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Mathematics for Generative Processes Living and non-living Systems by uhb20986

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									    Il Quarto Principio della Termodinamica:

un approccio olistico per la progettazione sismica



                Corrado Giannantoni

  ENEA - Agenzia per le Nuove Tecnologie, l’Energia
           e lo Sviluppo Economico Sostenibile

                  giannantoni@enea.it
            Perché la Termodinamica?


           Gerarchia delle Leggi Fisiche


             I Principi Termodinamici: 1°, 2°, 3°, …




               Leggi Fisiche propriamente dette
(p.es. Le Leggi di Newton (M.C.), Le Equazioni di Maxwell (E.M.), …)




                     Leggi Fenomenologiche
                     (p.es. Le Leggi di Keplero)
                             Perché un Quarto Principio?

 1° PRINCIPIO:        dU = δQ − δL             ⇒      Conservazione dell’ENERGIA (En)
 Joule & Mayer
                                                                                                               EXERGIA (Ex)
  (1841 -1848)                                                                                           ⇒
                                                                                                               Z. Rant (1955)

                                 δ Q to t      ⇒
 2° PRINCIPIO:         dS =                             Aumento di ENTROPIA (S)
Carnot - Clausius                   T
  (1824 - 1865)


    ~ 1870      --------------------------------------------------------------------------------------------------------------


 3° PRINCIPIO:          lim Δ S = 0             ⇒ (Validità a basseTemperature assolute)
                        T→0
  Nernst (1906)


 4° PRINCIPIO:            ∂ v ( Ex) ≥ 0          ⇒ “Maximum Em-Power Principle ”                     ⇒       EMERGIA (Em)
Boltzmann - Lotka                                     (H. Odum, dal 1955 in poi)                             H. Odum (1984)
 (1887 - 1945)
        Cosa afferma il 4° Principio della Termodinamica


                        Enunciato verbale:


        “Ogni Sistema raggiunge la Massima Organizzazione
        quando massimizza il flusso di Emergia processata,
                   inclusa quella del suo habitat ”



Emergia = Qualità dell’Energia (Tr ) per la quantità di Energia (Ex )
               Come si formula matematicamente:
                Il calcolo della Transformity (Tr )


La Tr viene contabilizzata sulla base di un’Algebra non-conservativa
          2 Regole di Tasferimento (ingresso-uscita); 3 Regole Generative


1. “All Source Emergy to a Process is assigned to the Process’s output ”

2. “By-products from a Process have the total Emergy assigned to each pathway ”

3. “When a pathway splits, the Emergy is assigned to each “leg” of the split based
    on their percent of the total Exergy flow on the pathway ”

4. “Emergy cannot be counted twice within a system. In particular :
    a) by-products, when reunited cannot be summed
    b) Emergy in feedbacks should not be double counted ” (Brown, 1993)

5. “Output Emergy of an interaction Process is proportional to the product
    of the Emergy inputs ” (Odum, 1994a).
           Processi Generativi:
    La Transformity come “valore-cifra”


1                             1 1
        Co-produzione          + = 1 + ε1
                              2 2


1
         Inter-azione          1x1 = 12 + ε 2
1




1        Retro-azione          1x1 = 12 + ε 3
                Come si formula in condizioni “dinamiche”:
                    un nuovo concetto di “derivata”


  Calcolo Differenziale Tradizionale                   Calcolo Differenziale “Incipiente”

         1) logica necessaria                          1’) Logica Aderente

         2) causalità efficiente                       2’) Causalità Generativa

         3) relazioni funzionali                       3’) Relazioni Ordinali



                                                  ∼    ∼
d / dt   è la corrispondente traduzione formale   d/ d t     è la corrispondente traduzione formale


                                                   ∼
   f (t )    esprime un legame funzionale          f (t )    esprime una Relazione Ordinale
      La Derivata Incipiente di ordine intero e frazionario


      La Derivata “Incipiente” è così definita


                                     ∼    q
            ∼
                                   ⎛∼ ⎞
                              ∼
                                   ⎜ δ −1 ⎟
             q
               f (t ) = ∼ Lim ⋅ ⎜ ∼ ⎟ ⋅ f (t )
          d
          ∼                                              per ogni   q = m/n   (1)
          d tq          Δ t :0→0 + ⎜ Δ t ⎟
                                   ⎝      ⎠



ove        δf (t ) = f (t + Δt )

 e         Δf (t ) = f (t + Δt) − f (t) = (δ −1) f (t)
                     Riformulazione del Principio
                       in condizioni dinamiche

                     ∼        ∼
                    d         →
                  ( ∼ )(m / n){r } = 0              (m / n) → Max
                   dt


           “Ogni Sistema tende a Massimizzare la propria Ordinalità,
                        inclusa quella del suo habitat ”



( m / n)     è l’Ordinalità del Sistema: esprime la sua Struttura Organizzativa
                      in termini di “Co-produzioni”, “Inter-azioni”, “Feed-back”
   ∼
   →
   r         è lo Spazio proprio del Sistema (o Spazio del Sistema)
            Modelli Matematici di Sistemi Complessi

Calcolo Differenziale Tradizionale

        Problemi “insolubili”         non esiste una soluzione in
   (p.es. Il Problema dei 3 corpi)          “forma chiusa”



      Problemi “intrattabili”              tempi di calcolo
  (p.es. la sintesi delle Proteine)         ~ 10.000 anni




         Problemi solubili
                                           la “precisione” è
    con “precisione” desiderata
                                          relativa al Modello
   (p. es. Progettazione Sismica)
            Modelli Matematici di Sistemi Complessi

Calcolo Differenziale Tradizionale            Calcolo Differenziale Incipiente

        Problemi “insolubili”
                                                       Problemi “solubili”
   (p.es. Il Problema dei 3 corpi)



      Problemi “intrattabili”                         Problemi “trattabili”
  (p.es. la sintesi delle Proteine)               tempio di calcolo < 10 minuti




         Problemi solubili                              Problemi solubili ,
    con “precisione” desiderata                      ma con “drift” derivativo




                        la “precisione” è relativa al Modello
                    il “drift” è relativo al Fenomeno studiato
                        Il “drift” da derivazione
               per una generica funzione f (t ) = e ln f (t ) = eα (t )

            derivate tradizionali                                         derivate incipienti
                (“passo-passo”)                                               (co-istantanee)

                                                                               ∼
                 d α (t )                                                     d                           o
1° ordine           e = α (t ) ⋅ eα (t )
                          &                                                   ∼
                                                                                       e   α (t )
                                                                                                    = α (t ) ⋅ e α ( t )
                 dt                                                           dt
                                                                                  ∼
                                                                                   2
                 d 2 α (t )                                                   d            α (t )
                                                                                                          o
2° ordine
                    2
                      e = [α (t )]2 ⋅ eα ( t ) + α (t ) ⋅ eα (t )
                            &                    &&
                                                                              ∼
                                                                                        e           = [α(t)]2 ⋅ eα (t )
                 dt
                                                                             d t2
........
                                                                                   ∼
                                                                                    n
                                                              (k )   Pk
                                                                                  d                           o
                  n
                d α (t )         n
                                             1 ⎡α ⎤
                                                  n
                                                                                                α (t )
                                                                                                         = [α (t )]n ⋅ eα (t )
n - esimo
 ordine
                     e = n!∑ e ⋅ ∑∏
                                α (t )
                                                 ⎢    ⎥                        ∼
                                                                                            e
                dt n
                           m =1        k =1 Pk ! ⎣ k! ⎦                       d tn
                Perché le Precessioni di Mercurio ?

1) Perché è un Sistema a “due corpi” (nella prospettiva di N corpi)


2) Perché anche il Sistema Edificio-Terra è un Sistema a “due corpi”
             (con l’Edificio supposto deformabile)


3) Perché Sistemi descritti dalle stesse Equazioni della Meccanica:

       i) Equazione delle Forze             ii) Equazione dei Momenti

                 →                                      →          →   →
                               MS ∧
    Mercurio:    a M (t ) = −G 2 ⋅ r (t )   Edificio:   a E (t ) = g + a t (t )
                              r (t )

4) Ma soprattutto perché è perfettamente solubile . Pur tuttavia , come
   semplice Problema a “due corpi”, presenta già un “drift” derivativo
                    Applicazioni alla Meccanica Celeste:
                            Le Precessioni di Mercurio




Le misure astronomiche forniscono   Δϕ sec =   42.6 ± 0.9 secondi d’arco/secolo

Le Meccanica Classica “sottostima” l’effetto: prevede “zero” (secondi d’arco/secolo)

La Meccanica “Incipiente” (nell’ipotesi di orbite planari) prevede 42.45 secondi d’arco/secolo
                      Il “drift” nelle Eq. Differenziali del 2° ordine
       d / dt


       Equazione dell’Energia: Eq. diff. omogenea, del 2° ordine, a coefficienti variabili:
                                                                                                         ∼   ∼
 i) nella versione tradizionale ( d / dt );                  ii) nella derivata incipiente ( d / d t )


d 2 f (t )         df (t )
     2
           + A(t )         + B (t ) f (t ) = 0      (1)      {[α (t )]2 + α (t )} + A(t ) ⋅ α (t ) + B (t ) = 0
                                                               &          &&                &                     (1’)
  dt                dt

 ∼ ∼                  ∼ ∼
  2                                                             o                    o
d f (t )              d f (t )          ∼

  ∼
            + A(t )     ∼
                                 + B (t ) f (t ) = 0 (2)      [α (t )] + A(t ) ⋅ α (t ) + B (t ) = 0
                                                                      2
                                                                                                                  (2’)
 d t2                   dt


La (1’) può essere riscritta nella forma                   [α (t )] 2 + A(t ) ⋅ α (t ) + B (t ) = −α (t )
                                                            &                   &                  &&             (3)
     Il “drift” nelle Eq. Differenziali del 2° ordine




     t0                        t          t0                         t



se        α&(t ) > 0
          &              Sottostima       se      α&(t ) < 0
                                                  &                Sovrastima


[α (t )]2 + α (t ) > 0
 &          &&            concavità   ↑   [α (t )]2 + α (t ) < 0
                                           &          &&             concavità       ↓
                                          [α (t )]2 + α (t ) > 0
                                           &          &&                 concavità   ↑
           Modelli Climatici (Global Warming and Climate Change)


          Un “Modello Climatico”
                     è
          un Sistema di Equazioni
            Differenziali in d/dt
            (di ordine 50÷100)


                                                                                        Δt   n
                                                                                                 ⎡ d k e α ( t ) ⎤ Δt k
      f (t 0 + Δ t ) = e   α ( t 0 + Δt )
                                            =e   α ( t0 )
                                                            +e   α ( t0 )
                                                                            ⋅ α (t 0 ) ⋅ + ∑ ⎢
                                                                               &                                 ⎥ ⋅
                                                                                        1! k = 2 ⎣ dt ⎦ t k!
                                                                                                         k
                                                                                                               0


      ∼                                                                     o      Δt α (t0 ) n o      Δt k
      f (t 0 + Δt ) = eα (t0 +Δt ) = eα (t0 )               + eα (t0 ) ⋅ α (t 0 ) ⋅ + e ∑[α (t 0 )]k ⋅
                                                                                 ≅ 1!        k =2       k!
                                 ∼
              d k           d k           Δt k                                                                            Δt k
Err(k )
  nlt     = [( ) f (t ) − ( ∼ ) f (t )] ⋅      = { e α ( t ) ⋅ ψ [α& ( t ), α&( t ),... α
                                                                  &         &&                             (k )
                                                                                                                ( t )]} ⋅
              dt           dt              k!                   k
                                                                                                                           k!
               Innalzamento della Temperatura 2000-2100
                                                                                                     6.4 °C (IPCC)




                                                                                                     1.1 °C (IPCC)




                                                                          ⎧ 0 .11 τ      0.11 2 τ 2 ⎫
 ΔT ={0.4 2000 +0.11⋅τ }2100 = 1.1°C                  Δ T = 0 .4 2000
                                                         *
                                                                        ⋅ ⎨1 +      ⋅ +(      ) ⋅ ⎬        ≅ 3.01 °C
                                                                          ⎩    0 .4 1!   0 .4    2! ⎭ 2100


                                                                      ⎧ 0.32 τ      0.32 2 τ 2 ⎫
     {
ΔT = 0.4 2000+0.32⋅τ + 0.032⋅τ   2
                                     }      = 6.4°C   ΔT = 0.4 2000 ⋅ ⎨1 +
                                                         *
                                                                               ⋅ +(
                                                                           0.4 1!    0.4
                                                                                         ) ⋅ ⎬
                                                                                            2! ⎭ 2100
                                                                                                      = 16.4°C
                                     2100
                                                                      ⎩
            L’Innalzamento dei mari nel secolo scorso
                      (effetto nel passato )




                                                                                   12 cm




                                                                                   6 cm




effetto eustatico (fusione dei ghiacciai) + effetto sterico (dilatazione termica) = 6 cm


                   Lo Sviluppo di Taylor “Incipiente” = 17 cm (circa)
                                Edificio in condizioni sismiche:
                                        Analisi di Fourier

 i) Struttura a n elementi (travi+pilastri);            ii) soggetta a sollecitazione sismica;
 iii) di cui supponiamo di conoscere lo spettro di Fourier



         n
F (t ) ≅ ∑ (ak ⋅ sin kωt + bk ⋅ cos kωt )
        k =0                                Modello Dinamico
                                                in CDT




                           “verifica” del calcolo a partire dalle sole “uscite”
                       Il “drift” derivativo con una o più armoniche
             1, 1’ = sinusoidi di base              2, 2’ = pseudo-sinusoidi per “composizione” di due esponenziali

             3, 3’ = “baricentri” delle pseudo-sinusoidi
 σ ∗ (x)
                             2


                             1
                                                                                                                 3
                                       2’
                                                                                                                 3’
σ ( x, t )                             1’




                      e jωt − e − jωt                                             e jωt + e − jωt
             sin ωt =                                                    cos ωt =
                            2j                                                          2

                                 decomposizione
                 ⎛ + jωt ⎞
                 ⎜ − jωt ⎟
                 ⎜               per semi-somma   {e jωt ⊕ e − jωt }            e jωt + e − jωt
                 ⎝
                         ⎟
                         ⎠            →                                                         = cos ωt
             e                                           2                            2
               Verifica di un calcolo sismico tradizionale
                    in relazione al “drift” derivativo


    Codice di Calcolo
                                 Modulo di Verifica
       dinamico
                                      in CDI
         in CDT


  calcolo tradizionale           verifica in termini differenziali incipienti
1) Outputs di codici di   1’) affiancare un modulo di calcolo ausiliario :
  calcolo in commercio        a partire dalle “uscite” ottenute, indica “dove” e
                             “quando” si ha una sotto-stima o una sovra-stima

2) “opzione”, che non     2’) “apre” ad una diversa Prospettiva di Progettazione
   comporta sostanziali                        ≅
                              (soprattutto per il futuro: calcolo dinamico diretto,
   cambiamenti                     in CDI, per un Sistema a n corpi)

3) Proposta di Normativa 3’) Sperimentazione con “tavole vibranti” (p. e. ENEA)
                       La “Com-possibilità” degli Approcci
           Calcolo Differenziale Tradizionale                           Calcolo Differenziale “Incipiente”

             1) causalità efficiente                                       1’) Causalità Generativa
             2) logica necessaria                                          2’) Logica Aderente
             3) relazioni funzionali                                       3’) Relazioni Ordinali

                                                               ∼   ∼
d / dt         è la corrispondente traduzione formale   La     d/ d t
                                                               ∼
                                                                          è la corrispondente traduzione formale

  f (t )          esprime un legame funzionale                 f (t)         esprime una Relazione Ordinale


Questo Approccio non può escludere l’altro:             Questo non vuole (né ha interesse) a “falsificare” l’altro
i) Perché è fondato sulla Logica “necessaria”            (che ha già i suoi criteri interni di “falsificazione”):
ii) che non ammette l’ “Induzione perfetta”
                                                             i) Si muove su un piano completamente diverso
                         Ipotesi
                            ↓                                ii) ottiene risultati quantitativi comparabili con i
             Formalizzazione Matematica                       precedenti (anche se interpretati differentemente)
                            ↓
                     Conclusioni                             iii) offre una prospettiva di soluzione a problemi
                            ↓
                Riscontri sperimentali
                                                              ritenuti “insolubili”
               Conclusione Generale



L’Approccio proposto non “esclude” affatto il precedente.
Si propone solo di mostrare che:

 se già si fa tanto di “buono”, possiamo far “meglio”

       Sostenendo ovviamente tale affermazione
       sempre sulla base di riscontri sperimentali

								
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