 0 אזי נקבל כי:
1
( x) A expikxexp k k 0 2 dk A expik0 xexp
x2 4
14
ולכן הסיכוי למצוא חלקיק המתואר על ידי חבילת גלים נתון על ידי x2 2 (5.30) ( x) AA* exp 2 כלומר פונקציה גיאוסיאנית בעלת רוחב . k0 2 נתקבל למעשה קשר בין גודל אי הוודאות במיקום החלקיק לבין אי הוודאות בתנע שלו. p x k 1 ~ kx 1 ~ 2 (5.31) xP נוסחה (13.5) ידועה כ"עקרון אי הוודאות של אייזנברג". ניתן לקבוע את מיקום החלקיק בכל דיוק רצוי (כלומר להקטין את xלכל ערך רצוי) אולם במחיר של הגדלת אי הוודאות בתנע (הגדלת ) p xולהיפך. מאחר ו- מאוד קטן, אין הוא משפיע בעולם המאקרוסקופי למרות חשיבותו העצומה בעולם המיקרוסקופי. הראינו זאת עבור פונקציה גיאוסיאנית, אולם בגלל התכונות של טרנספורם פורייה, הדבר ניתן להכללה לכל פונקציה. ככל שנתמקד יותר במקום, ידרשו יותר גלים לחבילת הגלים, ולכן התנע יהיה ידוע פחות. לדוגמה: ) g (k
x
4 1k
k 1 2
1k 2
k
אם נשוב להתבונן בנוסחה ( 92.5), בה קיימת התלות בזמן, ניתן לראות כי תלות זו בזמן הינה למעשה פונקצית גל הנעה במהירות (k ) dE d p 2 p (5.32) v g k dp dp 2m m וכמו כן, חבילת הגלים מתרחבת כתלות בזמן:
2
wo
2
wt
x vg t
wt
w0
0x
0t
24
ברגע
0t
ברגע
2.5.5 אי הודאות בזמן ובאנרגיה תהיה ) ( x, tפונקצית הגל המתארת חלקיק חופשי. עבור 0 x xנקבל ) , ( x xo , t ) (t פונקציה התלויה בזמן בלבד. אם נפתח את ) (tכטרנספורם פוריה של נקבל:
(t )
1 2
G()e
it
d G( )
1 2
(t )e
it
dt
ובאותו האופן, כפי שראינו בסעיף 1.2.5, ניתן להגיע לביטוי 1 t ומשם לאי השיוויון: (5.33) Et את משוואה (33.5) ניתן לקבל גם על ידי:
v x x t t v 2p E p mv Et xP 2m dE p E p p vp dp m
משמעות משוואה (33.5) היא כי באינטרוואל זמן קצר tאין אפשרות לדעת (למדוד) את ~ . E האנרגיה של החלקיק בדיוק טוב יותר מאשר t 3.5.5 עקרון אי הוודאות כמסביר תופעות שונות בהן דנו בפרקים קודמים א. מדוע רמת היסוד של פוטנציאל הרמוני שונה מ- 0? אם האלקטרון נמצא ברמת אנרגיה השווה ל- 0 הרי שהוא נמצא בקודקוד הפרבולה. בקודקוד ישנה 0 אי וודאות בנוגע למיקומו וכן 0 אי וודאות בנוגע לתנע שלו (מהירותו 0) ולכן ישנה סתירה לעקרון אי הוודאות והמצב לא יתכן. ב. מהי האנרגיה המינימלית של חלקיק הכלוא בבור פוטנציאל נתון ? סטיית תקן: הפיזור הבסיסי במדידות, מוגדר על ידי: 2 a a 2 a ניתן להשתמש בהגדרת סטיית התקן ובעיקרון אי הוודאות על מנת לקבוע חסם תחתון לאנרגיית רמת היסוד של חלקיק הכלוא בבור פוטנציאל שגודלו נתון. נשתמש בהגדרת התנע: 2 p 2 p 2 p
2
EK
2p 2m p
2
2p
0
2 m
p
0
2
2m 1 2m 2x
2
EK
2m
2p
2m
ג. כיצד יתכן שחלקיק נמצא באזור האסור מבחינה אנרגטית? קשרנו בין עקרון אי הוודאות בזמן ובאנרגיה ותופעת המנהור בה דנו קודם לכן. החלקיק המבצע את המנהור יכול להימצא באזורים בהם לא "משתמרת אנרגיה" במשך זמן קצר ומוגבל tהמאפשר את Eהנ"ל. אם הזמן קצר כך שאין אפשרות לקבוע את האנרגיה אזי אין משמעות ל"אי שימור האנרגיה".
34
פרק 6: גז אלקטרונים כמודל פשוט למתכת
כאשר מזניחים את קיום היונים (האינטראקציה האלקטרוסטאטית שלהם) וכאשר מזניחים את האינטראקציה בין האלקטרונים ניתן לתאר אלקטרונים במתכת כגז של אלקטרונים חופשיים הכלואים בבור פונטציאל. בפרק זה נציג את גז האלקטרונים החד, הדו והתלת מימדי ותכונותיהם. חשוב להדגיש, כי על גז האלקטרונים ניישם תנאי שפה מחזוריים.
1.6 מושגים בסיסיים
1.1.6 הגדרות כלליות - צפיפות מסה, ביחידות של מסה ליחידת אורך/שטח/נפח. # - Zערכיות (כמה אלק' מכל אטום) atom - Nמספר אבוגדרו, ערכו המספרי 6.022 1023 gr A mole gr - Aמסה מולארית mole - Nמספר האלקטרונים ) - g (kצפיפות המצבים במרחב התנע J ) - D(Eצפיפות מצבי האנרגיה, ביחידות של m 3 - n eצפיפות מספר האלקטרונים החופשיים ליחידת אורך/שטח/נפח (בהתאם למע' בה עובדים).
1 1 N A Z 3 N A Z 10 6 3 A cm A m - E Fרמת פרמי. יש לציין כי רמת פרמי אינה משתנה לאחר הפעלת מתח וקבועה עבור כל חומר. - הפוטנציאל הכימי (6.1) ne
2.1.6 גדלים מאפיינים וקשרם אל צפיפות המצבים
ne
EF
* D( E )dE g ( p)dp 0
*
PF
צפיפות מספר האלקטרונים החופשיים הקשר בין צפיפות מצבי האנרגיה לבין צפיפות מצבי התנע אנרגיה ממוצעת של אלקטרון
0
D( E )dE g ( p)dp
EF
E
E D( E )dE
0 EF
D( E )dE
0 *
pF
p
pg
0 pF
התנע הממוצע
( p )dp
g
0
*
( p)dp
EF
Etotal N E neV E neV ED( E )dE
0
האנרגיה הכללית הלחץ אותו מפעילים אלקטרונים חופשיים
dE P total dV
44
2.6 גז אלקטרונים חד מימדי
2 nx sin L L
פונקצית הגל צפיפות מספר האלקטרונים החופשיים מספר האלקטרונים צפיפות מצבי האנרגיה צפיפות המצבים במרחב התנע רמת פרמי האנרגיה הממוצעת האנרגיה הכללית התנע הממוצע
1 pF 2
2 1 2m E 2 1 L 2m N 2 E ne 2
Etotal
n 1 2m D( E ) e E 21 E L g (k ) 2 2 2 2 N EF 28mL 1 E EF 3 2 1 1 2 2 N e N e E N e EF 3 23 8mL
pF
p
p dp
0 pF
4
dp
0
4
P
dE 2 2 N e 3 P ne 3 dL 8mL
2
הלחץ
3.6 גז אלקטרונים דו מימדי
2 n x n y sin x sin y L L L
mE 2 L2 mE N 2 n m 2 D( E ) e E ne
פונקצית הגל צפיפות מספר האלקטרונים החופשיים מספר האלקטרונים צפיפות מצבי האנרגיה צפיפות המצבים במרחב התנע רמת פרמי
L g (k ) 2 2 ne EF m
2
54
Etotal
1 EF 2 2 1 1 2 N e N e E N e EF 2 3 2mA 2 E
pF
האנרגיה הממוצעת האנרגיה הכללית התנע הממוצע
p
p
0 pF 0
p dp 2 p
2
dp
2
2 pF 3
dE 2 N e 2 P P ne 2 dL 2mA
הלחץ
4.6 גז אלקטרונים תלת מימדי
2 2 n x n y n z sin x sin y sin z L L L L
N 2mE 2 ne 3 2 2 3 L L3 2mE 2 N 3 2 2 n 1 D( E ) e E 2 2 2m 2 2 2 E
1 3 3 3
3
פונקצית הגל
צפיפות מספר האלקטרונים החופשיים
מספר האלקטרונים צפיפות מצבי האנרגיה צפיפות המצבים במרחב התנע
L g (k ) 2
2
3
2 (3 2 ) 3 N 3 EF 2m V
2
רמת פרמי האנרגיה הממוצעת
2
E
Etotal
3 EF 5
3 3 2 2 3N e 3 N e E N e EF Ne 5 5 2mA 2 V
pF
האנרגיה הכללית התנע הממוצע
p
p
0 pF
p2 dp 2 3
2
0
p dp 2 3
2
3 pF 4
5 dE 2 2 3 3 5 P ne 3 P ne 3 dL 5m
הלחץ
46
חשוב לציין כי לא מוצמדים שני החומרים ישירות אלא ביניהם ישנה שכבה מבודדת (אוקסיד) צרה מאוד.
פרק 7: אפליקציות מנהור
1.7 שתי מתכות זהות - עם הפעלת מתח חיצוני
V
5 10 A
המתח אשר מופעל על המתכות יעניק לאלקטרון בודד הנמצא במתכת השמאלית אנרגיה קינטית של . 1eVעל כן, במעבר המנהור, האלקטרון הלה יכנס אל רמת אנרגיה הגבוה יותר מזו שהוא יצא בגודל של . 1eVיש לזכור כי מדובר ברמות קוונטיות, ועל כן יתכן מצב בו לא תהיה רמת אנרגיה מתאימה עבור הפרש זה בדיוק. עם זאת, רמות האנרגיה המותרות כה צפופות ועל כן הפרשים קטנים הינם זניחים. ההצגה המוסכמת הבאה מציגה את ההפרש בין רמות האנרגיה המותרות הנובע מהשמת המתח. יש לציין כי רמת פרמי אינה משתנה כתוצאה מהשמת מתח . הצגה זו נועדה להדגיש כי כעת ישנם מצבי אנרגיה מותרים במתכת הימנית כתוצאה מהוספת האנרגיה לאלקטרונים מן המתכת השמאלית.
L EF 1eV
1eV
R EF
יש לציין כי והיה ונפסיק את השפעת המתח החיצוני, הרי שהאלקטרון ישוב אל רמת האנרגיה המקורית אותה הוא אכלס במתכת השמאלית. הסיכוי במצב זה שהאלקטרונים יעברו מן המתכת השמאלית אל הימנית (מן התחום של 1eV בלבד כמובן) הינו, על פי פונקצית פרמי דיראק: 1 (7.1) f FD E 1 exp K BT נפתח כעת ביטויים למציאות זרם המנהור. הסיכוי למעבר אלקטרון משמאל לימין הינו: L, R f ( ER )1 f ( ER )D( EL )dEL כאשר: - L, Rהסיכוי ליחידת זמן לעבור מרמת אנרגיה E Lאל E R ) - f ( ERהסיכוי שרמת האנרגיה E Lתהיה מלאה - 1 f ( E R )הסיכוי שישנו מקום פנוי ברמת האנרגיה E R ) - D( ELצפיפות המצבים ליחידת אנרגיה ברמת האנרגיה E L
(7.2) J L, R
74
אם נתבונן ברכיבי הביטוי : L, R
L , R
2 2 2 D( E R ) ( E L , E R ) ) D( E R
E 0 exp L 2m(V0 E0 ) T
1 since E R EL
E R EL
) 0 exp L 2m(V0 E
בכל מחסום ישנה אי וודאות של החלקי להגיע לתחום : - Lרוחב המחסום ) - D(Eמספר הרמות 2 הסיכוי ליחידת זמן לעבור את המחסום תחת ההנחה כי DL DRנקבל:
2 2 D( E L ) D( E L 1eV )1 f ( E L 1eV )dEL בשל המתח בין הצדדים נתייחס אל E R E L 1eVכיוון שהאלקטרון למעשה הרוויח אנרגיה. J L,R
לכאורה עולה בעיה שכן האלקטרון הרוויח אנרגיה וכיוון שמתקיים שימור אנרגיה – מי הפסיד אותה? מקור המתח הוא המספק מטען חלופי המשלים את מקומו של האלקטרון העובר מן המתכת השמאלית אל הימנית. למקור התנגדות 0. השפעת הטמפרטורה אם נתבונן על פונקצית פרמי דיראק הרגילה והשפעת הטמפרטורה על צורתה: 0T 0T
) f (E
)1 f ( E
) f (E
)1 f ( E
1
)1 f ( E
) f (E
1
0
EF
0
EF
וכעת נתבונן על פונקצית פרמי דיראק ) : f ( E 1eV
0T
) f ( E 1eV
) 1 f ( E 1eV
1
0
eV
EF
מכאן ולמעשה כאשר נעשה אינטגרל על המכפלה f ( E L ) f ( E L 1eV )dELהאינטגרל לא יתאפס רק בתחום , E F 1eV , E F מאחר ואלו הרמות אשר בהן ניתן לבצע למעשה את העברת האלקטרון.
84
:האינטגרל בטמפ' 0 יהיה
J L,R 2 2 D( E L ) D( E L eV )dEL EF eV :כאשר ניתן לכתוב אותו באופן מקביל כ
EF
J L,R
2 2 D( E F 1eV ) D( E F )d 0
eV
: D(E ) נבחן כעת שני מקרים עבור
D( E ) const D )1 .נשים לב כי מקרה זה תקף במקרה של מערכת דו מימדית, בה הצפיפות הינה קבוע 22 D 2 eV J L,R 22 D 2 e 2V I ()eJ L. R J R , L V
G0
R0
1 1 2 G0 e 22 D 2
.מייצג התנגדות קוונטי, הנובעת מעקרון אי הוודאות ומטען האלקטרון
J L,R
כאשר הביטוי e2 :אם נדון בנושא הטמפרטורה הסופית נקבל ביטויים מן הצורה 22 D 2 f ( EL )1 f ( EL eV )dEL 0
J R,L
(7.3) I eJ LR 22 D 2 J RL
22 D 2
f (E
0
L
eV )1 f ( EL )dEL
2 2
2 D f ( E L ) f ( E L eV )dEL
0
eV 1 exp K T B
1
D( E ) D0 E
J L,R 22 D0
2 eV
2
)2
0
22 D0 E F eV E F d
2
2 eV
eV 2 EF 2 4EF 0
2 d
1
I ()eJ L , R
22 D0 E F e 2
2
eV 2 G V G V 3 1 0 1 2 12E F
2
22 e 2 D0 E F 22 e 2 D( E F ) G0 2 4 2 D( E F ) e G1 2 E F
49
ולכן המוליכות במצב זה תהיה:
)4.7( )5.7(
G
dI 2 G0 3G1V dV 3 I G0V G1V
קל לראות כי התיקון במוליכות במקרה זה פרופורציוני למתח בריבוע.
2.7 שתי מתכות שונות
כאשר מדובר בשתי מתכות שונות, להן רמת פרמי שונה (הנובעת מתכונות החומר) הרי שללא מתח חיצוני ייווצ ר שדה פנימי, בשל הפרש הרמות המותרות, אשר יוביל לתנועת אלקטרונים מן המתכת השמאלית (לה רמת פרמי גבוהה יותר, למשל) אל הימנית עד אשר רמת האנרגיה תהיה שווה. לא מדובר בתנועה של רמת פרמי (אשר כפי שהודגש קודם לכן, אינה משתנה אלא גודל קבוע עבור החומר), אלא לשוויון בין האנרגיות של החומרים תחת טמפרטורה 0.
V E F
E FL E FR
מתח זה, אשר ייווצר עם קירוב שתי המתכות יכונה מתח מגע וגודלו יחושב על ידי הביטוי: E F (7.6) Vcontact e מתח המגע יהיה המתח אשר למעשה ימנע מעבר אלקטרונים נוספים, לאחר מעבר הבודדים אשר יצרו אותו. אותו מתח מגע משווה את הפוטנציאלים הכימיים של שתי המתכות.
3.7 מגע מתכת - מוליך למחצה
המוליך למחצה הינו למעשה מוליך בעל פער אנרגיה, כלומר תחום בו לא יתכנו רמות אנרגיה 1 מותרות. בעוד שמתכת צפיפות נושאי המטען הינה מסדר גודל של 10 7 שמשמעה כ- 42 01 eV נושאי מטען ליחידת נפח, הרי שבמל"מ ישנו מספר נמוך בהרבה של נושאי מטען ליחידת נפח, כ- 02. 1018 במל"מ נגדיר שני פסי אנרגיה: פס ההולכה - - E cממוקם מעל רמת פרמי, מעיד על קצהו העליון של הפער האסור ברמות האנרגיה. עבורו נגדיר צפיפות מצבים כ- . Dc פס הערכיות - - E vממוקם תחת רמת פרמי, מעיד על קצהו תחתון של הפער האסור ברמות האנרגיה. עבורו נגדיר צפיפות מצבים כ- . Dv דרך פשוטה להבחין בין מל"מ למתכת הוא מיקום רמת פרמי, אשר במתכת נמצאת בתוך פס ההולכה.
05
V
metal
semi .cond
נבחן כעת אופיין הזרם-מתח תחת מצבי שונים. כאשר המתח 0 V וכן 0 T נקבל את תמונת הפסים הבאה:
Dc
EF
0D
Dv
Eg
אשר משמעותה היא שמתח המגע איזן בין הפוטנציאלים הכימיים של שני החומרים. מעל רמת E cישנם מצבי אנרגיה אפשריים ריקים ותחת E vכל מצבי האנרגיה מלאים. יש להדגיש כי המרחק בין רמת פרמי ל- E vזהה למרחק בין רמת פרמי . E cנדגיש כי גם במתכת כל רמות האנרגיה תחת רמת פרמי מלאות (בשל הטמפרטורה). 1 בכדי שאלקטרון יעבור מהמתכת אל המל"מ נצטרך להוסיף לו אנרגיה של לפחות E gבכדי 2 שיעבור את מחסום הפער האסור (תחת הנחת צפיפות ו- קבועים). Eg אם נעבור את מתח הסף V הרי שנקבל את תמונת הפסים הבאה: 2e
E e V g 2e
ולכן אופיין זרם-מתח יהיה מן הצורה:
I
Eg 2e
V
ושיפועו החל ממתח הסף יחושב על פי:
15
2 2 Do Dc e עבור טמפרטורה הגדולה מ-0 נקבל למעשה את אותה צורת אופיין רק עם שיפוע (כלומר התנגדות) יותר קטן. Rms
2
בכדי שאלקטרון יעבור מהמל"מ אל המתכת נצטרך לשים מתח הפוך בכיוונו (תחת הנחת צפיפות ו- קבועים) זהה לפחות בגודלו. Eg אם נעבור את מתח הסף V הרי שנקבל את תמונת הפסים הבאה: 2e
ולכן אופיין זרם-מתח יהיה מן הצורה:
I
Eg 2e
V
Rms
ושיפועו החל ממתח הסף יחושב על פי: 2 2 Do Dv e
2
25
4.7 מיקרוסקופ מנהור סורק
מיקרוסקופ המנהור הסורק הינו טכנולוגיה אשר פותחה בשנות השמונים המאפשרת צפייה במשטחי חומרים מוצקים ברזולוציות גבוהות במיוחד (רמת האטום הבודד). במסגרת פעולת המיקרוסקופ סורקת מחט (בעלת קצה העשוי מאטום בודד) במרחק אנגסטרמים בודדים פני שטח של חומר תוך העברת זרם הנשלט על ידי מעגל בקרה. המערכת משמרת את מרחקה מן המשטח, ללא תלות בשינויים בפני השטח באמצעות הזזה עדינה ומדויקת של מחט המכשיר מרחקים זעומים. באמצעות כמות הזרם העובר מתבהרת תמונת האלקטרונים והאטומים במשטח, כלומר הסידור האטומי על פני השטח.
35
5.7 דוגמאות
1.5.7 דוגמה 1 נתונות שתי מתכות בעלות רמת פרמי זהה אך צפיפות מצבים שונה (הקבועה לכל מתכת). שמים מתח על המערכת. א. מה יהיה זרם המנהור? מה יהיו מוליכות והתנגדות המנהור? +-V ב. עבור הנתונים , DR 10 7 1 , DL 2 10 7 1 , 10 4 1 eV eV eV חשבו במפורש את מוליכות המנהור. ev פתרון: א. חשוב להבין שרק האלקטרונים מתחום eVיוכלו לעבור. הסיכוי למנהור מרמה בודדת: 2 DK num berof
chanceof options on tunnelilg right side from left side
אנרגיית המנהור הינה: TEולכן זרם, מוליכות והתנגדות המנהור יהיו:
IT e
electrion chargeunit
num berof energy chanceof tunnelling levels from which from left to right per m ight be tunnelling tim e unit
22 DR DL eV
2 22 DR DL e GT 1 RT 2 2 GT 2 DR DL e
ב. בהתאם לנוסחא שנמצאה בסעיף א, נציב את הנתונים ונקבל: 2 DR DL e 2 ) 912 (10 4 ) 2 2 10 7 10 7 (1.6 10 GT 1 82. 9403 eV 431.055 10
2 2
1 701 Do
eV , D
2.5.7 דוגמה 2 נתונים מתכת ומל"מ בעלי צפיפויות מצבים קבועות. כמו כן נתונים:
c
1 601
eV , D
v
1 501
eV , 10 1eV , E
4
g
2eV
א. מהו המתח המינימלי למנהור? ב. מה מוליכות המינהור מעל/מתחת ? Vm in ג. מה אופיין זרם מתח בכיוון מתכת למל"מ? ד. מה יהיה המנהור בכיוון ההפוך?
V=Vmin
פתרון: א. נדרוש . Do Dcועל כן המתח המינימלי יהיה
Vm in Eg 2e 1V
Dc Do Eg Dv
45
V>Vmin Do
Dc Eg Dv
0I 2 GT 2 DR DL e 2V
V Vm in V Vm in
ב.
I
Vmin
V
ג. 2 2 Do Dc e dI GT dV RT
2
ד. נשים לב לשינוי ל ,- Dvוכן שלא השתנה הגרף בשל שינוי כיוון המתח
V>Vmin
RT
I
2 2 Do Dv e
2
Dc Eg V Do Dv
Vmin V
GT
dI dV
3.5.7 דוגמה 3 חשבו את התנגדות המנהור בין שני מוליכים למחצה זהים, תחת הנתונים הבאים:
1 Dc 10 5 eV 1 Dv 10 6 eV 10 5 eV E g 2eV
חשבו ראשית את מתח הסף להולכה ולאחר מכן את ההתנגדויות מעל ותחת מתח הסף. ציירו באופן סכמטי את רמות האנרגיה ואת אופיין המתח-זרם.
0V
Dc
0 V Vmin
EF
Dv
Eg
Eg
בשלבים אלו אין זרם מנהור כלל.
55
Vm in
V Vmin
Eg e
את מתח הסף נחשב באמצעות:
V Vmin
EF
Eg
במצב בו V Vminנקבל:
V Vmin I R 83 01 8301 1.054 10 34 R 65.527 6 01 2 (1.6) 2 2 Dc Dv 2 (1.6) 2 10 10 105
4.5.7 דוגמה 4 חשבו את התנגדות המנהור והמתח המינימלי בין שני מוליכים למחצה שונים, כלומר בעלי הפרש אנרגיות שונה, כאשר יש ביניהם מבודד, בשני המקרים הבאים: א. מעבר אלקטרון מימין לשמאל ב. למעבר אלקטרון משמאל לימין.
Dc L
Dc R
Eg L
Dv L
Dv R
Eg R
פתרון: א. עבור מנהור משמאל לימין : למעשה תמונת פסי האנרגיה במצב זה תהיה:
Dc L
Dc R
Dv L
Dv R
65
ולכן אופיין הזרם-מתח יהיה:
I
Vm in
Vm in 2e
V
E gL E gR
R
המתח המינימלי למנהור:
וההתנגדות: 2 e DcR DvL
2 2
ב. עבור מנהור מימין לשמאל : במקרה זה תמונת פסי האנרגיה תהיה
Dc R
Dc L
Dv R
Dv L
Vm in
E gL E gR 2e
המתח המינימלי למנהור יהיה ללא שינוי בערכו המוחלט (הפוך בכיוונו):
R וההתנגדות: 2 e DvR DcL
2 2
5.5.7 דוגמה 5 - מיקרוסקופ מנהור סורק נתון מיקרוסקופ מנהור סורק. צפיפות מצבי האנרגיה של חוד הסורק ושל המשטח אותו הוא סורק אינן תלויות באנרגיה. פונקצית העבודה של חוד המיקרוסקופ (בקצהו) הינה . 1eV מפעילים מתח של 100Vבין קצה המיקרוסקופ למשטח. המרחק בין המיקרוסקופ למשטח הינו 1 1nmוזרם המנהור הינו . I T 0.1nAחשבו את גודל זרם המנהור כאשר נקרב את חוד המיקרוסקופ למרחק . 2 0.5nm פתרון: מחוק אוהם ידוע כי :
I V R
על פי הנוסחאות שפותחו בפרק הרי ש:
R
22 e D1 D
2 2
2m C exp
75
לכן היחס בין הזרמים נתון על ידי: 2 2m 22 2m 21 2 2m 1I 1 exp exp exp 2I ולאחר הצבת המספרים ביחידות eV , nmנקבל:
21 2 2m 1I exp 23 exp 2 0.5 2I
I 2 I1 exp
32 28 .6nA
6.7 מנהור רזוננטי
נתבונן במודל חד מימדי של חלקיק הנמצא בבור, ולו שני מחסומי פוטנציאל (שונים) ונבחן את סוגיית הפיזור (כלומר מעבר המחסומים).
בכדי למצוא את הסיכוי לעבור את שני המחסומים נבחן את פונקציות הגל בכל אחד מן האזורים, בהתאם לאלגוריתם הפתרון של המחסומים שהוצג בפרק 5. עבור כל אזור נקבל: ix ix e be A x 2mE x B ce de 2 (7.7) ( x) feix ge ix C ) 2m(V0 E je x le x D 2 meix E מקדם ההעברה של המחסום כולו יחולץ למעשה מ- mומקדם ההחזרה של המחסום כולו יחולץ מ- . b בדומה למחסומים מפרק 5, הרי שיש לנו 8 משוואות עבור 8 נעלמים ולאחר מספר פעולות אלגבריות פשוטות ניתן למצוא את כולם.
85
עבור מחסום בודד, עליו דובר בפרק 5, נתקבל מקדם העברה מן הצורה:
T 1 1 0V ) sinh 2 (β )4 E(V0 E
2
16E(V0 E) 2 a e 0V
כאשר aהינו רוחב המחסום. החישוב עבור מחסום כפול מורכב יותר, ולכן נבטא את מחסום הפוטנציאל באופן פשוט יותר, באמצעות פונקציות דלתא: (7.7) V ( x) V0 a ( x) ( x d ) בתצורה זו נקבל למעשה 3 אזורים: i x ix e be 0x (7.8) ( x) A sin(x) B cos(x) 0 x d ce i x d xd תנאי השפה המתאימים עבור הנגזרות בגבולות התחומים, בשל המצאות פונקצית הדלתא, הינם:
(7.8) ' ( x0 0) ' ( x0 0) 02mV ) 0d ( x 2
ניתן להוכיח תנאי זה באמצעות אינטגרציה של משוואת שרדינגר סביב הנקודה 0 : x
2 2 0 V0 d ( x x0 ) E 2m
B 1 b
לאחר ביצוע אלגברה פשוטה נקבל כי:
)A i (1 b) 2 d (1 b
ic A cos( a) B sin(a) c 2 d קל לראות כי ישנו פתרון המקיים את המשוואות עבורו לא תהיה החזרה בכלל, כלומר 0 . b אם נתעלם בשלב זה מהפתרון הזה ונקבל את הנדרש למעבר מתוך המשוואות: 2mV 0 0 2mV 2mE 02 2V )9.7( tan d 2 d 2m 2 2 2mE מכאן ונקבל העברה מלאה T 1כאשר 1 c 2
משמעות התנאי לעיל הינה:
0 2mV )1 d (2 S 2
2mE עבור מחסום גבוה דיו, 1 a 2
...2S 0,1,
פיסיקלית, המשמעות הינה שאלקטרון הצובר פאזה של 2Sבמהלך תנועתו הסיבובית. למעשה, שני המחסומים יכולים להיות בעלי מקדם מעבר מלא אפילו אם מקדם המעבר של מחסום בודד זהה קטנה . מתוך (9.7) ניתן להגדיר רמות אנרגיה בהן ההעברה מלאה. 0 2 2mV (7.10 ) E 0 2m 2
95
מוליכות דיפרנציאלית שלילית כאשר המתח על המערכת הינו 0, מספר האלקטרונים הכולל הנעים בכיוונים מנוגדים זהה. עם זאת, כאשר ישנו מתח שונה מ-0 על המערכת ניתן לקבל את המצב המתואר בשרטוט:
התנגדות דיפרנציאלית שלילית, 0 dV המערכת באמצעות הזזת 0 Eביחס לרמת פרמי ע"י מתח שער. בדרך זו מיוצר התקן ששמו "טרנזיסטור", עליו ילמד בהמשך התואר. טרנזיסטור מבוסס מנהור מורכב יותר מהעקרונות הסכמטיים שתוארו לעיל. שרטוט מפושט של טרנזיסטור שכזה ניתן לראות בשרטוט:
, dJמאפשרת לייצר גנרטור. כמו כן, ניתן לשלוט על
Schematic diagram of a Si MOSFET with a split gate (a), which creates a potential barrier in the inversion layer (b). In the right panel oscillations in the conductance as a function of gate voltage at 0.5 K are shown. They are attributed to resonant tunneling through localized states ,.in the barrier. A second trace is shown for a magnetic field of 6 T. From T. E. Kopley et al .)8891( 4561 ,16 .Phys. Rev. Lett
כמו כן קיימים טרנזיסטורים המבוססים על בור פוטנציאל כפול, עליו יפורט בפרק הבא.
06
פרק 8: פוטנציאל מחזורי ופסי אנרגיה בגביש
1.8 בור פוטנציאל כפול
נבחן כעת מצב בו ישנו בור כפול חד מימדי בעל מחסום בגובה , Vכפי שמתואר בשרטוט:
נגדיר את מימדי הבור להיות 2 , L כלומר 1 ( 1 x בור סימטרי). מטרתנו הינה למצוא ערכים עצמיים אפשריים (אנרגיה) ופונקציות עצמיות למצבים הקוונטים המותרים של החלקיק. בכדי להבין את מצב האלקטרון בבור, עלינו לפתור את משוואת שרדינגר במימד אחד: 2 d ) 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x dx נפתור עבור כל אזור בנפרד: sin Ei x AEi cos Ei x )1 E )2(8.1) ( x) AEi e Ei x e Ei x 3) n sin E x AE cos E x V E i i i i
האינדקס iמייצג זוגיות / אי זוגיות של פונקציות הבסיס ביחס למרכז הפוטנציאל. יש להדגיש כי הפונקציות העצמיות הללו חייבות להיות זוגיות / אי זוגיות בשל סימטרית המערכת. בשל כך נגדיר: 1 neven 1 , nodd אם נשתמש בפונקציות גל שאינן מנורמלות החישוב יהיה פשוט יותר. בכדי לקבל את הנרמול, יש צורך להכפיל בפקטור מסוים, אולם לא נדרש לכך בחישובינו, שכן אין אנו עוסקים בסטטיסטיקות. תנאי השפה הנדרשים הינם התאפסות של פונקציות הגל באזורים 1 x ו- 1 xוכן שפונקציות הגל ונגזרותיהן תהינה רציפות ב- . x אם נשתמש בתנאי שפה אלו, נוכל לחלץ את הקבועים: A( E ) tan E (8.2) A( E ) cos E sin E Bi( E ) e Ei ni e Ei כמו כן, תנאי השפה מאפשרים לנו להגיע לכדי משוואה התלויה באנרגיה בלבד:
( E ) sin E A( E ) cos E e E ni e E )3.8( 0 ( E ) cos E A( E ) sin E e E ni e E
i i i i
16
על מנת לקבל תחושה, נציג כמה מספרים לדוגמה. עבור רוחב מחסום של 5.0 , מחסום פוטנציאל של 001 V ורוחב בור 2 ( L כאשר בקצותיו הפוטנציאל אינסופי) נקבל רמת אנרגיה E mכאשר 1 : m
14874.93 Einf inite 45849.62 Eeven 43459.62 EOdd נשים לב ששתי רמות האנרגיה הזוגית והאי זוגית רחוקות מאוד בגודלן מזו של האנרגיה בגבול האינסופי V וכן מעט שונות זו מזו. אם נשרטט את רמות האנרגיה הללו:
הנקודה המרכזית הינה שישנן שתי רמות אנרגיה נפרדות לכל רמת אנרגיה אפשרית בבור פוטנציאל כפול. אם מחסום הפוטנציאל יהיה גבוה יותר, רמת היסוד האנרגטית תשאף לרמת האנרגיה בבור אינסופי והפיצול בין רמות האנרגיה יקטן. התפתחות בזמן כאשר אנו ממקמים ברגע מסויים t 0חלקיק בחלקו השמאלי של בור פוטנציאל כפול. נפתח את פונקצית הגל התלויה בזמן של החלקיק לסכום התרומות של פונקצית הגל הזוגית והאי זוגית, כלומר: (8.4) ( x, t ) even( x) exp IE event odd ( x) exp IE odd t
26
2.8 משפט בלוך
לשם פשטות נציג את הרעיון למקרה של גביש חד מימדי.
עבור - lאורך מחזור פוטנציאל, - Lגודל הגביש, נתאר באמצעות פוטנציאל חד מימדי מחזורי:
l
L
אטומים היוצרים את הפוטנציאל המחזורי בשל סידורם המחזורי
2 n L 2 Km m l Kn
כאשר נגדיר:
- mרץ על מחסומים משפט בלוך: אם ניקח פוטנציאל מחזורי חד מימדי פונקצית הגל, המהווה את פתרון משוואת שרדינגר, חייבת לקיים מחזוריות באופן הבא: 1 iK n x Kn )e U Kn ( x )5.8( L )U Kn ( x l ) U Kn ( x כלומר, עבור פוטנציאל מחזורי נקבל בהכרח פונקצית גל מחזורית. למעשה ישנם פה שני מחזורים בפונקציה, זה של האקספוננט וזה של ) . U (xאורך הגל של K nמתאים למחזור ארוך יותר כי הוא שייך לפוטנציאל הגל. הפונקציות יראו מן הצורה:
)U (x e ik n x
36
2 2 בגבול בו הפוטנציאל מאוד נמוך (עומק הבור קטן מ- 1K 2m 1 i K n K m x e Kn ,m ורמות האנרגיה ניתנות בקירוב ע"י: U Kn ( x) e iK m xולכן L 2 2K n K m . El ,m 2m נשים לב כי K mמאוד צפופים. אם נצייר את רמות האנרגיה כפונקציה של K mעבור ערכים שונים של mתתקבל התמונה הבאה:
) E1 נקבל בקירוב כי
E
נשים לב שבשל קרבת פסי האנרגיה ייווצרו פערי אנרגיה, כלומר אנרגיות אסורות (בהן לא יכול אלקטרון להיות) כפי שניתן לראות בשרטוט לעיל. הוכחת משפט בלוך
d ) V x l ( x l ) E ( x l 2 d x l ) H ( x l ) ( x l ) E ( x l
2
)H ( x l ) H ( x
מתוך משוואת שרדינגר הרי שמתקיים: )H ( x) ( x) E ( x
46
) ( x l ) Const ( x) C ( x ) ( x 2l ) C 2 ( x
) ( x Nl ) C ( x
N
ולכן בהכרח:
ובאופן דומה:
נגדיר משתנה חדש: L Nl מתוך המחזוריות ותנאי השפה חייב להתקיים: ) (0) ( L N 1C ולכן בהכרח: 2 C n exp i n exp iK n l N
) ( x l ) exp iK n l ( x
כלומר: לחילופין ניתן לרשום:
) K ( x) expiK n l U K ( x
n n
)U K n ( x l ) U K n ( x
0
I
-b 0=X a-b
II
b a
2.8 מודל קרוניג פני
מודל חד מימדי המקרב פוטנציאל מחזורי לרצף של בורות פוטנציאל.
|0-|V
אם נבחן על פי שרדינגר את המשוואות לכל אזור:
2mE Ae ix A' e ix 2 2mE V0 Be ix B' e ix 2
0 x a b a b x a
ב- a bתיתן שתי משוואות עבור המקדמים, נדרש לעוד 2 משוואות על
d הרציפות של , dx מנת לפתור את הבעיה. מתוך משפט בלוך והדרישה למחזוריות נקבל שתי משוואות נוספות. מהדרישה שהדטרמיננטה תתאפס נקבל: 2 2 coska cosb cos (a b) sin b sin (a b) 2 בכדי לפשט את המשוואה המורכבת נקרב לבורות עמוקים וצרים מאוד, כלומר: סופי Vo , b 0, Vo b
56
תחת הנחות אלו נקבל כי 0 2 Vולכן 2 bסופי, אבל 0 b משום ש- שואף חלש יותר
sin b b
מאשר 2 . כלומר נקבל את הקירובים:
1 cos b ולכן הנוסחא המקורית תיראה לאחר הצבות: P sin a 2 ba coska cosa P a 2 כאשר המקדם Pשנתקבל מסמל את חוזק הפוטנציאל.
אם נתבונן בגרף של אגף ימין במשוואה שקיבלנו:
1+
1-
פס אסור
פס אסור
פס אסור
למעשה קיבלנו אזורי אנרגיה בהם יש למשוואה פתרון ואזורי אנרגיה בהם אין למשוואה פתרון (שכן אגף שמאל לא יכול לחרוג מעל | 1|). נשים לב שמן הנוסחה עולה שככל שנגדיל את , a הפסים המותרים יגדלו על חשבון האסורים. עם זאת כאשר Pגדל, הפוטנציאל ישפיע יותר וכך יגדלו הפסים האסורים. אם נשאיף את , P הלה מייצג את שיפוע הפונקציה, אשר ישאף לאנך. כלומר, נקבל פתרון הדומה לחלקיק בבור אינסופי. אם נשאיף את 0 , P למעשה "נחליק" את מחסומי הפוטנציאל, כלומר נקבל פתרון הדומה לחלקיק חופשי.
En
נבדוק שני מקרי קיצון: 1. 0 : V0 הקו המייצג את רמות האנרגיה אינו רציף, אולם המרחק בפועל בין הרמות הינו 107 eVולכן נבצע קירוב לרציף. 2 2 En Kn 2m
Kn
2. 0 : V0 מכל אחד מן המחסומים, כאשר האנרגיה גבוהה מספיק, חלק מהחלקיקים עוברים וחלקם חוזרים. במצב זה יתכנו תחומי אנרגיה בהם אין מצבי אנרגיה מותרים.
66
בחלקים הראשונים של פרק זה יפורטו התוצאות הניסיוניות אשר הובילו לפיתוח מודל אטום המימן של בוהר.
פרק 9: מודל האטום של בוהר (3191)
1.9 ספקטרום הפליטה האלמ"ג של אטום המימן
במימן ישנה פליטה באורכי גל ספציפיים (נוסחת רידברג):
1 mn 1 RH 2 2 m m, n N n )2.9( 1 701 RH 1.1 m ישנן 3 סדרות של קבוצות גלים, הנקראות על שם מגליהן: 1. 1 - n סדרת - Lymanאור אולטרה סגול. 2. 2 - n סדרת - Balmanתחום הגלים הנראים, נתגלתה לראשונה. 3. 3 - n סדרת - Paschenאור אינפרא אדום. חוקיות סדרתית נתגלתה גם באטומים נוספים, דומים למימן. )1.9( 1
נחשב את אורך הגל המינימלי בכל סדרה:
1. 1 - n סדרת Lyman 1215
0
2. 2 - n סדרת Balman 6561 3. 3 - n סדרת Paschen 18,746
0
0
)3.9(
)4.9(
ניתן לכתוב את נוסחת רידברג ישירות ביחידות של : 911.5 0 1 1 2 2 m n hc 1 1 1 1 Ep hcRH 2 2 13.6 2 2 eV m m n n
0
76
2.9 ניסוי הפיזור של רתפורד
רתפורד לקח גרעינים של ( 4 Heהמכילים שני פרוטונים ושני נויטרונים, הנקראים חלקיקי ) ו"זרק" אותם על אטומים נייטרלים כלשהם. יש לציין כי עד אותה התקופה הכירו את מודל האטום של תומפסון אשר טען כי המטען החיובי והשלילי מפוזר באופן הומוגני בכל נפח האטום ולכן גורם למספר רב של פיזורים, כך שסה"כ זוויות הפיזור תהיינה קטנות כלומר שהאלומה תתפזר מעט, בזוויות קטנות.
חלקיק 2 qe
+ + ++ +
+
מן הניסוי של רתפורד עולה כי כמות מסוימת של חלקיקים הוסטה בזוויות גדולות, עד כדי חזרה לאחור.
חלקיק 2 qe
-
++ ++
זוויות פיזור גדולות, כפי שנמדדו, מעידות על מרכז חיובי קטן, "גרעין", ומסביבו מטען שלילי מפוזר בנפח הגדול ממנו בהרבה.
3.9 הנחות היסוד של בוהר - קלאסי מול קוונטי
1. האלקטרונים באטום נמצאים באחד מן המצבים המותרים להם, בהם יש לכל אחד מהם אנרגיה נתונה. מצבים אלו נקראים "מצבים סטציונרים". האנרגיה באטום של אלקטרון באטום אינה גודל רציף. -
+
2. פליטה של גלים אלמ"ג נעשים כאשר אלקטרון "קופץ" ממצב אנרגיה מותר אחד למצב אנרגיה מותר אחר. הקרינה נפלטת (או נבלעת) בתדירות המתאימה להפרשי האנרגיה בין הרמות. הקרינה נפלטת בתדירות המתאימה להפרשי האנרגיה בין הרמות: 1 1 c c 1 1 1 RH 2 2 f RH 2 2 n n m m 1 1 E hf cRH h 2 2 m n
86
)5.9( En RH Ch 2n
מכאן ולאטום המימן תצורת רמות אנרגיה של:
E3 RH Ch 9 R H Ch E2 4
E1 RH Ch
בגבול של n רמות האנרגיה הופכות צפופות יותר 2n רמות האנרגיה האפשריות כרצף ולהשוות את התמונה האלקטרומגנטית הקלאסית (תנועה מעגלית של חלקיק במעגל תחת השפעת כח משיכה קולומבי המשמש ככח צנטרופיטלי) לתמונה הקוונטית. השוואה זו תאפשר קבלת הקבוע RHכפונקציה של גדלים ידועים אחרים ובכך תאשר את תמונה האטום של בוהר. נשווה בין תדירויות הפליטה בגבול זה עבור המצב הקלאסי והקוונטי. 1.3.9 החישוב הקלאסי:
)*( 2 me v 1 qe r 2 4 0 r
2
1 En וניתן להסתכל על קבוצת
qe r 2 4 0 me v
2
כלומר, תדירות סיבוב האלקטרון שווה לתדירות פליטת האנרגיה שלו (תדירות כל הפליטה).
vT 2r EK 2 me v 2 1 v f T 2r 2EK v me
fc
e
v 4 0 me v 2 2 0 me v 3 2 0 me 2 E K 2 2 2 2 me qe qe qe
fc
e
2EK me
0 4 2EK EK 2 me qe
נכפיל את משוואה )*( ב- rונקבל:
2 E K me v 2 qe
2
4 0 r
EP
E EK EP EK 2EK EK
96
ולכן אנרגיית הקשר תהיה:
R Ch 2 Wn En H n
qe יש לציין כי ביטוי זה התקבל תחת ההנחה כי מסת הגרעין החיובי אינסופית. אם מסה זו ( )M גדולה ביחס למסת האלקטרון אבל אינה אינסופית אזי נחליף את מסת האלקטרון בביטוי למסה המצומצמת: me M me (9.6) me M me M fc
e
0 4
2
Wn
2Wn me
2.3.9 החישוב הקוונטי: למעשה עוברים בין הרמות )1 . n (n
fq
e
1 1 E hf CRH h 2 n )1 (n 1 2n RH C 2 RH C 1 1 n 2 n 2 2n 1 2n RH C 2 RH C 2 RH C n 2 2 2 2 n )1 n (n )1 n (n 4n 3n )1 (n
נשים לב כי בגבול n התיאור הקוונטי מתלכד עם התיאור הקלאסי.
0 4 Wn 2 qe
כעת נשווה בין השניים: 2Wn 4 0 RH Ch 2 RH Ch 2 RH C 2 me 2n n 2 me 3n qe
RH qe q m e 3e 3 8 0 h C 8 0 h C
4 4 4
)7.9(
qe hCRH (9.8) Wn 2 2 n 2 8 0 h 2 n ובאותו האופן ניתן לחשב את מרחק האלקטרון מהגרעין ( רדיוס התנועה שלו): h2 q 1 )01.9( rn 2 e 2 0 2 n m q 4 0 me v e 2 h )11.9( a0 0 2 5.3 10 11 m 0.53 A me q בנוסחא )11.9( מוגדר רדיוס בוהר, רדיוס הרמה הנמוכה ביותר עבור מימן. כעת נפנה לחשב את מהירות האלקטרון במסלולו: 2 mvn n Wn E K 2
)21.9(
vn
qe
2
2 0 hn
07
5.9 התנע הזוויתי של האלקטרון
L
נחזור אל מושג התנע הזוויתי. במכאניקה הקלאסית הוא מוגדר כ:
p P
L r p L z L pe re me ve re
r
ועל כן תנע האלקטרון הזוויתי יהיה:
qe 2 0 h 2 n 2 1 h )31.9( Le me 2 m q 2 n 2 n n 0 e e מסקנה: בכל מסלול לגיטימי של האלקטרון התנע הזוויתי הינו מספר שלם של , כלומר התנע הזוויתי מקוונטט.
מסקנה זו מתאימה גם לטענותיו של דה-ברולי, אשר טען כי הגלים מתנהגים כחלקיקים:
h h p me v e
עבור גלים עומדים קיבלנו קודם לכן:
2r n nh me ve
nh n me ve r L Lz n L 2 מספר שלם של אורכי גל מאפשר התאבכות בונה של גל עומד עם עצמו - מצב יציב.
נרחיב את המסקנה בשני אופנים - מרחק וכיוון:
L l (l 1) 1. התנע הזוויתי מקוונטט באורכו: l N
2. התנע הזוויתי מקוונטט בכיוונו במרחב: זאת ביחס לציר , Zרק כאשר היטלו על ציר Z יהיה מספר שלם של , כלומר: Lz ml ו- ml l , l
17
l 1 L Z 2
2l
L Z 6
ml
1 0 1
ml
2 1 0 1 2
מכאן שלכל גוף קטן בעולם ישנם שני מספרים המאפיינים את התנע הזוויתי שלו: - lאורכו, - mlהיטלו על ציר שרירותי. יש להדגיש כי בליבו של מודל בוהר מונחת טעות מרכזית הנובעת מכך שהאלקטרונים נעים בשלושה מימדים ולא רק בשניים. מושג הספין ( ) SPIN המושג הינו למעשה תנע זוויתי אינטרינזי, תנע זוויתי של האלקטרון עצמו. נסמנו באמצעות האות .Sאורכו של הספין יוגדר על פי: 3 1 3 S )41.9( 2 2 2 s z ms בדומה לתנע הזויתי שהוגדר לעיל, גם הספין יכול לקבל ערכים שלמים של חצאי . למעשה, ישנה לספין הגדרה המקבילה ל- : m l 1 )51.9( ms 2 נשים לב שלא יתכן מצב 0 עבור האלקטרון. לכל חלקיק, כפי שיש לו מסה, יש לו גם ספין, שהוא גודל קבוע. עבור אלקטרון 1 )61.9( Se 2 באופן זה, נקבל עבור אלקטרון 4 גדלים מאפיינים, זאת על פי התיאוריה של שרדינגר:
L l , ml 1 S , ms 2 על פי המודל של בוהר הספיק מספר קוונטי בודד, ,nלצורך אפיון אנרגיית האלקטרון. בחישוב על פי משוואת שרדינגר אותו נציג בהמשך נדרשים nוגם המספרים הקוונטים המפורטים לעיל.
מאחר ובמודל בוהר אנרגית החלקיק נקבעת על ידי nבלבד, ישנו ניוון ובכל רמת אנרגיה מותרת יתכנו מספר אלקטרונים, בהתאם ל- 2 l 0,1,2,...n ומספר האלקטרונים המותר ברמה ה- n נתון על ידי הביטוי:
) 71.9( )1 # electronsn (2l
0l 1n
27
כלומר:
n
l
ml
ms
ניוון 2
2
1n 2n
0l 0l
1l
0 ml 0 ml
1,0,1ml
1 ms 1 ms 1 ms 1 ms 1 ms 1 ms
2
2
6
2
3n
0l 1l 2l
0 ml
1,0,1ml 2,1,0,1ml 2,
8 2
2
6
2
01
2
81
6.9 אטום דמוי מימן במודל בוהר
באטומים דמויי מימן מתקיים קשר דומה בין האנרגיה ברמה ה- nלמטען החזקה רביעית: 4 4 En qe z 2 qe כאשר zהינו המספר האטומי, מספר הפרוטונים בגרעין. מערכות מקורבות הינן: 1. קליפה פנימית ביותר של אטום עם zפרוטונים. 2. אלקטרון בודד בקליפה החיצונית. האטום בעל zהפרוטונים יהיה בעל רדיוס קטן יותר מרדיוס המימן. כל האלקטרונים יהיו קרובים יותר בגלל המשיכה הגדולה יותר ולכן, אף בקליפה החיצונית ביותר, נקבל רדיוס שאינו שונה בהרבה מן המימן. היחס יהיה: 0a )81.9( R z כיוון שבין הגרעין לאלקטרון בקליפה החיצונית ישנם אלקטרוני ם אחרים המחלישים את z המשיכה, נגדיר effאשר יתאר את המשיכה נטו.
הסיכוי למצוא את האלקטרון
2
0l
1l
מרחק מהגרעין
r
37
דוגמה: ניתן לבנות לזמן קצר מעין אטום המורכב מאלקטרון ופוזיטרון (חלקיק בעל מטען זהה לאלקטרון מנוגד בסימנו, כלומר חיובי) הנקרא פוזיטרוניום. כיצד יראה ספקטרום האנרגיה שלו? האם Zצריך להשתנות ביחס לאטום מימן רגיל? פתרון: ראשית נחשב מסה מצומצמת למקרה זה m m e e 2me 2 מפיתוחי הנוסחאות ידוע כי: E ולכן חישוב האנרגיה יהיה:
2
1 13.6eV 1 2 2 12 n n2 מבחינת , Zהמטען הכללי במערכת לא השתנה ולכן הכוח הקולומבי המשפיע על Zנשאר למעשה זהה. אין סיבה ש- Zישתנה כלל. E positron 1 En 2 E ph
47
פרק 01: תיאור אטום המימן באמצעות משוואת שרדינגר התלת )מימדית (בלתי תלוי בזמן
:נרחיב את משוואת שרדינגר ל-3 מימדים
(10.1) 2 V (r ) (r ) En (r ) 2m
נכתוב את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן באמצעותV (r ) V (r ) עבור פוטנציאל מרכזי : r (r, , ) קואורדינטות כדוריות
(10 .2) 2 1 2 1 2 r 2m r r r r 2 1 sin sin 1 2 2 V (r ) (r , , ) E (r , , ) 2 sin
נחפש פתרון למשוואה באמצעות הפרדת משתנים - זוויתי ורדיאלי: (אנו מניחים כי ניתן לבצע )את הפרדת המשתנים (r, , ) R(r )Y ( , ) :ולכן המשוואה תהיה מן הצורה 2 1 2 R( r ) 2 Y ( . ) 2 r 2 V (r ) E R(r ) Y ( . ) 0 2m r 2 2m r r r :
r2 נכפיל כל צד במשוואה בביטוי R ( r )Y ( . )
2 2 1 2 r 2 2 r V (r ) E R(r ) 2Y ( . ) 2m r r r 2m 0 R(r ) Y ( . ) dependsonly on r dependsonly on .
אוr - (אשר אינו תלוי ב נפתור כל חלק של המשוואה בנפרד, ונדרוש שהוא שווה לקבוע .)בזווית
2Y ( . ) Y ( . )
(1) (2)
2 1 2 2 1 2 r R(r ) 0 V (r ) E 2m r 2 2m r r r 1 1 2 sin 2 2 Y ( . ) Y ( . ) 0 sin sin
75
:נחפש תחילה פתרון למשוואה 2 ושוב ע"י הפרדת משתנים
Y ( . ) ( )( )
2 sin 2 ( ) ( )( ) 0 ( ) sin sin 2
sin 2 :ונקבל -נכפיל את שני האגפים במשוואה ב ( )( )
2 ( ) sin 2 2 sin 0 ( ) sin ( )
dependsonly on θ dependsonly on
:נפצל את המשוואה לשתי משוואות על פי המשתנים ( ) (3) ( ) 0 2 m2 , וכן( ) exp im :פתרון מתאים למשוואה דיפרנציאלית זו הינו 1 ( ) (4) sin 0 ( ) ( ) sin sin 2 במשוואות 4,3 הרי שניתן לבחור פתרון מצורת הפתרון הכללי שלr -נשים לב שכיוון ואין תלות ב :מע' בעלת קואורדינטות כדוריות, כלומר פונקציות הרמוניות כדוריות. לכן נקבל m Yl ( )( )
2
:כעת נחפש פתרון למשוואה הרדיאלית ושוב ע"י פתרון מן הצורה (r ) R(r ) r
2 1 2 1 2 (r ) 1 (r ) 2m 2 r r r R(r ) 2 r r r r 2 r r r (r ) r r r 1 (r ) 1 2 (r ) 1 (r ) 1 2 (r ) 2 2 r r r 2 r r r 2 r r 2 2 2 l (l 1) 2 V (r ) (r ) E (r ) 2m r 2m r 2 המוגדרVeff מקיימת את משוואת שרדינגר החד מימדית הבלתי תלוייה בזמן עבור פוטנציאל :ע"י 2 2 2 l (l 1) 1 qe l (l 1) Veff V (r ) 2 2m r 4 0 r 2m r 2
76
ובפרט עבור אטום המימן. נשים לב כי הביטוי הראשון בשוויון הימני הינו דחייה קולומבית. גרף איכותי של החלק הימני בשיוויון הימני נתון על ידי:
) V (r
2l
1l
r
0l
מן הגרף אנו מסיקים כי כאשר המרחק גדול מאוד הפוטנציאלים האפקטיביי ם כולם יראו כמו הפוטנציאל הקולומבי. שני הפוטנציאלים שהתקבלו מתפוצצים בנק' 0. . V (r )
)1 2 l (l כעת נשאל מהי למעשה אותה תוספת לפוטנציאל הקולומבי 2 2m r פוטנציאל זה מייצג את הכוח: 2 2 )1 dV l (l )1 2 l (l F 3 dr 2m r 3 mr כיוון הכוח הינו רדיאלי ולמעשה אנו מקבלים כוח צנטרופיטלי. 2 2L mv 2 mr 2 v 2 mrv F r 3r 3 mr 3 mr
והרי ידוע כי L l (l 1)
דוגמה 1: מודל בוהר אינו תואם את ההסתכלות על חלקיקים כ"ענני הסתברות", כפי שנובע ממשוואת שרדינגר ומעקרון אי הוודאות. באיזה גבול עקרון אי הוודאות אינו סותר את מודל בוהר, או במילים אחרות, מתי ניתן לדבר למעשה על מסלולים מעגליים? פתרון: נתבונן ראשית על התנע L p r n על מנת שלא תהיה סתירה נדרוש כי: , p p , r xכלומר שהגדלים המגדירים את מסילת התנועה יהיו גדולים מאי הוודאות שלהם. x p x p ,1 1 1 r p rp מתוך עקרון אי הוודאות ידוע כי x P ולכן נקבל: x p 1 1 1 rP rp n n n כלומר nגדול מאוד. ולכן אם נרצה להשתמש במודל בוהר נדרש ללכת לרמות הגבוהות ( nגדול). אם נרצה פתרון מושלם הרי שנצטרך לפתור את משוואת שרדינגר התלת מימדית בקואורדינטו ת כדוריות עבור אלקטרון בפוטנציאל קולומבי (פוטנציאל רדיאלי).
77
עם פתרון משוואת שרדינגר המתוארת לעיל נקבל את פונקצית הגל וכן נוסחא עבור רמות האנרגיה המותרות וכן נקבל את שלושת המספרים הקוונטים . l , m , n דוגמה 2: מהו הניוון של רמת האנרגיה 2 n באטום המימן? פתרון: עבור 2 n נקבל:
0 l 0 m 1m n2 1,1,2 nml 2, 0, 0 , 2,1, 1 , 2,1,0 , l 1 0m 1m סה"כ קיבלנו ארבע פונקציות גל הנותנות 2 E n ולכן הניוון הינו 4 ( 2 בגלל הספין). באטומים כבדים יותר מאטום המימן האנרגיה כבר לא תהיה תלויה רק ב- nאלא גם ב- . l במצב זה רמות המצבים (הניוון) יובילו אל הטבלה המחזורית.
נשאל את עצמנו: מדוע למעשה אין באטומים כבדים תלות ב- ? m mאינו מייצג גודל אלא כיוון. ההיטל לא ישפיע על רמת האנרגיה כי הסימטריה כדורית.
87
פרק 11: עקרון האיסור של פאולי והטבלה המחזורית
באטום המימן כל מצב אפשרי מאופיין על ידי 4 מספרים קוונטים n, l , ml , mS כאשר ...,3,2,1 n lערכים 1 l 0,1,...,n 1 2l ערכים ml l ,..., l 2 ערכים 1 mS 2 בפועל, באטום המימן האנרגיה נקבעת על ידי nבלבד. באטום בו Zפרוטונים חיוביים בגרעין ויותר מאלקטרון אחד מסביב לגרעין המטען ש"רואה" כל אלקטרון הוא Z eff Zונובע מהגרעין החיובי המושך ויתרת האלקטרונים השליליים הדוחים.
מאוחר ו- Z effתלוי במרחק מהגרעין ומאחר ועבור lשונים המרחק מהגרעין שונה, אזי Z eff
שונה לכל . lמשמעות הדבר היא שהניוון שאטום המימן נשבר באטומים בעלי . 1 Z
2
0l 1l
2l
עקרון האיסור של פאולי: לא יתכנו שני פרמיונים/אלקטרונים באותו מצב קוונטי, כלומר בעלי אותם מספרים קוונטים. כאשר המספרים הקוונטים הינם . n, l , ml , mS לדוגמה, ברמה בודדת לא יתכנו שני אלקטרונים בעלי אותו הספין. עקרון האיסור של פאולי והמצבים הקוונטים האפשריים כפתרונות של משוואת שרדינגר מסבירים הסבר מיקרוסקופי של הטבלה המחזורית, באמצעות המבנה האלקטרוני של האטומים.
1 .11 מושגים
l 0 s l 1 p l 2 d
קליפה: נקבעת על ידי . n תת קליפה: נקבעת על ידי , lוסימוניה: ... l 3 f קונפיגורציה: סידור האלקטרונים באטום.
האכלוס בתת הקליפה
l
n
תת הקליפה,
מספר הקליפה,
1S
2
97
הקונפיגורציה קליפה ראשונה סגורה
1 1S 2 1S 11S 2 2 P
Z 1 2 3
מימן - H הליום - He ליתיום - Li
התכונות החשמליות, הכימיות והפיסיקאליות של האלמנטים השונים נקבעות על ידי מבנה האלקטרונים. אטומים בעלי קליפה סגורה, גזים אצילים, ידועים כבעלי אנרגית ינון גבוהה, חוסר פעילות כימית וטמפרטורת רתיחה נמוכה. אטומים בעלי אלקטרון בודד מחוץ לקליפה סגורה, המתכות האלקליות, ידועים כבעלי אנרגית ינון נמוכה ופעילות כימית גבוהה.
2 .11 הטבלה המחזורית וקונפיגורצית האלקטרונים של האלמנטים השונים
1 Group Period 2 3 4 5 6 7 8 9 21 11 01 31 41 51 61 71 81
0 n 1, l 1,0 n 2, l 1,0 n 3, l
3 n 3, l 1,0 n 4, l 2 n 4, l 1,0 n 5, l
1 2 3 4
H Li Be Na Mg
91 11 21 3 4
1
He B
5
2
C Si
23 41
6
N
51
7
O
61
8
F Cl Br
35 53 71
9
Ne Ar Kr Xe Rn
811 68 45 63 81
01
מילוי קליפה d , l 2
Sc Ti
93 04 12 22 32
Al
82 92 03 13
31
P
S
K Ca
83
02
V
Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge
24 34 44 54 64 74 84
42
52
62
72
As Sb Bi
511 38 15
33
Se Te Po
611 48 25
43
5 6 7
Rb Sr
55 65
73
Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd
27 37
14
In Tl
311 18
94
Sn Pb
411 28
05
I
Cs Ba * Lu Hf Ta
78 88 501 401 301
17
W
601
47
Re Os Ir
57
67
77
Pt Au Hg
111 011 211
87
97
08
At
711
58
Fr Ra ** Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Uub Uut Uuq Uup Uuh Uus Uuo
75 85 95 06 16 26 36 46 56 66 76 86 96 07
901 801 701
מילוי קליפה f
*Lanthanoids **Actinoids
* La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho ** Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf
98 09 19 29 39 49 59 69 79 89
Er Tm Yb Fm Md No
001 101 201
Es
99
08
פרק 21: תרגילים ופתרונותיהם
בחלק זה מקובצים תרגילי הבית שניתנו לסטודנטים בשנת הלימודים תשס"ו ופתרונותיהם, ללא .התרגילים הלקוחים מבחינות
1 תרגיל
:1. הראו כי כל הביטויים הבאים מייצגים את אותו הגל הנע חלקוa - , כך שz a ib , ניתן לכתוב אותו באופןz תזכורת: בהינתן מספר מרוכב .) Im(z ) b ( חלקו המדומהb - ) וRe( z ) a ( הממשי 2 A sin ( x ct ) .1.1 Asin kx 2ft .2.1 x A sin (t ) .3.1 c i ( kxt ) .4.1 A Im e
d 2 d 2 c 2 2 :2. הראו שהביטויים הבאים הינם פתרונות אפשריים למשוואת הגלים dt 2 dx 2 A sin ( x ct ) .1.2 A exp i(t kx) .2.2
: הראו כיe i cos( ) i sin( ) 3. מתוך e i cos( ) i sin( ) .1.3
e i e i .2.3 2i e i e i cos( ) .3.3 2 sin( )
A sin
2 2x 2ct 1 ( x ct ) A sin ft A sin kx 2 () 1.2
(1.1)
פתרון 1 שאלה
2 x A sin 2ft kx A sin (t ) c
(1.3)
:כאשר
81
2 2x kx k 1 2ct c f 2ft x kx k 2 c c 2f 2ft t
e i ( kxt ) cos(kx t ) i sin(kx t ) Im(e i ( kxt ) ) A sin(kx t ) A sin(kx 2ft)
(1.4 ) (1.2 ) {3}
{3}
2f
2 שאלה :סעיף ראשון
2 2x 2ct ( x ct ) A sin d 2 d 2 2x 2ct d 2x 2ct 2c 2 A sin A cos 2 dt dt dt
A sin
c2
2 Ac
4 2 Ac2 2 2x 2ct 2c sin sin ( x ct ) 2
d 2 d2 2x 2ct 2x 2ct 2 d 2A c 2 2 A sin c cos 2 dx dx dx 2 2 4 Ac 2 sin ( x ct ) 2 :סעיף שני A exp i(t kx) 2 2 d d d 2 2 A expi (t kx) Ai expi (t kx) Ai expi (t kx) 2 dt dt dt 2 2 2 d 2 d A expi(t kx) c 2 d Aik expi(t kx) c 2 Aik 2 expi(t kx) c c 2 2 dx dx dx
c 2 Ai 2 expi (t kx) Ai expi (t kx) c
2 2 k
2
c
e i e i cos( ) i sin( ) cos( ) i sin( )
3 שאלה :סעיף ראשון :סעיף שני
e e 2i
i
i
e i e i 2
cos( ) i sin( ) cos( ) i sin( ) 2i sin( ) sin( ) 2i 2i :סעיף שלישי cos( ) i sin( ) cos( ) i sin( ) 2 cos( ) cos( ) 2 2
82
תרגיל 2
0
1. מקרינים פוטו קתודה בקרינה אלמ"ג באורך . 6200המתח הנדרש לבלימת הפוטו- אלקטרונים הוא . 0.4V א. מהי פונקצית העבודה של המתכת? ב. מהו תנע האלקטרונים הנפלטים? ג. מהו אורך הגל המקסימלי של האור בעזרתו ניתן לקבל זרם מן הקתודה הנ"ל? 2. אור מונוכרומטי באורך גל 5893פוגע במשטח פוטזיום. מתח העצירה שיש להפעיל במערכת הניסוי הפוטואלקטרי בכדי לעצור את כל הפוטו-אלקטרוני ם הוא . V0 0.36 V חשבו את האנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים, פונקצית העבודה של הפוטזיום ותדירות הסף של הפוטזיום. 3. כאשר מתכת מסוימת מוארת באור בעל אורך גל של 625 nmנפלטים אלקטרונים מפני . 4.6 105 m המתכת במהירויות של עד sec א. מהי האנרגיה המקסימלית של האלקטרונים הנפלטים (ב- ?) eV ב. מהי פונקצית העבודה של המתכת? ג. מה תדירות הסף של האור שתחתיה לא יתרחש תהליך פוטואלקטרי כלל?
0
4. בשנת 6191 ערך החוקר מיליקן את הטבלה הבאה של תוצאות ניסיונותיו למתחי העצירה הדרושים בכדי לעצור את הפוטו-אלקטרונים מהיסוד ליתיום, כאשר הוא מוקרן באור בעל אורכי גל שונים. אורך גל 5.352 5.213 0.563 7.404 9.334 nm 75.2 76.1 90.1 37.0 55.0 מתח עצירה V מתוך הנתונים שבטבלה, שרטט גרף שממנו ניתן יהיה לקבוע את קבוע פלנק ואת פונקצית העבודה. מהי פונקצית העבודה של הליתיום ומהו קבוע פלנק? מה אורך הגל המקסימלי של הקרינה שעבורו יפלטו אלקטרונים מקתודת הליתיום? בניסוי אחר השתמשו בקתודה שפונקצית העבודה שלה כפולה מזו של הליתיום. הוסף לגרף ששרטטת בסעיף א' את הגרף המתאר את תוצאות הניסוי במקרה זה. הדגש באופן ברור את ההבדל בין שני הגרפים. א. ב. ג. ד.
פתרון שאלה 1 סעיף א':
eV0
hc
eV E ph eV Eelectrical eV
03421 0.4 1.6eV 0026
38
eV0
mvm ax 2
2
:'סעיף ב
2
vm ax
2 2eV0 2 1.6 10 19 0.4 11 m 1.4 10 31 m 9.1 10 sec
m vm ax 3.75 105 sec kg m P mv 9.1 10 31 375,045.78 3.41 10 25 sec
:'סעיף ג
E
hc
hf
max
hf
max
0 12430 7.745 10 7 m 7745 175 124
2 שאלה :פונקצית העבודה של הפוטוזיום תחושב על ידי 12430 eV E ph eV EelectricaleV 0.36 1.75eV 5893 :האנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים הינה 2 mvm ax EK eV0 1.6 10 19 0.36 5.76 10 20 J 2 :תדירות הסף של הפוטוזיום c c f f
.בכדי למצוא את תדירות הסף נחשב את אורך הגל המקסימלי שיביא לתדירות מינימלית 1.75 1.6 10 19 1 0 hf m in hf m in f m in 4.22 10 14 34 h 6.63 10 sec
3 שאלה :'סעיף א
625nm 625 10 9 m 6250 10 10 m 6250
m vm ax 4.6 105 sec
2
0
mvm ax 9.1 10 31 4.6 105 E eV 2 2
2
9.62 10 20 J 0.6eV
84
:'סעיף ב
Em ax hc
12430 0.6 1.38eV 6250
hc
Em ax
hf min
f min
:'סעיף ג
h
1.38 1.6 10 19 1 3.33 10 14 34 6.63 10 sec
4 שאלה :'סעיף א :נוסיף את השורות הבאות לטבלה, על מנת להקל על שרטוט הגרף
8 0 0 3 10 18 c 10 3 10 sec 10
253.5 2.57 2535
11.8 1014
312.5 1.67 3125
9.6 1014
c 1 sec 365.0 404.7 1.09 0.73 3650 4047 f
8.211014 7.411014
433.9 0.55 4339
6.911014
nm V
אורך גל מתח עצירה אורך גל
0 1 sec
f
:'סעיף ב :מתוך הנוסחה לקו ישר ניתן לראות כי שיפוע הקו הינו למעשה קבוע פלנק
y ax b h eV0 hf y 1.67 1.09 4.17 10 15 eV sec1.6 10 19 14 x 9.6 8.21 10
6.67 10 34 6.63 10 34 J sec
85
ובכדי למצוא את פונקצית העבודה, נבחר את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר המתח, כלומר 0 f ונקבל: 0f eV0 hf eV0 2.25eV סעיף ג': אורך הגל המקסימלי יהיה כאשר מתח העצירה מינימלי בערכו המוחלט (כלומר שווה ל- 0). למעשה, נחפש מה הערך של fבנקודת החיתוך של הגרף עם ציר התדירות.
0 013 1018 10 sec c 0 m ax 5,555 f 41015.4
סעיף ד': כעת אנו עוסקים בחומר בעל פונקצית עבודה כפולה מזו של הליתיום, כלומר: . 4.5eV 7.2 10 19 J את המתח העוצר נחשב כעת על פי: hf eV0 hf V0 e 43 נבחן את טבלת הערכים עבור מקרה זה (בשימוש בקבוע פלנק המדוייק :) h 6.63 10 J sec 5.352 5352 83.0
410111.8
5.213 5213 225.041019.6
0.563 0563 90.141018.21
7.404 7404 24.141017.41
9.334 9334 -36.1
nm
אורך גל אורך גל מתח עצירה hf V0 e
V
0
f 6.911014 1sec וכעת נביט על שני הגרפים, זה לצד זה:
68
תרגיל 3
1. א. הראו כי אורך הגל של אלקטרון שהואץ במתח Vלמהירות לא יחסותית נתון על ידי: 051 0 . V V
0 0 ב. איזה מתח האצה דרוש על מנת לקבל אלומת אלקטרונים באורך גל של ?0.1 ?1 2. גז מימן מצוי בטמפרטורה של 3000 Kובלחץ אטמוספרי. מהו אורך גל דה-ברולי של מולקולת מימן H 2 בטמפרטורה זו? השוו למרחק הממוצע בין מולקולות. 3 , Presure nK BTכאשר nהוא ניתן להיעזר במשוואות גז אידיאלי: E K K BT 2 23 J 01 K B 1.38 וכן צפיפות, ביחידות של 3 m ו- K Bהינו קבוע בולצמן K 2 . 1atm 1.013 10 5 N m
3. חשבו את אורך הגל (ב- ,) התדירות (ב- ) Hzוהאנרגיה (ב- ) eVשל שלושת קווי הפליטה הראשונים בסדרת . Lyman 4. תנו הסבר מדוע לא נתגלה הקו החמישי בסדרת באלמר ביחד עם ארבעת האחרים. פתרון שאלה 1 סעיף א':
0
E 1.6 10 19 V J p 2mE 2 9.1 10 31 1.6 10 19 V 29.12 10 50 V h p 436.63 10 29.12 10 50 V 8644 10 811.5 10 V 29.12 10 50 V
02 150 10 051 150 0 10 10 m V V V
סעיף ב':
עבור אורך גל של :1
0
1
051 V
V1V 150 V
0 עבור אורך גל של :0.1
0.1 051 V 051 0.01V V0.1V 15,000 V
78
2 שאלה :ראשית נבחן את אורך הגל
3 3 E K B T 1.38 10 23 300 6.21 10 21 J 2 2 m 2m p 3.34 10 27 kg p 2mE 2 3.34 10 27 6.21 10 21 6.44 10 24
kgJ
h 6.63 10 34 0 1.03 10 34 m 1.03 p 6.44 10 24 ואם נשווה למרחק הממוצע בין המולקולות, כאשר נדמה שכל מולקולה נמצאת במרכז קוביה :קטנה 5 P 1.013 10 1 n resure 2.44 10 25 3 23 K BT 1.38 10 300 m
Avg. dis. 3
1 3 1 0 3.44 10 9 m 34.4 Avg. dis. n 2.44 10 25
3 שאלה : Lyman הנוסחה לסדרת
1 R H 1 2 n 1 n 1
1 RH 10,973,731.6 m
:ועבור התדירות והאנרגיה
c f E hc f c
n2
4 4 0 1,215 3RH 3 10 .973 ,731 .6
1
3RH 4 f
c
n3
hc 6.63 10 34 3 10 8 E 1.63 10 18 J 10 .18eV 10 1215 10
1
3 10 8 rad 2.46 10 15 10 1215 10 sec
8 RH 9
c
9 9 0 1,025 8 RH 8 10 .973 ,731 .6
3 10 8 rad f 2.92 10 15 10 1025 10 sec
E
hc
6.63 10 34 3 10 8 1.94 10 18 J 12 .12eV 10 1025 10
88
4n
1
15 RH 61
61 61 0 972 6. 137, 379. 0115 RH 15
8 013 rad f 3.08 10 15 01 01 972 sec c
E
hc
8 016.63 10 34 3 2.04 10 18 J 12 .78eV 01 01972
שאלה 4 הנוסחה לסדרת : Balmer
1 1 RH 2 4 n 1 2n
1
1
5 RH 63
2 RH 9
1 RH 10,973,731.6 m נבחן את הטווח הכולל של 4 אורכי הגל הראשונים: 63 0 6,561 3n 5 RH 9 0 4,100 6n 2 RH
1
45 RH 691
אם נתבונן כעת בקו החמישי בסדרה: 691 0 3,969 7n 45 RH
0 קל לראות כי האורך הגל החמישי אינו נמצא בטווח האור הנראה, אשר הינו , 4000 7000 אלא בתחום האולטרה סגול. מכאן שנדרשה היכרות ורגישות גילוי לתחום תדרים זה בכדי לגלותו באופן אמפירי.
98
תרגיל 4
1. עבור אלקטרון בבור אינסופי, מה יהיה סדר הגודל של הפרש רמות האנרגיה עוקבות (ב- ) eV עבור רוחב של ? 1cm ? 1הסבירו את משמעות התוצאה. 2. אלקטרון בבור אינסופי ברוחב Lיורד מהרמה המעוררת הראשונה לרמת היסוד. הפוטון שנפלט מתאים לקו הראשון מסדרת לימן. מהו רוחב הבור ?L 0 3. אלקטרון כלוא בתחום החד מימדי 0 x 20 0 א. מה הסיכוי למצוא את האלקטרון בתחום 9 x 11 אם הוא במצב היסוד? 0 ב. מה הסיכוי למצוא את האלקטרון בתחום 9 x 11 אם הוא ברמה המעוררת הראשונה? 4. כיצד נראית פונקצית הגל של חלקיק בעל אנרגיה Eבאזור שבו האנרגיה הפוטנציאלית שווה לכללית, כלומר V E
0
פתרון שאלה 1
En n 2 2ml
2 2 2
E1 E2 E3
2 12 1.05 10 34
2
012 9.110 31 10
2 2 2 1.05 10 34
2
עבור : l 1 1010 m
0
012 9.1
13
2 32 1.05 10 34
2 13
01
2
2 1.1025 10 34 0.59 10 17 J 36.875eV 15 0118.2
2 01
01 2 9.110 ניתן לראות כי ישנו הפרש של עשרות / מאות eVבין רמות האנרגיה השונות.
עבור : l 1cm 102 m
2.36 10 17 J 147.5eV 5.3110 17 J 331.875eV
2 01
E1 E2 E3
2 12 1.05 10 34
2
22 9.110 31 10
2 2 2 1.05 10 34
2
012 9.1
13
2 32 1.05 10 34
2
01 01
2
2 1.1025 10 34 0.59 10 33 J 3.68 10 15 eV 15 0118.2
2 2
012 9.1
13
2.36 10 33 J 14.75 10 15 eV 5.3110 33 J 33.18 10 15 eV
2 2
ניתן לראות כי ישנו הפרש קטן מאוד בין רמות האנרגיה השונות. המשמעות הנגזרת מכך היא שההפרש בין שתי רמות אנרגיה עוקבות קטן ככל שרוחב הבור גדל, כך שבמערכת מקרוסקופית האנרגיה למעשה רציפה. זהו הגבול הקלאסי.
09
n 1 n 2
12 1.05 10 34 2 E1 2 2 9.110 31 L
2
2 שאלה :ההפרש בין האנרגיות הראשונה והשנייה יחושב על ידי 1 1 E 13 .6eV 2 10 .2eV 1.632 10 18 J 1 2 :נחשב כל רמה בנפרד
E2
2 2 1.05 10 34 2 2 2 9.110 31 L
2
2 2 1.05 10 34 2 12 1.05 10 34 2 3 1.05 10 34 2 1.79 10 37 E2 E1 E 2 2 2 L 2 2 9.110 31 L 2 9.110 31 L 2 9.110 31 L
2 2 2
1.632 1018
1.79 1037 L2
L
0 1.79 1037 3.3 1010 m 3.3 1.632 1018
3 שאלה :'סעיף א
2x 11 11 x sin 20 2 x 1 P9 x 11 | 1 | 2 dx sin 2 dx 20 20 10 2 4 9 9 20 9
2 2x sin l l
11
11
1 (11 9) 5 22 18 sin sin 10 2 20 20
0.198 20% :'סעיף ב
2
4x 11 11 x sin 20 2 2x 1 P9 x 11 | 2 | 2 dx sin 2 dx 20 20 10 2 8 9 9 20 9 1 (11 9) 5 10 2 2 11 sin 5 9 sin 5 3 6.45 10 0.6%
91
שאלה 4: על פי משוואת שרדינגר:
) ( x ) V ( x) E ( x 2 2m x אם נציב V Eכפי שנתון, אזי המשוואה הופכת לבעלת הצורה: 2 ) 2 ( x ) 2 ( x 0 0 2 2m x 2 x
2 2
שפתרונה הוא פונקציה מן הצורה A . ( x) Ax Bו- Bיקבעו על ידי תנאי השפה והנרמול.
29
תרגיל 5
התרגיל כולו כלל שאלות ממבחנים
תרגיל 6
E
02V 0V
1. אלומה אחידה של אלקטרונים בעלי אנרגיה של 0V0 E 2V מגיעה אל מחסום פוטנציאל הבנוי משתי מדרגות.
א. כתבו את משוואת שרדינגר והפתרונות הכלליים בכל אזור. ב. רשמו את המשוואות הנובעות מתנאי השפה. 2. אלומת אלקטרונים נעה בכיוון השלילי של ציר Xלעבר מדרגת פוטנציאל כמשורטט. חשבו את מקדמי ההעברה וההחזרה במקרה זה והשוו למקרה שנידון בתרגול (אלומה בכיוון החיובי).
0
a
E
0V
0x
פתרון שאלה 1 סעיף א: משוואת שרדינגר הכללית הינה:
2 2 E V0 2 2m x משוואת שרדינגר המתאימה 2 2m 2 E 2
x
פונקצית הגל ( x) Aeix Beix
אזור 0V
2mE 2 ( x) Ce ix De ix
2mE V0 2 ( x) Fex 2m2V0 E 2
2 2m 2 E V0 2 x 2 2m 2 E 2V0 2 x
0V V
0V 2V
39
:סעיף ב :המשוואות המתאימות לתנאי השפה הינן ( x 0) A B C D
( x a) Ce ia De ia Fea ' ( x 0) A B C D
' ( x a) Ce ia Deia Fea
2 שאלה :עבור כל אזור נקבל פונקצית הגל
2mE V0 2 2mE 2
( x) Ae ix Be ix
( x) Ce ix
אזור x0
x0
( x 0) A B C B A A B ' ( x 0) i A B iC
B A B A
:נבחן את תנאי השפה
2mE 2 2 2mE V0
A B C
E E V0
: נסכום את שתי הנוסחאות שנתקבלו מתנאי השפה
C 2 2 2 B 1 C B 1 B A C :ועל כן, מקדם ההעברה עבור אלומה בכיוון השלילי הינו
C 2 4 2 4 T ( ) 2 2 B ( ) 1 :)אם נתבונן במקרה של אלומה בכיוון החיובי (שמאל לימין A B C 2C C C ( ) B 2 2 CB C 2
2
2
2 2 1 2 B 2 4 R T 2 2 A 2 1 1
2
.קיבלנו למעשה את אותו מקדם העברה
94
תרגיל 7
2mm 5mm
1. נמלה שמסתה גרם אחד נעה במהירות זניחה לעבר תלולית חול משולשת. הנמלה מבצעת תנועה זו פעם בשנייה. כעבור כמה זמן תמצא את עצמה הנמלה בצד השני של התלולית על פי עקרונות מכאניקת הקוונטים?
2. בפליטה קרה ( , V0 15 eV )cold emissionהאנרגיה הממוצעת של האלקטרונים היא ) Vכך שצפיפות הזרם המשטחית תהיה . E 10eVמהי עוצמת השדה ( ביחידות m 2 . J 1mAנתונה צפיפות המספר של האלקטרונים 1ne 10 22 cm cm
פתרון שאלה 1 אם נבטא את המחסום באמצעות פונקציות נקבל עבורה צד העולה והצד היורד: 4 x going up 5 y ( x) 4 4 10 3 x going down 5 m כאשר נתונים: 2 01 M 1gr 103 kg g הרי שנקבל עבור הפוטנציאל באזורים sec השונים: 4 3 10 10 5 x 8 10 3 x going up V ( x) Mgy ( x) 5 3 10 3 10 4 10 3 4 x 4 10 8 10 x going down 5 נשתמש בנוסחא עבור פוטנציאל בעל צורה כללית:
32.510 3 2 2m 2.510 1 3 2 T exp 8 10 x dx 4 10 5 8 10 3 x 0 0 3 2 2 10 exp 7.453 10 6 1.66 10 2 43 01 1.054 1 1 exp 1.4 10 31 sec fT T
1
2
dx
59
2 שאלה :ראשית נמיר את הנתונים ליחידות המתאימות ne 10 cm 10 28 m 3
22
3
mA A J 1 2 10 2 cm m
:נציב בנוסחאות ונקבל
J out
4 2m (V E ) 2 2E TJ in Tnve exp 0 e n e 3 m 2
3 T E mv 2
4 2 9.110 31 (5 1.6 10 19 ) 3 2 28 2 10 1.6 10 19 exp 1.6 10 19 10 34 19 31 1.6 10 9.110 3 1.054 10 7.66 1010 3.3 10 15 exp 10 7.66 10 ln 3.3 10 15
7.66 1010 V 2.3 109 15 ln 3.3 10 m
96
תרגיל 8
1. א. הראה שעבור חלקיק חפשי ניתן לכתוב את יחס אי הוודאות x p בצורה : 2 2 x 4
ב. אורך גל של פוטון מסוים נמדד כ- . 5000 0.02 מה היא אי הוודאות המינימלית במיקומו? 2. רדיוס גרעין מסוים הוא 41 10מ'. הערך את האנרגיה הקינטית המינימלית של פרוטון בגרעין זה. בטא אותה ב- . MeV פתרון שאלה 1 סעיף א' נתחיל מן הביטוי המוכר עבור עקרון אי הוודאות:
xp h xp x 2 h 2 4 p P 2 h 2 4
0
0
x
2 4
סעיף ב'
מן הנתונים ידוע כי: 0.02 5000
0
. x נציב את הערכים הנתונים בנוסחא שנתקבלה:
x 0.02 10 10 x x m in
5000 10
4
01
2 מסעיף א' של השאלה ידוע: 4
2 01
5000 10
01 4 0.02 9.94 mm
2 01
9.94 10 3 m
שאלה 2 נתון כי: . x R 1014 m מן ההגדרה של סטיית תקן:
p 2
EK
p2 p 2p 2m p
2
2
p
0 2
p 2 p
2
2p
0
2 m
2m 1 2m 2x
2
EK
2m
p
2m
2
2 p EK
E K
m in
2 1 2m 2 10 14 8.31 10 15 J 5.19 103 eV
2
79
תרגיל 9
1. א. D( E )dEמבטא את צפיפות החלקיקים עם אנרגיה E dEכאשר ) D(Eהיא פונקציית הצפיפות ליחידת אנרגיה. באותו האופן ניתן להגדיר את g * ( p)dpכצפיפות החלקיקים עם תנע , p dpכאשר . D( E )dE g * ( p)dpמתוך ) g (Eוהקשר בין Eל- pהראו כי:
2 8p 3h ב. חשבו את התנע הממוצע pשל אלקטרונים במתכת כפונקציה של באמצעות: (1) ) D(E (2) )g * ( p
, g * ( p ) עבור מערכת תלת מימדית.
pF 2mEF
dE 2. הראינו בכיתה כי הלחץ, המוגדר על ידי dv הלחץ במדויק. gr 3. עבור ברזל ) (Feצפיפות המסה היא 3 68.7 , וכן 65 . Z 2 , A cm א. חשבו את רמת פרמי ) . ( EF ב. על ידי מדידת התנהגות האלקטרון החודר אל מתכת אפשר לדעת את האנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון במתכת . V Sעבור ברזל נמצא כי . VS 14 eVמהי פונקצית העבודה של ברזל? ג. הקרינו על ברזל פוטונים בעלי אנרגיה של . 5eVאיזה חלק מן האלקטרונים יכולים לצאת מן המתכת עקב הקרנה זו? 4. חשבו את ) , D(Eצפיפות המצבים עבור סריג דו מימדי.
. p neחשבו את
5 3
p פרופורציוני ל-
פתרון שאלה 1 סעיף א'
p 2mE E p 2m
2
3 1
dE p dp m
2 2m 2 D( E ) 2 2 E 2
1 2 1 dE 2m 2 dE 2 2m p 2 2 p 8p 3 ) g * ( p ) D( E E 2 dp 2 2 2 dp 2 h h 2 2m m 2 3 2 3
89
'סעיף ב
(1)
p
EF
0
2mE D( E )dE
EF
EF
0
2mE
2m 2 E dE 2 2 2
1 3 2 1
3 2
2m EdE
0
EF
0
D ( E )dE
2
EF
0
2m 2 E dE 2 2 2
EF
0
E dE
1 2
2m
EF 2 3p F 3 2 4 EF 2 3
PF
( 2)
8P 2 0 pg * ( p)dp 0 h 3 dp p PF 2 P 0 g * ( p)dp 0 F 8p dp h3
PF
p
PF
0 PF
0
pF p dp 3 4 3 pF 4 p 2 dp p F 3
3
4
2 שאלה
p dE dE dV d ( L3 ) 3ne 3 3 2 2 5 2 me
2
3 2 2 E 5 2 me Etotal
3 3 Ne 3 V
2 2 5
2
2
3 2 2 Ne E Ne 5 2 me
2 2 3 3 N e 3 3N e 3 10me V
3 3 3 V
2 5
2
2
5 dEtotal 3N e 3 2 2 p 10me dV
2 3 3 d dV
2 2 2 V 3 5m e
3 3 Ne 3 V
3 שאלה 'סעיף א
ne Z A
A
106
2
2 6.02 1023 7.86 106 1 1.68 1029 3 56 m
2 2 3ne 3 18 EF 1.78 10 J 11.16eV 2me
VS E F E F VS 14 11 .16 2.84 eV VS E Ph 9eV
'סעיף ב 'סעיף ג
11.6
9 11.6 0
D( E )dE D( E )dE
11.6
9
2m 2 2 E dE 2 2 2
1
3
11.6
0
2m E dE 2 2 2
1 2
3 2
11.6
9 11.6
E dE E dE
1 2
1 2
2 2 E 3 2 E 3
3 11.6
9 3 11.6 2 0
0.27 27%
0
99
שאלה 4 עבור שני מימדים מתקיים: 8m L E h 2 2 E 2n1 n 2 R2 e 2 8me L 2 h
2
2
R
מספר המקומות ברבע מעגל בעל רדיוס ( Rעם הכפלה ב-2 עבורה הספין):
1 1 2 N 2 R 2 R 4 2
2 N R 8me L2 E 4mE n 2 2 2 הצפיפות במקרה של שני מימדים הינה : L 2L 2L 2h 2h
ולכן נקבל:
D( E ) dn 4m 2 dE h
001
תרגיל 01
1. בתרגיל 7 קיבלתם הערכה לאנרגיה בגרעין בעזרת עקרון אי הוודאות. אם נתון שרדיוס הגרעין הינו 3 R R0 Aכאשר R0 1.3 10 13 cmו- Aהוא מספר הנוקלאונים, עבור ברזל 01) 1.7
72
1
. A 56 א. מהי אנרגית פרמי (מסת נוקלאון הינה kg ב. מהי האנרגיה הממוצעת של נוקלאון?
2. כאשר כוכב גדול מהשמש מכלה את הדלק הגרעיני שלו ומתקרר, כוח הגרביטציה דוחס את ליבתו לכוכב ניוטרונים, שהוא מעין גרעין ענק המורכב מניוטרונים בלבד. מסת ניוטרון היא . mn 1.675 10 27 kg
א. חשבו את רמת פרמי ) ( EFעבור ליבה בעלת מסת השמש M 1M 2 10 33 gr ורדיוס . R 10kmהניחו כי הצפיפות קבועה. ב. חשבו את הלחץ בכוכב. ג. אם רדיוס הכוכב התכווץ מ- Rל- , 0.8Rפי כמה גדל הלחץ? הערה: למעשה הצפיפות והלחץ אינם אחידים בתוך הכוכב. גרדיאנט הלחץ מאזן את כוח הכבידה העצום (שאף הוא משתנה כמובן בתלות במרחק ממרכז הכוכב) וכך מונע קריסה לחור שחור.
3. עקרון האיסור של פאולי ממלא תפקיד מכריע בהסברת אי הדחיסות של מוצקים. אם בהגדלת הלחץ ב- dPהשתנה נפח דוגמת חומר ב- dVמדד לאי הדחיסות הוא ה-
dV . B V Bulk Modulusהמוגדר על ידי: dP א. הסבר מדוע Bחיובי, בלתי תלוי בנפח דוגמת החומר וגדל ככל שהמוצק פחות דחיס. ב. הנח שכל הלחץ של המוצק נובע מגז האלקטרונים החופשיים בו. הראה ש:
3 3h2 1 B n 4m 3 2
1 5
1
) 8.96 grג וקבלו את
3 cm
הציבו את ערכו של nעבור נחושת ( 1 , A 63.5 , Z
ג.
ערכו של Bלמתכת זו. N הערך הניסיוני עבור נחושת הוא . B 1.34 10 11 2 השווה לתוצאה התיאורטית m ודון בטיב ההנחה שבבסיסה.
ד.
101
פתרון 1 שאלה 'סעיף א
R R0 A 1.3 10 13 3 56 4.97 10 15 m
3 4 4 V R 3 4.97 10 15 5.15 10 43 3 3 N 56 # nn 1.086 10 44 3 43 V 5.15 10 m 1 3
2 2 3nn 3 2 2 3 3 EF 1.086 10 44 7.12 10 12 J 44 .5MeV 27 2 mn 2 1.7 10
2
2
'סעיף ב
2 5 EF 2 3 5 E E F 26.73MeV 3 3 2 5 1 E F 2m 2 EF 2 2 2 E 2 dE 3 0 2
0
EF
E
2m 1 2 E dE 2 2 2
3 2
2 שאלה 'סעיף א :ראשית נרכז את נתוני השאלה, תוך המרה ליחידות הרצויות mn 1.675 1027 kg
M 2 1033 gr 2 1030 kg R 10km 10,000m ne const
:כעת נפנה אל החישוב
N M 2 10 1.2 1057 mn 1.675 10 27
30
4 4 3 V R 3 10,000 4.18 1012 m 3 3 3 N 1.2 1057 # nn 2.87 10 44 3 12 V 4.18 10 m
2 2
2 2 3nn 3 2 2 3 3 EF 2.87 10 44 1.38 10 11 J 86 .4MeV 27 2 mn 2 1.675 10
'סעיף ב
P
5 5 2 2 3 2 2 kg 3 44 33 nn 3 2.87 10 3 1.58 10 27 2 5m n 5 1.675 10 m sec 2 3 2 3
102
'סעיף ג :נבחן את היחס בין הלחצים, בהתאם לשינוי ברדיוס
1 3 P V const const 5 5 4 3 5 4 3 5 R R 5 P1 3 3 4 1024 const P2 5 3125 5 5 3 4 4 R 3 5 3 כלומר הלחץ גדל פי
5
P1
const V
5 3
P2
4 3 R 3 const
5 5
const
5 3
4 34 R 3 5
4 שאלה 'סעיף א בהכרח גודל חיובי משום שהוא מייצג אי דחיסות - מדד המציג למעשה את היכולתB המקסימלית של הגוף המוצק להידחס. גודל זה בהכרח חיובי משום שלא ניתן לדחוס חומר מוצק .עד כדי נקודה בשל הקשרים והלחץ הנגדי אותו מפעילים האטומים אינו תלוי בנפח משום שהוא גודל ליחידת נפח של החומר. ניתן להתבונן על תא יחידה שלB .החומר ולאמוד את מידת הדחיסות שלו. ככל שהמוצק פחות דחוס המדד לאי דחיסותו גדול יותר 'סעיף ב
P
5 2 2 3 2 2 3 N nn 3 5m n 5m n V 3 2 3 2 3 5 3
2 2 5 2 2 2 2 5 5 3 3 3 3 3 N V N 3 5m n P 5m n P 5 2 5 dV 2 2 3 3 5 N 8 dP 5mn P 3 3 P
2 5 2 2 1 5 3 3 N dV B V P 3 3 3 dP 2 5 5m n P 5 2 2 3 5 N 3 8 3 3 5m n P P 1
5 5 5 5 2 2 3 3 N 3 5 2 2 1 3 h2 1 3 3 B P 3 2 ne 2 ne 3 3 3 5mn V 3 5mn 3 4mn 3 2 5 1 1
3
3
3
n ZA0
A
'סעיף ג
10 6 1 6.02 10 23 8.96 # 10 6 8.63 10 28 3 63 .5 m
103
5 3h2 1 2h 3 1 B 82 018.63 2 ne 3 31 2 4mn 3 4 9.1 10 3
1
1
5 3
N 6.56 10 10 2 m
סעיף ד'
Bexp Bth
011.34 40.2 01016.56
11
קיבלנו בחישוב התיאורטי גודל הקטן פי 2 מהערך הניסיוני. הדבר נובע מן ההנחה כי כל הלחץ של המוצק נובע מגז האלקטרונים החופשיים, הנחה שאינה מדויקת. הלחץ הוא נגזרת הכו ח ואין זה הכוח היחידי שקיים אלא גם כו ח הקשרים הקובלנטים של שריג המתכת.
401
תרגיל 11
1. במודל קרוניג פני, עבור הפוטנציאל המחזורי (לא אינסופי) הראו שב- 0 E Vספקטרום
E 2 2k האנרגיה כתלות ב- kשואף לספקטרום של חלקיק חופשי: 2m רמז: א. הראו כי בגבול זה . ב. הציבו הנחה זו באילוץ שנובע מהדטרמיננטה של תנאי השפה. 3 :P 2. במודל קרוניג פני בגבול של פוטנציאל אינסופי עבור 2 )sin( x cos(x) Pכאשר . x a א. שרטטו גרף של x ב. הראו שפסים מותרים מתחילים מעל . a n ג. הראו שרוחב הפסים המותרים גדל עם . x ד. הראו מה קורה כאשר Pגדול יותר והסבירו. ה. הראו מה קורה כאשר Pקטן יותר והסבירו.
פתרון שאלה 1
2mE 2
2mE V0 2
כאשר 0: E V
02mE V0 E V 2mE 2 2 נציג כעת בנוסחא המורכבת שפותחה לעיל ונקבל: 22 coska cosb cos (a b) sin b sin (a b) 2
2 2 sin b sin (a b) 2 2 cosb cos (a b) sin b sin (a b) cosb (a b) cosa כלומר למעשה קיבלנו: coska cosa k ואם נכתוב את הביטויים במפורש:
cosb cos (a b)
k 2mE total 2mE K 2 2 Etotal E K
כלומר, במצב בו 0 E Vנקבל כי ספקטרום האנרגיה כתלות ב- Kשואף לספקטרום של חלקיק חופשי, כנדרש.
501
שאלה 2 סעיף א':
סעיף ב': פסים מותרים מוגדרים כאשר הפונקציה בין 1 . 1 f ( x) מהצבה פשוטה קל לראות כי: ) sin( n 1 cos( ) P 1 cos( )
) sin(2 n 2 cos(2 ) P 1 cos(2 ) 2 ) sin(3 n 3 cos(3 ) P 1 cos(3 ) 3 או באופן כללי, עבור a nאנו נשאר עם רכיב ) cos(nבלבד אשר ערכו 1 , שהם בפועל התחלת פסים מותרים.
סעיף ג': קטן ועמו גם הפסים האסורים, כלומר הפסים המותרים גדלים.
)sin( x ככל שהאנרגיה גדלה, x
סעיף ד': כאשר Pגדל, הפסים האסורים מתרחבים על חשבון המותרים, וכאשר P נקבל פתרון הדומה לזה של אלקטרון בבור פוטנציאל אינסופי. עם גדילת Pהפסים למעשם "מתיישרים אנכית". סעיף ה': )sin( x . כאשר כאשר Pקטן, הפסים המותרים מתרחבים על חשבון האסורים, כי קטנה השפעת x 0 P נקבל פתרון הדומה לזה של אלקטרון חופשי. הפסים למעשה "מתיישרים במאוזן".
601
תרגיל 21
1. ראינו בכיתה שרמות האנרגיה של הפוזיטרוניום (אלקטרון + פוזיטרון) בעלת הצורה: 2 1 me e 0 22 2 . E n מה יהיה אורך הגל של פוטון הנפלט במעבר אנרגיה 2 ) 0 2 n (4 מרמה 2 n לרמה 1 ? n מהי אנרגית הינון ב- ? eV
2. במעבדה ניתן להחליף אלקטרון באטום המימן במיואון בעל מסה של בערך 200 me ובעל מטען זהה לאלקטרון. תוצר זה נקרא אטום מיואוני. א. מה יהיו רמות האנרגיה של האטום המיואוני? 0 ב. מה יהיה אורך הגל של פוטון הנפלט במעבר מרמה 3 n לרמה 2 ? n ג. מה יהיה הרדיוס של האטום ביחידות של רדיוס בוהר?
פתרון שאלה 1 דרך אחת לפתור את השאלה היא ע"י הצבה של כל הנתונים והמרת היחידות הנכונה. זוהי דרך ארוכה ומסורבלת, ולכן תוצג פה דרך קצרה. ראינו בכיתה כי רמות האנרגיה של הפוזיטרוניום תהינה מחצית מרמות האנרגיה של אטום המימן. ידוע כי במימן מתקיים: 1 1 1 RH 2 2 1 7 01 RH 1.1 m n m 1 3 1 1 RH 2 2 RH 4 2 1 0 4 1.2121 10 7 m 1212 3R H קבוע רידברג מתנהג כמו האנרגיה ולכן עבור פוזיטרוניום "קבוע רידברג אפקטיבי" יהיה 0 1 יהיה כפול מ של מימן ולכן . 2424 1. 0.55 107 m RH אנרגית הינון של מימן היא אנרגית מצב היסוד, כלומר 13.6eVולכן עבור הפוזטרוניום היא תהיה מחצית, כלומר 6.8eV
שאלה 2 סעיף א': כיוון שידוע יחס המסות הרי שכל שנותר הוא להציב: 2 200me e 4 Z
En
2 2 n 2 4 0
2
כמו כן ניתן לחשב מסה מצומצמת ולקבל כי mPositron 180 me
701
סעיף ב': נפתור סעיף זה בדומה לשאלה 1:
1 1 200RH 2 2 1 7 01 RH 1.1 m m n 1 052 1 1 200RH 2 2 RH 9 3 2 0 9 3.272 10 9 m 32 .72 250 RH 1
סעיף ג': 1 a ובשל יחס המסות הנתון m 200 me היות שהרדיוס פרופורציוני למסה באופן הבא: m הרי שנקבל: a 0 a 002 כלומר רדיוס הקטן פי 002 מרדיוס אטום המימן.
801
תרגיל 31
1. חשבו את הסיכוי למצוא אלקטרון במצב היסוד 100 במרחק שגדול ביותר מ- 0 2a מהגרעין. 2. חשבו את המרחק הממוצע rשל אלקטרון במצב היסוד מן הגרעין.
3. הראו כי ממוצע כל פונקציות צפיפות ההסתברות המתאימות ל- 2 n הוא בעל סימטריה כדורית (אינו תלוי ב- .) , 4. לאטום ( Bבורון) ניטרלי יש 5 אלקטרונים. א. מה הקונפיגורציה של האלקטרונים במצב היסוד? 4 ב. מה מבנה הרמות של Bהמיונן 4 פעמים (כלומר ( ? B ג. מה היא אנרגית היוניזציה של ? B 4 2 ד. נתון כי לאלקטרון תנע זוויתי של Lשאורכו הוא 2 . | L | 12 מה ערכו של המספר הקוונטי lומה ערכו הנמוך ביותר של המספר הקוונטי הראשי ? n פתרון שאלה 1
P(r ) 4r 2 2 4a0 r 2 e
3 2 r 0a 2 r
P ( r 2a 0 )
2 P(r )dr 4a0 r e 3 02 a
0a
dr
S
02 a
1 2 s 4 832.0 s e ds 13 e 4 2 2r
0a
שאלה 2 2 r 2 r a 6a 4 3 3 0r rP (r )dr r 4a0 r 2 e a0 dr 3 r 3 e a0 dr 0 s 3 e s ds 0 a 4 2 0 0a 0 4 2r 0 0 S
0a
שאלה 3
| Pnlm 4r |
2 2
002P 012P 112P 1P21 1 r 3 a0 2 32 0a 1 r 3 a0 a 32 0 0 r a e
2 2
0 r a e cos2
2
1 r r 3 a 0 e a0 sin 2 a 64 0 1 r r 3 a0 e a0 sin 2 a 64 0
2
901
:ולכן הממוצע יהיה 2 r r 2 1 1 1 3 a0 2 cos2 sin 2 sin 2 2 r 2 P Pnlm a0 e 4 nlm 4 64 a0 a0 2 2 r 2r 2 1 1 r 3 a0 2 2 a0 e 4 64 a0 a0 .ואכן קיבלנו ביטוי שאינו תלוי בשום זווית 4 שאלה :'סעיף א
B(5) 1S 2 2S 2 2 P1
:'סעיף ב : ולכןZ 5 הינו אטום דמוי מימן, אלקטרון בודד עם גרעין. במקרה זהB 4
me e 4 z 2 5.46 1017 J 341eV En 2 2 2 2 2 n (4 0 ) n n2
:'סעיף ג . n אנרגית היוניזציה הינה האנרגיה הנדרשת להעלאת אלקטרון מרמת היסוד אל :לכן E 341eV
| L | 2 12 2 2 l (l 1)
:'סעיף ד
l l 12 0
2
(l 4)(l 3) 0 l 3
.4 לפחותn - ומכאן וn l
110
נספח 1: יחידות פיסיקליות, קבועים ונוסחאות מתמטיות
קשרים אלגברים שימושיים
e ix e ix e ix e ix sin( x) 2 2i x x x e e e ex cosh(x) sinh( x) 2 2 cos(ix) cosh(x) sin(ix) sinh( x) cos(x) sinh( x) 1 x 1 e x cosh(x) 2
:אינטגרל פורייה
קבועים
A m 0 1.26 10 6 Watt
0 8.85 10 12
m C 3 108 sec
n m2 2 c
K B 1.38 10 23 J
( x)
1 2
1.054 10 34 j sec 6.582 10 16 eV sec me 9.1 10 31 kg m p 1.67 10 27 kg e 1.6 10 19 c Av 6.022 10 23 1
h 6.63 10 34 j sec 4.135 10 15 eV sec
k 8.617 10 eV k
5 o o
( k )e
ikx
dk
y lm פונקציות כדוריות הרמוניות
l 0
1 1 y 2
0 0
mole
l 1
a0 5.3 10 11 m 0.53 A
y10
1 3 cos( ) 2
y11
1 3 i e sin( ) 2
שברים
micro 10
6
l 2
1 5 y 3 cos 2 ( ) 1 4
0 2
nano 10 9 pico 10 12
y21
1 15 i e sin( ) cos( ) 2 2
מעברי יחידות
T
y2 2
1 15 2i e sin 2 ( ) 4 2
K T C 273
o o
kg 2 m 2 joul 2 sec 2 ohm kg m 3 2 A sec eV 1.6 10 19 j
kg m 2 watt 3 sec gr 3 cm
o 10 10 m 10 8 cm
111
Operation
Cartesian coordinates (x,y,z)
Cylindrical coordinates (ρ,φ,z)
Spherical coordinates (r,θ,φ)
Definition of coordinates
נספח 2: מדוע איינשטיין קיבל פרס נובל?
במאמרו משנת 5091 ניסה איינשטיין להבין את המשמעות של נוסחת פלנק. יש לציין כי הוא השתמש רק בידע של סטודנט לפיסיקה בשנה ב' בתרמודינאמיקה. החוק הראשון: d U Q PdV
internal energy
Q Tempd s
entropy
עבור גז אידיאלי עם מספר חלקיקים Nמתקיים: PV NK BT
U NK B CV T
V ולכן כאשר אנו משנים את נפח הגז ההפרש באנטרופיה נתון על ידי . (*)S NK B ln 2 V 1 איינשטיין הכיר את התוצאות של פלנק עבור תחום תדירויות : f df , f
U ( f , Temp) 8h 3 hf 3 f exp 1 V c K BTemp גדולתו של איינשטיין הייתה בביצוע ניסוי מחשבתי וחשיבה על אור מונו כרומט י. בשלב הבא הוא בחן את הנוסחה של פלנק בגבול , hf K BTדבר שהקל על החישובים: U 8hdf Af 3 exp hf A K BTemp V 3c מתוך המשוואה האחרונה, לאחר ביצוע פעולת )( Lnעל שני הצדדים מתקבל:
1
U K 1 B ln T hf VAf 3
מאידך, בנפח קבוע מתקיים:
1 dS T dU ולכן נבצע אינטגרציה, תוך שימוש בקשר ln( x) x ln x 1ונקבל כי:
S
K BU hf
U ln VAf 3 1 const
ולכשנשנה את נפח הגז:
S
אם נשווה נוסחה זו לנוסחה עבור גז אידיאלי (*) ניתן לראות כי הקרינה בתחום כוללת Nפוטונים שלכל אחד מהם אנרגיה של . hfאיינשטיין הכיר גם את העובדה כי האנרגיה של גז קלאסי ניתנת על ידי . const f כדי להמחיש שהרעיון אינו בהכרח רק "תרגיל מחשבתי" הוא הראה כי ניתן להשתמש בו בכדי להסביר את האפקט הפוטו אלקטרי. נקודה זו אינה מופיעה בגוף המאמר אלא בנספח כך שלמעשה הוא קיבל נובל על תוצאה שהופיעה כתוספת למאמרו.
f df , f
K BU V2 ln V hf 1
נספח 3: הספקטרום האלקטרומגנטי
411
נספח 4: מושגי יסוד במכאניקה סטטיסטית
חוק האיסור של פאולי : לא יתכנו שני פרמיונים באותה רמה קוונטית באותה המערכת. יש לזכור כי רמה קוונטית מוגדרת ע"י אנרגיה וספין. רמת פרמי: הרמה הגבוהה ביותר המאוכלסת על ידי אלקטרונים בטמפרטורה . T 0 o Kרמת פרמי מוגדרת עבור כל חומר ואינה משתנה בהפעלת מתח או בשינוי טמפרטורה. סופר מוליך: כאשר שני אלקטרונים בעלי ספין מסוים ושניים בעלי ספין הפוך חוברים יחדיו ליחידה לה ספין 0, אזי בהתנגדות 0 הזרם ימשיך לזרום "לעד". בוזונים: חלקיקים בעלי ספין שלם. מספר בוזונים יכולים לאכלס אותו מצב קוונטי. למשל, פוטונים, פיונים. פרמיונים: חלקיקים בעלי ספין שאינו שלם. כל מצב קוונטי אפשרי למערכת יכול להיות מאוכלס על ידי פרמיון אחד בלבד. אין שני פרמיונים בעלי אותו סט של מספרים קוונטים. למשל, אלקטרונים, פרוטונים. פוטנציאל כימי: . E F E Pהרמה האפשרית הגבוהה לאכלוס אלקטרונים במתכת אשר אינה בטמפרטורה T 0 o Kאו שמופעל עליה מתח.
511
נספח 5: ביוגרפיות של האישים שהוזכרו בחוברת
המידע בחלק זה לקוח מאתר ויקיפידיה ומאתר פרס נובל.
1. ארווין שרדינגר
ארווין שרדינגר (21 באוגוסט 7881 - 4 בינואר 1691), פיזיקאי אוסטרי ומאבות מכניקת הקוונטים. חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 3391 (יחד עם פול דיראק). ארווין שרדינגר נולד בווינה לרודולף שרדינגר (שהיה בין השאר גם בוטניקאי) ולג'ורג'ינה אמיליה ברנדה (שהייתה פרופסור לכימיה), וזכה להשכלה רחבה ביותר. עד סוף ימיו התעניין בבלשנות, בספרות ובפילוסופיה, ואף תרם תרומה נכבדה למדי לשאלת מוצא החיים. ב6 באפריל 0291 נשא שרדינגר לאישה את אנמרי ברטל. באותה שנה הוא הפך לעוזרו של מקס וויין, ושנתיים לאחר מכן עבר לאוניברסיטת ציריך. שם, בגיל 93 (גיל מאוחר למדי, שכן רוב הפיזיקאים העיוניים הגיעו לתגליותיהם החשובות בגיל צעיר בהרבה) חיבר את המאמרים שהניחו את יסודותיה של מכניקת הקוונטים. על סמך קביעתו של לואי דה ברויי כי חלקיקים אלמנטריים נוהגים לפעמים כחלקיקים ולפעמים כגלים, כתב שרדינגר משוואה הקרויה משוואת שרדינגר עבור מה שקרא "פונקציית הגל" של החלקיק. משוואה זו ממלאת במכניקת הקוונטים את התפקיד שממלאות משוואות התנועה של אייזיק ניוטון במכניקה. אולם בניגוד למשוואות אלה שפתרונן נותן את המיקום והמהירות (או התנע) של החלקיק בכל זמן, פונקציית הגל שמתקבלת ממשוואת שרדינגר מאפשרת לדעת רק את ההסתברות שהחלקיק יהיה במקום מסוים או עם תנע מסוים. בדרך זו נכנסה ההסתברות לפיזיקת החלקיקים, למורת רוחם של רבים: אלברט איינשטיין סירב לקבל זאת מכול וכול ("אלוהים לא מנהל את העולם בקובייה!"), וגם שרדינגר עצמו לא רווה נחת, והקדיש עמל מרובה למציאת דרך לסילוק ההסתברות מעולם העצמים הגשמיים, אך לשווא. מסופר כי שרדינגר עצמו הציע את הניסוי המחשבתי הידוע בשם החתול של שרדינגר, שבא להפריך את פרשנות קופנהגן למכניקת הקוונטים. בניסוי זה מגיע חתול למצב שבו הוא "לא חי ולא מת, אלא חצי מזה וחצי מזה." עד היום לא נמצאה פרשנות למכניקת הקוונטים המקובלת על כלל הפיזיקאים, ובכל הפרשנויות הקיימות אפשר למצוא אבסורדים. ב-7291 הוזמן שרדינגר להצטרף לסגל המכובד עד מאוד של אוניברסיטת מינכן, שכלל גם את איינשטיין. הוא נשאר שם עד 3391, ואז הגיע למסקנה כי אין הוא יכול לחיות בארץ שרדיפת היהודים הפכה למדיניותה הרשמית (אף שלא היה יהודי). בשנת 6391 עבר לאוסטריה. כמו כן, בשנת 3391 זכה בפרס נובל לפיזיקה אותו חלק עם הפיזיקאי הבריטי פול דיראק. בשנת 4491 הוא כתב את הספר "מהם החיים?". עפ"י זכרונותיו של ג'יימס ווטסון, " ,DNAסוד החיים", ספרו של שרדינגר משנת 4491 הוא שנתן לווטסון את ההשראה לחקור את הגנים, מה שהוביל לגילוי מבנה הסליל הכפול של ה .DNAהוא נשאר בדבלין, אירלנד, עד לפרישתו. בשנת 5591 - בערוב ימיו - הוא חזר לווינה, בה נפטר בשנת 1691 בגיל 37 בעקבות מחלה זיהומית. הוא נקבר באלפבך שבאוסטריה.
611
2. נילס בוהר
נילס הנריק דויד בוהר (7 באוקטובר 5881 - 81 בנובמבר 2691), פיזיקאי יהודי דני שתרם רבות להבנת מבנה האטום והיה מאבות מכניקת הקוונטים. בוהר נולד בקופנהגן שבדנמרק. אביו, כריסטיאן בוהר, היה פיזיולוג בעל שם עולמי. בוהר הצעיר עסק לא רק בפיזיקה אלא גם בכדורגל, והוא ואחיו הארלד, הצעיר ממנו בשנה וחצי, היו כדורגלנים מצטיינים שאף שיחקו בנבחרת דנמרק (אחיו זכה במסגרתה במדליה אולימפית בשנת 8091). בוהר הוא הכדורגלן הראשון והאחרון שזכה בפרס נובל כלשהו. למד פיזיקה באוניברסיטת קופנהגן וב־ 1191 קיבל את הדוקטורט על עבודה שעסקה באלקטרונים שבמתכות. באותה שנה עבר לאוניברסיטת קיימברידג' לעבוד עם ג' ג' תומסון, אבל משום שלא הסתדר עימו, עבר, תוך זמן קצר, לאוניברסיטת מנצ'סטר לעבוד עם ארנסט רתרפורד שחקר את מבנה האטום. בוהר המשיך לפתח את התאוריה של רתרפורד על האטום הגרעיני, לפיה האטום בנוי מגרעין חיובי אשר מוקף באלקטרונים הנעים סביבו. בעיה חמורה במודל הזה הייתה שכמו כל גוף טעון מואץ, האלקטרונים המסתובבים היו אמורים לפלוט אנרגיה, ומסלוליהם היו אמורים להיות ספירלות שנופלות אל תוך הגרעין. המודל גם לא נתן הסבר לספקטרום האנרגיה של אטום המימן. ב-3191, על מנת לפתור בעיות אלה, הציע בוהר תאוריה קוואנטית, בדומה לפלנק ולאיינשטיין לפניו. הוא הניח שהאלקטרונים יכולים לנוע רק במסלולים בהם התנע הזוויתי שלהם יהיה כפולה שלמה של יחידה יסודית - , קבוע פלאנק מחולק ב- 2 .πהנחה זו הספיקה בשביל שהמודל ייתן את ספקטרום האנרגיה המצופה. לפי המודל, הדרך היחידה של אטום לאבד או לקבל אנרגיה היא לעבור ממסלול למסלול. ב־ 2291 הוענק לו פרס נובל לפיזיקה על עבודתו זו (גם בנו, אגה, זכה בפרס נובל בפיזיקה לשנת 5791). ב־6191 חזר לקופנהגן ונעשה פרופסור לפיזיקה באוניברסיטה שם. הוא המשיך בפיתוח מכניקת הקוונטים, ועמד בראש "אסכולת קופנהגן" שדגלה בפירוש הסתברותי למכניקת הקוואנטים (ראו גם הערך פרשנות קופנהגן). בכך היה לבר פלוגתא חריף של ידידו הקרוב אלברט איינשטיין שטען באופן ציורי ש"אלוהים אינו משחק בקוביה". בוהר השיב לו: "תפסיק לומר לאלוהים מה לעשות". כיום נחשבת הפרשנות של אסכולת קופנהגן למיושנת, אולם היא תרמה לתורת הקוואנטים את מושג הקומפלמנטריות שטבע בוהר, ועל פיו, תכונות של עצם קוואנטי שאיננו יכולים לקבוע במדויק בו זמנית (כמו מהירות ומיקום של אלקטרון, או האם פוטון הוא גל או חלקיק), מתקיימות בו בעצם בו זמנית כתכונות משלימות. כאשר נשאל בוהר האם אין בהגדרה זו
711
בכדי לערער על מהותו של המדע כחתירה לידיעה ודאית, הוא ענה (באופן שאולי היה מבודח מעט אך בהחלט ייצג את דעתו של בוהר על מהות החקירה המדעית), "אמת וודאות גם הם מושגים משלימים". בשנת 1491, בעת הכיבוש הנאצי של דנמרק, ביקר אצל בוהר תלמידו לשעבר, ורנר הייזנברג, שעמד באותה עת בראש התוכנית הגרמנית לפיתוח פצצת אטום, ובוהר שמע ממנו על התוכניות הגרמניות בתחום זה (המחזה "קופנהגן", שהוצג גם בישראל, עוסק בשאלה מה היה יכול לקרות במפגש דרמטי זה). לאחר שהסתיימה המלחמה נפוצה הטענה כאילו הייזנברג חיבל במכוון בתוכנית האטום של גרמניה. במכתב לרוברט יונק, מחבר הספר על הפצצה האטומית "שבעתיים כאור החמה" (" ,)"Brighter Than a Thousand Sunsטען הייזנברג כי ניסה לסכם עם בוהר שהמדענים משני הצדדים יפעלו יחדיו על מנת לסכל פיתוח פצצה. בוהר, שזכר היטב כמה נלהב היה הייזנברג מהאפשרות שארצו תפתח פצצה אטומית, כתב לו מכתבים שבהם תהה על טענות אלו, אך מעולם לא שלח אותם. בעקבות המחזה "קופנהגן" החליטה משפחת בוהר להקדים את פרסום המכתבים מעזבונו של בוהר, והם פורסמו ברשת לפני מספר שנים. בוהר ניסה להמשיך בעבודתו חרף הכיבוש הנאצי, אבל משום שאמו הייתה יהודיה נאלצה המשפחה לברוח בספינת דיג לשבדיה ב־3491. בני המשפחה הגיעו לבסוף לארצות הברית, שבה הצטרף בוהר לצוות בלוס אלאמוס שעבד על פיתוח פצצת האטום. בדומה לאיינשטיין ראה גם בוהר את הסכנה שבפצצת האטום, וגם הוא כתב לנשיא רוזוולט ולראש ממשלת בריטניה, ווינסטון צ'רצ'יל, והביע את פחדיו בנושא.לאחר המלחמה חזר לקופנהגן ופעל כדי להביא לפיקוח ולפירוק נשק בעולם. בוהר מת ב־81 בנובמבר 2691 בקופנהגן. בוהר זכה לאותות הוקרה רבים. על שמו קרויים מכון בוהר בקופנהגן והיסוד בוהריום.
3. אלברט אברהם מייקלסון
אלברט מייקלסון (2581 - 1391) נולד בגרמניה להורים יהודים שהיגרו לארה"ב כשהיה פעוט. אביו נעשה סוחר מצליח בסן פרנסיסקו. בגיל 71 החל ללמוד במכללת חיל הים האמריקני באנפוליס, שם הצטיין במדעים, אך לא בימאות. בתום לימודיו נעשה מדריך למדעים באקדמיה, ומילא תפקיד זה עד 9781. מראשית דרכו בפיסיקה התעניין במדידת מהירות האור, ובנה שורה של מכשירים שאפשרו לו לקבל תוצאות יותר ויותר מדויקות. משהבין כי עליו להשתלם באופטיקה כדי לקדם את מחקרו, עזב את מכללת הצי ויצא לסיור באוניברסיטאות אירופיות במשך שנתיים. בשובו ערך ניסוי שסיפק למהירות האור את הערך 358,992 ק"מ בשנייה; ערך זה החזיק מעמד עד 3391, שאז פורסמו תוצאות ניסוי שערך מייקלסון לפני מותו, ושהעמיד את המספר על 477,992 ק"מ בשנייה (הערך המקובל כיום קטן מזה בכ- 2 ק"מ בשנייה). עוד בעת שהותו באירופה החל מייקלסון לבנות אינטרפרומטר - מכשיר לפיצול אלומת אור לשתי אלומות נפרדות, ולהפגשתן שוב. אם, במהלך הדרכים שעברו בנפרד, השתנו המופעים של שתי שרשראות הגלים (כלומר, פסגותיהם ומכתשיהם אינם חופפים עוד בדיוק נמרץ), תיווצר על המרקע הקולט אותם תבנית התאבכות: סדרה של פסים כהים ובהירים לסירוגין, שאפשר ללמוד ממנה מהו ההפרש בין המרחקים שעברו שתי האלומות. ב-3881 נעשה מייקלסון פרופסור לפיסיקה באוניברסיטת קייס בקליבלנד שבאוהיו, והמשיך לעסוק בניסויים שהחל בהם כמה שנים לפני-כן, למדידת מהירות תנועתו של כדור הארץ ביחס ל"אתר", אותו תווך מסתורי שנחשב אז כנושא הקרינה האלקטרומגנטית , ובכלל זה האור. ֶֶ ניסויים אלה, שאליהם הצטרף אדוארד מורלי ב- 7881.
811
ב-9881 נעשה מייקלסון פרופסור באוניברסיטת קלרק במסצ'וסטס, וב- 2981 הקים את המחלקה לפיסיקה באוניברסיטת שיקגו ועמד בראשה עד לפרישתו לגמלאות ב- 9291. ב-7091 זכה בפרס נובל לפיסיקה על הניסוי המפורסם שלו. בעודו בקלרק, הציע להשתמש באורך גל בעל צבע מסוים כתקן למדידת אורך, וביתר פירוט, לקביעת אורכו של המטר התקני . הצעתו נתקבלה כעבור שנים רבות, ב-0691. ב-3291 חזר מייקלסון לאהבתו הישנה, מהירות האור, וערך שורת ניסויים שסיפקו תוצאות יותר ויותר מדויקות. האחרונה מהן, כאמור, פורסמה אחרי מותו.
4. אדוארד ויליאמס מורלי
שותפו של מייקלסון בניסוי המפורסם למדידת מהירויות האור ביחס לאתר היה אדוארד מורלי (8381 - 3291), פיסיקאי אמריקאי יליד ניו ג'רזי. אחרי תום לימודיו לתואר ראשון, החל מורלי ללמוד מדע לתואר מתקדם ותיאולוגיה, במקביל, והוסמך לכמורה ב- 8681. כעבור שנה נעשה פרופסור לפיסיקה במכללת (לאחר מכן אוניברסיטת) וסטרן ריזרב באוהיו, שם עבד עד לפרישתו ב-6091. תחום התעניינותו המיוחד של מורלי היה מדידת הצפיפות והמסה האטומית של גזים שונים, והוא קנה לו שם כנסיין מעולה. פרסומו זה הניע את אלברט מייקלסון להזמינו להצטרף אליו ב"ניסוי האתר".
5. מקס פלאנק
מקס קרל לודוויג פלאנק ( 32 באפריל 8581 – 4 באוקטובר 7491) היה פיזיקאי גרמני שנחשב לממציאה של מכניקת הקוונטים. פלאנק נולד בקיל, שלזוויג-הולשטיין, החל ללמוד פיזיקה באוניברסיטת מינכן בשנת 4781 וסיים את לימודיו בשנת 9781 בברלין. הוא חזר למינכן בשנת 0881 כדי ללמד באוניברסיטה ואז עבר 911
) בשנת 6881. בשנת 9881 הוא קיבל משרהMerck ( לקיל בשנת 5881. בקיל הוא נישא למרי מרק באוניברסיטת הומבולדט בברלין, והחל משנת 2981 החזיק במשרה בפיזיקה תיאורטית .באוניברסיטה בשנת 9981 הוא גילה קבוע חדש, שלו קרא קבוע פלאנק ובו משתמשים, לדוגמה, כדי לחשב אנרגיה של פוטון. בהמשך אותה שנה, הוא תיאר את יחידות פלאנק למדידות המתבססות על קבועים פיזיקליים. שנה לאחר מכן, הוא תיאר את החוק לקרינת חום, שנקרא מאז חוק פלאנק לקרינת גוף שחור. חוק זה הפך לבסיסה של מכניקת הקוונטים, שהופיעה עשר שנים מאוחר יותר .תוך שיתוף פעולה עם נילס בוהר ואלברט איינשטיין Physikalische Deutsche ( משנת 5091 עד שנת 9091 היה פלאנק ראש החברה הגרמנית לפיזיקה ). אשתו נפטרה בשנת 9091 וכשנה לאחר מכן הוא התחתן עם מארגה פון הוסליןGesellschaft ). בשנת 3191 הוא הפך לנשיא אוניברסיטת ברלין. על תרומתו למכניקת הקוונטים הואHoesslin( , חברתMPG-זכה בפרס נובל לפיזיקה לשנת 8191. משנת 0391 עד שנת 7391 פלאנק היה ראש ה .מקס-פלאנק לקידום המדע (בתקופה זו הייתה החברה קרויה על שם וילהלם השני, קיסר גרמניה לאחר עליית הנאצים לשלטון פעל רבות נגד אפלייתם ופיטוריהם של מדענים יהודים. עם תום .כהונתו הוכרח על ידי השלטון הנאצי שלא להתמודד על כהונה נוספת
6. ארתור הולי קומפטון
Arthur Holly Compton was born at Wooster, Ohio, on September 10th, 1892, the son of Elias Compton, Professor of Philosophy and Dean of the College of Wooster. He was educated at the College, graduating Bachelor of Science in 1913, and he spent three years in postgraduate study at Princeton University receiving his M.A. degree in 1914 and his Ph.D. in 1916. After spending a year as instructor of physics at the University of Minnesota, he took a position as a research engineer with the Westinghouse Lamp Company at Pittsburgh until 1919 when he studied at Cambridge University as a National Research Council Fellow. In 1920, he was appointed Wayman Crow Professor of Physics, and Head of the Department of Physics at the Washington University, St. Louis; and in 1923 he moved to the University of Chicago as Professor of Physics. Compton returned to St. Louis as Chancellor in 1945 and from 1954 until his retirement in 1961 he was Distinguished Service Professor of Natural Philosophy at the Washington University. In his early days at Princeton, Compton devised an elegant method for demonstrating the Earth's rotation, but he was soon to begin his studies in the field of X-rays. He developed a theory of the intensity of X-ray reflection from crystals as a means of studying the arrangement of electrons and atoms, and in 1918 he started a study of X-
120
ray scattering. This led, in 1922, to his discovery of the increase of wavelength of Xrays due to scattering of the incident radiation by free electrons, which implies that the scattered quanta have less energy than the quanta of the original beam. This effect, nowadays known as the Compton effect, which clearly illustrates the particle concept of electromagnetic radiation, was afterwards substantiated by C. T. R. Wilson who, in his cloud chamber, could show the presence of the tracks of the recoil electrons. Another proof of the reality of this phenomenon was supplied by the coincidence method (developed by Compton and A.W. Simon, and independently in Germany by W. Bothe and H. Geiger), by which it could be established that individual scattered Xray photons and recoil electrons appear at the same instant, contradicting the views then being developed by some investigators in an attempt to reconcile quantum views with the continuous waves of electromagnetic theory. For this discovery, Compton was awarded the Nobel Prize in Physics for 1927 (sharing this with C. T. R. Wilson who received the Prize for his discovery of the cloud chamber method). In addition, Compton discovered (with C. F. Hagenow) the phenomenon of total reflection of X-rays and their complete polarization, which led to a more accurate determination of the number of electrons in an atom. He was also the first (with R. L. Doan) who obtained X-ray spectra from ruled gratings, which offers a direct method of measuring the wavelength of X-rays. By comparing these spectra with those obtained when using a crystal, the absolute value of the grating space of the crystal can be determined. The Avogadro number found by combining above value with the measured crystal density, led to a new value for the electronic charge. This outcome necessitated the revision of the Millikan oil-drop value from 4.774 to 4.803 X 10-10 e.s.u. (revealing that systematic errors had been made in the measurement of the viscosity of air, a quantity entering into the oil-drop method). During 1930-1940, Compton led a world-wide study of the geographic variations of the intensity of cosmic rays, thereby fully confirming the observations made in 1927 by J. Clay from Amsterdam of the influence of latitude on cosmic ray intensity. He could, however, show that the intensity was correlated with geomagnetic rather than geographic latitude. This gave rise to extensive studies of the interaction of the Earth's magnetic field with the incoming isotropic stream of primary charged particles. Compton has numerous papers on scientific record and he is the author of Secondary Radiations Produced by X-rays (1922), X-Rays and Electrons (1926, second edition 1928), X-Rays in Theory and Experiment (with S. K. Allison, 1935, this being the revised edition of X-rays and Electrons), The Freedom of Man (1935, third edition 1939), On Going to College (with others, 1940), and Human Meaning of Science (1940). Dr. Compton was awarded numerous honorary degrees and other distinctions including the Rumford Gold Medal (American Academy of Arts and Sciences), 1927; Gold Medal of Radiological Society of North America, 1928; Hughes Medal (Royal Society) and Franklin Medal (Franklin Institute), 1940. He served as President of the American Physical Society (1934), of the American Association of Scientific Workers (1939-1940), and of the American Association for the Advancement of Science (1942).
121
In 1941 Compton was appointed Chairman of the National Academy of Sciences Committee to Evaluate Use of Atomic Energy in War. His investigations, carried out in cooperation with E. Fermi, L. Szilard, E. P. Wigner and others, led to the establishment of the first controlled uranium fission reactors, and, ultimately, to the large plutonium-producing reactors in Hanford, Washington, which produced the plutonium for the Nagasaki bomb, in August 1945. (He also played a role in the Government's decision to use the bomb; a personal account of these matters may be found in his book, Atomic Quest - a Personal Narrative, 1956.) In 1916, he married Betty Charity McCloskey. The eldest of their two sons, Arthur Allen, is in the American Foreign Service and the youngest, John Joseph, is Professor of Philosophy at the Vanderbilt University (Nashville, Tennessee ). His brother Wilson is a former President of the Washington State University, and his brother Karl Taylor was formerly President of the Massachusetts Institute of Technology. Compton's chief recreations were tennis, astronomy, photography and music. He died on March 15th, 1962, in Berkeley, California.
7. לואי דה ברולי
, שמו המלא: לואיס ויקטור פייר ריימונד), הדוכס השביעי שלLouis de Broglie ( לואי דה ברולי ברולי (51 באוגוסט 2981 - 91 במרץ 7891), היה פיזיקאי צרפתי וזוכה פרס נובל, שתרם תרומות .גדולות לתאוריה של מכניקת הקוואנטים הודות למחקריו על קרינה אלקטרומגנטית דה ברולי נולד בדייפ והתחנך באוניברסיטה של פריס. הוא ניסה לספק הסברים לטבע הכפול של )1924 -חומר ואנרגיה, אשר את שניהם הוא החשיב כמורכבים מגופיפים וגלים נעים. על תגליתו (ב .1929 על טבעם הגלי של האלקטרונים, הוא זכה בפרס נובל לפיזיקה בשנת הוא נבחר לאקדמיה למדעים ( 3391) ולאקדמיה הצרפתית (3491). הוא היה פרופסור לפיזיקה תיאורטית באוניברסיטת פריס ( 8291), מזכיר קבוע של האקדמיה למדעים ( 2491), ויועץ למוסד הצרפתי לאנרגיה אטומית. חלק מספריו תורגמו לאנגלית, ביניהם: "חומר ואור" ( 9391), "מהפכה .)1984 ( "בפיזיקה" (3591), "פירוש הזרם של גלים מכניים" ( 4691) ו"קוואנטים, חלל וזמן
122