Teoria Grupos Anillos - Dario Sanchez 
Teoría de Grupos y Anillos José Darío Sánchez Hernández Bogotá-Colombia, Junio del 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces hágalo de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de álgebra abstracta, en esta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego encontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lector deberá revisarlas analizando cual de los resultados básicos se han utilizado en la prueba. §1. RESULTADOS BASICOS 1. Una ley de composición interna u sobre un conjunto operación binaria I XÀ I ‚ I IÞ , es una función ì Las propiedades de una ley de composición son: Conmutatividad, asociatividad, existencia de un módulo o elemento unidad y existencia de inversos, cuando hay módulo. 2.Un es una pareja ordenada tal que es un conjunto y es grupo Kß ‰ K ‰ una operación binaria asociativa en y tal que K b/−K Si , entonces 3 +−K +‰/oe+Þ Si , entonces tal que . 33 + − K b+ − K + ‰ + oe /" " ì Wß ‰ W ‰ Un o monoide es una pareja donde es un conjunto y semigrupo es una operación binaria asociativa, esto es, . + ‰ , ‰ -oe + ‰ , ‰ -ß a+ß ,ß -− W ì K +B oe , • C+ oe , Un semigrupo es un grupo si y sólo si las ecuaciones tienen solución para todo . +ß , − K 3.Un grupo se dice finito, si el conjunto tiene un número finito de elementos, es K frecuente llamar orden de un grupo al número de sus elementos y se usa la notación para indicar el orden del grupo, esto es, # . ‰ K ‰ K oe K ì K Un semigrupo finito , en el cual valen las leyes cancelativas, es un grupo. ì Ÿ& Todo grupo de orden es abeliano. 4. Todo grupo de orden primo es conmutativo. ì Con el fin de mostrar que existen grupos de orden 6 que no son conmutativos, consideramos el conjunto y sea Q oe Ö"ß #ß $×Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 2 es inyectiva X oe Ö À Ö"ß #ß $× Ä Ö"ß #ß $×Î × Q 5 5 es claro que es un grupo para la ley de composición de funciones así XQ X oe Ö oe ß oe ß oe ß oe ß oe ß oe × oe W Q " # $ % & ' $ "#$ "#$ "#$ "#$ "#$ "#$ "#$ #"$ "$# $#" $"# #$" 5 5 5 5 5 5 ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ W$ no es abeliano, pues 5 5 5 # $ ' "#$ "#$ "#$ #"$ "$# #$" ‰ oe oe oe ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ 5 5 5 $ # & "#$ "#$ "#$ "$# #"$ $"# ‰ oe oe oe ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ entonces . 5 5 5 5 # $ $ # ‰ Á ‰ 5.Un de un grupo es un subconjunto el cual es un grupo bajo la subgrupo K operacion binaria de Más exactamente un de un grupo es un KÞ Kß ‰ subgrupo grupo tal que es un subconjunto de y es la restricción de a . L ß ‡ L K ‡ ‰ L ‚ L Esto indica que la operación binaria en es la misma operación en L KÞ ì L K Sea un subconjunto no vacío de . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: es un subgrupo de . + L K es una parte estable de tal que si entonces . , L K + − L + − L " , entonces -+ , − L +, − LÞ " ì L K Sea un subconjunto no vacío de . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: es un subgrupo no vacío de . + L K y . , LL § L L § L " 6.Si es un subgrupo de un grupo , entonces una clase lateral a derecha de L K L es un conjunto de tal que para el cual Una clase a izquierda se W K bB−K W oeLBÞ define en forma análoga . Si y son subgrupos de , entonces bB − KÎW oe BO L O K una clase bilateral de y es un subconjunto de tal que existe tal que L O W K B − K W oe LBO. ì L § Kß O § Kß B − K C − K LBO LCO Si , y entonces y son iguales o disyuntas. ì L § KßB − K C − K LB LC Si y , entonces y son iguales o disyuntas y por analogía BL CL y son iguales o disyuntas. ì LB oe LC BC − L BL oe CL C B − L si y sólo si . Por otra parte si y sólo si " " ì B − LBO B − LB B − BL Si , entonces y . 7.Si es un subgrupo de un grupo , entonces el í de en L K L K ndice a derecha es el número de clases a derecha de . L ì L K L K Si es un subgrupo de un grupo entonces el índice a derecha de en es igual al índice a izquierda de en . L K ì No hay distinción entre el índice a derecha y el índice a izquierda. Por lo tanto se define el índice de en como siendo el número de clases a derecha. ÒK À LÓ L K ì W K B − K ‰ ÐWBÑ oe ‰ ÐWÑ oe ‰ ÐBWÑ Si es un subconjunto de un grupo y , entonces , donde es el número de elementos de o el orden de . ‰ ÐWÑ W W ì K L Sea un grupo y un subgrupo. Entonces cualquier clase lateral a la derecha (respectivamente a la izquierda) de relativamente a tienen la misma potencia L K de . Además el conjunto de las clases laterales a derecha definidas por tiene L L [Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 3 la misma potencia que el conjunto de las clases laterales a izquierda definidas [w por . L 8.Teorema de Lagrange " : Si es un grupo finito y es un subgrupo, el orden K L de es un divisor del orden de . L K ì # L K Teorema de Lagrange Si es un subgrupo de un grupo , entonces ‰ ÐKÑ oe ‰ ÐL ÑÒK À LÓ. ì ÖL × K Si es una familia de subgrupos de un grupo , entonces 3 3−W ÒK À L Ó Ÿ ÒK À L Ó ∩ 3 − W 3 − W 3 3 C ì Teorema de Poincare: La intersección de un número finito de subgrupos de índice finito es de índice finito. ì O § L § K K ÒK À OÓ oe ÒK À LÓÒL À OÓ Si , de un grupo , entonces . 9.Un homomorfismo de un grupo en un grupo es una aplicación que K K À K K w w ) preserva la ley de composición, esto es, tal que . ) ) ) + † , oe + † , ì Si además, es una biyección se dice que es un isomorfismo. ) ) ì K Un endomorfismo es un homomorfismo de en sí mismo y un automorfismo es un isomorfismo de un grupo en sí mismo. K ì K L L97 KßL I8. K E?> K Si y son grupos sea , , y denotan al conjunto de homomorfismos de en , al conjunto de endomorfismos de , y al conjunto de K L K automorfismos de , respectivamente. K ì K L X − L97 KßL 3 X /oe /33 X 1 oe X1 Si y son grupos y , entonces , K L " " ì K X − L97ÐKÑ 0 B ß B ß á ß B 1 − K Si es un grupo, , es una palabra en y para " # 8 3 " Ÿ 3 Ÿ 8 0 X 1 ß 1 ß á ß 1 oe 0 X 1 ß X 1 ß á ß X 1 , entonces . " # 8 " # 8 ì Kß L O El producto de homomorfismos es un homomorfismo. Si y son grupos X − L97ÐKß L Ñ Y − L97ÐL ß OÑ Y X − L97ÐKß OÑ y entonces . ì X − L97ÐKßLÑ X K § L Si , entonces . ì X − L97ÐKß LÑ O § K X lO − L97ÐOß L Ñ Si y , entonces ì XlO X K L El homomorfismo será denotado simplemente por . Si y son grupos y X − L97ÐKß L Ñ X X oe ÖX B oe /× , entonces el " " de es el conjunto . núcleo ker L ì K X −L97ÐKÑ 3 X §K 33 B −K Si es un grupo y , entonces y entonces ker B X B § X Þ " ker ker 10.Sea un subgrupo de . Entonces, es si y sólo si para R K R + R + § R nomal " todo y escribimos . + − K L £Ñ K ì El núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal. ì K X − L97ÐKÑ X − M=9ÐKÑ X oe I oe Ö/× Si es un grupo y , entonces si y sólo si ker como subgrupo. ì K L X − L97ÐKß LÑ O § K X ÐOÑ § L Si y son grupos, y , entonces . Si además O £Ñ K X O £Ñ X K , entonces . ì K L X − L97ÐKß LÑ C − X ÐKÑ X ÖC× Si y son grupos, y , entonces es una clase " lateral de . ker X ì K L O § L X − L97ÐKß L Ñ X O § K O £Ñ L Si y son grupos, y , entonces ; si , " entonces . X O £Ñ K " Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 4 11.Si es un grupo, entonces el conjunto de los subgrupos de , K P+> K K parcialmente ordenado por inclusión, es una completa. red ì P X P Una red se dice completa si para cada subconjunto no vacío de existen el inf sup ÞX ÞX y el . Así cada red completa tiene un elemento maximal y un elemento minimal. ì K L X − L97ÐKß LÑ X K oe L Teorema de la red. Si y son grupos, y , entonces X ÞX K induce un isomorfismo de la red de subgrupos entre y , sobre la red ker P+> L L X de subgrupos de . también induce un isomorfismo de la red de subgrupos normales de entre y , sobre la red de subgrupos normales K Þ X K ker de (If and are groups, and then induces an L Þ K L X − L97 Kß L ß X K oe L ß X isomorphism of the lattice of subgroups between and onto the lattice ker X K P+> L L X of subgroups of . also induces an isomorphism of the lattice of normal subgroups of between and onto the lattice of normal subgroups of ) K X K L ker 12.Si y son grupos de permutaciones, entonces un isomorfismo de Pß K Qß L Pß K Qß L X ß Y X sobre es una pareja ordenada tal que es una función uno a uno de sobre es un isomorfismo de sobre y si y entonces P Qß Y K L + − P 1 − K X +1 oe X + Y 1 Pß K QßL Pß K . Si hay un isomorfismo de sobre , entonces es isomorfo a escribiéndose . Qß L Pß K oe Qß L µ ì La relación "es isomorfo a" es una relación de equivalencia en la clase del grupo de permutaciones. ì 8 P Q El grupo simétrico de grado . Si y son conjuntos tales que ‰ P oe ‰ Q Pß WC7 P oe Qß WC7 Q µ entonces . Aquí indica el grupo de las permutaciones de . WC7 Q oe WC7 Qß ‰ Q Q ˆ ‰ ì W K X W K Si es un conjunto, es un grupo y es una función uno a uno de sobre , entonces existe un grupo conteniendo a como subconjunto y un isomorfismo L W Y L K Yl oeX de sobre tal que . W 13.Un subgrupo normal de determina una única relación de equivalencia en . R K K Utilizaremos la notación para indicar que los elementos son + oe , R +ß , − K equivalentes. Diremos también, y son equivalentes módulo . + , R +, − R " ì R K Sea un subgrupo normal de un grupo . Entonces, el conjunto de las clases laterales de en relación a constituyen un grupo relativamente al producto de K R partes de . K ì ÖL× K Loe L Sean una colección de subgrupos de , entonces también es 3 3−M 3 ∩ 3 − M un subgrupo de . K ì W K ÒWÓ Dado un subconjunto de denotaremos por el subgrupo intersección de todos los subgrupos de que contienen a . K W 14.El subgrupo contiene a y está contenido en cualquier subgrupo de que ÒWÓ W K contiene a , esto es, es el menor subgrupo de que contiene a Llamamos W ÒWÓ K WÞ ÒWÓ W el subgrupo por el subconjunto . generadoDarío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 5 ì W K ÒWÓ Sea un subconjunto de . Entonces, consiste de todos los elementos de la forma donde los o son elementos de o inversos de los elementos + † + † â † + + W " # 8 3 de WÞ ì L O KÞ LO K Sean y subgrupos de un grupo Entonces es un subgrupo de si y sólo si . En este caso es un subgrupo de generado por . L † O oe O † L LO K L ∪ O ì L K R K L†R oeRL Sea un subgrupo de y un subgrupo normal de . Entonces es un subgrupo de . Además si es normal entonces también es normal. K L L † R 15. Grupos cíclicos: Un grupo es cuando existe un elemento K + cíclico perteneciente a tal que . Un tal elemento es llamado un . En K Koe Ò+Ó + generador un grupo cíclico o bien para algún y en ese caso el grupo tiene orden + oe " 8 ! 8 finito, o bien para todo y en este caso todas las potencias de son + Á " 8 ! + 8 distintas y tiene orden infinito. Es claro que todo grupo cíclico es abeliano. Ò+Ó ì 7 7 7 Þ oe Þ Î ß oe " 7 ™ ™ ™ ™ ™ es cíclico infinito, /es cíclico de orden , / 7™ ì K Todo grupo de orden primo es cíclico. ì Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. ì KoeÒ+Ó 8 . 8 Sea un grupo cíclico de orden . Entonces para cada divisor de existe uno y solamente uno de los subgrupos de cuyo orden es . El subgrupo de L K . orden es . . Ò+ Ó 8Î. ì Todo grupo cíclico es una imagen homomorfa de mediante el homomorfismo ™ ™ : : . + + 5 K oe Ò+Óà 5 oe + ì Si todos los subgrupos propios de un grupo son cíclicos entonces el grupo no necesariamente es cíclico. Tome como ejemplo . Z% 16.Si es un entero positivo indicaremos por el número de enteros positivos 8 89 menores que y primos con . Si es primo . La función es llamada 8 8 8 8 oe 8 " 9 9 el (muchas veces se usa la letra griega para indicarla) indicador de Euler : ì K 8 K 8 Si es un grupo cíclico de orden entonces tiene generadores. 9 ì K K Ö"× K oe Ö"× K Si los únicos subgrupos de un grupo son y entonces o es cíclico de orden primo. ì K 8 : 8 Sea un grupo conmutativo de orden y un número primo que divide . Entonces contiene un elemento de orden K :Þ ì K 8 Un enunciado equivalente es el siguiente: un grupo cíclico de orden . Sea 7ß ; − 8 oe 7; L K tales que , entonces existe un único subgrupo de tal que ‰ L oe 7 Í K À L oe ; ì 5 − 5ß 8 oe " Ê 5 oe " 8 Lema Euler . y ™ 9Ð8Ñ 5 8 oe " 8 Í 5 8 oe " 8 Í 5 oe " 8 ™ ™ ™ ™ 9 9 9 Ð8Ñ Ð8Ñ Ð8Ñ En particular . 9Ð:Ñ oe : " Ê + oe " : :" 17.Homomorfismo e Isomorfismos: Un homomorfismo de un grupo en un K grupo es una aplicación que preserva la ley de composición, esto es, K ÀK K w w ) tal que ) ) ) + † , oe + † , ß a+ß , − K Si es biunívoca decimos que es un isomorfismo de en . ) ) K Kw ì Teorema de Cayley. Todo grupo es isomorfo a un grupo de transformaciones.Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 6 ì K K " K Sea un homomorfismo de en , el conjunto de los elementos de ) ) w " que son llevados en la unidad de es llamado el del homomorfismo . Es Kw núcleo ) claro que un homomorfismo es biunívoco si y sólo si su núcleo es reducido a la unidad. Además y son subgrupos de y ) ) ) ) " w " oe 5/< K oe M7 K K respectivamente . )" " £Ñ K 18.Teorema fundamental de los homomorfismos: Si es un homomorfismo de ) un grupo en un grupo entonces donde es el núcleo del K K K KÎR R µ w ) homomorfismo . ) ì K K R Si es un homomorfismo de un grupo sobre un grupo y es el núcleo de ) ) w entonces es isomorfo a mediante la correspondencia . -KÎR K À R + w + ) ) ì K K L Si es un homomorfismo de un grupo en un grupo y es un subgrupo de ) w K L K R K entonces, es un subgrupo de . Si es sobre y es un subgrupo de ) ) w entonces es un subgrupo normal de . ) R Kw ì K K L Si es un homomorfismo de un grupo en un grupo y es un subgrupo ) w w de entonces es un subgrupo de . Además, si es normal K L K L L w " w w " w ) ) también lo es. ì K K ÖL× Sea un homomorfismo de un grupo sobre un grupo y la colección de ) w los subgrupos de que contienen el núcleo de . Entonces, la aplicación K R ) L L ÖL × K L ) es biunívoca de sobre el conjunto de los subgrupos de . Además, w es normal si y sólo si es normal en . ) L Kw ì K R K KÎR Sea un grupo y un subgrupo normal de . Entonces los subgrupos de son de la forma donde es un subgrupo de que contiene . Así, es LÎR L K R LÎR normal en si y sólo si es normal en . KÎR L K 19.Primer teorema de isomorfismo: Sea un homomorfismo sobre, el ) À K K R w núcleo de , un subgrupo normal de que contiene y entonces ) ) L K R L oe L w KÎL oe K ÎL µ w w ì R L K R § L Sean y dos subgrupos normales de un grupo , . Entonces KÎL oe K ÎR Î LÎR µ . ì L R Segundo teorema de isomorfismos: Sean un subgrupo y un subgrupo normal de un grupo de . Entonces es un subgrupo normal de y K L∩ R L LÎ L ∩ R oe LR Î R µ 20.Productos directos: Sean y dos grupos y el producto cartesino de L O K L y , esto es, y . Definiendo la ley de composición O Koe Ö 2ß 5 Î 2 − L 5 − O× 2ß 5 † 2 ß 5 oe 22 ß 55 K w w w w , es un grupo denominado producto directo de los grupos y , y se denota . L O L‚O ì K Lß O K K Sean ahora un grupo y dos subgrupos normales de . Decimos que es descompuesto en producto directo de y , y se nota , cuando L O K oe L O " K oe L † O siendo la unidad de # L ∩ O oe Ö"× ß " KÞ ì K Si un grupo es descompuesto en el producto directo de dos subgrupos normales y entonces . L O K oe L ‚O µ ì K L O Sea el producto directo de dos subgrupos y . Entonces siDarío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 7 L oe Ö 2ß " Î2 − L× O oe Ö " ß 5 Î5 − O× w w O L se tiene que y son subgrupos normales de y se descompone en el L O K K w w producto directo de y Además, y . L O Þ L oeL O oeO µ µ w w w w 21.Sean ahora un grupo y subgrupos normales de . Decimos que K K ß K ß á ß K K " # 8 K K es en el producto directo de los subgrupos y notamos descompuesto 3 K oe K K â K " # 8 cuando " K oe K † K † â † K " # 8 , # K ∩ K † K † â † K † K † â † K oe Ö"× a3 oe "ß #ß á ß 8 3 " # 3" 3" 8 ì K Si un grupo es descompuesto en el producto directo de subgrupos normales K ß K ß á ß K K oe K ‚ K ‚ á ‚ K µ " # 8 " # 8 , entonces . ì K K ß K ßáß K Sea el producto directo de los grupos , si " # 8 K oe Ö " ß á ß " ß 1 ß " ß á ß " − KÎ1 − K × 3 w" 3" 3 3" 8 3 3 K K K w3 es un subgrupo normal de y es descompuesto en el producto directo de los K K oe K a3 oe "ß #ß á ß 8 µ w w 3 3 3 . Además , . 22. Sea una familia de grupos y sea , si , ÖK × K oe K + , − K 3 3−M 3 3 3 3−M 3−M ‚ 3 − M definimos + † , oe + , 3 3 3 3 3−M con esta ley de composición es un grupo. ‚ 3 − M K3 ì a3 − MßK K Si es abeliano, entonces es abeliano. 3 3 ‚ 3 − M ì a3 − MßK K Si es cíclico, eso implica que es cíclico. 3 3 ‚ 3 − M ì 5− M Para cada , definimos y 38 À K K : À K K "ß á ß "ß + ß "ß á + 5 5 3 3 5 5 5 < 3 3−M +5 È È ‚ ‚ 3 − M 3 − M +5 ì + 5 − M 38 38 oe L Para todo , es un homomorfismo inyectivo y además 5 5 3 Im ‚ 3 − M donde si si L oe Ö" × 3 Á 5 K 3 oe 5 3 3 5 oe , 5− M : : oe O Para todo , es un homomorfismo sobreyectivo y además 5 5 < < 3 kerÞ ‚ 3 − M donde si si O oe K 3Á5 Ö" × 3 oe 5 3 33 oe 23.Sea una familia de homomorfismos entonces existe un OE K K a0 À K K 03 3 3 3 3−M único homomorfismo tal que el diagrama sea 0 À K K K K K µ ‚ ‚ 3 − M 3 − M 0 :0 µ 3 3 3 3 3< conmutativo . Š ‹ : ‰ 0 oe 0 µ <3 3 ì 5− M Para todo , se tiene + 38 £Ñ K Im 5 3 ‚ 3 − MDarío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 8 OE , 38 ∩ 38 oe Ö"× Im Im 5 3 ∪ 3 − M Ö5× ì K L ß L ßáß L K Sean un grupo y subgrupos de , consideremos la siguiente " # 8 aplicación 0 À L ‚ L ‚ â ‚ L K 2 ß 2 ßáß 2 È 2 2 â2 " # 8 " # 8 " # 8 Decimos que es el producto directo de y lo denotamos K L ß L ß á ß L " # 8 K oe L L â L 0 " # 8 cuando es un isomorfismo. ì 3 K ‰ K oe 78 7ß 8 oe " Nota: Si es un grupo cíclico tal que y entonces K oe K K 7 8 33 : ‰ K oe : K Si es un número primo y , entonces no admite descomposición, 5 salvo la trivial. ì L ß L ß á ß L K K oe L L âL Sean subgrupos de y (lo que equivale a decir que " # 8 " # 8 K L ∪ â ∪ L Þ es generado por ) Entonces las siguientes afirmaciones son " 8 equivalentes es un isomorfismo 3 0 , y , 33 a − W 0 oe 0 a3 − Ö"ß #ß á ß 8× L âL ∩ L oe Ö"× 1 1 8 " 3" 3 , , 333 a3ß 4ß 3 Á 4 a+ − L a+ − L + + oe + + 3 3 4 4 3 4 4 3 y 3@a3 − Ö"ß #ß á ß 8×ß L £Ñ K L âL L âL ∩L oe Ö"× 3 " 3" 3" 8 3 24. Sea un grupo finito ; K L ß L ß á ß L £Ñ K ‰ K oe 1ß ‰ L oe 2 " # 8 3 3 además si , , y si entonces 2 ß 2 oe " a3ß 4 3 Á 4 1 Ÿ 2 2 â2 K oe L L â L 3 4 " # 8 " # 8 ì K ‰ K oe : â: K oe L L â L Sea un grupo cíclico y entonces donde "6 8 6" # 8 " 8 L : 3 36 es el único subconjunto de orden . 3 ì L Lß O § Kß Un grupo se llama si y sólo si para todo descompuesto K oe L O Ê L oe Ö"× ” O oe Ö"× ì K K K ‰ K Sea un grupo cíclico, es descompuesto si y sólo si es infinito, o, es potencia de algún número primo. ì Las siguientes condiciones son equivalentes 3 LßO £Ñ Kß ‰ L ß ‰ O oe " K oe LO L O , , y subgrupos cíclicos. 33 K oe L O es cíclico. 25.Grupos abelianos finitamente generados: Sea una familia de grupos ÖK × 3 3−M abelianos se define ‚ 3 − M débil K oe Ö + Î+ oe ! 3 − M× 3 3 3 3−M para casi todo Ahora y definamos . ‚ ‚ ‚ 3 − M 3 − M 3 − M débil débil K § K 38 À K K + + 3 3 5 5 3 5 35 5 3−M È $ Análogamente , y , : À K K : ‰ 38 oe + È + M .K ß 5 oe ! ß 5 Á 5< < 3 5 5 3 3−M 5 5 ‚ 3 − M débil oe ---Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 9 ì ÖK× K Sea una familia de grupos abelianos. Para cualquier grupo abeliano y 3 3−M para cualquier existe un único homomorfismo tal K K 1 À K K 1 µ + È 1 + 3 3 3 3 3−M 3−M 3 3 ‚ 3 − M débil que el diagrama sea conmutativo . K K K 1 ‰ 38 oe 1 1 381 µ µ 3 3 3 3 3 3 ‚ 3 − M débil 26.Sea un grupo abeliano y , se dicen Kß B ß B ß á ß B − K B ß B ß á ß B " # 8 " 8 # linealmente dependientes si existen enteros no todos cero tales que 7 ß 7 ßáß 7 ß " # 8 7 B 7 B â 7 B oe ! " " # # 8 8 ì K oe ! a5 − Ö!× Observación: , es linealmente dependiente y es linealmente ™ ™ independiente. Dos elementos son linealmente dependientes. 5ß 6 − Ö!× ™ 27.Sea un grupo abeliano, notamos consideremos W § Kß K oe ß ™ ™ W ‚ 3 − W débil 0 À K 8 È 8 B W W B B−W B ™ B−W W 0 es linealmente independiente si y sólo si es inyectiva. W ì W a8ß aB − W ß 3 oe "ß #ß á ß 8 ß B Á B ß es linealmente independiente si y sólo si 3 3 3 4 3 Á 4ß ÖB ß B ß á ß B × " # 8 es linealmente independiente no dependiente , + W aX § W X es linealmente independiente si y sólo si , es linealmente independiente, , W aX § W X es linealmente independiente entonces, finito, es linealmente independiente. Esta propiedad es conocida con el nombre de independencia lineal o " ". caracter finito ì oe W Ê oe Ö!× Si ø ™Ð Ñ ø ì ø es el único conjunto linealmente independiente si sólo si para cualquier B − Kß ‰ ÐBÑ ∞ ì K Si es un grupo que no posee ningún subconjunto linealmente independiente infinito entonces Existe un subconjunto linealmente independiente maximal . + W Para todo subconjunto linealmente independiente # # . , X X Ÿ W ì W Un subconjunto es linealmente independiente maximal si sólo si es linealmente independiente y , es linealmente dependiente. aY ¨ W Y 28.Si no posee subconjuntos linealmente independientes infinitos entonces K todos los subconjuntos linealmente independientes maximales tienen el mismo número de elementos este número es llamado " ". ß K rango de ì K Si tiene subconjuntos linealmente independientes infinitos entonces el rango de es infinito. K ì W 0 À K 0 es una " " si y sólo si es una biyección (luego es un base W W ÐWÑ ™ isomorfismo). ì W K W Si es una base de entonces es linealmente independiente maximal. 29. K K es llamado un grupo si y sólo si tiene una base. abeliano libreDarío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 10 ì K M K es un grupo abeliano libre si y sólo si existe subconjunto de tal que K µ W K W oe M µ ™ÐM Ñ, en ese caso, existe una base de tal que # # . ì Todo grupo abeliano es una imagen homomorfa de un grupo abeliano libre. 30.Si es de rango y libre entonces todos los subgrupos de K oe ‚ ‚ â ‚ 8 K ™ ™ ™ son libres. ì Y 8 Z Y Sea un grupo libre de rango , un subgrupo de grupo libre, rango + Z Z Ÿ 8 Existe una base de que también sirve como base de . , Ö? ß ? ßáß ? × Y Z " # 8 Existe base de tal que y -Ö@ß @ß á ß @× Z @oe ? ß − Ö!×ß 3 oe "ß á ß 5 " # 5 3 3 3 3 0 0 además 0 0 0 0 " # $ 5Þ l l lâl 31.Si todo elemento de tiene orden finito, decimos que es un grupo de rango K K cero. ì Un grupo que admite un conjunto independiente finito de generadores es llamado de o finitamente generado. tipo finto ì K Un grupo que admite un conjunto linealmente independiente de generadores es llamado y al conjunto de generadores se le llama la base de . grupo libre K ì K 8 K Sea un grupo conmutativo generado por elementos. Entonces, es isomorfo a un grupo cociente de un grupo libre de rango . 8 ì Y 8 Z Á Ö!× Y Sea un grupo libre de rango . Entonces, todo subgrupo de también es libre y tiene rango . Ÿ 8 32.Sea un grupo libre y un subgrupo de . Sean y Y Z Á Ö!× Y Ö? ß ? ßáß ? × " # 8 Ö@ß @ß á ß @× Y Z " # 5 bases de y respectivamente. Entonces un elemento ? oe + ? + ? â + ? Z + " " # # 8 8 3 3 pertenece a si y sólo si es un múltiplo de 0 3 oe "ß #ß á ß 5 + oe ! 4 oe 5 "ß á ß 8 y . Aquí se entiende que los son números 4 3 0 naturales dados en la definición de grupo libre de rango . 8 ì K Teorema fundamental: Sea un grupo conmutativo de tipo finito. Entonces K oe Y Š â Š Y Š Z Š â Š Z " > " < donde los son grupos cíclicos infinitos y los son grupos cíclicos finitos de Z Y 3 3 orden divisible por 7 7 7 3 3" 3 "ß 3 oe "ß #ß á ß > " ì K Teorema de unicidad: Sea un grupo conmutativo finitamente generado. Sea Y Š â Š Y Š Z Š â Š Z Y Š â Š Y Š Z Š â Š Z K " > " < w w w w " > " < y dos descomposiciones de w w satisfaciendo al teorema anterior, con orden y con orden . Entonces Y Y 3 3 w w 3 3 7 7 < oe < ß > oe > ß oe 3 oe "ß á ß > oe > w w w w 3 3 7 7 , 33. Operaciones de un grupo en un conjunto: Cualquier grupo abeliano es K isomorfo al cociente donde . ™ ™ W W W W Î Þ0 0 À K ker ì K − ß Sea un grupo, un conjunto de permutaciones de un conjunto . L L C C C 1 B − È B − ‚ È C C C C C 1 . . L 1 1 ß B B ì "− À ‚ È Sea un grupo, su elemento unidad. es > > ) > C C # ) # # ß B ß B oe B o llamada una de sobre operación > $ C Í " " B oe Bß # o o o o o # $ # B oe B.Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 11 34.Sea una operación sobre se tiene que ) > À ‚C C C + a − À − È se define . # > )4C C C B # o B L , À È = ># L C)4 es un homomorfismo. ì Una operación se llama si y solamente si es inyectiva. ) = fiel ì B− B oe Ö BÎ − × La órbita de es el conjunto . C > # # > También a la órbita se le llama un . sistema de transitividad ì Bß C − B oe C Í B − C Í B ∩ C Á Para todo , ø C > > > > > ì ) es transitiva si y sólo si posee una sola órbita la generada por . C ø . Í aBß C − Á ß b − ß C oe B Í ÐbB − ÑÐaC − ÑÐb − ÑÐC oe BÑ C C C # > # # > # 35.> # > # B oe Ö − Î B oe B× B − es llamado el de estabilizador C o el grupo de isotropía ì aB − Î B B B† B È B C, es un subgrupo de además existe y es una biyección. > > > > > # > # ì Boe Î § oe À B B Se tiene # = # # donde En el caso finito # . C C C. C Š ‹ Š ‹ B− B− B− w C C C w w w > > > > > ì À ‚ À4È Sea una operación y es una representación y se tiene: ) > = > ) C C C L 4 + Þ oe B ker = > ∩ B − C es fiel si y sólo si . , oe Ö"× B B ) > ∩− C ì À‚ Si es un subgrupo de entonces es una operación, además ? > ) ? w C C ? > ? > ? B § B B oe ∩ B siendo . ì Ê c Ê Si es fiel es fiel. Pero si es transitiva es transitiva . ) ) ) ) w w 36.Sea , , es estable bajo si y sólo si para todo , entonces D C D D § 4− ß a − ) > α 4 † . − D. 37. : Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones. Teorema de Cayley > > # > # B B µ § oe Ö − Î † B oe B× I L C C para algún . Donde ì § Ö × Sea un grupo finito ø es una parte estable bajo la translación, es > > ´ P decir, . Además tal que , donde \ − Ê a − ß † \ − a\ − ß b] − \ " − ] ´ # > # ´ > ´ > # # > \ oe Ö B − − B − \× C/y ì \ \ > opera sobre por translación. 38. # # # donde es un conjunto de representantes de . + \ oe \ † \ \ w w > # # , \oe † \ > ##> \ w Si # , donde -" − \ß \ oe " Ê \ oe \ß \ oe Î oe Ö − Î \ oe \× w \ \ > > > > > # > # ì \ oe " Í \ \ # opera transitivamente sobre . w >Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 12 39.Sucesiones de composición: Dado un grupo , llamamos sucesión de K composición de a una colección finita de subgrupos de tal que K oeÖK × K 3 !Ÿ3Ÿ8 K oe K K oe Ö"× K K Þ ! 8 3" 3 , y es un subgrupo normal de Por ejemplo es una sucesión de composición estrictamante W ¨ E ¨ Ö"× 8 $ decreciente. ì KÎK Los cocientes son llamados cocientes de la sucesión de composición. 3 3" ì K Decimos que una sucesión de composición de un grupo es que w más fina una sucesión de composición de y escribimos si la sucesión puede K w ser extraída de la sucesión . w ì oe ÖK × oe ÖK × Dadas dos sucesiones de composición y de un 3 Ÿ3Ÿ8 Ÿ4Ÿ7 w 4 w grupo decimos que y son equivalentes cuando y existe una K 8oe 7 w permutación del conjunto tal que . : Ö!ß "ß #ß á ß 8× K Î oe K Î µ 3 K K 3 w 3" 3" w : : 40. . Si y son dos sucesiones de composición de un Teorema de Schreier w grupo , existen dos sucesiones de composición y de las cuales son K K " "w equivalentes y tales que , " "w w 41.Lema de Zassenhaus: Sean y subgrupos del grupo y , subgrupos L O K L O w w normales de y respectivamente. Entonces y son L O L † ÐL ∩ O Ñ O † ÐL ∩ OÑ w w w w subgrupos normales de y respectivamente. Además L † ÐL ∩ OÑ O † ÐL ∩ OÑ w w L †ÐL∩OÑ O †ÐL∩OÑ L †ÐL∩O Ñ O †ÐL ∩OÑ w w w w w w oe µ 42. Llamaremos de un grupo a una sucesión de sucesión de Jordan-Hölder K composición de , estrictamente decreciente y tal que no existe ninguna K sucesión de composición estrictamente decreciente que sea estrictamente más fina que . Dado un grupo decimos que es cuando y son los únicos K K K Ö"× simple subgrupos normales de . K ì K Una sucesión de composición estrictamente decreciente de un grupo es de Jordan-Hölder si y sólo si todos los cocientes de la sucesión son simples. 43. : Dos sucesiones de Jordan-Hölder de un grupo Teorema de Jordan-Hölder K son equivalentes. ì No todo grupo posee sucesiones de Jordan-Hölder. ì Por ejemplo no posee sucesiones de Jordan-Hölder. ™ ì K Llamaremos de una sucesión de Jordan-Hölder de un grupo al longitud número de cocientes de esa sucesión y no depende de la sucesión tomada sobre K K , llámase entonces longitud de simplemente.Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 13 45.Si dos grupos y tienen la misma longitud ellos no son necesariamente K Kw equivalentes. Basta tomar dos grupos de orden primo distintos. ì L K Decimos que es un subgrupo de cuando existe una sucesión subnormal K oe L ¨ L ¨ â ¨ L oe L ! " 8 con subgrupo normal de , o en otras palabras, cuando L L 3 oe !ß "ß á ß 8 " L 3" 3 pertenece a alguna sucesión de composición de . K 46.Decimos que vale la condición de cadena ascendente para los G ÞG ÞE subgrupos subnormales de cuando dada una sucesión K K § K § â § K § â ! " 8 de subgrupos subnormales de , existe un entero tal que en K R K oe K oe âà R R" otras palabras, cuando toda sucesión estrictamente creciente de subgrupos subnormales de es finita. Análogamente, vale la condición de cadena K decreciente para los subgrupos subnormales de cuando , dada una G ÞG ÞH K sucesión K ¨ K ¨ â ¨ K ¨ â ! " 8 de subgrupos subnormales de , existe un entero tal que K R K oe K oe â R R" ì K G ÞG ÞE GÞGÞH Si es un grupo entonces vale la . respectivamente para los subgrupos subnormales de si y sólo si toda colección no vacía de subgrupos K subnormales de tienen a lo menos un elemento maximal K respectivamente minimal . ì K Un grupo tiene una sucesión de Jordan-Hölder si y sólo si valen las condiciones de cadena ascendente y descendiente para los subgrupos subnormales de . K ì Todo grupo finito tiene sucesiones de Jordan-Hölder. 47.Grupos resolubles resoluble . Un grupo se dice si posee una secuencia de K composición K oe K ¨ K ¨ â ¨ K oe Ö"× ! " 8 cuyos cocientes son conmutativos . K ÎK 3 oe !ß "ß á ß 8 " 3 3" ì K Un grupo finito es resoluble si y sólo si tiene una sucesión de composición K oe K ¨ K ¨ â ¨ K oe Ö"× ! " 8 cuyos cocientes son cíclicos de orden primo. K ÎK 3 3" 48.Sea un subgrupo normal de un grupo . Si y son resolubles entonces L K KÎL L K es resoluble. ì 8 # L E E Si todo subgrupo normal de que contiene un triciclo, coincide con 8 8 ì 8 & E Si , el grupo alternado es simple. 8 49.Grupos de Sylow: Si un elemento de un grupo conmuta con todos los D K elementos de , esto es, si decimos que es K D † B oe B † Dß aB − Kß D un elemento central de . K ì Los elementos centrales de un grupo constituyen un subgrupo conmutativo . m ì K Q Se dice que opera transitivamente en cuando dados dos puntos cualesquiera y de siempre existe tal que . T U Q − K T oe U 3 3 Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 14 50.Sean un grupo, el centro de e el grupo de los automorfismos internos K K m I de . Entonces K KÎ oeµ m I ì Q K Q Sean un conjunto y un grupo finito de transformaciones de . Entonces, el número de elementos de una clase de transitividad determinada por en es un K Q factor del orden de . K 51. Sea un grupo finito. Entonces, el número de elementos en cada clase K conjugada de es un factor del orden de . Sea el grupo de los automorfismos K K I interiores de un grupo , las clases de transitividad determinadas por en son K K I llamadas clases conjugadas. 52. Si es un grupo tal que , donde es un número primo positivo y > > ‰ Ð Ñ oe : : < < es un número entero no-negativo, decimos que es un -grupo. > : ì K 8oe: 7 : :ß7 oe" Sea un grupo de orden , un número primo y . Un subgrupo < de de orden es denominado un -subgrupos de Sylow o simplemente un K : : < : K -grupo de Sylow de . 53.Primer teorema de Sylow: Sea un grupo de orden un número K 8oe : † 7ß : < primo tal que . Entonces contiene por lo menos un -grupo de Sylow. :ß 7 oe " K : 54.Segundo teorema de Sylow: Sea un grupo de orden un número K 8oe : † 7ß : < primo tal que ; es un subgrupo de de orden y es :ß 7 oe " O K : Ÿ : L = < un -subgrupo de Sylow de . Entonces esta contenido en un subgrupo : K O conjugado de (esto es, existe tal que ). L B− K O oe B LB " ì : K En particular dos -subgrupos de Sylow de son siempre conjugados. 55. : Sea un grupo de orden un número Tercer teorema de Sylow K 8oe : † 7ß : < primo tal que , y es el número de -subgrupos de Sylow de . Entonces :ß 7 oe " = : K = oe " Þ: mod 56.Teorema de Cauchy: Sea un grupo y un número primo tal que > > : :l ‰ Ð Ñ entonces posee por lo menos un subgrupo de orden . > : ì K : ß < " K Si es un grupo de orden , entonces tiene un subgrupo normal de < orden . :<" ì Sea un grupo finito, las siguientes afirmaciones son equivalentes: > posee apenas un -subgrupo de Sylow. 3 : > posee un -subgrupo de Sylow normal. 33 : > ì : ‰ Ð Ñ oe : < " ß á ß Sea un -grupo; sea . Entonces existen subgrupos > > > > < ! < pertenecientes respectivamente a tales que . Además la Z Z > > > ‡ ‡ ! < ! " < ß á ß § § â § sucesión es una cadena supersoluble del grupo , lo cual oe ß ßáß > > > > ! " < significa que " oe Ö"×ß oe > > > ! < son subgrupos normales del grupo # ß ßáß > > > > ! " <" Los cocientes son grupos cíclicos de orden primo. $ Î ß á ß Î > > > > " ! < <" Aquí indicamos por , . Z ? Z ? > ? ? > ‡ 3 3 3 oe Ö − oe Ö − Î ‰ Ð Ñ oe : ×Î £Ñ × 3 − Ö!ß "ß á ß <×Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 15 57. ANILLOS E IDEALES: Si un sistema de composición doble es tal que es un grupo Eß ß Eß † abeliano, con neutro , es un monoide con elemento neutro y ! oe ! Eß " oe " E E † OE B CD oeBCBD CD BoeCBDB cualquiera que sean , decimos que el sistema de Bß Cß D − E composición doble es (con cero y con unidad ). Eß ß ! " † un anillo E E ì Eß ß Eß Si un anillo es tal que es un monoide conmutativo, decimos que † † Eß ß † en un anillo conmutativo. ì Eß ß Y oe Ö+ − EÎ b, − E +, oe " × Sea un anillo, denotemos con al conjunto † E de los elementos inversibles de EÞ 58.Si es un anillo tal que decimos que es un Eß ß Y oe E Ö! × Eß ß † † E E anillo de división, en este caso # . E # ì Eß ß Si es un anillo de división conmutativo, se dice que el anillo de división † Eß ß † es un . cuerpo 59.Homomorfismos de anillos. Sean y anillos y una Š ‹ Eß ß E ß ß À E E µ µ † † : aplicación tal que cualquiera que sean Š ‹ si entonces si entonces BCoeD ÐBÑ ÐCÑoe ÐDÑ B CoeD ÐBÑ ÐCÑoe ÐDÑ : : : : : : † † Bß Cß D − E y en estas condiciones se dice que es un homomorfismo entre el : : Ð" Ñ oe " E E µ anillo y y se escribe . Š ‹ Š ‹ Š ‹ Eß ß E ß ß − Eß ß ß E ß ß µ µ † † † † : hom ì Eß ß E ß ß À E E µ µ Sean y anillos arbitrarios. Si es una biyección tal Š ‹ † † : que cualquiera que sean decimos que Š ‹ si y sólo si si y sólo si BCoeD ÐBÑ ÐCÑoe ÐDÑ B CoeD ÐBÑ ÐCÑoe ÐDÑ : : : : : : † † Bß Cß D − E : es un isomorfismo entre los anillos y y escribimos . Š ‹ Eß ß E ß ß E E µ µ µ † † 60.Sea un anillo arbitrario. Siempre es posible establecer un Eß ß † homomorfismo entre el dominio de los números enteros y el anillo dado, a saber -™ E E E E À E 5 È 5" 5" " 5 dado por , siendo el múltiplo de según . Entonces podemos concluir que tomando , es un anillo conmutativo T oe T ß ß E E E Im- † denominado del anillo . anillo primo Eß ß † 61.Sea un anillo cualquiera. Sea , si es un anillo y Eß ß F § E Fß ß † †F F " oe " Fß ß Eß ß F F F E decimos que el anillo es un subanillo de . † † ì Eß ß Þ oe 8 ß 8 Sea un anillo cualquiera. Si cedimos que es la † ker-™ E característica del anillo y escribimos Eß ß G +
− Þ 0 = − > !¶ ¶ = oe 0 > 1 À , aquí tenemos una función definida por ¶ ¶ donde es tal que o sea en el caso contrario 1 = oe > > = oe 0 > = − 0 Ð Ñ > oe ¶ ! esta función envía cada "de regreso, de donde el vino" así para 1 0 > 1 0 > oe >ß todo Esto establece que , por lo tanto es el inverso deseado para . >Þ 1 ‰ 0 oe " 1 0 izq , 0 − Ð ß Ñ Se trata de las funciones inyectivas también ya que, decir que es T ¶ ¶ cancelable a izquierda significa que se tiene a ß a − Ð ß Ñ < : T ¶ ¶ 0 † B oe 0 † B Ê ÐBÑ oe ÐBÑ B − < : < : ¶ para todo .Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 23 Luego si entonces donde es la aplicación 0 B oe 0 C 0 † 3 B oe 0 † 3 C 3 À ¶ ¶ idéntica así, 0 † 3 B oe 0 † 3 C Ê 3 B oe 3 C Í B oe C Recíprocamente, supongamos que es inyectiva, entonces es cancelable a 0 0 izquierda , en efecto; , esto se tiene 0 1 B oe 0 2 B Ê 1 B oe 2 B Å 0 es uno a uno a1 − Ð ß Ñ a2 − Ð ß Ñ T ¶ ¶ T ¶ ¶ y . -La respuesta es: aplicaciones sobreyectivas. Porque si es invertible a derecha significa que tal que . 0 b0 − Ð ß Ñ 00 oe M w w T ¶ ¶ der. Ahora; tal que es verdadera porque para cada , basta aC − ß bB − 0 B oe C C − ¶ ¶ ¶ tomar donde es la inversa a derecha de entonces . B oe 0 ÐCÑ 0 0 0 0 C oe C w w w Recíprocamente, supongamos que es sobre entonces para cada 0 À oe ¶ ¶ ¶ w > − oe = − 0 = oe > ¶ ¶ ¶ w existe por lo menos un tal que , escogemos, para cada > − oe = 0 = oe >Þ 0 À oe 0 > oe = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ w ‡ w ‡ un sólo tal que Definimos por escogido entonces . ß Ð Ð>ÑÑ oe Ð>Ñ oe > : : : ‡ . 2 También son las aplicaciones sobreyectivas. En efecto; supongamos que no es sobre, entonces existe tal que . B − 2 B Á B ß aB − Ð2 À Ñ " " ¶ ¶ ¶ ¶ Puesto que nunca toma el valor , podemos concluir que . 2 − Ð ß Ñ B Á ÖB × T ¶ ¶ ¶ " " Además tenemos ø. Por otra parte sea con . Definimos las ¶ ¶ Á B− B Á B # # " funciones como sigue 0 ß 1 − Ð ß Ñ T ¶ ¶ definida así si si 0 À 0 B oe B aBÁB B BoeB ¶ ¶ oe # " " " dada por 1 À 1 B oe B ß aB − ß ¶ ¶ ¶ # Entonces , y , , , así no será cancelable a la derecha. 0 Á 1 0 2 B oe 1 2 B aB − 2 ¶ Recíprocamente supongamos que , y , 1 ‰ 2 oe 0 ‰ 2 0 Á 1 Entonces existe un tal que . Por lo tanto nunca toma el B − 0 B Á 1ÐB Ñ 2 B " " " ¶ valor por otra parte así no es superyectiva. B ß 2 0 B oe 2 1 B ß 2 Î " " " 4. Sea el grupo de las permutaciones del conjunto W Ö"ß #ß $ß %× % + W Escriba todos los elementos de como un producto de cíclos disyuntos. % , Elaborar la tabla de grupo. -,W Probar que además de los subgrupos de posee solamente los siguientes % subgrupos: " Z oe Ö "# $% ß "$ #% ß "% #$ ß M × El "grupo de Klein" , % # E oe Z † O 3 − Ö"ß #ß $ß %× el "grupo alternado" (para cualquier de orden 12; % % 3 $ W el grupo entero de orden 24; % % cuatro grupos de orden 6, y & tres grupos de orden 8. . W Indique las inclusiones existentes entre los subgrupos de . %Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 24 /O† O Pruebe que el producto de dos subgrupos distintos de orden 3 no es un 3 4 subgrupo de W%Þ SOLUCION. + M oe ß oe $ß % ß oe #ß %ß $ ß oe #ß $ ß oe #ß $ß % ß oe #ß % ß ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ "#$% "#$% "#$% "#$% "#$% "#$% "#$% "#%$ "%#$ "$#% "$%# "%$# ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ "#$% "#$% "#$% "#$% "#$% #$%" #$"% #"$% #"%$ #%$" oe "ß #ß $ß % ß oe "ß #ß $ ß oe "ß # ß oe "ß # $ß % ß oe "ß #ß % ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ "#$% "#$% "#$% "#$% #%"$ $%"# $%#" $#%" oe "ß #ß %ß $ ß oe "ß $ #ß % ß oe "ß $ß #ß % ß oe "ß $ß % ß ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ "#$% "#$% "#$% "#$% "#$% $"%# $"#% $#"% %"#$ %"$# oe "ß $ß %ß # ß oe "ß $ß # ß oe "ß $ ß oe "ß %ß $ß # ß oe "ß %ß # ß ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ "#$% "#$% "#$% "#$% %$"# %$#" %#"$ %#$" oe "ß %ß #ß $ ß oe "ß % #ß $ ß oe "ß %ß $ ß oe "ß % . Así W oe M ß $ß % ß #ß %ß $ ß #ß $ ß #ß $ß % ß #ß % ß "ß #ß $ß % ß "ß #ß $ ß "ß # ß "ß # $ß % ß "ß #ß % ß % š "ß #ß %ß $ ß "ß $ #ß % ß "ß $ß #ß % ß "ß $ß %ß # ß "ß $ß % ß "ß $ß # ß "ß $ ß "ß %ß $ß # › "ß %ß # ß "ß %ß #ß $ ß "ß % #ß $ ß "ß %ß $ ß "ß % . Con el objeto de elaborar la tabla de grupo daremos la siguiente notación a los , elementos de . W 3oeMß % 5 5 5 7 7 " % ( " % "#$% "#$% "#$% "#$% "#$% #$%" #%"$ $%#" "$%# %#"$ oe ß oe ß oe ß oe ß oe ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 5 5 5 7 7 # & ) # & "#$% "#$% "#$% "#$% "#$% $%"# %$#" #"%$ "%#$ #%$" oe ß oe ß oe ß oe ß oe ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 5 5 5 7 7 $ ' * $ ' "#$% "#$% "#$% "#$% "#$% %"#$ $"%# %$"# $#%" %"$# oe ß oe ß oe ß oe ß oe ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ α α α α ( " $ & "#$% "#$% "#$% "#$% #$"% #"$% %#$" "%$# oe ß oe ß oe ß oe ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ α α α α ) # % ' "#$% "#$% "#$% "#$% $"#% $#"% "$#% "#%$ oe ß oe ß oe ß oe ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ La tabla de mulplicación que hace de un grupo es dada por: W% Ahora 3 ß oe ß oe oe ß oe oe3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 " " " # " " " # " $ " " " " $ " así el grupo generado por es dado por 5"Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 25 5 5 5 5 " " # $ oe Ö3ß ß ß × 33 ß oe 3 5 5 5 5 # # # # , así el grupo generado por es 5 5 # # oe Ö3ß × 333 ß oe ß oe oe ß oe oe 3ß 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 $ $ $ # $ $ $ # $ " $ $ $ $ " $ y el subgrupo será 5 5 5 5 $ " # $ oe Ö3ß ß ß × 3@ß oe ß oe oe ß oe oe 3ß 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 % % % & % % % & % ' % % % % ' % de donde 5 5 5 5 % % & ' oe Ö3ß ß ß × @ß oe3ß 5 5 5 & & & por lo tanto 5 5 & & oe Ö3ß × @3 ß oe ß oe oe ß oe oe 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ' ' ' & ' ' ' & ' % ' ' ' % ' ' y el subgrupo será 5 5 5 5 ' % & ' oe Ö3ß ß ß × @33 ß oe ß oe oe ß oe oe 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ( ( ( ) ( ( ( ) ( * ( ( ( ( * ( , o sea que el subgrupo es 5 5 5 5 ( ( ) * oe Ö3ß ß ß × @333 ß oe 3 5 5 5 ) ) ) de donde 5 5 ) ) oe Ö3ß × 3B ß oe ß oe oe ß oe oe 3ß 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 * * * ) * * * ) * ( * * * * ( * por lo tanto 5 5 5 5 * ( ) * oe Ö3ß ß ß × B ß oe ß oe oe 3ß 7 7 7 7 7 7 7 7 7 " " " # " " " # " por consiguiente 7 7 7 " " # oe Ö3ß ß × B3 ß oe ß oe oe 3ß 7 7 7 7 7 7 7 7 7 # # # " # # # " # así 7 7 7 # oe Ö3ß ß × " # B33 ß oe ß oe oe 3ß 7 7 7 7 7 7 7 7 7 $ $ $ % $ $ $ % $ luego 7 7 7 $ $ % oe Ö3ß ß × B333 ß oe ß oe oe 3ß 7 7 7 7 7 7 7 7 7 % % % $ % % % $ % así 7 7 7 % % $ oe Ö3ß ß × B3@ß oe ß oe oe 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 & & & ' & & & ' & , así el subgrupo generado será 7 7 7 & & ' oe Ö3ß ß × B@ß oe ß oe oe 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ' ' ' & ' ' ' & ' , o sea que 7 7 7 ' & ' oe Ö3ß ß × B@3 ß oe ß oe oe 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ( ( ( ) ( ( ( ) ( , luego 7 7 7 ( ( ) oe Ö3ß ß × B@33 ß oe ß oe oe 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ) ) ) ( ) ) ) ( ) , por consiguiente el subgrupo es 7 7 7 ) ( ) oe Ö3ß ß × B@333 También hacemos lo mismo para los 's α α α α " " " ß oe3, así su subgrupo generado será α α " " oe Ö3ß × B3B ß oe 3ß α α α # # # así α α # # oe Ö3ß × BB ß oe 3ß α α α $ $ $ luego α α $ $ oe Ö3ß × BB3 ß oe 3ß α α α % % % o sea que α α % % oe Ö3ß × BB33 ß oe 3ß α α α & & & asíDarío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 26 α α & & oe Ö3ß × BB333 ß oe 3ß α α α ' ' ' teniéndose como subgrupo α α ' ' oe Ö3ß × BB3@3ß el subgrupo generado por la identidad M oe Ö3× En resumen se obtiene: Tres grupos de orden cuatro 5 5 5 5 5 " $ " # " oe oe Ö3ß ß ß × oe L $ 5 5 5 5 5 % ' % & ' # oe oe Ö3ß ß ß × oe L 5 5 5 5 5 ( * ( ) * $ oe oe Ö3ß ß ß × oe L Cuatro subgrupos de orden tres 7 7 7 7 " # " # " oe oe Ö3ß ß × oe O 7 7 7 7 $ % $ % # oe oe Ö3ß ß × oe O 7 7 7 7 & ' & ' $ oe oe Ö3ß ß × oe O 7 7 7 7 ( ) ( ) % oe oe Ö3ß ß × oe O Nueve subgrupos de orden dos 5 5 α α α α # # " " " % % % ( oe Ö3ß × oe P ß oe Ö3ß × oe P ß oe Ö3ß × oe P 5 5 α α α α & & # # # & & & ) oe Ö3ß × oe P ß oe Ö3ß × oe P ß oe Ö3ß × oe P 5 5 α α α α ) ) $ $ $ ' ' ' * oe Ö3ß × oe P ß oe Ö3ß × oe P ß oe Ö3ß × oe P y el subgrupo trivial M oe 3 oe Ö3× -" Z oe ÖMß ß ß × W % # & ) % 5 5 5 es un subgrupo de claramente ya que 5 5 5 5 5 5 # & ) % & ) # % oe −Z oe − Z 5 5 5 5 5 5 # ) & % ) # & % oe −Z oe − Z 5 5 5 5 5 5 & # ) % ) & # % oe −Z oe − Z indica que es una parte cerrada de , por lo tanto un subgrupo. W% # ZO ß Confrontemos todos los productos en efecto % 3 Z O oe Ö3ß ß × Ö3ß ß ß × oe O Z % " " # # & ) " % 7 7 5 5 5 † oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × 5 5 5 7 7 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 # & ) " # " # " & " ) # # & # ) # oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 # & ) " # ) % & $ ' ( Z O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × % " # & ) " # $ % & ' ( ) 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 Ahora, Z O oeÖ3ß ß ß ×Ö3ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × % # # & ) $ % # & ) $ % # $ # % & $ & % ) $ ) % 5 5 5 7 7 5 5 5 7 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 Z O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × % # # & ) $ % ' " # ) ( & # & ) " # $ % & ' ( ) 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 Z O oe Ö3ß ß ß × Ö3ß ß × % $ # & ) & ' 5 5 5 7 7 † oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × 5 5 5 7 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 # & ) & ' # & # ' & & & ' ) & ) ' oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 # & ) & ' ) $ " ( % # # & ) " # $ % & ' ( ) Finalmente Z O oeÖ3ß ß ß ×Ö3ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × % % # & ) ( ) # & ) ( ) # ( # ) & ( & ) ) ( ) ) 5 5 5 7 7 5 5 5 7 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 # & ) ( ) # & ' % $ " # & ) " # $ % & ' ( ) Puesto que para todo , entonces es un subgrupo de Z ∩ O oe Ö3× 3 oe "ß #ß $ß % Z O % 3 % 3 † W O † Z oe Z O % 3 % % 3 ya que como se prueba en forma análoga, por otra parte † Z O oe Z O oe Z O oe Z O % " % # % $ % %Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 27 Este grupo de orden es llamado alternado y es dado por "# E oe oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß ß × % # & ) " # $ % & ' ( ) 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 $ W #%ß Claramente es un grupo de orden ya que las permutaciones son % aplicaciones biyectivas, y estas forman un grupo con la composición de funciones. % Los subgrupos de orden seis se obtienen de la multiplicación de dos subgrupos de , uno de orden 2 y el otro de orden 3, así W% 3 O P oe Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × " ) & " # " & # & & " # % ' α 7 7 7 α 7 α α 7 7 α α P O oe Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × ) " & " # & " & # & " # ' % α 7 7 α 7 α 7 α 7 7 α α Así donde se sigue que este es un subgrupo de orden 6 O P oe P O O ∩ P oe Ö3× " ) ) " 3 ) de W Þ % 33 O P oe Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × " * ' " # " ' # ' ' " # & % α 7 7 7 α 7 α α 7 7 α α P O oe Ö3ß × † Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × * " ' ' " # ' " ' # ' " # % & α α 7 7 α 7 α 7 α 7 7 α α esto implica que y como se sigue que es un O P oe P O O ∩ P oe Ö3× O P " * * " " * " * subgrupo de orden seis de W Þ % 333 O P oe Ö3ß ß × † Ö3ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × # & $ % # # $ % $ # % # # $ % ' $ 7 7 α α 7 7 7 α 7 α α 7 7 α α P O oe Ö3ß × † Ö3ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × & # # $ % # $ % # $ # % # $ % $ ' α 7 7 α 7 7 α 7 α 7 α 7 7 α α o sea que y también esto implica inmediatamente que O P oe P O O ∩ P oe Ö3× # & & # # & O P W Þ # & % es un subgrupo de orden seis de 3@O P oe Ö3ß ß × † Ö3ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × # ' $ % $ $ $ % $ $ % $ $ $ % # ' 7 7 α α 7 7 7 α 7 α α 7 7 α α pero coincide con por lo tanto no nos sirve, pero O P P O # ' & # O P oe Ö3ß ß ×Ö3ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × $ ) & ' & & ' & & & ' & & ' & $ " 7 7 α 7 7 α 7 α 7 α 7 7 α α α P O oe Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × ) $ & ' & & & & ' & ' & " $ 7 7 α α 7 α 7 7 7 α α α así sería el tercer grupo de orden seis de . O P oe P O W $ ) ) $ % @OP oe O P Puesto que debemos hallar otro distinto, en efecto " ) " * O P oe Ö3ß ß ×Ö3ß × oe Ö3ß ß ß ß ß × oe Ö3Þ ß ß ß ß × % ( ( ) % ( ) % ( % ) % ( ) % # " 7 7 α 7 7 α 7 α 7 α 7 7 α α α así obteniendose de esta manera el cuarto y último subgrupo de O P oe P O % ( ( % orden seis de W Þ % & ) W Con el fin de hallar el número de subgrupos de orden de , multiplicamos los % grupos de orden cuatro por los de orden 2 así: 3 L P oe Ö3ß ß ß ×Ö3ß × oe " # " # $ & 5 5 5 5 oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß × 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 α 5 α " # $ & " # & $ & " # $ & # ) & & P L oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß × # " " # $ & & " & # & $ " # $ & & ) # 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 α 5 α así obteniendose el primer subgrupo de orden 8 de . L P oe P L W " # # " % 33 L P oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß × oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß × $ " # ( ) * ( # ) # * # # ( ) * & " ' 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 α α P L oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß × " $ # ( ) * # ( # ) # * ß ( ) * ' " & 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 α α 5 # así que es el segundo subgrupo de orden 8 de . L P oe P L W $ " " $ % 333 Finalmente L P oe P L oe Ö3ß ß ß ß ß ß × # " " # # % & ) ß ' % 5 5 5 5 α 5 α $ el cual es el tercer subgrupo de orden 8 de W%. . W Indiquemos las inclusiones existentes entre los subgrupos de . % es un subgrupo de todos. Ö3× es un subgrupo de: P L ß O P ß L P ß L P ß L P ß Z ß E ß W Þ " " # & " # " $ " & % % % es un subgrupo de . P À L P ß Z ß L P ß L P ß E ß W # # # % " # " $ % %Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 28 es subgrupo de: . P L ß Z ß P L ß P L ß E ß W $ $ % # " & " % % es subgrupo de . P W % % es subgrupo de: . P O P ß O P ß L P ß L P ß L P ß W ß P L & # & # ' # ' " # " $ % & " es subgrupo de: P O P ß O P ß L P ß W ' # & # ' " # %. es subgrupo de : . P( O P ß O P ß W " ) " * % es subgrupo de : . P O P ß O P ß L P ß L P ß L P ß W ) " ) " * " # " $ " & % es subgrupo de : . P O P ß O P ß O P ß O P ß W * " ) " * # & # ' % es subgrupo de: . O O P ß O P ß E ß W " " ) " * % % es subgrupo de: O O P ß O P ß E ß W # # & # ' % %. es subgrupo de : . O Eß W $ % % es subgrupo de: . O Eß W % % % es subgrupo de : . L L P ß L P ß L P ß W " " # " $ " & % es subgrupo de . L W # % es subgrupo de . L W $ % es subgrupo de: . Z E ß L P ß L P ß L P % % " $ " & " # es subgrupo de . O P W " ) % es subgrupo de . O P W " * % es subgrupo de . O P W # & % es aubgrupo de . O P W # ' % es subgrupo de . L P W " # % es subgrupo de . L P W " & % es subgrupo de . E W % % /O† O Hallemos en primer lugar todos los productos 3 4 O O oe ÖMß ß ß ß ß ß ß ß × oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × " # $ % " # " % " $ # $ # % " # $ % # ' ) & 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 5 ahora O O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × # " " # $ % $ " % " $ # % # " # $ % & ( & # 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 5 aquí pero luego no es subgrupo de . O ∩ O oe Ö3× O O Á O O W " # " # # " % O O oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × " $ " # &ß ' " & " ' # & # ' " # & ' ( & ) % 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 7 Por otra parte O O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß × $ " " # & ' & " ' " & # ' # " # &ß ' $ ) & ) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 7 como se ve y pero no es un subgrupo de . O † O Á O † O O ∩ O oe Ö3× W " $ $ " " $ % Siguiendo el mismo procedimiento tenemos O O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × " % " # ( ) " ( " ) # ( ) " # ( ) ) $ & # 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 5 # ahora O O oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × % " " ß ( ) ( " ) " ( # ) # " # ( ) # ' % ) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 5 # y luego no es subgrupo de . O † O Á O O W % " " % % O O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × # $ $ % & ' $ & $ ' % & % ' $ % & ' # # ) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 5 ) O O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × $ # $ % & ' & $ ' $ & % ' % $ % ' ) " ( # 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 5 & Así esto implica que no es subgrupo de . O O Á O O O O W # $ $ # # $ % O O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × # % $ % ( ) $ ( $ ) % ( % ) $ % ( ) " ) & ' 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 7 O O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × % # $ % ( ) ( $ ) $ ( % ) % $ % ( ) & & ) # 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 7 como siempre aun que , luego no es subgrupo de . O O Á O O O ∩ O oe Ö3× W # % % # # % % O O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß ×oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × $ % & ' ( ) & ( & ) ' ( ' ) & ' ( ) # # % & 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 5Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 29 Ahora O O oe Ö3ß ß ß ß ß ß ß ß oeÖ3ß ß ß ß ß ß ß ß × % $ & ' ( ) ( & ) & ( ' ) ' & ' ( ) & $ " # 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 5 Así luego no es subgrupo de O O Á O O W $ % % $ % De todo lo anterior se deduce que # # # # # O O oe O O oe O O oe O O oe O O oe oe $ † $ oe * " # " $ " % # $ $ % ‰O † ‰O ‰ O ∩O 3 4 3 4 Å O ∩ O oe Ö3× 3 4 y como , se sigue que el producto no es un subgrupo de ya *l #% oe ‰ W O † O W Î % 3 4 % que según el teorema de Lagrange el orden de un subgrupo debe dividir al orden del grupo y aquí tal cosa no ocurre. 0 E El grupo alternado no posee ningún subgrupo de orden seis, por que % supongamos por contradicción que es un subgrupo de orden seis de , L E% tenemos que 5 5 5 # # # # & ) oe oe oe3 así son de orden dos , también es de orden tres, para por 5 5 5 7 # & ) 4 ß ß 4 oe "ß á ß ) consiguiente los elementos de orden 2 son y los elementos de orden 3 5 5 5 # & ) ß ß son . Dado que es de orden seis y es la máxima potencia de tres 7 7 7 " # ) " ß ßáß L $ que divide a seis se sigue que debe tener un subgrupo de orden , ahora como L $ 3 es primo entonces el subgrupo debe ser cíclico y los únicos subgrupos de que L son de orden 3 son los generados por , se sigue que para 7 7 3 3 ß 3 oe "ß #ß á ß ) − L algún . Sea entonces de donde y el subgrupo no sería 3 −L 3ß ß oe − L 7 7 7 7 " " # # " cíclico . Nuevamente por ser 2 la más alta potencia de 2 que divide a 6 , debe po L contener un subgrupo de orden 2 y todo subgrupo de orden 2 es cíclico y los únicos subgrupos cíclicos de son los generados por y por consiguiente E ß % # & ) 5 5 5 5 5 3 # − L 3 oe #ß &ß ) − Lß para algún , digamos por ejemplo que ya que , 5 7 7 7 5 7 # " % " # ) oe oe entonces si contiene a , también contiene a , así tendría 8 L ß oe ß oe L 5 7 7 7 7 7 # % ( # # % $ ) elementos y sería una contradicción. po 5. Sea un grupo cuyo orden es un número primo. Probar K + K K es generado por cualquier elemento de distinto de la unidad. , K es un grupo abeliano. SOLUCION. + ‰ K oe : : K Ö/× , y es un número primo, entonces y son los únicos subgrupos de . Sea y . Consideremos el subgrupo de generado K +−Kß ß +Á/K por , es decir sea el orden del grupo generado por . Según el + +ß 8 oe ‰ + + teorema de Lagrange debe dividir a pero es primo y , entonces así 8 : : + Á /8 oe : + oe K. , + K K De la parte se sigue que es cíclico por lo tanto veamos que es abeliano, sean y elementos arbitrarios de entonces serán escritos como potencias de + , K algún 1 − K 6. Sea un grupo y sean , subgrupos de . Probar: K L O K + O § L K À O oe K À L † L À O Si entonces Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 30 , K À O L À L ∩ O -K À L ∞ K À O ∞ K À L ∩ O ∞ Si y entonces . L Á K O Á K L ∪ O Á K Si y entonces . SOLUCION. + ÖB L× KÎL ß ÖC O× Sea los elementos distintos de los elementos 3 3−M 4 3−N distintos de , entonces LÎO , • • K oe B L L oe C O ∪ ∪ 3 − M 4 − N 3 4 Definimos la aplicación : :ˆ ‰ K L K L O O 3 4 3 4 ‚ B Lß C O B C O È veamos que esta bien definida, en efecto : B Lß C O oe B Lß C O 3 4 3 4 w w es equivalente a y B L oe B L C O oe C O 3 3 4 4 w w ahora miremos las imágenes : B Lß C O oe B C O 3 4 3 4 : B Lß C O oe B C O • B C O oe B C O 3 4 3 4 3 4 3 4 w w w w w w así las imágenes son iguales y por lo tanto está bien definida. : : : : , en efecto si , entonces es uno a uno B Lß C O oe B Lß C O B C O oe B C O 3 4 3 4 3 4 3 4 w w w w multiplicando esta última igualdad por se tiene L B C OL oe B C OL 3 4 3 4 w w pero entonces , por consiguiente O § L L oe OL B C L oe B C L 3 4 3 4 w w se sabe que , , entonces C − L a4 − N 4 C L oe L oe C L 4 4w esta nos lleva a B L oe B L 3 3w la cual es una igualdad entre elementos de esto implica que ahora KL 3 3 B oe B w B C O oe B C O oe B C O 3 4 3 4 3 4 w w w como se está en un grupo, se puede cancelar , así B3 C O oe C O 4 4w obteniendo la igualdad entre clases de , por lo tanto LO C oe C 4 4w así B L oe B L • C O oe C O 3 3 4 4 w w o sea se tiene la igualdad de las parejas , B Lß C O oe B Lß C O 3 4 3 4 w w así es uno a uno : : : Para cada existe uno y sólo un tal que , es claro es sobre 1 − K B L 1L oe B L 3 3 que es un elemento de , así sea cualquier elemento de y podemos /O oe O 1O L K O O calcularlo en : : 1L ß /O oe 1/O oe 1O de donde es sobre. :Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 31 Tenemos en esta forma una biyección entre y , por consiguiente se tiene K L K L O O ‚ # # # # ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ K K L K L O L O L O oe ‚ oe † o sea que K À L oe K À L † L À O , K À O L À L ∩ O ÖB O× , en efecto sea los elementos distintos de , 3 3−M KL así , vemos en seguida que • K oe B L ∪ 3 − M 3 B L ∩ O oe BL ∩ BO de donde con con : − BÐL ∩ OÑ Í : oe BA A − L ∩ O Í : oe BA A − L • A − O Ê : oe BA A − L • : oe BA A − O Í : − BL • : − BO Í : − BL ∩ BO con con Ahora sea con y podemos simplificar : − BL ∩ BO Ê : oe BA oe BA A − L A − O B " # " # ya que así B − K A oe A oe A − L ∩ O " # o sea con . : oe BA A − L ∩ O Í : − BÐL ∩ OÑ Ahora si y son tales que B L B O 3 4 ø B L ∩ B O Á 3 4 entonces dan origen a una clase módulo . L ∩ O Sea tal que se tenga M § N a3ß a4 − M ø B L ∩ B O Á 3 4 Así B ÐL ∩ OÑ oe B L ∩ B O § B O 3 3 3 3 Ahora tomamos reunión disyunta • • • L oe B ÐL ∩ OÑ § B O § BO oe K ∪ ∪ ∪ 3 − M 3 − M 3 − N 3 3 de donde se sigue que # # ˆ ‰ ˆ ‰ K L O L∩O o sea . K À O L À L ∩ O -K À L ∞ K À O ∞ K À L ∩ O ∞ , y entonces , en efecto se sabe de que , por lo tanto se tiene que L À L ∩ O Ÿ K À L L À L ∩ O ∞Þ También se tiene que entonces se sigue de la parte que L ∩ O § L + K À L ∩ O oe K À L L À L ∩ O como y se sigue entonces que K À L ∞ L À L ∩ O ∞ K À L ∩ O ∞ . L Á K O Á K L ∪ O Á K L ∪ O oe K Si y entonces , en efecto supongamos que , K Á L K Á O L § O O § L L y , según esto no se puede tener, ni , o sea que y O no son comparables, porque si, , L § O Ê L ∪ O oe O esto implicaría de inmediato que lo cual no se puede tener por la hipótesis. O oe Kß Tampoco porque en ese caso O § L O ∪ L oe L • L oe K esto es una contradicción. po De todo lo anterior tenemos la veracidad de las siguientes proposiciones: tal que b2 − L 2  ODarío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 32 tal que b5 − O 5  L pero y son subgrupos de , de esto se sigue que L O K 25 − L ∪ O oe K entonces de la definición de reunión se recibe que , 25 − L ” 25 − O o lo que es lo mismo 5 oe 2 2 5 oe 2 25 − 2 L oe L " " " 2 oe 2 55 oe 25 5 − O5 oe O " " " esto es contradictorio por que implicaría que y son comparables, lo cual po L O no puede ser. 7. Sean y subgrupos de un grupo dado tales que y que + K ß K L K K ‰ K oe K " # " # L K K L L sea un subgrupo normal de y de o sea . Probar que " # £Ñ K • L £Ñ K " # es un subgrupo normal de . K , L W Ð oe Indique un subgrupo normal del grupo simétrico grupo de las % permutaciones del conjunto y un subgrupo normal de tal que no Ö"ß #ß $ß %×Ñ O L O sea normal en . (use la notación del problema 4) K . SOLUCION. + L K BLoeLBßaB−K Que sea subgrupo normal de , significa que . " " L K CL oe LC ß aC − K es subgrupo normal de por lo tanto . Sea ahora # # : − K oe K ‰ K : oe B C B − K • C − K " # " " " " " # entonces donde , entonces :L oe B C L oe B C L § B LC oe B L C § LB C oe L B C oe L: " " " " " " " " " " " " así , a: − K :L oe L: en esta forma es un subgrupo normal de . L K , O oe Ö3ß ß ß ×ß Sea tenemos según la tabla de grupo del problema 4, lo 5 5 5 # & ) siguiente: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 " # # " & ) " ) & " " " " " " oe oe oe 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 $ # # $ & ) $ ) & " " " $ $ $ oe oe oe 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 % # ) % & & % ) # " " " % % % oe oe oe 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ' # ) ' & & ' ) # " " " ' ' ' oe oe oe 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ( # & ( & # ( ) ) ( " " ( ( "oe oe oe 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 * # & * & # * ) ) " " " * * * oe oe oe 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 " # ) " & # " & " " " " " " oe oe oe ) 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 5 5 # # & # & ) # ) # " " " # # # oe oe oe 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 $ # & $ & ) $ ) # " " " $ $ $ oe oe oe 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 % # ) % & # % ) & " " " % % % oe oe oe 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 & # ) & & # & ) & " " " & & & oe oe oe 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 ' # & ' & ) ' ) # " " " ' ' ' oe oe oe 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 ( # & ( & ) ( ) # " " " ( ( ( oe oe oe 7 5 5 5 7 5 7 5 7 5 7 5 ) # ) ) & # ) ) & " " " ) ) ) oe oe oe α 5 α 5 α 5 α 5 α 5 α 5 " # & " & " ) ) " " " " " " oe oe oe #Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 33 α 5 α 5 α 5 5 5 α 5 α 5 # # # # & ) # ) & " " " # # # oe oe oe α 5 α 5 α 5 5 5 α 5 α 5 $ # ) $ & & $ ) # " " " $ $ $ oe oe oe α 5 5 5 α 5 5 5 α 5 α 5 % # ) % & & % ) " " " % % % oe oe oe # α 5 5 5 α 5 5 5 α 5 α 5 & # & & ) & ) " " " & & & oe oe oe # & α 5 5 5 α 5 α 5 α 5 α 5 ' # & ' & # ' ) ) " " " ' ' ' oe oe oe 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 # # # # & ) # & ) # ) & ) # oe oe oe3 oe oe oe & entonces es un subgrupo normal de . O W% Ahora sea , es un subgrupo de y entonces es un L oe Ö3ß × L O O À L oe oe # L 5# %# subgrupo normal de . Pero no es un subgrupo normal de pues O L K oe W% . 7 5 7 5 " # ) " " oe ÂL 8. Determine el núcleo y la imágen de los siguientes homomorfismos: + ß ß 5È85 8− dado por siendo fijo . ™ ™ ™ , Î' ß Î' ß 5 ' È #5 ' 5 − Þ dado por ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ -Î8 ß Î8 † 7 ß 5 7 È 5 8 † 7 5 − Þ dado por ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ : . dß ß † < È /< − d Þ 0 dado por ‚ 3< Š ‹ /W ß ‰ W ß ‰ È − W dado por . 8 8" 8 0 1 1 " ßâß 8ß 8" ßâß ß 1 1 1 " 8 8" SOLUCION. + 0 oe Ö5 − à 0 5 oe !× oe Ö5 − à 85 oe !× oe Ö!× ker ™ ™ ¼ ™ ™ ™ 70 oe Ö0 5 à 5 − × oe Ö85à 5 − × oe 8 , 0 oe Ö5 ' à 0 5 ' oe ' × oe Ö5 ' à #5 ' oe ' × oe Ö$5 ' × ker ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ¼ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ 70 oe Ö0 5 ' à 5 ' − Î' × oe Ö#5 ' à 5 ' − Î' × oe Ö' ß # ' ß % ' × -oe Ö5 7 à 5 7 oe 8 † 7 × oe Ö5 7 à 5 8 † 7 oe 8 † 7 × ker: ™ : ™ ™ ™ ™ ™ Así se tiene que tal que 5 8 † 7 oe 8 † 7 Í b 5 oe 87 Í 5 oe 7 8 oe 8 ™ ™ α α α " Í 5 8 oe 8 oe Ö8 × ™ ™ : ™ o sea que . ker ¼ : : ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ 7 oe Ö 5 7 à 5 7 − Î7 × oe Ö5 8 † 7 à 5 7 − Î7 × oe Î8 † 7 . 0 oe Ö< − dà 0 < oe "× oe Ö< − dà /oe "× oe Ö# 5à 5 − × ker 3< 1 ™ ¼70 oe Ö0 < à < − d× oe Ö/à < − d× oe W 3< " o sea, el círculo unitario . š Š ‹› /oe − W8à Ð Ñ oe oe Ö3× ker0 1 0 1 "ß#ßáß8ß8" "ß#ßáß8ß8" ¼ 0 0 1 1 7 oe Ð Ñà − W µ W W W e f8 8 8" 8 , esto es un subgrupo de isomorfo a . 9. Sea un grupo. Un isomorfismo de sobre es llamado un "automorfismo" K K K Þ + 8 ∞ Determine todos los automorfismos de un grupo cíclico de orden finito o . , +− K + À K K s Para cualquier , pruebe que la aplicación dada por B È + † B † + B − K K " es un automorfismo de (llamado "automorfismo interior") -E?> K K M 8> K Se denota con al conjunto de los automorfismos de y con al conjunto de los automorfismos interiores de . Pruebe que es un subgrupo K E?> K del grupo de las permutaciones de , que cuando y W K K E?> K Á W K K Á Ö"×ß que es un subgrupo normal de M8> K E?> K Þ Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 34 . K E?> K + È + Ð+ − KÑ s Pruebe que la aplicación dada por es un homomorfismo. Determine su núcleo e indique una condición necesaria y suficiente para que ese núcleo coincida con KÞ SOLUCION. + 0 − E?> K K oe 1 ‰ 1 oe 8 0 À K K 1 È 0 1 Sea y con , entonces esto implica que así existe tal que como es sobre, existe 0 1 − Kß 7 0 1 oe 1 0 B − K 7 tal que entonces , así o 1 oe 0 B oe 0 1 oe 1 1 oe /8l7< " Ê b= 7< " oe =8 < 7< 7<" sea que así . Si entonces esta determinado por =8 7< oe "ß 8ß 7 oe " 0 − E?> K 0 7 0 0 1 oe 1 , entonces podemos notar al automorfismo tal que . 7 7 7 3 7ß 8 oe " 7 ß 8 oe " Notamos que si y entonces w 0 † 0 1 oe 0 1 oe 0 1 oe 1 oe 1 oe 0 1 7 7 7 7 77 7 7 77 7 7 w w w w w w ˆ ‰ ’ “ Pero si entonces luego entonces 7ß 8 oe " oe 7 ß 8 77 ß 8 oe " 0 ‰ 0 oe 0 w w 7 7 77 w w # . E?> K oe 8 : 33 L oe ÖÒ7ÓÎ 7ß 8 oe "× oe Ö 8× L Sea Primos relativos con . es un grupo multiplicativo módulo de de hecho . 8 ß 7 ß 8 oe " • 7 ß 8 oe " Ê 7 7 ß 8 oe " ™ " # " # Sea ahora , se sigue que es un homomorfismo, en efecto J À L E?> K J 7 È J 7 oe 0 " " 7 " 7 ß 7 − L Ê J 7 ß 7 oe 0 oe 0 ‰ 0 oe J 7 ‰ J 7 " # " # 7 7 7 7 " # " # " # Entonces es un isomorfismo puesto que es inyectiva y sobreyectiva J J claramente, así # # L oe E?> K oe 8 ∞Þ : 333 8 K 1 ß ‰ 1 oe ∞ Ahora si es infinito sea = entonces los únicos generadores de son y . Si es otro generador, esto es entonces , K 1 1 2 Koe 2 oe 1 1oe2 " 7 por otro lado , para algún , o sea 2 oe 1 5 5 1 oe 1 oe 1 Ê 1 oe /ˆ ‰ 5 75 75" 7 Como entonces , donde y . De ‰ 1 oe ∞ 75 " oe ! Ê 75 oe " 7 oe „ " 5 oe „ " todo esto 0 − E?> K Ê 0 À K K È 1 0 1 oe 11 oe " o sea donde . 0 K oe ÖMß 0× 0 À K K 1 È 0 1 oe 1 " , Sea entonces + À K K s B È +B+ " , 3 +s es un homomorfismo + B † C oe + BC + oe +BC+ +C+ oe +B+ +C+ oe + B + C s ss " " " " " 33 +s es inyectiva + B oe + C Í +B+ oe +C+ Í + +B+ + oe + +C+ + Í s s " " " " " " Í ++ B + + oe ++ C + + ÍB oe C " " " " 333 +s es sobreyectiva Sea entonces existe tal que C − K B oe + C+ − K " + B oe +B+ oe + + C+ + oe ++ C ++ oe C s " " " " " De se sigue que . 3 ß 33 ß 333 + − E?> K s -3 0 − E?> K 1 − E?> K 0 ‰ 1 − E?> K Veamos que si y entonces .Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 35 Claramente, se sabe que la composición de dos aplicaciones biyectivas es una biyección, sólo resta ver que es un homomorfismo, en efecto; 0 ‰ 1 0 ‰ 1 B † C oe 0Ò1 B † C Ó oe 0 Ò1 B † 1 C Ó oe 0 1 B † 0 1 C oe 0 ‰ 1 B † 0 ‰ 1 C esto se tiene por que y son homomorfismos. 0 1 33 0 − E?> K 0 − E?> K Ahora sea entonces veamos que " En efecto es una biyección porque lo es y es su inversa, veamos ahora 0 0 0 " " que es un homomorfismo 0 " 0 B†C oe 0 0 ‰0 B † 0 ‰0 C oe 0 0 0 B †0 C " " " " " " " oe 0 ‰0 0 B †0 C oe 0 B †0 C " " " " " entonces claramente así es un subgrupo de 0 − E?> K ß E?> K § WÐKÑ E?> K " WÐKÑ. 333 E?> K Á WÐKÑ K Á Ö"× , cuando . Por ejemplo, en el caso , entonces los automorfismos de se reducen a la W oe K K # identidad y tiene dos elementos, así que . W E?> K Á WÐKÑ # 3@M8> K oe Ö+ À B È +B+ Î+ − E?> K × s s Sea " Tomemos , entonces + ß + − M8> K s s " # + † + B oe + + B oe + + B+ oe + + B+ + oe + + B + + oe s s s s s # " # " # " # " # " " " # " # " " " " " oe + + B + + oe + + B s # " # " # " " Así + † + oe + + s s s # " # " O sea es cerrado para la composición, además si entonces M 8> K + − M 8> K s + − M8> K + B oe + B+ oe + B + s s " " " " " " porque . Ahora si se tiene : − E?> K ß : : : : : : ‰ + ‰ B oe ‰ + B oe Ò + B Ó oe s s s " " " oe + ÐBÑ + oe + B + oe + B Å s : : : : : " " " : es un homomorfismo esto prueba que . M 8> K £Ñ E?> 1 . À K E?> K Ð+Ñ oe + + † , oe + † , s s Sea dada por , entonces es efectivamente : : : un homomorfismo, pues : Š ‹ + † , B oe + † , B oe +, B +, oe +, B , + oe + ,B, + oe + , B + oe s s " " " " " " oe + , B oe + † , B oe + † , B s s s s Š ‹ Š ‹ : : o sea : : : + † , oe + † , ker: : oe Ö+ − KÎ + oe 3 × oe Ö+ − KÎ+ oe 3 × oe ÖB − KÎ+B+ oe B× oe ÖB − KÎ+B oe B+× s K K " y es el llamado "centro de ". K Ahora una condición necesaria y suficiente para que es que sea un ker: oe K K grupo abeliano, puesto que . ker: oe ÖB − KÎ+B oe +B× oe ÖB − KÎB+ oe +B× oe K Å K es abeliano 10. + +ß , K ‰ + ∞ß Sean elementos de un grupo conmutativo tales que ‰ , ∞ ‰ + ß ‰ , oe " ‰ + † , oe ‰ + † ‰ , y . Pruebe que .Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 36 , K 8∞ß -K Sea un grupo cíclico de orden y sea un generador de . Pruebe que para cualquier . ‰ -oe 8 − 7 8 7ß8 ™ SOLUCION. + ‰ Ò + , Ó oe oe ‰ Ò +, Ó ‰ + ‰ , ‰Ò + ∩ , Ó por ser abeliano y porque si , existiría K + , oe +, + ∩ , oe Ö/× + ∩ , Á Ö/× un entonces entonces : − + ∩ , Í : − + • : − , ‰ : l ‰ + • ‰ : l ‰ , ‰ + ß ‰ , Á ". Así se sigue del teorema de Lagrange que # . Ò + † , Ó oe ‰ + † ‰ , Hay otra forma de prueba: Se sabe que +, oe ,+ß ‰ + oe 7ß ‰ , oe 8 ß ‰ +, oe ; entonces . Se tiene entonces , +, oe + , ß a5 − +, oe + , oe + , oe /5 78 8 7 5 5 78 78 7 8 ™ lo cual prueba que el orden de divide a . ; +, 78 Para mostrar la igualdad es suficiente probar que y dividen a . Puesto que 7 8 ; 7 y son primos entre si, el elemento tiene por orden . Las relaciones 8 + 7 8 + oe +, oe +, oe/8 ; 8; ; 8 muestra que es múltiplo del orden de . Se prueba lo mismo que divide a . ; 7 + 8 ; 8 , Para todo tal que esto es equivalente a decir que 5 − + oe /Í -oe /™ 5 75 Å + oe -8 8l75 Í 75 oe ! Þ 8 . oe 7ß 8 b − 7 oe . • b Î 8 oe . mod . Sea ahora entonces /. α ™ α " " Además porque si entonces tal que y α " α " α " ß oe " ß oe " b5 ß b5 oe -5 oe -5 " # " # entonces . Š ‹ 7oe5 -. 8oe5 -. " # Ê 7ß 8 Á . Ahora Simplificando por se llega a 8l75 Í .l .5 Í b − Î .5 oe .Þ . " α # ™ α #" | α #" " " 5 oe Í 5 Í 5 oe ! Þ oe ˆ ‰ mod 8. así Ò+ oe /Í 5 oe ! Þ Ó Í ‰ + oe 5 8 8 . . ˆ ‰ mod o sea ‰ -oe oe 7 8 8 . 7ß8 Se conoce la relación , también se tiene Ò7ß 8Ó oe Í oe ‰ -oe 78 8 7ß8 7ß8 7 7 Ò7ß8Ó Ò7ß8Ó 7 11. Sea un número entero positivo. Demuestre: 8 + Î8 Î8 † La multiplicación en induce una multiplicación en , y , es un ™ ™ ™ ™ ™ monoide conmutativo. , 5 − 5 8 Î8 ß † 5ß 8 oe " Sea . es inversible en si y sólo si . ™ ™ ™ ™ -Î8 ß † El conjunto de los elementos inversibles de es un grupo abeliano de ™ ™ orden donde es la función de Euler : : 8 . 5− 5ß8 oe" 5 " 8 Si es tal que , entonces es un múltiplo de . En ™ :Ð8Ñ particular, para cualquier cada número primo divide a o a . 5 − : 5 5 " ™ :" /8 " "$ -¿Cuáles son los enteros entre y tales que el grupo indicado en sea cíclico?. Para cada uno de ellos indique un generador. SOLUCION. + Î8 Se define la multiplicación en así ™ ™Darío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 37 † À Î8 ‚ Î8 Î8 5 8 ß 5 8 È 5 5 8 ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ " # " # Esta operación está bien definida, en efecto supongamos que 5 8 ß 5 8 oe 2 8 ß 2 8 Í 5 8 oe 2 8 • 5 8 oe 2 8 " # " # " " # # ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ o sea que 5 oe 2 Þ 8 • 5 oe 2 Þ 8 " " # # mod mod ™ ™ por lo tanto existen tales que =ß > − ™ 5 2 oe =8 • 5 2 oe >8 " " # # o lo que es lo mismo 5 oe 2 =8 • 5 oe 2 >8 " " # # multiplicando miembro a miembro se tiene 5 5 oe 2 2 8 =2 >2 >=8 " # " # # " como se sigue que =2 >2 >=8 − ß # " ™ 5 5 oe 2 2 Þ8 " # " # mod ™ esto es lo mismo que 5 5 8 oe 2 2 8 " # " # ™ ™ y la operación queda bien definida. Veamos que , es un monoide conmutativo: ™ ™ Î8 † 3 Asociativo. Ò 5 8 † 5 8 Ó 5 8 oe 5 5 8 5 8 oe 5 5 5 8 oe 5 5 5 8 " # $ " # $ " # $ " # $ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ oe 5 8 5 5 8 oe 5 8 Ò 5 8 5 8 Ó " # $ " # $ ™ ™ ™ ™ ™ 33 Conmutativo 5 8 5 8 oe 5 5 8 oe 5 5 8 oe 5 8 5 8 " # " # # " # " ™ ™ ™ ™ ™ ™ 333 Modulativa tal que a 5 8 ÒBÓ − Î8 ÒBÓ † 5 8 oe 5 8 ™ ™ ™ ™ ™ b basta tomar en ese caso . ÒBÓ oe " 8 " 8 5 8 oe 5 8 ™ ™ ™ ™ , 5 − 5 8 Î8 ß † 5ß 8 oe " Sea , es inversible en si y sólo si . ™ ™ ™ ™ En efecto, supongamos que tiene inverso es , esto significa que 5 8 Î8 ß † ™ ™ ™ existe un tal que = 8™ 5 8 = 8 oe " 8 Í 5= 8 oe " 8 ™ ™ ™ ™ ™ esto implica que , o sea tal que , o lo que es lo mismo 5= " − 8 b> − 5= " oe 8> ™ ™ 5= Ð >Ñ8 oe " 5ß 8 oe " , por lo tanto . Recíprocamente supongamos que esto significa que existen enteros 5ß 8 oe " >ß = tales que , lo cual es lo mismo que , o sea , o 5= 8> oe " 5= " oe 8Ð >Ñ 5= " − 8™ en forma equivalente y esto es completamente lo mismo que 5= 8 oe " 8 ™ ™ 5 8 = 8 oe " 8 ‡ ™ ™ ™ así dado existe tal que se tiene por lo tanto es inversible. 5 8 = 8 ‡ 5 8 ™ ™ ™ -L oe Ö7 8 ÎÐ7ß 8Ñ oe "× 8 Sea es un monoide multiplicativo abeliano módulo ™ como ya se mostró en el problema 9, parte así sea 33 es inversible en Z oe Ö5 8 Î5 8 Î8 ß † × oe Ö5 8 Î 5ß 8 oe "× oe L ™ ™ ™ ™ ™ por lo tanto es un grupo abeliano y Z ‰ÐZ Ñ oe ‰ ÐLÑ oe Ð8Ñ : . 5ß 8 oe " Z Como entonces en , por el teorema de Lagrange 5 8 oe " 8 ™ ™ :Ð8ÑDarío Sánchez H. Teoría de Grupos y Anillos 38 o sea 5 8 oe " 8 Í 5 " − 8 : : Ð8Ñ Ð8Ñ ™ ™ ™ esto es equivalente a decir que tal que , de donde tenemos la b= − 5 " oe =8 ™ :Ð8Ñ afirmación. Si es primo y entonces , o : 5 − 5 oe : ß 5 Á : ™ Si entonces divide a claramente. 5 oe : : 5 Si entonces se tienen dos casos a saber: o , 5 Á : 5 oe 7: ß 5ß : oe " Si entonces 5 oe 7: :l5 Si entonces para algún , pero es primo entonces 5ß : oe " 5 " oe >: > − : :Ð8Ñ ™ :Ð:Ñ oe : " 5 " oe >: : 5 " y así . :" :" ¹ /3 Î L -se tiene trivialmente . 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Veamos que la multiplicación inducida por en esta bien "" + Î8 ™ ™ ™ definida, en efecto 5 8 ß 5 8 oe 5 8 ß 5 8 " # w w " # ™ ™ ™ ™ esto es equivalente a Š ‹ Š ‹ 5 8 oe5 8 5 5 −8 5 8 oe5 8 5 5 −8 " " w w " " # # w w # # ™ ™ ™ ™ ™ ™ Ê Ahora 5 5 5 5 oe 5 5 5 5 5 5 5 5 oe 5 5 5 5 5 5 " # " # # # " # # w w w w w w w w w " # " " " # " # " Como se sigue que . Š ‹ 5 5 −8 5 5 5 −8 5 5 −8 5 5 5 −8 " " # w w " " # # w w w # # " ™ ™ ™ ™ entonces entonces ß ß 5 5 5 5 − 8 " # w w " # ™ Luego . 5 5 8 oe 5 5 8 " # w w " # ™ ™ 12. Sean y subgrupos de un grupo . Probar: L ß L ßáß L O K " #